Cap. 8. Strato limite laminare,
strato limite turbolento
Lo strato limite è quella regione vicino alle pareti dove la viscosità gioca un ruolo essenziale.
In questo capitolo tratteremo lo strato limite piano, prima nel caso di flusso laminare e poi
in quello turbolento.
8.1
Strato limite laminare
Consideriamo un flusso laminare. Faremo le ipotesi seguenti:
1. Lamina di appoggio orizzontale (piano x − z).
2. Fluido incomprimibile a densità costante e flusso stazionario (∂/∂t = 0).
3. Velocità e derivate nella direzione trasversale z nulle.
4. Spessore δ dello strato limite molto piccolo rispetto alla dimensione longitudinale L.
Supporremo quindi che le derivate in direzione longitudinale scalino come ∂/∂x ∼ L−1 ,
mentre in direzione perpendicolare alla parete scalino come ∂/∂y ∼ δ−1 .
Dall’equazione di continuità e dall’ipotesi 4 otteniamo subito che le velocità verticali
devono essere piccole rispetto a quelle longitudinali:
∂vx ∂vy
+
=0
∂x
∂y
⇒
vy
δ
∼ ≪1
vx
L
L’estensione dello strato limite può essere ricavato dal bilancio tra il termine viscoso e
quello convettivo:
2
∂vx
∂vx
∂ vx ∂ 2 vx
+
+ vy
∼ vx
ν∆v ∼ (v · ∇)v ⇒ ν
2
2
∂x
∂y
∂x
∂y
vx
vx
vx2
vx vy
+
ν
∼
+
2
2
L
δ
L
δ
Il primo termine è certamente trascurabile rispetto al secondo. Confrontando il secondo con
i due termini a secondo membro otteniamo:
⇒
ν
δ
∼ Re−1/2 ,
L
dove
93
Re =
Lvx
ν
94
CAPITOLO 8. STRATO LIMITE LAMINARE, STRATO LIMITE
TURBOLENTO
Studiamo adesso la forma del profilo di velocità all’interno dello strato limite. Chiamiamo
u = vx la velocità longitudinale e v = vy quella verticale (ricordiamo che per ipotesi vz = 0).
Procediamo ad un’espansione in serie di potenze di ǫ = δ/L delle variabili:
u = u0 + ǫu1 + ǫ2 u2 + ...,
p = p0 + ǫp1 + ǫ2 p2 + ...
e conformemente all’ipotesi 4 supponiamo che ∂/∂y ∼ ǫ−1 , ∂/∂x ∼ O(1). All’ordine più
basso le equazioni di Navier Stokes si scrivono:
∂u0 ∂v1
+
=0
∂x
∂y
u0
(8.1)
∂u0
∂u0
∂p0
∂ 2 u0
+ v1
=−
+ν
∂x
∂y
∂x
∂y 2
(8.2)
∂p0
=0
∂y
(8.3)
Le condizioni al contorno si ripercuotono naturalmente sulle variabili sviluppate in serie:
u0 (0) = v1 (0) = 0,
u0 (+∞) = u
L’equazione (8.3) mostra che la pressione all’ordine più basso dipende solo dalla coordinata
longitudinale x; possiamo allora sostituire la derivata parziale ∂p0 /∂x in (8.2) con la derivata
totale dp0 /dx.
