CAPITOLO 11. INTRODUZIONE ALLA TEORIA DELLO STRATO LIMITE Un notevole progresso nella Fluidodinamica si ebbe grazie al contributo di L. Prandtl nel 1904. Egli intuì che il campo di moto di un fluido attorno ad un oggetto o all’interno di un condotto può essere diviso in due regioni, una di piccolo spessore in prossimità delle pareti, dove i fenomeni d’attrito sono importanti (flusso viscoso), e una più lontana dove invece tali effetti sono trascurabili (flusso ideale), come schematicamente mostrato in figura 11.1. Figura 11.1. strato limite attorno ad un profilo alare Intorno al 1904 lo scienziato L. Prandtl intuì che il flusso attorno ai corpi può essere diviso in due regioni: •
Una regione molto sottile prossima alla parete del corpo detta anche strato limite, dove i gradienti di velocità sono considerevoli e quindi il ruolo degli sforzi tangenziali è fondamentale •
Una regione più esterna, fuori dallo strato limite, dove i gradienti di velocità sono quasi inesistenti e perciò gli sforzi tangenziali viscosi sono trascurabili 147 Lo studio
o del flusso
o può esseere condottto utilizzaando nello strato limite le equazion
ni dei flusssi viscosi (equazion
ni di Navieer–Stokes), e fuori dallo strato lim
mite le equ
uazioni peer i flussi non viscosi (equazio
oni di Eullero). Come saarà mostraato in seguito è di d fondam
mentale im
mportanza, per calcolare le forze in
nteragenti ttra fluidi e corpi a contatto con essi, conoscere he caratteriizzano lo sttrato limitee. alcuni paarametri ch
11.1 Caraatteristichee dello strato limite
Le caratteeristiche dello d
strato
o limite, e fondamen
ntalmente iil suo spesssore, cioè la distanza d
dalla paretee della zo
ona interesssata agli effetti visscosi, dipende fortementte dalla geeometria nel n quale il flusso ssi sviluppa. In figura 11.2a è mosttrato un esempio dii aerodinam
mica estern
na, il flussso su una lastra curva. Proprio P
a causa c
della
a curvaturaa, il profilo di velocità si modifica fortementte ed a causa delle forrze centrifu
ughe può avvenire a
anche la cosodeetta separaazione o distacco d
deella vena flluida. Essaa è causata
a dal fatto chee le pressiioni staticche in pro
ossimità della d
parette possono
o far rallentaree fortemen
nte le partiicelle fluid
de e anchee farle mu
uovere in senso s
contrario
o al resto d
del flusso. In tali con
ndizioni il flusso non
n è più guiidato dalla pareete. 148 Figura 11.2. Comportamento dello strato limite in funzione della tipologia di parete o condotto In figura 11.2b è invece mostrato un esempio di flusso interno ad un condotto. Se la sezione cresce nel verso del moto ed il flusso è subsonico (divergente subsonico), il flusso riduce la sua velocità media, e si muove in presenza di pressioni alla parete che crescono nel verso del moto. Le particelle prossime alla parete sono pertanto rallentate dal gradiente opposto di pressione e si può presentare il distacco della vena fluida. Se il flusso si distacca dalla parete le perdite viscose sono molto elevate nel condotto. Nel caso opposto, dove la sezione si riduce nel verso del moto (convergente subsonico), il flusso aumenta la sua velocità media, ed in queste condizioni lo strato limite si mantiene di ridotto spessore, con minime perdite viscose. Flusso su una lastra piana Il flusso su una lastra piana come quello di figura 11.3 permette di osservare il comportamento dello strato limite e di definire i parametri fondamentali Vista laterale
a)
z
Vista dall’alto
b)
x
Figura 11.3. Strato limite su lastra piana; a), vista laterale; b), vista dall’alto 149 Nella vista laterale (fig. 11.3a) si osserva come il profilo di velocità su una linea verticale, prima che le particelle incontrino la piastra, è uniforme con valore . Appena le particelle incontrano la piastra, quelle che si trovano sulla parete aderiscono ad essa, portando a zero la loro velocità. Nello stesso tempo, esse iniziano a ridurre anche la velocità delle particelle che si trovano più in alto, per gli effetti d’attrito. La zona interessata a questa riduzione di velocità è detta zona di strato limite, caratterizzata da un’ altezza detta spessore di strato limite. Il secondo profilo visualizzato a parte da sinistra presenta quindi due zone, una prossima alla parete, dove la velocità varia con la distanza , ed una zona caratterizzata ancora dalla velocità indisturbata . Si definisce spessore dello strato limite la distanza lungo la direzione tale che per 0.99
