ANALISI INPUT-OUTPUT
di Tabotu Teuldebrhan
Cenni storici
Si deve all’economista di origine russa Wassily Leontief l’elaborazione degli schemi contabili e analitici che
costituiscono gli elementi della moderna analisi Input-Output.A partire dal pionieristico lavoro di Leontief,
La struttura dell’economia americana: 1919-29, in cui vengono presentate due tavole delle transazioni a 10
settori produttivi per l’economia statunitense, l’interesse per l’elaborazione statistica dei flussi intersettoriali è
andata sempre più diffondendosi. Per esigenze di ordine statistico ciò viene fatto abitualmente solo nella forma
della tavola delle transazioni, mentre mancano in genere, ad eccezione delle esperienze sovietiche, rilevazioni
dirette della tavola di flussi fisici.La prima tavola Input-Output (I-O) delle transazioni per l’economia italiana
é relativa al 1950 e fu costruita dalla Mutual Security Agency, successivamente rielaborata ed aggiornata
dall’ISCO 1953, 1959-1975 l’ISTAT ha costruito tavole delle transazioni a 77 settori produttivi e infine dal
1970 con l’elaborazione del SEC, la tavola delle transazioni é entrata a far parte integrante della contabilità
nazionale per tutti i paesi dell’UE.
Col passare degli anni la sua struttura teorica è stata raffinata e la sua applicazione pratica si è estesa.
Attualmente viene utilizzata pesantemente nelle applicazioni di politiche economiche e sociali, un numero
vasto di campi compreso quello della contabilità nazionale, economia regionale, economia ambientale,
commercio e trasporto, nello studio dei cambiamenti tecnologici e occupazione, crescita e sviluppo
economico.
Modello di Leontief
L’interdipendenza strutturale di un sistema economico può essere rilevato e valutato per mezzo di una
particolare tecnica di indagine economica, detta analisi delle interdipendenze strutturali o con espressione
inglese input-output analysis.L’elemento centrale dell’analisi input-output è costituito dalla tavola
intersettoriale dei flussi fisici.L’economia nazionale è immaginata come un insieme di unità produttive.
Ciascuna di queste unità realizza un duplice ordine di transazione da un lato come acquirente, dalle altre unità,
di beni e servizi che impiega come immissioni nella propria attività produttiva; dall’altro come venditore del
suo prodotto. In un arco di tempo, per esempio un anno, tra le diverse unità in cui è articolata l’economia si
svolge un complesso di transazione che è determinato dalle esigenze di impiego finale e dalle caratteristiche
tecnologiche del sistema economico.
E’ possibile esprimere i flussi intersettoriali anche in termini monetari. A tale fine è sufficiente esprimere i
flussi di merce, anziché in termini fisici mediante il loro valore, ossia moltiplicando le quantità per il
corrispondente prezzo.Si può organizzare una tavola (matrice) a doppia entrata dove: per riga figurano le unità
in qualità di venditori (output) e per colonna le stesse unità figurano in qualità di acquirenti (input)
Tavola Input-output
1
1
.....
H
.....
n
y
x11
x1h
x1n
y1
xh1
xhh
xhn
yh
xn1
xnh
xnn
yn
X1
Xh
Xn
...
h
...
n
Scorrendo una riga, si legge il valore dei beni che un settore ha ceduto a ciascuno degli altri e che ha reso
disponibile per il settore finale.Scorrendo una colonna, si leggono il valore delle merci che il particolare
settore ha acquistato dagli altri ed il valore della produzione realizzata.Normalmente il valore della produzione
e superiore al costo sostenuto e la differenza tra queste due grandezze mi misura il valore aggiunto (profitto).
In termini analitici:
xih = Consumi (input) di beni prodotti da i e sulla produzione di h;
xh = Valore della produzione complessiva (fatturato)
n
VA h = xh - ∑ xih
i=1
alternativamente
n
Yh = xh - ∑ xhi
i=1
Dato che ∑∑xhi=∑∑xhi si ha anche
h i
i h
∑ Yh =∑ VA h = VA = PIL
h
h
Questa uguaglianza indica l’identità che esiste tra prodotto nazionale al netto dei reimpieghi e il valore
aggiunto complessivo o PIL.
