HALLIDAY - capitolo 2 quesito 7
All’istante t=0 un’auto azzurra, inizialmente ferma comincia ad
accelerare con modulo costante di 2,0 m/s2 nella direzione
dell’asse x partendo dal punto x=0. All’istante t=2s un’auto
rossa che viaggia in una corsia parallela nella stessa direzione
passa dal punto x=0 con velocità di 8,0 m/s e accelerazione di
3,0 m/s2. In quale istante di tempo l’auto rossa sorpassa quella
azzurra? A quale distanza dall’origine avviene il sorpasso?
x
0
1
2
Moto dell’auto azzurra: x1 (t)  a1 t
2
Moto dell’auto rossa:
(a1=2,0 m/s2)
1
x 2 (t)  v0 (t  t 0 )  a 2 (t - t 0 )2
2
(t0=2s, v0=8,0m/s, a2=3m/s2)
Il sorpasso si verifica nell’istante di tempo t in cui l’auto rossa
raggiunge l’auto azzurra, cioè in nell’istante t in cui x1(t)=x2(t):
1 2
1
x1 (t)  x 2 (t)  a1 t  v0 (t  t 0 )  a 2 (t  t 0 )2 
2
2
t 2 (a 2  a1 )  2t(v0  a 2 t 0 )  (a 2 t 02  2v0 t 0 )  0 
t 1/2
 (v 0  a 2 t 0 )  (v 0  a 2 t 0 )2  (a 2  a1 )(a 2 t 02  2v0 t 0 )

a 2  a1
le cui soluzioni sono t1= -6,9s (da scartare) e t2= 2,9s
La posizione in cui avviene il sorpasso si ottiene calcolando la
x1 (o la x2) nell’istante t ottenuto dalla equazione precedente:
1 2
x1 (t 2 )  a1 t 2  8,4m
2
Diagrammi orari dell’auto azzurra e dell’auto rossa
HALLIDAY - capitolo 2 problema 70
Un aereo, in un’esercitazione per eludere i radar, è in volo
orizzontale ad altezza h=35m dal suolo su un terreno piano
alla velocità di 1300 km/h. Improvvisamente, al tempo t=0
arriva in un luogo dove il terreno inizia a salire con angolo di
pendenza θ=4,3°, come indicato in figura. In che istante si
schianterebbe il pilota se non correggesse l’assetto
dell’aereo?
y
x
θ
h
0
Moto dell’aereo:
x(t)  vt
(v=1300km/h=361,1m/s)
Lo schianto avviene nell’istante di tempo in cui y=h,dove
y=xtgθ è l’altezza del terreno rispetto al livello iniziale
y  h  x tgθ  h  vt tgθ  h 
h
t
 1,29s
v tgθ
HALLIDAY - capitolo 2 problema 9
Avete viaggiato sulla statale 10 da Torino a Mantova per metà
del tempo a 55 km/h e per il tempo restante a 90 km/h. Al
ritorno percorrete metà della distanza a 55 km/h ed il resto a 90
km/h. Qual è la vostra velocità scalare media all’andata, al
ritorno e per l’intero percorso?
TO
andata
MN
x
x=D
0
MN
ritorno
TO
x
0
x=D
PERCORSO DI ANDATA
Indichiamo con TA il tempo complessivo impiegato per percorrere
il tratto TO-MN all’andata. Sappiamo che per un tempo TA/2 l’auto
si muoverà con velocità v1=55 km/h e per un tempo TA/2 con
velocità v2 = 90 km/h
Equazioni del moto di andata:
• per t<TA/2: x = v1t
• in t=TA/2: x = v1TA/2
• per TA/2<t<TA: x = v1TA/2 + v2(t - TA/2)
• in t=TA: x = v1TA/2 + v2TA/2 ≡ D
• velocità media: vA=D/TA = (v1+v2)/2 = 72,5 km/h
PERCORSO DI RITORNO
Indichiamo con TR il tempo complessivo impiegato per percorrere
il tratto MN-TO al ritorno. Sappiamo che per un tratto di lunghezza
D/2 corrispondente ad un tempo T1 l’auto si muoverà con velocità
v1=55 km/h e per un secondo tratto di lunghezza D/2
corrispondente ad un tempo T2 con velocità v2 = 90 km/h
Equazioni del moto di ritorno:
• per t<T1: x = v1t
• in t=T1: x = v1T1=D/2 da cui T1=D/(2v1)
• per T1< t < TR(=T1+T2): x = D/2 + v2(t - T1)
• in t=TR=T1+T2: x = D/2 + v2T2 ≡ D da cui T2 = D/(2v2)
• velocità media: vR=D/TR = D/(T1+T2) = 2v1v2/(v1+v2)=68,3km/h
ANDATA + RITORNO
La velocità scalare media nell’intero percorso è: v=2D/(TA+TR)
Dalle equazioni del moto di andata:
TA=D/vA=2D/(v1+v2)
Dalle equazioni del moto di ritorno:
TR=D/vR=D(v1+v2)/(2v1v2)
e dunque:
2D
D(v1  v 2 )
TA  TR 


