Momenti nella storia dei logaritmi
Riccardo Rosso
Dipartimento di Matematica, Università di PAVIA
1
Sommario
• Preistoria
• Nascita dei logaritmi
• Logaritmi come ausilio per il calcolo
• Logaritmi e geometria
• Logaritmi e serie
• Logaritmi dei numeri complessi
2
Preistoria: Istanze teoriche
Archimede (287(?)-212 a.C.), Arenario
Proporzione continuata a partire dall’unità
a0 = 1, a1 = q, a2 = q 2 , a3 = q 3 , ....(a0 : a1 = a1 : a2 = a2 : a3 = ...)
am × an = am+n ⇒ q m × q n = q m+n
Al prodotto di elementi di una progressione geometrica corrisponde la
somma degli esponenti che formano una progressione aritmetica
3
Michael S TIFEL (1487 ca-1567), Arithmetica Integra (1544)
• estende la regola ad esponenti negativi
1. Nelle progressioni aritmetiche l’addizione corrisponde alla
moltiplicazione in quelle geometriche.....
2. La sottrazione nelle [progressioni] aritmetiche corrisponde alla
divisione nelle geometriche....
3. La moltiplicazione semplice (cioè di un numero per un numero)
quando sia eseguita in una [progressione] aritmetica, corrisponde alla
moltiplicazione di un numero per se stesso nelle progressioni
geometriche. Cosı̀ alla moltiplicazione per due in progressioni
aritmetiche corrisponde la moltiplicazione quadrata in quelle
geometriche....
4. La divisione eseguita in progressioni aritmetiche corrisponde alle
estrazioni di radici nelle progressioni geometriche.
4
Preistoria: Il peso dei calcoli
Operazioni critiche: moltiplicazione con molte cifre, estrazioni di radici
Per alleviare la fatica:
Tavole numeriche
Tabula Tetragonica (1592), Giovanni Antonio M AGINI (1550-1617)
Contiene tutti i quadrati degli interi da 1 ad 11000
√
Come si usa per calcolare 43 = 6.55743...
2
(6557) = 42994249
6
p
: 10
Metodo tradizionale
√
43 =
p
r
62 + 7 = 6 1 +
42, 994249 ≈
7
7
'6 1+
36
72
5
√
43 ' 6, 557
' 6, 583
Formule di prostaferesi
sin α cos β =
1
[sin(α + β) + sin(α − β)]
2
Trasformano prodotti in somme
Dispositivi automatici
Bastoncini di N EPERO (Rabdologia, 1617)
Come si usano per eseguire 357 × 249
6
357 × 249 =?
3
5
0
357 × 2 = 714
1
6
0
1
1
9
5
0
4
7
7
4
4
2
2
5
4
Un prodotto è ridotto ad una somma
4
3
2
5
0
1
4
3
3
2
8
5
8
357 × 9 = 3213
2
2
1
1
0
5
2
2
2
1
4
5
2
3213
1428
714
88893
1
0
9
357 × 4 = 1428
7
6
6
5
3
9
Nascita dei logaritmi
Chi? John NAPIER (N EPERO, 1550-1617) [Jobst B ÜRGI (1552-1632)]
Quando? 1614, Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, ejusque usu,
in utraque Trigonometria; ut etiam in omni Logistica Mathematica,
Amplissimi, Facillimi & expeditissimi explicatio.
Contiene definizioni, risultati principali ed applicazioni.
Nell’edizione del 1620 il titolo cambia leggermente:
Logarithmorum Canonis Descriptio seu arithmeticarum supputationum
mirabilis abbreviatio....,
1617 Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio
Contiene definizioni, dimostrazioni e i dettagli sulla costruzione delle
tavole.
8
Origine di un nome
Logaritmo è vocabolo composto da rapporto (λoγoν) e numero
(άριθµoς), quasi a dire numero di rapporti; ciò che ben esprime la realtà
delle cose.
(Nicolaus M ERCATOR, Logarithmotechnia, 1668)
Wilhelm M ATZKA (1850) logaritmo è l’accostamento di λoγιστ ικoς ed
άριθµoς: numeri per il calcolo (zum Rechnen dienliche).
