POLITECNICO DI BARI
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE
TOPOGRAFIA E TECNICHE DI
RILEVAMENTO
FRANCESCO MANCINI
([email protected])
NOTA: la dispensa intende illustrare le potenzialità delle misure topografiche tradizionali e
GPS nella risoluzione di alcuni problemi tipici del rilevamento applicato all’ingegneria. In
particolare la dispensa è finalizzata alla descrizione del trattamento dei dati senza scendere
nel dettaglio della strumentazione utilizzata. Questo per dare allo studente la capacità di
interpretare i risultati di un’operazione di rilievo (controllo, collaudo o monitoraggio) in
termini di accuratezza dei dati, dei risultati e di affidabilità complessiva del lavoro svolto.
VERSIONE 1.3 DEL 10/01/2013
i
Sommario
RICHIAMI UTILI AI FINI DEL CORSO ......................................................................................................... 1
Definizioni generali ....................................................................................................................................... 1
L’espressione di distanze ed angoli ............................................................................................................... 3
CENNI SULLA TEORIA DEGLI ERRORI ................................................................................................................... 6
Il concetto di probabilità ............................................................................................................................... 8
Distribuzione di Gauss per variabili monodimensionali ............................................................................... 9
Stima dei parametri caratteristici di una variabile aleatoria ...................................................................... 10
Distribuzione di Gauss per variabili bidimensionali ................................................................................... 14
Propagazione degli errori ........................................................................................................................... 16
Test di significatività: il test 2 .................................................................................................................... 17
IL METODO DELLE OSSERVAZIONI INDIRETTE .................................................................................. 20
CRITERIO DEI MINIMI QUADRATI ...................................................................................................................... 21
PRECISIONE DEI RISULTATI OTTENUTI ............................................................................................................... 23
Stima a posteriori della varianza dell’unità di peso σ02 .............................................................................. 24
Equazioni alle osservazioni non lineari ...................................................................................................... 24
LE OSSERVABILI IN TOPOGRAFIA ............................................................................................................ 26
LE SUPERFICI DI RIFERIMENTO NELLE SCIENZE GEODETICO-TOPOGRAFICHE ..................................................... 26
Coordinate curvilinee sull'ellissoide e cartesiane tridimensionali .............................................................. 33
Soluzioni approssimate per le superfici di riferimento ................................................................................ 36
LE MISURE TOPOGRAFICHE TRADIZIONALI: DISTANZE, ANGOLI E DISLIVELLI .................................................... 37
Misura degli angoli ..................................................................................................................................... 37
Misura di distanze ....................................................................................................................................... 39
Misure dei dislivelli ..................................................................................................................................... 44
I METODI DI RILEVAMENTO TRADIZIONALI........................................................................................ 46
RILIEVO PLANIMETRICO CON MISURA DI ANGOLI E DISTANZE ........................................................................... 46
Misura delle direzioni uscenti da un punto ................................................................................................. 46
Metodi di riattacco e raffittimento ............................................................................................................... 47
Utilizzo delle osservazioni indirette nei metodi di riattacco ....................................................................... 51
Utilizzo delle osservazioni indirette nelle misure di distanza ...................................................................... 60
Utilizzo delle osservazioni indirette nelle misure di angoli e distanze ........................................................ 65
RILIEVO ALTIMETRICO ...................................................................................................................................... 69
Livellazione geometrica dal mezzo .............................................................................................................. 69
Utilizzo delle osservazioni indirette nelle reti altimetriche ......................................................................... 74
STIMA A PRIORI DELLA MATRICE DI VARIANZA COVARIANZA ........................................................................... 78
Progettazione di reti planimetriche ............................................................................................................. 78
VALUTAZIONE DELLA VARIANZA E COVARIANZA CON MISURE STRETTAMENTE NECESSARIE ........................... 81
INSERIMENTO DELLE MISURE PLANO-ALTIMETRICHE IN UN SISTEMA DI RIFERIMENTO: MINIMI VINCOLI E VINCOLI
SOVRABBONDANTI ............................................................................................................................................ 84
MISURE PER IL CONTROLLO DEI MOVIMENTI E DELLE DEFORMAZIONI................................. 86
MOVIMENTI DEL SUOLO .................................................................................................................................... 87
MOVIMENTI O DEFORMAZIONI DI STRUTTURE ................................................................................................... 90
Collaudo di una trave appoggiata ............................................................................................................... 90
Collaudo di ponti e viadotti ......................................................................................................................... 91
Altri collaudi................................................................................................................................................ 93
Controlli in corso d’opera ........................................................................................................................... 95
Controllo di stabilità di edifici pregevoli .................................................................................................... 95
Controllo di muri di sostegno e di versanti interessati da gallerie ............................................................. 96
ii
Utilizzo di sensori a fibra ottica (FOS) ....................................................................................................... 98
I METODI DI RILIEVO TRAMITE GPS (GLOBAL POSITIONING SYSTEM) ..................................... 99
Il segmento spaziale .................................................................................................................................... 99
Il Segmento di Controllo............................................................................................................................ 101
Il Segmento di Utilizzo............................................................................................................................... 102
IL SEGNALE GPS ............................................................................................................................................. 103
La modulazione del segnale GPS con i codici C/A e P ............................................................................. 104
OSSERVABILI GPS: CODICI E FASI .................................................................................................................. 107
IL POSIZIONAMENTO ASSOLUTO ..................................................................................................................... 108
Posizionamento assoluto con misura dei codici ........................................................................................ 108
Posizionamento assoluto con misura delle fasi ......................................................................................... 112
ERRORI NEL POSIZIONAMENTO GPS................................................................................................................ 115
IL POSIZIONAMENTO DIFFERENZIALE (DGPS) ................................................................................................ 119
DGPS con utilizzo dei codici ..................................................................................................................... 119
DGPS con utilizzo delle fasi ...................................................................................................................... 122
Reti per la gestione delle correzioni differenziali (Network RTK) ............................................................ 123
IL POSIZIONAMENTO RELATIVO ...................................................................................................................... 126
Posizionamento relativo con utilizzo delle fasi.......................................................................................... 127
Posizionamento relativo statico con l'uso delle fasi .................................................................................. 129
Posizionamento relativo cinematico con l'uso delle fasi ........................................................................... 132
Trattamento dei dati GPS: calcolo dei vettori baseline............................................................................. 136
Compensazione delle reti GPS con il metodo dei minimi quadrati ........................................................... 140
ELEMENTI UTILI ALLA PROGETTAZIONE DELLE MISURE GPS .......................................................................... 142
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NEL GPS ............................................................................................................. 144
Trasformazione tra coordinate e sistemi di riferimento ............................................................................ 146
MISURE ALTIMETRICHE CON IL GPS ............................................................................................................... 147
RETI DI STAZIONI GPS PERMANENTI ............................................................................................................... 149
MONITORAGGIO STRUTTURALE CON TECNICA GPS RELATIVA ........................................................................ 152
Funzionamento del sistema ....................................................................................................................... 154
Testi Utili
Cina A. 2002. Trattamento delle misure topografiche, teoria ed esercizi. Celid, Torino.
Cina A. 2000. GPS. Celid, Torino.
Bezoari G., Monti C., Selvini A. 2002. Topografia generale con elementi di geodesia. UTET, Torino,
pp. 445.
Richiami utili ai fini del corso
1
Richiami utili ai fini del corso
Definizioni generali
Esistono diverse discipline che si occupano di problemi connessi con la determinazione e
rappresentazione del mondo reale, delle sue caratteristiche naturali ed antropiche e dei
fenomeni che hanno luogo sul territorio. Tra queste, ai fini del presente corso, occorre
introdurre la topografia, la geodesia e la cartografia.
La Topografia può considerarsi come l'insieme delle procedure teoriche ed operative
finalizzate al rilievo (rilevamento) di aree di limitata estensione e degli oggetti, naturali
ed antropici, inclusi. In particolare il termine rilevamento presuppone la determinazione
delle posizioni relative ed assolute di punti rappresentativi della zona che siano in grado
di rappresentare il territorio e/o gli oggetti contenuti con un livello di dettaglio che è
funzione degli scopi del rilievo stesso. Tale dettaglio è di norma correlato alla scala del
rilievo o della successiva rappresentazione. Dalla necessità di definire la posizione di
punti (attraverso l'utilizzo di coordinate che si vedranno) deriva quella di definire dei
sistemi di riferimento in cui inquadrare i punti rilevati e stabilire tra loro le relazioni
analitiche.
La Geodesia può invece essere definita come la disciplina che si occupa di definire la
forma e la dimensione della terra attraverso teorie e procedure operative. In queste
ultime può essere compresa la Topografia.
In ogni caso la rappresentazione di aree più o meno estese della superficie terrestre
richiede l’adozione di una superficie di riferimento e di un sistema di coordinate in grado
di identificare la posizione dei punti rilevati e stabilire delle relazioni analitiche fra gli
stessi. La superficie di riferimento adottata deve presentare alcune caratteristiche
fondamentali:



essere di semplice formulazione matematica;
approssimare nel miglior modo possibile la forma e la dimensione della porzione di
superficie terrestre su cui e svolto il rilievo;
consentire l’adozione di un sistema di coordinate per la rappresentazione dei punti
rilevati sul territorio.
Richiami utili ai fini del corso
2
Si vedrà come in funzione degli obiettivi del rilievo (e soprattutto dell’estensione su cui
questo si svolge) potranno essere scelte come superfici di riferimento l'ellissoide, la sfera
locale o un piano tangente ad un punto contenuto nella porzione di territorio rilevato.
La Cartografia è invece quella disciplina che ricerca e stabilisce le procedure che
consentono di rappresentare sul piano la superficie terrestre e le caratteristiche degli
oggetti presenti. La Cartografia tradizionale, attraverso i metodi di produzione, genera
delle “carte” o “mappe” con scale e formati diversi.
A partire dagli anni ’90 comincia la produzione cartografica su supporto digitale. La
Cartografia numerica in sostanza produce mappe digitali che sono simili come contenuto
informativo a quelle tradizionali, ma che possono essere visualizzate “a monitor” con tutti
i vantaggi legati al formato digitale dei dati. La cartografia numerica si basa sul dato
vettoriale, che contrappone a quello raster.
Negli stessi anni viene introdotto il concetto di Sistema Informativo Territoriale
(SIT). Attraverso questo strumento vengono superate le potenzialità della Cartografia
tradizionale e di quella numerica, in quanto esso prevede la gestione di tutti i dati
territoriali in un unico ambiente (software) di lavoro. Tuttavia la cartografia (nei suoi vari
formati) rappresenta la base per la realizzazione dei Sistemi Informativi Territoriali. Il SIT
rappresenta quindi un contenitore di dati con le capacità aggiuntive di elaborare le
informazioni geografiche di base secondo diversi livelli di complessità e di produrre nuove
informazioni utili alla gestione del territorio in senso ampio (ambientale, politico,
urbanistico, socio-economico ecc.). Gli strumenti che consentono di creare e gestire un
SIT sono chiamati GIS (Geographical Information System). Quindi, mentre il SIT va
inteso come il prodotto, il GIS rappresenta l’ambiente di lavoro, ovvero l’applicativo
software utilizzato.
Richiami utili ai fini del corso
3
L’espressione di distanze ed angoli
Sottomultipli
Multipli
Le misure (osservazioni) che vengono realizzate durante un rilievo topografico sono di
due tipi: angoli e distanze. In generale, una qualsiasi misura è realizzata mediante il
confronto fra due grandezze omogenee una delle quali rappresenta quella di riferimento
(grandezza campione). Angoli e distanze sono anche utilizzati per esprimere le coordinate
dei punti sulla superficie terrestre e necessitano quindi di un approfondimento.
Per le lunghezze ad esempio la grandezza campione, ovvero il metro, è identificata in
modo univoco come un numero multiplo della lunghezza d'onda dell'elemento chimico
Cripto86. Per rappresentare tutte le grandezze misurabili attraverso l'unità-metro sono
definiti multipli e sottomultipli del metro espressi attraverso la potenze del dieci:
Prefisso
Deca
Etto
Kilo
Mega
Giga
Tera
Deci
Centi
Milli
Micro
nano
pico
Fattore
10
102
103
106
109
1012
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
Simbolo
Da
h
K
M
G
T
d
c
m
µ
n
p
Per la misura degli angoli possono essere adottati sistemi analitici e sistemi geometrici.
Per la loro definizione consideriamo due semirette che hanno origine da un punto e
tracciamo un tratto di circonferenze di raggio R che definisce, dall'intersezione con le
semirette, un arco di lunghezza S.
Il rapporto S/R, non dipendente dal valore del raggio, è una
misura dell'angolo nel sistema analitico. Se S=R l'angolo viene
definito radiante. Il radiante quindi può essere definito come il
valore dell'angolo sotteso da un arco di circonferenza che
presenta una lunghezza uguale al raggio della stessa.
In questo sistema si ha che:
angolo giro = 2π
angolo piatto = π
angolo retto = π/2
Il sistema analitico tuttavia non si presta a calcoli speditivi o nella
definizione di un sistema di coordinate. Nella pratica del rilievo
topografico viene invece utilizzato il sistema geometrico dove una
circonferenze viene suddivisa in n parti uguali.
Nel sistema geometrico, in relazione al numero di suddivisioni dell'angolo giro si
definiscono i sistemi sessagesimale e centesimale. Nel sistema sessagesimale la
circonferenze è suddivisa in 360 parti uguali la cui ampiezza rappresenta il grado
sessagesimale. Ogni grado è poi diviso in 60 primi sessagesimali ed ogni primo in 60
secondi sessagesimali. Le frazioni sono invece decimali (Esempio α = 58°14'38",12).
Nel sistema centesimale la circonferenza viene invece suddivisa in 400 parti che
rappresentano i gradi centesimali. Ogni grado è poi diviso in 100 primi centesimali ed
ogni primo in 100 secondi centesimali (esempio α = 37g15c78cc,12). Questo sistema, pur
presentando delle facilitazioni nel calcolo rispetto al precedente, non consente di
Richiami utili ai fini del corso
4
esprimere alcuni angoli notevoli se non attraverso l'uso di numeri periodici. I goniometri
degli strumenti topografici (parte deputata alla misura degli angoli) prevedono entrambi i
sistemi di misura, anche se quello centesimale è maggiormente diffuso. Da ciò nasce la
necessità di trasformare gli angoli da un sistema all'altro considerando una relazione del
tipo:
2
 r
 
   0,017453293 
 radianti
  
360


360 r
2
360 
 
  57,29577951 r
2

che rappresenta la relazione fra gradi sessagesimali e centesimali (e viceversa).
Esempio
Si vuole trasformare il seguente angolo dal sistema sessagesimale nel sistema analitico: α = 31°15'10'',12
Come prima operazione si deve trasformare l'angolo in gradi e frazioni decimali. Si converte poi nel sistema
analitico usando il corretto fattore di conversione fra i due sistemi.

   31 


 2 
r
31,25281111 
  0 ,54546445
 360 
15 10,12 

  31,25281111
60 3600 
Volendo trasformare l'angolo nuovamente in gradi e frazioni decimali basta moltiplicare per lo stesso fattore di
conversione (2π/360) invertito. Analogamente per la trasformazione dal sistema analitico al sistema centesimale
si sfrutta la relazione:
r
g

2 400 g
mentre per la trasformazione fra sistema sessagesimale e centesimale

360

g
400
g
  
9 g

10
Funzioni di un angolo
Presa una circonferenza di raggio r ed una direzione uscente che formi un angolo  con
l'asse delle ascisse, si definiscono alcune fondamentali funzioni trigonometriche che
saranno utili nella comprensione dei problemi topografici da affrontare durante il corso.
x
r
y
sen 
r
sen
y
sen
tg 

   arctg
cos  x
cos 
cos  
dove   tg   e 90  arctg  90 .
Inoltre si ricordi che la derivata prima della funzione arctg vale
d
1
arctg ( x) 
.
dx
1 x2
Richiami utili ai fini del corso
5
Risoluzione di triangoli piani
Consideriamo un triangolo piano di lati a, b e c con angoli opposti a tali lati α, β, e γ ed R
il raggio del cerchio circoscritto. Esistono delle relazioni che legano tali elementi di
notevole utilità nella risoluzione dei problemi della topografia.
      180
relazione fra angoli interni
a
b
c


 2R
sen sen sen
teorema dei seni
a  b cos   c cos 
teorema delle proiezioni
a 2  b 2  c 2  2bc cos 
teorema di Carnot
Queste formule consentono la risoluzione di triangoli piani se tre elementi, tra cui almeno
un lato, sono noti.
Precisione ed Accuratezza delle osservazioni
Sono due termini spesso confusi ma che hanno un significato differente. In generale la
precisione quantifica la capacità di ripetere un’osservazione (o una misura) senza
discostarsi molto dalla precedente. L’accuratezza invece quantifica la capacità di
un’osservazione (o di una misura) di avvicinarsi al valore reale della grandezza ricercata.
Consideriamo l’esempio del bersaglio al quale si spara per un certo numero di volte. Colpi
molto vicini tra loro saranno indice di precisione mentre colpi che cadono in prossimità
del centro del bersaglio indicano una esecuzione più o meno accurata. Si possono
presentare le seguenti situazioni:
Richiami utili ai fini del corso
6
Cenni sulla teoria degli errori
La determinazione di una grandezza fisica (e di grandezze derivate da altre) è sempre
soggetta ad una serie di errori che dipendono in parte dalla metodologia utilizzata ed in
parte dall'operatore che esegue l’operazione. Gli errori relativi ad una misura possono
essere suddivisi in sistematici e casuali. I primi si presentano in ogni determinazione
"sistematicamente", ovvero la modificano sempre della stessa quantità (bias). In
topografia un errore di questo tipo può derivare da un difetto strumentale o dalla
incorretta rettifica delle parti costituenti. Questo errore è di difficile individuazione e non
può essere identificato a partire dalle misure eseguite (che ne rimangono affette).
L'errore casuale, dato dalla somma di tanti fattori concomitanti, si presenta ad ogni
determinazione spostandola dal valore vero che rimane puramente teorico. Le basi
statistiche su cui si fonda l’analisi dei dati topografici prevedono normalmente misure
soggette ai soli errori casuali. Quelli sistematici, legati soprattutto alla pratica operativa
del rilievo, si considerano di scarsa entità se i rilievi vengono eseguiti con tutti gli
accorgimenti del caso.
Disponendo di n misurazioni con ugual precisione della grandezza x è possibile definire
una media di x, indicata con x , come valore attendibile della stessa.
n
 xi
x  x 2  x3 ....  x n
 x  i 1
x 1
n
n
Le misure eseguite della grandezza forniscono anche il dato di partenza per la stima
dell'errore casuale associato alla stessa. In particolare si definisce varianza di una
misura la quantità
n
 x2 
 xi  x 2
i 1
n 1
La varianza di una grandezza può essere assunta come l'errore associato ad una
determinazione. All'aumentare del valore della varianza corrisponde in generale una
minore precisione nella determinazione della grandezza. Nell'equazione sopra compare il
termine x  x 2 che viene chiamato scarto dalla media (differenza fra la singola
determinazione ed il valore medio).
La varianza della media vale invece
 x2 
x  x 2
n(n  1)
La radice quadrata della varianza di una misura rappresenta lo scarto quadratico
medio (stesso discorso per lo scarto quadratico medio della media).
n
x 
 x  x 2
i 1
n 1
In presenza di misure di grandezze di diversa precisione occorrerà assegnare un peso
maggiore alle misure con maggiore precisione. In questo modo ogni misura parteciperà
Richiami utili ai fini del corso
7
al calcolo dei parametri statistici con "la giusta importanza" che deriva dalla precisione
associata alla misura stessa. Si definisce peso della determinazione i-esima (pi) il
rapporto
pi 
 02
 i2
dove  02 è un valore arbitrario chiamato varianza dell'unità di peso. In presenza di
misurazioni con diverso peso (ad esempio dovute all’uso di strumenti diversi) i valori
della media e della varianza di una misurazione diventano rispettivamente
n
x p  x 2 p 2  x3 p3 ....  x n p n
 xp 
xp  1 1
p1  p 2  p3 ...  p n
 xi p i
i 1
n
 pi
i 1
n
 x2 
 pi xi  x p 2
i 1
n 1
Nel caso di misure di diversa precisione la varianza della media diventa
 pi xi  x p 2
(n  1) pi
 x2 
p
Le formule appena discusse sono relative ad una singola variabile (x) che rappresenta la
grandezza ricercata. Nei problemi del rilevamento (topografia, geodesia, rilevamento
satellitare GPS, fotogrammetria ..) si misurano diverse grandezze (osservazioni) per
determinare i parametri incogniti del problema (che normalmente sono delle coordinate
dei punti). Tali grandezze non possono essere trattate singolarmente sia a causa
dell’effetto che hanno l’una sull’altra sia per la dipendenza statistica presente tra le
grandezze.
Una variabile multidimensionale è espressa tramite l’insieme di diverse grandezze
monodimensionali, ognuna caratterizzata dai parametri statistici appena visti. Occorre
introdurre il concetto di covarianza e la definizione di coefficiente di correlazione.
La covarianza misura il grado di correlazione tra coppie di grandezze (a due a due) che
definiscono una variabile n-dimensionale. La covarianza tra x ed y vale:
 xy 
1
n 1
i1 xi  x  yi  y 
n
e può assumere un qualsiasi valore tra +∞ e - ∞. Per una variabile n-dimensionale i
valori di varianza delle grandezze e covarianza tra le grandezze sono normalmente
organizzate nelle matrici di varianza-covarianza che quindi contengono informazioni
complete sugli errori associati alle variabili stimate (a loro volta stima dei valori reali non
misurabili direttamente). Prendiamo ad esempio il caso della variabile tridimensionale
L  f ( x, y, z ) . La matrice di varianza-covarianza (covariance matrix) è la seguente:
 x2
 xy  xz
C L   yx
 2y
 yz
 zx
 zy
 z2
Richiami utili ai fini del corso
8
Se le grandezze della variabile n-dimensionale sono indipendenti tra loro (nessuna
correlazione) la matrice diventa diagonale (quindi compaiono solo le varianze).
 x2
CL 
0
 2y
0
0
0
0
0
 z2
 diag  x2 ,  2y ,  z2
Proprietà della matrice di varianza-covarianza
La matrice di varianza-covarianza contiene tutte le informazioni necessarie per la
valutazione degli errori associati ad una qualunque variabile n-dimensionale1. Alcune
proprietà della matrice di v-c sono le seguenti:
1.
2.
3.
la matrice è simmetrica;
gli elementi diagonali sono positivi;
la matrice non deve essere singolare (ovvero la matrice deve essere
invertibile, ovvero il determinante deve essere ≠ 0). Questo è necessario
in quanto nei calcoli geodetici è necessario invertire la matrice.
Il coefficiente di correlazione (adimensionale) invece misura la forza della correlazione tra
due variabili e si esprime come
 xy   yx 
Valgono le seguenti proprietà:
 xy
 x y
=0
 non correlazione
 = +1  correlazione positiva
 = -1  correlazione negativa
Una correlazione positiva tra due variabili indica che al crescere dell’una l'altra tende
ugualmente a crescere mentre una correlazione negativa indica che al crescere di una
delle variabili l'altra tende a decrescere. I valori +1 e -1 del coefficiente di correlazione
indicano la presenza di una correlazione lineare esatta.
Il concetto di probabilità
La probabilità di un evento viene definita, secondo una classica concezione, come il
rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili. Questa definizione
presenta due limiti; il primo è che il numero di casi possibili deve essere finito, il secondo
è relativo al fatto che gli eventi devono essere equi-probabili.
Una definizione migliore fa riferimento al concetto di frequenza di un evento. Ipotizzando
la ripetizione di una misura per un gran numero di volte, la frequenza relativa dell’evento
stesso tende a stabilizzarsi.
frequenza evento x 
numero di eventi in cui si verifica il caso x
n( x )
 f ( x) 
numero di repliche totali (n)
n(tot )
All’aumentare del numero di repliche tale valore tende a stabilizzarsi regolato dal
verificarsi di soli errori casuali. Si dice che il valore tende alla probabilità dell’evento x
[p(x)]. Una definizione di probabilità dell’evento x può essere:
lim f ( x)  p( x)
n 
1
Ad esempio, le coordinate di un punto (bidimensionali o tridimensionali) calcolate sulla base di varie
osservazioni rientrano in questo caso.
Richiami utili ai fini del corso
9
Considerando due eventi x ed y non correlati che possono verificarsi con probabilità
rispettivamente di p(x) e p(y), si definisce PROBABILITA’ TOTALE il verificarsi di uno dei
due [p(x+y) = p(x) + p(y)] e PROBABILITA’ COMPOSTA il verificarsi di entrambi gli
eventi [p(xy) = p(x)p(y)].
Distribuzione di Gauss per variabili monodimensionali
Lo studio della “distribuzione normale” o “di Gauss” viene utilizzata per lo studio degli
errori casuali e la stima dei parametri media e varianza che rappresentano la grandezza
in esame. Infatti si può dimostrare che gli errori accidentali di misura appartengono ad
una distribuzione gaussiana del tipo N(0, σ2), ovvero con media 0 e varianza σ2. Quindi le
misure apparterranno ad una distribuzione gaussiana del tipo N(, σ2) con la stessa
varianza ed  come valore medio. La funzione che rappresenta la dispersione di misure
soggette ad errori occasionali viene chiamata densità di probabilità
f ( x) 
1
2 
1  x 
 

e 2  
2
La curva normale rappresenta la probabilità di un certo evento e gode delle seguenti
proprietà:
il valore medio è anche il valore più probabile;
ha due flessi in corrispondenza dei punti x   ;
al crescere di σ2 (determinazioni meno precise) la curva si appiattisce;
la funzione è tale che

 f ( x)dx  1
Questa curva consente anche di calcolare la probabilità che una misura x cada
nell’intervallo dei valori A-B attraverso l’integrale P( A  x  B)  f ( B)  f ( A) 
B
A f ( x)dx .
Richiami utili ai fini del corso
10
In generale per questa distribuzione si può dire che Px  ( x1 , x 2 ) 
x2
1

2 
x1
probabilità degli intervalli particolari
1  x 
 

e 2  
2
dx con
 P1  x  (    ,    )  68,27%

 P2  x  (   2 ,   2 )  95,45%
 P  x  (   3 ,   3 )  99,73%
 3
Questo integrale si può calcolare ma deve essere relativo alla funzione di probabilità
specifica del campione di misure. Si procede allora alla standardizzazione della funzione
con l’introduzione di una nuova variabile u indipendente dai valori di media e varianza
u
x

(variabile standardiz zata )  f (u ) 
1
2
1
 u2
e 2
u  G (0,1)
La nuova distribuzione standardizzata equivale ad una variabile normale con media nulla
e varianza unitaria. Le soluzioni relative alle probabilità associate alla variabile
standardizzata sono tabulate e non richiedono calcoli particolari.
Quindi la probabilità che la variabile x cada in un intervallo di ± vale
P[ x  (    ,    )] 
1
2
1 2
1  u
e 2 du
1

(e corrisponde al valore di 68,27%)
potendo risolvere lo stesso integrale per qualunque intervallo grazie ai valori tabulati e
riferiti proprio alla distribuzione standardizzata. Ad esempio, nell’ambito di un campione
di osservazioni potremmo considerare affette da errore grossolano quelle osservazioni
che si discostano troppo dal campione. Considerando che l’intervallo ±3 comprende il
99,73% del campione, la condizione di esclusione si può scrivere come x    3 . La
tolleranza fissata è pari al triplo dello s.q.m.
Stima dei parametri caratteristici di una variabile aleatoria
Misure dello stesso peso (stessa precisione)
Disponendo di una sequenza di misure relative ad una stessa grandezza si pone il
problema di stimare: il valore da assegnare alla grandezza stessa (quello più plausibile),
la varianza da assegnare ad ogni singola misura, la varianza del valore più plausibile.
Queste stime devono essere eseguite sulla base delle n misure che costituiscono il
campione disponibile (n rappresenta la taglia del campione). La variabile aleatoria x
quindi è rappresentata dagli n valori assunti x  ( x1 , x 2 .... x n ) dove le determinazioni sono
tutte indipendenti e soggette a sole fluttuazioni casuali. Questo campione può essere
considerato come una variabile aleatoria n-dimensionale (la ennupla di misure
rappresenta quindi una estrazione a caso della popolazione n-dimensionale).
Richiami utili ai fini del corso
11
La funzione densità di probabilità di questa v.a. n-dimensionale prende anche il nome di
funzione di verosimiglianza ed esprime la probabilità che tale evento si manifesti (come
probabilità composta delle singole variabili indipendenti):
n
L( x1 ....x n )  f1 ( x1 )  f 2 ( x 2 )  ......... f n ( x n ) 
 f i ( xi )
1
dove le singole funzioni di probabilità contengono ovviamente i valori di media e varianza
del campione.
UTILIZZO DEL CRITERIO DI MASSIMA VEROSIMIGLIANZA
Preso un campione ( x1 , x 2 .... x n ) in rappresentanza della variabile x, la densità di
probabilità (o la funzione di verosimiglianza) associata a tale campione è funzione della
stessa variabile e dei vari parametri incogniti media e varianza. Il criterio di massima
verosimiglianza prevede il calcolo dei parametri incogniti che massimizzano la funzione di
verosimiglianza2.
Il criterio di massima verosimiglianza quindi consente di calcolare media e varianza a
partire dalle singole densità di probabilità delle variabili. Infatti, per il principio delle
probabilità composte, la densità di probabilità di tutta la serie di misure sarà uguale al
prodotto delle singole probabilità e la funzione da massimizzare sarà:
P ( x1 x2 ...xn ,  , 2 ) 

1
e
2 
( x1   ) 2
2 2


1
e
2 
( x2   ) 2
2 2

... 
1
2 2
n
  xi  2

1
2 2
n
  xi   2
1
1
e
e

(2 2 ) n / 2
( 2 ) n  n
I valori di media e varianza che massimizzano questa funzione si possono trovare dopo
avere trasformato la funzione nella forma logaritmica
n
n
1 n
2
ln P   ln 2  ln  2 
 ( xi   )
2
2
2 2 1
che è strettamente crescente in quanto logaritmo. I valori cercati si trovano uguagliando
a zero le derivate parziali di lnP rispetto  e .
n
  ln P
1

( xi   )  0

2 1
 

n
  ln P
1
n
( xi   ) 2  0




2
2
4
2
2 1
 





xi
 

n

( xi  ˆ ) 2
 2
 
n


che vengono chiamate rispettivamente media campionaria e varianza campionaria.
Queste quindi sono delle stime di massima verosimiglianza di media e varianza di una
v.a. che segue la distribuzione gaussiana. Dall’equazione della densità di probabilità si
vede che la stima della media è ottenibile attraverso il metodo dei minimi quadrati.
Infatti la funzione di massima verosimiglianza ha il suo massimo quando il termine
2
Questo equivale ad affermare che il campione disponibile dalle misure effettuate è anche quello più plausibile
(probabile). In altre parole i parametri della distribuzione di probabilità di una serie di misure devono essere tali
da rendere massima la probabilità della serie stessa. Si ricorda che le singole misure devono appartenere alla
stessa distribuzione di probabilità (ovvero devono essere di egual precisione). In questo caso i parametri da
stimare sono solo due, media e varianza. Se le misure sono di diversa precisione il valore medio sarà sempre uno
solo ma le varianze da stimare saranno n.
Richiami utili ai fini del corso
12
 ( xi   ) 2  min , per cui la derivata rispetto al valore della media fornisce nuovamente
l’equazione trovata per la media campionaria.
La stima della varianza appena effettuata va corretta al denominatore in quanto gli scarti
rispetto alla media non sono tutti indipendenti tra loro, ma uno di essi può essere
calcolato da tutti gli altri. I gradi di libertà sono quindi n-1 e la stima corretta della
varianza campionaria diventa
s2 
 ( xi  ˆ ) 2
n 1
mentre la varianza della media sarà
s2 
 ( xi  ˆ ) 2
n(n  1)
Misure di peso diverso (diversa precisione)
A volte le misure effettuate non sono della stessa precisione a causa dell’utilizzo di
strumentazione diversa, per la variazione delle condizioni di misura oppure per le diverse
modalità di misura eseguite. In questo caso il valore medio da stimare rimane lo stesso
ma la varianza varia da misura a misura. In altre parole le misura appartengono a curve
gaussiane con diversa dispersione dei dati, ma centrate sul medesimo valore medio.
P ( x1 x 2 ... x n ,  ,  12 ,  22 , ... n2 ) 
1
2  1

e
( x1   ) 2
212

1

2  2
( x2   ) 2
e
2 22
... 
1
n
( 2 )  1 .. n
1 n  x  

   i
2
 
e 1 i 
2
Visto che pi   02 /  i2 , supponendo di conoscere le varianze delle singole misure si ha che
 i2   02 / pi e sostituendo nella precedente si ottiene
P ( x1 x 2 ... x n ,  ,  12 ,  22 , ... n2 )

( p1  p 2  ... p n )1 / 2
(2  02 ) n / 2

e
1
n
 pi ( xi   )
2
2 02 1
Analogamente a quanto fatto precedentemente si possono determinare le stime di
massima verosimiglianza di media ponderata e varianza dell’unità di peso3 stimata.
Si ottiene:
 p i xi
 pi
 pi ( xi  ˆ ) 2
s 02 
ˆ 
n 1
Si può dimostrare che la varianza della media vale
s 02 
3
 pi ( xi  ˆ ) 2
n  1 pi
Infatti nell’equazione compare la varianza dell’unità di peso dopo la sostituzione dei valori delle singole
varianze.
Richiami utili ai fini del corso
13
Esempio numerico: sono disponibili 10 misure di distanza alle quale vengono assegnate
dei pesi
Pesi
xi
p i xi
vi  xi  
p i v i2
1
1.5
2
1
3
2
1
2
4
2.5
24.2
22.3
21.5
18.2
21.0
23.2
25.6
20.2
21.2
22.0
24.2
34.5
43.0
48.2
63.0
46.4
25.6
40.4
84.8
55.0
2.5
0.6
-0.2
-3.5
-0.7
1.5
3.9
-1.5
-0.5
0.3
6.25
0.49
0.09
12.25
1.44
4.41
15.21
4.41
1
0.25
 p i  20
 p i xi  435.10
2
 pv  45.8
 pi xi
con media  
 21.7 e lo s.q.m. dell’unità di peso s 0  
 pi
Volendo gli sqm delle singole misure si avrà  i 
0
pi
 pv 2
n 1

45.8
 2.26 .
9
Richiami utili ai fini del corso
14
Distribuzione di Gauss per variabili bidimensionali
Prendiamo due variabili casuali di tipo normale (x e y) tra loro indipendenti. La
probabilità composta dei due eventi è data dal prodotto delle singole probabilità
f ( x, y ,  x ,  y ) 
1
2  x

e
( x  x )2
2 x2

1
2  y

e
( y  y )2
2 y2

1
2  x y
2
1  ( x x )2 ( y  y ) 

 

2
2
2 x
 y 

e
In realtà è molto frequente il caso di variabili correlate. In effetti proprio le coordinate di
un punto possono essere trattate come una variabile bidimensionale e la loro
determinazione, tramite misure e successivi calcoli, introduce delle correlazioni proprio in
funzione delle modalità operative svolte. Quindi la formulazione della densità di
probabilità cambia con introduzione del coefficiente di correlazione (non si vedrà la
funzione)
La distribuzione normale a due dimensioni prende la seguente forma
 
Analogamente al caso monodimensionale vale l’integrale
  f ( x, y)dxdy  1 .
  