v1  v 2
2v 1v 2
2D
v

TA  TR
1
1
v1  v 2

v1  v 2
4v 1v 2
 70,3km/h
HALLIDAY - capitolo 2 problema 29
All’uscita da una curva il macchinista di un treno che viaggia alla
velocità di 161 km/h si accorge che una locomotiva è entrata
erroneamente nel binario da una diramazione posta a distanza
D=0,676 km più avanti. La locomotiva va alla velocità di 29,0
km/h. Il macchinista aziona immediatamente la frenatura rapida.
Quale deve essere il valore assoluto minimo dell’accelerazione
costante impressa dal freno per evitare una collisione? Poniamo
che il macchinista si trovi nella posizione x=0 quando al tempo
t=0 avvista la locomotiva. Tracciate le curve x(t) indicative per la
locomotiva e il treno per l’ipotesi che si eviti di misura la
collisione.
Moto della locomotiva:
xL (t)  D  v Lt
(D=676m vL=29,0km/h=8,06m/s)
1 2 (v0T=161km/h=44,7m/s)
Moto del treno: xT (t)  v0T t  at
2
a = incognita
vT (t)  v0T  at
• Per evitare la collisione il treno non deve mai raggiungere la
locomotiva, cioè deve essere xT(t) ≤ xL(t) per ogni istante di
tempo
• La condizione limite è quella per cui il treno (la cui velocità
sta diminuendo) raggiunge la locomotiva e, nell’istante in cui
ciò accade, treno e locomotiva abbiano la stessa velocità.
Calcoliamo l’istante t1 in cui il treno ha la stessa velocità della
locomotiva:
vT (t 1 )  v L  v0T
v0T  v L
 at 1  v L  t 1 
a
Imponiamo quindi la condizione xT(t1)=xL(t1):
1 2
v0T t 1  at 1  D  v L t 1 
2
v0T  v L 1 (v 0T  v L )2
v0T  v L
v0T
 a
 D  vL