Gli elementi alle prime n righe e colonne misurano i flussi di beni e servizi richiesti per la realizzazione
dell’output finale, quindi l’entità degli impieghi nei diversi settori dell’economia dipenderà dai particolari
livelli di produzione realizzati, inoltre all’interno di ciascun settore la struttura di tali impieghi dipenderà dalla
particolare tecnica produttiva adottata.Per avere un’indicazione della struttura intersettoriale degli impieghi
depurata dagli effetti dovuto ai particolari livelli di produzione si possono rapportare gli impieghi settoriali alla
quantità realizzata dello specifico prodotto, xij/ Xi = aij , che costituiscono i cosiddetti coefficienti tecnici, ossia
la ricetta di composizione dei mezzi di produzione .Il modello di Leontief in termini di coefficienti tecnici, la
somma per righe nella tavola dei flussi di quantità (qi) o in termini di valori (qi *pi) che qui viene indicato con
un termine generico xi può essere espresso per mezzo di un sistema di equazioni lineari e omogenee:
a11 x1 + a12 x2 + …… + a1h xh + …………..a1n xn + y1= X1.
a21 x1 + a22 x2 + …… + a2h xh + …………..a2n xn + y2= X2.
an1 x1 + an2 x2 + …… + anh xh + …………..ann xn + yn= Xn.
(1)
In generale: ∑ aij xij + yi = Xi
Considerando i coefficienti tecnici costanti su un certo arco di temporale e la domanda finale determinata
esogenamente rispetto al processo tecnico, le incognite sono le Xi . La soluzione della (1) per l’incognita Xi in
funzione di y1:
Xi = ai1 y1 + ai2 y1 + …… + aih yh + …………..ain yn + yn
con (i = 1,2,…………,n)
Gli aij indicano i requisiti complessivi di produzione dei diversi beni necessari per rendere disponibile per gli
impieghi finali un’unità del bene hesimo.
Possiamo costruire la matrice dei requisiti:
a11
a12
..
..
..
a1n
a21
a22
..
..
..
a2n
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
an1
an2
..
..
..
ann
In generale: (I-A)-1
La matrice dei requisiti è legata alla matrice dei coefficienti tecnici, che la possiamo ricavare dal sistema di
equazioni (1):
In generale:
(1-a11)
-a12
..
..
-a1n
-a21
(1-a22)
..
..
-a2n
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
-an1
-an2
..
..
(1-ann)
(I-A) con i matrice identità e A matrice dei coefficienti tecnici.
Dal punto di vista matematico la matrice dei requisiti è l’inversa della matrice dei coefficienti.
Leontief costruisce la tavola I-O sotto le seguenti ipotesi:
1. ogni settore produce un solo bene;
2. in ciascuna settore gli input sono funzione lineare dell’output.
Inoltre secondo Leontief processo di produzione può essere descritto in termine di tre gruppi di coefficienti
tecnici:
i
“coefficienti di costo” il rapporto del costi dei beni h e k che partecipano nella produzione del bene j
(la notazione più familiare ahj/akj)
ii
“coefficiente di produttività” cioè la quantità totale prodotta dal bene j in rapporto alla quantità totale
usata dell’i-mo input (con l’annotazione familiare 1/aij );
iii
“coefficiente di distribuzione” la proporzione del prodotto finale (output) assegnato ad un particolare
punto dello schema dei flussi circolari; tale punto può rappresentare un gruppo particolare di percettori di
reddito.
Modello I-O chiuso
Quando tutte le vendite e gli acquisti sono presi come endogeni ad un sistema economico, il sistema inputoutput è chiamato chiuso. In questo caso la domanda finale è trattata come un’industria ordinaria, la colonna
che associata con essa rappresenta l’input che riceve dalle varie industrie, e la corrispondente riga, dato il
valori aggiunti delle diverse industrie è assunto come rappresentante dell’output destinato alle stesse industrie.