Trattiamo inizialmente il problema semplificato con pressione uniforme, ossia dp/dy = 0;
supponiamo inoltre che u0 e v1 possano essere descritte in forma autosimile:
u0 = U f (η),
v1 = V (x)g(η),
η≡
y
b(x)
U rappresenta la velocità longitudinale al bordo esterno dello strato limite e b(x) è lo
spessore dello strato limite. Le equazioni (8.1) e (8.2) diventano:
b′ (x)
f ′ (η)
νU ′′
′
yf
(η)f
(η)
+
V
(x)g(η)U
=
f (η)
b(x)2
b(x)
b(x)2
(8.4)
dove gli apici stanno ad indicare le derivate delle funzioni rispetto alla variabile da cui esse
dipendono. Le condizioni al contorno sono
−U y
V (x) ′
b′ (x) ′
f (η) +
g (η) = 0,
b(x)2
b(x)
−U 2
f (0) = g(0) = 0,
f (+∞) = 1
Dalla prima delle (8.4) ricaviamo:
U ηf ′ (η)
V (x)
=
b′ (x)
g ′ (η)
(8.5)
Il primo termine dipende esclusivamente da x e il secondo termine da η. Entrambi devono
dunque essere costanti. Poniamo senza perdita di generalità V (x)/b′ (x) = U . La seconda
equazione diventa:
−U 2 f (η)y
′
νU ′′
b′ (x) ′
2 b (x)
f
(η)
+
U
g(η)f ′ (η) =
f (η)
2
b(x)
b(x)
b(x)2
8.1. STRATO LIMITE LAMINARE
95
Profilo di Blasius
2
F
f
f’
1.5
1
0.5
0
0
1
2
η
3
4
5
Figura 8.1: Profili delle funzioni di Blasius F , F ′ ≡ f e F ′′ ≡ f ′ definite da (8.8) e (8.9).
Ossia
U b(x)b′ (x) =
νf ′′ (η)
(g(η) − ηf (η))f ′ (η)
(8.6)
Di nuovo abbiamo il primo membro che dipende esclusivamente da x e il secondo da η:
entrambi devono essere costanti. Poniamo allora bb′ = d2 dove d è una lunghezza caratteristica.
√
Da ciò ricaviamo b = dx. La (8.6) diventa:
f ′′ =
Poniamo
Ud
2ν
Ud ′
f (g − ηf )
2ν
= 1 e isoliamo g:
g=
f ′′
+ ηf
f′
infine deriviamo rispetto a η e sfruttiamo il fatto che g ′ = ηf ′ (dalla (8.5)):
′′ ′
f
= −f
f′
(8.7)
(8.8)
Questa equazione viene chiamata equazione di Blasius. Le condizioni al contorno sono:
f (0) = 0 (velocità orizzontale nulla a parete),
f ′′ (0) = 0 (velocità verticale nulla a parete) e
f (+∞) = 1 (velocità costante fissata all’estremo superiore dello strato limite).
Viene spesso usata
una seconda forma dell’equazione di Blasius impiegando come variabile
R
la primitiva F = f dη:
F ′′′ + F F ′′ = 0
(8.9)
Le condizioni al contorno per F sono F (0) = F ′ (0) = 0 e F ′ (+∞) = 1. Le funzioni f e F
non sono esprimibili mediante funzioni elementari ma possono essere calcolate numericamente
(fig. 8.1).
Determiniamo ora l’andamento dei profili per η → 0 e η → ∞. Nell’origine le condizioni
al contorno impongono f (0) = f ′′ (0) = 0. Inoltre dalla (8.8) si ricava f ′′′ (0) = 0. Si può
96
CAPITOLO 8. STRATO LIMITE LAMINARE, STRATO LIMITE
TURBOLENTO
poi mostrare che f (V ) (0) = f (V I) (0) = 0. Lo sviluppo di f (η) in serie di Taylor nell’intorno
dell’origine fornisce pertanto:
f (η) = aη −
a2 4
η + O(η 7 )
24
con a = f ′ (0) ≃ 0.4696. Il profilo di velocità si mantiene quindi praticamente lineare in un
intorno abbastanza esteso dell’origine.
Nell’altro estremo (η → ∞) f tende a 1 e l’equazione (8.8) tende alla f ′′ = −ηf ′ , da cui
f ′ = e−η
2 /2
,
f (η) = erf(η)
La velocità verticale vicino al bordo superiore è negativa, cioè lo strato limite aspira il fluido
2
esterno. Infatti g′ = ηf ′ e g(+∞) = 0, da cui g ≃ −e−η /2 < 0.