Caspar P EUCER (1553) aveva introdotto la parola Logarithmanteia,
logaritmomanzia in tutt’altro contesto.
9
Che cosa è (o non è) un logaritmo neperiano
Definizione poggia su un modello cinematico
Si considerano due punti: a, mobile di moto uniforme (arithmeticus) su
una semiretta bi
g, mobile di moto geometrico su un segmento ST di lunghezza finita
R = 107 : sinus totus, raggio della circonferenza trigonometrica.
g, partendo da T , percorre in tempi uguali segmenti di lunghezza
proporzionale alla sua distanza da S.
T
1
2
3
g
g
g
T 1 = βT S
4
5
12 = β1S,
6
S
23 = β2S,
34 = β3S, ....
T 1, 12, 23, ..., percorsi tutti nello stesso intervallo di tempo.
T S, 1S, 2S, 3S,...formano una progressione geometrica.
10
T
d
g
g
S
c
b
a
i
a
y(t) := bc, x(t) := dS
y(0) = 0, x(0) = R, entrambi con la stessa velocità v0
Definizione: il logaritmo neperiano di dS è pari a bc: y = nl (x).
Conseguenza: nl (R) = nl(107 ) = 0 mentre nl (1) = 1611809576= 0.
Proprietà fondamentale: Se a : b = c : d allora
nl (a) − nl (b) = nl (c) − nl (d)
proportionatorum sinuum sunt aequi-differentes artificiales.
ab : a = b : 1
⇒ nl (ab) = nl (a)+nl (b)−nl (1) 6= nl (a)+nl (b)
11
!!!
Perché ?
Ogni teorema di trigonometria era scritto come proporzione in cui uno dei
termini era il sinus totus R
R:a=b:c
Passando ai logaritmi (neperiani)
nl (c) = nl (a) + nl (b)
si recupera la trasformazione di prodotti in somme.
In termini moderni
y(x) = nl x = R(ln R − ln x) = ln
R=1⇒
nl (x) = log 1e x
12
R
x
R
x
= R log 1e
R
Osservazioni
• N EPERO introduce i logaritmi come funzione diretta
• Sistema logaritmico: progressione aritmetica associata ad una
progressione geometrica
• Il modello cinematico di N EPERO fu abbandonato
(menzionato da Colin M C L AURIN)
• Nuova definizione di logaritmi:
non è sconveniente riferirsi ai logaritmi come a dei compagni
equidifferenti di numeri proporzionali
(B RIGGS, Arithmetica Logarithmica)
B RIGGS e N EPERO riconoscono più semplici i logaritmi con
log 1 = 0
13
Logaritmi definiti come funzione inversa dell’esponenziale
• carteggio L EIBNIZ-Johann B ERNOULLI (fine ’600-inizio ’700);
• su rivista (1771, postumo): William J ONES (1675-1749)
1. Ogni numero x è esprimibile da un’unica potenza di un medesimo
numero radicale r.
Infatti un numero qualsiasi si trova da qualche parte nella scala delle
diverse potenze del numero radicale r i cui indici sono m − 1, m − 2,
m − 3, ecc. dove non solo vengono espressi i numeri rm−1 , rm−2 , ecc.
ma anche ogni numero intermedio x è rappresentato da r con un
appropriato indice z.
L’indice z è detto il logaritmo del numero x. (rz = x)
14
• Su un manuale (1685): Algebra, John WALLIS (1616-1703)
1
r
rr
r3
r4
r5
r6
ecc.
0
1
2
3
4
5
6
ecc. ,
“Questi esponenti sono detti logaritmi e sono numeri artificiali che sono
messi in corrispondenza ai numeri naturali in modo che all’addizione o
alla sottrazione dei primi corrispondano la moltiplicazione o la divisione
dei secondi.”
Leonhard E ULER (E ULERO, 1707-1783)
Introductio in Analysin Infinitorum (1748):
“il logaritmo di un qualsiasi numero y è quell’esponente della potenza az
tale che az è uguale ad y”
15
Compilatori di tavole
N EPERO
Henry B RIGGS:
Arithmetica Logarithmica (I ed. 1624, II ed. 1628, Adriaan V LACQ)
Logaritmi briggsiani ≈ logaritmi in base 10
Contenuti
• Algoritmo della radice quadrata
• Schemi alle differenze finite
• tecniche di interpolazione
Altri compilatori: Johannes K EPLER, Juan C ARAMUEL Y L OBKOWITZ
C ARAMUEL: costruire un sistema logaritmico che coniughi i vantaggi di
quello neperiano e di quello briggsiano.