Il sistema dei prezzi è duplice al sistema delle quantità fisiche con il modello input-output chiuso avremo
pt = pt A
pt(I-A) = 0t
con p= prezzo, A= matrice dei coefficienti tecnici, t = tempo
Modello I-O aperto
Nella seconda edizione del “The Structure of the American Economy” (1951), Leontief elabora il modello
input-output aperto dove tratta gli aspetti della tecnologia e la domanda finale separatamente.Ora la matrice
degli input rappresenta esclusivamente la matrice dei coefficienti inter-industriali; il vettore della domanda
finale è preso come dato fuori dal sistema. La matrice dei coefficienti input è usata per la determinazione
dell’output lordo settoriale, così pure le transazioni intersettoriali che permettono al sistema di soddisfare la
domanda finale.
Per la determinazione del prezzo nel modello aperto, Leontief propone un sistema di equazioni in termine di
prezzi. Il prezzo di ogni settore produttivo per unità di output è uguale al totale delle spese contratte nel corso
della produzione. Queste spese comprendono l’acquisto degli inputs, da loro stessi o da altri settori produttivi,
più un dato valore aggiunto. Assumendo un’economia senza il settore pubblico, il valore aggiunto rappresenta
la remunerazione dei fattori produttivi: salari, affitti, interessi e profitti. Il sistema dei prezzi che è duplice al
sistema delle quantità fisiche nel modello aperto di input-output è dato da:
pt(I-A)=vt
dove p è un vettore prezzi e v è vettore (n)di valori aggiunti per unità di output. Risolvendo per p
pt=vt (I-A)-1
(I-A) ammette una sola soluzione, è singolare avendo norma positiva e minore dell’unità, è invertibile,
quindisi ha (I-A)-1 la matrice inversa di Leontief.Il problema principale con questo approccio è che le
grandezze del valore aggiunto per unità di output nei differenti settori non può essere determinato a priori ed
indipendentemente dal sistema dei prezzi.
Modello di Leontief dinamico
Leontief nel 1970 presenta una versione del modello input-output dinamico con serie temporale discreta. Non
considera il progresso tecnico, il modello è dato da:
qt = ft+Aqt+B(qt+1-qt)
(1)
dove
A è la matrice quadrata dei coefficienti di capitale, che specifica flussi di input del capitale circolante per unità
di output; B è la matrice di scorte, dotazione di capitale permanente necessario all’inizio del periodo per unità
di output; ft è un vettore che rappresenta l’impiego di beni e servizi durante il periodo t; Aqt impiego del
capitale circolante e B(qt+1-qt) dotazione di capitale permanente la loro somma da qt output lordo prodotto
durante il periodo t
Il modello si basa su tre ipotesi restrittive:
1) tecnologia data
2) piena capacità produttiva
3) libera circolazione del capitale fisso a costo zero nei diversi settori della produzione
Questo ipotesi restrittive creano le seguenti concettuali problemi
Instabilità : un gran numero di studi forniscono condizioni di stabilità per il modello quantitativo in relazione
al eigenvalues della matrice che descrive la tecnologia. Dato che la relazione tra la grandezza dei coefficienti
di capitale e la lunghezza del periodo di produzione e inversa.
Indeterminatezza casuale: le scorte a disposizione alla fine del periodo sono date dalla differenza delle scorte
iniziali più investimenti netti che sono ottenuto quando i consumi correnti sono stati detratti dal output lordo
kt+1 =
Bqt+1 =
qt Aqt ft Bqt
Scorte
investimenti
netti
scorte iniziali
(2)
finali
Leontief non fa nessuna ipotesi sugli investimenti. Non esiste un programma attivo di investimenti in relazione
alla domanda attesa. Gli investimenti sono presi come il rimanente alla fine del periodo considerato dopo che i
consumi finali e intermedi sono stati dedotti. Questo crea problemi anche sulla: Singolarità e la possibilità di
soluzioni negative. Dato che non c’è nessuna scelta tecnologica e i capitali sono ritenuti trasferibili, le scorte
disponibili sono impiegate nel processo di produzione, del periodo t, in modo tale che la capacità produttiva
totale sia garantita, implica kt+1 = Bqt+1. Di conseguenza il prodotto lordo per il periodo t+1 non è
determinato dalla domanda attesa, bensì dall’utilizzazione totale delle scorte del periodo precedente. Quindi il
prodotto lordo del periodo t e calcolato dalla seguente relazione:
qt = B-1kt
(3)
La soluzione per il modello con ritardo anticipato (forward-lag model”) è necessario la matrice inversa dei
coefficienti del capitale fisso.