Passiamo adesso al caso in cui il gradiente di pressione non sia nullo. Cerchiamo sempre
delle soluzioni autosimili:
u0 = U (x)f (η),
v1 = V (x)g(η)
U non è più costante ma dipende dalla coordinata longitudinale x. Le equazioni (8.1) e (8.2)
diventano:
V
b′ U
U ′ f − 2 yf ′ + g′ = 0
b
b
b′ U ′
UV ′
dp
U
yf ) +
gf = −
+ ν 2 f ′′
2
b
b
dx
b
Che possiamo riscrivere in questo modo:
U f (U ′ f −
b2 U ′ f − bb′ U ηf ′ + bV g ′ = 0
b2 U ′ f 2 − bb′ U ηf f ′ + bV gf ′ = −
(8.10)
b2 dp
+ νf ′′
U dx
(8.11)
Si porrà dunque
2bb′ U = c1 ,
b2 U ′ = c2 ,
bV = c3 ,
con c1 , c2 , c3 e c4 costanti. Definiamo come prima F =
(8.10) e (8.11):
νF ′′′ + (
R
−
b2 dp
= c4
U dx
(8.12)
f dη ed eliminiamo g dalle equazioni
c1
2
+ c2 )F F ′′ − c2 F ′ + c4 = 0
2
Con la scelta ( c21 + c2 ) = ν, c2 = c4 = νβ si arriva infine all’equazione di Falkner-Skan:
2
F ′′′ + F F ′′ + β(1 − F ′ ) = 0
Ritorniamo ora alle definizioni (8.12). Si vede che U e p soddisfano semplici leggi di
potenza in x:
8.2. STRATO LIMITE TURBOLENTO
U (x) = Axm ,
dp
= −A2 mx2m−1 ,
dx
b(x) =
97
s
2ν
x(1−m)/2 ,
A(m + 1)
m=
β
2−β
Si può mostrare che lo strato limite di un flusso che passa sopra uno spigolo inclinato di
m
π. Per m > 0 lo spigolo è
una angolo α equivale allo strato limite piano con α = β2 π = m+1
concavo mentre per m < 0 esso è convesso.
• Per m = 0 il gradiente di pressione è nullo e ritroviamo l’equazione di Blasius (8.9).
• Per m = 1 lo spessore dello strato limite è indipendente da y:
u0 = Axf (cy),
v1 = dg(cy),
dp
= −A2 x
dx
• Per m = 1/2 il gradiente di pressione è costante:
U = Ax
1/2
,
dp
A2
=− ,
dx
2
b=
r
4ν 1/4
x
3A
• Per m = −0.091 (corrispondente ad un angolo di inclinazione di circa 15o ) la derivata
df / dη si annulla nell’origine e per m < −0.091 essa è negativa: ciò indica che il flusso
si separa e che viene a formarsi una zona di ricircolo vicino alla parete.
Calcoliamo infine la resistenza di attrito su una lastra piana: essa è data dallo sforzo di
taglio a parete
U
∂vx ∂vx ∂vy ∼ ν ∼ Re−1/2 U 2
+
=ν
tx = τxx nx +τxy ny = τxy = 2ν Sxy |parete = ν
∂y
∂x parete
∂y parete
δ
Mentre lo sforzo in direzione normale alla parete vale:
ty = τyx nx + τyy ny = τyy
8.2
∂vy U
∼ 2ν ∼ Re−1 U 2
= 2ν Syy |parete= 2ν
∂y parete
L
Strato limite turbolento
Si osserva che lo strato limite laminare diventa turbolento quando il numero di Reynolds
basato sullo spessore dello strato limite Reδ = Uνδ supera un dato valore:
• Il valore critico teorico basato sull’analisi di stabilità del profilo di Blasius è Reδ ≃ 645.
• Il valore riscontrato sperimentalmente è Reδ ≃ 400 nel caso in assenza di gradiente di
pressione
• Quando il gradiente di pressione è positivo il valore critico aumenta fino a valori dell’ordine di 10000.
• Per gradienti di pressione negativi invece lo strato limite diventa turbolento già per Reδ
di ordine 100.
98
CAPITOLO 8. STRATO LIMITE LAMINARE, STRATO LIMITE
TURBOLENTO
Consideriamo un campo di velocità turbolento in vicinanza di una parete piana. Supponiamo che il flusso abbia raggiunto uno stato statisticamente stazionario; definiamo con
v il valore medio del campo, ottenuto mediante una media d’insieme oppure con una media
temporale
Z
1 T
v=
vdt
T 0
dove la media è fatta su tempi T sufficientemente lunghi. Supponiamo che il campo medio
sia longitudinale e funzione solo della distanza alla parete y: v = (v(y), 0, 0). La velocità v
è somma della velocità media v e di quella fluttuante v ′ : v = v + v ′ . Separiamo anche la
pressione in una parte media p(x, y) (p può dipendere da x affinché vi sia una forza parallela
alla parete che mantenga il moto) e in una parte fluttuante p′ . Le equazioni del moto mediate
si scrivono:
(v · ∇)v = −∇p + ∇ · τ + ∇ · τ R
(8.13)
Dove abbiamo introdotto il tensore degli sforzi di Reynolds τijR = −vi′ vj′ . Supporremo nel
seguito che τijR dipenda soltanto dalla coordinata y.