2
a
2
a
a
(v 0T  v L )2 1 (v 0T  v L )2

 D
a
2
a
(v 0T  v L )2
2
a
 0,993m/s
2D
Locomotiva
Treno
Nella situazione limite
le due curve xT(t) e
xL(t) sono fra loro
tangenti nell’istante di
tempo in cui treno e
locomotiva si sfiorano
HALLIDAY - capitolo 2 problema 41
Dall’ugello di una doccia sgocciola l’acqua cadendo sul fondo
posto 200 cm più in basso. Le gocce cadono a intervalli di tempo
regolari. La quarta goccia si stacca nell’istante in cui la prima
arriva al suolo. Trovare le posizioni della seconda e della terza in
questo stesso istante.
x
h
doccia
x
(h=2,00m)
0
suolo
Indichiamo con T l’intervallo di tempo (incognito) che trascorre
tra la caduta di una goccia e la caduta della goccia
successiva. Assumiamo inoltre che la prima goccia cada
all’istante t=0.
Prima goccia:
1 2
x1 (t)  h  gt
2
Seconda goccia:
1
x 2 (t)  h  g(t - T)2
2
Terza goccia:
1
x 3 (t)  h  g(t - 2T)2
2
La prima goccia tocca il suolo nell’istante in cui cade la quarta
goccia, cioè nell’istante t=3T. Il problema chiede di determinare
le posizioni x2 e x3 al tempo t=3T.
Determiniamo T imponendo che x1(3T)=0:
1
x1 (3T)  0  h  g(3T)2  0 
2
2h
2
2h  9gT  T 
9g
Le posizioni delle gocce 2 e 3 all’istante t=3T sono:
1
x 2 (3T)  h  g(3T  T)2  h  2gT 2 
2
2h 5
h  2g
 h  1,11m
9g 9
1
1
2
x 3 (3T)  h  g(3T  2T)  h  gT 2 
2
2
1 2h 8
h g
 h  1,78m
2 9g 9
HALLIDAY - capitolo 2 problema 51
Dalla cima di un edificio si lancia verticalmente verso l’alto una
pietra. Essa raggiunge la massima altezza 1,60s dopo il lancio e
ricade in strada, dove giunge 6,00s dopo il lancio. Determinare la
velocità di partenza della pietra, l’altezza massima raggiunta
sopra l’edificio e l’altezza dell’edificio.
x
t= t1=1,60s
altezza massima
altezza dell’edificio
h
t=0
0
suolo
t= t2=6,00s
t
1 2
x(t)  h  v0 t  gt
2
Equazioni del moto:
v(t)  v0  gt
Incognite: h, v0
Nel punto di altezza massima v=0:
v(t 1 )  0  v0  gt 1  0  v0  gt 1  15,7m/s
h si trova imponendo che il corpo tocchi il suolo nell’istante t2:
1 2
x(t 2 )  0  h  v0 t 2  gt 2  0 
2
1
h  gt 22  gt 1 t 2  82,3m
2
L’altezza massima si trova calcolando x(t1):
x(t 1 )  h  v0 t 1 
x(t 1 ) 
1 2 1 2
1
gt 1  gt 2  gt 1 t 2  gt 12  gt 12 
2
2
2
1
g(t 2  t 1 )2  94,9m
2
HALLIDAY - capitolo 2 problema 63
Per arrestare un’automobile, passa prima di tutto un certo
tempo di reazione per dare inizio alla frenata, poi il tempo di
rallentamento ad accelerazione costante fino all’arresto.
Supponiamo che la distanza percorsa durante le due fasi sia di
56,7m per una velocità iniziale di 80,5 km/h e 24,4m per una
velocità iniziale di 48,3 km/h. Quali sono il tempo di reazione del
pilota ed il modulo della accelerazione?
Moto rettilineo
uniforme tra t=0 e t=tR
0
xR
Moto uniformemente ritardato
tra t=tR e l’istante di arresto
x
x
v0 t
t  tR
Legge oraria

dell’automobile: x(t)  
1
v0 t R  v0 (t  t R )  a(t  t R )2 t  t
R
2

t  tR
v0

v(t)  
v  a(t  t ) t  t
R
R
 0
Calcoliamo l’istante t1in cui la vettura si arresta (v(t1)=0)
v0
v(t 1 )  0  v0  a(t 1  t R )  0  t 1  t R 
a
La distanza totale percorsa dall’auto è x(t1):
2
0
2
2
0
v0 1 v
v
x  x(t 1 )  v0 t R  v0
 a
 v0 t R 
a 2 a
2a
Sappiamo che se l’auto ha una velocità iniziale v01=80,5 km/h =22,4 m/s
essa percorre una distanza x1=56,7m, mentre se ha una velocità iniziale
v02=48,3 km/h=13,4 m/s, essa percorre una distanza x2=24,4m. In simboli:
2
v 01
x1


v 01
 t R  v  2a
 x1  v01 t R 
2a


01


2
 x  v t  v 02
t  x 2  v 02
R
2
02 R


v 02
2a
2a


Mettendo a confronto i secondi membri delle due equazioni:
v01  v02 x1 x 2
v01  v02


a 
 6,33m/s 2
2a
v01 v02
 x1 x 2 

2

 v01 v02 
Infine, sostituendo il valore di a in una delle due espressioni per tR:
x1 v01
tR 

 0,762s
v01 2a