Un modo per evitare l’indeterminatezza e quello di rinunciare all’ipotesi di piena capacità produttiva e
introdurre investimenti programmati. Sostituendo nell’equazione principale la produzione del periodo t+1,
dell’output anticipato qt+1, formulando l’ipotesi sui cambiamento degli output attesi rimangano identici al
periodo precedente, questo significa qt+1 - qt = qt- qt-1, quindi il modello con ritardo posticipato (backward lag
model) sarà
qt =ft + Aq3t + B(qt-qt+1)
Il processo dinamico consente di determinare le traiettorie descritte nel tempo dalle produzioni settoriali in
funzione della dinamica del consumo dei diversi beni e delle condizioni iniziali del sistema economico preso
in esame.
Modello I-O esteso
Nello standard modello aperta di Leontief, sopra descritto, sono tratti come esogeni oltre che l’offerta di
risorse primarie anche la domanda finale, così il moltiplicatore di Leontief non rileva gli effetti generati dal
consumo e dal reddito. Il modello esteso di I-O combina il moltiplicatore di Leontief e le relazioni funzionali
tra produzione, reddito e consumo. Il modello esteso è generalmente riferito alla SAM (Social Account
Matrix).
Il primo esempio di SAM è quello di Quesnay Tableau Economique; la moderna concezione del SAM
applicata alla Contabilità Nazionale (CN) è quello di Richard Stone 1951, che fu accettata ed inserita nella
guida dell’Ufficio Statistico delle Nazioni Unite. SAM si prefigge la rilevazione delle relazioni esistenti tra
unità produttive e le istituzioni di spesa e risparmio. Il SAM può essere considerato come la base per i
successivi sviluppi della Contabilità Nazionale
La CN si propone la descrizione-registrazione, in forma sintetica, in termini di valore ed alla luce di una teoria
macroeconomica, dell’attività che si svolge in un sistema economico; mentre la tavola input-output,
disaggregando il settore produttivo, studia le varie relazioni tra unità produttive.
La tavola I-O nella contabilità nazionale
Dal punto di vista della contabilità nazionale, l’intero sistema è considerato come un’unica grande impresa,
della quale interessano i risultati economici finali (la determinazione del PIL), indipendentemente da quelli dei
singoli reparti che producono beni o servizi intermedi; il valore di questi ultimi, risulta incorporato nel valore
dei beni e servizi finali, e per evitare duplicazioni, non viene considerato.Ciò non toglie che le molteplici
relazioni che legano i vari settori produttivi abbiano in sé un notevole interesse, per la conoscenza della
struttura e del funzionamento del sistema economico. Lo studio di queste relazioni è oggetto dell’analisi della
tavola economica intersettoriale, (I-O). Nella tavola I-O, si considera il sistema economico suddiviso in
branche di produzione omogenea. Ogni branca acquista dall’interno o dall’estero, beni e servizi intermedi e
fattori produttivi e vende i propri prodotti finali per investimenti, consumi delle famiglie e consumi collettivi o
all’estero.
Matrice dei flussi, Sfera della produzione e branche: struttura della Tavola I-O
Uscite →
Totale degli
Branche di
destinazione
Entrate ↓
Branca
1
Branca
Branca
n
Impieghi
intermedi di ogni
prodotto
Consu
mi
Investim
enti
Variaz.
Delle
scorte
j
Branch
e di
origine
Branca 1
Branca i
Branca n
Tot
impie
Impieghi finali
Espor-
ghi
finali
Risors
disponibi
li
tazioni
X11
X1j
X1n
C1
If1
IS1
E1
Xi1
Xij
Xin
Ci
Ifi
ISi1
Ei
Xn1
Xnj
Xnn
Cn
Ifn
ISn
En
Zi
Zi
Xi
Tot dei costi intermedi
di ogni branca
Impiegh
i
Valore
primari
aggiunto
–
risorse
primari
e
X.1
X.2
X.n
Vaj
Imposte
(IT-SU)j
Import.