16
Logaritmi e geometria
• Spirale logaritmica: Evangelista T ORRICELLI (1608-1647)
• Curva logaritmica: Evangelista T ORRICELLI, Christiaan H UYGENS
(1629-1695)
• Logaritmi ed iperbole
1 Gregorio di S. V INCENZO (1584-1667):
Opus Geometricum de Quadratura circuli et sectionum coni (1647)
2 Alfonso Antonio DE S ARASA (1618-1667):
Solutio problematis a R.P. Marino Mersenno minimo propositi (1649)
3 Nicolaus M ERCATOR (1620-1687): Logarithmotechnia (1668)
5 James G REGORY (1638-1675): Exercitationes Geometricae (1668)
4 Johann B ERNOULLI I, Wilhelm Gottlieb L EIBNIZ: d ln x =
17
dx
x
(1697)
Gregorio di S. V INCENZO
Lib. VI, Prop. CIX Siano AB ed AC gli asintoti di un’iperbole
(equilatera) DEF. Si suddivida AC in modo che AG, AH, AI, AK ed AC
formino una progressione geometrica.
B
D
A
G
E
H
L
M
F
I
K
C
Si traccino i segmenti DG, EH, LI, MK ed FC paralleli all’asintoto AB. I
trapezi curvilinei DH, EI, LK ed MC sono equivalenti.
18
segmenti: progressione geometrica ⇒ aree: progressione aritmetica
Proprietà logaritmica!
James G REGORY:
Dimostrazione rigorosa quadratura iperbole di M ERCATOR
Nicholaus M ERCATOR (1668):
Logaritmi naturali: compaiono nella quadratura dell’iperbole.
logaritmi tabulari: logaritmi di B RIGGS.
19
La proposta didattica di Felix K LEIN
(Elementar Mathematik vom höheren Standtpunkte aus I Band, 1908)
K LEIN lamenta il distacco tra insegnamento (Schulbetrieb) della
matematica ed il progresso della ricerca (vorwärtsgehende Forschung)
nella matematica del XIX secolo.
Vorrei ancora una volta riassumere brevemente come ritengo debbano
essere introdotti i logaritmi nella scuola in modo semplice e naturale: la
regola somma è che il principio corretto (richtige quelle) per introdurre
nuove funzioni risiede nella quadratura di curve note. Ciò è conforme,
come ho mostrato, sia alle circostanze storiche, sia al modo di procedere
nelle parti più avanzate della matematica (ad es. le funzioni ellittiche)
20
Realizzazione della proposta di Felix K LEIN
Rihard S UPPANTSCHITSCH (1909) segue le linee direttive di K LEIN
A
xy = 1
A ≡ (1, 1) B ≡ (x, x1 )
C ≡ (c, 1c ) D ≡ (d, d1 )
B
C 0D0 =
OC 0
OA0
× A0B 0 = cA0B 0
C
D
O
A0
B0
C0
D0
21
• si dividono A0 B 0 e C 0 D0 in n parti uguali: plurirettangoli circoscritti ed
inscritti all’arco AB equivalenti agli omologhi per l’arco CD.
• passaggio al limite
• Area s delimitata da xA = 1 ed xB = x ⇒ s := ln x
• Seguono le proprietà elementari dei logaritmi
• Calcolo di (ln x)0 =
1
x
• Esponenziale come funzione inversa del logaritmo
22
La trigonometria iperbolica
• Vincenzo R ICCATI (1707-1775)
Opuscula ad res Physicas et Mathematicas pertinentes (1757)
Analogie e differenze tra circonferenza ed iperbole
F
2
2
x +y =R
2
x2 − y 2 = R 2
C
O
P
A
D
OD = Cosh[2Sett(OFP)]
DF = Sinh[2Sett(OFP)]
OA = Cos[2Sett(OPC)]
CA = Sin[2Sett(OPC)]
23
Un piccolo ritocco
Abel B URJA Essai d’un nouvel algorithme des logarithmes (1787-88)
dati e incognite
• addizione x + y = z
• sottrazione x + y = z oppure x + y = z
• moltiplicazione xy = z
• divisione xy = z oppure xy = z
• elevamento a potenza xy = z
• estrazione di radice xy = z
• logaritmo xy = z
24
Logaritmi e serie
1 Le serie come strumento di compilazione più rapida delle tavole
logaritmiche.