Scriviamo le componenti x e y dell’equazione (8.13):
∂
∂p
∂v x
∂
(8.14)
+
0=−
ν
−
vx′ vy′
∂x ∂y
∂y
∂y
0=−
Da quest’ultima equazione ricaviamo:
∂p
∂ ′2 −
v
∂y ∂y y
∂ p + vy′2 = 0
∂y
⇒
p + vy′2 ≡ pw (x)
Ossia la quantità p + vy′2 è funzione solo della coordinata x e la chiamiamo pw (x). Poiché
le fluttuazioni di velocità sono nulle sulla parete la quantità pw (x) è la pressione a parete
(wall in inglese, da cui il nome).
dp
∂p
Siccome vy′2 è supposto indipendente da x, possiamo sostituire ∂x
nella (8.14) con dxw :
∂
∂y
∂v x
− vx′ vy′
ν
∂y
=
dpw
dx
Il primo membro di questa equazione dipende solo da y, mentre il secondo membro dipende
solo da x; pertanto entrambi devono essere costanti:
dv x
dpw
d
− vx′ vy′ =
≡ −K
(8.15)
ν
dy
dy
dx
R = ν du − v ′ v ′ dipende linearmente
Dunque vediamo che lo sforzo di taglio totale τ xy + τxy
x y
dy
R (0) lo sforzo totale a parete.
dalla distanza y dalla parete. Definiamo con τw = τ xy (0) + τxy
√
Introduciamo anche la velocità di attrito V∗ ≡ τw e le variabili
y+ ≡
V∗ y
,
ν
η≡
y
δ
8.2. STRATO LIMITE TURBOLENTO
99
dove δ è l’ampiezza dello strato limite. La (8.15) integrata in y diventa:
ν
dv x
− vx′ vy′ = V∗2 − Ky
dy
Da questa relazione vediamo che nella regione più vicina alla parete (y ≪ δ) lo sforzo
totale è approssimativamente costante
ν
dv x
− vx′ vy′ ≃ V∗2
dy
In questa regione si passa rapidamente da una situazione in cui lo sforzo totale è puramente
viscoso (in y ≃ 0) e dove pertanto la velocità v x è funzione lineare di y: v x = V ∗ y + , ad
R . In tutta
una zona in cui lo sforzo totale diventa prevalentemente turbolento: τ ≃ τxy
questa regione la velocità non può dipendere da δ, dunque v x = v x (y, ν, V∗ ). Con argomenti
dimensionali si può scrivere allora:
v x = V∗ f (y + ),
η≪1
Nella regione dello strato limite più lontana dalla parete lo sforzo viscoso invece è trascurabile:
V∗ y
−vx′ vy′ = V∗2 − Ky,
≫1
y+ ≡
ν
In questa regione si può affermare che v x dipende solo da y, δ e V∗ e non da ν: v x =
v x0 + ∆v x (y, δ, V∗ ), dove v x0 è una velocità media costante. Con argomenti dimensionali si
può concludere che:
v x − v x0 = V∗ g(η),
y+ ≫ 1
Supponiamo che le due regioni appena definite abbiano un’intersezione comune. Ciò
avviene se δVν ∗ ≫ 1, cioè se il numero di Reynolds basato sulla velocità di attrito e sullo
spessore dello strato limite è grande. Nell’intersezione si avrà da una parte
y
dv x
= V∗ y + f ′ (y + )
dy
e d’altra parte
y
dvx
= V∗ ηg′ (η)
dy
Dove abbiamo indicato con f ′ e g′ le drivate rispetto alle coordinate da cui esse dipendono.