Esiste tutta una zona in prossimità del bordo della lastra piana, nel quale lo strato limite è di tipo laminare. Si può definire infatti un numero di Reynolds è valutato rispetto alla coordinata , In tutta la zona laminare il valore del numero di Reynolds si mantiene inferiore ad un valore critico, tipico dell’aerodinamica esterna e ovviamente diverso da quello del flusso in condotti chiusi. Man mano che aumenta, il numero di Reynolds cresce, ed il flusso diventa progressivamente di transizione e infine completamente turbolento, come mostrato in figura 11.3b. Nella figura 11.3a, si osserva invece come la modalità di crescita dello spessore di strato limite sia diversa a seconda che il flusso sia laminare, di transizione o turbolento. 150 11.2 Parametri dello strato limite Si consideri ancora il flusso su lastra piana di figura 11.3. Si vogliono in questo paragrafo riassumere alcuni semplici parametri quantitativi e di tipo globale dello strato limite, e evidenziarne il loro significato. Con riferimento alla figura 11.4a, si è già detto del parametro spessore di strato limite, individuato con la lettera . Esso rappresenta la distanza dalla parete solida dove una particella fluida è dotata di una velocità pari al 99% di quella del flusso indisturbato, detta . Infatti, a partire dalla superficie solida dove le particelle aderiscono alla parete ed hanno velocità nulla, la velocità aumenta all’aumentare di , fino allo spessore dello strato limite, rimanendo poi costante. U
U
∞
U
U
∞
U
∞
U
Aree Equal
uguali
areas
y
δ
Vtrtual
Wall
Parete virtuale
δ*
*
x
a)
b)
Figura 11.4. Strato limite su lastra piana; parametri quantitativi dello strato limite Un altro parametro fondamentale è lo spessore di spostamento dello strato limite. Per comprenderne inizialmente il significato fisico si consideri la figura 11.4b. A sinistra è riportato il corretto profilo di strato limite in una generica sezione di coordinata . Una prima osservazione importante è che la portata volumica associata a questo profilo è data dall’integrale dell’area sottesa dalla curva e dall’asse delle . Se si considera una profondità unitaria, si ha 151 d
d Si supponga ora di sostituire al corretto profilo di velocità, un altro caratterizzato dalla stessa portata , ma tipico di un flusso ideale (e quindi con velocità uniforme), come quello a destra nella figura 11.4b. Per fare ciò è necessario avere nei due casi la stessa area sottesa, e quindi anche le aree segnate in blu nei due profilo devono essere uguali. Al disotto della distanza il profilo equivalente ha pertanto una velocità nulla, come se la superficie della lastra piana fosse stata spostata della distanza . Da qui la definizione di spessore di spostamento dello strato limite. In termini matematici, la riduzione di portata rispetto a quella di un flusso ideale, rappresentata nei due profili dalle zone contrassegnate in blu, deve essere uguale. Se la lastra ha profondità pari a , si ha ∞
δ* bU ∞ = ∫ b (U ∞ − u)dy 0
Da cui lo spessore di spostamento dello strato limite ∞
⎛
u ⎞
⎟⎟ dy δ* = ∫ ⎜⎜ 1 −
U
∞
⎝
⎠
0
Oltre ai due precedenti, la definizione quantitativa dello strato limite richiede l’introduzione dello spessore di spostamento della quantità di moto. Il significato fisico di questo parametro può essere dedotto in maniera analoga a quanto fatto per lo spessore di spostamento dello strato limite. Si osservi infatti che la portata di quantità di moto attraverso la superficie perpendicolare alla piastra si può scrivere d
d Avendo posto anche in questo caso la lastra ha profondità . In analogia con il caso precedente, la riduzione di portata di quantità di moto che ogni profilo presenta rispetto ad un corrispondente profilo ideale, deve essere uguale. Definendo un parametro di spostamento virtuale della parete Θ, si deve avere 152 ∞
ρ b U ∞ Θ = ρρ ∫ u(U∞ − u ) dy 2
