2° Lavoro sperimentale (di Claudia Sortino)
Durante la fase del tirocinio diretto e di quello indiretto, lavorando
all’interno di una prima e seconda classe del liceo scientifico statale
‘Cannizzaro’, sotto la supervisione della mia tutor prof. Marilina
Aiello, ho avuto la possibilità di svolgere diverse attività sia dal punto
di vista teorico che pratico:
Ø attività di recupero
Ø lavori di gruppo
Ø preparazione e creazione del test di ingresso
Ø attività di laboratorio
In particolare ho avuto la possibilità di far lavorare i ragazzi in
laboratorio di informatica e con l’uso del programma Cabrì Géomètre,
proporre e fare osservare le particolarità che stanno dietro alcune
costruzioni elementari con riga e compasso.
E’ stato molto interessante far capire ai ragazzi l’importanza di legare
insieme
i
vari
passi
per
ottenere
la
costruzione
richiesta
dall’insegnante, facendo bene attenzione ai vari significati e alle
definizioni dei vari oggetti geometrici utilizzati nelle costruzioni.
Proposte di lavoro…
Ø Asse di un segmento AB
Ø Bisettrice di un angolo AOB
Ø Perpendicolare ad una retta r condotta da un punto
P ad essa esterno.
Ø Circonferenza passante per tre punti non
allineati.
Ø Segmento aureo di un segmento AB.
Ø Triangolo aureo ABD.
Ø Decagono regolare ottenuto dalla costruzione del
pentagono regolare (1° metodo).
Ø Decagono regolare ottenuto mediante l’uso del segmento
aureo (2° metodo).
Ø Pentagono
(1°metodo).
regolare
inscritto
in
una
circonferenza
Ø DESCRIZIONE DELLA COSTRUZIONE DEL
PENTAGONO A PARTIRE DAL SEGMENTO AUREO.
Come esercitazione ho proposto una costruzione del pentagono
regolare mediante l’uso della riga e del compasso. Essa presuppone la
conoscenza delle seguenti costruzioni:
1. Costruzione della parte aurea di un segmento.
2. Costruzione del triangolo aureo.
3. Costruzione della circonferenza passante per tre punti.
Per ciascuna di esse è stata realizzata un apposita macro che viene
opportunamente richiamata durante la costruzione del pentagono.
Dato il segmento AB si costruisce il triangolo aureo facendo uso della
macro (2). Utilizzando la macro (3) si costruisce la circonferenza passante
per i vertici di tale triangolo. Con apertura di compasso BC, centrando in
B e in C si determinano i punti D ed E. Unendo i cinque punti otteniamo il
pentagono regolare.
I ragazzi si sono dimostrati molto interessati a tale esercitazione e
nello scoprire la particolarità che lega il lato del pentagono con la
definizione di segmento aureo.
Spesso, infatti, i ragazzi vengono abituati ad apprendere senza
chiedersi il perché delle cose e la geometria si è dimostrato un ottima
mezzo per metterli in crisi anche nelle “definizioni” semplici e banali,
date sempre per scontato.
Questa attività, in particolare si è dimostrata molto interessante
poiché mi ha condotto verso alcune
problematiche aperte di ricerca..
Il problema della dimostrazione:
argomentare, congetturare, dimostrare
In un lavoro sull’ Introduzione alla dimostrazione all’inizio della
scuola secondaria, condotto da M.A. Mariotti, è stato affrontato il
problema della dimostrazione e le difficoltà che i ragazzi incontrano di
fronte ai primi problemi e alla richiesta di fornire una dimostrazione,
nel comprendere il senso di quanto viene loro richiesto.
I punti nodali, secondo M.A. Mariotti sembrano essere da un lato la
difficoltà di motivare gli allievi al ‘dimostrare’ e dall’altro la difficoltà
di distinguere tra un argomentazione generalmente intesa e una
dimostrazione matematica.
Le due motivazioni fondamentali che possono essere legate alla
dimostrazione possono essere sintetizzate nelle seguenti domande:
Ø Un certo fatto, è vero?
Ø Perché un certo fatto è vero?