Dunque
y + f ′ (y + ) = ηg′ (η)
Siccome ciò deve valere sia al variare di ν e di V∗ (cambia y + ma non η) che di δ (varia η
ma non y), entrambi i membri devono essere costanti:
1
κ
κ è una costante universale, detta costante di von Kàrmàn. Integrando si ottiene:
y + f ′ (y + ) = ηg ′ (η) =
100
CAPITOLO 8. STRATO LIMITE LAMINARE, STRATO LIMITE
TURBOLENTO
1
log y + + A
η≪1
(8.16)
κ
1
v x = v x0 + V∗
log η − B
y+ ≫ 1
κ
Questa è la famosa legge logaritmica di parete. Sperimentalmente la costante di von Kàrmàn
è stata determinata con un valore compreso tra 0.38 e 0.43, mentre le costanti A e B valgono
rispettivamente 5.5 e 1.0.
Ricapitolando, lo strato limite turbolento può essere diviso nelle 4 zone di figura 8.2:
v x = V∗
I) una regione più interna, il sottostrato viscoso, delimitato approssimativamente da y + <
5, dove gli sforzi turbolenti sono trascurabili e la velocità longitudinale dipende linearmente dalla distanza alla parete:
vx =
V∗2 y
,
ν
y+ < 5
II) una zona cosiddetta di buffer generalmente delimitata da 5 < y + < 30 dove vale una
legge (da determinare) che raccorda il sottostrato viscoso con la regione logaritmica:
v x = V∗ f
V∗ y
ν
5 < y + < 30
,
III) la regione logaritmica che si estende da y + ≃ 30 a η ≃ 0.15:
v x = V∗
1
log
κ
V∗ y
ν
IV) la regione esterna
v x = v x0 + g
8.3
+A ,
y + > 30,
y
y + > 0.15
δ
,
η < 0.15
La legge logaritmica per una parete rugosa
Nella sottosezione precedente avevamo supposto che la parete fosse liscia. Se la parete avesse una rugosità di ampiezza d più grande dello spessore del sottostrato laminare allora d
diventerebbe un parametro importante e con argomenti dimensionali si può affermare che
y V∗ y
v x = V∗ f
,
d ν
Se V∗ d/ν è molto grande allora gli effetti viscosi diventano trascurabili rispetto alla turbolenza
generata dalla rugosità di parete e di conseguenza ν non è più un parametro rilevante. L’espressione di v x si semplifica: v x = V∗ f (y/d). Le stesse considerazioni fatte nella sottosezione
precedente possono essere ripetute e si trova la seguente legge logaritmica modificata:
1
y
′
v x = V∗
log + A
(8.17)
κ
d
dove A′ è una nuova costante. Verifiche sperimentali mostrano che per V∗ d/ν < 4 la legge
logaritmica (8.16) rimane valida, mentre per V∗ d/ν > 60 vale l’espressione (8.17) con A′ ≃ 8.5.
8.4. SPETTRO DI ENERGIA E FUNZIONE DI STRUTTURA NELLO
STRATO LIMITE
I
sottostrato
viscoso
II
III
zona di buffer
legge
logaritmica
101
IV
u
1
10
100
+
y
Figura 8.2: Lo strato limite turbolento
8.4
Spettro di energia e funzione di struttura nello strato
limite
Studiamo l’andamento dello spettro di energia E(k) e della funzione di struttura longitudinale
k
S2 (r):
• Se r ≪ y la turbolenza non risente della vicinanza della parete e ci si aspetta che valgano
i risultati della turbolenza onogenea ed isotropa:
k
S2 (r) ∼ ǫ2/3 r 2/3 ,
E(k) ∼ ǫ1/3 k−5/3
• Se r ≫ y allora si può ragionevolmente affermare che gli incrementi di velocità sono
|vx (x + r, y) − vx (x, y)| ∼ V∗
ossia la funzione di struttura è costante
S2 ∼ V∗2 ,
mentre lo spettro di energia per la (5.9) si comporta come
E(k) ∼ k−1
Studi sperimentali nell’atmosfera hanno mostrato che questa legge è ben verificata fino
a scale dell’ordine di cinque volte lo spessore dello strato limite atmosferico.
102
CAPITOLO 8. STRATO LIMITE LAMINARE, STRATO LIMITE
TURBOLENTO