2 Le serie per definire i logaritmi (Pietro M ENGOLI)
3 Legami inattesi: la costante di E ULERO -M ASCHERONI
25
Serie e tavole logaritmiche: sempre più veloci!
• Serie di M ERCATOR (1668): quadratura dell’iperbole
x2
x3
x4
ln(1 ± x) = ±x −
±
−
+ ..... (|x| < 1)
2
3
4
• Serie di G REGORY-N EWTON (1668)
x3
x5
1+x
= 2[x +
+
+ ..... (|x| < 1)
ln
1−x
3
5
convergenza più rapida.
Esempio: Il calcolo di log 2 (N EWTON)
2=
1.2 × 1.2
(1 + 0.2) × (1 + 0.2)
=
0.8 × 0.9
(1 − 0.2) × (1 − 0.1)
26
Varianti (Jean Charles DE B ORDA, 1733-1799)
x3
x5
1+x
= 2[x +
+
+ ..... (|x| < 1)
ln
1−x
3
5
1 + x = (p − 1)2 (p + 2) = p3 − 3p+2
1 − x = (p + 1)2 (p − 2) = p3 − 3p−2
1+
p3 − 3p + 2
1+x
= ln 3
= ln
ln
1−x
p − 3p − 2
1−
ln(p+2)+2 ln(p−1)−ln(p−2)−2 ln(p+1) = 2
"
2
p3 −3p
2
p3 −3p
2
1
+
p3 − 3p 3
2
p3 − 3p
p=5,6,7,8: sistema lineare di quattro equazioni per determinare
ln 2, ln 3, ln 5, ln 7
Uso di polinomi di grado più alto: Thomas L AVERN ÈDE (1810-11)
27
3
#
+ ....
Un virtuoso: Philippe KORALEK (1851)
Problema: Determinare tutti i logaritmi decimali degli interi da 1 a 107
con l’approssimazione di sette cifre decimali noti solo log 2, log 3, log 7,
log 11 e log 13.
1+y
y3
y5
1
log
= 2k[y +
+
+ ..... (k = log e < )
1−y
3
5
2
1+y
z
=1+z ⇒y =
1−y
z+2
3
5
7
1
1
z
1
z
z
z
+
+
+ .....
log(1 + z) = 2k[
+
z+2 3 z+2
5 z+2
7 z+2
x
a+x
z = ⇒ log(1 + z) = log
a
a
"
#
3
5
x
1
x
1
x
log(x + a) = log a + 2k
+
+
+ ...
x + 2a 3 x + 2a
5 x + 2a
28
Approssimazione di KORALEK
Se
x
a
<
1
95
x
log(x + a) = log a + 2k
±ε
x + 2a
|ε| < 10−8
∀x ∈ N = 1, ...., 107
Ora non resta che risolvere questo problema (!)
Preso un numero z ∈ (1, 107 ) scriverlo nella forma z = x + a dove a
1
abbia solo 2, 3, 5, 7, 11, 13 come fattori primi e xa < 95
Esempio (X AVIER ,1904)
z0 = 9546253 = 954, 6253 × 10000
z = 954, 6253 = a + x = 945 + 9, 6253
29
(945 = 33 × 5 × 7)
I logaritmi definiti come limite
Pietro M ENGOLI (1625-1686), Geometria speciosa (1659)
Siano a ed n numeri naturali.
n-esimo iperlogaritmo di a:
1
1
1
1
Hyl n (a) := +
+
+ .... +
n n+1 n+2
na − 1
n-esimo ipologaritmo di a:
1
1
1
1
hyl n (a) :=
+
+ .... +
+
.
n+1 n+2
na − 1 na
Hyl n (a) ≥ Hyl n+1 (a) hyl n (a) ≤ hyl n+1 (a)
1
1
Hyl n (a) − hyl n (a) =
1−
>0
n
a
30
Definizione
log a := lim Hyl n (a) = lim hyl n (a)
n→∞
n→∞
• Questa definizione si può estendere ai numeri razionali;
• bisogna verificare che valgono le proprietà dei logaritmi
I prologaritmi
1
1 1
plog 1 (a) := 1 + + + .... +
2 3
a
1
1
1
plog 2 (a) :=
+
+ .... +
a+1 a+2
2a
...........................