Nel primo caso la verità di un fatto si presenta incerta e si genera cosi
una spinta a risolvere un incertezza, creando una motivazione ad un
argomentazione a sostegno della verità del fatto. Il bisogno di
argomentare nasce con una certa spontaneità.
Nel caso della seconda domanda, la verità di un fatto non è in
discussione, ma si tratta di fondere tale verità (processo di validazione).
La motivazione ad argomentare non risulta affatto spontanea.
Il termine argomentare
viene di solito usato per indicare un discorso su un certo fatto e ha
come obiettivo di modificare la natura o il grado di convinzione di un
interlocutore, in modo da ottenere che accetti o rifiuti tale fatto (Duval,
1995, p.232). Un’argomentazione ha dunque come scopo principale il
convincere, il rendere evidente a qualcuno la verità di un fatto.
Il termine dimostrare
viene usato per riferirsi al contesto matematico e quindi ad un discorso
teorico il cui obiettivo è fornire una prova di validità di un fatto
(=enunciato) all’interno di una determinata logica, ovvero di un
sistema di regole e di principi generalmente accettato dalla comunità
scientifica. In questo caso ad essere in gioco è la dipendenza logica di
tale enunciato rispetto agli assiomi e ai teoremi disponibili nella teoria.
Una dimostrazione, però, pur fornendo una prova della sua validità può
non cambiare la convinzione riguardo alla sua verità (Fischbein,1982).
“Lo vedo ma non ci credo!” scriveva Georg Cantor, il 20 giugno 1877,
al suo amico Dedekind, inviandogli un nuovo risultato e con la
preghiera di mettere alla prova la dimostrazione.
Le mie ipotesi
L’idea centrale del mio secondo lavoro sperimentale è stata quella di
trasformare il senso ‘empirico’ dato da un problema di costruzione in
un senso teorico e l’utilizzo del software Cabrì Géomètre si è rilevato
molto utile.
La possibilità di manipolare le sue figure ed il fatto che la logica
intrinseca ad una figura di Cabrì è la logica della sua costruzione, e
quindi gli elementi sono legati tra loro secondo proprietà geometriche
stabilite dal processo di costruzione che le ha prodotte.
La dinamica della manipolazione (mediante al funzione di
trascinamento) delle figure di Cabrì corrisponde ad uno specifico
criterio di validazione interno al sistema di tali proprietà.
Il mio obiettivo è stato quello di far evolvere l’idea di costruzione in
ambito Cabrì, nell’idea di costruzione teoricamente fondata, ovvero di
teorema di geometria proponendo agli allievi delle attività volte a :
a) fornire una procedura per ottenere un disegno/figura
b) fornire una giustificazione per la correttezza di tale
costruzione.
Tutto ciò mi ha fatto nascere la curiosità e l’interesse di analizzare il processo
“argomentare e congetturare”
Mi propongo di studiare e analizzare
Ø Il significato dei segni matematici analizzabile a due livelli:
§ Quello riguardante la definizione dei concetti
§ Quello riguardante le relazioni tra queste.
Ø L’importanza della verbalizzazione e delle attività discorsive
come funzioni essenziali per la costruzione cosciente, dell’alunno,
dei significati matematici. (in tal modo, credo che l’attività discorsiva
diventa
argomentazione
matematica
e
successivamente
dimostrazione)
Ø Le modalità principali a cui si rifanno le attività argomentative in
cui si producono ipotesi o si generano condizionalità e che risultano
caratterizzate dal diverso modo con cui il soggetto si rapporta al
mondo esterno rispetto al suo mondo interno:
§ Produzione di congetture previsionali (ipotesi su una
situazione futura).
§ Produzione di congetture interpretative (di ciò che si
percepisce al fine di riorganizzarlo)
Ø L’attività argomentativa come un discorso:
§ Che permette al soggetto di tornare su ciò che si è fatto,
visto producendo interpretazioni, spiegazioni.
§ Che permette al soggetto di anticipare fatti, situazioni
producendo
previsioni,
discorsi
ipotetici
su
eventi
possibili.