Per le applicazioni di interesse al rilevamento è utile analizzare le curve che si ottengono
dall’intersezione della superficie con piani z = f(x,y) = costante. Si può dimostrare che, in
presenza anche delle covarianze trascurate nella formulazione, la figura di intersezione è
un’ellissi la cui dimensione dipende dalla definizione del piano a z costante. Una
particolare ellisse di interesse è quella standard i cui semiassi maggiore e minore (a e b)
sono forniti dalle relazioni
a2 
2
b 
2
( x2   y2 )  ( x2   y2 ) 2  4 xy
2
( x2

2
y)
2
 ( x2   y2 ) 2  4 xy
2
dove i valori possono essere derivati dalla matrice di varianza e covarianza prodotta
come modello stocastico dai calcoli. L’eventuale presenza di un orientamento dell’ellissi
dipendente dalla presenza della covarianza e può essere determinato dalla relazione
Richiami utili ai fini del corso

 2σ xy
1
arctg  2
σ σ2
2
y
 x
15




dove  rappresenta l’angolo sinistrogiro che l’asse delle x forma con il semiasse maggiore
dell’ellisse. Occorre fare attenzione al quadrante di riferimento dopo verifica dei segni
associati al numeratore ( 2 xy ) ed al denominatore (  y2   x2 ).
Come abbiamo visto la covarianza può assumere valori positivi o negative. Si possono
presentare i seguenti casi
2 xy
 x2   y2
+
+
-
+
+
-
Valore di

0 <  < 45
45 <  < 90
0 <  < -45
-45 <  < -90
Quadrante
I
I
II
II
Graficamente i quattro casi si presentano come segue.
Quando tra le variabili non vi è correlazione l’ellisse presenterà gli assi paralleli agli assi
coordinati. Dal punto di vista statistico l’ellisse standard rappresenta l’area all’interno
della quale si ha il 39% della probabilità di un individuo estratto a caso per quella
popolazione (di variabili bidimensionali). Se l’ellisse ha semiassi doppi la probabilità sale
al 86% mentre per ellissi con semiassi tripli questa diventa del 99%.
Quindi, un modo corretto di rappresentare su un piano cartesiano, o su quello
cartografico, una variabile P (bidimensionale) sarà il seguente
Il valore medio delle componenti x ed y posiziona
la variabile sul piano mentre l’ellissi centrata sul
punto consentirà di definire la probabilità che il
punto cada effettivamente all’interno dell’ellissi
stessa. Questo consente di quantificare la
precisione del calcolo e quindi la significatività
delle misure.
Richiami utili ai fini del corso
16
Propagazione degli errori
La propagazione pitagorica degli errori (o delle varianze) consente di valutare gli errori di
variabili ottenute dalla combinazione di altre variabili (ad esempio valori misurati) a loro
volta soggetti ad errori nella determinazione. L'applicazione a funzioni lineari di variabili
indipendenti è del tipo:
x  ay  bz  ct   x2  a 2 y2  b 2 z2  c 2 t2
Vedremo che le equazioni generate dalla misura di un dislivello appartengono a questo
tipo. Per funzioni non lineari si deve invece procedere alla linearizzazione, rispetto alle
variabili soggette ad errore, ottenendo:
2
2
2
 f 
 f 
 f 
x  f ( y , z , t )   x2     y2     z2     t2

y
z

 
 t 
 
Se però le variabili non sono indipendenti occorre conoscere di tali variabili non solo la
varianza ma anche la covarianza che lega le varie coppie di variabili (questa casistica
sarà omessa). Le equazioni generate dalla misura di angoli e distanze appartengono al
caso di non-linearità..
La propagazione degli errori si può trasferire anche a considerazioni di tipo qualitativo
che vengono spesso effettuate osservando delle serie di dati. Infatti quando deduciamo
qualcosa a partire da informazioni che sono soggette ad un margine di incertezza,
avremo una nuova informazione alla quale va assegnato un margine di errore che
dipende dalle informazioni originarie (la propagazione di un errore lungo una formula o
un criterio comporta un aumento dell’incertezza finale).
Richiami utili ai fini del corso
17
Test di significatività: il test 2
Il test del chi-quadro è un test statistico utilizzato per verificare se la distribuzione
associata ad una grandezza misurata è “simile” in maniera significativa ad una certa
distribuzione teorica (per esempio quella gaussiana). Il test chi-quadro ci permette di
accettare o rifiutare l’ipotesi di somiglianza tra distribuzione associando a questa scelta
un definito livello di probabilità.
Si formula una ipotesi iniziale H0 (ipotesi nulla) in merito al tipo di distribuzione atteso
per una v.a. (misurata), oppure ai parametri della distribuzione stessa, e si controlla
questa ipotesi su base statistica attraverso un test di significatività. Il test può avere due
esiti:
negativo
positivo
 l’ipotesi H0 viene rigettata;
 l’ipotesi H0 viene accettata.
Il risultato fornito dal test non è sicuro al 100% ma, come detto sopra, viene associato
ad un livello di significatività  (di solito uguale a 0,05 o 0,01 ovvero 5% a 1%
rispettivamente) che individua una regione critica per l’ipotesi iniziale. In sintesi il test di
significatività può portare alle seguenti decisioni:
a) l’ipotesi nulla H0 viene rigettata, al livello di significatività , se la
variabile utilizzata dal test cade nella regione critica. In caso di ipotesi
alternative queste saranno accettate;
b) l’ipotesi nulla H0 viene accettata, al livello di significatività 1-, se la
variabile utilizzata cade fuori dalla regione critica.
Nel caso a) vi è una probabilità uguale ad  di rifiutare una ipotesi vera, con errore di
decisione di Ia specie, mentre il caos b) può essere soggetto ad errore di decisione di IIa
specie, quando si accetta una ipotesi che però è falsa.
La variabile da utilizzare nel test di significatività dovrà quindi includere i parametri
statistici delle due distribuzioni da confrontare; quella teorica (supposta tramite l’ipotesi
iniziale H0) e quella reale con parametri determinati tramite le misure. Questa nuova
variabile viene definita 2 e mostra un andamento che è funzione anche del numero
relativo ai gradi di liberta (d), associati al problema. Questi sono definiti come
numero di osservazioni (m) – numero di incognite (n) da calcolare.
Soltanto m-n osservazioni saranno libere di assumere valori indipendenti (le altre
osservazioni saranno invece vincolate). La funzione chi-quadro quindi cambia in funzione
dei gradi di libertà. All’aumentare dei gradi di libertà la funzione assume le forme di
figura
Richiami utili ai fini del corso
18
Quindi una forma più conveniente per il calcolo del chi-quadro quella in cui la nuova
variabile viene divisa (normalizzata) per il valore d dei g.d.l.
Per dare un significatività al risultato del test occorre fissare un livello di probabilità da
associare al risultato del test stesso. Di solito questo livello viene posto al 1 o 5% (0,01 o
0,05 rispettivamente).
ESEMPIO
Avendo calcolato il valore ~ 2 dalle nostre osservazioni dovremo confrontarlo con il valore teorico (in tabella)
~ 2 riferito ai gradi di liberta (d) ed al livello di probabilità scelto (). Diremo che il valore calcolato ~ 2 è in
d ,
disaccordo “significativo” (ipotesi da rigettare) se
P ( ~ 2  ~d2, )  5%
ESEMPIO: Vogliamo determinare il valore di ~d2, della variabile chi-quadrato con 10 gradi di libertà tale che
P ( ~  ~ 2
)  5% . La variabile ~ 2
viene letta nella tabella in corrispondenza della riga dei 10 g.d.l. e
10, 0.05
10, 0.05
2
della colonna relativa ad un’area pari a 0,05 (5%). Il valore trovato per ~ 10
, 0.05 è 18,31. Quindi
P( ~ 2  18.31)  0.05 . Valori maggiori di 18.31, ricadenti nell’area grigia dl grafico, saranno da considerare
sospetti al livello di significatività del 5%.
Richiami utili ai fini del corso
19
Il metodo delle Osservazioni Indirette
20
Il metodo delle osservazioni
indirette
Siano xn un certo numero di grandezze fisiche non misurabili direttamente (incognite) e
lm le grandezze (osservazioni) che legano i parametri incogniti con m  n . Le osservazioni
fatte saranno legate alle incognite (non necessariamente a tutte) in relazione al metodo
di misura utilizzato. Ognuna delle m osservazioni genera un’equazione dove compaiono le
possibili incognite. Se il sistema è lineare si potrà scrivere come
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  l1

 Ax  l
..
a x  a x  ...  a x  l
m2 2
mn n
m
 m1 1
A(mxn)
aij sono coefficienti noti (che dipendono dal particolare legame funzionale e quindi dal
metodo di misura utilizzato), xn sono le incognite del problema e lm le osservazioni
disponibili. Nella forma matriciale il sistema si può esprimere come
a11
a12
..
a1n
x1
a 21
a 22
.. a 2 n
x2
..
..
a m1
am2
..
..
.. a mn
( m  n)
..
xn
l1

l2
..
(rango A = n = numero delle oss. indipendenti)
lm
(n  1) (m  1)
Nella condizione m=n la soluzione del sistema si ottiene immediatamente ricavando il
vettore delle incognite (dopo inversione della matrice A), x  A 1l . Invece nel caso di mn
non esisterà alcuna soluzione che soddisfa contemporaneamente tutte le equazioni delle
osservazioni fatte. Infatti, avendo a disposizione un ipotetico vettore delle soluzioni
x  ( x1 , x 2 ...x n ) da sostituire nel sistema delle equazioni, viene generato un vettore dei
residui v  (v1 , v 2 ...v m )
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  l1mis  v1

 Ax  l mis  v
..
a x  a x  ...  a x  l
m2 2
mn n
m mis  v m
 m1 1
(Modello Funzionale)
I residui nascono dal fatto che le osservazioni sono soggette ad errore (e quantificano gli
errori commessi nell’osservazione corrispondente). In assenza di errori non avremo
residui e il legame funzionale sarebbe del tipo f(x)=0. Si può anche dire che l vero  l mis  v .
Il Modello Funzionale quindi prevede m equazioni (le osservazioni) e m+n incognite
(vettore delle incognite e dei residui) con ∞n soluzioni possibili.
Il metodo delle Osservazioni Indirette
21
Criterio dei Minimi Quadrati
Occorre quindi adottare un criterio per selezionare una soluzione dalle infinite possibili. Il
criterio scelto è quello dei minimi quadrati applicati ai residui che consente di trovare la
soluzione per x (vettore delle incognite) tale che la sommatoria dei residui quadratici
risulti minima. Avendo a che fare con vettori e grandezze di un certo peso, la condizione
può essere scritta nella forma
v T Pv  ( Ax  l mis ) T P ( Ax  l mis )  min (1)
dove P (mxm) è la matrice dei pesi che vale P 
 o2
C l mis
(Modello Stocastico)
con Cl mis matrice di varianza-covarianza delle misure. Se le misure non sono correlate tra
loro la matrice dei pesi è diagonale e il problema dei minimi quadrati può essere
semplificato nella forma
m
q

1
m
pi vˆi2 
 p (a
i
ˆ1
i1 x
 ...  ain xˆ n  l i mis ) 2  min .
1
Si ricaverà ora la soluzione nel caso generico di variabili correlate (e quindi matrice dei pesi non diagonale)
adottando unicamente la notazione matriciale. Partendo dall’equazione v T Pv  ( Ax  l mis ) T P ( Ax  l mis ) , che
rappresenta in forma matriciale l’espressione  p i vˆi2 si procede allo sviluppo dell’equazione ottenendo
T
T
T
q  ( Ax  l mis ) T P ( Ax  l mis )  ( x T A T P  l mis
P)( Ax  l mis )  x T A T PAx  x T A T Pl mis  l mis
PAx  l mis
Pl mis
T
Poiché x T AT Pl mis è uno scalare, risulta che ( x T A T Pl mis ) T  l mis
PAx che sostituita nell’espressione precedente
T
T
fornisce q  xT AT PAx  xT AT Plmis  ( xT AT Plmis )  lmis
Plmis  xT Nx  2 xT AT Plmis  lmis
Plmis dove N è la matrice
normale definita come N  ( A T PA) . La matrice normale (n,n) è simmetrica e quadrata.
La condizione dei minimi quadrati applicati alla funzione matriciale q si può scrivere come q / x  0 che
diventa 2 Nxˆ  2 A T Pl mis  0  Nxˆ  A T Pl mis che rappresenta il Sistema Normale già visto. Si può dimostrare
che rango N = rango ( A T PA)  n . Quindi la matrice N è non singolare ed invertibile. Il sistema normale diventa
un sistema di n equazioni lineari nelle n incognite x̂ (ai minimi quadrati) che si possono ottenere dalla formula
finale
xˆ  ( A T PA) 1 A T Pl mis  N 1 A T Pl mis
che fornisce la stima delle incognite attraverso le osservazioni indirette.
La soluzione del modello funzionale vale quindi ( AT PA) xˆ  AT Pl mis
T
incognite stimato xˆ  ( A PA)
1
T
A Pl mis .
La quantità ( AT PA) è definita Matrice Normale (N).
Il sistema xˆ  N 1 ( AT Pl mis ) è definito Sistema Normale
e il vettore delle
Il metodo delle Osservazioni Indirette
22
Introducendo le incognite xˆ  N 1 ( AT Pl mis ) appena stimate nel modello funzionale si
ottengono le stime ai minimi quadrati v̂ dei residui teorici v . Si avrà che vˆ  Axˆ  l mis . Visto
che i residui sono anche gli errori associati alle misure possiamo ricavare i valori delle
misure corrette degli errori stessi che sono appena stati stimati. Nelle scienze del
rilevamento questi valori vengono definiti “compensati”.
l comp  l mis  vˆ
In definitiva i valori compensati sono ulteriori stime (più precise delle misure effettuate)
delle grandezze osservate. Riassumendo il procedimento appena esposto comporta:
1. Calcolo del vettore delle incognite (condizione dei MQ applicato ai residui);
2. Calcolo dei residui dopo sostituzione delle incognite nel modello funzionale;
3. Calcolo dei valori compensati delle osservazioni.
Il metodo delle Osservazioni Indirette
23
Precisione dei risultati ottenuti
Come visto si possono ottenere delle indicazioni sulla precisione dei risultati attraverso il
calcolo della matrice di varianza-covarianza associata dei parametri stimati. Al momento
però questa risulta essere ancora sconosciuta. Si parte dall’equazione xˆ  N 1 ( AT Pl mis ) e si
applica la legge di trasformazione della matrice di varianza-covarianza dei vettori aleatori
C xˆ  ( N 1 A T P )C lmis ( N 1 A T P) T dove
C xˆ è la matrice di v-c del vettore delle incognite;
Clmis quella relativa alle misure eseguite.
Si è già visto che l’errore sulle misure è in relazione con i pesi, delle misure stesse, è con
la varianza dell’unità di peso. In forma matriciale è stato anche definito il modello
stocastico dal quale si ha che C lmis   02 P 1 e quindi l’equazione precedente diventa
C xˆ   02 N 1 A T PP 1 P T ( A T ) T ( N 1 ) T
Considerando che la matrice P è simmetrica come anche l’inversa della matrice normale
si ottiene
C xˆ   02 N 1 A T PP 1 P( A T ) T ( N 1 ) T   02 N 1 A T PAN 1 dove A T PA  N e NN 1  I
In conclusione si ha la formula finale
C xˆ   02 N 1
rango  n
La determinazione della matrice di varianza covarianza delle misure compensate segue lo
stesso principio ma partendo dalla forma lˆcomp  Axˆ . Applicando ancora la legge di
trasformazione della matrice di varianza-covarianza (dimostrazione omessa) si ottiene
C lˆ  AC xˆ A T che, in base alla soluzione precedente si può scrivere
comp
C lˆ
comp
  02 AN 1 AT
rango  n
Infine si può dimostrare che la matrice di varianza-covarianza dei residui effettivi è
espressa dalla seguente forma
C vˆ  C lmis  C lˆ
comp
rango  m  n
Che si ottiene come nei casi precedenti a partire dalla forma vˆ  Axˆ  l mis e applicando le
stesse regole (dimostrazione omessa). Dall’equazione sopra si vede che
 lˆ2
comp
  l2mis   vˆ2
ovvero si dimostra che la precisione associata ai valori compensati (stime dei valori veri)
è sempre maggiore di quella delle misure effettuate.
Il metodo delle Osservazioni Indirette
24
Stima a posteriori della varianza dell’unità di peso σ02
L’applicazione del criterio della massima verosimiglianza consente di ricavare una stima
della varianza dell’unità di peso a-posteriori, ovvero basata sui valori compensati. Questa
rappresenta una stima del valore  02 (che veniva effettuata sulla base di ipotesi a-priori).
Questa stima vale
s 02 
2
 p i vˆi
mn
che si può scrivere anche come
s 02 
vˆ T Pvˆ
mn
dove al denominatore compaiono i gradi di libertà che rappresentano anche il numero di
scarti indipendenti. La formula è del tutto simile a quella già vista nella definizione di
varianza per misure di ugual precisione, ma qui compaiono i residui compensati.
In presenza di una distribuzione gaussiana delle misure effettuate i due valori di varianza
(a-priori e a-posteriori) dovranno essere simili tra loro, altrimenti si potrebbe affermare
che le ipotesi iniziali fatte sulle osservazioni non sono coerenti con i risultati
effettivamente ottenuti. La verifica della “somiglianza“ tra le due distribuzioni si può
effettuare attraverso la definizione della nuova variabile aleatoria s 02 /  02 e l’applicazione
del Test Chi-quadro
s 02
 02

 m2  n
mn
dove compaiono ancora i gradi di libertà.
Equazioni alle osservazioni non lineari
Il caso esposto sino ad ora prevede delle funzioni, che legano osservazioni ed incognite,
di tipo lineare. Si vedrà che, a parte le misure di livellazione, le osservazioni topografiche
e geodetiche comportano delle relazioni non lineari tra le m osservazioni e le n incognite
da stimare. Quindi il sistema di equazioni che nasce sarà del tipo
 f1 ( X 1 , X 2 ,... X n )  l1

 F(X )  l
..
 f ( X , X ... X )  l
n
m
 m 1 2
Occorre allora linearizzare le funzioni delle osservazioni prima di applicare le regole viste
per la soluzione del problema attraverso le osservazioni indirette. La linearizzazione
richiede la conoscenza dei valori a-priori delle incognite in modo da procedere nell’intorno
dei punti ricercati. Questi valori a –priori delle incognite possono essere disponibili per via
strumentale (alcuni strumenti forniscono in via preliminare un ipotetico risultato sulla
base di calcoli preliminari) oppure possono essere calcolati a-posteriori attraverso
procedure geometriche che non comportino necessariamente la compensazione dei
valori.
Si sfrutterà la serie Taylor per funzioni generiche del tipo f(x) da linearizzare nell’intorno
del punto x0.
h 2  d 2 f
 df 
f ( x)  f x0   h  
 dx  0 2!  dx 2

  ....  Rn

0
h  x  x0
Il metodo delle Osservazioni Indirette
25
Normalmente è sufficiente interrompere la serie al primo grado (ovvero trascurare il
resto della serie senza compromettere l’accuratezza del calcolo).
La linearizzazione quindi avviene attorno a valori approssimati X o  ( X 1o ,.. X no ) T in modo
che X vero  X o  x , dove x sono le correzioni da apportare al valore approssimato.
Fermandoci al primo ordine si ha

 f 
 f 1 
o
o
 ( X 1  X 1o )  ...   1  ( X n  X no )  l1
 f1 ( X 1 ,... X n )  
 X 1  o
 X n  o


...

 f ( X o ,... X o )   f m  ( X  X o )  ...   f m  ( X  X o )  l
n
1
1
n
n
m
 X 
 X 
 m 1
 1 o
 n o

e definendo
 f
a ij   i
 x j




o
coefficienti
xi  X i  X io
correzioni
o
bi  l i  f i ( X )
discrepanze
si ottiene il sistema nella forma lineare
a11 x1  ...  a1n x n  b1

...
a x  ...  a x  b
mn n
m
 m1 1
che avrà due soluzioni possibili
 Ax  b (m  n)
 ( AT PA) x  AT Pb (m  n)
in relazione al numero di osservazioni ed a quello delle incognite. In entrambi i casi si
può applicare il metodo delle osservazioni indirette con la differenza che nel primo caso
non si procederà alla compensazione. La soluzione fornisce il vettore delle incognite x,
ovvero le correzioni da applicare al valore approssimato per ottenere quello vero.
Le osservabili in topografia
26
Le osservabili in topografia
Le superfici di riferimento nelle scienze geodeticotopografiche
La definizione di una superficie di riferimento nasce dalla necessità di avere un supporto
matematico su cui sviluppare il rilievo eseguito sulla superficie terrestre. Tale superficie
deve essere esprimibile attraverso una formulazione matematica semplice (il che rende
possibile l'esecuzione di calcoli su di essa) e rappresentare nel miglior modo possibile la
reale forma della superficie terrestre.
La definizione di tale superficie passa attraverso una serie di considerazioni e
semplificazioni che partono dallo studio del campo gravitazionale terrestre. E' noto come
la sfera terrestre presenti un leggero schiacciamento ai poli e ruoti con velocità angolare
ω (rad/sec) attorno all'asse polare. Questo movimento di rotazione produce per tutti i
punti un'accelerazione centrifuga che spinge il punto verso l'esterno.
a   2r
dove r rappresenta la distanza del punto dall'asse di rotazione terrestre. Questa
accelerazione produce una forza lungo la stessa direzione che sarà
f  ma  m 2 r
con m che rappresenta la massa concentrata nel punto considerato. Sulla stessa massa
agisce anche una forza di attrazione gravitazionale diretta verso il centro di massa
terrestre M
mM
FK
d2
dove K è la costante di Newton, M la massa terrestre e d la distanza fra i punti in cui si
considerano concentrate le due masse. La risultante di queste due forze viene chiamata
forza di gravità (g) che può essere anche considerata un’accelerazione essendo le
considerazioni valide anche nel caso di massa unitaria. Visto che le forze in gioco sono
variabili da punto a punto della massa terrestre anche g avrà valori variabili. Alle nostre
latitudini un valore rappresentativo è 9,81 m/s2. Si può subito notare che ai poli la forza
di gravità sarà massima in quanto non è presente la componente centrifuga a contrastare
quella gravitazionale. La sfera, soggetta a queste forze risultanti, tende allora a
schiacciarsi e ad assumere la forma di un ellissoide di rotazione.
Le osservabili in topografia
27
Questa direzione (che rappresenta la linea di forza della gravità terrestre nel punto) è
fondamentale nella pratica operativa in quanto lungo di essa si orienta il filo a piombo
utilizzato per la messa in stazione degli strumenti nel rilievo topografico. L'insieme di tali
linee di forza del campo di gravità definiscono appunto il campo gravitazionale il quale
ammette un potenziale gravitazionale W. Esso fornisce una serie infinita di superfici con
la proprietà di avere la verticale in ogni punto normale alla superficie stessa. Ognuna di
queste superfici è definita ‘equipotenziale’ o ‘di livello’.
Il geoide e lo sferoide
Partendo dal presupposto che un liquido in quiete si dispone secondo una superficie
equipotenziale, è possibile immaginare la superficie terrestre interamente costituita da
una superficie marina ideale (ovvero priva di moti e correnti) sottoposta unicamente alla
forza di gravità. Tale massa si disporrebbe secondo una delle superfici equipotenziali (W
costante) scelta in modo da essere passante per un determinato punto in un determinato
istante. Su tale superficie, chiamata geoide, sarebbe teoricamente possibile riportare le
posizioni dei punti ma questa dovrebbe essere nota, ovvero dovrebbe essere noto il
valore di attrazione gravitazionale in ogni punto. Questo non è possibile in quanto
richiederebbe la conoscenza della distribuzione delle masse in ogni punto e quindi della
densità terrestre.
Nella formulazione del geoide infatti compare il termine relativo alla massa coinvolta.
W  x, y , z   G

T


dm  2 2

x  y 2  costante
r
2
dove:
G (costante di Gauss) = 6.67  10 8 cm 3 gr 1 sec 2
dm = un elemento di massa;
 = velocità angolare (rad/sec)
Un'approssimazione che può essere fatta è quella che considera una distribuzione
simmetrica della massa rispetto l'asse di rotazione terrestre. In questo caso si ottengono
delle superfici equipotenziali di forma prossima a quella sferica denominati sferoidi.
La difficoltà di definire anche questa forma per il calcolo di alcune coordinate ha portato
ad ulteriori semplificazioni che si vedranno. Va prima detto, però, che le quote dei punti
in genere vengono definite come la lunghezza dell'arco di linea di forza della gravità
compreso tra il punto ed il geoide. Quote definite in questo modo sono dette
ortometriche (o sul livello del mare). Va specificato che punti giacenti sulla medesima
superficie equipotenziale non hanno la stessa quota ortometrica essendo tali linee non
parallele fra loro.
Rappresentazione della quota ortometrica di un punto
situato su di una superficie equipotenziale
Le osservabili in topografia
28
L'ellissoide terrestre
La superficie approssimata maggiormente utilizzata è invece l’ellissoide di rotazione la cui
definizione non richiede ipotesi sulla distribuzione della massa terrestre. La forma di un
ellissoide di rotazione è definita univocamente da: semiasse maggiore (a), semiasse
minore (b), schiacciamento. Con riferimento ad un sistema di assi cartesiani l'ellissoide
può essere espresso tramite l'equazione
x2  y2
a2

z2
b2
1
mentre lo schiacciamento  e la prima eccentricità e ne definiscono la forma

ab
a
e2 
a2  b2
a2
Gli ellissoidi di maggiore utilizzo, determinati con vari tipi di misure nel tempo, sono i
seguenti
Ellissoide
Bessel (1841)
Clarke (1880)
Helmert (1906)
Hayford (1909)
WGS84
a
6 377 397 m
6 378 243 m
6 378 140 m
6 378 388 m
6 378 137 m

1/299,2
1/295,5
1/298,3
1/297,0
1/298,3
I punti giacenti sulla superficie ellissoidica sono rappresentati attraverso le coordinate
ellissoidiche (o geografiche) latitudine φ e longitudine λ che vengono definite come:
▪
▪
Latitudine (φ): angolo di inclinazione formato dalla normale passante
per un punto P ed il piano equatoriale;
Longitudine (λ): angolo diedro formato fra un piano di riferimento che
contiene l'asse di rotazione ed il piano contenente il punto P e l'asse di
rotazione.
Se la quota è definita su tale superficie si parla di quota ellissoidica. In tal caso la
distanza fra il punto e la superficie di riferimento è misurata lungo la normale passante
per il punto generico P. Dalle definizioni date nascono quelle di meridiani e paralleli:
Le osservabili in topografia
▪
▪
29
Meridiani: linee sull'ellissoide che hanno la caratteristica di avere
longitudine costante;
Paralleli: circonferenze ottenute secando l'ellissoide con piani normali
all'asse di rotazione e caratterizzate dalla medesima latitudine.
Il meridiano di origine è quello di Greenwich (longitudine 0°). La coordinata longitudinale
si conta normalmente da 0° verso 180° ad Est o Ovest dal meridiano di riferimento. Il
parallelo di riferimento è rappresentato dall'equatore (latitudine 0°). La coordinata
latitudinale si conta dall'equatore verso 90° a Nord e Sud.
Le osservabili in topografia
30
Raggi principali di curvatura dell’ellissoide
Per ogni ellissoide è possibile definire dei raggi di curvatura che descrivono la superficie
in un determinato punto. Questi valori vengono utilizzati in diverse applicazioni
topografiche per dimensionare la superficie di riferimento quando non ci si trova
nell'approssimazione piana. In particolare due raggi di curvatura fondamentali sono
individuabili tagliando la superficie ellissoidica con le cosiddette sezioni normali principali
passanti per un generico punto P.
Con riferimento alla figura si definisce primo raggio di curvatura ρ il raggio di curvatura
del meridiano passante per un punto P. Tale raggio avrà, ovviamente, valori diversi in
funzione della latitudine ed è contenuto nel piano meridiano (contenente il meridiano
passante per P e l’asse di rotazione). Si può dimostrare che ρ vale


a 1  e2

1  e sen  
2
3
2
2
Altro raggio di notevole importanza è la Grannormale N ottenuto secando l'ellissoide con
un piano contenente la normale all'ellissoide per il punto P che risulti anche
perpendicolare al piano meridiano. Tale valore vale
N
a
1  e sen  
2
2
1
2
Il raggio del parallelo passante per un punto P è invece definito come
r  N cos  
a cos 
1  e sen  
2
2
1
2
Il raggio medio di curvatura è definito come il raggio della sfera tangente all'ellissoide, in
un punto, che meglio l'approssima nell'intorno del punto stesso. Il raggio R della "sfera
locale" è dato da
R  N 

a 1  e2

1/ 2
1  e sen  
2
2
Le osservabili in topografia
31
Geodetica
Le geodetiche sono linee che congiungono due punti sulla superficie ellissoidica e godono
della proprietà di avere, in ogni punto, la normale coincidente con la normale alla
superficie. Rappresenta anche la minima distanza fra due punti posti su una superficie,
ovvero una retta nel caso di una superficie piana oppure un arco di cerchio massimo su
una superficie sferica.
Le due sezioni normali prevedibili sono quelle riferite ai punti A e B. Queste si ottengono
intersecando l’ellissoide con i piani A (contenente la normale ad A ed il punto B) e B
(contenente la normale a B ed il punto A) e non sono coincidenti avendo proprietà
diverse. La geodetica congiungente A e B disegna, invece, sull'ellissoide una figura come
quella che si mostra.
Le osservabili in topografia
32
Ondulazione del geoide
Dalla definizioni di geoide ed ellissoide deriva direttamente quelle di normale e verticale
per un punto. La normale va intesa in senso geometrico sulla superficie ellissoidica
mentre la verticale rappresenta la direzione della gravità in un punto (normale al geoide).
Queste due direzioni caratterizzano gli scostamenti fra le superfici ellissoidiche e
geoidiche. L'angolo fra normale e verticale in un punto è chiamato deviazione della
verticale con valori che nella norma sono dell'ordine di qualche secondo.
Si definisce poi ondulazione del geoide N la differenze tra la quota ellissoidica H e quella
ortometrica h. In figura compare l’ondulazione del geoide rispetto all’ellissoide WGS84 (si
vedrà avanti) utilizzato come riferimento nel posizionamento satellitare.
N=H–h
Il valore di ondulazione per l’Italia è noto con un margine di errore variabile in relazione
al particolare ellissoide scelto. Comunque questo valore è normalmente noto con
un’accuratezza di una decina di centimetri o più. La trasformazione tra le due tipologie di
quote può essere effettuata solamente con questo livello di precisione.
Le osservabili in topografia
33
Coordinate curvilinee sull'ellissoide e cartesiane
tridimensionali
Sull’ellissoide possono essere definiti diversi sistemi di coordinate curvilinee (in quanto
appartenenti ad una superficie non piana). Rientrano tra questi anche le coordinate
espresse come latitudine e longitudine. Altri sistemi di coordinate curvilinee sono i
seguenti:
4
▪
Coordinate geodetiche polari: un punto P viene determinato, in questo
sistema, rispetto ad un origine O ed al meridiano che per esso passa
attraverso la misura dell'arco di geodetica s e dell'azimut  contato in
senso orario dal meridiano di riferimento.
▪
Coordinate geodetiche ortogonali4: un punto P viene determinato,
rispetto ad un origine O ed al meridiano per esso passante, dall'arco di
geodetica Y condotto da P’ normalmente al meridiano e dell'arco di
meridiano X=OP'.
Le coordinate geodetiche ortogonali sono alla base della cartografia catastale Italiana che presenta emanazioni
(origini) varie sul territorio.
Le osservabili in topografia
▪
34
Coordinate cartesiane tridimensionali: un punto P viene determinato
rispetto ad un origine semplicemente in base alla terna cartesiana
individuata dal sistema di riferimento scelto. Tale sistema è oggi
utilizzato nell’ambito della geodesia spaziale (GPS ed altre tecniche)
anche per orientare ellissoidi di riferimento validi a livello globale.
Relazione fra coordinate geodetiche e cartesiane
Orientando un ellissoide rispetto ad una terna di assi cartesiani, possono essere stabilite
le seguenti relazioni fra coordinate geodetiche e coordinate cartesiane.
x  r cos   N cos  cos 
y  r sen  N cos  sen
z


a 1  e 2 sen
1  e sen  
2
2
1/ 2


 N 1  e 2 sen
Queste formule sono facilmente invertibili. Dalle
coordinate cartesiane X, Y e Z è facile trovare  e 
infatti:
tg 
Y
X
ed è facile poi ricavare il valore di  partendo
dall’equazione della z e da una delle altre due dopo
avere sostituito il valore di .
Le coordinate geocentriche sono sufficienti anche a definire la posizione tridimensionale
di un punto della superficie fisica tenendo in considerazione la quota relativa all'ellissoide
adottato. Le formule sopra diventano:
x  N  h cos  cos 
y  N  h cos sen

 
z  N 1  e 2  h sen
Le osservabili in topografia
35
Per calcolare latitudine, longitudine e quota ellissoidica dalla terna cartesiana si deve
invertire il sistema. Il problema non ha una soluzione diretta e si deve procedere
attraverso un calcolo iterativo che si mostra a titolo di esercizio.
Si parte considerando la distanza tra un generico punto P e l'asse z del sistema di riferimento:
P  X 2  Y 2  N  h cos  (1)

Trasformando al secondo termine in Z  N  h  Ne
2
sen
e dividendo per P si ottiene,

Z N  h sen
Ne 2 sen
Ne 2 
(2)


 tg 1 
 N h
P N  h cos  N  h cos 


Dalla (2), in cui il primo termine è noto, è possibile ricavare un primo valore di , approssimato, ponendo h=0,

Z
1  e2
P
1  arctg 

1 
 (3)

A tale latitudine corrisponde un valore di N:
N1 
a
1  e sen  
2
2
1/ 2
(4)
che sostituito nella (1) fornisce una prima soluzione per la quota h. Infatti si ottiene P  N1  h1 cos1 .
Introducendo adesso i valori ottenuti per N ed h nella (2) si ottiene un valore di 2. Ora si calcola N2 dalla 4 e
quindi un secondo valore di h dalla 1 .. ecc. Si ottengono i valori di  e h per il punto P. La longitudine si ricava
sempre dalla relazione:
tg 
Y
X
Le osservabili in topografia
36
Soluzioni approssimate per le superfici di riferimento
Nei calcoli topografici le tre superfici, ellissoidica, sferica e piana, possono essere
utilizzate per approssimare la reale forma terrestre con semplificazioni che aumentano
nell'ordine. Per ogni tipologia di rilievo, ed in particolare in relazione all'estensione areale
ed alla precisione richiesta, sarà possibile scegliere l'una o l'altra superficie di riferimento
con l’accortezza che questa scelta non comprometta la qualità del rilievo stesso e del
prodotto finale. Ovviamente le formulazioni analitiche saranno via via semplificate
passando da una geometria ellissoidica a quella di un piano dove si possono, per
esempio, utilizzare le ben note equazioni della trigonometria piana.
Per quanto riguarda l'estensione del rilievo si considerano locali quelle operazioni che
hanno come finalità la rappresentazione di oggetti o limitate porzioni di territorio
(manufatti, piccole aree insediative, scavi archeologici, infrastrutture di estensione molto
ridotta, caratteristiche morfologiche del territorio a grande scala ..). Nella maggior parte
di questi casi l'approssimazione piana è valida. Le grandi reti topografiche planoaltimetriche od i rilievi per la realizzazione di opere infrastrutturali estese sul territorio
devono, invece, essere necessariamente essere progettate su una superficie ellissoidica.
Essendo note tutte le equazioni coinvolte nelle tre approssimazioni citate è possibile
stabilire entro quale distanza la scelta di una superficie approssimata comporta un errore
(nel calcolo delle posizioni e delle grandezze geometriche) accettabile considerati gli
obiettivi del rilievo. Tale considerazione andrà distinta nei casi del rilievo planimetrico
(determinazione delle coordinate planimetriche) ed altimetrico (determinazione della
quota), essendo quest’ultimo maggiormente influenzato dalla curvatura terrestre.
Campo topografico e campo geodetico
Il limite entro il quale una superficie di riferimento approssimata può essere adottata al
posto dell'ellissoide di rotazione viene stabilito in base a considerazioni che riguardano la
miglior precisione raggiungibile nella misura di angoli e distanze. Nella misura delle
distanze si può raggiungere una precisione dell'ordine di 1mm/1km, ovvero un errore
relativo dell'ordine di un milionesimo (pari a 10-6). Nelle misure angolari la precisione
raggiungibile è invece dell'ordine di 0,1" (≈ 0,5·10-6rad). Anche nella determinazione
delle differenze di quote si possono fare considerazioni analoghe con precisioni che
raggiungono 1mm di dislivello per punti distanti 1 km (errore di 10-6 nel rapporto errore
in quota/distanza).
Essendo quindi dell'ordine di 10-6 la migliore approssimazione delle misure eseguite sarà
lecito adottare, nei calcoli topografici, una superficie diversa dall'ellissoide solo se questo
non comporta errori che superano tale limite. Si definisce:
▪
Campo topografico: la distanza massima entro la quale la differenza
relativa tra le coordinate di un punto su un piano tangente all'origine e
le stesse coordinate sull'ellissoide di riferimento non supera il valore di
10-6. Tale distanza è di circa 15 km nel caso planimetrico e di circa 100
metri in quello altimetrico.
▪
Campo geodetico: la distanza massima entro la quale la differenza
relativa tra le coordinate di un punto su una sfera locale tangente
all'origine e le stesse coordinate sull'ellissoide di riferimento non
supera il valore di 10-6. Ovviamente questa rappresenta una migliore
approssimazione della precedente. In effetti tale distanza vale anche
200 km nel caso planimetrico e 10-20 km nel caso altimetrico.
Le osservabili in topografia
37
Le misure topografiche tradizionali: distanze, angoli e
dislivelli
Il rilevamento topografico tradizionale, ad esclusione quindi di metodi più recenti quali il
GPS e le tecniche laser scanner aeree e terrestri, è basato sulla determinazione di alcune
grandezze fondamentali che sono distanze, angoli e dislivelli. Queste grandezze, che
vengono misurate grazie alla strumentazione utilizzata, sono alla base della risoluzione
dei problemi topografici e vengono definite anche ‘osservabili’. Di seguito saranno
descritte le principali misure topografiche con alcuni accenni alle procedure operative ed
agli strumenti utilizzati. Obiettivo dei paragrafi successivi è quindi quello di illustrare le
osservabili disponibili nella risoluzione dei problemi topografici, mentre per un dettaglio
delle tecniche topografiche di misura si vedranno i capitoli successivi delle dispense. Della
strumentazione utilizzata vengono solamente accennati i principi di funzionamento
mentre per una descrizione approfondita dei vari modelli disponibili si rimanda ad altro
materiale.
Misura degli angoli
Gli strumenti per la misura di angoli rientrano nella classe dei goniometri ed oggi sono
disponibili nei teodoliti elettronici (che consentono la sola misura di angoli) e nelle
stazioni totali (che consentono la misura contemporanea di angoli e distanze sempre per
via elettronica). Di questi strumenti ne esistono di vari tipi a seconda delle caratteristiche
costruttive e delle precisioni che possono raggiungere nella determinazione della misura.
Si consideri un punto O di origine sul quale s'intende fare stazione per determinare
l'angolo sotto il quale si osservano i punti 1 e 2. Si definisce il piano di collimazione come
quel piano contenente la verticale passante per l'origine O ed uno dei punti collimati. In
questa configurazione possono essere definite le due grandezze (osservabili) che si
possono misurare:
- angolo azimutale (tra le direzioni 1 e 2 e misurato dall'origine O) è la sezione retta
dell’angolo diedro formato dai due piani contenenti la verticale per O e passanti
rispettivamente per A e B (piani di collimazione). Questo angolo può essere considerato
coincidente con l’angolo compreso fra le due sezioni normali riferite alla superficie di
riferimento (ad esempio l’ellissoide);
- angolo zenitale (o distanza zenitale)
è l’angolo che la linea di mira forma con
la verticale per O.
Nelle moderne misure topografiche le
misure degli angoli sono sempre
associate a quelle delle distanze in
quanto
le
stazioni
totali
sono
praticamente le uniche utilizzate nei
rilievi. Tuttavia ai fini dei calcoli
topografici le due osservabili possono
anche essere utilizzate separatamente.
Nella misura di angoli, così come di tutte
le altre grandezze, la scelta degli
strumenti da utilizzare sarà sempre
funzione della precisione richiesta dal
rilievo sia in termini di precisione della
singola misura sia del risultato finale.
Un principio generale è che rilievi di
piccole estensioni richiedono strumenti meno sofisticati. Fanno eccezione applicazioni
ingegneristiche che richiedono alta precisione nella misura delle grandezze. Tra queste si
Le osservabili in topografia
38
possono citare i collaudi di infrastrutture, le verifiche di stabilità di edifici o pendii ecc..
dove i movimenti ricercati sono anche dell'ordine di pochi mm.
Le letture degli angoli azimutali e zenitali vengono effettuate da due goniometri presenti
all'interno dello strumento. In figura una rappresentazione schematica di tale lettura
dove z rappresenta la direzione verticale ed A e B indicano le due direzioni di
collimazione.
: angolo zenitale
: angolo azimutale
La misura degli angoli, nei teodoliti elettronici moderni ed anche nelle stazioni totali, è
interamente gestita dall’elettronica del sistema che fornisce i valori degli angoli zenitali
ed azimutali direttamente sul display dopo la lettura automatica sui cerchi che sono
codificati. Negli strumenti moderni questa lettura può avvenire per via incrementale (sul
cerchio viene conteggiata la rotazione effettuata da cannocchiale o base per effettuare la
collimazione) o grazie ad una codifica stampata sul goniometro (si tratta di una specie di
codice a barre che viene interpretato dal sistema di lettura).
Le stazioni totali (total station, o integrate) rappresentano lo strumento più utilizzato
nelle operazioni topografiche moderne e soprattutto in ambito edilizio e comunque i tutti i
cantieri che prevedono un continuo monitoraggio di parti e strutture. Come già detto
esse uniscono le due funzionalità di misuratore di angoli e misuratore di distanza. Nelle
versioni classiche l’operatore deve collimare l’oggetto e la misura di angoli e distanze
viene fornita sul display. Inoltre il software installato è in grado di compiere una prima
elaborazione dei dati in relazione alle funzionalità disponibili. Esistono anche versioni di
stazioni totali che eseguono in modo automatico le misure grazie a sistemi robotizzati di
collimazione. Queste stazioni sono particolarmente utili nelle operazioni di monitoraggio
di infrastrutture (fase di esecuzione o collaudo) quando le misure devono essere ripetute
nel tempo e diventa costosa la presenza di un operatore.
Le osservabili in topografia
39
Misura di distanze
La misura di distanze tra punti riguarda sia la determinazione delle basi geodetiche
facenti parte delle reti topografiche nazionali (con lunghezze di decine di chilometri) sia
quella tra punti molto vicini fra loro come ad esempio nei rilievi locali (distanze di pochi
metri o anche meno). Le distanze vengono oggi misurate con strumenti elettronici basati
sull'emissione di onde elettromagnetiche che vengono genericamente chiamati
distanziometri5. Esistono distanziometri ad onde e ad impulsi che eseguono misure della
distanza compresa tra il centro geometrico dello strumento e l’oggetto collimato. Una
misura di questo tipo viene definita inclinata e, per essere utilizzata nei calcoli
topografici, deve essere ricondotta alla superficie di riferimento scelta. Questa procedura
viene definita di “riduzione” delle distanze inclinate e porta alla determinazione della
distanza orizzontale che rappresenta la osservabile distanza. La distanza orizzontale sarà
a sua volta un arco di geodetica che congiunge le proiezioni di A e B sulla superficie di
riferimento.
Principio di funzionamento dei distanziometri elettronici
Come detto i distanziometri generalmente si suddividono in due grandi categorie:
distanziometri ad onde e distanziometri ad impulsi. Nei distanziometri ad onde la
misura della distanza si effettua accoppiando un distanziometro ad un prisma
retroriflettente. I due vengono posti, su due treppiedi, alle estremità della base che si
vuole misurare e quindi avranno una certa quota rispetto al terreno o, meglio, rispetto al
caposaldo di riferimento. Il segnale generato dal distanziometro viene riflesso dal prisma
e torna al distanziometro che si occupa di registrarlo e calcolare la distanza esistente tra
il centro dello strumento e il centro del prisma. Il calcolo della distanza è possibile grazie
ad una misura di sfasamento tra il segnale in uscita ed il segnale in arrivo.
5
I distanziometri possono costituire uno strumento singolo oppure essere parte delle stazioni totali o integrate
già viste.
Le osservabili in topografia
40
La propagazione delle onde elettromagnetiche è rappresentabile attraverso un onda sinusoidale di frequenza f,
ampiezza A, frequenza angolare  e fase iniziale 0 del tipo f (t )  A sen(t   o ) . Il segnale emesso all'istante
iniziale tu avrà equazione:
f (t u )  A sen(t u   o )
mentre al suo ritorno al distanziometro dopo un tempo t (andata e ritorno del segnale), si avrà:
f (t r )  A sen (t u  t )   o 
lo sfasamento tra onda trasmessa ed onda ricevuta sarà
   r   u  t 
2
( nT   T )
T
dove T rappresenta il periodo dell'onda (tempo impiegato per compiere un ciclo). A questo come si vede viene
aggiunta una quantità T corrispondente alla frazione dell'onda registrata in ritorno allo strumento. Se
indichiamo con d la distanza distanziometro-prisma potremo scrivere la seguente relazione
2 d  n  2 L
d n