0
Da cui l’espressione del parametro Θ, che si definisce appunto spessore di spostamento della quantità di moto ∞
u
U∞
0
Θ=∫
⎛
u ⎞
⎜⎜ 1 −
⎟ dy U ∞ ⎟⎠
⎝
11.4 Lo strato limite turbolento e la Legge Logaritmica di parete. L’indagine precedente era rivolta a definire alcuni parametri globali dello strato limite. In questo paragrafo verrà data qualche informazione sulle caratteristiche locali della zona fluida che costituisce lo strato limite. Sperimentalmente si è visto che è possibile dividere lo strato limite turbolento in tre regioni prossime alla parete: •
Sottostrato viscoso (Wall layer). E’ immediatamente vicino alla parete, di ridotto spessore, e in esso prevale l’effetto dell’attrito viscoso (flusso laminare) •
Strato di sovrapposizione (Overlap layer). Contiguo al sottostrato viscoso, e nel quale l’effetto delle tensioni laminari e turbolente assume la stessa importanza •
Strato esterno (Outer layer). E’ il più distante dalla parete, il flusso è turbolento e prevale l’azione delle tensioni turbolente di Reynolds. Sottostrato viscoso L. Prandtl [F.M. White] dimostrò che nel sottostrato viscoso la velocità non dipende dallo spessore dello strato limite, ma segue una legge ricavabile mediante considerazioni dimensionali 153 ,
, ,
Il sottostrato viscoso è molto sottile, ed al suo interno gli sforzi tangenziali si possono considerare costanti senza commettere un grande errore, e di valore prossimo a quello di parete d
d
costante 0 ed un generico valore , e Separando le variabili ed integrando tra 0), si ha: imponendo la condizione di non‐scivolamento alla parete (
d
d
d
d
Da cui Introducendo una velocità di riferimento, detta velocità d’attrito si ricava la Legge di Parete, valida nel sottostrato viscoso: u y u*
=
υ
u*
(11.1) Le equazioni relative allo strato limite si studiano normalmente nel piano delle variabili di Von Karman, che definiscono una velocità adimensionalizzata ed una distanza adimensionalizzata u+ =
u
u*
y+ =
y u*
: υ
La (11.1), scritta mediante tali coordinate diventa u+ = y + (11.2) E’ importante osservare come tutti gli strati limite obbediscano a tale legge, che può essere considerata quindi una relazione generale. 154 10, La (11.2), valida nel sottostrato viscoso e dunque per valori di può essere riportata in un diagramma , in coordinate semilogaritmiche, dove non è rappresentata da una retta (figura 11.5). Strato esterno In seguito Von Karman dimostrò che nello strato esterno (outer layer) la velocità u è indipendente dalla viscosità molecolare μ, e si può esprimere con la seguente legge: (U − u) = g(δ,τw ,ρ) Elaborando la precedente l’espressione con l’aiuto dell’analisi dimensionale, si ottiene la cosiddetta legge di difetto di velocità (velocity defct law) ⎛U −u⎞
y
⎜⎜
⎟⎟ = G⎛⎜ ⎞⎟ ⎝δ⎠
⎝ uτ ⎠
Purtroppo tale relazione, valida nell’outer layer (
(11.3) 500), mostra che lo strato limite esterno non segue una legge generale come la (11.2), e dipende dallo spessore dello strato limite, che varia per le diverse situazione fluidodinamiche. Se si riporta la (11.3) nel diagramma di Von Karman, si avranno diverse curve. Regione intermedia All’interno dell’intervallo indicato come fully turbulent region nella figura 11.5, i due profili di velocità si devono sovrapporre. C.B. Mullikan (F.M. White) dimostrò che la sovrapposizione avviene solo se il profilo di velocità della zona intermedia (overlap layer) varia con la seguente legge logaritmica (log law of the wall): 155 u+ =
( )
u 1
= ln y + + B uτ κ
(11.4) I valori delle costanti k e B sono stati ricavati sperimentalmente e valgono approssimativamente k ≅ 0,41 e B ≅ 5,0 (pareti lisce). Anche la 11.4 è una legge valida per tutti gli strati limite, ed è quindi del tutto generale, dipendendo solo dal parametro B e quindi dalla rugosità della superficie solida considerata. L’equazione (11.4) è rappresentata da una retta nel diagramma di Von Karman, per valori di compresi tra 30 e 300. Può essere scritta anche nella diversa forma: u+ =
1
κ
(
)
ln E ⋅ y + La costante E della (11.5) è tale che B =
1
κ
(11.5) ln( E ) . Figura 11.5. Profilo normalizzato dello strato limite su parete liscia. 156