Mj
Trasferim
enti
Totale
risorse
Xj
La tavola I-O si compone di tre parti:
1)
Tavola degli impieghi intermedi(TII) o Matrice dei flussi inter-industriali
La prima parte della tavola riveste il maggior interesse in quanto descrive tutti i flussi intermedi, tra le
varie branche di produzione, prima che il prodotto finale sia disponibile per il mercato dei consumi o
per quello degli investimenti. Si presenta come una matrice quadrata in cui ad ogni riga ed ad ogni
colonna corrisponde una branca di produzione omogenea; si registrano nel senso delle colonne i flussi
di beni e sevizi che ciascun settore riceve (acquista) da tutti gli altri, mentre nel senso delle righe sono
registrati i flussi che ciascun settore fornisce (vende) a tutti gli altri.
2)
Tavola o matrice degli impieghi finali.
La seconda riporta una disaggregazione delle componenti della domanda finale (consumi, investimenti
fissi lordi, variazioni delle scorte ed esportazioni). Sono riportati i beni e servizi che dalle branche di
origine affluiscono alla domanda finale. Anche questa è una tabella a doppia entrata, nella quale per
riga abbiamo ancora le branche e per colonna si trovano gli impieghi finali dei prodotti.
3)
Tavola o matrice degli impieghi primari e delle risorse.
La terza riporta il valore aggiunto e le sue componenti (retribuzioni, oneri sociali, altri redditi ed
ammortamenti), le imposte, la produzione, le importazioni ed il totale delle risorse delle branche
produttive. Anche qui per riga troviamo i costi e le risorse (input primari – le remunerazioni dei fattori
produttivi) e per colonna troviamo le branche
La lettura della tavola nel senso delle colonne mostra il processo di formazione delle risorse e la struttura dei
costi di produzione delle singole branche produttive
La lettura per riga fornisce la distribuzione degli impieghi e delle risorse dell’economia di un paese.
La I-O mettendo in luce le relazioni di interdipendenza esistente tra le branche produttive e i vettori della
domanda finale, nonché tra questo e il resto del mondo può permettere di valutare l’impatto delle misure di
politica economica sulla produzione, sul valore aggiunto e sui livelli di occupazione e sulla dinamica dei
prezzi. Inoltre la tavola consente ai vari operatori economici di comparare la struttura dei costi dei loro
prodotti con quella media della branca produttiva nella quale essi sono classificati e le corrispettive quote di
penetrazione nei mercati.
Maggiore è il dettaglio con cui è costruita la tavola e maggiore è la possibilità di conoscere e descrivere le
relazioni esistenti all’interno di un sistema economico. Tale dettaglio, però, si scontra con l’eccessiva quantità
di informazioni da analizzare e che complica l’analisi dei flussi consideratine loro insieme. Per favorire
l’interpretazione delle relazioni esistenti, tra le branche di produzione operanti in un determinato sistema
economico sono state proposte analisi grafiche della struttura della matrice intersettoriale.
Bibliografia
Corrado C. Abbate e Giuseppe Bove, (1993), Modelli multidimensionali per l’analisi input-output. Quaderno
di Ricerca. (ISTAT).
Enciclopedia dell’economia garzantina (1997) Garzanti Editori S.p.A.
Guido Ferrari, (1990), Introduzione ai Sistemi di Contabilità Nazionale, ed Centro 2P Stampa.
Heinz D. Kurz, Erik Dietzenbacher, Christian Lager, (1998), Input-output analysis- Volume I, II, III , edizione
MPG Books Ltd., Bodmin, Corn Wall.
ISTAT – (1983), Tavola Intersettoriale dell’economia Italiana per l’anno 1978, supplemento al bollettino
mensile di statistica.
Marco Dardi. Appunti lezione ,(1998)
Onorato Castellino, (1991), Introduzione alla Contabilità Nazionale, C. Giappichelli Editore.