2
L
dove n rappresenta il numero intero di lunghezze d’onda contenute nella distanza da misurare ed L la frazione di
lunghezza d’onda rimanente. Quindi se l'emettitore trasmette a una certa lunghezza d'onda  la misura della
distanza è nota a meno delle grandezze n ed L. Queste grandezze vengono risolte rispettivamente grazie
all'utilizzo di un segnale a due frequenze ed alla misura dello sfasamento fra il segnale ricevuto e la sua replica.
La precisione di un distanziometro è esprimibile nel seguente modo,  D  a  bD dove la
costante a tiene conto della capacità del discriminatore di fase nell’eseguire il confronto
tra il segnale in ingresso e quello replicato dallo strumento e la seconda (b) è funzione
della distanza misurata.
I prismi retroriflettenti sono costituiti da più prismi retrodirettivi. Il cammino ottico sulle
facce dei prismi fa si che la distanza misurata sia generalmente maggiore di quella
effettiva: di ciò si tiene conto attraverso la costante del prisma. In pratica ad ogni
distanziometro è associato un particolare prisma e la misura di distanza effettuata viene
corretta in automatico essendo nota tale costante.
Nei distanziometri ad impulsi non è richiesto l'uso di un prisma e possono essere
collimati punti naturali o parti di manufatti (generalmente parti di facciate e particolari di
piccoli oggetti da rilevare). Questi strumenti prevedono la misura del tempo che impiega
un impulso a percorrere il percorso di andata e ritorno tra strumento ed oggetto
collimato. La precisione del metodo è quindi legata dalla capacità da parte dello
strumento di discriminare un tempo t. Da questa misura, in assenza di effetti atmosferici,
si deduce la distanza
vt
D
2
Con v si intende la velocità di propagazione dell’impulso e con t il tempo misurato.
Occorre specificare che per raggiungere precisioni millimetriche nella misura di distanze è
necessario misurare il tempo con un precisione di 10-12 sec (1 pico-secondo). Di norma
gli impulsi utilizzati vengono emessi da un diodo laser.
Le osservabili in topografia
41
Riduzione della distanza inclinata
Nella determinazioni delle distanze in topografia occorre allora tener conto
dell’inclinazione della linea di mira e della quota dei punti coinvolti nelle misure. Le
procedure per effettuare la riduzione sono molteplici: in uno schema tra quelli possibili la
distanza inclinata AB viene ridotta sulla sfera locale a partire dalla misura dell’angolo
zenitale letto in A mentre si collima B. Lo
schema è il seguente
Siano:
quota del punto A
QA
quota del punto B
QB
AB
angolo zenitale misurato in A
distanza inclinata AB
di
altezza strumento in A
hstr
hmira altezza mira in B
distanza ridotta
S0
R
raggio della sfera locale
N
Quantità note: QA; R
Quantità osservate: AB, di, hstr; hmira
Incognite: distanza ridotta S0=A0-B0
Sul punto A viene posto lo strumento di misura (stazione totale o distanziometro) che,
dopo la collimazione al prisma posto in B, consente la determinazione dell’angolo zenitale
in A e della distanza AB.
Si costruisce la seguente geometria: dal centro del prisma posto in B si manda la
perpendicolare sulle normale passante in A: il triangolo ABC che si viene a formare ha
per ipotenusa la distanza inclinata di e per cateti di senAB e di cosAB; il triangolo
rettangolo BCO (dove O è il centro della sfera locale non visibile nella figura) ha per
cateti
BC  d i  sen AB
CO  R  Q A  hstr  d i  cos AB
Le osservabili in topografia
42
La tangente dell’angolo al centro vale:
tan   
d i  sin  AB 

R  Q A  hstr  d i  cos AB 
d i  sin  AB 
 Q  hstr  d i  cos AB  
R 1  A

R


Visto che la distanza misurata è una frazione molto piccola della quantità R, la tangente
dell’angolo tende al valore dell’angolo stesso espresso in radianti

d i  sin  AB   Q A  h str  d i  cos AB  
 1 

R
R


1
La quantità tra parentesi quadra è del tipo (1+x)-1, con x<<1 per cui risulta che, a meno
di potenze di ordine superiore in x, (1+x)-1  (1-x) [vedi nota6] e quindi:

d i  sin  AB
R
 Q  h str  d i  cos  AB 
 1  A

R


Visto che  può essere posto uguale a So/R:
 Q  h str  d i  cos  AB 
S 0  d i  sin  AB  1  A

R


ottenendo la distanza ridotta alla superficie di riferimento scelta che, considerate le
distanze in gioco in questo tipo di operazioni, può essere la sfera locale. In presenza di
effetti di rifrazione atmosferica l’angolo zenitale dovrebbe essere inizialmente corretto di
una quantità  che rappresenta la deviazione dal percorso rettilineo del segnale ottico.
6
per le proprietà delle serie binomiali
Le osservabili in topografia
43
Le reti topografiche
Le reti geodetiche nazionali rappresentano il riferimento fondamentale per
l'inquadramento dei rilievi plano-altimetrici ed hanno previsto l’esecuzione di misure
angolari a partire da alcune
basi note grazie alla misura
delle distanze tra i punti7. In
Italia la rete del primo ordine
è quella che include i punti di
maggiore precisione rilevati
attraverso i metodi topografici
della “triangolazione”. Essa è
stata
creata
dall'Istituto
Geografico Militare e prevede
triangoli con lati di 40-50 km
come indicato nella figura.
I vertici della rete prevedono
dei caposaldi a terra di
coordinate note che, nei rilievi
topografici, rappresentano dei
riferimenti per l’inserimento
delle misure in uno dei
sistemi di coordinate possibili.
Esiste poi la rete di secondo
ordine che raffittisce la prima
e prevede basi di minore
lunghezza (circa 20-30km).
Tutti i vertici delle reti
topografiche sono riportati in
monografie disponibili presso
un catalogo dei vertici a cura
dell’IGMI
I punti del terzo e quarto ordine contribuiscono a densificare localmente le reti di ordine
superiore anche se l'affidabilità delle coordinate riportate in monografia e la stabilità dei
monumenti decrescono negli ordini inferiori. Nella figura sotto un esempio di monografia
per un vertice della rete del quarto ordine.
7
Invece per gli usi esclusivamente altimetrici si vedrà che esiste anche una rete nazionali di livellazione che
presenta delle caratteristiche di maggiore accuratezza nella definizione delle quote dei punti.
Le osservabili in topografia
44
Misure dei dislivelli
Si è già visto come le quote possano essere riferite alla superficie geoidica (quota
geoidica o ortometrica o s.l.m.) o a quella ellissoidica (quota ellissoidica). Le procedure
viste fino a questo punto presuppongono un riferimento iniziale, al momento delle
misure, di tipo geoidico. Basti pensare che lo strumento viene messo in stazione
prendendo come direzione di riferimento la verticale passante per il punto, stabilita dalla
direzione del filo a piombo.
La misura assoluta delle quote può rappresentare un problema in quanto non è scontato
avere un riferimento altimetrico sicuro nei pressi nei pressi dell’area di lavoro. Infatti si
parla più spesso di misurare dei dislivelli, ovvero delle differenze di quota tra i punti.
Questa operazione porta alla determinazione di una nuova osservabile che si chiama
appunto dislivello mentre l’operazione di misura e la livellazione.
I dislivelli possono poi essere convertiti in quote assolute sul livello del mare se è nota la
quota ortometrica di un punto coinvolto nel rilevamento. Di questo punto deve essere
nota la quota rispetto ad un riferimento altimetrico di quota zero appartenente al geoide
che può essere approssimato dalla superficie marina media. Questo è vero in quanto la
superficie media dei mari si dispone secondo una superficie equipotenziale se viene
immaginata libera dai movimenti perturbatori quali i moti ondosi, le correnti e maree.
Questi movimenti possono essere misurati attraverso un mareografo che registra le
oscillazioni marine in un certo punto per un periodo di tempo sufficientemente lungo.
La quota mareografica viene poi riferita ad
un caposaldo che costituisce l'origine delle
quote nelle determinazioni (livellazioni)
successive.
Per
l'Italia
il
caposaldo
fondamentale
è
quello
collegato
al
mareografo di Genova. Da tale caposaldo
vengono emanate tutte le quote riferite al
livello medio mare.
Lo strumento utilizzato nella misura dei dislivelli prende il nome di livello. Anche per
l’altimetria esiste una rete di livellazione estesa su tutto il territorio e rilevata con il
metodo della livellazione geometrica dal mezzo (si vedrà nel paragrafo dedicato) che
consente
di
determinare il dislivello
tra punti distanti non
più di 100 m l’uno
dall’altro
con
una
singola operazione di
lettura
(battuta
di
livellazione).
Per
trovare il dislivello tra
punti
più
lontani,
vengono eseguite più
battute di livellazione
lungo la cosiddetta linea di livellazione e si sommano algebricamente i singoli dislivelli
ottenuti in ciascuna stazione.
Le osservabili in topografia
45
In Italia esiste una rete nazionale di livellazione di alta precisione agganciata al
mareografo fondamentale che include caposaldi con quota ortometrica nota. Quindi
agganciando una operazione di livellazione a tale rete si potranno trasformare i dislivelli
in quote.
Anche questa rete è stata realizzata dall'I.G.M nel secondo dopoguerra ed è costituita da
18000 km di livellazione in uno schema che prevede la creazione di poligoni collegati fra
loro e con il mareografo fondamentale di Genova. Di ognuno di essi esiste la monografia
che ne descrive caratteristiche, ubicazione ecc.
Oltre all'interesse di tipo tecnico le livellazioni di precisione rivestono una notevole
importanza nello studio del geoide, per le indagini relative ai fenomeni di subsidenza e di
instabilità dei versanti ed in tutte le operazioni di cantiere, collaudo e monitoraggio di
edifici pregevoli ed in tutte le opere dell’ingegneria civile. Inoltre, considerata la
precisione sub-millimetrica che tale metodologia offre, i caposaldi dovranno garantire una
notevole stabilità ed individuare precisamente la superficie a cui riferire la misura di
livellazione.
I metodi di rilevamento tradizionali
46
I metodi di rilevamento tradizionali
Di seguito vengono elencati i principali metodi di rilevamento a partire da quelli
planimetrici per arrivare a quelli altimetrici. Questa suddivisione segue una schema di
tipo tradizionale anche se oggi la strumentazione disponibile (stazioni totali e, come
vedremo, il GPS) consente di eseguire osservazioni di tipo tridimensionale, ovvero rilievi
planimetrici ed altimetrici allo stesso tempo. L’analisi delle misure tramite le osservazioni
indirette consente poi di elaborare i dati planimetrici ed altimetrici anche
contemporaneamente. Per alcuni dei metodi che saranno passati in rassegna vedremo sia
la soluzione geometrica del problema sia quella ottenute tramite le osservazioni indirette.
La prima prevede normalmente un numero minimo necessario di osservazioni mentre il
secondo presenta il vantaggio di fornire una soluzione anche in presenza di osservazioni
ridondanti che rafforzano l’affidabilità della soluzione stessa.
Rilievo planimetrico con misura di angoli e distanze
I seguenti rappresentano i principali metodi operativi utilizzati nel rilevamento
planimetrico. Alcuni di questi, come i primi che si vedranno, comportano la sola misura di
angoli azimutali a partire da un vertice stabilito (ad esempio un vertice trigonometrico)
indicato in figura con la lettera S. Altri, come il metodo delle poligonali, includono anche
la misura di distanza e dell’angolo zenitale per sua riduzione alla superficie di riferimento.
Tuttavia anche questi ultimi rimangono rilevamenti planimetrici in quanto il calcolo finale
delle coordinate e in genere solo planimetrico. Queste procedure possono essere eseguite
con goniometri o stazioni totali, considerando che queste ultime sono le più diffuse nelle
applicazioni moderne.
Misura delle direzioni uscenti da un punto
Si citeranno per primi i tre metodi più diffusi per la misure delle direzioni (angoli) uscenti
da un punto.
ANGOLI SEMPLICI A GIRO D'ORIZZONTE
Si fa stazione nel punto S e si collima nel punto A, si
legge il valore al cerchio orizzontale. Si collima poi il
punto B e si legge il cerchio orizzontale. Si inverte il
cannocchiale e si ruota l'alidada di 200° (procedura detta
delle letture coniugate), si rilegge al punto B e poi di
nuovo al punto A sempre nel cerchio orizzontale. La
differenza fra la media delle letture coniugate fornisce il
valore dell'angolo ASB. La stessa sequenza viene
utilizzata per l'angolo BSC e, successivamente, per gli
altri su tutto l'orizzonte.
Al termine la somma degli angoli misurati dovrebbe
fornire il valore dell'angolo piatto (400° o 360° a seconda
del sistema adottato) a meno degli errori commessi che
ovviamente saranno sempre presenti. In questo modo è possibile procedere ad un
controllo delle osservazioni8. Si osservi che per r direzioni sono necessarie
complessivamente 4r collimazioni e letture. Nelle stazioni totali robotizzate i movimenti
necessari per le letture coniugate vengono effettuati dallo strumento in totale autonomia
con collimazione automatica delle mire o prismi posti nelle direzioni uscenti da s.
8
Una valutazione rigorosa degli errori commessi si può ottenere attraverso il metodo delle osservazioni
condizionate (non discusse in queste dispense) dove si impostano delle condizioni che devono essere rispettate
dalle misure. La somma degli angoli interni, in questo caso, rappresenta proprio una di queste condizioni.
I metodi di rilevamento tradizionali
47
METODO DELLE DIREZIONI ISOLATE
Facendo stazione nel punto S si collima un punto O, origine delle misure ed esterno a
quelli da misurare. Si legge al cerchio orizzontale, poi si collima il punto A e si eseguono
le letture coniugate, poi di nuovo ad O (nella posizione opposta del cerchio rispetto alla
prima lettura).
La differenza tra la media delle letture coniugate
fornisce il valore dell'angolo OSA. Si procede in questo
modo tenendo sempre come riferimento il punto O
esterno. Contrariamente al metodo precedente, le
misure sono indipendenti e le varie direzioni si
ottengono come differenze tra le singole letture.
Il metodo è meno accurato del precedente (per sempio
non è possibile compensare i valori letti) ma presenta
alcuni vantaggi legati alla possibilità di eseguire le
misure nell'ordine preferito.
METODO DEGLI STRATI
Si fa stazione in S, si collima il primo punto e si legge, poi si collimano in successione
tutti gli altri punti fino all'ultimo, per il quale si esegue anche la lettura coniugata. Nella
posizione coniugata si eseguono a ritroso tutte le altre misure fino al punto di partenza.
Questo rappresenta il cosiddetto strato. In questa modalità per un numero r di direzioni
si eseguono 2r collimazioni totali ma la procedura deve essere interamente portata a
termine per chiudere correttamente lo strato. Infatti, in questo caso, un accidentale
movimento della strumentazione o l’esigenza di sospendere le misure per fattori di varia
natura comporta una nuova misurazione dello strato. Se la misura richiesta deve essere
molto accurata lo strato può essere ripetuto per n volte per avere un campione
significativo della grandezza misurata. Anche in questo schema non vi è la possibilità di
compensare le osservazioni ma il valore più plausibile di ogni angolo si potrà ottenere
dalla semplice media delle n reiterazioni effettuate. L'errore associato alla media, come
già visto, si può ricavare a posteriori in funzione degli scarti dei singoli valori dal valore
medio che chiameremo v

2
v
n(n  1)
dove n il numero delle reiterazioni effettuate per lo strato.
I tre metodi visti sono tutti utili ai fini di un rilevamento e la
dipenderà dalla precisione richiesta (e quindi dagli scopi del
che i metodi che consentono la compensazione finale dei
offrono maggiori garanzie in termini di affidabilità del risultato
scelta di uno in particolare
rilievo) ricordando sempre
valori (“giro d’orizzonte”)
finale.
Metodi di riattacco e raffittimento
Quando un rilievo deve essere riferito al sistema cartografico nazionale occorre inserire
nello schema geometrico delle osservazioni alcuni vertici per i quali si conoscono le
coordinate cartografiche nel sistema di riferimento desiderato. La rete geodetica Italiana
non presenta una densità dei vertici tale da prevedere, in ogni caso, punti in prossimità
dell’area dove si svolge il rilievo. Per questo motivo, se il rilievo deve essere inserito nel
contesto cartografico a varia scala, occorre procedere ad una fase di inserimento di nuovi
vertici in quelli preesistenti fino a creare una nuova rete topografica a scala idonea per gli
scopi del lavoro. Questa procedura richiede l’esecuzione di misure di angoli, distanze,
osservazioni GPS o anche miste e porta alla creazioni di nuove reti topografiche a livello
I metodi di rilevamento tradizionali
48
locale e di varia estensione che saranno parte della rete generale. Questa operazione
viene anche definita “inserimento” o “inquadramento” della rete locale. Reti topografiche
a carattere locale possono essere eseguite per scopi tecnici, finalizzate non solo
all’inquadramento di nuova cartografia ma anche ai lavori di tracciamento di
infrastrutture lineari (strade, gallerie…), al controllo di movimenti del terreno (frane,
dissesti, subsidenza..) o di strutture (dighe, ponti..). Le misure che collegano i punti in
una rete possono essere quelle sino ad ora discusse oppure, sempre più frequentemente,
possono essere eseguite con ricevitori GPS9. Anche la soluzione mista è sempre più
frequente. Nel caso di misure su una rete topografica è necessario che il collegamento tra
i punti avvenga con misure in numero sovrabbondante, rispetto al minimo necessario, in
modo da potere effettuare controlli sulle misure stesse attraverso il metodo delle
osservazioni indirette (tale procedura prende il nome di compensazione delle
osservazioni).
Stabiliti alcuni nuovi vertici nella zona di interesse occorre creare un ulteriore
raffittimento all’interno dell’area di rilievo. Questo può avvenire tramite ulteriore riattacco
di nuovi vertici a quelli già esistenti oppure grazie al raffittimento della nuove rete locale
inquadrata, a sua volta, nel contesto delle reti geodetiche nazionali. Le due soluzioni
possono essere anche utilizzati in combinazione a seconda delle esigenze. Questi metodi
sono variamente applicati anche in ambito urbano ed, infatti, nelle città possono esistere
reti di raffittimento di passo (o maglia) variabile.
In questo capitolo saranno discussi i metodi di riattacco e raffittimento che consentono il
collegamento la creazione di vertici locali, ovvero nell’area del rilievo, a partire da vertici
facente parte di reti più estese. Mentre il riattacco richiede l’esistenza di almeno due
vertici noti nell’area operativa, il raffittimento consente proprio la creazioni di tali vertici,
in numero e disposizione a piacere, partendo da vertici noti anche relativamente distanti
tra loro. Quindi il raffittimento potrebbe essere funzionale alle operazioni di riattacco.
Si vedranno per primi i metodi di riattacco che, nello schema più semplice, prevedono
l’esecuzione di un numero strettamente necessario di misure (ovvero due, essendo due le
coordinate piane del punto incognito) da riattaccare. Il riattacco è applicato per
estensioni di terreno che sono ampiamente contenute nel campo topografico e quindi
soggette ad ipotesi piane. I calcoli saranno quindi eseguiti utilizzando le coordinate
cartesiane piane.
Riattacco con intersezione in avanti
Il problema generale è quello della determinazione delle coordinate di un punto P non
accessibile (dall’operatore con gli strumenti) a partire da quelle note di due punti A e B
che possono essere parte di una rete di raffittimento o vertici di una poligonale.
Note le coordinate ( x A , y A ) e ( x B , y B ) di due punti si
devono determinare le coordinate ( x P , y P ) di un punto
incognito e non stazionabile attraverso la misura degli
angoli azimutali  e . Si può quindi utilizzare un teodolite
o una stazione totale.
9
Anche se la densificazione di reti estese può essere fatto con le misure topografiche tradizionali, oggi viene
principalmente eseguito con tecnica GPS (vedi il capitolo relativo). Questa tendenza dipende dalla produttività
del metodo (e quindi dall’economia) garantita dal GPS soprattutto per rilievo su aree vaste.
I metodi di rilevamento tradizionali
49
La distanza AB = c è nota, essendo noti i vertici, e si calcola dall'equazione
c
yB  y A
cos  AB
L'angolo θAB, compreso tra la direzione di riferimento parallela all’asse delle y ed il
segmento AB (contato in senso orario), viene definito anomalia e si ricava facilmente
dalla formula
tg AB 
xB  x A
x  xA
  AB  arctg B
yB  yA
yB  y A
Eseguite le misure degli angoli  e  si hanno a disposizione gli elementi sufficienti per
risolvere il problema applicando le formule della trigonometria piana (essendo valida
l'approssimazione del campo topografico). La distanza b si ricava dal teorema dei seni
b
c
csen

b
sen sen[  (   )]
sen(   )
visto che  AP   AB   , si possono calcolare le coordinate di P considerando che
x P  x A  bsen AP
y P  y A  bcos AP
In questo caso non sono presenti misure sovrabbondanti e quindi non sarà possibile
eseguire un controllo sul risultato o compensare i valori10. Se fosse noto un terzo punto,
dal quale osservare un terzo angolo azimutale, le misure diventerebbero sovrabbondanti
in quanto le incognite rimangono 2 (coordinate di P) ma le osservazioni diventano 3 (gli
angoli azimutali misurati) è sarebbe quindi possibile compensare le misure e rafforzare le
soluzioni finali con un calcolo dell’errore associato al alle coordinate del vertice P.
Tuttavia, l’errore associato alla posizione del punto P si può ottenere anche dalla legge
sulla propagazione della varianza applicata alle formule sopra. Si parte dagli errori
associati agli angoli  e  (relativi ad esempio allo strumento utilizzato o ottenuti dalla
ripetizione delle misure eseguite) e si ottiene l’errore sulle coordinate xp e yp.
Nell’esecuzione delle derivate parziali i valori della distanza AB e di AB possono essere
considerati privi di errore, perché provengono da elementi noti e quindi occorre
differenziare solo rispetto le variabili  e .
10
Il metodo delle osservazioni indirette può essere applicato anche quando il numero delle incognite è uguale a
quello delle osservazioni. Ovviamente in questo caso la soluzione è univoca ed identica a quella generata
dall’applicazione della trigonometria piana.
I metodi di rilevamento tradizionali
50
Esempio numerico. Ricordiamo che per risolvere una figura geometrica occorrono almeno 2n-3 elementi noti,
dove n rappresenta il numero di vertici dell’elemento geometrico in questione. Ad esempio per un triangolo
dovranno essere noti almeno 3 elementi per definire le grandezze del triangolo stesso. Nello schema
dell’intersezione in avanti i tre elementi necessari sono i due angoli azimutali misurati e la distanza tra i due
punti di stazionamento che è nota in quanto sono note le coordinate degli stessi punti. In questo caso le misure
effettuate sono le minime indispensabili per risolvere il problema e non sarà quindi possibile compensare i valori
e determinare l’errore associato alle incognite su base statistica.
Seguendo lo schema geometrico appena visto, siano disponibili le seguenti coordinate dei vertici A e B in un
sistema di riferimento arbitrario
 x A  500 m

 y A  500 m
 x B  1500,0 m

 y B  1000,0 m
e gli angoli azimutali  e  misurati con stazione totale
 = 33°28’14’’ = 33,470555
 = 87°18’37’’ = 87,310277
Si può ricavare immediatamente AB = 63°.434948 e dalla c 
yB  y A
si ricava che c = 1118,0 m
cos  AB
csen
b
c
1116,8m

b

 1300,0m
sen(   )
sen sen[  (   )]
0,8591
 AP   AB    29,964393
x P  x A  bsen AP  500,0  649,3  1149,3m
y P  y A  bcos AP  500,0  1126,2
 1626,2m
Riattacco con intersezione laterale
Il problema è del tutto simile al precedente con la
differenza che invece di fare stazione sui due punti noti
A e B si fa stazione su un punto noto, per esempio A, e
sul punto incognito P (che quindi deve risultare
accessibile). Il problema si risolve in maniera del tutto
analoga al precedente e le osservazioni fatte possono
essere ripetute.
I metodi di rilevamento tradizionali
51
Utilizzo delle osservazioni indirette nei metodi di riattacco
Il rilievo per intersezione può essere risolto con il metodo delle osservazioni indirette
applicate all’osservabile “angolo azimutale”. Consideriamo lo schema generico
L’equazione all’osservazione per l’angolo azimutale    sa   si vale

 

x  xs
x  xs
 arctg a
 K sa    arctg i
 K si    sia mis  v [equazione dell’angolo azimutale]

ya  y s
yi  y s

 

dove compaiono i residui visto che l’angolo teorico non può essere uguale a quello
misurato per via degli errori che sempre si compiono. Il coefficiente K va aggiunto in
funzione del quadrante nel quale cade la direzione.
K=0
K=200
K=400
I quadrante
II e III quadrante
IV quadrante
Visto che per ricondurci alle equazioni viste nel metodo delle osservazioni indirette
occorre trasformare l’equazione in una forma lineare, si deve linearizzare applicando la
serie di Taylor (fermata al primo ordine) all’equazione dell’angolo azimutale.
 f
f ( x s , y s , x i , y i , x a , y a )  f ( x s0 , y s0 , xi0 , y i0 , x a0 , y a0 )  
 x s
 f
 
 x a

 f
 x a  

 y
0
 a

 f
 x s  

 y
0
 s

 f
 y s  

 x
0
 i

 f
 xi  

 y
0
 i

 y i 

0

 y a

0
Eseguendo le derivate parziali rispetto alle incognite si ottiene la forma lineare
 y ao  y so y io  y so

 (d o ) 2
(d sio ) 2
 sa
  sia mis  v
o
 sia

o
o
o

 o
 x   x a  x s  xi  x s
s

 (d o ) 2
(d sio ) 2

 sa
o
o
o
o
o
o
o
o

 y  y i  y s x  xi  x s y  y a  y s x  x a  x s y
s
i
i
a
a
o 2
o 2

(d sio ) 2
(d sio ) 2
(d sa
)
(d sa
)

dove

0
 f ( x s0 , y s0 , xi0 , yi0 , x a0 , y a0 )   arctg
 sia


 

x 0  x s0
 K sa    arctg i
 K si 
0
0
0
0



ya  ys
yi  y s
 

x a0  x s0
I metodi di rilevamento tradizionali
52
ottenuto sostituendo dei valori approssimati della variabili (note a priori o in modo
approssimato) che descrivono la funzione nell’intorno del punto di linearizzazione. Quindi
la forma generale, non lineare, può essere riassunta nella seguente forma lineare
0
a1 x s  a 2 y s  a 3 xi  a 4 y i  a 5 x a  a 6 y a  ( sia mis   sia
)v
I coefficienti a rappresenteranno le parti note che moltiplicano le variabili nel sistema
normale che nasce dalle osservazioni disponibili. Tra parentesi compaiono le discrepanze,
ovvero le differenza tra il valore dell’angolo misurato e quello noto a priori. Come si vede
la misura di un angolo azimutale fornisce un’equazione nelle incognite x e y relative ai tre
punti coinvolti. In funzione del tipo di rilievo alcune coordinate possono essere note e
quindi, non dovendo differenziare rispetto tali valori, esse non compariranno
nell’equazione e così neanche i coefficienti associati.
Vediamo un esempio di intersezione in avanti dove si aggiunge una misura azimutale al
caso esposto nell’esercizio precedente. Le misure diventano ridondanti ed è possibile
compensare i valori applicando il metodo delle osservazioni indirette.
Facendo stazione sui punti noti A, B e C si vogliono determinare le coordinate del punto P misurando gli angoli
, , e  come in figura. Gli angoli sono misurati con strumentazione che fornisce una accuratezza di 5”. Si
hanno così 3 osservazioni (numero delle misure eseguite) nelle 2 incognite che sono le coordinate X p e Y p . Il
sistema pertanto è ridondante.
Occorrono dei valori approssimati ( X 0p , Y p0 ) delle coordinate del punto P e le incognite diventeranno le
discrepanze
x p  X p  X 0p
y p  Y p  Y p0
Che una volta risolto il problema saranno applicate al valore approssimato per ottenere il valore vero.
 X A  500 m
Le coordinate dei punti noti valgono 
Y A  500 m
 X B  1500 m

YB  1000 m
 X C  1700 m

YC  1500 m
mentre gli angoli misurati sono i seguenti
 = 33°28’14’’ = 33°,47055556 = 0.5841714r
r
 = 87°18’37’’ = 87°,31027778 = 1.5238518
r
 = 81°06’31’’ = 81°,10853573 = 1.415611
I metodi di rilevamento tradizionali
53
Scriviamo le 3 equazioni alle osservazioni relative generate dalle misure di , , e 
X  Xa 
X  X  
   mis  v1
  arctg p
 
Y p  Ya 
 
 

X p  Xb

X  Xb
     mis  v 2
  arctg
 2    arctg a
 

Y p  Yb
Ya  Yb



 

X p  Xc

X  Xc
     mis  v3
  arctg
 2    arctg b


Y p  Yc
Yb  Yc

 


a
 AB   AP   arctg b
Y

Y
b
a

 BP   BA
 CP   CB
Prima di linearizzare occorre trovare delle coordinate a priori per il punto P. Queste si possono ricavare
dall’intersezione semplice applicata per esempio al triangolo PAB, esercizio già visto che ha fornito le seguenti
coordinate
X 0p  1149,30m
Y p0  1626,20m
Per uniformità delle grandezze che compaiono nelle equazioni occorre trasformare tutti gli angoli in radianti. La
linearizzazione (con sviluppo in serie di Taylor) avviene differenziando rispetto alle incognite x p ed y p . Si
ottengono le seguenti equazioni lineari
 Y p0  Ya 
 X 0p  X a
x p  
 (d opa ) 2 
 (d opa ) 2

 y p   mis  v1


 Y p0  Ya
 o 2
 (d pa )

 X 0p  X a
x p  

 (d opa ) 2

 y p  ( mis   o )  v1

 Y p0  Y 
 X 0p  X
b
b
x p  
 (d opb ) 2 
 (d opb ) 2




 y p   mis  v 2



 Y p0  Y
b

 (d opb ) 2


 X 0p  X
b
x p  

 (d opb ) 2



 y p  (  mis   o )  v 2


 X 0p  X c
 Y p0  Yc 
x p  
 (d opc ) 2 
 (d opc ) 2

 y p   mis  v 3


 Y p0  Yc

 (d opc ) 2
 X 0p  X c

x p  

 (d opc ) 2

 y p  ( mis   o )  v 3

o 
o 
o 
a11 x1  ...  a1n x n  b1  v1

A questo punto ci siamo ricondotti al caso generico ...
a x  ...  a x  b  v
mn n
m
n
 m1 1
 Ax  b  v
dove i residui compaiono in quanto le coordinate a priori utilizzate in prima approssimazione non possono
rispettare le singole osservazioni.
I valori  0 ,  0 ,  0 sono i valori f ( x 0 ) , quelli determinati sostituendo le coordinate note e quelle approssimate
nella funzione da derivare
X  Xa 
X  X  

  arctg p
 
Y p  Ya 
 
 

X p  Xb

X  Xb
 0   arctg
   
 2    arctg a


Y
Y
Y
Y


p
b
a
b

 


 
X p  Xc

X  Xc
 2    arctg b
 0   arctg
   

 
Y p  Yc
Yb  Yc




a
 0   arctg b
Yb  Ya

33°,469755 = 0,5841574 r
87°,314274 = 1,5239216r
81°,105791 = 1,4155631 r
Nei coefficienti tra parentesi quadra compaiono le distanze tra P ed i vari punti noti che si possono calcolare
sempre a partire dalle coordinate approssimate di P e da quelle note di A, B e C.
I metodi di rilevamento tradizionali
X
d pa 
X
X
d pb 
d pc 
0
p
 Xa
0
p
 Xb
0
p
 Xc
  Y
2
  Y
  Y
0
p
2
0
p
2
0
p
 Ya

2

Y 
 Yb
2
2
c
54
= 1299,968 m
= 717,716 m
= 564,975 m
A questo punto cominciamo a costruire le matrici coinvolte nel calcolo
MATRICE DEI COEFFICIENTI: avrà dimensione m (righe, ovvero osservazioni) x n (colonne, ovvero
incognite) ed è rappresentata dai termini racchiuse dalle parentesi quadre. La matrice A(3x2) sarà la seguente
0,000666423 0,000384220
A
0,001215646
0,000680816
0,000395367
0,001725267
VETTORE DELLE INCOGNITE: avrà dimensione n (righe, ovvero incognite) x 1 e rappresenta le incognite del
problema. Il vettore x (2x1) sarà
x
xp
yp
VETTORED DELLE DISCREPANZE: avrà dimensione m (righe, ovvero una per ogni osservazione) x 1. Il
vettore (3x1) sarà
0,000014
b   0,000070
0,000048
Troviamo la soluzione xˆ  ( AT PA) 1 AT Pb  N 1 AT Pb calcolando prima di tutto la matrice normale
 0,000666423 0,000384220
N
0,001215646
0,000680816
0,000395332
0,001725267
(2 x3)
T
 0,000666423 0,000384220
P
0,001215646
0,000680816
0,000395332
0,001725267
(3 x3)
(3x 2)
La matrice dei pesi può essere considerata unitaria in quanto tutte le misure hanno la stessa accuratezza (5”).
Potremmo anche fissare una varianza dell’unità di peso (che è comunque arbitraria all’inizio della procedura) di
5”, in modo che i singoli pesi siano tutti unitari. Questo semplifica il calcolo ma per misure dello stesso peso il
risultato finale non cambierebbe con un valore generico della varianza dell’unità di peso in quanto i singoli pesi
rimangono tutti uguali. La matrice dell’unità di peso unitaria (3x3) sarà del tipo
1 0 0
P 0 1 0
0 0 1
Si ottiene una matrice normale N 
x  N 1 AT Pb 
0,054
0,030
2,078  10 6
1,254  10 6
1,254  10 6
3,588  10 6
(metri)
Visto che x p  X p  X 0p e y p  Y p  Y p0 si ricavano i valori delle incognite compensate che saranno
I metodi di rilevamento tradizionali
55
X p  X 0p  x p  1149,30  0,054  1149,246 m
Y p  Y p0  y p  1626,20  0,030  1626,230 m
Questo può essere considerato come un risultato di prima iterazione. Infatti i nuovi valori (più accurati) delle
coordinate approssimate del punto P possono essere utilizzati per affinare la procedura di linearizzazione delle
equazioni. Questo significa ricalcolare i nuovi coefficienti della matrice A ed il vettore dei termini noti b
(metodo degli Iperpiani Tangenti) oppure aggiornare solamente il vettore dei termini noti b (metodi degli
Iperpiani Paralleli). In entrambi i casi le iterazioni si fermeranno quando la soluzione converge nei limiti
desiderati, ovvero quando
soluzione t – soluzione t-1 < termine soglia
Consideriamo la soluzione accettabile e vediamo come si ottiene la stima dell’errore associato alle coordinate.
Occorre calcolare la matrice di varianza-covarianza C x   02 N 1 supponendo di avere una varianza dell’unità di
peso di 5” = 2,42 10-5 rad.
Cx 
2
 Xp
 Xp ,Yp
  02
2
 Yp
2,078  10 6
1,253  10 6
3,588  10
6
1