1
1
1
+
+ .... +
.
plog n (a) :=
(n − 1)a + 1 (n − 1)a + 2
na
∞
a X
[plog n (a) − plog n (b)]
log =
b
n=1
31
Esempio
a = 2, b = 1
1 1 1 1 1
+ − + − + ...
2 3 4 5 6
Sembra esserci un legame molto stretto tra i logaritmi e la serie armonica
log 2 = 1 −
1 1 1 1 1
1 + + + + + + ....
2 3 4 5 6
Questa serie diverge (Nicola O RESME, ca. 1323-1382)
1+
>
=
1
1
1
1
1
1
1
2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ...
1
1
1
1
1
1
1
2 + 4 + 4 + 8 + 8 + 8 + 8 +
1
1
1
+
+
2
2
2+
molto lentamente
32
La costante di E ULERO -M ASCHERONI
1
1 1
γ := lim 1 + + + .... + − ln(n + 1) = lim γn
n→∞
n→∞
2 3
n
Significato geometrico
Z n+1
1
ln(n + 1) =
dx
x
1
1
y=
1
x
n+1
1
33
Significato geometrico
γ := lim
n→∞
1 1
1
1 + + + .... + − log(n + 1) = lim γn
n→∞
2 3
n
n
X
1
1 1
1
= 1 + + + .... +
k
2 3
n
k=1
1
1/2
1/3
1/n
1
2
3
n
4
34
n+1
La costante di E ULERO -M ASCHERONI
Z n+1
n
X
1
1
−
dx
γn =
k
x
1
k=1
n+1
1
E ULERO (1735): assume l’esistenza di γ = 0.577218.....
35
Il calcolo di γ
x2
x3
x4
ln(1 + x) = x −
+
−
+ .....
2
3
4
• x = 1/k....
ln(1 +
1
1
1
1
1
) = − 2 + 3 − 4 + .....
k
k 2k
3k
4k
• Riordiniamo e sommiamo
n
n
n
n
n
X
X
1
k+1
1X 1
1X 1
1X 1
=
ln
−
+
− ....
+
k
k
2
k2
3
k3
4
k4
k=1
• ln
k=1
k+1
k
k=1
k=1
k=1
= ln(k + 1) − ln k...
n
n
n
n
X
1
1X 1
1X 1
1X 1
γn =
− ln(n + 1) =
−
+
− ....
2
3
4
k
2
k
3
k
4
k
k=1
k=1
36
k=1
k=1
La ζ di R IEMANN (prima di R IEMANN)
∞
X
1
ζ(n) =
kn
n ∈ N, n > 1
k=1
Problema di Basilea: Calcolare ζ(2) =
P∞
1
k=1 k2
=
π2
6
(E ULERO, 1737)
Espressioni esatte per ζ(4), ζ(6), ζ(8), ...., ζ(26) (E ULERO, 1750)
2n
n−1 (2π)
ζ(2n) = (−1)
2(2n)!
B2n
B2n numeri di B ERNOULLI
Non si conoscono espressioni esatte per ζ(2p + 1)
Irrazionalità di ζ(3), Roger A PERY (1978)
37
Formula di E ULERO -M C L AURIN
Rn
Pn
1
f
(k)
=
f
(x)dx
+
k=1
2 [f (1) + f (n)]+
1
Pm B2k (2k−1)
(n) − f (2k−1) (1)] + R(f, m)
k=1 (2k)! [f
γ = γn −
1
1
1
1
+
−
+
+ ....
2
4
6
2n 12n
120n
256n
Problema aperto: γ è razionale o no?