Ø Di studiare e riscontrare nei vari processi mentali forniti dagli alunni
le varie tipologie di argomentazione:
o Classificare
o Generalizzare
o Gerarchizzare
o Progettare
o Correlare, trovare connessioni
o Confutare: sulla base del principio di autorità, su una
base empirica o su una base argomentativa.
o Definire o utilizzare principi, convinzioni, assiomi non
dimostrabili
o Verificare ipotesi: può trattarsi di una verifica
sperimentale o argomentativi
Una curiosità…
Consideriamo un triangolo isoscele rettangolo e supponiamo di voler
tracciare iterativamente, le altezze relative alle varie basi dei triangoli
isosceli rettangoli ottenuti a partire da un triangolo rettangolo isoscele
di lato
AD =
2
2
e
AC = 1.
Osserviamo che di volta in volta possiamo ottenere una particolare
spezzata congiungendo “alcuni” “piedi” delle varie altezze tracciate:
Ci si può chiedere se iterando tale procedimento all’infinito, tale
spezzata si andrà a sovrapporre al segmento base AC.
Intuitivamente si potrebbe pensare che ciò accada ma ….
…. si otterrebbe un paradosso…. si avrebbe che al limite
“ 1=
2
”……!!!
A questo punto è importante osservare che la soluzione del seguente
paradosso è da ricercare nello studio dell’insieme dei punti di contatto
tra la spezzata ed il segmento base (di estremi 0 e 1) :
la nostra dimostrazione del fatto che tale insieme non comprende
alcun numero irrazionale ( perciò ha misura nulla! ) scioglie tale
paradosso!
Il ”segmento impossibile”
Consideriamo il seguente gioco:
“Il segmento AB di lunghezza l è diviso in n segmenti uguali e su
ciascuno di essi, preso come base, si è costruito un triangolo
rettangolo isoscele, ottenendo una linea spezzata con il perimetro
lungo p. Cosa accade quando n → ∞ ? p tende ad l o no ?
Obiettivi:
1. produrre diverse argomentazioni con la possibilità di utilizzare
diversi registri linguistici.
2. individuare delle rappresentazioni mentali che entrano in crisi
quando si passa dal discreto al continuo e causano l’insorgere del
paradosso .
SOLUZIONE al GIOCO
( caso n=2)
Costruiamo il segmento AB di lunghezza l e il triangolo
rettangolo isoscele avente AB come base. Suddividiamo inizialmente il
segmento AB in due parti congruenti e analogamente procediamo con i
lati del suddetto triangolo. Unendo i punti medi otteniamo una prima
spezzata di lunghezza p1:
Premettiamo che:
• con (k)
indichiamo i successivi passi di suddivisione del
segmento AB.
• con (2k )
indichiamo il numero di segmenti che otteniamo sui
lati, procedendo di volta in volta nella suddivisione.
• con (2*2k ) indichiamo il numero di tratti delle varie spezzate
ottenute passo passo.
Quindi,
per k=1 otteniamo 2 k = 2 segmenti tali che, se indichiamo con A’, B’,
C’ i vari punti medi della base e dei due lati, otteniamo
A’C’=A’B’ essendo altezze dei triangoli rettangoli isosceli
congruenti AA’C e CA’B ed inoltre AC’=C’C.
Allora,
k
2
p1=(2*2 )AC’ = 2 AC’ = 4 AC’
ma AC’ = l perché cateto di un triangolo rettangolo isoscele
2 2
⇒
per k=2
p1 = (2*2 k)*AC’ = 4*
l
2 2
=
2l
2
.
otteniamo 2k=22 segmenti tali che, se indichiamo con
A’’,D’’,B’’,E’’,C’’,F’’,G’’,H’’ i vari punti medi delle basi AA’
e A’B e dei lati BB’,B’C,CC’,C’A,A’B’,A’C’.
Si ha: AA’’= A’’A’= A’D’’= D’’B= l /4 (per costruzione).
Allora AF’’=F’’A’’=…=G’’D’’=D’’B’’=B’’B= l
4 2
⇒
l
k
p2 = (2*2 )*AF’’ = 8*
4 2
=
2l
2
.