3,58  10 4
 1,25  10 4
2,07  10
4
(m2)
Si ricavano quindi i valori degli scarti quadratici medi  Xp  0,019m,  Yp  0,014m che come si vede sono di
un ordine di grandezza inferiore ai risultati. Come ultima considerazione calcoliamo i semiassi maggiore e
minore dell’ellissi d’errore dalla formula
2
( X2   Y2 )  ( X2   Y2 ) 2  4 XY
2
 Semiasse max = 0,020 m, Semiasse min = 0,011 m
L’inclinazione dell’asse di rotazione è data da  
2
1
arctg 2 XY 2
2
 X Y
( X2   Y2 )  0 e  xy  0 , l’ellissi ricade nel caso in cui 0 <  < -45.
= -0,51445r = -29°,47. Visto che
I metodi di rilevamento tradizionali
56
Irradiamento
L’utilizzo dei distanziometri ad onde consente il collegamento di un punto incognito P a
due punti noti in modo molto speditivo grazie al rilievo per irradiamento (o per polari).
Occorre fare stazione su di un punto noto (A nella figura), collimare un altro punto
anch’esso noto (B nella figura), ed eseguire la misura dell’angolo azimutale rispetto a P e
della distanza dAP (ridotta all’orizzontale).
Le coordinate di P sono immediate in quanto è nota
l’anomalia  AP   AB   dopo la misura di .
x P  x A  dsen AP
y P  y A  d cos  AP
Per ottenere  AP occorre calcolare l’anomalia relativa
alla direzione AB:
 AB  arctg
xB  x A
yB  y A
Il metodo permette di stazionare su un solo vertice ed è quindi più economico, da un
punto di vista operativo, delle intersezioni in avanti e laterali. Le misure sono in numero
strettamente sufficienti a determinare le incognite e non consente quindi alcun controllo.
Raffittimento tramite poligonali
Come già detto la poligonale entra in gioco nei rilievi a grande scala quando occorre
istituire una valida rete di appoggio per il successivo rilievo di dettaglio. Si utilizza nei
cantieri, nei rilievi dei siti archeologici ai fini della loro rappresentazione cartografica
oppure nel rilievo di oggetti, manufatti, infrastrutture ecc. localizzati in aree di limitata
estensione.
Vedremo le poligonali aperte e le poligonali chiuse, anticipando già da ora che nel rilievo
entrano in gioco anche le misure di distanza che saranno da ridurre alla superficie di
riferimento prima di eseguire il calcolo della stessa poligonale.
a) Poligonali aperte
Quando nell’area di rilievo il numero dei vertici non è sufficiente, si procede al loro
raffittimento attraverso la creazione di nuovi vertici ed alla loro connessione con altri
vertici di coordinate note. I nuovi vertici quindi saranno inseriti in un certo sistema di
riferimento cartografico, il medesimo delle coordinate note.
Lo schema proposto nella figura seguente è relativo ad una poligonale aperta dove i due
punti iniziali ed i due finali sono di coordinate note. Ai fini dell’inquadramento dei vertici
della poligonale due punti noti sarebbero sufficienti, ma per avere un controllo sul
risultato finale se ne utilizzano quattro. Lo schema del rilievo, condotto con l’utilizzo di
una stazione totale, è il seguente.
I metodi di rilevamento tradizionali
57
Siano A, B, 1 ed n (indicati con un triangolo) i vertici di coordinate note e tutti gli altri
punti della poligonale (cerchi) vertici di nuova istituzione dei quali occorre determinare le
coordinate. Il rilievo comincia facendo stazione in 1 e collimando il vertice noto A, poi si
collima il primo punto da rilevare 2 leggendo l'angolo azimutale 1 e la distanza fra 1 e 2
che chiameremo l12. Questo tipo di misura viene effettuata tramite una stazione totale.
La misura della poligonale procede facendo stazione successivamente sui punti da
determinare e leggendo i valori degli angoli azimutali  (rispetto al punto avanti ed a
quello indietro) e le distanza l fra i punti11.
Il primo angolo di direzione 1A (formato rispetto all'asse delle ordinate) si può calcolare
nel modo consueto
tg1 A 
x  x1
x A  x1
 1 A  arctg A
y A  y1
y A  y1
e quindi il primo angolo di direzione 12  1 A  1 . Gli altri angoli di direzione si ricavano
dalle relazioni
 23  12  ( 2   )  1A  1   2  
 34   23  ( 3   )  1A  1   2   3  2
Il segno di  deve essere valutato in relazione agli angoli in gioco. Esso sarà positivo nella
condizione in cui  i   i 1   e negativo per  i   i 1   .
Si procede nella stessa sequenza fino ad arrivare al calcolo dell'ultimo angolo che è  nB il
quale però potrebbe anche essere calcolato essendo note le coordinate dei due punti che
individuano tale direzione. Sia infatti  nB il valore dovuto all’esistenza di errori di misura
che si propagano lungo la poligonale e  nB quello calcolato in base alle coordinate note
dalla
x  xn
tg nB  B

y B  yn
11
 nB  arctg
x B  xn
y B  yn
La misura della distanza richiede la presenza del prisma retroriflettente sui vertici avanti ed indietro rispetto a
quello di stazione.
I metodi di rilevamento tradizionali
58
La differenza    nB   nB si chiama errore di chiusura angolare e dipende dagli errori
commessi durante la misura della poligonale.
Vediamo ora come sia possibile valutare anche a-priori l’errore atteso nell’esecuzione della poligonale sfruttando
la legge della propagazione della varianza con riferimento alle formule della poligonale. Visto che il valore  nB
è funzione lineare di n misure  (tutte con varianza  2 dipendente dallo strumento), la varianza associata a  nB
sarà:
 2   21   2 2   2 3  ...... 2n  n 2       n
Nella lettura degli angoli azimutali con strumenti ottico-meccanici si effettua la differenza tra due direzioni, e
quindi l'errore sulla lettura si può scrivere come     l 2 dove il valore  l dipende proprio dallo strumento
utilizzato (si suppone l’assenza di errori dovuti all’operatore). Fissando ad esempio un errore strumentale pari a
1c o 30cc centesimali nella lettura degli angoli si avrà un errori a-priori complessivo pari a
1,5 c n
   l 2 n  
45 cc n
anche se normalmente l'errore consentito t (ovvero la cosiddetta tolleranza angolare) è il doppio di quello
stimato per questa via. Quindi
3c n
t  
90 cc n
Se l'errore di chiusura angolare rientra nei limiti della tolleranza fissata si può procedere
alla sua “ridistribuzione” sui valori angolari misurati ed al ricalcolo degli angoli di
direzione. Il termine di correzione da applicare alle singole letture sarà /n e di
conseguenza saranno poi ricalcolati i valori degli angoli di direzione, che subiranno una
correzione funzione del numero di misurazioni angolari dalle quali dipendono.
Il calcolo delle coordinate dei vertici avviene attraverso le equazioni
 x 2  x1  l12 sen12

 y 2  y1  l12 cos 12
 x 3  x 2  l 23 sen 23  x1  l12 sen12  l 23 sen 23

 y 3  y 2  l 23 cos  23  y1  l12 cos 12  l 23 cos  23
Le distanze devono prima essere ridotte alla superficie di riferimento e quindi, come già
visto, occorre misurare anche l’angolo zenitale. Si arrivano a calcolare le coordinate
dell'ultimo vertice x n , y n . La differenza tra le coordinate calcolate e quelle note x n , y n
sarà
x  x n  x n
y  y n  y n
La quantità   2x  2y rappresenta l'errore di chiusura lineare. Anche questo errore può
essere ridistribuito sulle coordinate modificando queste ultime in proporzione alla
lunghezza del tratto di poligonale.
l x 
x
n
l
i 2
i 1,i
l y 
y
n
l
i 2
i 1,i
 xi  xi 1  li 1,i sin  i 1,i  l x li 1,i
 yi  yi 1  li 1,i cos i 1,i  l y li 1,i
ottenendo che 
I metodi di rilevamento tradizionali
59
b) Poligonali chiuse
Le poligonali chiuse possono essere realizzate indipendentemente dall’esistenza o meno
di vertici trigonometrici nell’area del rilevamento e quindi di un sistema di riferimento
cartografico. In effetti tali poligonali sono utilizzate quando il rilievo ha una sua
consistenza anche in un riferimento locale; è il caso ad esempio di una poligonale
realizzata per il controllo di un manufatto o di una componente di un impianto industriale.
La geometria stessa consente una verifica dei dati, infatti la somma degli angoli interni
dovrà essere uguale a (n-2), con n numero dei lati. Questo a meno degli errori
commessi durante le misure. Al solito la differenza fra i valori misurati e quelli teorici
dovrà rientrare in una tolleranza , e si potranno correggere le misure applicando in parti
uguali la correzione ai valori di  misurati. Poi si ricalcolano le direzioni  e quindi si
prosegue fino alla determinazione delle coordinate.
Gli assi XY possono essere scelti con origine coincidente con l'emanazione della
poligonale ed un'asse orientato secondo un lato. In questo caso, il più semplice, il punto
1 avrà coordinate (0, 0) e la prima direzione sarà uguale al primo .
I metodi di rilevamento tradizionali
60
Utilizzo delle osservazioni indirette nelle misure di distanza
Le misure di distanza consentono di dimensionare un qualsiasi rilievo. Infatti in una rete
topografica dove si misurano solo angoli sarebbe impossibile definire la sua reale
estensione a meno che non si conosca anche una misura di distanza oppure una coppia di
coordinate di due vertici (che non è altro che una distanza). La singola misura di distanza
può entrare quindi a far parte di rilievi misti (con angoli e distanze come nelle poligonali)
ma può anche costituire una diversa osservabile nelle soluzioni dei problemi topografici
attraverso il metodo delle osservazioni indirette. A volte, soprattutto nelle misure
dedicate al monitoraggio di strutture, edifici ed infrastrutture, anche la misura di una
distanza ripetuta nel tempo può fornire una indicazione di possibili deformazioni in atto.
Prima di vedere come l’osservabile distanza entra nella risoluzione dei problemi
topografici con le osservazioni indirette, occorre ricavare l’equazione linearizzata da
associare alle misure di distanza.
Dati i punti Pa e PS, tra i quali viene misurata la distanza dsa, si può scrivere un’equazione
all’osservazione del tipo
 x a  x s 2   y a  y s 2
 d sa mis  v
[equazione della distanza]
dove compaiono i residui visto che la distanza teorica non può essere uguale a quella
misurata per via degli errori che sempre si compiono.
Come nel caso precedente si applica la serie di Taylor (fermata al primo ordine)
all’equazione della distanza
 f
f ( x s , y s , x a , y a )  f ( x s0 , y s0 , x a0 , y a0 )  
 x s

 f
 x s  

 y
0
 s

 f
 y s  

 x
0
 a

 f
 x a  

 y
0
 a

 y a

0
Eseguendo le derivate parziali rispetto alle incognite si ottiene la forma
x o  x so
y o  y so
x o  x so
y o  y so
o
d sa
 a
xa  a
ya  a
xs  a
y s  d sa mis  v
o
o
o
o
d sa
d sa
d sa
d sa
dove
0
d sa
 f ( x s0 , y s0 , x a0 , y a0 ) 
x
0
a
 x s0
  y
2
0
a

2
 y s0
ottenuta sostituendo i valori relativi all’intorno del punto (noti a priori o in modo
approssimato). Quindi la forma generale, non lineare, può essere riassunta nella forma
lineare dell’equazione alla distanza
I metodi di rilevamento tradizionali
61
0
a1 x a  a 2 y a  a 3 x s  a 4 y s  (d sa mis  d sa
)v
I valori di a rappresenteranno i coefficienti nel sistema normale che nasce dalle
osservazioni, mentre tra parentesi compaiono le discrepanze (differenza tra il valore della
distanza misurata e quella nota a priori in modo approssimato). Come si vede la misura
di una distanza fornisce una equazione nelle incognite x e y relative ai punti coinvolti. In
funzione del tipo di rilievo alcune coordinate possono essere note e quindi, non dovendo
differenziare rispetto tali valori, esse non compariranno nell’equazione e così neanche i
coefficienti associati.
Dai punti noti A, B e C (disposi come nell’esercizio precedente) si vogliono determinare le coordinate del punto
P misurando le distanze dAP, dBP e dCP come in figura. Le distanze sono misurate con distanziometri ad onde che
forniscono una accuratezza di 5 mm. Si hanno così 3 osservazioni (numero delle misure eseguite) nelle 2
incognite che sono le coordinate X p e Y p . Il sistema è ridondante.
Occorrono dei valori approssimati ( X 0p , Y p0 ) delle coordinate del punto P e le incognite diventeranno le
discrepanze
x p  X p  X 0p
y p  Y p  Y p0
che alla fine saranno applicate al valore approssimato per avere il valore cercato delle incognite.
 X A  500,000 m
Le coordinate dei punti noti valgono 
Y A  500,000 m
 X B  1500,000 m

YB  1000,000 m
mentre le distanze misurate con distanziometro ad onde sono le seguenti
dAP = 1300,007 m
dBP = 717,705 m
dCP = 565,011 m
 X C  1700,000 m

YC  1500,000 m
I metodi di rilevamento tradizionali
62
Scriviamo le 3 equazioni alle osservazioni relative generate dalle misure di distanza eseguite da A, B e C verso il
punto incognito P
X
X
X
p
 Xa
p
 Xb
p
 Xc
  Y
  Y
  Y
2
p
2

Y 
Y 
 Ya
2
2
p
2
b
2
p
c
 d AP mis  v1
 d PB mis  v 2
 d PC mis  v3
Prima di linearizzare occorre trovare delle coordinate a priori per il punto P. Queste si potrebbero ricavare
applicando il teorema di Carnot ai triangoli APB e BPC, per i quali sono noti i tre lati (due misurati ed uno noto
in base alle coordinate fisse). Ad esempio
2
2
2
d BP
 d AP
 d AB
 2d AP d AB cos   cos   
2
2
2
d BP
 d AP
 d AB
 0,83420    33°,467268
2d AP d AB
dove  è l’angolo PÂB (la condizione sarebbe sufficiente a calcolare le coordinate di P per irradiamento.
Oppure, con metodo analogo si potrebbe calcolare l’angolo  ed applicare le formule dell’intersezione in avanti,
arrivando all’incirca alla stessa soluzione per le coordinate di P. Ai fini dell’esercizio utilizziamo le solite
coordinate a priori già disponibili per il punto incognito P, ovvero
X 0p  1149,30m
Y p0  1626,20m
La linearizzazione (con sviluppo in serie di Taylor) avviene differenziando rispetto alle incognite x p ed y p . Si
ottengono le seguenti equazioni lineari secondo i coefficienti racchiusi tra parentesi quadre
 X op  X a

o
 d AP
 Y po  Ya

xp  
o
 d AP


o
 y p  (d AP mis  d AP
)  v1

 X op  X
b

o
 d BP

 Y po  Y
b
x p  
o
 d BP


o
 y p  (d BP mis  d BP
)  v2

 X op  X c

o
 d CP

 Y po  Yc
x p  
o

 d CP

o
 y p  (d CP mis  d CP
)  v3

Nei coefficienti tra parentesi quadra compaiono le distanze tra i vari punti che si possono calcolare sempre a
partire dai valori approssimati di P e da quelli noti di A, B e C
0
d AP

0
d BP

0
d CP

X
X
X
0
p
 Xa
0
p
 Xb
0
p
 Xc
  Y
  Y
  Y
2
0
p
2
0
p
2
0
p

Y 
Y 
 Ya
2
2
b
2
c
= 1299,968 m
= 717,716 m
= 564,975 m
I metodi di rilevamento tradizionali
63
MATRICE DEI COEFFICIENTI: avrà dimensione m (righe, ovvero osservazioni) x n (colonne, ovvero
incognite) ed è rappresentata dai termini racchiuse nelle parentesi quadre. La matrice A (3x2) sarà la seguente
0,499473814 0,866328984
A   0,488633068 0,872489384
 0,974733121 0,223372653
VETTORE DELLE INCOGNITE: avrà dimensione n (righe, ovvero incognite) x 1 e rappresenta le incognite del
problema. Il vettore x (2x1) sarà
x
xp
yp
(metri)
VETTORED DELLE DISCREPANZE: avrà dimensione m (righe, ovvero una per ogni osservazione) x 1. Il
vettore (3x1) sarà
0,03895
b   0,01147 (metri)
0,03584
Troviamo la soluzione xˆ  ( AT PA) 1 AT Pb  N 1 AT Pb calcolando prima di tutto la matrice normale
0,499473814
0,866328984
T
0,499473814 0,866328984
N   0,488633068 0,872489384 P  0,488633068 0,872489384
 0,974733121 0,223372653
 0,974733121 0,223372653
(2 x3)
(3x3)
(3 x 2)
Anche qui la matrice dei pesi può essere considerata unitaria in quanto tutte le misure hanno la stessa
accuratezza (5 mm). Infatti una varianza dell’unità di peso di 5 mm renderebbe i singoli pesi tutti unitari.
Si ottiene una matrice normale N 
x  N 1 AT Pb 
0,0039
0,0198
1,438341 0,211347
1,561659
(metri)
Visto che x p  X p  X 0p e y p  Y p  Y p0 si ricavano i valori delle incognite compensate che saranno
X p  X 0p  x p  1149,3000  0,0040  1149,296 m
Y p  Y p0  y p  1626,2000  0,0198  1626,220 m
Come prima questo può essere considerato come un risultato di prima iterazione e il processo di compensazione
potrebbe proseguire attraverso il metodo degli Iperpiani Tangenti oppure quello degli Iperpiani Paralleli. Le
iterazioni si fermeranno quando la soluzione converge nei limiti desiderati.
I metodi di rilevamento tradizionali
64
Consideriamo la soluzione ottenuta accettabile e calcoliamo l’errore associato alle coordinate attraverso la
matrice di varianza-covarianza C x   02 N 1 supponendo di avere una varianza dell’unità di peso di 5 mm.
Cx 
2
1,438256  0,211368
 Xp
 Xp,Yp
  02
2
1,561652
 Yp
1

1,77  10 5
2,4  10 6
1,63  10
5
(m2)
Si ricavano quindi i valori degli scarti quadratici medi  Xp  4,2 mm,  Yp  4,0 mm . Come ultima
considerazione calcoliamo i semiassi maggiore e minore dell’ellissi d’errore dalla formula
2
( X2   Y2 )  ( X2   Y2 ) 2  4 XY
2
 Semiasse max = 4,4 mm, Semiasse min = 3,8 mm
L’inclinazione dell’asse di rotazione è data da  
2
1
arctg 2 XY 2 = = 0,64346r = 36°,87. Visto che
2
 X Y
( X2   Y2 )  0 e  xy  0 , l’ellissi ricade nel caso in cui 0 <  < 45.
I metodi di rilevamento tradizionali
65
Utilizzo delle osservazioni indirette nelle misure di angoli e
distanze
Nel caso di reti con misure di angoli e distanze si hanno equazioni alle osservazioni che
sono dimensionalmente diverse e si pone quindi il problema di una loro omogenizzazione.
Il problema si risolve assegnando alle singole osservazioni un peso che consideri
correttamente la diversa natura di misure che avranno anche accuratezza differente. Nel
calcolo dei pesi la varianza dell’unità di peso dovrà essere espressa in radianti. Vediamo
un esercizio, che utilizza il precedente schema di rilievo, dove le misure di distanze ed
angoli vengono eseguite contemporaneamente aumentando la ridondanza delle
osservazioni.
Dai punti noti A, B e C si vogliono determinare le coordinate del punto P misurando gli angoli , , e  e le
distanze dAP, dBP e dCP come in figura. La stazione totale utilizzata fornisce una accuratezza di 10” nella misura
degli angoli e 5 mm in quella delle distanze. Si hanno così 6 osservazioni (numero delle misure eseguite) nelle 2
incognite che sono le coordinate X p e Y p . Il sistema è ridondante.
Occorrono dei valori approssimati ( X 0p , Y p0 ) delle coordinate del punto P e le incognite diventeranno le
discrepanze
x p  X p  X 0p
y p  Y p  Y p0
che alla fine saranno applicate al valore approssimato per avere il valore vero.
 X A  500 m
Le coordinate dei punti noti valgono 
Y A  500 m
 X B  1500 m

YB  1000 m
 X C  1700 m

YC  1500 m
gli angoli misurati sono i seguenti
 = 33°28’14’’ = 33°,47055556 = 0.5841714r
r
 = 87°18’37’’ = 87°,31027778 = 1.5238518
r
 = 81°06’31’’ = 81°,10853573 = 1.4156110
le distanze misurate sono le seguenti
dAP = 1300,007
dBP = 717,705 m
dCP = 565,011 m
I metodi di rilevamento tradizionali
66
Possiamo prendere le 6 equazioni alle osservazioni direttamente dagli esercizi precedenti

X X 

X  Xa  
a
   mis  v1
  arctg p
 AB   AP   arctg b
 

Y

Y
Y

Y
b
a  
p
a 





  arctg


X p  Xb
 BP   BA   arctg
 CP   CB
X
X
X
p
 Xa
p
 Xb
p
 Xc
  Y
  Y
  Y
Y p  Yb
X p  Xc
Y p  Yc
2
p
2

Y 
Y 
 Ya
2
2
 d PB mis  v5
b
2
p
 

X  Xc
 2    arctg b
     mis  v3
 
Yb  Yc


 d AP mis  v 4
2
p
 

X  Xb
 2    arctg a
     mis  v 2
 
Ya  Yb


 d PC mis  v6
c
Prima di linearizzare occorre trovare delle coordinate a priori per il punto P. Queste si possono ricavare
dall’intersezione semplice applicata per esempio al triangolo PAB, esercizio già visto che ha fornito le seguenti
coordinate
X 0p  1149,30m
Y p0  1626,20m
Dopo linearizzazione si ottengono le equazioni lineari già viste nei due esercizi precedenti
 Y p0  Ya
 o 2
 (d pa )

 X 0p  X a
x p  

 (d opa ) 2

 y p  ( mis   o )  v1

 Y p0  Y
b

 (d opb ) 2


 X 0p  X
b
x p  

 (d opb ) 2



 y p  (  mis   o )  v 2


 Y p0  Yc

 (d opc ) 2

 X 0p  X c
x p  

 (d opc ) 2

 y p  ( mis   o )  v 3

 X op  X a

o
 d AP

 Y po  Ya
x p  
o

 d AP

o
 y p  (d AP mis  d AP
)  v4

 X op  X
b

o
 d BP

 Y po  Y
b
x p  
o

 d BP

o
 y p  (d BP mis  d BP
)  v5

 X op  X c

o
 d CP

 Y po  Yc
x p  
o

 d CP

o
 y p  (d CP mis  d CP
)  v6

Al solito le distanze, note a priori, tra i vari punti sono le seguenti:
0
d AP

0
d BP

0
d CP

X
X
X
0
p
 Xa
0
p
 Xb
0
p
 Xc
  Y
  Y
  Y
2
0
p
2
0
p
2
0
p

Y 
Y 
 Ya
2
2
b
2
c
= 1299,968 m
= 717,716 m
= 564,975 m
I metodi di rilevamento tradizionali
67
MATRICE DEI COEFFICIENTI: avrà dimensione m (righe, ovvero osservazioni) x n (colonne, ovvero
incognite) ed è rappresentata dai termini racchiuse nelle parentesi quadre. La matrice A (6x2) sarà la seguente
 0,000666423
0,000384220
0,001215646
0,000680816
0,000395367
0,001725267
0,499473814
0,866328984
A
 0,488633068
0,872489384
 0,974733121
0,223372653
VETTORE DELLE INCOGNITE: avrà dimensione n (righe, ovvero incognite) x 1 e rappresenta le incognite del
problema. Il vettore x (2x1) sarà
x
xp
yp
(metri)
VETTORED DELLE DISCREPANZE: avrà dimensione m (righe, una per ogni osservazione) x 1. Il vettore
(6x1) sarà
0,000014
 0,000070
b 
0,000048
(radianti e metri)
0,038950
 0,011470
0,035841
MATRICE DEI PESI: avrà dimensione m x m (matrice diagonale). Assunta una varianza dell’unità di peso di
0,01 radianti, i pesi delle osservazioni angolari si ottengono dalla forma p i   02 /  i2 e quindi
pi 
(0,01) 2



10"

180

60

60


2
 42545,1703
i  1,2,3
mentre i pesi associati alle misure di distanza saranno
pj 
(0,01) 2
0,0052
metri 2
 4 j  4,5,6
Quindi la matrice diagonale dei pesi si può scrivere come P  diag 42545,1703; 42545,1703; 42545,1703; 4; 4; 4
Troviamo la soluzione xˆ  ( AT PA) 1 AT Pb  N 1 AT Pb calcolando prima di tutto la matrice normale
 0,000666423
N
0,000384220
0,001215646
0,000680816
0,000395367
0,001725267
0,499473814
0,866328984
 0,488633068
0,872489384
 0,974733121
0,223372653
(2 x6)
T
 0,000666423
p1
p2

p3

p4
p5
p6
( 6 x 6)
0,000384220
0,001215646
0,000680816
0,000395367
0,001725267
0,499473814
0,866328984
 0,488633068
0,872489384
 0,974733121
0,223372653
(6 x 2)
I metodi di rilevamento tradizionali
Si ottiene una matrice normale N 
x  N 1 AT Pb 
0,005
0,019
68
5,841782 0,792050
6,399274
(metri)
Una soluzione del tutto simile alla precedente ma con l’aggiunta delle misure angolari. Ovviamente, anche se in
assoluto il risultato non cambia di molto con l’introduzione di misure ridondanti, la soluzione viene considerata
più robusta a patto che le due misure siano di accuratezza comparabile. L’ellisse d’errore quindi può cambiare
dimensione o, soprattutto, orientamento. Infatti, proprio nel caso di misure miste, la soluzione finale può
presentare una migliore consistenza geometrica.
Visto che x p  X p  X 0p e y p  Y p  Y p0 , si ricavano i valori delle incognite compensate che saranno
X p  X 0p  x p  1149,300  0,005  1149,295 m
Y p  Y p0  y p  1626,200  0,019  1626,219 m
Il risultato di prima iterazione, e quindi l’intero processo di compensazione, potrebbe proseguire attraverso il
metodo degli Iperpiani Tangenti oppure quello degli Iperpiani Paralleli. Consideriamo la soluzione ottenuta
accettabile e calcoliamo l’errore associato alle coordinate attraverso la matrice di varianza-covarianza
C x   02 N 1
Cx 
2
 Xp
 Xp ,Yp
1,74  10 5 2,15  10 6

2
 Yp
1,59  10 5
(m2)
Si ricavano quindi i valori degli scarti quadratici medi  Xp  0,0042 m,  Yp  0.0040 m . Calcoliamo ora i
semiassi maggiore e minore dell’ellissi d’errore dalla solita formula
2
( X2   Y2 )  ( X2   Y2 ) 2  4 XY
2
 Semiasse max = 0,0044 m, Semiasse min = 0,0038 m
L’inclinazione dell’asse di rotazione è data da  
2
1
arctg 2 XY 2
2
 X Y
( X2   Y2 )  0 e  xy  0 , l’ellissi ricade nel caso in cui 0 <  < 45.
----------------------------------------------------------------------
= 0,616202r = 35°,30. Visto che
I metodi di rilevamento tradizionali
69
Rilievo altimetrico
Livellazione geometrica dal mezzo
Rappresenta la tecnica di rilievo che consente di determinare i dislivelli con la massima
precisione raggiungibile in topografia. Lo strumento che consente questo tipo di
operazione è il livello utilizzato unitamente alle stadie graduate. Il livello, sia nella
versione ottico meccanica (autolivello) sia in quella digitale (livello digitale), consente di
collimare la stadia lungo una direzione orizzontale contenuta nel piano orizzontale
passante per il centro dello strumento. La figura rappresenta lo schema di una battuta di
livellazione che consente, attraverso le letture alle stadie nelle posizioni avanti e indietro,
la misura del dislivello fra i punti A e B di stazionamento delle stesse.
Il dislivello relativo ad una singola battuta di livellazione sarà dato dalla differenze fra le
letture nelle posizione avanti lA ed indietro lB della stadia rispetto alla posizione del livello.
 AB  l A  l B
La procedura dal mezzo presenta notevoli vantaggi in quanto tutti gli errori di lettura che
si presentano secondo uno schema di simmetria vengono eliminati per differenza. Nella
condizione in cui le due battute avvengano su distanze simili, la condizione di simmetria
consente di limitare al massimo l’influenza dei seguenti fattori:
a) presenza di eventuali errori residui di orizzontalità della linea di mira;
b) presenza di eventuali errori dovuti a spostamenti dell’asse di collimazione in
seguito all’adattamento del sistema di focamento (che sono minimi quando
la collimazione avviene su distanze simili);
c) errori dovuti alla rifrazione atmosferica (che si dovrebbe presentare con
effetti simmetrici nelle due letture).
Inoltre, nell’esecuzione di una battuta di livellazione non è necessario prendere alcuna
superficie di riferimento tra quelle viste nel corso. Infatti, proprio per lo schema di rilievo
adottato, la superficie di riferimento sarà quella equipotenziale passante per un punto
baricentrico di riferimento dello strumento con il quale vengono eseguite le letture alle
stadie.
Le considerazioni fatte sopra sono considerate valide per battute di livellazione della
lunghezza di un centinaio di metri al massimo. Se invece la misura del dislivello coinvolge
punti molto distanti fra loro il rilievo deve essere spezzato in un certo numero di singole
battute che si sviluppano lungo un percorso che congiunge i due punti. Questo tratto da
I metodi di rilevamento tradizionali
70
percorrere viene definito linea di livellazione e può svilupparsi lungo la rete stradale o
comunque su tratti percorribili dagli operatori e lungo i quali e possibile fare stazione con
la strumentazione.
Nel caso riportato in figura il dislivello CS10-CS11 sarà dato dalla differenza fra la
sommatoria delle letture indietro e quella delle letture avanti.
 CS 10CS 11   li   l a
Da un punto di vista operativo il tratto complessivo lungo il quale determinare il dislivello
viene suddiviso in segmenti (tronchi) successivi della lunghezza di 1 km circa. La tecnica
consente una precisione massima nella determinazione dei dislivelli anche inferiore ad
1mm/km da verificare attraverso i percorsi di andata e ritorno. Nei punti intermedi la
stadia viene appoggiata su una apposita piastra battuta sul terreno. Nel passaggio da
una stazione alla successiva la stadia viene fatta ruotare delicatamente su se stessa in
modo da evitare pressioni che ne provocherebbe l'affondamento provocando un errore
nella lettura della battuta successiva.
Come esercizio si determina l'errore medio a-priori atteso prima di effettuare una livellazione geometrica dal
mezzo. Questo tipo di analisi consente una simulazione delle prestazioni, in termini di accuratezza raggiungibile,
che si otterranno al termine delle misure altimetriche essendo note la geometria del rilievo (essenzialmente il
numero di battute) e la strumentazione disponibile.
Facendo riferimento ad una singola battuta si ha che  AB  li  la e, per la legge di propagazione della varianza,
si ha che  2   li2   la2 . Essendo le due letture effettuate con lo stesso strumento, la precisione nella
determinazione dislivello associato alla singola battuta sarà
 2  2 l2      l 2
Se occorrono invece n battute di livellazione l'errore sul dislivello sarà     l 2 n dove  l , errore
associato alla lettura, dipendente dalla qualità del livello utilizzato. Visto che il numero di battute può essere
espresso come la distanza D/2d (dove D rappresenta la distanza percorsa lungo la linea di livellazione e d la
distanza di lettura tra livello e stadia) si vede che l’errore sulla misura finale del dislivello vale
    l
D
d
ovvero risulta proporzionale a D . Di conseguenza nella livellazione geometrica i pesi saranno assegnati
secondo una relazione di proporzionalità inversa con la lunghezza della linea di livellazione espressa in km. Il
dislivello i-esimo nella soluzione con osservazioni indirette assumerà il valore
1
pi 
Di
I metodi di rilevamento tradizionali
71
Livellazione geometrica di precisione: procedure operative
Secondo lo schema descritto è possibile determinare il dislivello fra punti anche molto
distanti tra loro e con precisione molto elevata qualora se si adottano particolari
accorgimenti e strumenti di precisione.
Nel metodo ad alta precisione la livellazione di ogni tronco (tra due caposaldi successivi)
deve essere sempre fatta in andata e in ritorno per avere un controllo delle misure e
poter calcolare l'errore medio chilometrico della livellazione.
Nella livellazione di precisione è necessario rispettare una serie di comportamenti per
conservare al massimo gli errori ammissibili. Innanzitutto una livellazione si definisce di
precisione quando il suo errore medio chilometrico è inferiore al millimetro. Lo schema è
sempre quello dal mezzo ma con distanze di battuta non troppo elevate (3040 m).
L'altezza di battuta alla stadia non deve essere inferiore a 50 cm, perché a livello del
terreno si possono avere disturbi dovuti alla rifrazione, ma neanche riferita alla parte
superiore della stadia, per limitare l'influenza dell'errore di verticalità della stadia stessa.
Lo strumento dovrebbe essere sempre tenuto in ombra, a causa della grande influenza
che l'irraggiamento solare e gli sbalzi di temperatura hanno sui livelli. Nell'esecuzione
delle misure si devono evitare le ore a cavallo del mezzogiorno, specie durante l'estate, a
causa della turbolenza dell'aria in vicinanza del terreno che, nell’ottica del livello, provoca
il tremolio dell'immagine della stadia con conseguente diminuzione della precisione nella
lettura.
Applicazioni della livellazione geometrica di precisione
La livellazione geometrica di precisione viene impiegata per determinare le quote di punti
fondamentali distribuiti su aree vaste a cui si possono collegare altre operazioni di rilievo
altimetrico, per esempio per inserire un rilievo locale in un sistema di riferimento
altimetrico attraverso la connessione con il punto di derivazione delle quote (mareografo
fondamentale).
La livellazione geometrica è anche impiegata per scopi tecnici, quali la progettazione e
costruzione di strade, ferrovie, acquedotti, fognature, ecc.; in questi casi le quote di
riferimento per la costruzione dei manufatti vanno determinate con elevata precisione per
prevedere, ad esempio, il deflusso delle acque o progettare linee di drenaggio. Altro
campo d'applicazione della livellazione geometrica è quello del collaudo e/o controllo di
grossi manufatti, di edifici pregevoli o nel monitoraggio di monumenti (torri, ponti, edifici
storici ..) e dei versanti in frana con gli elementi antropici interessati, della subsidenza
ecc. Le livellazioni di precisione hanno anche grande importanza nelle applicazioni
scientifiche della geodesia-geofisica, potendo essere utilizzate per lo studio del geoide
(per la possibilità di paragonare il livello medio di mari) e della sua ondulazione, nello
studio delle deformazioni del suolo (subsidenza per cause naturali e antropiche).
Caposaldi di livellazione
La precisione di questo metodo richiede l’utilizzo di caposaldi appositi che diano garanzia
di stabilità e che consentano di individuare con precisione il riferimento altimetrico. I
caposaldi vengono materializzati vincolando ad una struttura preesistente, che dia
garanzie di stabilità, un manufatto (in ghisa, bronzo, acciaio inossidabile o ceramica)
dove il piano orizzontale di riferimento della quota è identificato in modo chiaro. I
caposaldi riportati in figura costituiscono esempi di caposaldi orizzontali sui quali viene
appoggiata direttamente la stadia. Nel primo caso il caposaldo è infisso in una parete
mentre nel secondo si trova materializzato in un pozzetto chiuso.
I metodi di rilevamento tradizionali
72
Esistono anche caposaldi verticali che hanno un ruolo secondario e possono essere
costituiti da targhette murate su pareti che riportano una linea incisa relativa ad una
certa quota. Sono collocati nelle vicinanze di caposaldi orizzontali e possono essere
utilizzati per il loro ripristino nel caso fossero persi.
Cenni sulla strumentazione utilizzata
Uno degli strumenti maggiormente utilizzati in passato era l’autolivello con adeguata
sensibilità del compensatore (parte che imposta la lettura su un piano orizzontale ed in
modo automatico). Occorre la presenza di micrometro ottico per la lettura e il
cannocchiale deve avere un elevato potere risolutivo. Le stadie, a doppia graduazione,
devono avere il corpo in "invar", per conservare le deformazioni, ed essere dotate di
livella sferica. I livelli moderni sono quelli digitali che compiono in modo autonomo la
lettura alla stadia che ha impresso un codice a barre che viene interpretato dallo
strumento grazie alla tecnica di auto-correlazione d’immagine. Questi strumenti
garantiscono una maggiore produttività del lavoro anche se la metodologia di rilievo è
essenzialmente quella adottata con gli auto livelli.
Vediamo come si può determinare l’errore medio a posteriori (dopo avere seguito le misure) in una livellazione
geometrica di precisione. Come detto le misure devono essere esegue in andata e ritorno per ogni tronco, sia per
avere un controllo delle misure stesse sia per avere la possibilità di calcolare a posteriori l'errore medio
chilometrico della livellazione eseguita12.
Per determinare l'errore medio a posteriori si applica la formula dell'errore medio in funzione delle differenze:

2
 pi  i
2n
dove  i   a   i (mm) sono i dislivelli dei singoli tratti misurati in andata e ritorno. Occorre verificare che le
differenze i siano inferiori alla tolleranza prefissata13.
12
Si possono eseguire le misure in sola andata per livellazioni non di precisione oppure, in quelle di precisione,
se i singoli tratti costituiscono una linea di livellazione chiusa. In questo caso sarà comunque possibile il
controllo e la compensazione delle misure effettuate.
13
Nella livellazione di precisione si fissa un valore di tolleranza chilometrica (ad esempio di 3 mm) e si
dovranno scartare le misure che danno luogo a una differenza, rapportata al km, superiore a tale valore.
I metodi di rilevamento tradizionali
73
Accorgimenti da osservare nell’esecuzione di una livellazione geometrica dal mezzo
Collimazione e lettura: dipende dalla sensibilità della livella o del compensatore, dal
micrometro, dalla graduazione della stadia e dalla capacità dell’operatore. Rappresenta la
parte più cospicua dell’errore e contribuisce per 0,25 - 0,40mm/km;
Rettifica del livello: quando un livello è rettificato la condizione di livella è centrata o il
compensatore è fermo deve corrispondere ad una linea di mira giacente sul piano
orizzontale. L’operazione di rettifica deve essere eseguita regolarmente in laboratorio
attrezzato. A rigore, con strumenti rettificati, non occorrerebbe operare dal mezzo e
operando dal mezzo non occorrerebbe la rettifica. In genere però le distanze in
campagna sono prese in modo speditivo. Inoltre la rettifica potrebbe non essere stabile a
causa di variazioni termiche, urti subiti dallo strumento durante gli spostamenti ecc. Si
deve comunque contenere la differenza di distanza fra le due battute entro il metro;
Effetto delle variazioni termiche sullo strumento: si è osservato che le variazioni termiche
causano una variazione della direzione dell’asse di collimazione degli autolivelli. Occorre
attendere che lo strumento si stabilizzi con la temperatura ambientali, proteggerlo dai
raggi solari (o evitare zone d’ombra se si lavora al sole), leggere sulla stadia indietro su
una gradazione – avanti sulla doppia gradazione e indietro sulla seconda gradazione. Ci
possono essere anche effetti della temperatura sulla stadia, che avrà la striscia graduata
in invar (questa comunque non dovrà essere troppo esposta al sole;
Campo magnetico: il livello dovrebbe essere amagnetico;
Graduazione della stadia: ci possono essere deformazioni della striscia in invar. Le stadie
quindi vanno calibrate prima delle grandi campagne o periodicamente. In Italia l’IGM
rilascia i certificati di avvenuta taratura. Utilizzando un numero pari di stazioni tale effetto
viene contenuto per sottrazione mentre per una singola battuta andrebbe utilizzata la
stessa stadia.
Verticalità della stadia: errore legato alla rettifica della livella sferica che si trova sulla
stadia. Questa può essere controllata con filo a piombo, ed alla sensibilità del
canneggiatore che può aiutarsi con paline nel sostegno della stadia;
Errore del tallone della stadia: il tallone di acciaio della stadia deve essere normale alla
stadia stessa ed in piano. Nei caposaldi a muro ad esempio non è possibile appoggiare la
stadia sempre nello stesso modo (stesso punto del tallone);
Movimento di strumento e stadia: soprattutto in terreni particolari si possono verificare
movimenti del treppiede (sprofondamento o risalita) e della stadia. Occorre evitare
terreni molli ed asfalto, meglio marciapiedi di cemento o le banchine non asfaltate delle
strade;
Vibrazione dell’immagine: dovuta alla turbolenza dell’immagine in conseguenza del
riscaldamento del terreno e dei fenomeni di rifrazione. La collimazione diventa difficile
per il movimento dell’immagine osservata nel cannocchiale. Non si collima al disotto dei
50 cm di altezza (con limitazione a volte nella distanza di battuta) e non si lavora nelle
ore calde della giornata;
Rifrazione: è un errore sistematico e operando in salita l’effetto non è limato
completamente con l’esecuzione di misure dal mezzo e neanche eseguendo il tratto
indietro. Per grandi estensioni è possibile correggere questo effetto con modelli basati sul
dislivello e sulla temperatura misurata con sensori associati alla stadia.
I metodi di rilevamento tradizionali
74
Utilizzo delle osservazioni indirette nelle reti altimetriche
Prima di illustrare un caso di trattamento di dati relativi ad una livellazione geometrica
occorre ricordare che, anche in presenza di misure sovrabbondanti, basta un solo punto
di quota nota per l’inserimento in un certo sistema di riferimento altimetrico. Nel caso di
misure strettamente necessarie, invece, occorre eseguire n-1 linee di livellazione per
collegare gli n punti coinvolti.
Rispetto ai casi appena visti la compensazione di dati altimetrici si presenta un modo più
semplice perché le equazioni alle osservazioni (dislivelli) sono già esprimibili in forma
lineare. Misurando un dislivello tra i punti i e j (collegati quindi con una linea di
livellazione) si una un’equazione del tipo:
[equazione dei dislivelli]
f ( H i , H j )  H j  H i   ij mis  v
Visto che la linea di livellazione viene percorsa in un certa direzione, occorre scrivere
l’equazione con particolare attenzione ai segni dei coefficienti.
Nota la quota del caposaldo Cs1 e misurati i dislivelli come in tabella, si vogliono calcolare le quote dei punti 1,
2 e 3 che rappresentano le incognite del problema.
Si dispone delle seguenti misure con i relativi errori
H1
H2
H3
H4
Punto
Stazione
Punto
Avanti
Dislivello
(m)
Errore
(mm)
Cs1
P1
P2
P1
P1
P2
P3
P3
15,1122
40,7899
-55,6677
-14,8773
1,0
0,2
0,2
0,2
Il caposaldo noto Cs1 ha una quota di 10,1234 metri, senza errore associato in quanto punto si considera noto
con precisione assoluta (in realtà un errore sarà sempre presente). Le equazioni alle osservazioni, già lineari,
possono essere scritte in questo modo
H P1  H Cs1  H 1 mis  v1  15,1122  v1
H P 2  H P1  H 2 mis  v 2  40,7899  v 2
H P 3  H P 2  H 3 mis  v3  55,6677  v3
H P 3  H P1  H 4 mis  v 4  14,8773  v 4
I metodi di rilevamento tradizionali
75
Per chiarezza riscriviamo il sistema di equazioni isolando le incognite con i coefficienti che qui saranno costituiti
solamente dai segni
 (H 1 mis  H Cs1 )  v1  l1 mis  v1  25,2356  v1
H P1
 H P1  H P 2
 H 2 mis
 v 2  l 2 mis  v 2  40,7899  v 2
 H P 2  H P 3  H 3 mis
 v3  l 3 mis  v3  55,6677  v3
 H P1
 H P 3  H 4 mis
 v 4  l 4 mis  v 4  14,8773  v3
MATRICE DEI COEFFICIENTI: avrà dimensione m (righe, ovvero osservazioni) x n (colonne, ovvero
incognite) ed è rappresentata dai segni delle incognite. La matrice A (4x3) sarà la seguente
A
1
1
0
1
0
0
0
1 1
1
0
1
VETTORE DELLE INCOGNITE: avrà dimensione n (righe, ovvero incognite) x 1 e rappresenta le incognite del
problema. Il vettore x (3x1) sarà
H P1
x  H P2
(metri)
H P3
VETTORED DELLE DISCREPANZE: avrà dimensione m (righe, una per ogni osservazione) x 1. Il vettore
(4x1) sarà
25,2356
b
40,7899
(metri)
 55,6677
 14,8773
MATRICE DEI PESI: avrà dimensione m x m (matrice diagonale). Assunto una varianza dell’unità di peso di
(3mm)2, i pesi delle osservazioni dei dislivelli si ottengono dalla forma p i   02 /  i2 e quindi
9
p H1 
(3)
2
1
2
9
p H 2 , 3, 4 
(3)
2
0,2
2

 225
P
225
225
225
Troviamo la soluzione xˆ  ( AT PA) 1 AT Pb  N 1 AT Pb calcolando prima di tutto la matrice normale
1
N
0
0
1
1
0
0
1 1
1
0
1
T
1
9
225
225
225
459
0
0
1
1
0
0
1 1
1
0
225
1
225
Si ottiene una matrice normale N   255 450  225
 225  225 450
I metodi di rilevamento tradizionali
1
H P1
76
25,2356
T
x  N A Pb  H P 2  66,0257 (metri)
H P3
10,3581
Consideriamo la soluzione ottenuta accettabile e calcoliamo l’errore associato alle quote compensate attraverso
la matrice di varianza-covarianza
C x   02 N 1
 H2 P1  H P1H P 2
 H2 P 2
Cx 
 H P1 H P 3
1,00 1,00 1,00
2
 H P 2H P3  3 N
1
1,03 1,01 (mm2)

