Violazione di CP e oscillazioni di particelle
Parte 3: Neutrini
Sylvie Braibant
a.a. 2013-2014
[email protected]
Oscillazioni dei neutrini nel vuoto
Formalismo
Nel Modello Standard del microcosmo, i 3 neutrini νe, νµ e ντ hanno massa nulla,
sono sinistrorsi e un neutrino di un tipo non può trasformarsi in un neutrino di un
altro tipo (conservazione di Le, Lμ e Lτ)
!
Definiamo νe, νµ e ντ come autostati di sapore debole (sono gli stati da
considerare nei decadimenti (ad esempio π+ → µ+ + νµ) e nelle interazioni (ad
esempio: n + νµ → µ- + p)
!
Nella propagazione nel vuoto, dobbiamo considerare gli autostati di massa che
chiameremo ν1, ν2 e ν3 e supporremo che gli autostati di sapore |νf〉 (f=e,µ,τ) siano una combinazione lineare di quelli di massa |νj〉 (j=1,2,3) (e vice versa)
Sylvie Braibant - Fenomenologia delle Interazioni Fondamentali
2
Oscillazioni dei neutrini nel vuoto
Formalismo
Con gli autostati di sapore |νf〉 (f=e,µ,τ) e quelli di massa |νj〉 (j=1,2,3), si può
dunque scrivere:
νf (t) =
3
∑U
fj
ν j (t)
j=1
Nel vuoto, dopo un tempo t, gli autostati di massa si propagano in modo
indipendente:
ν j (t) = e
-iEjt
ν j (0)
Sylvie Braibant - Fenomenologia delle Interazioni Fondamentali
3
Oscillazioni dei neutrini nel vuoto
Caso particolare di oscillazioni tra 2 sapori
Consideriamo il caso più semplice di 2 soli neutrini, ad esempio, νµ e ντ
!
Ognuno di essi è una combinazione lineare dei 2 autostati di massa ν2 e ν3
!
Gli autostati di sapore e di massa sono legati da una trasformazione unitaria che
coinvolge (nel vuoto) un angolo di mescolamento θ:
!
! ⎛ νµ ⎞
⎛ cosθ sinθ ⎞ ⎛ ν2 ⎞
⎛ cosθ − sinθ ⎞ ⎛ νµ ⎞
⎛ ν2 ⎞
Notare: ⎜ ⎟ = ⎜
! ⎜ ⎟ = ⎜ − sinθ cosθ ⎟ ⎜⎝ ν ⎟⎠
⎟
⎝ ν3 ⎠
⎝ ντ ⎠
⎝
⎠ 3
⎝ sinθ cosθ ⎠ ⎜⎝ ντ ⎟⎠
!
!
Gli autostati di sapore sono generati in decadimenti e possono essere osservati
tramite interazioni. Si ha:
⎧⎪ νµ = cosθ ν2 + sinθ ν3
⎨
⎪⎩ ντ = -sinθ ν2 + cosθ ν3
Sylvie Braibant - Fenomenologia delle Interazioni Fondamentali
4
Oscillazioni dei neutrini nel vuoto
Caso particolare di oscillazioni tra 2 sapori
Invece, la propagazione nel vuoto è determinata dalle energie e degli impulsi
degli autostati di massa:
-iEjt
!
ν j (t) = e
ν j (0)
!
!
-iE2t
!
ν2 (t) = e
ν2 (0)
!
-iE3t
ν3 (t) = e
ν3 (0)
!
!
Consideriamo adesso il caso in cui nello stato iniziale a t=0, vi sia la sola
presenza di νµ e non siano presenti i ντ:
⎧⎪ νµ ( 0 ) = cosθ ν2 ( 0 ) + sinθ ν3 ( 0 )
⎨
⎪⎩ ντ ( 0 ) = -sinθ ν2 ( 0 ) + cosθ ν3 ( 0 ) = 0
⎛ cosθ − sinθ ⎞ ⎛ νµ ⎞
⎛ cosθ − sinθ ⎞ ⎛ νµ ⎞
⎛ ν2 ⎞
⎛ ν2 ⎞
⎜⎝ ν ⎟⎠ = ⎜ sinθ cosθ ⎟ ⎜⎝ ν ⎟⎠ → t =0: ⎜⎝ ν ⎟⎠ = ⎜ sinθ cosθ ⎟ ⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
3
3
τ
Sylvie Braibant - Fenomenologia delle Interazioni Fondamentali
5
Oscillazioni dei neutrini nel vuoto
Caso particolare di oscillazioni tra 2 sapori
Da questi equazioni, con semplici passaggi algebrici, si ottiene:
!
⎛ cosθ − sinθ
⎛ ν2 ⎞
⎜⎝ ν ⎟⎠ = ⎜ sinθ cosθ
!
⎝
3
!
ν2 (0) = cos θ νµ (0)
!
!
ν3 (0) = sin θ νµ (0)
!