Iterando il procedimento
per k
otteniamo 2k segmenti per ogni lato del triangolo isoscele
rettangolo di base AB, inizialmente considerato, e un lato della
spezzata misurerà k l . Allora, poiché la spezzata risulterà
2
2
k
avere (2*2 ) lati, abbiamo che
⇒
pk = (2*2 k)* k l
2
2
=
2l
2
.
In conclusione,
come si può facilmente notare, il perimetro delle varie spezzate
ottenute congiungendo i punti delle suddivisioni successive di ordine 2,
del segmento AB e dei lati del triangolo isoscele rettangolo, avente tale
segmento come base, è costantemente uguale a
p =
2l
2
segmento AB.
e quindi non convergerà mai alla lunghezza l del
Prendendo spunto da questo risultato abbiamo formalizzato e dimostrato
alcune nostre intuizioni con il seguente teorema:
TEOREMA (Rend-Sort)
Sull’ordinario piano cartesiano si consideri un triangolo rettangolo
isoscele i cui vertici di base, A e B, abbiano la stessa ordinata (yA= yB)
ed entrambi ascissa intera (xA , xB º N). Si indichi con R l’insieme dei
punti della retta di base del triangolo dato, e con Sk l’insieme dei
vertici della spezzata, di passo k (vedi “SOLUZIONE al GIOCO”).
Si dimostra che nessun punto dell’insieme Ók=Sk R ha ascissa
irrazionale.
DIM:
Sia xA =n e xB =m con n,m∈Ν.
Osserviamo che la spezzata di
passo k corrisponde ad una suddivisione del segmento di estremi A e B
in 2 k segmenti ciascuno di ampiezza
m−n
con k∈Ν.
2k
Quindi il j-esimo punto di suddivisione avrà ascissa pari a
n + ( j – 1)· m −k n
2
ma n + ( j – 1)· m −k n ∉ Ι
2
( I = R\Q).
( j = 1, 2, …, 2 k + 1)
ESEMPIO:
Sia xA = 0 e xB = 2.
Osserviamo che con la spezzata di passo k otteniamo 2k segmenti
ciascuno di ampiezza
2
2k
con k∈Ν. Il j-esimo punto avrà, quindi,
ascissa
( j – 1)*
2
2k
( j=1, 2, …, 2 k + 1)
che non sarà mai un irrazionale.
OSSERVAZIONE 1:
Se, più in generale, xA e xB sono entrambi razionali, il teorema
continua a valere.
DIM:
Sia xA = n e xB = m, con n, m∈Q, n < m. Supponiamo per assurdo
che il ( j+1)-esimo “vertice di base” della spezzata di passo k ( j=0, 1,
2, …, 2k) abbia ascissa irrazionale i (esclusi xA e xB, che sappiamo
essere razionali, restano da assegnare a j i valori 1, …, 2 k –1 ).
Allora si avrebbe che
i – [n + ( j – 1)· m −k n ] =
i = [n + ( j – 1)· m −k n ] +
2
2
m−n
2k
m−n
2k
cioè
da cui l’assurdo essendo razionale il
secondo membro di quest’ultima uguaglianza.
OSSERVAZIONE 2:
Ancora, il teorema vale se le suddivisioni, più generalmente, sono di
ordine di t con t∈N \ {0,1},
infatti il j-esimo “vertice di base” della spezzata di passo k avrà ascissa
n + (j –1)· m −k n ∈Q (n, m ∈Q).
t
COROLLARIO 1:
L’insieme Ó = ∪Ók (dove l’unione è estesa a tutti gli infiniti passi k) è
numerabile.
DIM:
Infatti, per ogni k naturale, l’insieme á(Ó), delle ascisse dei punti di Ó,
è contenuto in Q che è numerabile (si continuano, qui, a supporre xA e
xB razionali).
COROLLARIO 2:
Se xA∈Q e xB∈I , allora á(Ó) sarà contenuto nell’ampliamento
semplice Q(xB) qualunque sia l’ordine t∈N\{0,1} di suddivisione del
segmento base (se xB non è trascendente su Q, l’ampliamento è
algebrico).