38
Logaritmi di numeri complessi
(1712-1713)
Controversia L EIBNIZ-Johann B ERNOULLI I sui logaritmi dei numeri
negativi
(1727-1729)
Carteggio Johann B ERNOULLI I- E ULERO sullo stesso argomento
(1745)
Pubblicazione carteggio L EIBNIZ-B ERNOULLI
(1747-1749)
E ULERO commenta il carteggio L EIBNIZ-B ERNOULLI
elabora la teoria dei logaritmi di numeri complessi
39
Dubia fluctuant contraria.....
Argomento a favore dei logaritmi dei numeri negativi:
(−a)2 = a2 ⇒ log (−a)2 = log (a)2 ⇒ 2 log (−a) = 2 log (a)
⇓
log (−a) = log (a)
Argomento contrario ai logaritmi dei numeri negativi
y = ln x ⇐⇒ x = ey
Se x = −1
y
y2
y3
y4
−1 = +
+
+
+ .....
1 1·2 1·2·3 1·2·3·4
Incompatibile con la scelta x = −1, y = 0
40
Un salto nel buio
Dopo aver ben soppesato tutte le difficoltà appena esposte, ritengo che
esse provengano dal fatto che noi supponiamo che ogni numero non ha
che un logaritmo.
log 1 = 0, α, β, γ, δ, ε, ζ, η, ϑ, ecc.
con α, β, γ.... numeri complessi
√
√
1 = ±1
1
1
1
log 1 = log (1) = 0, β, δ,
2
2
2
√
1
1
log 1 = log(−1) = log (1) = α,
2
2
41
1
ζ,
2
1
γ,
2
1
ϑ, ....
2
1 1
ε, η, ....
2 2
√
√
3
−1 ± −3
1 = 1,
2
√
1
1
1 1
3
log 1 = log (1) = 0, γ, ζ, ι, ecc.
3
3
3 3
√
√
1
1
1 1
−1 + −3
3
= log(1) = α, δ, η, ecc.
log 1 = log
2
3
3
3 3
√
√
−1 − −3
1
1
1 1
3
log 1 = log
= log (1) = β, ε, ϑ, ecc.
2
3
3
3 3
Problema: come attribuire concretamente infiniti logaritmi ad un numero?
42
La circonferenza: arrivano i nostri!
Per dimostrare questa pluralità infinita di logaritmi corrispondenti ad
ogni numero non occorre altro che considerare lo stretto rapporto
esistente tra i logaritmi e gli archi di circonferenza: è noto infatti che gli
archi di circonferenza si possono esprimere tramite logaritmi immaginari
e, viceversa, i logaritmi sono esprimibili tramite archi immaginari di
circonferenza. Dunque, siccome il seno od il coseno corrispondono ai
numeri e gli archi ai logaritmi, cosı̀ come ad uno stesso seno corrisponde
ad un’infinità di archi distinti, allo stesso modo ad uno stesso numero
deve corrispondere un’infinità di logaritmi distinti.
x = sin ϕ
dϕ =
y = cos ϕ =
p
dx
dx
=√
y
1 − x2
43
1 − x2
√
√
dz −1
x = z −1 ⇒, dϕ = √
1 + z2
√
p
x
ϕ = −1 ln( 1 − x2 + √ )
−1
√
1
ϕ= √
ln(y + −1x)
−1
√
√
√
√
(ϕ±2nπ) −1
= cos ϕ + −1 sin ϕ
ln(cos ϕ + −1 sin ϕ) = (ϕ ± 2nπ) −1 ⇔ e
Sur les logarithmes des nombres négatifs et imaginaires
(1747, obiezioni di D’A LEMBERT, pubblicato nel 1862)
De la controverse entre Mrs. Leibnitz & Bernoulli sur les logarithmes des
nombres negatives et imaginaires (1751)
Contiene una dimostrazione incompleta:
dibattito sulla validità della teoria di E ULERO
44
Conclusioni
• Logaritmi come ponte tra logistica e matematica
• Trigonometria pre- e post-logaritmica
• Impatto sui calcoli
The miracolous powers of modern computation are largely due to the
invention of logarithms (Florian C AJORI, 1910)
• presente (e futuro): logaritmi discreti e sistemi numerici logaritmici
45