 H2 P 3
1,03
dove gli elementi diagonali rappresentano le varianza delle tre quote appena stimate. Introducendo le incognite
x̂ appena stimate nel modello funzionale si ottengono le stime ai minimi quadrati v̂ dei residui teorici v .
Si avrà che vˆ  Axˆ  bmis .
0
vˆ 
2,0  10 4
2,0  10 4
(metri)
 2,0  10 4
dove il primo residuo vale 0 non essendo il primo dislivello compensabile. Visto che i residui sono anche gli
errori associati alle misure si possono ricavare i valori delle misure compensate, ovvero corrette degli errori
stessi
l comp  l mis  vˆ
D’altra parte i dislivelli compensati si potrebbero anche calcolare semplicemente dalla differenza tra le quote
compensate.
H P1  H Cs1 comp  15,1122  vˆ1  15,1122 m
H P 2  H P1 comp  40,7901  vˆ2  40,7899 m
H P3  H P 2 comp  55,6676  vˆ3  55,6675 m
H P3  H P1 comp  14,8775  vˆ4  14,8795 m
Ai dislivelli compensati si possono associare i relativi errori tramite il calcolo della matrice di varianza
covarianza delle misure compensate
1,0  10 6
Clˆ
comp
  02 AN 1 AT 
2,7  10 8
(metri)
2,7  10 8
2,7  10 8
I metodi di rilevamento tradizionali
77
Quindi
H P1  H Cs1 comp  15,1122  0,0010m
H P 2  H P1 comp  40,7899  0,0001 m
H P3  H P 2 comp  55,6675  0,0001 m
H P3  H P1 comp  14,8775  0,0001 m
Si calcola ora la varianza dell’unità di peso a posteriori tramite la
s 02 
vˆ T Pvˆ 1,03  10 3

 18,75 mm 2
mn
43
Si applica il test del Chi-qaudro, per verificare la coerenza con le ipotesi iniziali fatte sulla distribuzione degli
errori, alla variabile aleatoria s 02 /  02
s 02
 02

 m2  n
mn
Il valore del Chi-quadro viene letto dalla tabella già vista una volta definito il livello di significatività. Fissando
questo valore al 5% si legge in tabella il valore 3,84. Quindi per il valore ricavato vale la condizione
P( ~ 2  ~12, 0.05 )  5% . Valori di chi-quadro superiori al valore soglia di 3,84 rendono sospetto il risultato con
una attendibilità del 5%.
s 02
 02

2
2
18,75
3,84
 3,84
 2,08  m n in quanto m n 
9
mn
1
mn
Quindi i modelli utilizzati sono confermati entro una possibilità di errore del 5%. Tale verifica ci consente di
affermare che la statistica calcolata è effettivamente relativa a variabili casuali (non sono quindi presenti errori
sistematici) e l’ipotesi sul valore a-priori assunto per la varianza dell’unità di peso risulta attendibile.
I metodi di rilevamento tradizionali
78
Stima a priori della matrice di varianza covarianza
Dagli esercizi appena svolti si vede che proprio la matrice dei coefficienti A ed anche la
matrice di varianza-covarianza dipendono essenzialmente dalla geometria della rete (che
definisce la matrice A) e dalla precisione con cui vengono effettuate le misure (che
definisce la matrice dei pesi P). Questo significa che in presenza di un progetto del rilievo
(preparato su una mappa già esistente o di nuova realizzazione) e nota la prestazione
degli strumenti utilizzati, possiamo simulare le potenzialità del rilievo così come è stato
concepito. Quindi le osservazioni indirette possono essere utilizzate per una valutazione a
priori delle precisioni ottenibili in un certo rilievo in base agli errori che si pensa di
commettere nelle misure.
Le ellissi calcolate in base alla simulazioni ci informeranno di eventuali debolezze della
geometria ipotizzata e consentiranno di intervenire sul progetto delle misure da
effettuare oppure di rivedere la classe di strumentazione prevista per il rilievo. Queste
considerazioni sono alla base del problema della progettazione di reti, della loro
geometria e sulle misure da fare. Il procedimento è il seguente:
- dai vertici della rete (tramite valori approssimati delle coordinate) ed in base alle
osservazioni previste si costruisce la matrice dei coefficienti A;
- in base alle misure da effettuare ed alla strumentazione che si intende utilizzare si
costruisce la matrice dei pesi P.
Con questi elementi si può calcolare la matrice di varianza-covarianza e quindi prevedere
i valori delle ellissi d’errore che scaturiscono dalle misure
C   02 ( AT PA) 1
Andrebbe utilizzato il valore della varianza dell’unità di peso a posteriori che però si
calcola dai residui (ovviamente non disponibili). Si può utilizzare quindi una stima a priori
in base agli errori che si pensa di commettere.
Progettazione di reti planimetriche
La progettazione di una rete segue sempre le fasi che vengono di seguito citate:
Scelta del sistema di riferimento
In genere si verifica sul sito del rilievo l’esistenza o meno di punti già noti e facenti parte
di altre reti trigonometriche (di vario ordine), altimetriche o GPS. E’ il caso di rilievi da
inserire in un rilievo preesistente (ad es. raffittimento, riattacchi ecc.).
Se invece il rilievo è fine a se stesso la scelta del sistema di riferimento viene fatta anche
in base agli scopi per cui lo stesso deve essere effettuato. Nel caso di una rete per lo
studio di movimenti o deformazioni si potranno scegliere, come riferimento, alcuni punti
stabili (ovvero non soggetti ai movimenti che sono in esame) o perlomeno dal
comportamento noto.
In fase di progettazione è anche possibile assumere un sistema di riferimento
baricentrico che consente di limitare l’effetto della propagazione degli errori dal punto o
dai punti assunti come emanazione della rete. Infatti tali errori si sommano
allontanandosi dall’origine del sistema a causa dell’accumulo (propagazione) degli errori
stessi lungo la rete. Tale considerazione consiglia una simulazione della rete in un
sistema baricentrico e, successivamente, il suo inserimento in una rete preesistente
attraverso l’uso dei punti noti.
I metodi di rilevamento tradizionali
79
Disegno della rete e tipologia di misure da eseguire
Questo è il punto più importante di tutta la progettazione da cui dipenderanno i risultati
ed i costi della rete stessa. Per quanto attiene alla forma generale della rete essa è
evidentemente condizionata dallo scopo del rilievo e dalla morfologia del terreno (che per
esempio inciderà sulla intervisibilità tra punti che devono essere collimati). In generale si
deve puntare ad una forma compatta dalle geometrie regolari.
La maglia risultate della rete dovrà essere possibilmente di tipo triangolare con forme il
più equilatere possibili. Se si misurano solo delle distanze tale schema cade in difetto
perché fornisce poche osservazioni sovrabbondanti e si deve quindi fare ricorso a schemi
più complessi. Visto che il numero minimo di osservazioni necessario per risolvere una
rete di n punti è di 2n-3, va prevista una certa ridondanza delle osservazioni per
compensare le misure in modo efficace. Dette N le misure effettuate la ridondanza dovrà
essere quantificata on modo che
N
 1,5  2
2n  3
Considerato che lo strumento utilizzato è quasi sempre la stazione totale (per il momento
escludiamo l’utilizzo del GPS), le misure sono normalmente miste ed è bene che queste
forniscano lo stesso contributo all’errore finale attraverso misure di accuratezza
comparabile. Infatti per reti a lati piccolissimi (centinaia di metri) convengono le misure
angolari mentre per lati più lunghi convengono le distanze che però possono essere
limitate dalla portata dello strumento. Occorre sempre fare attenzione al peso da
assegnare alle misure per in modo da “nobilitare” le osservazioni migliori.
Ricordiamo che la matrice di varianza-covarianza, a meno di un fattore costante  02 ,
dipende solo dalle coordinate dei punti ed è su di esse che si può lavorare nella fase di
simulazione. Si può procedere in diversi modi:
a) se si vuole vedere l’andamento (dimensione relativa) delle ellissi d’errore e
non la loro grandezza si può prescindere dagli errori delle misure ma
considerare solamente il tipo di misura e le coordinate approssimate dei
punti ottenendo delle equazioni lineari note in base alla matrice di varianzacovarianza ( AT A) 1 . Ciò è possibile solo se le misure sono della stessa
specie;
b) se si hanno misure di tipo diverso occorre introdurre una stima degli errori
che si pensa di commettere per potere determinare i pesi delle diverse
equazioni di osservazione e la matrice di varianza-covarianza sarà del tipo
( AT PA) 1 . Se gli errori preventivati sono corretti questa fornisce anche la
dimensione delle ellissi di errore.
Cambiamento della forma, aggiunta di punti o di misure
Se il risultato della simulazione non è soddisfacente si può tentare di migliorare la
precisione modificando la forma della rete, aggiungendo altri punti alla geometria di rete
oppure aggiungendo misure di tipo diverso. Il tutto cercando di mantenere un buon
compromesso con i costi del rilievo. Durante questa fase si deve anche cercare di
ottimizzare il lavoro da svolgere sul campo, cercando, ad esempio, di contenere i costi
relativi al personale ed alla logistica in generale.
Vediamo alcuni esempi molto schematici che illustrano la dipendenza tra misure
disponibili ed errori attesi (sotto forma di ellissi di errore).
I metodi di rilevamento tradizionali
Effetto della geometria nelle misure di distanza
Effetto della geometria nelle misure angolari
Effetto dell’aggiunta di misure angolari
Modifica della geometria con aggiunta di misure da altri punti
Modifica della matrice dei pesi  1   2  P1  P2 oppure  1   2  P1  P2
80
I metodi di rilevamento tradizionali
81
Valutazione della varianza e covarianza con misure
strettamente necessarie
Il metodo delle osservazioni indirette può essere applicato alla risoluzione della rete o del
semplice rilievo (vedi intersezione in avanti con misura di due angoli) anche quando le
misure eseguite sono strettamente necessarie. In questi casi, ovviamente, non dovendo
compensare le misure, si può arrivare alla risoluzione del problema anche applicando le
formule trigonometriche. Tuttavia le osservazioni indirette possono essere utili in quanto
consentono di calcolare la matrice di varianza-covarianza, procedura che risulta più
semplice ed immediata della applicazione della propagazione pitagorica della varianza, la
quale può coinvolgere funzioni che possono essere difficili da differenziare. Si possono
quindi utilizzare i soliti programmi di calcolo matriciale ad un problema dove m=n
(osservazioni=incognite). Occorrerà conoscere la varianza delle singole misure, ottenibili
in base alle caratteristiche della strumentazione utilizzata o dalla statistica applicata alle
ripetizioni di una singola misura. Essendo il numero delle equazioni uguale al numero
delle incognite, il sistema che lega le misure alle grandezze da determinare sarà:
Ax  l  0
A(m x m) x(m x 1) L(m x 1)
con soluzione x  A 1l . Attraverso la legge di trasformazione della matrice di varianzacovarianza applicata agli errori associati alle osservazioni, si possono ottenere gli errori
associati alle stime. Occorre conoscere gli errori delle singole misure  1 , 2 ,... n . La
matrice sarà data da
 12
K A
1
 l2 ( A 1 ) T
con
 L2

 22
 32
..
 m2
Proviamo a risolvere l’esercizio, già visto, di intersezione in avanti con misure
strettamente necessarie applicando il metodo delle osservazioni indirette.
Le coordinate dei punti noti valgono
mentre gli angoli misurati sono i seguenti
 x A  500 m

 y A  500 m
 x B  1500 m

 y B  1000 m
= 33°28’14’’ = 33°,47055556 = 0.584171r
 = 87°18’37’’ = 87°,31027778 = 1.523851r
I metodi di rilevamento tradizionali
82
Si cercano le coordinate del punto incognito P avendo delle misure angolari con accuratezza di 5”. Scriviamo le
2 equazioni alle osservazioni relative generate dalle misure di  e 
X  Xa 
X  X  
   mis  v1
  arctg p
 
Y p  Ya 
 

 
X p  Xb

X  Xb
  arctg
 2    arctg a
     mis  v 2


Y

Y
Y

Y
p
b
a
b


 

a
 AB   AP   arctg b
Yb  Ya

 BP   BA
Prima di linearizzare occorre trovare delle coordinate a priori per il punto P. Forniamo un valore approssimato
(che potrebbe essere letto da una cartografia a scala idonea)
X 0p  1148,00m
Y p0  1626,00m
Prendiamo le due equazioni già linearizzate per gli angoli  e . La linearizzazione avviene differenziando
rispetto alle incognite x p ed y p . Si ottengono le seguenti equazioni lineari
 Y p0  Ya
 o 2
 (d pa )

 X 0p  X a
x p  

 (d opa ) 2

 y p  ( mis   o )

 Y p0  Y
b

 (d opb ) 2


 X 0p  X
b
x p  

 (d opb ) 2



 y p  (  mis   o )


che compaiono nella forma Ax  b . Non compaiono i residui dovendo essere le equazioni pienamente
soddisfatte dalle incognite.
I valori  0 ,  0 sono i valori determinati sostituendo le coordinate note e quelle approssimate nel legame
funzionale

X X 

X  Xa  
a

  arctg p
 0   arctg b
 

Y
Y
Y
Y


b
a  
p
a 




 0   arctg
X p  Xb
Y p  Yb
 

X  Xb
 2    arctg a
   
 
Ya  Yb


33°,5150189 = 0,5849474 r
87°,2159893 = 1,522206r
Le distanze tra i vari punti si possono calcolare sempre a partire dai valori approssimati
d pa 
d pb 
X
X
0
p
 Xa
0
p
 Xb
  Y
  Y
2
0
p
2
0
p

Y 
 Ya
2
2
b
= 1299,1458 m
= 718,1782 m
Le matrici coinvolte nel calcolo sono solo le seguenti
MATRICE DEI COEFFICIENTI: avrà dimensione m (righe, ovvero osservazioni) x n (colonne, ovvero
incognite) ed è rappresentata dai termini racchiuse nelle parentesi quadre. La matrice A (2x2) sarà la seguente
A
 6,700  10 4
1,214  10 3
3,840  10 4
6,825  10  4
I metodi di rilevamento tradizionali
83
VETTORE DELLE INCOGNITE: avrà dimensione n (righe, ovvero incognite) x 1 e rappresenta le incognite del
problema. Il vettore x (2x1) sarà
x
xp
yp
VETTORED DELLE DISCREPANZE: avrà dimensione m (righe, ovvero una per ogni osservazione) x 1. Il
vettore (2x1) sarà
b 
 7,764  10 4
1,645  10 3
Troviamo la soluzione x  A 1b 
1,26
0,18
(metri)
Visto che x p  X p  X 0p e y p  Y p  Y p0 si ricavano i valori delle incognite compensate che saranno
X p  X 0p  x p  1148,00  1,26  1149,26 m
Y p  Y p0  y p  1626,00  0,18  1626,18 m
La soluzione differisce leggermente da quella trovata nel caso dell’intersezione semplice a causa delle
approssimazioni nei valori adottati per gli angoli misurati e a-priori.
Vediamo come si presenta la matrice di varianza-covarianza K  A 1 l2 ( A 1 ) T supponendo di avere errori delle
misure di 5” = 2,42 10-5 rad.
k
k
 6,700  10 4
1,214  10 3
4,2  10 4
 3,9  10  4
3,840  10  4
6,825  10 4
 3,9  10 4
1,3  10 3
1
5,876  10 -10
5,876  10 -10
  6,700  10  4

 1,214  10 3

3,840  10 4
6,825  10  4
(m2)
Non avendo residui non è possibile applicare test statistici per valutare l’affidabilità dei risultati.
1 



T
I metodi di rilevamento tradizionali
84
Inserimento delle misure plano-altimetriche in un
sistema di riferimento: minimi vincoli e vincoli
sovrabbondanti
I calcoli relativi alla compensazione di misure geodetico-topograifche vengono effettuati
da appositi software per la topografia che, come si è visto grazie agli esercizi, richiedono
le informazioni relative a:
- osservazioni effettuate (misure planimetriche, altimetriche, di distanza o basi GPS);
- elementi noti (coordinate, misure assunte a-priori come vincoli del rilievo);
- elementi incogniti (coordinate dei punti dei quali si conoscono solo valori approssimati)
Nel metodo delle osservazioni indirette ognuna delle osservazioni effettuate consente di
scrivere un’equazione che avrà al suo interno sia le incognite e sia gli elementi noti del
problema.
La compensazione finale fornisce le coordinate incognite, gli errori ad esse associate,
dedotti dalla matrice di varianza covarianza, ed il risultato dei test statistici che
consentono di rigettare quelle osservazioni che non rientrano nelle tolleranze imposte in
quanto affette da possibili errori grossolani.
E’ molto importante notare che le misure da sole non sono in grado di fornire la soluzione
del problema, ovvero le coordinate dei punti o la loro quota. Infatti le equazioni alle
osservazioni fanno sempre riferimento a differenze di coordinate o di quote. Queste, da
sole, non possono fornire la soluzione cercata a meno che non siano note le coordinate di
un certo numero di punti che costituiscono dei “vincoli” nell’analisi dei dati14. I vincoli
consentono di inserire (vincolare) la rete in un certo sistema di riferimento (quello dei
vincoli) e di ottenere le coordinate dei punti incogniti a partire dalle osservazioni.
Attraverso l’uso dei vincoli si definisce il Datum15 della rete.
Quando si impone un numero di vincoli minimo per potere eseguire la compensazione si
parla di minimi vincoli, mentre se i vincoli sono superiori al numero minimo si parla di
vincoli sovrabbondanti. L’ultimo è il caso dell’inserimento di una rete in una più vasta
attraverso alcuni punti comuni che si considerano privi di errore.
I vincoli minimi per le reti sino ad ora illustrate si possono così riassumere
14
Tipo di rete
Osservabile
Vincoli minimi
richiesti
Descrizione dei vincoli
Altimetrica
Planimetrica
Dislivello
Angoli e distanze
Angoli
1
3
4
Posizione (1)
Posizione (2), Orientamento (1)
Posizione (2), Orientamento (1), Scala (1)
Le equazioni alle osservazioni non possono fornire valori di coordinate se alcune di esse non sono già note.
Per esempio la misura di un dislivello non potrà diventare una quota se questa non è nota per almeno uno dei
punti coinvolti nelle misure. Anche nelle osservazioni angolari vale lo stesso discorso. Infatti se avessimo una
rete di sole misure angolari, la stessa avrebbe varie indeterminazioni: scala, posizione e orientamento.
15
In cartografia infatti il Datum (o sistema geodetico) identifica un riferimento tridimensionale su cui inquadrare
il sistema di coordinate.
I metodi di rilevamento tradizionali
85
Quindi nelle reti altimetriche basta la quota di un punto per ricavare, tramite i dislivelli
misurati, le quote degli altri punti coinvolti nelle misure. Nelle reti planimetriche con
misure di angoli e distanze la definizione del datum richiede 3 vincoli, infatti la rete deve
essere posizionata nello spazio cartesiano ed orientata secondo un certo angolo. Se
manca una misura di distanza va imposto anche un vincolo per eliminare
l’indeterminazione della scala poiché la dimensione della rete non potrebbe essere
definita. In questo caso i vincoli minimi diventano 4.
Si fa notare che per rispondere ai 4 vincoli minimi si devono fornire 4 elementi noti che
possono essere le coordinate di due punti nel sistema prescelto. Infatti con 2 punti noti
(4 coordinate) si può posizionare, orientare e dimensionare la rete planimetrica.
La compensazione a minimi vincoli è molto utile per valutare i residui della
compensazione stessa. Infatti i residui non dipendono dal particolare vincolo imposto e la
compensazione può portare alla luce eventuali errori grossolani nelle osservazioni. Se la
compensazione a minimi vincoli è intrinsecamente buona allora i risultati possono essere
accettati e la rete inserita in una più vasta attraverso una compensazione a vincoli
sovrabbondanti. In questo caso invece i residui dipendono dai vincoli scelti che
potrebbero introdurre eventuali errori nel calcolo ai minimi quadrati.
Misure per il controllo dei movimenti e delle deformazioni
86
Misure per il controllo dei
movimenti e delle deformazioni
In questo capitolo verranno passate in rassegna alcune applicazioni del rilevamento
topografico al controllo dei movimenti e delle deformazioni. Particolare attenzione sarà
dedicata ad edifici e strutture. Nella pratica dell’analisi di dati ottenuti dal rilevamento si
definisce:
 movimento: spostamento rigido di un oggetto, o di parti di esso, rispetto
ad un sistema di riferimento esterno all’oggetto stesso;
 deformazione: movimenti relativi all’interno dell’oggetto in esame.
La distinzione tra deformazioni e movimenti è intuitiva se si parla di strutture (ponti,
dighe, edifici…) mentre se si parla di movimenti del terreno è molto più problematica
coinvolgendo, in questo caso, anche aspetti di natura geologica e geofisica. Si pensi ai
movimenti che possono agire su varia scala, globale (deriva dei continenti), regionale
(subsidenza) o locale (subsidenza in aree ristrette, frane, fenomeni in ambiente
carsico..). In ogni caso, in funzione del fenomeno che si deve misurare, si devono
progettare delle misure di controllo che siano idonee (in termini di metodo, strumenti ed
accuratezza necessaria) allo scopo.
I movimenti possono essere riassunti anche in funzione delle cause che li provocano.
Queste possono essere naturali (deriva dei continenti, subsidenza localizzata, fenomeni
sismici ed attività vulcanica, fenomeni franosi) oppure antropiche (subsidenza, frane,
movimenti di strutture, cause indotte artificialmente come nei collaudi delle strutture).
Inoltre si usa spesso dividere i movimenti in verticali, orizzontali o tridimensionali. Infatti,
anche se i movimenti si presentano nella realtà tridimensionale, va considerato che i
metodi di rilievo potrebbero essere planimetrici, altimetrici o, come visto nel caso del
GPS, tridimensionali.
Particolare attenzione va posta al calcolo degli errori associati alle misure per assegnare
ad esse una significatività (questo è compito del rilevatore) e sull’interpretazione fisica
del fenomeno sulla base dei movimenti misurati (questo e compito della figura
professionale competente nella materia specifica). Altre considerazioni riguardano la
tipologia di movimento registrati che possono essere permanenti o reversibili, continui o
discontinui, lenti o veloci.
Le precisioni ottenibili devono essere idonee a valutare i movimenti cercati. Sarebbe
inutile misurare spostamenti attesi di pochi mm con strumentazione in grado di fornire il
cm, così come sarebbe inutile, ed economicamente oneroso, utilizzare strumenti costosi e
metodi impegnativi per misurare spostamenti grossolani. Questo ovviamente se si
conosce a-priori l’ordine di grandezza dei movimenti in gioco.
Dal punto di vista operativo la determinazione dei movimenti e delle deformazioni si può
ottenere con due possibili approcci al rilievo:
 dal confrontano tra le medesime misure (osservazioni) effettuate in rilievi
successivi (questo significa utilizzare anche lo stesso sistema di
riferimento);
 dal monitoraggio in continuo attraverso strumentazione sempre presente
sul sito che ripete autonomamente le misure ad intervalli di tempo
prestabiliti (stazioni totali motorizzate, stazioni GPS permanenti,
clinometri, fili a piombo, fibre ottiche, estensimetri e molta altra
strumentazione progettata per lo scopo).
Misure per il controllo dei movimenti e delle deformazioni
87
In entrambi i casi la misura deve essere associata al relativo errore e cosi anche lo
spostamento rilevato, che a sua volta avrà un errore che scaturisce da quelli delle singole
osservazioni. Proprio questo aspetto può generare confusione e controversie, anche
legali.
Pensiamo ad esempio ad un grande muro di sostegno sulla cui stabilità vi sia una
controversia fra committente ed impresa esecutrice. Si pone quindi il muro sotto
controllo con un semplice schema di intersezioni in avanti con misura di distanze da due
punti utilizzati come riferimento. Nelle prime misure si ottengono le posizioni dei punti e
le relative ellissi standard d’errore in assenza con osservazioni strettamente necessarie.
Nella seconda misura si trovano nuovamente le posizioni dei punti con le ellissi standard.
Se anche le ellissi corrispondenti non si intersecano, il costruttore può obiettare che c’è
solamente poco più del 38% (caso di ellissi standard) di probabilità che vi sia un
movimento in quanto le misure potrebbero anche essere collocate fuori dalle ellissi
standard.
Molto spesso queste problematiche sono proprio relative alle indagini su edifici storici e
manufatti di pregio che possono richiedere l’esecuzione di controlli per la presenza di
cedimenti verticali e differenziali delle fondazioni imputabili a diverse cause (traffico,
infiltrazioni d’acqua, cedimenti di strutture portanti ecc.). La tendenza è proprio quella ad
installare sistemi di monitoraggio permanenti sulle strutture con trasferimento dei dati ad
una centrale operativa che si occupa della elaborazione delle osservazioni ed,
eventualmente, prevede anche un sistema di allerta nel caso di movimenti che superano
una soglia prefissata.
Le metodologie di rilievo maggiormente utilizzate nel monitoraggio locale sono quelle
tipiche del rilievo topografico: triangolazioni, reti miste, livellazione geometrica e, sempre
più spesso in ambienti aperti, il GPS. Per i movimenti di parti di strutture esistono
strumenti nati appositamente per lo scopo quali, ad esempio, i livelli idrostatici possono
raggiungere precisioni elevatissime, i livelli zenitali possono mettere in luce movimenti
orizzontali delle sommità di un edificio rispetto alla base così come i fili a piombo, i
clinometri possono mettere in evidenza movimenti rotazionali, gli estensimetri misurano
piccole variazioni di distanza fra punti di una struttura mentre movimenti veloci possono
essere monitorati tramite accelerometri. Tutti questi strumenti esistono nelle versioni
elettroniche con possibilità di invio dei dati raccolti.
Particolare attenzione va posta alla segnalizzazione dei punti di controllo (i cosiddetti
caposaldi) che deve essere idonea ad ospitare la strumentazione prevista per quelle
misure specifiche.
Movimenti del suolo
Questo è uno dei campi di maggiore interesse per le applicazioni della geodesia in quanto
la disciplina è oggi in grado di quantificare i movimenti in atto su scala globale
nell’ambito dei meccanismi geodinamici.
Movimenti a scala continentale: tema affrontato da vari Istituti di Ricerca
ed Agenzie che si occupano di geodesia spaziale. Rientrano in questa
categoria i movimenti che avvengono nell’ambito del circuito delle placche
continentali che si muovono le une rispetto alle altre provocando nei punti di
contatto fenomeni di subduzione e trascorrenza in corrispondenza dei quali si
collocano le zone sismiche e vulcaniche. Le osservazioni geodetiche
(soprattutto quelle GPS ottenute dalle reti di stazioni permanenti) hanno
fornito da pochi anni la mappa completa degli spostamenti imputabili ai
movimenti delle placche continentali;
Misure per il controllo dei movimenti e delle deformazioni
Movimenti a scala regionale: rientrano in questa categoria fenomeni
geofisici e geologici che agiscono su aree piuttosto vaste (scala regionale
intesa in senso non solo amministrativo). Molti di questi fenomeni in realtà
dipendono da quelli a scala globale e non si possono descrivere in modo
compiuto senza il loro inquadramento in un contesto più ampio. In tale
categoria rientrano i fenomeni sismici, quelli vulcanici, la subsidenza naturale
che avviene in aree caratterizzate da depositi alluvionali, i movimenti legati al
carsismo, al bradisismo, alle attività geotermiche, alla presenza di faglie
ecc..);
88
Misure per il controllo dei movimenti e delle deformazioni
Movimenti a scala locale: non è facile definire questi movimenti che
possono essere una componente di fenomeni più diffusi. Tipici movimenti su
scala locale sono da considerarsi invece quelli legati a frane, più o meno
estese, o anche quelli indotti sul territorio da lavori di escavazione o in
generale da interventi di ingegneria. Classico esempio sono i cedimenti che
possono registrare in ambienti collinari e montuosi in seguito ai lavori di
realizzazione di una galleria oppure in centri urbani in seguito alla
realizzazione di parcheggi interrati o di linee della metropolitana. Sempre più
frequentemente vengono installati sistemi di monitoraggio continuo (di vario
tipo) che evidenziano, in tempo reale, movimenti inattesi che possono
attivare sistemi di allerta (acustici, e-mail, SMS) del personale incaricato. In
tali studi devono necessariamente convergere diverse competenze
(ingegneristiche, geologiche, geotecniche, geomorfologiche). Di seguito si
riporta un caso in cui le deformazioni del suolo (di entità metrica) sono dovute
all’estrazione di salgemma da un deposito collocato al disotto della città di
Tuzla (Bosnia Herzegovina). I dati sono rilevati con metodi di livellazione.
89
Misure per il controllo dei movimenti e delle deformazioni
90
Movimenti o deformazioni di strutture
Verranno discusse solo alcune applicazioni dei metodi di rilevamento ai fini del controllo e
del collaudo statico delle strutture. Va sempre tenuto in mente che la precisione delle
misure effettuate deve, ovviamente, essere idonea alla misura dei movimenti ricercati. In
generale comunque esistono metodi idonei per tutte le applicazioni, potendo anche
utilizzare oggi tecniche di indagine che non sono tradizionalmente incluse in quelle del
rilevamento. Si vedranno solo alcuni esempi.
Occorre innanzitutto chiarire la terminologia; i collaudi si esauriscono in poco tempo
mentre i controlli sono in genere protratti nel tempo.
Collaudo di una trave appoggiata
Viene richiesto per verificare il carico sostenibile da parte della trave. Occorre misurare
l’abbassamento (freccia) in corrispondenza di alcuni punti (mezzeria, quarti) della trave
stessa sotto un determinato carico e confrontare tale risultato con i parametri di
progetto. Una volta scaricata la trave si verifica il ritorno elastico della trave ed il collaudo
termina.
Il problema veniva risolto utilizzando dei flessimetri a filo (tuttora usati per solai e piccole
strutture) costituiti da un apparecchio ad ago attraversato da un filo che con il suo
movimento muove l’ago su di un quadrante ed è in grado di misurare precisioni notevoli
(sensibilità di 1/100 mm nella misura del movimento del filo). Ci sono alcune limitazioni:
 lo strumento deve appoggiare su di una struttura stabile (non soggetta a
movimento) e quindi non può essere utilizzato nei ponti dove scorre
acqua;
 il filo, anche se in invar, può essere soggetto a delle dilatazioni termiche;
 con l’azione del vento il filo può incurvarsi con alterazione delle misure dei
movimenti.
Oggi si impiega soprattutto la livellazione geometrica di precisione operando quando
possibile al di sopra della struttura oppure anche sotto. In particolare facendo sempre
riferimento al caso della trave appoggiata e supponendo di potere lavorare al di sopra di
essa si procede nel modo seguente:
Si segnalizzano i punti da controllare (ad esempio mezzeria ed appoggi) con chiodi a
testa tonda per l’appoggio della stadia (punti 1, 2 e 3 nella figura) e si misura la quota di
questi punti rispetto ad un caposaldo esterno alla trave (CS) che funziona da riferimento
ed è segnalizzato nello stesso modo. Tale caposaldo deve essere posto lontano dalla
trave in modo da non risentire di eventuali movimenti degli appoggi durante le operazioni
di carico e scarico. Si carica la trave (camion con ghiaia ecc.) e si determinano le quote
dei tre punti rispetto al caposaldo. Dalla differenza rispetto alle quote relative al ponte
scarico si determinano i movimenti verticali dei tre punti. Il comportamento della trave
non influenzato da quello degli appoggi (freccia) si potrà trovare depurando
l’abbassamento del punto 2 degli abbassamenti in 1 e 3 eventualmente ottenuti da
controlli indipendenti.
Misure per il controllo dei movimenti e delle deformazioni
91
Si ripete poi l’operazione ricavando anche gli eventuali residui nel ritorno elastico della
trave o degli appoggi una volta scaricata la trave.
Il metodo si può applicare (anche se con maggiori difficoltà) anche qualora non sia
possibile lavorare sopra la struttura (ad esempio nel caso della copertura di un
capannone) ma solo sotto di essa. In tale caso, per verificare movimenti delle pile, si
possono usare caposaldi toroidali a parete e normali stadie appoggiate su di essi, mentre
per rilevare i movimenti della trave si potrebbe usare un filo a piombo portante ad
altezza d’uomo una asta graduata. Ovviamente le misure vengono eseguite con il livello,
stazionando con il treppiede al suolo, collimando le aste o le stadie graduate. Per
smorzare le oscillazioni del filo a piombo si può immergere il peso di tensione in un
bidone pieno d’acqua.
Collaudo di ponti e viadotti
Ponti a travi appoggiate. Lo schema di un ponte a travi appoggiate è, campata per
campata, quello descritto sopra nella direzione longitudinale mentre la sezione
trasversale è normalmente costituita da una serie di travi affiancate con soletta e
trasversa di irrigidimento.
Le misure di collaudo seguono lo stesso schema visto per la trave singola e anche il
carico avviene con le stesse modalità. I mezzi che servono per il carico devono muoversi
in modo tale da non compromettere le misure (per esempio non devono coprire la
visibilità tra gli strumenti). Altro accorgimenti è relativo ai caposaldi per l’appoggio della
stadia che devono essere solidali con la struttura vera e propria e quindi non devono
essere posti sul marciapiede a meno che esso non sia gettato assieme alla soletta ed alla
trave di bordo. La spalla del ponte andrebbe monitorata con un caposaldo su di essa. Ad
ogni modo le misure devono essere sempre progettate in funzione delle caratteristiche
costruttive della struttura.
Vediamo come si procede con le misure partendo dal caso di un ponte ad una sola
campata.
Misure per il controllo dei movimenti e delle deformazioni
92
Segnalizzati con chiodi i punti di controllo (appoggi, mezzerie e quarti) si installa un
caposaldo abbastanza lontano da potere operare dal mezzo rispetto ai vari punti di
controllo.
Per non indurre movimenti sul caposaldo di riferimento durante le operazioni di collaudo
e bene che i mezzi utilizzati per caricare il ponte non passino nelle sue vicinanze facendoli
entrare ed uscire dal ponte sempre dalla parte opposta. Si mette la stadia sul caposaldo
CS e si legge, poi successivamente su tutti i punti della trave facendo le singole letture.
La differenza tra la lettura alla stadia su CS e le letture sui punti della trave consente di
calcolare i singoli dislivelli e, nota la quota di CS, le quote di tutti i punti di controllo.
Si ripetono le operazioni con le varie condizioni di carico e si ricavano le relative quote dei
punti. Lo stesso si fa a ponte scarico. Dalla differenza fra le quote della prima misura
(misura di zero) e quelle delle varie condizioni si trovano i relativi abbassamenti dei punti
e gli eventuali residui sul ritorno elastico.
Se il ponte è a più campate si ripete l’operazione campata per campata (o anche solo per
alcune campate) tenendo conto che come caposaldo di riferimento si può assumere
anche uno dei punti di controllo purché appartenente alla seconda campata oltre quella
caricata.
Così quando si collauda la campata I il caposaldo può essere uno dei punti della campata
III e così via fino a che per la IV campata il caposaldo va sulla spalla CS1 e per la
campata V sulla strada a distanza opportuna CS2 ricordando anche qui che i mezzi
devono muoversi dalla parte opposta rispetto ai caposaldi.
Ponti a trave o lastre continue. I punti da rilevare sono inferiori rispetto al caso
precedente in quanto sulle pile va un solo punto, ma c’è il problema dell’influenza del
carico che agirà su tutta la campata.
Inoltre il cedimento di una pila influenza tutta la struttura. Il collaudo quindi deve essere
fatto per tutto il ponte con carichi disposti anche in modo irregolare per provocare tutti le
sollecitazioni possibili. Si deve eseguire una vera e propria livellazione dal mezzo
partendo dal CS, facendo stazione fra due punti di controllo per poi richiudersi su CS.
Così si ha anche la possibilità di un controllo delle misure e di una compensazione delle
stesse.
Misure per il controllo dei movimenti e delle deformazioni
93
Altri collaudi
Collaudo di solai. Si presenta spesso il caso del collaudo di grandi sale in edifici storici
da adibire a sale conferenze, biblioteche o altro ed occorrono carichi molto pesanti e
molto ben distribuiti. Un modo per caricare il solaio è quello di costruire una vera e
propria piscina coprente tutto il solaio da riempire con l’acqua oppure di utilizzare delle
sacche da riempire con acqua.
Se il piano sottostante è libero si possono usare dei flessimetri a fili per la misura degli
spostamenti.
Dovendo lavorare sopra il solaio si presenta il problema di materializzare i punti di
controllo. La soluzione può essere trovata appoggiando nei punti dei quali interessa
valutare il comportamento grossi blocchi di cemento portanti un’asta graduata. I
caposaldi di riferimento (più di uno per potere lavorare dal mezzo) possono essere
righelli attaccati al muro a diverse distanze dal punto (S) dove si metterà lo strumento.
Come al solito si procede alla misura con solaio scarico (ad esclusione del peso dei
blocchetti di cui si potrà tenere conto), poi con vari livelli dell’acqua ed infine a carico
nullo.
Misure per il controllo dei movimenti e delle deformazioni
94
Collaudo di grandi capriate metalliche o di cemento armato in capannoni
industriali. In questo tipo di collaudo si pone il problema dell’inaccessibilità della
struttura. Si può operare appendendo ai nodi (o alla trave se si tratta di grandi travi in
cemento) dei pesi già determinati (rotoli di lamiera) sostenuti da carrelli elevatori per la
misura di zero che vengono abbassati per il carico ed alzati per lo scarico.
Collaudo di serbatoi. Per quanto attiene al carico non vi sono problemi se non di tempo
in quanto si effettueranno le misure a serbatoio vuoto, pieno a metà, pieno totalmente e
poi di nuovo a serbatoio vuoto. Se si vogliono verificare le fondazioni si può operare con
una livellazione geometrica. Si tratta infatti di aggiungere al cemento, ad altezza d’uomo,
delle aste centimetrate ed assumere un caposaldo Cs di riferimento abbastanza lontano
da non essere influenzato dai movimenti del terreno. Si collega con una lettura il punto
Cs al punto 1 sul serbatoio e si procede con una livellazione a stella facendo stazione nei
punti S1-S9 in figura.
La disponibilità di strumenti integrati con distanziometro al millimetro rende anche tale
strumentazione utile a collaudi di questo tipo.
Collaudi dinamici. Si accenna a questa categoria di collaudi che diventano possibili
grazie all’ultima generazione di strumentazione (non descritta), in particolare gli
accelerometri e gli interferometri. I collaudi dinamici sono utili soprattutto per i ponti e
dighe dove può essere molto utile rilevare i movimenti istantanei indotti, sulla struttura,
rispettivamente da mezzi in movimento o carichi d’acqua nell’invaso.
Misure per il controllo dei movimenti e delle deformazioni
95
Controlli in corso d’opera
Le metodologie utilizzate per i controlli sono in genere le stesse utilizzate nei collaudi ma
con la differenza che la strumentazione è fissa e monitora la struttura in continuo.
Spesso il controllo viene previsto proprio in corso d’opera durante la realizzazione di una
struttura. L’idea di rilevare la stabilità delle fondazioni, la verticalità di alti pilastri, la
planarità di solai già durante l’esecuzione dell’opera è una procedura spesso seguita
quando l’opera è tale da giustificare questo lavoro aggiuntivo. Controlli in corso d’opera si
utilizzano durante la costruzione di dighe, grattacieli, grossi fabbricati industriali, nuove
infrastrutture per l’alta velocità ferroviaria. Da un punto di vista pratico la soluzione
consiste nell’inserire una serie di caposaldi ad esempio sui plinti delle fondazioni in modo
da poter controllare la stabilità degli stessi col crescere del carico via via che l’opera
procede nella costruzione. Anche il montaggio di grosse macchine operatrici può
prevedere il controllo di parti durante la fase di montaggio.
Controllo di stabilità di edifici pregevoli
Sempre più frequente è la necessità di controllare, ad esempio durante i lavori di
ristrutturazione, la stabilità di fondazioni, solai o comunque di parti di edifici storici.
Questa pratica è fondamentale soprattutto in quelle città che sono soggette a fenomeni di
subsidenza (naturale ed antropica) che produce deformazione del suolo. Uno dei controlli
più frequenti, in questi casi, riguarda la verifica della stabilità delle fondazioni con
l’impiego della livellazione geometrica di precisione anche se l’uso di sensoristica di
nuova generazione (laser, fibra ottica) è sempre più frequente proprio in queste
applicazioni.
Nel caso della livellazione si presenta il problema della sistemazione dei caposaldi. Questi
infatti non devono deturpare il bene e devono essere approvati dalla Soprintendenza ai
Beni Culturali. I classici caposaldi toroidali possono essere materializzati in pozzetti
(quindi non visibili) con chiusino oppure, utilizzando caposaldi molto piccoli, essi si
possono mimetizzare con altri oggetti presenti. La livellazione ha come limite quello di
richiedere un controllo continuo nel tempo e personale specializzato per eseguire le
misure. Una alternativa potrebbe essere il controllo tramite livellazione idrostatica
(Duomo di Milano) con tubature al disotto del pavimento.
In altri casi invece si pone il problema di valutare possibili spostamenti planimetrici di
parte della struttura, quale ad esempio lo spostamento della sommità di una torre
rispetto alla base. In questi casi occorre prima di tutto rilevare eventuali cedimenti
differenziali delle fondazioni responsabili di tali movimenti.
La metodologia da utilizzarsi dipende essenzialmente
dalle caratteristiche dell’opera e dalla possibilità di
operare al suo interno. Se ad esempio l’opera ha
l’interno agibile per tutta l’altezza (torri) possono
servire i livelli zenitali o i fili a piombo che possono
essere automatizzati per un controllo continuo nel
tempo. Occorre proteggere i fili dalle correnti d’aria
con un tubo di plastica sufficientemente largo da
contenere i movimenti ipotizzati. Se invece la
struttura non consente tale approccio il problema
viene risolto con i metodi della topografia classica
secondo diverse modalità a seconda della possibilità di
eseguire misure dall’esterno.
Misure per il controllo dei movimenti e delle deformazioni
96
Per misurare eventuali variazioni di distanza tra due
punti (problema che può presentarsi in tutti i casi)
esistono i fili di invar tarati e tesi da un dinamometro e
ancorati ad un estremo alla struttura ed all’altro ad uno
strumento di rilevazione fisso.
Controllo di muri di sostegno e di versanti interessati da
gallerie
Muri di sostegno. Possono essere controllati anche grandi muri di sostegno costruiti, in
zone collinari, a protezione di aree urbanizzate soggette a rischio legato all’instabilità del
pendio. Spesso si tratta di grandi muri a gradoni che sostengono la parte restante del
versante asportato per scopi edilizi. I controlli possono essere effettuati con misure di
intersezione lineari ed angolari effettuate da due punti posti nell’area a valle del muro
Tali punti è bene che abbiano una quota media tale da non richiedere misure troppo
inclinate, che possono compromettere l’accuratezza dei risultati finali. Ovviamente deve
essere garantita la loro stabilità.
Movimenti su pendio dovuti allo scavo di una galleria. Durante lo scavo di una
galleria stradale o ferroviaria possono manifestarsi piccoli dissesti con (o senza) lesioni
negli edifici presenti sul pendio soprastante e timori sulla stabilità del versante stesso. In
alcuni casi l’area interessata è stata interamente monitorata per valutare la stabilità e la
sicurezza dei fabbricati e per verificare che i dissesti siano dovuti a fattori temporanei
legati allo scavo. In altri casi si possono anche rilevare veri e propri movimenti franosi
innescati dallo scavo. In questi casi si può istituire una rete di livellazione di precisione
comprendente caposaldi posti su piccoli pali infissi nel terreno o cementati sugli spigoli
dei fabbricati al fine di controllare i movimenti verticali di tutta la zona ed anche i
cedimenti differenziali delle fondazioni dei fabbricati. In questi casi si possono controllare
anche i comportamenti di punti distanti, per esempio sul versante non interessato, lavoro
svolto oggi quasi esclusivamente attraverso misure GPS con osservazioni statiche, calcolo
dei vettori baseline (si vedrà) e compensazione delle osservazioni.
Misure per il controllo dei movimenti e delle deformazioni
97
Controllo di dighe
Viene condotto grazie all’uso integrato di collimatori, stazioni robotizzate che eseguono
letture ad intervalli regolari di tempo, metodi di livellazione di precisione. Per quanto
riguarda il primo di questi metodi la geometria dipende dalla tipologia di struttura: ad
esempio si possono distinguere dighe a gravità e dighe a d arco che vengono monitorate
secondo i seguenti schemi.
Ad arco (con geometria di collimazione variabile)
A gravità (con geometria di collimazione fissa)
Il collimatore
Misure per il controllo dei movimenti e delle deformazioni
98
Utilizzo di sensori a fibra ottica (FOS)
Anche se non riconducibili a tecniche strettamente topografiche, vanno citati i sensori a
fibra ottica per la loro versatilità nell’applicazione, per il costo contenuto, la sensibilità
nella misura delle deformazioni, la durabilità, in estensibilità e resistenza. Infatti, i metodi
visti sino ad ora per il monitoraggio degli edifici e strutture sono spesso complicati nella
messa in opera e richiedono la presenza di uno o più operatori specializzati. La
complessità ed i costi che ne risultano possono limitare la frequenza delle misure e la loro
densità in relazione alla dimensione e complessità della struttura da controllare.
In quest’ottica, nasce la cosiddetta struttura intelligente (smart structure) che possiede al
suo interno una rete di sensori a fibre ottiche che permettono la misura delle
deformazioni in atto (legate a variazioni di temperatura e pressioni, alle infiltrazioni di
acqua, alle penetrazione di agenti chimici nocivi, ecc) e quindi la sorveglianza continua
della struttura.
Questi sensori, sviluppati negli ultimi 20 anni, sono in grado di rilevare deformazioni
anche molto piccole e con elevata precisione (fino a 2 micron indipendentemente dalla
lunghezza della base di misura) e per lunghi periodi di osservazione. In funzione degli
obiettivi del controllo (che diventa un vero e proprio monitoraggio) possono essere
istallati solo localmente oppure in modo distribuito sulla struttura.
Anche se esistono diverse tecniche per la misura delle deformazioni tramite FOS, una di
quelle più diffuse utilizza dei sensori interferometrici. Ciascun sensore è formato da due
fibre ottiche, una di misura ed una di riferimento, entrambe preservate all’interno di un
tubo di protezione in materiale plastico. La fibra di misura é tesa e solidale alla struttura
in modo da seguirne le deformazioni mentre la fibra di riferimento segue solo dilatazioni
di natura termica.
Il segnale ottico viene emesso da un’unità di lettura tramite un LED (light emitting diode)
a infrarossi (1.3 μm) sdoppiato nelle due fibre all’interno del sensore e quindi riflesso da
due specchi (ottenuti per trattamento chimico) posti all’estremità di ciascuna fibra, per
ritornare poi all’unità di lettura dove viene demodulato. I due specchi riflettono la luce
verso l’accoppiattore, dove i raggi sono combinati e poi diretti verso l’interferometro di
riferimento. Il segnale, contenente le informazioni sulle eventuali deformazioni che hanno
interessato la struttura, viene trattato e decodificato dall’unità di lettura, per essere
quindi visualizzato sul PC che include il software per il trattamento dei dati prodotti dal
FOS.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
99
I metodi di rilevamento tramite GPS
(Global Positioning System)
Alla fine degli anni sessanta il Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti ha deciso di
sviluppare un sistema di posizionamento tridimensionale in tempo reale su tutto il globo
basato su una costellazione di satelliti artificiali. Tale sistema, chiamato NAVSTAR GPS
(NAVigation Satellite Timing And Ranging Global Positioning System) doveva consentire
un posizionamento con accuratezze dell’ordine delle decine di metri.
In ambito geodetico e topografico il sistema GPS ha avuto un maggior utilizzo dai primi
anni '90 grazie all’utilizzo di tecniche di posizionamento GPS ad alta precisione. Queste
hanno avuto un notevole impulso anche grazie al contributo dell’IGS (International GPS
Sevice for Geodynamics) che fornisce una vasta serie di servizi per gli utenti del sistema
GPS.
Il GPS è basato sulla ricezione di segnali radio emessi da satelliti artificiali posti su orbite
quasi circolari con raggio di circa 26500 km. Per una maggiore comprensione del
funzionamento si usa distinguere tre segmenti: segmento spaziale; segmento di
controllo; segmento di utilizzo.
Il segmento spaziale
Il segmento spaziale identifica la costellazione
satellitare, che nella sua configurazione finale, è
costituita da almeno 24 satelliti posti su 6 piani orbitali
ugualmente spaziati in longitudine di 60° e inclinati di
55° rispetto al piano equatoriale. Essi sono distanti
dalla superficie terrestre circa 20200 km ed il loro
periodo di rivoluzione è di 11 ore e 58 minuti. Tale
geometria orbitale consente ad un generico utente
posto sulla superficie terrestre (ma anche al di sopra)
di osservare a qualsiasi ora, da qualsiasi punto e
contemporaneamente un numero di 4-8 satelliti con
una elevazione di almeno 15° sull’orizzonte. Inoltre
ogni punto sulla superficie terrestre osserverà la stessa
costellazione ogni 23 ore e 56 minuti.
Le funzioni svolte da un satellite GPS sono molte ma fondamentalmente esso trasmette
segnali codificati verso gli utenti (dotati di un ricevitore) con una temporizzazione molto
accurata dalla quale dipende la qualità del posizionamento ottenuto.
Per poter assolvere tali funzioni i satelliti montano a bordo oscillatori atomici (orologi)
molto stabili e apparati di ricezione e trasmissione. Oltre a questi sono presenti memorie,
unità di calcolo, il sistema di autoalimentazione (7 mq di pannelli solari), un apparato di
navigazione basato su propulsori che consente di correggere in continuazione il
movimento lungo l’orbita.
Ogni satellite trasmette segnali di navigazione in modulazione di fase su due portanti
chiamate L1 e L2, entrambe multiple della frequenza fondamentale f0 (f0=10.23 Mhz)
degli oscillatori atomici.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
100
Generazioni di satelliti in orbita
I satelliti GPS fino ad ora utilizzati sono divisi in cinque classi chiamate rispettivamente
Blocco I, Blocco II, Blocco IIA (Advanced), Blocco IIR (Replacement), Blocco IIR-M
(Modernized), Blocco IIF (Follow on). Quelli del blocco I sono stati rimpiazzati dal blocco
II e IIA e così via fino all'ultimo in un continuo aggiornamento della costellazione con
satelliti di ultima generazione. Pertanto in orbita si trovano sempre satelliti di
generazione e caratteristiche differenti. Alcune caratteristiche di questi blocchi sono
riportati nella tabella.
Alcune caratteristiche delle diverse generazioni di satelliti (al 20 Dicembre 2007)
Blocco I
numero
periodo di lancio
11 (fuori uso)
1978 - 1985
Blocco II
Blocco IIA
28(15 in servizio)
1985 - 1990
orologio di bordo o 2 oscillatori al Cesio + 2 oscillatori al Rubidio
Blocco IIR-IIR-M16
16 (16 in servizio)
1990 - 1997
1997 - oggi
maser idrogeno
maser idrogeno
peso
845 kg
1500 kg
2000 kg
2000 kg
vita
45 anni
6 anni
10 anni
10 anni
I satelliti sono identificabili dal numero di lancio e dal cosiddetto pseudorandom noise
(PRN), codice identificativo del posizionamento orbitale. Il blocco IIF sarà la prossima
generazione dei satelliti che dovrebbe essere lanciata a partire dal 2008 con un periodo
di vita di circa 12 anni. In lancio di questa generazione di satelliti è però in ritardo. Con il
blocco IIF verrà potenziato l’intero sistema di navigazione attraverso l’introduzione di
nuove componenti del segnale inviato.
Le successive generazioni presentano continue migliorie. Ad esempio con il lancio del
blocco IIR si introdusse la capacità di controllare la posizione relativa dei satelliti,
potendo così ottenere precisioni orbitali al di sotto del metro e quindi un miglioramento di
un ordine di grandezza nel posizionamento assoluto finale.
Si vedrà più avanti come il Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti si riservi la
possibilità di degradare il segnale GPS intervenendo sul timing degli orologi del satellite o
modificando i parametri orbitali per degradare l'accuratezza nel posizionamento.
16
“…. Cape Canaveral, Fla., (Dec. 20, 2007) – United Launch Alliance successfully launched a Delta II
expendable launch vehicle today from Space Launch Complex 17-A at 3:04 p.m., EST carrying the Air Force’s
GPS IIR-18(M) satellite…” (from http://ulalaunch.com/).
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
101
Oltre al segnale GPS vero e proprio dai satelliti viene trasmesso anche un segnale in
bassa frequenza contenente informazioni riguardanti la posizione dei satelliti stessi
(effemeridi), e vari parametri relativi alla qualità del segnale inviato.
Il Segmento di Controllo
Il segmento di controllo è costituito da cinque stazioni a terra (Hawaii, Colorado Springs,
Ascension, Diego Garcia, Kwajaliin) disposte lungo la linea equatoriale.
Esiste un continuo monitoraggio radio tra le stazioni a terra e i satelliti in modo da
monitorare le effemeridi (coordinate del satellite lungo la sua orbita) di questi ultimi e
predire la loro orbita in un limitato tempo successivo.
Tra queste quella di Colorado Springs è la stazione Master. Essa ha il compito di
raccogliere tutti i dati ricevuti dalle altre stazioni e di elaborarli per valutare effemeridi ed
molti altri parametri relativi al segmento spaziale. Le altre hanno invece la funzione di
trasmettere i dati elaborati dalla stazione Master verso i satelliti (aggiornamento delle
effemeridi, correzione dei parametri orbitali, informazioni sull’effetto dell’atmosfera sulla
propagazione delle onde etc.).
Determinazione delle effemeridi
Particolarmente interessante è la procedura per la determinazione delle effemeridi. I dati
satellitari raccolti dalle stazioni di controllo nell’ultima settimana vengono elaborati in
modo da determinare una prima stima della traiettoria che i satelliti seguiranno nella
settimana successiva. Queste traiettorie di nuova determinazione costituiscono le
cosiddette effemeridi di riferimento alle quali viene associata una precisione dell’ordine
dei 50 m. Vengono poi confrontati i dati raccolti nelle ultime 12-24 ore con le effemeridi
di riferimento. Questo consente un ulteriore ricalcolo delle effemeridi di riferimento,
adattandole ad una situazione più recente, che porta alla definizione delle effemeridi
predette (Broadcast Ephemerides). Le effemeridi broadcast vengono inviate al satellite
che, a sua volta, le invierà agli utilizzatori attraverso il segnale in bassa frequenza.
Pertanto un utente in possesso di un ricevitore GPS (si pensi ai navigatori satellitari)
riceverà allo stesso istante sia i segnali sulle due portanti sia le effemeridi. Queste due
informazioni consentono un primo posizionamento in tempo reale e di tipo strumentale.
Gli errori associati ai parametri delle effemeridi broadcast sono di circa 1 m per la
componente radiale (lungo direzione satellite-ricevitore), 7m per la componente
tangente, 3m per la componente normale. Per precisioni maggiori è possibile richiedere a
varie Agenzie che si occupano del trattamento dati GPS, le effemeridi precise, ottenute
dai dati raccolti in otto giorni da numerose stazioni sparse sul globo e disponibili con un
ritardo di 3-5 giorni dal momento dell’acquisizione dei dati. In questo caso non è possibile
il posizionamento in tempo reale perché le effemeridi da utilizzare non sono quelle inviate
dal satellite.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
102
L'accesso gratuito alle effemeridi precise avviene attraverso la rete Internet, tramite
connessione FTP (File Transfer Protocol) dove sono disponibili i dati organizzati in ordine
temporale.
Il Segmento di Utilizzo
Tale segmento è costituito da tutti gli utenti che, equipaggiati di un ricevitore GPS,
possono ricevere i segnali provenienti dai satelliti per ottenere il posizionamento
tridimensionale in tempo reale (effemeridi broadcast) o differito (effemeridi broadcast o
precise).
Per svolgere le sue funzioni un ricevitore GPS è costituito da: antenna con preamplificatore, sezione radiofrequenza, microprocessore, schermo di controllo (opzionale),
sistema di registrazione dati e sistema di alimentazione. Esistono molti modelli diversi di
ricevitori GPS che potenzialità molto diverse che dipendono fondamentalmente dal tipo di
analisi che essi possono effettuare sulle varie componenti del segnale ricevuto (si vedrà
nel prossimo paragrafo).
Il posizionamento ottenuto con misure satellitari, vista la struttura di un ricevitore, è
relativo al centro di fase dell’antenna ricevente; la sua individuazione è determinata in
modo più o meno preciso a seconda del modello utilizzato.
Ricevitore per applicazioni
di precisione (senza antenna)
Tipico ricevitore per il
posizionamento in tempo
reale con scarsa accuratezza
Ricevitore per applicazioni di precisione (con antenna su treppiede)
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
103
Il segnale GPS
Ogni satellite trasmette un segnale complesso costituito da diverse componenti ma
generate tutte dalla stessa frequenza fondamentale f0 (f0=10.23 Mhz) tipica
dell’oscillatore di bordo del satellite.
Le diverse componenti del segnale sono le seguenti:
Portanti (Carrier), L1 e L2: sono due onde con frequenza rispettivamente di 154 e 120
volte f0 e lunghezze d’onda risultanti di 19 e 24 cm. Notevoli vantaggi nell’uso della
doppia frequenza derivano dal fatto che l’effetto ionosferico sulla propagazione del
segnale può essere quantificato essendo la ionosfera un mezzo dispersivo (che presenta
un effetto diverso in funzione della frequenza del segnale).
Codici, C/A, P e W: sono codici pseudorandom, cioè sequenze di stati +1 e -1 casuali
che si ripetono dopo un certo intervallo di tempo. Nel codice C/A (Coarse/Acquisition o
Clear/Access) la sequenza è emessa ad una frequenza pari allo 0.1f0 e si ripete ad
intervalli di 10-3s; ad ogni satellite è assegnato un codice C/A per poterlo identificare. Il
codice P (Precision o Protected) si ripete ogni settimana ed è un segnale maggiormente
accurato. Inoltre è prevista la possibilità di criptare il codice P con un codice W noto solo
agli utenti abilitati ed emesso ad una frequenza pari ad 0.2f0. La somma dei codici P e W
fornisce il codice Y. Tale operazione di criptaggio viene definita A-S (AntiSpoofing).
IL codice C/A è modulato solo sulla L1 mente il codice P viene modulato su entrambi le
portanti L1 ed L2. Risulta evidente che gli strumenti in grado di rilevare il codice P
potranno avere prestazioni maggiori.
Messaggio D: attraverso questo messaggio si informa l’utente dello stato di salute del
satellite, sull’orologio e soprattutto sull’orbita attraverso le effemeridi del satellite.
Componenti
Frequenza MHz
Frequenza fondamentale
f 0 = 10.23
Frequenza portante L1
154 f 0 = 1575.42 (  = 19.0 cm)
Frequenza portante L2
120 f 0 = 1227.60 (  = 24.4 cm)
P - codice
f 0 =10.23
C/A - codice
0.1 f 0 = 1.023
W - codice
D(t) – messaggio di Navigazione
0.2 f 0 = 0.5115
f 0 /204600= 50 Hz
E’ possibile strutturare il segnale completo trasmesso dal satellite nel seguente modo :
L1(t )  a1 C / A(t )D(t )sen( f L1t   L1 )  a1 P(t )W (t )D(t )cos( f L1t   L1 )
L 2(t )  a2 P(t )W (t )D(t )cos( f L 2 t   L 2 )
dove entrambe le portanti (L1 e L2) sono modulate con il codice P e trasportano il
messaggio D, mentre solo la portante L1, sfasata di 90° rispetto ad L2, è modulata con il
codice C/A.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
104
La modulazione del segnale GPS con i codici C/A e P
Vediamo come avviene la modulazione dei codici C/A e P sulle fasi (operata dal satellite)
ed in quale modo si possano riottenere i segnali di codice e fase separati (da parte del
ricevitore) da utilizzare, anche solo in parte, per il posizionamento. Metodo del tutto
analogo viene utilizzato per trasmettere le effemeridi broadcast da parte dai satelliti.
I codici sono modulati sui segnali di fase in modo tale che in corrispondenza del
passaggio tra stati opposti del codice binario pseudorandom (da +1 a –1 e viceversa) si
ha uno sfasamento di 180° nella portante.
Il segnale modulato parte dal satellite e quando arriva al ricevitore viene demodulato per
separare i codici dalla fase. La “demodulazione" utilizza il confronto tra il segnale
proveniente dal satellite (ancora modulato) ed una replica identica generata dal
ricevitore.
Che cosa succede infatti quando un segnale modulato viene moltiplicato per una replica
di se stesso? Supponiamo che il codice e la sua replica siano sincronizzati: gli stati +1 si
presentano simultaneamente in entrambi, così come gli stati -1. Se moltiplichiamo quindi
il codice per la sua replica, lo stato del segnale risultante sarà sempre +1 in quanto
 1
2
  1
 1 e
2