Ad un certo tempo t e ad una distanza L, si ha:
⎛ cosθ sinθ
⎛ νµ ⎞
⎞ ⎛ νµ ⎞
⎟ ⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎠
⎞ ⎛ ν2 ⎞
⎜⎝ ν ⎟⎠ = ⎜⎝ − sinθ cosθ ⎟⎠ ⎜⎝ ν ⎟⎠
3
τ
-iE2 t
ν2 (0)
-iE3 t
ν3 (0)
ν2 (t) = e
νµ (t,L) = cos θ
ν2 (t) + sin θ
-iE2t
= cos θ e
-iE2t
νµ (t,L) = cos θ e
2
ν3 (t)
-iE3t
ν2 (0) + sin θ e
-iE3t
νµ (0) + sin θ e
2
ν3 (t) = e
ν3 (0)
νµ (0)
Sylvie Braibant - Fenomenologia delle Interazioni Fondamentali
6
Oscillazioni dei neutrini nel vuoto
Caso particolare di oscillazioni tra 2 sapori
Per l’intensità, si ha: ⎧
Iµ (t) = νµ (t) νµ (t) = Iµ (0) ⎨cos4θ + sin4θ + cos2θ sin2θ
⎩
⎡ei(E3 - E2 )t + e−i(E3 - E2 )t ⎤ ⎫
⎢⎣
⎥⎦ ⎬⎭
⎧
⎡ (E3 - E2 )t ⎤ ⎫
⎪
⎪
2
2
⎥⎬
= Iµ (0) ⎨1 - sin 2θ . sin ⎢
2
⎢
⎥⎪
⎪⎩
⎣
⎦⎭
dove Iµ (0) = νµ (0) νµ (0)
Poiché mj << Ej, si può scrivere:
E2j = p2j
→
→
Ej - pj
E3
2
→
j
+m
E2j - p2j
m2
j
=
→
Ej + pj
-E
2
!
Ej
2
→
j
=m
= pj
m2 - m2
3
2
2E
!
(Ej - pj ) ⋅ (Ej + pj ) = m2j
m2
j
+
Ej + pj
Δm2
2E
→
Ej
m2
j
! p+
2p
(
m2
j
! p+
2E
con Δm2 = m23 - m22
Sylvie Braibant - Fenomenologia delle Interazioni Fondamentali
)
7
Oscillazioni dei neutrini nel vuoto
Caso particolare di oscillazioni tra 2 sapori
La probabilità di oscillazione (di transizione) è:
2 ⎤
2 ⎤
⎡
⎡
Δm
t
Δm
L
2
2
2
2
Pνµ → ντ = 1 - Pνµ → νµ = sin 2θ . sin ⎢
⎥ = sin 2θ . sin ⎢
⎥
4E
4E
⎣
⎦
⎣
⎦
dove L è la lunghezza nel vuoto (L ≈ ct) fra produzione di νµ e osservazione
di νµ(o di ντ) Losc è definita come lunghezza di oscillazione del neutrino la grandezza:
4πE
Losc =
Δm2
2
2⎡
→ Pνµ → ντ (L) = sin 2θ . sin ⎢ π
⎣
L
Losc
⎤
⎥
⎦
Sylvie Braibant - Fenomenologia delle Interazioni Fondamentali
8
Oscillazioni dei neutrini nel vuoto
Caso particolare di oscillazioni tra 2 sapori
La probabilità di oscillazione (di transizione) è:
2 ⎡ 2⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
Δm
eV
L
km
⎣
⎦⎥
⎢⎣
⎥⎦
2
2⎢
Pνµ → ντ = 1 - Pνµ → νµ = sin 2θ . sin 1.27
⎢
⎥
E ⎡⎣GeV ⎤⎦
⎣
⎦
NB.: il fattore moltiplicativo 1.27 risulta dalla scelta delle unità di misure
Per massimizzare la probabilità di scomparsa di νµ(o di apparizione di ντ),
l’argomento della funzione sin2 deve essere uguale a π/2. Per esempio, per E ≈ 1
GeV, Δm ≈ 0.05 eV, la distanza tra l’osservatore e il punto di produzione del neutrino
deve essere uguale a L ≈ 1000 km NB.: Δm e θ sono fissati dalla natura → si può agire su L e E
Sperimentalmente si trova che il valore massimo sin22 θ ≈ 1 → θ ≈ 45o
!
Quando i neutrini si propagano nella materia, le oscillazioni sono modificate
dall’interazione con il mezzo e questa formula semplice è modificata
!
La formula viene anche modificata nel caso di oscillazioni aggiuntive di sapore !
Sylvie Braibant - Fenomenologia delle Interazioni Fondamentali
9
Oscillazioni dei neutrini nel vuoto
Oscillazioni tra 3 sapori e violazione di CP
Autostati di sapore f = e, µ , τ
νf
=
3
∑U
fj
νj
Autostati di massa
j=1
Matrice di mixing: 3 angoli + 1 fase di CP
⎛ 1
0
⎜
U = ⎜ 0 cosθ23
⎜⎝ 0 − sinθ23
⎞
0
sinθ23 ⎟
⎟
cosθ23 ⎟⎠
Neutrini atmosferici,
K2K, Minos, T2K
θ23 ~ 45o
⎛
cosθ13
⎜
0
⎜
⎜⎝ −eiδCP sinθ13
0
sinθ13
1
0
0 eiδCP cosθ13
⎞
⎟
⎟
⎟⎠
⎛ cosθ12
⎜
⎜ − sinθ12
⎜⎝
0
Neutrini da reattori,
da acceleratori
θ13 < 12o
sinθ12
cosθ12
0
0 ⎞
⎟
0 ⎟
1 ⎟⎠
Neutrini solari,
KamLAND
θ12 ~ 30o
Esiste anche nel settore leptonico la possibilità che vi sia violazione di CP,
nel caso in cui δ sia non nullo
Sylvie Braibant - Fenomenologia delle Interazioni Fondamentali
10