 1 . Quando il ricevitore trova la perfetta sincronizzazione significa
che ha riconosciuto il codice in ingresso (che è tipico di un satellite in particolare).
Riconosciuto il codice esso può essere rimosso dal segnale ed anche la fase può essere
ricostruita nella forma originale.
In realtà il codice in ingresso al ricevitore e la replica non possono essere subito
sincronizzati. Questo accade in quanto i codici emessi dai satelliti e le repliche generate
all’interno dei ricevitori sono sincronizzati sullo stesso tempo, ma il segnale emesso dal
satellite avrà percorso una certa distanza e quindi avrà un ritardo rispetto alla replica.
Tale ritardo sarà funzione della distanza satellite-ricevitore ma dipenderà anche dagli
errori di sincronizzazione degli orologi coinvolti (errore di offset degli orologi).
Il ritardo (time delay) tra il segnale e la sua replica si ottiene da successivi confronti tra i
segnali fino a quando la correlazione diventa massima.
codice in arrivo dal satellite
replica del codice generata nel ricevitore
ritardo del segnale
t
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
105
La procedura di sincronizzazione porta quindi alla conoscenza del tempo impiegato dal
segnale per compiere il tragitto dal satellite al ricevitore. Questo equivale alla distanza
satellite-ricevitore (range) se non ci fossero gli errori degli orologi a limitare questa
determinazione.
Come si vedrà, il posizionamento GPS di stazioni singole, ad esempio quello utile ai fini
della navigazione, è basato proprio sulla determinazione di tale distanza da almeno 4
satelliti in vista contemporaneamente. Dunque le funzioni di un semplice ricevitore,
abilitato in questo caso a ricevere solo i codici, si possono riassumere nella schema sotto.
Si vede che il segnale in arrivo dall’antenna viene amplificato e demodulato tramite
confronto con una replica, il tutto sincronizzato dall’orologio del ricevitore. Avvenuta la
demodulazione si separano i vari prodotti; effemeridi, codice C/A (anche il P se lo
strumento è abilitato), ritardo del segnale. Con questi elementi sarà possibile calcolare la
posizione del ricevitore, la sua velocità ecc. nel modo che si vedrà.
Modernizzazione del sistema
Con l’introduzione dei satelliti della nuova
generazione il GPS (blocco IIR-M) viene
potenziato con l’introduzione di un nuovo codice
civile L2C, modulato sulla L2, per il quale si
prevedono
applicazioni
civili
non
critiche.
Successivamente verrà introdotto un terzo
segnale portante, denominato L5, collocato alla
frequenza 1176.45 MHz e per il quale sono
previsti utilizzi legati alla sicurezza ed alle
applicazioni che richiedono un posizionamento di
precisione. Dovrebbero poi aggiungersi due codici
L1C ed M-code (ad uso militare) a completare
questa fase di modernizzazione denominata GPS
III. Il sistema modernizzato dovrebbe essere
disponibile per il 2010 e pienamente disponibile
per il 2013.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
106
Integrazione con altri GNSS (Global Navigation Satellite System)
Il posizionamento satellitare incrementa la sua potenzialità se usato in integrazione con
altre costellazioni esistenti o previste. Tra le prime vi è la costellazione russa GLONASS
(GLObal NAvigation Satellite System). Alcune peculiarità rendono il GLONASS differente
dal più noto GPS. Innanzi tutto va detto che la costellazione GLONASS è stata poco
operativa in quanto la costellazione non è mai stata completata da parte del governo
russo. Oggi, dopo il rifinanziamento del progetto, la costellazione conta 19 satelliti
distribuiti sui 3 piani orbitali con una inclinazione di 64,8° (55 nel GPS). Il sistema lavora
con la doppia portante, ma in questo caso ciascun satellite occupa un differente slot, in
termini di frequenza, rispetto agli altri contemporaneamente in vista. Sia la L1 che la L2
prevedono dei valori di frequenza variabili e scalati rispetto ad un valore standard. Solo i
satelliti che si trovano alle estremità di una traiettoria orbitale possono avere la stessa
frequenza, non potendo essere ricevuti da nessun utente contemporaneamente. Va citato
anche il differente datum tra i sistemi. Nel GLONASS si assume il PZ-90 mentre il GPS
utilizza il ben noto WGS84. Anche se il GLONASS non costituisce un sistema di
posizionamento indipendente a causa del basso numero di satelliti, il suo uso combinato
con il GPS ne amplia le potenzialità aumentando il numero complessivo di satelliti in
vista. Nelle figure riportate di seguito è rappresentato il numero di satelliti disponibili
durante un rilievo sperimentale nella soluzione con sola costellazione GPS e
GPS+GLONASS rispettivamente. Rispetto al periodo di tale rilievo i satelliti GLONASS
sono ulteriormente aumentati.
Va citato anche il progetto GALILEO, costellazione di satelliti per il posizionamento di
proprietà della Comunità Europea, che a partire dal 2006 si trova in fase di
sperimentazione con il lancio del primo satellite. La piena operatività è prevista per il
2011. GALILEO prevede nuove potenzialità legate principalmente alla disponibilità di
servizi ad accesso limitato ed all'informazione sull'integrità dei dati come verifica
dell'accuratezza del posizionamento raggiunto.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
107
Osservabili GPS: Codici e Fasi
Il segnale radio emesso dal satellite viene captato dall’antenna GPS del ricevitore,
demodulato e, per ricevitori dotati di scheda di memoria interna o memory card
estraibile, salvato nel file delle osservazioni. Il codice PRN consentirà di identificare i
satelliti in vista. Ogni segnale da ogni satellite viene trattato in un canale di ricezione
diverso. L’informazione ricevuta consiste quindi in quelle che vengono definite le
osservabili CODICE e FASE dalle quali parti il calcolo della posizione.
In linea del tutto generale si può affermare che le misure di codice possono essere
utilizzate per un posizionamento in tempo reale ma con scarsa accuratezza mentre le
misure di fase consentiranno un posizionamento di precisione anche subcentrimetrica in
post-elaborazione, ovvero con un trattamento dei dati memorizzati che avviene
successivamente al rilievo sul terreno.
Come già affermato in precedenza il posizionamento GPS è basato sulle stime delle
misure di distanza satellite-ricevitore. Tale grandezza (range) è rappresentata nella
figura sotto dove in particolare con l'indice i è rappresentato un generico ricevitore e con
j un generico satellite.
Il posizionamento GPS può essere ottenuto in alcune “modalità”, che dipendono dal tipo
di rilievo e di trattamento dei dati. Queste si possono riassumente in te categorie:
1. Posizionamento assoluto: utilizzando un unico ricevitore che determina la
posizione assoluta (nel sistema di riferimento globale del GPS);
2. Posizionamento differenziale: assimilabile al posizionamento assoluto ma i
valori di range satellite-ricevitore sono corretti dei vari errori sistematici
attraverso le informazioni provenienti da una seconda stazione posta su
un vertice noto;
3. Posizionamento
relativo:
utilizzando
almeno
due
ricevitori
contemporaneamente porta al calcolo del vettore (baseline) unione dei
due punti. Consente la massima precisione potendo eliminare molti degli
errori caratteristici del sistema;
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
108
Il Posizionamento Assoluto
Si illustreranno di seguito le equazioni che sono alla base del posizionamento assoluto,
ottenuto con uno strumento, sia nel caso di ricezione delle informazioni sui codici sia sulle
fasi.
Posizionamento assoluto con misura dei codici
Se si suppone una perfetta sincronizzazione tra l’emissione del codice generato dal
satellite e quello generato dal ricevitore, il segnale che parte dal primo all'istante tj
giunge al secondo all'istante ti con un ritardo pari al tempo necessario per compiere la
distanza satellite-ricevitore.
Se si considera invece la non perfetta sincronizzazione tra i codici del satellite e del
ricevitore rispetto al tempo GPS si avrà un offset che influisce sulla determinazione del
range introducendo un errore. Per questo motivo la distanza satellite-ricevitore,
determinata dal ricevitore stesso, prende il nome di pseudorange. La misura del ritardo
corretta degli offset si può esprimere come:

t  t i (GPS )   i   t j (GPS )  
j

Mentre, dopo avere accorpato gli errori, lo pseudorange osservato sarà
Ri j (t )  ct (t )  ct (GPS )  c i j (t )   (t )  c i j (t )
dove c è la velocità della luce nel vuoto, ti il tempo misurato dall’orologio del ricevitore, tj
quello misurato dall’orologio del satellite,  i è l’errore (bias) nell’orologio del ricevitore, j
è l’errore (bias) nell’orologio del satellite. Quest’ultimo, molto piccolo, viene modellizzato
in un polinomio di coefficienti noti che sono trasmessi nel messaggio di navigazione,
mentre l’errore dell’orologio del ricevitore rimane incognito e varia da istante ad istante.
Il valore di (t) rappresenta la distanza geometrica al tempo t (valore teorico da
determinare) è può essere espressa come

 
2
 
2
ij  X j (t)  X i  Y j (t)  Yi  Z j (t)  Zi

2
dove le 3 coordinate della stazione GPS a terra sono le incognite di nostro interesse (la
posizione) mentre le coordinate del satellite al tempo t sono espresse attraverso le
effemeridi.
Considerando che il ricevitore GPS continua a tracciare i satelliti disponibili ma registra le
osservabili codice e fase ad intervalli definiti (d'ora in poi chiamate epoche di
acquisizione) il numero di osservazioni sarà nj x nt, dove con nj è il numero di satelliti in
vista e nt il numero di epoche per ogni satellite.
Se il ricevitore è fermo, ovvero siamo nel caso di un posizionamento statico, le incognite
saranno:
- 3 coordinate del punto (che non cambia);
- un bias dell'orologio del ricevitore per ogni epoca di acquisizione
(ad ogni epoca infatti si presenta un bias diverso).
Complessivamente le incognite sono 3+ nt e la condizione necessaria per avere il
posizionamento sarà nj x nt  3+ nt da cui
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
nt 
3
n j 1
109
caso statico
Da questa relazione si osserva che per avere un posizionamento statico occorre avere il
denominatore positivo e quindi almeno due satelliti e tre epoche di acquisizione. Con
un'unica epoca invece la soluzione si ha per nj = 4. In pratica ad ogni epoca è possibile
risolvere la posizione se sono disponibili almeno 4 satelliti.
Nel caso in cui lo strumento GPS ricevente sia in movimento (posizionamento cinematica)
le incognite associate alla posizione cambieranno di epoca in epoca. A queste si aggiunge
il bias dell'orologio anche qui per ogni epoca. Le incognite saranno 3nt.+ nt = 4nt e la
configurazione minima nj x nt. 4nt da cui deriva
nj  4
caso cinematico
Quindi 4 satelliti consentono il calcolo della posizione in ogni epoca e quindi della velocità
e traiettoria.
Come esercizio sull’applicazione del metodi dei minimi quadrati al posizionamento GPS assoluto si vede ora
come si effettua il calcolo delle componenti del vettore posizione.
Partendo dall'equazione generale, riferita ad un'epoca generica t con errore legato all'orologio del satellite che
può essere considerato noto, nella forma
Rij 
X
j
(t)  X i
  Y
2
j
(t) Yi
  Z
2
j
(t)  Zi

2
 cti (t)  0
occorre linearizzare rispetto alle incognite del problema che saranno X i , Yi , Z i delle quali devono essere noti dei
valori approssimati
X i  X i0  xi
xi  X i  X i0
Yi  Yi0  y i
0
con discrepanze che diventano y i  Yi  Yi
Z i  Z i0  z i
z i  Z i  Z i0
arrivando ad avere equazioni nella forma
Ri j (t )   i j0 
X j (t )  X i0
 i j0 (t )
xi 
Y j (t )  Yi0
 i j0 (t )
yi 
isolando i termini noti da quelli incogniti si ha
Z j (t )  Z i0
 i j0 (t )
z i  ct i (t )
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)

X j (t )  X i0
 i j0 (t )
xi 
Y j (t )  Yi0
 i j0 (t )
yi 
Z j (t )  Z i0
 i j0 (t )
110
z i  ct i (t )  Ri j (t )   i j0
nelle incognite X i , Yi , Z i , t i (t ) . Evidentemente occorreranno i soliti 4 satelliti per risolvere il sistema delle
equazioni. Definendo i termini noti ed i coefficienti nella forma abbreviata
l j  Ri j (t )   i j0
a Xij 
X j (t )  X i0
 i j0 (t )
aYij  
Y j (t )  Yi0
a Zij  
 i j0 (t )
Z j (t )  Z i0
 i j0 (t )
Ogni satellite ricevuto all’istante t fornirà una equazione nelle 4 incognite. In presenza di j satelliti si arriva ad un
sistema di equazioni (anche ridondanti) del tipo:
1
a1Xi xi  aYi
y i  a1Zi z i  c i (t )  l 1
2
2
a Xi
xi  aYi2 y i  a Zi
z i  c i (t )  l 2
....
a Xij xi  aYij y i  a Zij z i  c i (t )  l j
che in forma matriciale si può esprimere come
A
a1Xi
1
aYi
a1Zi
c
2
a Xi
aYi2
2
a Zi
c
..
..
..
..
a Xij
aYij
a Zij
c
l1
xi
x
yi
zi
t i (t )
l
l2
..
lj
Visto che il metodo viene applicato ad ogni singola epoca (con almeno 4 satelliti) esso è utile anche per calcolare
il posizionamento assoluto di oggetti in movimento (navigazione aerea o terrestre).
Considerazioni sul posizionamento assoluto in tempo reale con l’uso dei codici.
Questo metodo viene utilizzato in navigazione, è il più semplice e non richiede strumenti
costosi. Idealmente consiste in una intersezione nello spazio tra vettori satellitericevitore. Fornisce la posizione del punto a terra in ogni istante con precisione che varia
dai 5 ai 30 m a seconda del codice utilizzato (C/A o P) e quindi del tipo di ricevitore.
Il punto di cui viene determinata la posizione può essere fermo o in movimento e quindi
si può anche suddividere questo tipo di posizionamento in statico e cinematico. In
presenza dei disturbi indotti sul segnale, se il ricevitore è in grado di codificare solo il
codice C/A, l’accuratezza nella posizione orizzontale può arrivare ad essere dell’ordine dei
100m e anche peggio nel caso verticale. Usando il codice P l’accuratezza nel
posizionamento orizzontale è quasi sempre inferiore ai 20m (con livello di confidenza al
95%).
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
111
Il posizionamento assoluto in generale, soffre dalla presenza dell’Anti-spoofing e della
Selective Availability.
L’Anti-Spoofing AS, consiste sostanzialmente nel crittografare il codice P
combinandolo con un codice segreto (codice W) riservato ai soli utenti
autorizzati. Questa procedura è attiva dal 1994 per i satelliti del blocco II.
La Selctive Availability S/A, consiste in un degrado della precisione
dell’orologio del satellite e della precisione delle effemeridi trasmesse. La S/A
è attivabile a differenti livelli di degrado, che il DoD si riserva di variare in
base alle proprie esigenze strategiche. Attualmente questo disturbo è
disattivato ma può essere applicato in modo selettivo in aree dove non si
vuole concedere la piena potenzialità del metodo.
_______________________________________________________________________
Incremento nell'accuratezza del posizionamento orizzontale e verticale
in corrispondenza della disattivazione della SA il giorno 2 Maggio 2000
______________________________________________________________________
Le osservazioni di codice possono essere anche prolungate sullo stesso punto per
aumentare la precisione della determinazione. Tale operazione può essere utile ad
esempio per ricavare la posizione di un punto la cui posizione non necessita di elevate
precisioni.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
112
Posizionamento assoluto con misura delle fasi
Si immagini di seguire il satellite j-esimo lungo la sua orbita. Esso viene "agganciato" dal
ricevitore all'epoca t0 e tracciato fino alla generica epoca t.
All'istante della prima ricezione verrà registrata una frazione di fase
 ij (t 0 ) ,
ma il
segnale lungo il suo tragitto avrà percorso anche un certo numero intero di cicli N che è
incognito e viene chiamato ambiguità di fase. Da questo momento in poi il satellite viene
tracciato con continuità e all'epoca generica t avrà misurato una quantità di cicli
 i j (t )
che include la frazione di cicli precedenti.
Il valore delle ambiguità N rimane costante durante il tracking del satellite ed ovviamente
esisterà un valore di ambiguità per ogni satellite in vista. Se per un motivo qualsiasi il
ricevitore perde, anche momentaneamente, uno dei satelliti in vista (situazione
denominata cycle slip) si stabilirà una nuova incognita N al momento del riaggancio.
Infatti il ricevitore sarà in grado di misurare i cicli di fase dal momento dell'aggancio del
satellite ma non il valore N.
Il valore di range dalla misura della fase, all'epoca generica t, si può esprimere dalla
somma delle ambiguità N e dei cicli di fase contati dal ricevitore. Questi ultimi a loro volta
possono essere espressi come somma della componente intera e di quella frazionaria.
L'equazione generale della fase per un ricevitore che registra un segnale proveniente da
una sorgente in fase posta in un punto P e situata ad una distanza  si può scrivere come
  f (t  t  )  f (t   / c)
dove la fase registrata si ottiene moltiplicando la frequenza del segnale per la differenza
tra il tempo all'istante t e quello impiegato per coprire il percorso. A questa equazione si
dovrebbero aggiungere eventuali errori legati alla non perfetta sincronizzazione degli
orologi.
Chiamiamo  S (t ) la fase ricevuta all'epoca t da un satellite con frequenza f
S
e  R (t ) la
fase del segnale generato dal ricevitore con frequenza f R . Le equazioni per le due fasi si
possono scrivere
 S (t )  f S t  f S
 R (t )  f R t   0 R

c
  0S
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
con le fasi all'istante
 0S  f S  S ,  0 R  f R R .
iniziale
(0)
che
dipendono
113
dagli
errori
degli
orologi
La fase misurata all'istante t si ottiene dalla differenza tra la componente ricevuta e
quella generata dallo stesso ricevitore
 S (t )   R (t )   f S

c
 f S  S  f R R  ( f S  f R )t
dove l'ultimo termine si può trascurare. Si semplifica la relazione nella forma
 RS (t )   f

c
 f S  S  f R R
La fase ricevuta è funzione della distanza percorsa dal segnale e degli errori di
sincronizzazione. Da quanto visto nel diagramma sopra la stessa quantità si può
esprimere come somma della fase registrata dall'istante t0 all'istante t e delle ambiguità.
 RS (t )   RS
t
t0
N
Sostituendo l'equazione nella precedente, chiamando  la fase misurata e considerando
che f / c  1 /  si ottiene l'equazione finale per l'osservabile fase
 RS  N   f

c
 f S  S  f R R

 RS  f

c
 f S  S  f R R  N
da cui si ottiene
 SR (t ) 
1

 i j (t )  f j (t )  f i (t )  N i j
che rappresenta l'equazione fondamentale per le osservazioni di fase. Rispetto al caso
dello pseudorange dai codici compare il valore delle ambiguità. L'equazione è espressa
nelle unità di grandezza delle fasi (cicli).
Come nel caso del posizionamento statico si può fare il bilancio delle osservazioni
necessarie per arrivare alla soluzione, ovvero al calcolo della posizione. Il numero delle
osservazioni disponibili è sempre nj x nt. Compare il valore delle ambiguità che sarà
uguale al quello dei satelliti disponibili.
Se il ricevitore è fermo, ovvero siamo nel caso di un posizionamento statico, le incognite
saranno:
- 3 coordinate del punto (che non cambia);
- un bias dell'orologio del ricevitore per ogni epoca di acquisizione;
- un valore di ambiguità per ogni satellite disponibile.
Le incognite saranno 3+ nt + nj e la condizione necessaria sarà nj x nt. 3+ nt + nj da cui
nt (n j  1)  n j  3

nt 
nj 3
n j 1
caso statico
Il numero minimo di satelliti per ottenere una soluzione è 2 con almeno 5 epoche di
misura. Con i 4 satelliti disponibili invece occorrono almeno 3 epoche di acquisizione.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
114
Se la stazione GPS ricevente è in movimento le incognite relative alla posizione
cambieranno di epoca in epoca. A queste si aggiunge il bias dell'orologio anche qui per
ogni epoca e le ambiguità per ogni satellite. Le incognite saranno 3nt.+ nt + nj = 4nt +
nj e la configurazione minima nj x nt. 4nt + nj da cui deriva
nt (n j  4)  n j

nt 
nj
nj  4
caso cinematico
Quindi occorrono almeno 5 satelliti per il calcolo della posizione per almeno 5 epoche. Ad
esempio con 8 satelliti occorreranno 2 epoche minime. Il problema sarebbe facilmente
risolvibile se fossero note le ambiguità iniziali per tutti i satelliti in vista.
Ciò sarebbe possibile se fosse nota la posizione iniziale del punto cinematico. In tal caso il
range geometrico potrebbe essere calcolato in via preliminare e le ambiguità dedotte da
tale valore. In tal caso, se i satelliti sono tracciati con continuità, i valori di ambiguità non
cambiano e si può verificare facilmente che occorrono quattro satelliti per avere la
posizione ad una qualunque epoca.
La determinazione delle ambiguità preliminare al rilievo viene chiamata "inizializzazione".
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
115
Errori nel posizionamento GPS
Come detto precedentemente, la posizione di un punto a terra è determinata eseguendo
una misura di distanza tra il satellite ed il ricevitore, considerando nota la posizione del
satellite in base alle sue effemeridi. E’ quindi evidente che la precisione del
posizionamento GPS sarà influenzata da una serie di errori che verranno elencati17.
Errori nella definizione dell’orbita dei satelliti.
E’ necessario avere una idea dell’influenza che tali errori hanno sui risultati per due
ragioni. La prima è che normalmente, quando si vogliono risultati immediati, si usano per
i calcoli le effemeridi trasmesse dal satellite che sono soggette ad errori. Inoltre per
motivi militari, può essere attivata la SA che ha l’effetto di fornire orbite manipolate e
tempi dell’orologio dei satellite anch’essi modificati. In tale caso gli errori incidono molto
sul posizionamento assoluto e meno sugli altri tipi di posizionamento come si vedrà più
avanti.
Errore dell’orologio del satellite
Strettamente correlato al precedente è l’errore dell’orologio del satellite. Tale errore si
ripercuote sull’accuratezza del posizionamento assoluto, mentre nel posizionamento
relativo esso viene completamente eliminato con il metodo delle Singole Differenze (si
vedrà).
Errori sulla propagazione del segnale
Il segnale si propaga in un mezzo che non è sempre approssimabile al vuoto. A livello
dell’atmosfera esso è soggetto a fenomeni di rifrazione che hanno luogo nei due livelli
principali: ionosfera e troposfera.
Effetto della rifrazione ionosferica
Il cosiddetto ritardo ionosferico è dovuto al contenuto ionico nei vari strati della ionosfera
(livello compreso tra i 50 e i 1100 km di quota), contenuto che è dovuto a varie cause
quali l’attività solare e l’attività del campo geomagnetico.
Tali effetti sono evidenti soprattutto alle latitudini equatoriali ed ai poli. Essendo la
ionosfera un mezzo dispersivo, tale ritardo è dipendente dalla frequenza del segnale, per
cui utilizzando ricevitori a doppia frequenza (L1 e L2) è possibile eliminare tale influenza.
Gli effetti ionosferici inducono nella soluzione finale una distorsione quantificabile con un
fattore di scala. L’utilizzo delle due frequenze portanti permette anche di valutare un
modello ionosferico che corregga le osservazioni. Si vedrà come nel posizionamento
relativo è possibile utilizzare una combinazione lineare delle portanti (L3, Ionospheric
Free) che corregge degli effetti del ritardo ionosferico sul segnale in arrivo al ricevitore.
Tale effetto è tanto più evidente quanto minore è l'elevazione del satellite sull’orizzonte.
Per basse elevazioni infatti segnale attraversa una porzione maggiore dello strato
ionosferico durante il tragitto satellite-ricevitore.
17
Occorre subito dire che molti di questi errori influenzano fortemente il posizionamento assoluto ma vengono
drasticamente ridotti in quello relativo e differenziale che si vedranno in dettaglio essendo di forte interesse nelle
misure topografiche.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
116
D1 < D2
Effetto della rifrazione troposferica
Tale effetto è abbastanza importante ed è uno dei fattori limitanti la precisione delle
misure soprattutto nei riguardi della quota. L’effetto è simile a quello ionosferico con la
differenza che la troposfera non è un mezzo dispersivo e le doppie frequenze non aiutano
a correggere tale effetto. IL problema è ancora aperto anche se esistono molti modelli
matematici per la correzione del ritardo troposferico. Tali modelli richiedono la
conoscenza dei tipici parametri meteo nel punto dal quale si effettuano le misure
(umidità, pressione, temperatura).
Riflessioni multiple (multipath)
Il fenomeno consiste nel fatto che all’antenna possono giungere, oltre al segnale
proveniente direttamente dal satellite, segnali che hanno subito delle riflessioni su
superfici riflettenti. Questi evidentemente sporcano i dati e complicano la procedura di
ricezione ed analisi del segnale da parte del ricevitore. Anche se sembra che esistano
riflessioni multiple sul satellite stesso, sono molto importanti quelle riflessioni che
avvengono in prossimità dell’antenna del ricevitore dovute a pareti di fabbricati, pareti
rocciose, specchi d’acqua, etc.. Quello del multipath è un fenomeno molto perturbante e
di esso deve tenersi conto nella scelta del luogo di stazione. Il design delle antenne è tale
da limitare tale effetto.
Salti di Ciclo (Cycle Slip)
Nel momento in cui, per una qualsiasi ragione, si ha l’interruzione della ricezione del
segnale anche da un solo satellite si è in presenza del cosiddetto Cycle Slip che si
manifesta con l'interruzione del tracking della fase e porta ad un aumento del numero di
“ambiguità”. Queste, come visto, entrano come incognite nel calcolo delle posizioni e crea
grossi problemi soprattutto nel rilievo cinematico.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
117
Occorre quindi fare attenzione agli ostacoli per non ostacolare la ricezione del segnale.
Anche in prossimità di strade il passaggio dei veicoli può impedire la ricezione del segnale
così come la presenza di sorgenti elettromagnetiche (le nuove antenne risolvono
quest’ultimo problema).
Errori dovuti alla stazione ricevente
Le maggiori fonti di errore nel sistema ricevente sono imputabili all’elettronica del
ricevitore, all’instabilità dell’oscillatore che genera la frequenza campione e quindi le
repliche dei segnali, all’instabilità del centro di fase dell’antenna (punto nel quale è
effettivamente ricevuto il segnale e riferimento della posizione calcolata). Il
comportamento del centro di fase viene modellizzato attraverso dei polinomi con
coefficienti noti in base ad una procedura standard di calibrazione. Tale problema, sentito
solo nei rilievi ad alta precisione, è maggiormente presente nei rilievi che utilizzano
strumenti misti con antenne differenti.
Errori dovuti all’operatore
Vi è tutta una serie di attenzioni da prestare da parte dell’operatore per evitare errori
grossolani. In particolare le operazioni maggiormente delicate sono quelle relative al
centramento dell’antenna sul punto di stazione ed alla misura dell’altezza dell’antenna.
In particolare il primo punto può generare errori nel trattamento dei dati perché la
posizione GPS, indipendentemente dalla tecnica scelta per il rilievo, sarà sempre riferita
al punto dell'antenna che riceve il segnale. Nelle misure topografiche però interessa la
posizione del riferimento "a terra" che può essere un caposaldo nel rilievo statico o
semplicemente la superficie in quello cinematico. Per far questo occorre conoscere la
quota del centro di fase dell'antenna rispetto al caposaldo e questa deve essere
determinata lungo la verticale. Tale valore si può conoscere se le misure dell’antenna
sono note e se si conoscono le quote del centro di fase rispetto ad un piano di
riferimento. Tale piano è sempre definito nelle antenne utilizzate nei rilievi di precisione è
prende il nome di ARP, Antenna Reference Point.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
118
Nel caso si stia utilizzando una palina nel rilievo cinematica la quota tra ARP e caposaldo,
o terreno, è fornita dall’asta metrica della palina stessa. Nel caso si stia utilizzano il
treppiede, in un rilievo statico, si legge la distanza b tramite un'asta graduata. Da questa
lettura (chiamata slop perché inclinata) si deve risalire alla distanza verticale tra
caposaldo e ARP. Questo è possibile dalla conoscenza di tutti gli offsets dell’antenna
utilizzata.
Questa fase può essere condotta in automatico dai software di elaborazione dati GPS se
l'antenna è definita correttamente al suo interno. L'esistenza di una moltitudine di
antenne che si diversificano per pochi particolari rende questa fase delicata soprattutto
quando il rilievo è di alta precisione.
Esistono anche centramenti cosiddetti"forzati" perché al caposaldo (specifico per questo
tipo di centramento) viene avvitato un cilindro quotato di metallo che alla sommità
riporta l'adattatore per l'avvitamento dell'antenna. In questo modo l'altezza della base
dell'antenna è determinata con precisione dalla quota del pezzo e l'antenna e fissata in
modo molto stabile. Si utilizza nelle applicazioni di estrema precisione.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
119
Il Posizionamento Differenziale (DGPS)
Il termine differenziale indica generalmente la tecnica di posizionamento che consente di
determinare la posizione di un ricevitore rispetto a quella di un secondo che viene posto
su un vertice noto (con un certo livello di precisione). Quindi l'applicazione di questa
tecnica comporta come minimo l'utilizzo di una coppia di ricevitori e le consuete
osservazioni dei codici e/o fasi.
Il principio alla base di questa tecnica è il calcolo delle correzioni degli pseudorange (PRC,
PseudoRange Correction) e delle loro variazioni nel tempo RRC (Range Rate Correction)
da parte della stazione di riferimento ed il successivo invio al ricevitore mobile (rover) per
la correzione di tali errori che possono essere considerati comuni tra le stazioni. Nelle
applicazioni in tempo reale la comunicazione di questi parametri richiede una
connessione via radio-modem o collegamento telefonico.
Il DGPS sfrutta quindi il posizionamento assoluto ma con la correzione degli
pseudoranges calcolata dalla stazione fissa. In questo modo si eliminano molti degli errori
imputabili al sistema e non prevedibili nel posizionamento assoluto. Le correzioni possono
essere calcolate dai codici o dalle fasi.
DGPS con utilizzo dei codici
Consideriamo l'equazione già vista per le misure di range, all'epoca t0, tra un punto
considerato fisso (F) ed il satellite j-esimo
RFj (t0 )   Fj (t0 )   Fj (t0 )  c Fj (t0 )
Il termine  Fj rappresenta il contributo degli errori nella componente radiale dell'orbita
del satellite. Tale errore si ripercuote pesantemente sul valore dello pseudorange. Il
range geometrico si può considerare noto in quanto sono note le coordinate della
stazione fissa e la posizione del satellite. Le coordinate della stazione fissa vengono
introdotte nel ricevitore al momento del rilievo sul terreno oppure in laboratorio nella fase
di programmazione dello strumento.
La correzione per il range (derivato da misure di codice) tra il satellite j-esimo ed il punto
fisso F all'epoca t0 si può scrivere
PRC j (t 0 )   RFj (t 0 )   Fj (t 0 )    Fj (t 0 )  c Fj (t 0 )
Registrando queste correzioni nel tempo possono essere ricavate le RRC che in pratica
consentono di monitorare la variazione nel tempo (ad una successiva epoca t) dei valori
delle correzioni da applicare alle posizioni dello strumento mobile. La stazione mobile
potrà allora calcolare la propria posizione partendo da pseudoranges corretti (con
posizionamento assoluto utilizzando le equazioni già viste. Le correzioni si possono
scrivere come

PRC j (t )  PRC j (t 0 )  RRC j (t 0 )(t  t 0 )

Da questa si vede che il valore di PRC ad un'epoca t deriva da quello della precedente
epoca (per la quale è stata calcolata la correzione dello psedorange) più la sua variazione
nell’intervallo di tempo trascorso18. La stazione B (rover) riceve il valore di PRC. Il suo
valore di range non ancora corretto si può scrivere
18
Tale valore viene chiamato "latenza" e rappresenta un parametro tipico di ogni strumentazione in commercio
concepita per questo tipo di rilievo.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
120
RBj (t )   Bj (t )   Bj (t )  c Fj (t )
A questa viene applicato il valore di PRC
RBj (t ) corretto  RBj (t )  PRC (t )
In questo modo tutti gli effetti perturbanti, tipici del segmento spazio, sono corretti
attraverso i valori ricalcolati degli pseudorange. In presenza di SA l'effetto sarebbe
dunque corretto dal metodo differenziale come anche effetti di rifrazione troposferica e
ionosferica. Esistono molte verianti di questo metodo ma le accuratezze raggiunte vanno
dai 50 cm ai 5 cm in funzione delle prestazioni dei ricevitori utilizzati.
Il protocollo di trasmissione RTCM
La correzione può essere inviata in tempo reale, attraverso un collegamento radiomodem, con comunicazione dei dati in un formato standard quale ad esempio l’RTCM
(Radio Technical Commission for Maritime) che prevede diverse versioni dalla 2.0, 2.1
alla 3.0. Nella 2.0 sono previste le correzioni per i codici, nella 2.1 sono state introdotte
le correzioni per le misure di fase e nella nuova versione 3.0 sono previste anche
informazioni aggiuntive relative ai dati acquisiti dalla stazione di riferimento.
Questa correzione può anche essere comunicata attraverso un collegamento GSM
(telefonia mobile) disponendo di modem GSM. In questo caso il ricevitore mobile effettua
una chiamata verso la postazione fissa che comunica le correzioni. Teoricamente non vi
sarebbero problemi legati alla distanza tra le stazioni (che comunque devono sempre
osservare la medesima costellazione) e ad ostacoli fisici che invece compromettono la
trasmissione del segnale radio. Ovviamente però la zona deve essere servita dalla rete di
telefonia mobile.
Un'ulteriore possibilità è quella di ricevere le correzioni da altri satelliti che calcolano tali
valori e li inviano a terra (ad esempio i servizi OMNISTAR, EGNOS). La stessa cosa può
essere eseguita in post-processing se sono disponibili i dati grezzi delle stazioni master e
rover.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
121
Considerazioni sul posizionamento differenziale con l’uso dei codici
La precisione che si ottiene è normalmente delle decine di centimetri a secondo della
tecnica adottata. Il metodo trova applicazioni nel rilievo stradale, nel rilievo dei profili del
terreno, nell’aggiornamento cartografico, nel posizionamento di campioni per le indagini
ambientali ed in tutte le applicazioni nel settore dei sistemi informativi territoriali. Altro
campo di applicazione è il monitoraggio di mezzi in navigazione dove una certa precisione
deve essere garantita.
Il vantaggio della configurazione in tempo reale è che questa fornisce già un elenco di
coordinate corrette e non è richiesto un ulteriore processing del dato. E’ anche possibile
aumentare il numero delle stazioni mobili che utilizzano le correzioni della stessa stazione
fissa.
Quando le fasi sono disponibili esiste una variante al metodo differenziale che viene
chiamata “code smoothing”. Questa può perfezionare il posizionamento ottenuto dai
codici attraverso l’uso del segnale di fase. L’accuratezza di questa tecnica è leggermene
migliore. Di questo metodo si omette la parte analitica.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
122
DGPS con utilizzo delle fasi
L'equazione dello pseudorange tra una stazione fissa ed il satellite j-esimo con utilizzo
delle fasi può essere scritta nella forma
 Fj (t0 )   Fj (t0 )   Fj (t0 )  c j (t0 )  c F (t0 )  N Fj
dove compare il valore di ambiguità ed il contributo dell'errore nella componente radiale
dell'orbita del satellite. La correzione del range PRC all'epoca t0 si può scrivere come
PRC (t0 )   Fj (t0 )   Fj (t0 )   Fj (t0 )  N Fj  c j (t0 )  c F (t0 )
La correzione del range della fase è
PRC (t )  PRC (t0 )  RRC (t0 )(t  t0 )
 Bj (t ) corretto   Bj (t )  PRC (t )
Nell'applicazione delle correzioni rimangono ancora incognite le differenze tra i valori
delle ambiguità che sono diversi tra stazioni F e B ed il satellite j. Restano valide tutte le
altre considerazioni sulla riduzione degli errori vari.
Considerazioni sul posizionamento differenziale con l’uso delle fasi
Quando il rilievo avviene in tempo reale (RTK, Real Time Kinematic) devono essere
risolte le ambiguità attraverso algoritmi tipo OTF (On The Fly) senza interrompere il
rilievo. Nel caso in cui l'algoritmo OTF non dovesse funzionare si potrebbe passare alla
modalità post-processing con successivo calcolo delle posizioni a partire dalle
osservazioni alle doppie differenze.
La precisione di questa tecnica è estremamente alta e fortemente dipendente dalla
distanza tra le stazioni. Queste ovviamente devono essere a portata delle correzioni
radio. L'utente è in grado di visualizzare sul display la posizione del punto in movimento
con la precisione di qualche centimetro. Questo è molto utile quando si devono
posizionare oggetti in punti prestabiliti o seguire traiettorie ben precise.
Il rilievo RTK viene eseguito quando si intende ricostruire il profilo topografico di aree
anche vaste, attraverso l'acquisizione di una serie di punti rappresentativi, oppure per
rilevare
punti
e
geometrie identificabili. I
dati altimetrici possono
essere
rappresentati
sotto forma di DTM
(Digital Terrain Model).
L'esempio
riguarda
il
rilievo RTK di una duna
costiera mostrata prima
in planimetria e poi come
DTM.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
123
Il Modello Digitale del Terreno viene realizzato dopo avere stabilito una maglia regolare
(gridding) con nodi a cui sono associate le quote dei punti. Nell'esempio le quote
ellissoidiche WGS84 sono state trasformate in quote ortometriche (s.l.m.).
Se il rilievo è finalizzato alla rappresentazione di oggetti specifici si dovrà procedere
all'acquisizione delle coordinate di punti che ne identifichino la geometria ed
eventualmente registrare altri dati che ne descrivono le proprietà.
Reti per la gestione delle correzioni differenziali (Network
RTK)
La recente tendenza all’installazione di stazioni GPS permanenti, ovvero predisposte
all’acquisizione continua dei dati per scopi che si vedranno, ha portato allo studio di
soluzioni “di rete” per rendere disponibile in tempo reale una correzione differenziale ad
utenti che si muovono nell’area coperta della rete stessa. Attraverso soluzioni tecniche
differenti si cerca comunque di modellizzare gli errori, legati principalmente alla
propagazione del segnale in atmosfera, nell’area di pertinenza della rete e calcolare delle
correzioni differenziali “personalizzate” che saranno inviate agli utenti attraverso uno dei
metodi di diffusione già visti. Questo tipo di servizio può essere realizzato anche con reti
caratterizzate da elevata interdistanza tra le stazioni, dell'ordine dei 100 km. Le diverse
modalità di trasferimento delle correzioni differenziali verso i singoli utenti danno origine
a soluzioni differenti. Tra queste troviamo le modalità Multi Reference Station (MRS) e
Virtual Reference Station (VRS).
Multi Reference Station
Per posizionamento Multi Reference Station si intende una modalità operativa, applicabile
sia in tempo reale che in post processamento, che utilizza un modello di correzione del
segnale GPS ri-cavato dalle singole osservazioni acquisite da tutti i ricevitori facente
parte della rete di stazioni di riferimento. Le osservazioni sono inviate ad un centro di
controllo che provvede al calcolo delle correzioni ed al loro invio alla stazione rover che
utilizzerà le correzioni relative alla sua posizione approssimata.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
124
Virtual Reference Station
In questa soluzione si simula l’esistenza di una stazione di riferimento in prossimità della
stazione mobile. Le stazioni virtuali possono essere realizzate da un centro di controllo
che, note le osservazioni nelle stazioni permanenti della rete, interpola le correzioni nella
posizione approssimata del ricevitore mobile. Si genera così una stazione virtuale che
fornisce le correzioni differenziali agli utenti che operano nell’area della rete. Questo
sistema richiede una comunicazione a due vie tra il rover e il centro di controllo: il rover
invia la sua posizione approssimata e dal controllo riceve delle correzioni
"personalizzate". Il sistema VRS si basa su protocolli di comunicazione standard, ma la
gestione personalizzata delle correzioni richiede opportune infrastrutture per la diffusione
del dato.
EGNOS
Per applicazioni che richiedono accuratezze moderate (navigazione) ma con un controllo
sull’integrità delle informazioni e quindi sull’affidabilità delle posizioni fornite, sono
disponibili servizi di correzione differenziale satellitare che utilizzano satelliti posti su
orbita geostazionaria. Questi servizi si applicano solo su alcune aree geografiche. In
Europa è operativo il sistema EGNOS (European Geostationary Navigation Overlay
Service) basato sull’acquisizione dei dati GPS da un certo numero di stazioni a terra che
calcolano i bias del sistema e li inviano ai satelliti geostazionari. Questi a loro volta
comunicano le correzioni differenziali agli utenti abilitati alla ricezione del segnale (i
ricevitori devono essere abilitati a ricevere questo servizio). Il flusso delle informazioni è
rappresentato nella figura seguente.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
125
Sistemi simili sono disponibili per altre aree come stati Uniti e Giappone.
Area geografica di pertinenza del servizio EGNOS. Sono anche rappresentati sistemi WAAS (Wide Area
Augmentation System) e MSAS (MTSAT Satellite-Based Augmentation System) validi rispettivamente per gli stati
Uniti ed il Giappone
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
126
Il Posizionamento Relativo
Nel posizionamento relativo l'elemento alla base del calcolo delle coordinate di un punto è
il vettore baseline che unisce due punti su cui si è fatta stazione con dei ricevitori GPS. Il
vettore baseline è orientato nel sistema di riferimento cartesiano adottato per il
posizionamento satellitare.
Se un punto generico P è definito in un sistema di riferimento cartesiano ed è noto il
vettore unione con un secondo punto Q, orientato nello stesso sistema di riferimento,
allora saranno note anche le coordinate cartesiane del punto Q. Infatti
X Q  X P  bPQ
b PQ 
XQ  XP
X PQ
YQ  YP
ZQ  Z P
 YPQ
Z PQ
Il metodo relativo richiede le misure di fase ed almeno una coppia di ricevitori A e B che
osservano la stessa costellazione (tra cui compare il satellite j-esimo) e registrano i dati
di codice e fase. Alla base del posizionamento relativo vi è la differenziazione delle
osservabili di fase che consente di eliminare alcuni degli errori tipici del posizionamento
GPS.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
127
Posizionamento relativo con utilizzo delle fasi
Per cercare di limitare l’incidenza degli errori presenti nel posizionamento satellitare si
possono combinare le osservazioni di fase acquisite da strumenti diversi in modo da
eliminare alcuni errori e fonti di disturbo comuni tra le misure GPS. Tale metodologia
prevede delle combinazioni dell’osservabile fase note come: differenza singola, differenza
doppia e differenza tripla.
Differenze Singole (DS)
Dati due punti (A e B) su cui si fa stazione con strumentazione GPS ed un satellite j
osservato ad una qualsiasi epoca di osservazione, trascurando in questa fase l’effetto
ionosferico e l’effetto troposferico si hanno due equazioni alle fasi
 Aj (t ) 
 Bj (t ) 
1

1

 Aj (t )  f j (t )  f A (t )  N Aj
 Bj (t )  f j (t )  f B (t )  N Bj
facendo la differenza tra le due si ottiene
 Bj (t )   Aj (t ) 
1


j
B

  Aj  f B (t )  f A (t )  N Bj  N Aj
in questo modo scompare il termine relativo agli errori dell’orologio del satellite.
Sinteticamente l’osservabile Differenza Singola viene scritta nel seguente modo
j
DS   AB
(t ) 
1

j
j
 AB
(t )  f AB (t )  N AB
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
128
Doppie Differenze (DD)
Dati due punti a terra e due satelliti j e k per ogni epoca d’osservazione si possono
evidentemente scrivere due equazioni alle Differenze Singole (una per il satellite j ed una
per il satellite k) sempre che non intervengano cycle slip con nuovi valori delle ambiguità.
j
 AB
(t ) 
 kAB (t ) 
1

1

j
j
 AB
(t )  f AB (t )  N AB
k
k
 AB
(t )  f AB (t )  N AB
facendo la differenza si ottiene:
j
 kAB (t )   AB
(t ) 
1


k
AB (t ) 

j
j
k
 AB
(t )  N AB
 N AB
come si può vedere si elimina anche l’errore degli orologi dei ricevitori; quindi la quantità
Differenza Doppia è :
jk
DD   AB
(t ) 
1

jk
jk
 AB
(t )  N AB
Nelle equazioni alle doppie differenze le uniche incognite sono i valori delle ambiguità.
L'assenza di errori legati agli orologi dei ricevitori rende queste equazioni l'osservazione
di base per il calcolo del vettore baseline in tutti i programmi di elaborazione dati GPS.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
129
Triple Differenze (TD)
Dati due punti a terra (A e B), due satelliti (j e k) e due epoche di misura (t1 e t2) è
possibile scrivere per le due epoche le seguenti Differenze Doppie
jk
DD   AB
(t1 ) 
jk
DD   AB
(t 2 ) 
1

1

jk
jk
 AB
(t1 )  N AB
jk
jk
 AB
(t 2 )  N AB
effettuando la differenza si ottiene :
jk
jk
 AB
(t 2 )   AB
(t1 ) 
1


jk
AB (t 2 )
jk
  AB
(t1 )

dove si elimina anche il termine che contiene le ambiguità. Infine l’osservabile Differenza
Tripla può essere scritta nel seguente modo:
jk
DT   AB
(t12 ) 
1

jk
 AB
(t12 )
Si vede che anche i valori delle ambiguità scompaiono. In realtà queste osservazioni
risultano altamente correlate e non vengono utilizzate per il calcolo delle baseline. Nel
caso in cui ci siano interruzioni del segnale le triple differenze mostreranno brusche
variazioni del valore cambiando uno dei valori di ambiguità al suo interno e quindi questa
variabile può essere utilizzate proprio per rilevare i cycle slip nei dati.
Posizionamento relativo statico con l'uso delle fasi
Il bilancio del numero di incognite e di osservazioni disponibili in questo tipo di
posizionamento dipende dell'equazione di partenza che può essere scelta tra le SD, DD,
TD. Normalmente sono le DD ad essere utilizzate perché non altamente correlate e
corrette degli errori degli orologi.
Nel posizionamento relativo i punti tra i quali viene determinato il vettore baseline
devono essere occupati contemporaneamente con ricevitori GPS in grado di registrare le
informazioni di fase per le successive differenziazioni. Dei due punti uno può essere di
coordinate note mentre il secondo deve essere determinato.
Seguendo la stessa notazione discussa precedentemente chiamiamo nj il numero di
satelliti disponibili e nt il numero di epoche osservate. Il numero delle osservazioni
disponibili per ogni coppia di ricevitori è dato da (nj –1) nt. mentre, utilizzando le DD, le
incognite derivano dall'equazione alle fasi
DD 
1

jk
jk
 AB
(t )  N AB
dove le tre coordinate di uno dei vertici e le (nj –1) ambiguità rappresentano le incognite.
Si ricava quindi che (nj –1) nt . 3+ (nj –1) da cui
nt 
nj  2
n j 1
dove si vede che sono necessarie almeno due epoche per arrivare al posizionamento con
4 satelliti in vista. Pur essendo sufficienti due epoche l'osservazione viene prolungata per
avere dati ridondanti acquisiti con costellazioni in differente configurazione. Va
sottolineato anche che le DD devono fornire equazioni linearmente indipendenti. Per
scrivere le DD si fissa un satellite di riferimento rispetto al quale calcolare le equazioni.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
130
Esempio: se sono in vista ad una certa epoca i satelliti 7, 15, 18, 21 viene scelto tra questo
quello che è tracciato più a lungo (prendiamo il 15) e formate le doppie differenze 7-15, 1815, 21-15 mentre le altre combinazioni sono il frutto di combinazioni lineari e quindi non
sono indipendenti.
Calcolo delle componenti del vettore attraverso il metodo dei minimi quadrati. Ai fini della linearizzazione
dell'equazione alle DD la forma
jk
 AB
(t ) 
1

jk
jk
 AB
(t )  N AB
può essere riscritta come
jk
jk
jk
jk
 AB
(t )   AB
(t )  N AB
  Bk (t )   Bj (t )   Ak (t )   Aj (t )  N AB
dove viene esplicitato il termine relativo alla geometria satellitare. In alcuni casi uno dei vertici è noto e non
occorre linearizzare nell'intorno di quel punto. Se i due punti A e B sono entrambi incogniti la linearizzazione
procede nelle incognite è X A , Y A , Z A , X B , YB , Z B .
jk
(t )   Bk 0 (t ) 
 AB
 Bj 0 (t ) 
 Ak 0 (t ) 
 Aj 0 (t ) 
X K (t )  X B0
 Bj 0 (t )
X j (t )  X B0
 Bk 0 (t )
X K (t )  X A0
 Aj 0 (t )
X j (t )  X A0
 Ak 0 (t )
xB 
xB 
xA 
xA 
Y K (t )  YB0
 Bk 0 (t )
Y j (t )  YB0
 Bj 0 (t )
Y K (t )  Y A0
 Ak 0 (t )
Y j (t )  Y A0
 Aj 0 (t )
yB 
yB 
 Bk 0 (t )
Z j (t )  Z B0
 Bj 0 (t )
yA 
yA 
Z K (t )  Z B0
zB
Z K (t )  Z A0
 Ak 0 (t )
Z j (t )  Z A0
 Aj 0 (t )
zB
zA
zA
raccogliendo i coefficienti moltiplicatori della stessa incognita ed isolando tutte le grandezze note si arriva ad
avere
jk
a Xjk (t ) x A  aYjk (t ) y A  a Zjk (t ) z A  a Xjk (t ) x B  aYjk (t ) y B  a Zjk (t ) z B  l AB
(t )
A
A
A
B
B
B
dove il termine noto raccoglie le DD di fase ed i valori di pseudorange noti in base alle coordinate a priori
jk
jk
l AB
  AB
(t )   Bk 0 (t )   Bj 0 (t )   Ak 0 (t )   Aj 0 (t )
Considerando note le coordinate di un punto (ad esempio A) si ha che x A  y A  x A  0 . Il termine noto diventa
jk
jk
l AB
  AB
(t )   Bk 0 (t )   Bj 0 (t )   Ak (t )   Aj (t ) .
Se consideriamo 4 satelliti j, k, l, m si possono scrivere 3 differenze doppie per ogni epoca con 6 incognite
jk
jl
jm
x B y B z B N AB
N AB
N AB
e se prendiamo 2 epoche avremo allora 6 equazioni in 6 incognite del tipo Ax-l = 0.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
a Xjk (t1 )
aYjk (t1 )
a Zjk (t1 )

0
0
X B
a Xjl (t1 )
aYjl (t1 )
a Zjl (t1 )
0 
0
YB
a Xjm (t1 )
aYjm (t1 )
a Zjm (t1 )
0
0 
Z B
...
...
...

0
0
...
0 
0
B
B
B
...
B
B
B
...
B
B
B
a Xjm (t 2 ) aYjm (t 2 ) a Zjm (t 2 )
B
B
B
0
0 
jk
N AB
jl
N AB
jm
N AB
131
l jkAB (t1 )
l jlAB (t1 )

l jm
AB (t1 )
l jkAB (t 2 )
0
l jlAB (t 2 )
l jm
AB (t 2 )
Se il numero di satelliti è maggiore di 4, come sempre succede, e il numero di epoche è maggiore di 2 il sistema
risulta iperdeterminato. Le stesse equazioni valgono per il metodo cinematico per il quale una volta determinati
jk
jl
jm
gli N AB
N AB
N AB
con quattro satelliti si hanno 3 equazioni in tre incognite.
Considerazioni sul posizionamento statico relativo con uso delle fasi
Questo è il metodo utilizzato in geodesia nella realizzazione dei rilievi delle reti
geodetiche e topografiche, nella determinazione delle deformazioni e nel tracciamento di
grandi opere, in quanto si raggiungono le precisioni maggiori.
In questo caso i ricevitori rimangono in stazione sul punto e osservano la stessa
costellazione di satelliti contemporaneamente per un periodo (sessione) la cui durata
variabile dai 30 minuti a diversi giorni in funzione della lunghezza delle basi e della
precisione desiderata. La precisione nel posizionamento orizzontale è dell’ordine di 5mm
+ 0.5ppm che nella quota peggiora con un fattore di 1.5-2. Il tempo di campionamento è
in genere di 15 sec. per satelliti al di sopra dei 10° di elevazione. Operando con r
strumenti si otterranno in questa configurazione r-1 basi indipendenti della rete, senza
triangoli chiusi che introdurrebbero una osservazione correlata.
In questo tipo di rilievo occorre il post-processamento dei dati GPS con modellizzazione
degli effetti sistematici, risoluzione dell’ambiguità e definizione rigorosa del sistema di
riferimento. Una analisi dei dati condotta in tale maniera porta a risultati con accuratezze
sulle coordinate di pochi mm anche per reti di grandi dimensioni.
Questa tecnica di posizionamento è molto utilizzata per il monitoraggio di faglie, sommità
di edifici, frane, fenomeni subsidenti e di qualunque altro che comporta il rilievo di
movimenti anche molto lenti.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
132
Il rilievo statico prevede alcune varianti come ad esempio il rilievo statico rapido che è
in sostanza un rilievo statico che viene effettuato per le baselines corte (<20km) con
tempo di osservazione intorno a 15 minuti19.
Posizionamento relativo cinematico con l'uso delle fasi
In questo caso la configurazione del rilievo è simile alla precedente ma il secondo
ricevitore è mobile e quindi la posizione può cambiare ad ogni epoca di acquisizione.
Nell'equazione alle DD le coordinate del punto non saranno più costanti. Un punto mobile
B avrà un range ad ogni epoca dato da
 Bj 
X
j
 
 
2
2
(t )  X B (t )  Y j (t )  YB (t )  Z j (t )  Z B (t )

2
dove le coordinate del ricevitore B sono ovviamente funzione del tempo come anche
quelle del satellite j-esimo. Nelle equazioni alle DD analogamente al caso precedente le
osservazioni sono date da (nj – 1) nt mente le incognite aumentano essendoci anche 3nt
incognite (3 coordinate per ogni epoca di osservazione). Per le DD si ha:
nt 
n j 1
nj 4
Da questa deriva che per una singola epoca non possono esistere soluzioni. Devono
quindi essere ridotte le incognite in partenza trovando le soluzioni per le ambiguità. Se
nel bilancio di partenza non compaiono le ambiguità la condizione necessaria si trasforma
nella nj 4 indipendentemente dal numero di epoche osservate.
Dire che le ambiguità devono essere note equivale a conoscere la posizione iniziale del
ricevitore mobile e quindi, dall'equazione alle DD, si potranno calcolare le ambiguità che
poi rimangono costanti se la costellazione viene tracciata con continuità. L'operazione
iniziale viene chiamata "inizializzazione" del sistema (si omette).
Considerazioni sul posizionamento cinematico relativo con uso delle fasi
La precisione del metodo può essere anche molto elevata (< 2 cm) ma con strumenti più
costosi (devono ricevere le informazioni di fase) e con accorgimenti operativi che
determinano un maggior costo del rilievo.
Il primo vincolo è che la distanza tra stazione fissa e stazione mobile sia contenuta (entro
una decina di km) ed è necessaria una fase di inizializzazione. Il metodo è molto
utilizzato nel rilievo della topografia di siti, nella determinazione della posizione della
presa aerea nel rilievo aerofotogrammetrico, nella determinazione della traiettoria di
mezzi ecc. Il tipico risultato del rilievo cinematico è un elenco di coordinate che possono
corrispondere alle posizioni acquisiste "in automatico", con un regolare tempo di
campionamento, oppure in modalità "manuale" quando l'operatore fissa solamente alcuni
punti di interesse per il rilievo. Le due possono essere impiegate anche allo stesso tempo
ed i punti relativi distinti in un secondo momento. L'elaborazione in post-processamento
fornirà inizialmente il tracciato dal quale estrarre i punti.
19
Il metodo utilizza la tecnica FARA (Fast Ambiguity Resolution Approche) per la risoluzione dell’ambiguità
nella fase di processamento. Il metodo è tipicamente utilizzato nel raffittimento di reti ed è in rapida evoluzione.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
133
Nell'esempio sotto compare un percorso elaborato in cinematica relativo durante il quale
sono stati raccolte le quote terreno e le posizioni di oggetti rilevanti. Si tratta di un rilievo
in ambito archeologico finalizzato alla ricostruzione di insediamenti pre-ispanici in un'area
andina (Perù).
Elaborazione di una traiettoria cinematica con software per analisi dati GPS
Da tale traiettoria vengono poi estratti i punti acquisiti per rilevare le strutture
archeologiche esistenti ai fini della successiva ricostruzione delle geometrie originali. La
figura sotto rappresenta questo schema ideale di lavoro.
a) presurvey, b) survey GPS, c) ricostruzione delle strutture dai punti rilevati
Per l'area rilevata viene ricostruito l'insediamento del quale deve essere creata una
cartografia nel sistema di riferimento di coordinate più utile alla ricerca.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
134
prospetto di una mappa realizzata (reticolato nella rappresentazione UTM, datum locale).
Infine volendo integrare il rilievo delle strutture con il rilievo dei caratteri topografici
(DTM) si può procedere alla "sovrapposizione" dei due per ottenere un unico prodotto che
può essere mostrato in vista prospettica.
In questo caso l'altimetria è rappresentata dai livelli di grigio descritti nella scala
graduata. Analogo significato avrebbero le curve di livello.
Va infine detto che per il posizionamento relativo (statico o cinematica) devono essere
utilizzati software per il trattamento dei dati di tipo avanzato, soprattutto nel caso
dell'elaborazione di reti per fini geodetici. Tali software consentono il controllo di tutte le
variabili coinvolte e quindi una maggiore "rigorosità" delle procedure di calcolo.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
135
Il metodo cinematico relativo si presta anche alla ricostruzione di superfici e morfologie
con elevato dettaglio tridimensionale come nel caso di siti archeologici che devono essere
descritti nel loro assetto. Dalla superficie, ottenuta dopo interpolazione delle posizioni
calcolate durante il processing, si possono estrarre delle sezioni topografiche utili nella
lettura dei parametri morfologici cercati.
Rilievo topografico GPS (tecnica cinematica relativa) del sito archeologico di Lothal (Gujarat, India). L’area
rappresenta una struttura portuale risalente alla civiltà Harappana (circa 5000 anni b.p.).
Il modello tridimensionale generato può essere esplorato secondo viste prospettiche
differenti e costituisce un elemento di supporto alle ricerche archeologiche. Sarà
possibile, ad esempio, procedere con valutazione relative all’orientamento degli oggetti
ed alla inter-visibilità tra i vari luoghi del sito. Inoltre il dato potrà essere associato ad
altre indagini quali le prospezioni geofisiche, comunemente eseguite nei siti archeologici
di maggiore interesse.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
136
Applicazioni del metodo GPS: accuratezza richiesta e costi
Trattamento dei dati GPS: calcolo dei vettori baseline
Partendo dalle equazioni delle DD, dove compaiono come incognite le coordinate dei
vertici da determinare ed i valori delle ambiguità, è possibile determinare i vettori
baseline a partire da vertici di cui sono note le coordinate con un certo livello di
approssimazione. In particolare verrà considerato il caso in cui ogni vettore viene
determinato singolarmente.
Le fasi del trattamento dati
L'approccio alla base del trattamento dati GPS è quello dei minimi quadrati dove è
necessario disporre di valori approssimati dei parametri che devono essere stimati (ad
esempio le coordinate dei punti da determinare). L'elaborazione prevede diverse fasi:
1. Calcolo delle coordinate in "posizionamento assoluto" utilizzando le misure
di codice;
2. Scelta dei vettori da elaborare e calcolo delle differenze di fase;
3. Calcolo delle Triple Differenze (non soggette ad ambiguità) e prima stima
delle componenti del vettore baseline. In questa fase possono essere
individuati i cycle slip e nel caso correggere i valori delle fasi;
4. Calcolo delle Doppie Differenze a partire dai valori approssimati appena
stimati e nuova determinazione del vettore senza risoluzione delle
ambiguità a valori fissi. Tale soluzione si definisce float;
5. Fissaggio delle ambiguità a valori interi (soluzione fixed) Il processo
comporta il "controllo" dei valori di deviazione standard associati ai valori
di ambiguità calcolati e la verifica che questi siano inferiori ad una fissata
frazione di ciclo;
6. Inserimento dei valori fixed delle ambiguità nelle equazioni delle DD e
ricalcalo delle componenti del vettore unione dei punti considerati. Tali
incognite sono contenute nella definizione del range geometrico che
compare nell'equazione delle DD.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
137
La scelta dei valori fixed delle ambiguità viene fatto sulla base di test effettuati sui valori
della varianza associata a ciascuna determinazione delle ambiguità.
Utilizzo delle combinazioni lineari delle frequenze
Con la disponibilità di ricevitori a doppia frequenza L1-L2 è possibile utilizzare
combinazioni delle due nel calcolo delle basi. Ogni combinazioni presenta proprietà ed
utilità differenti e saranno utilizzate in funzione degli obiettivi del calcolo e delle
prestazioni che si intendono raggiungere in termini di accuratezza finale.
Combinazione Ionofree (Lc o L3)
Questa combinazione ha il pregio di eliminare l’effetto ionosferico. In fatti la ionosfera è
un mezzo dispersivo avendo la proprietà di agire sulle due frequenze con effetti diversi.
La differenziazione quantifica questo effetto. La combinazione delle due frequenze L1 e
L2 può essere scritta nel seguente modo:
Lc  L3 
1
( f12 L1  f 22 L2 )
f  f 22
2
1
Combinazione Wide-lane (Lw)
Questa combinazione può essere scritta nella forma
LW  L1  L2
L’utilizzo di tale fase nella differenza doppia è utile per la risoluzione dei cycle slips e la
determinazione delle ambiguità. Questo dipende dal fatto che viene sintetizzata una
lunghezza d’onda di 86 cm circa che riduce l'incidenza di disturbi come multipath o
rumori di varia origine presenti nel segnale.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
138
Combinazione Narrow-lane
Questa combinazione può essere scritta nella forma
LW  L1  L2
La lunghezza d'onda risultante è di 11 cm e questo rende più difficoltosa la risoluzione
delle ambiguità. Allo stesso tempo però l'eventuale risoluzione a valore intero delle
ambiguità comporta una soluzione "robusta".
Considerazioni generali sul calcolo delle reti GPS
Nel problema generale della risoluzione delle ambiguità si adottano spesso delle tecniche
miste che partono ad esempio da una prima stima utilizzando la combinazione wide-lane
ed una successiva determinazione utilizzando combinazioni di maggiore precisione.
La soluzione iono-free è consigliabile nella maggior parte delle elaborazioni, soprattutto
con basi GPS superiori ai 30 km e lunghe sessioni di acquisizione.
Per basi di lunghezza inferiore ai 15 km è possibile stimare i valori interi delle ambiguità
utilizzando la frequenza L1, mentre per lunghezze maggiori l'effetto della ionosfera
compromette queste soluzioni.
Nei vari software di elaborazione dati GPS le singole basi possono essere selezionate
singolarmente ed elaborate con la combinazione lineare che si ritiene opportuna.
Vengono anche decisi dall'operatore tutti gli altri parametri come l'elevazione minima dei
satelliti da utilizzare e l'intervallo temporale della sessione da elaborare.
Va anche considerato che in presenza di un rilievo statico con schema a rete devono
essere selezionate delle baseline che non costituiscano delle combinazioni lineari le une
delle altre. In altri termini non dovranno esistere forme geometriche chiuse ed elaborate
nello stesso intervallo temporale (le baseline sono definite indipendenti perché non
sussistono correlazioni geometriche tra i parametri stimati). L'errore ottenuto per ogni
baseline si può esprimere sotto forma di ellissi di errore del vettore (si vedrà il significato
matematico della grandezza).
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
139
Nell'esempio riportato le basi elaborate presentano le ellissi d'errore la cui dimensione è
quantificata dalla legenda in planimetria attraverso la dimensione del cerchio ed in
altimetria dall'altezza della barra verticale.
File delle osservazioni GPS
Al termine di un rilievo GPS nel quale sono state utilizzate tecniche che comportano la
memorizzazione di dati si dovranno scaricare i dati dai ricevitori. Si possono presentare i
seguenti casi:
1. posizionamento relativo statico/cinematico con post-processamento: si
dovranno scaricare dai ricevitori i file delle osservazioni GPS (codici e fasi)
acquisite per ogni epoca ed il file delle effemeridi. In origine il file sarà di
tipo binario in un formato proprietario della ditta costruttrice degli
strumenti;
2. posizionamento differenziale in tempo reale: il rilievo fornisce le posizioni
corrette (non necessita di post-processamento) che saranno organizzate in
un file spesso in formato ASCII;
3. posizionamento differenziale con post-processamento: le osservazioni
(anche solo di codice) vengono memorizzate e scaricate in formato binario
unitamente al file di navigazione (effemeridi).
L'esigenza di un formato standard dei dati GPS (che garantisce l'esportabilità dei dati) ha
portato alla definizione di un formato internazionale di scambio chiamato RINEX
(Receiver INdependent Exchange format). Il file RINEX (codifica ASCII) è definito per
osservazioni ed effemeridi e presenta delle estensioni rispettivamente del tipo *.YYO
(Observations) e YYN (Navigational). I caratteri YY identificano le ultime due cifre
dell'anno.
Nella prima parte del file, ovvero l'intestazione, compaiono una serie di informazioni su tipologia di ricevitore
ed antenna, durata della sessione, coordinate strumentali, altezza dell'antenna, periodo di esecuzione del
rilievo e sequenza delle osservabili contenute nel file. Per ogni epoca acquisita sono elencati i satelliti in vista
con le relative misure di codice (riportata in metri) e fase.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
140
Compensazione delle reti GPS con il metodo dei minimi
quadrati
La compensazione è la fase finale del calcolo di una rete GPS. In questa fase i vettori
calcolati durante il processing delle baseline vengono presi ed integrati nel disegno della
rete attraverso una procedura che minimizza i residui da applicare ad ogni singolo
vettore quando questo viene inserito nel contesto dello schema geometrico della rete.
Per ogni sessione di misura andranno considerati solo i vettori indipendenti ovvero quelli
che non scaturiscono da combinazioni lineari di altri. In particolare se n è il numero dei
vertici della rete con strumenti in acquisizione contemporanea le basi indipendenti per
ogni sessione di misura sarà n – 1 mentre il numero totale di basi possibili è dato da
n(n – 1)/2.
In uno schema alternativo, che non sarà qui considerato, è possibile considerare in
blocco tutti i vertici della rete per ogni sessione senza valutazione delle basi indipendenti.
In questo caso però occorre tenere in considerazione tutte le correlazioni tra le
osservazioni.
Immaginiamo di avere un vettore unione di due punti generici i e j facenti parte della
rete da compensare. In generale le incognite saranno le coordinate dei vertici (Xi, Yi, Zi) e
(Xj, Yj, Zj) (di cui però si conosceranno dei valori approssimati) mentre le quantità note
sono le tre componenti del vettore calcolate a partire dalle equazioni DD. Insieme a
queste quantità saranno da inserire nella compensazione anche le matrici di varianzacovarianza x che derivano sempre dall'elaborazione dei vettori GPS.
Le equazioni che stabiliscono la relazione tra le osservazioni e le incognite e per la base
generica possono essere scritto come
X j  X i  X ij
Y j  Yi  Yij
Z j  Z i  Z ij
Al solito, per semplificare i calcoli le incognite potrebbero anche essere riscritte
rappresentando ogni termine come somma tra il suo valore approssimato e la correzione
da apportare per arrivare al valore più plausibile. Per una generica base le equazioni
sopra possono essere scritte nella forma
1 0
0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0
0 1 0 0 1
Xi
Yi
X ij
Zi
 Yij
Xj
Z ij
Yj
Zj
Nel problema generale della compensazione di vettori GPS si ha che per ogni base si
possono scrivere 3 osservazioni mentre le incognite sono tutti i vertici non noti. Avendo a
disposizione un numero p di punti incogniti e b di basi si ha che
numero incognite n = 3p
numero osservazioni m = 3b
Infatti il sistema matriciale appena visto presenta la matrice disegno di dimensione 3x6
ed il vettore delle incognite con dimensione 6x1.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
141
In realtà, a causa della presenza di errori di misura e della coesistenza di un numero
ridondante di vettori baseline della stessa rete, nelle equazioni insorgeranno i residui ed il
sistema potrà essere scritto in forma compatta come
A
x  L  v
m x n n x1
m x1
m x1
dove
A è la matrice disegno (contenente coefficienti 1, -1, 0) con dimensione m(3b) x n(3p);
x è il vettore delle incognite con dimensione n x 1;
L è il vettore dei termini noti con dimensione m(3b) x 1;
v è il vettore dei residui con dimensione m(3b) x 1.
Questo rappresenta il modello funzionale. In pratica se sono osservate b basi
indipendenti la matrice dei coefficienti A è costituita da b blocchi e la matrice di
covarianza può essere considerata diagonale a blocchi 3x3 (se le misure non fossero
indipendenti esisterebbero anche termini esterni alla diagonale). Il modello funzionale
diviene
A1
..
..
L1
x
v1
..

..
Ab
Lb
mxn nx1 mx1
..
..
vk
mx1
e la matrice di varianza

1
0
..
0
0
2
..
0
0
0
..
0
0
0
..  b
Se in una sessione vengono utilizzati più ricevitori potranno essere calcolate più basi
indipendenti.
La soluzione ai minimi quadrati
Se le osservazioni sono in numero superiore alle incognite si può trovare la soluzione
applicando il criterio dei minimi quadrati. Definita la matrice dei coefficienti A e la matrice
dei pesi da associare alle misure
P   02  1
la soluzione per le incognite si trova in base alla
xˆ  ( AT PA) 1 AT PL
che fornisce la stima del valore delle coordinate incognite. Nei metodi già visti anche per
le misure topografiche tradizionali questo valore rappresenta, in genere, la correzione da
applicare al valore approssimato per ottenere la stima delle coordinate dei vertici
incogniti. La matrice di varianza di queste coordinate è data da
 coord  ˆ 02 ( AT PA) 1
dove ˆ 02 rappresenta la varianza dell'unità di peso deducibile dal vettore v degli scarti e
dalla ridondanza delle misure definita come (m-n).
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
vˆ  Axˆ  L
ˆ 02 
142
(v T Pv)
nm
Parametri per la valutazione della precisione dei vertici
La matrice di varianza fornisce i parametri che consentono di ricavare la precisione delle
coordinate ottenute. Gli scarti quadratici medi (s.q.m.) delle coordinate geocentriche si
ottengono semplicemente dalla radice quadrata degli elementi diagonali (ovvero delle
varianze di ogni valore).
I parametri dell'ellissoide d'errore si ottengono dalle sottomatrici 3x3, dove le
informazioni relative ad un singolo punto sono disposte lungo la diagonale della matrice
di varianza. Tale ellissoide può essere espresso sia nelle coordinate geocentriche
(cartesiane) sia in un sistema locale (N, E, h) di più semplice interpretazione.
Questi parametri sono utilizzati per la stima della bontà dei risultati raggiunti dalla
compensazione e consentiranno di decidere se accettare la soluzione e procedere ad
ulteriori calcoli o modifiche con nuova compensazione finale dei valori.
Definizione del datum nella compensazione di reti GPS
Le reti GPS sono formate da tanti vettori già orientati (per definizione) nello spazio
cartesiano tridimensionale ma rimangono libere di traslare nelle 3 direzioni dello spazio.
Il difetto di rango è pertanto uguale a 3 e viene risolto vincolando le 3 coordinate di uno
dei vertici.
Elementi utili alla progettazione delle misure GPS
La progettazione delle misure GPS deve sempre rispondere ad esigenze di accuratezza
del rilievo ed allo stesso tempo di produttività. In base a queste vengono effettuate le
scelte successive quali; tipologia di strumentazione da utilizzare, metodologia di rilievo
(tecniche statiche o cinematiche), modalità di trattamento dei dati acquisiti.
Nel caso di misure statiche la progettazione del rilievo si complica dovendo anche tenere
in considerazione problemi logistici quali il numero di strumenti da utilizzare, gli
spostamenti delle squadre coinvolte, la valutazione della durata delle sessioni, la
connessione a vicine stazioni GPS permanenti, le considerazioni relative alla ridondanza
delle osservazioni.
Comunque devono sempre essere tenuti in considerazione alcuni aspetti generali del
rilievo GPS: evitare zone con copertura del segnale (ostacoli, campi elettromagnetici
ecc.), evitare il rilievo in prossimità di oggetti riflettenti (fenomeno del multipath) e, nel
caso si intenda utilizzare un metodo cinematico in tempo reale, verificare la possibilità di
ricevere la correzione differenziale nell'area operativa (radio-modem, GSM, Omnistar).
Gli indici DOP (Diluition Of Precision)
Il numero dei satelliti in vista e soprattutto la geometria della costellazione rappresenta
un primo aspetto da tenere in considerazione. Gli indici DOP forniscono una
quantificazione della bontà geometrica della configurazione satellitare. Esistono i seguenti
indici:
PDOP (Positioning Diluition of Position)
HDOP (Horizontal Diluition of Position)
VDOP (Vertical Diluition of Position)
Questi indici nascono dalle variabili statistiche ed in particolare dalla matrice di varianza–
covarianza delle coordinate del sito ottenuta considerando unitari i pesi coinvolti.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
143
I vari DOP si definiscono come
PDOP   x2   2y   z2
HDOP   x2   2y
VDOP   z2
Non occorrono le misure per valutare tali parametri (la matrice A dipende solo dalla
geometria), infatti basta conoscere la posizione anche approssimata del sito di rilievo, la
posizione dei satelliti e l'orario in cui
si prevedono le misure. I vari
software di elaborazione dati GPS
utilizzano il file dell'almanacco
(posizione
approssimata)
dei
satelliti in questa fase. Queste
opzioni sono disponibili nella utilities
che supportano il planning del
rilievo. Nell'esempio sono riportati il
numero dei satelliti ed il valore di
PDOP
nell'intervallo
temporale
selezionato.
Valori accettati di DOP sono in
genere quelli inferiori di 3-4. Nel
rilievo statico in presenza di una
buona costellazione il DOP si
posiziona su valori molto bassi ad esempio 2.
Tramite il grafico sky plot è possibile invece rappresentare l'azimut dei satelliti e la loro
elevazione nello schema della sfera
celeste.
Sul diagramma è possibile riportare
gli ostacoli eventualmente presenti
sul posto e rilevati ad esempio con
un teodolite. Queste considerazioni
sono importanti soprattutto per la
valutazione dei siti su cui installare
stazioni GPS permanenti o servizi di
correzione differenziale.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
144
Il sistema di riferimento nel GPS
Il sistema GPS fornisce le posizioni del punto di misura nello stesso sistema di riferimento
in cui sono descritte le orbite dei satelliti. Nelle applicazioni del GPS si deve distinguere
tra il sistema space fixed (inerziale) ed il sistema earth fixed (solidale con la terra)
Entrambi i sistemi sono geocentrici e concretizzati grazie all’istituzione di una terna
cartesiana XYZ che ha origine nel centro di massa della terra ed asse Z coincidente con
l’asse di rotazione terrestre.
L’asse Y, nel sistema space fixed, va in direzione del punto vernale (l’intersezione tra il
piano equatoriale e il piano dell'eclittica, mentre nel sistema earth fixed esso è
individuato dall'intersezione tra il piano equatoriale e il piano contenente il meridiano
fondamentale di Greenwich. L’asse X è l’asse ortogonale agli altri due ad individure una
terna destrorsa.
Essendo l'asse delle Z orientato come l'asse di rotazione terrestre, si deve tenere conto
dell’oscillazione di quest'ultimo a causa dalle forze gravitazionali extra-terrestri che
agiscono sulla massa terrestre. Tali movimenti si definiscono precessione (cambiamento
della direzione dell'asse di rotazione) e nutazione (moto di oscillazione dell'asse di
rotazione terrestre che si manifesta in combinazione con il moto di precessione).
Esiste poi una oscillazione periodica dell’asse di rotazione terrestre che produce un moto
del polo definito “oscillazione di Chandler”20. Questa presenta un periodo di circa 430
giorni con oscillazione di diametro di circa di 12 m. Oltre a questi movimenti se ne
presentano altri con oscillazione giornaliera di entità metrica. Tutti questi movimenti
complicano la determinazione della posizione dell’asse Z per il quale andrà definita un
una certa epoca di riferimento e determinati i parametri del suo moto attorno ad un polo
medio convenzionale.
Sistemi di riferimento convenzionali
Il sistema di riferimento celeste convenzionale – Conventional Celestial
Reference System
Considera l’asse Z posizionato in una epoca standard nota come J2000.0 (January 2000),
e l’asse Y in direzione del punto vernale a quell’epoca (determinato usando un gruppo di
stelle fondamentali). Uno di questi sistemi, stabilito dall’IERS (International Earth
Rotation Service) e noto come sistema ICRF (International Celestial Reference Frame), è
utilizzato nella determinazione delle orbite dei satelliti GPS e viene determinato
dinamicamente utilizzando più di 500 oggetti extra-galattici.
I sistemi di riferimento terrestri convenzionali - Conventional Terrestrial
Reference System
Tali sistemi si ottengono identificando l’asse Z con l’asse di rotazione terrestre
posizionato in un punto intermedio a quelli che definiscono la sua oscillazione causata dai
moti già visti. Tale posizione è, a livello internazionale, assunta in modo convenzionale
(CIO - Conventional International Origin). L’asse Y è individuato dall’intersezione del
piano meridiano di Greenwich con quello equatoriale e l’asse X conclude la terna
cartesiana destrorsa. Nel panorama del posizionamento satellitare GPS si utilizzano
diversi di questi sistemi che rappresentano anche il vero e proprio sistema geodetico di
riferimento delle coordinate che si andranno a determinare:
20
L’oscillazione è dovuta alla forma irregolare della Terra (o meglio alla distribuzione non uniforme delle masse
al suo interno) e al non perfetto allineamento tra asse di rotazione terrestre ed asse di inerzia terrestre. Questo
mancato allineamento fa sì che la Terra oltre ruotare attorno al proprio asse oscilli anche leggermente. Il
movimento è analogo al moto di una trottola leggermente sbilanciata.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)

WGS84 (World Geodetic System 1984). Questo è un sistema geocentrico
determinato sulla base di osservazioni geodetiche effettuate da più di 1500
siti terrestri a partire dal 1987. È utilizzato come sistema di riferimento
standard nel GPS e ad esso è associato un ellissoide con i suoi parametri. Il
sistema WGS84 è stato aggiornato nel tempo, sulla base di misure di
maggiore precisione, dal DMA (Defense Mapping Agency, USA). La
strumentazione GPS utilizzata durante i rilievi sul campo fornisce coordinate
proprio in questo sistema;

ITRF (International Terrestrial Reference Frame). Determinato dall’IERS,
attraverso misure di geodesia spaziale (SLR, Satellite Laser Ranging; VLBI,
Very Long Baseline Interferometry; LLR, Lunar Laser Ranging) effettuate in
più di 180 siti terrestri ed includendo anche l’effetto della tettonica della
placche. La precisione delle determinazioni utilizzate nella definizione dell'ITRF
è maggiore di quelle del WGS84. Tale sistema è utilizzato come sistema
geodetico di riferimento nell’analisi di dati GPS per usi scientifici o comunque
nelle indagini che richiedono accuratezza millimetrica nella definizione delle
coordinate dei punti (analisi di deformazioni delle strutture, subsidenza,
collaudi e controlli, indagini sui dissesti franosi, geodinamica e geologia
strutturale). Di questo sistema esistono delle realizzazioni alle epoche di
riferimento 1.1.2000 e 1.1.2005 (ITRF00 ed ITRF05).

ETRF (European Terrestrial Reference Frame). Sistema terrestre realizzato
sulla placca tettonica europea nell’epoca di riferimento [01 Gennaio 1989]. La
realizzazione di tale sistema avviene in sintonia con i Paesi europei che
operano di comune accordo attraverso l’EUREF (EUropean REference Frame).
Dal 2000 l’Istituto Geografico Militare produce cartografia nel Sistema
Geodetico ETRF89 ed infatti le coordinate UTM possono essere riferite come
UTM-ETRF89. Inoltre, dal 1 Gennaio 2009 l’IGMI ha introdotto l’utilizzo del
nuovo sistema ETRF2000 (riferito all’epoca 1.1.2008).
145
La trasformazione tra due sistemi di questo tipo si effettua applicando una rotazione a 7
parametri di Helmert. Ad esempio, il passaggio tra un vettore di coordinate nel sistema
WGS84 ed un vettore di coordinate espresso in generico TRF si ottiene tramite una
trasformazione del tipo:
X WGS  T  sRX TRF
dove, T indica il vettore della traslazione, s il fattore di scala ed R la matrice di rotazione.
L'inserimento di rilievi GPS nell'ITRF è oggi favorita dall'esistenza della rete IGS
(International GPS Service for Geodynamics) che prevede l’esistenza di vertici con
coordinate dei punti riferite al sistema ITRFYY (YY, epoca di riferimento). Infatti
l'inquadramento delle misurazioni GPS in un ITRF può essere eseguita in due modi:
1. Utilizzando le effemeridi precise fornite dalla rete IGS. Questo è possibile se
non si pongono altri vincoli nell'elaborazione delle reti quali, ad esempio, le
coordinate di alcuni dei vertici utilizzati. Sarà sempre possibile trasformare
la soluzione nei vari ITRF conoscendo i parametri della trasformazione
stessa;
2. Utilizzando le effemeridi in un generico sistema ma vincolando la
compensazione ad uno o più punti con coordinate espresse in un ITRF. I
punti collegati a tali vertici saranno anch’essi espressi nello stesso ITRF.
Le effemeridi trasmesse (broadcast) sono nel sistema WGS84 mentre le effemeridi
precise vengono calcolate nel sistema ITRF o in un più recente sistema IGS05 (la cui
realizzazione è basata unicamente su osservazioni GPS).
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
146
Trasformazione tra coordinate e sistemi di riferimento
Si accenna brevemente al fatto che i sistemi geodetici WGS84 ed ITRF (nelle varie
realizzazioni) non sono riportati nella cartografia Italiana e non esistono quindi sistemi di
coordinate basati su di essi. Invece il sistema geodetico ETRF89 compare nella
cartografia di ultima generazione. Pertanto, si può presentare la necessità di passare da
un sistema all’altro in funzione dell’origine dei dati o delle necessità di riportare i punti in
una cartografia. Si dovrà quindi procedere ad un trasformazione tra sistema geodetico e,
nel caso, anche tra sistemi di coordinate.
La trasformazione tra sistemi geodetici viene comunemente affrontata attraverso una
roto-traslazione nello spazio applicata alle coordinate cartesiane avendo a disposizione i
parametri necessari. Quindi può essere necessario effettuare il passaggio dalle coordinate
geografiche (, , h)21 alle coordinate geocentriche (X, Y, Z). Lo schema è il seguente.
La soluzione si presenta nella forma
x  N  h  cos  cos 
y  N  h  cos  sen

 
z  N 1  e 2  h sen
Dove N è la grannormale (massimo raggio di curvatura sull’ellissoide per il punto
considerato) ed e l'eccentricictà dell'ellissoide. Per calcolare latitudine, longitudine e
quota ellissoidica dalla terna cartesiana invece si deve invertire il sistema. Non esiste una
soluzione chiusa ma si procederà attraverso un calcolo iterativo che non viene riportato.
Dalle coordinate geografiche si potranno poi ottenere quelle cartografiche, ad esempio
nella rappresentazione di Gauss (UTM o Gauss-Boaga) dopo conversione tra i diversi
sistemi geodetici coinvolti.
Il generale la trasformazione tra sistemi geodetici passa attraverso una roto-traslazione
con variazione di scala che, quando viene applicata alle coordinate geocentriche, prende
il nome di trasformazione di Helmert (a 7 parametri). Nel caso di trasformazione tra ITRF
e WGS la trasformazione si può rappresentare nella forma
21
Per potere esprimere le coordinate cartesiane nella forma (lat, long, quota) occorrerà ovviamente associare al
sistema di riferimento un ellissoide. Questo è normalmente il WGS84 (o il suo capostipite GRS80) da non
confondere con l’omonimo sistema geodetico.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
X
Y
Z WGS
I
-
X0
147
X
 Y0   R Y
Z0
Z ITRF
sette parametri che consentono l'operazione sono dati da
tre traslazioni (X0, Y0, Z0);
tre rotazioni (Rx, Ry, Rz) contenute nella matrice di rotazione R (3x3);
fattore di scala .
Quindi note le coordinate ITRF (o WGS84) ed i 7 parametri sarà possibile trasformare la
terna cartesiana da un sistema all’altro. Nel caso in cui i parametri fossero incogniti è
possibile sfruttare l’equazione sopra per ricavarli. In questo caso occorrono almeno tre
punti di cui sono note le coordinate nei due sistemi (i cosiddetti punti doppi). I 7
parametri in questo caso costituiranno le incognite del sistema mentre le coordinate
forniscono le osservazioni. Noti 3 punti doppi si avranno 9 equazioni ed il sistema sarà
iperdeterminato. I 7 parametri si possono scegliere risolvendo il sistema grazie ad un
criterio come quello dei minimi quadrati.
Misure altimetriche con il GPS
Occorre sempre ricordare che l’altimetria nel rilievo GPS è espressa sull’ellissoide di
riferimento e non è quindi ortometrica (riferita al geoide). Per risolvere questo problema
occorre conoscere la differenza tra quote ortometriche ed ellissoidiche in un punto
particolare.
Inoltre, le quote ellissoidiche fornite dal rilievo GPS non sono di particolare interesse in
molte applicazioni di tipo ingegneristico e di progettazione mentre sono ampiamente
utilizzate negli studi di geodesia ed in particolare nell’analisi delle deformazioni del suolo
e delle strutture. La relazione che lega quote ellissoidiche e quote ortometriche è la
seguente
hHN
dove h è l'altezza ellissoidica misurata lungo la normale alla superficie, H è la quota
ortometrica misurata lungo la verticale ed N è chiamata ondulazione del geoide. La
dimensione raggiungibile dall'angolo formato tra queste due direzioni, definita come
deviazione della verticale, non produce un errore rilevante nella differenza tra le
distanze.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
148
Il valore di ondulazione del geoide N è disponibile come mappe che lo rappresentano
attraverso delle isolinee di differenza o tramite una mappatura di colori. Queste mappe
rappresentano, su base geografica, i valori di ondulazione e possono essere disponibili su
territorio nazionale o per l’intera superficie terrestre con diversa accuratezza. Nelle figure
seguenti compaiono due rappresentazioni di ondulazione del geoide sull’ellissoide WGS84
valide rispettivamente per l’Italia per l’intera superficie terrestre.
Valori di ondulazione del geoide(metri) in Italia – Ellissoide WGS84
Per l'Italia è disponibile un modello di geoide ottenuto da misure gravimetriche e
chiamato ITALGEO. Questo modello, sviluppato in continue versioni successive dal
Politecnico di Milano, ha una precisione assoluta decimetrica ed è stato calcolato su una
griglia di 3x3'.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
149
Rappresentazione di un modello globale di geoide con ondulazioni espresse in metri
Reti di stazioni GPS permanenti
La realizzazione dei sistemi ITRF, ETRF o WGS84 sul territorio è oggi legata alla
materializzazione di reti di stazioni GPS permanenti (operative 24h/giorno) distribuite su
territori che possono essere quelli nazionali oppure anche a scala continentale o globale.
Ovviamente le reti di stazioni a scala globale possono contenere in toto, o in parte, le
stazioni di una rete GPS locale o nazionale.
A livello mondiale è istituita la rete GPS coordinata dall'IGS (International GPS Service
for Geodynamics) organismo creato dalla IAG (International Association of Geodesy).
Questa rete consente la definizione sempre più precisa di sistemi di riferimento quali
l’ITRF e l’IGS, le cui realizzazioni avvengono in concreto grazie alla lista delle coordinate
delle stazioni che ne fanno parte. L'acquisizione continua dei dati nelle stazioni facenti
parte della rete permette anche la determinazione dei movimenti della crosta nel
contesto della tettonica delle placche. A causa di questi movimenti e dell'instabilità dello
stesso sistema di riferimento (effetti che producono variazioni nei valori delle coordinate
di ordine centimetrico), le coordinate dei vertici sono in costante ricalcolo dando origine a
successive soluzioni che prendono il nome dell'anno di riferimento (quali a esempio
l'ITRF2005).
La rete globale IGS di stazioni GPS permanenti
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
150
In ambito europeo è stato stabilito un sistema di riferimento "locale" denominato EUREF
(EUropean REFerence Frame) le cui coordinate sono depurate dei valori di spostamento
legati alla placca europea. Anche di questa rete esistono ricalcoli in epoche diverse delle
coordinate che forniscono la realizzazione del sistema geodetico ETRF (versioni 1989 e
2000).
La rete europea EUREF delle stazioni GPS permanenti
In Italia una realizzazione del sistema di riferimento GPS è rappresentato dalla rete GPS,
di stazioni non permanenti, denominata IGM95 e realizzata a cura dell'Istituto Geografico
Militare Italiano. La rete IGM95, inquadrata nel sistema ETRF89, è presente su tutto il
territorio nazionale con accuratezza nella determinazione dei vertici di di 2,5 cm in
planimetria e 4 cm in quota (livello di significatività del 95%).
I 1236 vertici producono una densità dei punti di 1/20 km e consentono all'utenza del
GPS di riferire un qualunque rilievo al sistema WGS84 semplicemente occupando un
vertice durante il rilievo di punti con strumentazione GPS.
Inoltre la conoscenza delle coordinate nel triplo sistema ETRF89-Roma40-ED50 per ogni
vertice della rete consente il passaggio tra i sistemi geodetici grazie ai 7 parametri della
trasformazione che sono validi solo in un ambito locale.
A livello nazionale, la necessità di dotarsi adeguarsi alle reti internazionali di stazioni GPS
permanenti ha portato alla realizzazione della Rete Dinamica Nazionale (RDN) basata
su una nuova realizzazione del sistema geodetico ETRF89. Infatti la RDN, operativa dal
primo gennaio 2009, è inquadrata nel nuovo sistema geodetico ETRF2000, all’epoca di
riferimento 2008.0. La RDN è composta da 99 stazioni omogeneamente distribuite sul
territorio e con un’interdistanza media di 100 ÷150 km. Alla rete appartengono anche 13
stazioni della rete EUREF indispensabili per l’allineamento della stessa nel contesto delle
reti internazionali.
Il calcolo delle posizioni delle stazioni RDN è stato effettuato dall’Università di Padova e
dal Politecnico di Milano ed ha fornito livelli di accuratezza (come s.q.m.) minori di 1 cm
in planimetria e minori di 1.5 cm in quota.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
151
La Rete Dinamica Nazionale (RDN)
Anche a livello regionale esistono molte reti di stazioni GPS permanenti che consentono
di inquadrare i rilievi GPS nel medesimo sistema geodetico oppure di eseguire la
conversone tra sistemi utilizzando i parametri di forniti dell’Ente gestore della rete stessa.
I vari portali disponibili nella rete Internet consentono anche l’accesso ai dati grezzi
(formato RINEX) per eseguire operazioni di post-processamento dei dati oppure l’accesso
alle correzioni differenziali, tramite connessione telefonica cellulare, in quei rilievi che
richiedono l’acquisizione delle coordinate accurate ed in tempo reale.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
152
Monitoraggio strutturale con tecnica GPS relativa
Il monitoraggio strutturale in tempo reale si prefigge di verificare on-time l’assetto di
strutture che possono essere sottoposte a stress legati all’utilizzo della struttura stessa
oppure a movimenti e deformazioni in seguito di eventi catastrofici di natura geologicogeofisica. Il monitoraggio dunque consente di tracciare variazioni nelle caratteristiche
dinamiche delle strutture ed individuare eventuali alterazioni, o danni, subite a seguito di
un evento estremo o di logorii della stessa. Grandi strutture, come lunghi ponti, torri e
alti edifici, oltre ai movimenti elastici previsti nella fase di progettazione potrebbero
vibrare, spostarsi o deformarsi durante un tifone, una repentina variazione di
temperatura, una variazione dei carichi sopportati o eventi sismici non necessariamente
di elevata magnitudo. In linea di principio nel monitoraggio strutturale “in continuo”
l’approccio è quello di sistemare la strumentazione di rilevamento in punti significativi
della struttura e segnalare per via elettronica eventuali movimenti che superano un
livello di soglia impostato. Questi metodi possono indagare anche anomalie nelle
frequenze naturali della struttura in quanto la presenza di danni spesso comporta una
perdita di rigidezza ed una variazione nella frequenza naturale di oscillazione della
struttura.
In alcuni casi però, benché la struttura fosse danneggiata, le frequenze naturali prima e
dopo un terremoto non mostravano evidenti differenze in quanto le sollecitazioni alle
strutture producevano spostamenti permanenti in risposta alle forze agenti sulla
struttura.
Inoltre, un cambio nella frequenza non sempre testimonia la presenza di un danno. In
alcuni casi infatti le analisi di differenti serie di registrazioni disponibili durante eventi
sismici su edifici a torre hanno mostrato che, pur in assenza di danni, le frequenze
naturali dell’edificio erano variate nell’ordine del 30% circa a causa della non linearità
nella risposta dell’edificio e agli effetti dell’interazione suolo-struttura. Altri studi hanno
evidenziato che variazioni nelle frequenze naturali di un edificio possono manifestarsi
anche in relazione a fattori ambientali come pioggia, forte vento ed escursioni termiche. I
definitiva questi esempi evidenziano come le sole variazioni nelle frequenze naturali di
una struttura non siano sufficienti a diagnosticare la presenza di un danno. Il principale
obiettivo di un monitoraggio continuo, comunemente conosciuto come Structural Health
Monitoring (SHM) è dunque quello di tracciare ogni variazione nelle caratteristiche della
struttura e rilevare danni, anche solo locali, fornendo informazioni pre e post-evento sulla
condizione e configurazione della struttura. Quando il danno si manifesta come effetto
non lineare, come deformazione isterica della struttura, produce deformazioni permanenti
(come spostamenti statici e rotazioni) nella struttura e quindi la configurazione
tridimensionale della struttura danneggiata potrebbe essere differente da quella originale.
In definitiva la misura delle frequenze naturali deve essere associata a quella di
spostamenti e rotazioni permanenti, questo per avere una valutazione più attendibile del
danno sopportato dalla struttura. Strumenti che consentono la misurazione di
spostamenti e rotazioni possono essere gli accelerometri ma le deformazioni permanenti
devono essere misurate con altra strumentazione quale i sensori GPS.
Si pone il problema della frequenza di campionamento del segnale GPS da parte dei
ricevitori attualmente in commercio. Questo può avvenire a 1 Hz, o anche meno,
permettendo una sicura identificazione delle frequenze dominanti delle strutture più
flessibili (f < 0.5 Hz) ma alcune classi di strumentazioni possono registrare dati anche a
20-100 Hz e, almeno in via teorica, potrebbero fungere da misuratori di oscillazioni a tali
frequenze sempre che queste oscillazioni producano spostamenti rilevabili con tecnica
GPS relativa o differenziale. Un altro vantaggio nell’utilizzo delle osservazioni GPS per il
monitoraggio delle strutture risiede nel fatto che le coordinate (posizioni) delle stazioni
istallate sulla struttura sono calcolate indipendentemente le une dalle altre, senza
influenza reciproca degli errori che inevitabilmente incidono sulle misure.
L’accuratezza raggiunta dipende chiaramente dalla tipologia di misure effettuate che
dovranno essere di tipo statico relativo, in uno schema a rete, e con sessioni di durata
idonea allo scopo. Nel monitoraggio cinematico è sempre possibile elaborare le posizioni
con tecnica di post-processamento relativa e produrre delle serie temporali di posizioni
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
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riferite, singolarmente, ad un certo intervallo temporale (da pochi minuti ad una giornata
intera). L’analisi della serie temporale potrà evidenziare gli spostamenti subiti dal punto
sui si trova l’antenna GPS.
Antenna GPS installata nello stadio di S. Siro per il monitoraggio in tempo reale
Il sistema di monitoraggio deve essere in grado di automatizzare il processamento delle
basi dalla stazione di riferimento (base) a quelle istallate sulla struttura (remote) e,
grazie alla connettività via internet, prevedere un sistema di allertamento automatico.
Schema funzionale di sistema di monitoraggio GPS
Il sensore remoto deve essere di dimensioni ridotte, robusto, resistente alle condizioni
ambientali estreme ed autonomo nel sistema di alimentazione. La stazione base deve
essere pensata per tale utilizzo e dotata di antenna con copertura (radome) di
protezione.
Antenna GPS Leica associate a stazione CORS (Continuously Operating Reference Station)
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
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Per attenuare gli errori di rifrazione atmosferica sui segnali GPS si deve ridurre al
massimo la distanza tra la stazione di riferimento e le stazioni remote ed anche il
dislivello tra le stazioni coinvolte nel monitoraggio.
Schema generale di un sistema di monitoraggio GPS
Funzionamento del sistema
In generale, la stazione remota deve essere posizionata sui punti di interesse, sui punti di
massima deformazione attesa o sui punti caratteristici della struttura.
Le unità remote sono individualmente collegate al centro di controllo tramite cavo,
collegamento radio o modem ed inviano i dati grezzi memorizzati. Al centro di controllo
convergono anche i dati della stazione base per l’elaborazione dei vettori previsti dallo
schema di elaborazione che forniranno, nell’analisi temporale, la posizione relativa dei
vari sensori GPS rispetto a quello/i di riferimento.
Un’importante caratteristica del sistema di monitoraggio risiede nella capacità di operare
per prolungati intervalli in totale autonomia e senza richiedere, sul posto, l’intervento
umano.
Come detto i collegamenti possono avvenire tramite la rete cellulare (con modem GSM)
oppure, preferibilmente usando una rete in banda larga quando si vuole garantire
massima affidabilità ed indipendenza dall’esistente infrastruttura telefonica. Questo
potrebbe essere il caso del monitoraggio di frane o colate di fango dove l’evento stesso
potrebbe provocare un sovraccarico del servizio o la sua interruzione proprio quando il
suo utilizzo è necessario. Se le distanze sono minime si può utilizzare una connessione
diretta via cavo tra i sensori di misurazione e la stazione di riferimento. Il protocollo di
comunicazione usato tra la stazione base e i sensori è sempre lo stesso e per questa
ragione i differenti tipi di collegamento possono essere intercambiabili.
In linea di massima, tutti gli elementi della rete di monitoraggio possono essere
accessibili sia localmente sia tramite connessione remota da ogni parte del mondo.
Questo facilita la diagnostica remota e la gestione di più siti da una sede centralizzata.
I dati di monitoraggio devono essere memorizzati in modo permanente e sicuro in un
database con struttura dei dati che sia di tipo standard per poter utilizzare le informazioni
con differenti sistemi e sensori.
Il software di monitoraggio può plottare i risultati dell’elaborazione ed analizzare le serie
temporali prodotte per le singole stazioni nelle tre direzioni. Gli eventuali movimenti
possono essere visualizzati a piacimento su particolari intervalli di tempo.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
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La stazione base può essere programmata per attivare un segnale di avvertimento o
allarme quando i movimenti di singoli sensori o di gruppi di sensori dislocati sulla
struttura monitorata si collocano al di sopra di una soglia pre-impostata. L’azione
associata al segnale di avvertimento o allarme può consistere in un e-mail ad un indirizzo
prefissato, oppure un messaggio SMS sul cellulare di un tecnico incaricato della gestione
dell’emergenza.
Software adibito ad inviare il segnale di allarme al superamento delle soglie limiti
La visibilità e la geometria della costellazione satellitare durante il periodo di
osservazione ha una diretta influenza sulla qualità della misurazione. Questo può essere
di interesse nelle applicazioni dove la visibilità dei satelliti dalle singole stazioni può
essere ostruita da alberi, alte costruzioni o versanti. Le più importanti limitazioni sui
possibili usi del sistema descritto sono attribuibili al fatto che l’alert non avviene in tempo
reale ma dopo il calcolo dei vettori.