IL PROBLEMA CARTOGRAFICO.
LA PROIEZIONE DELL'ELLISSOIDE SUL PIANO
Le deformazioni di una rappresentazione di una figura ellissoidica sul piano.
Si considerino tre punti A, B, C su un cilindro (fig. 1) congiunti a due a due da archi di
geodetica; la figura così formata è un triangolo geodetico sul cilindro, gli angoli α, β e γ nei
vertici sono gli angoli formati dalle tangenti alle geodetiche e i lati hanno lunghezze a, b e c pari
alle lunghezze degli archi di geodetica, ognuno dei quali è evidentemente un segmento di curva
gobba. Se si taglia il cilindro secondo una generatrice e lo si distende sul piano il triangolo
geodetico si deforma, nel senso che da triangolo definito nello spazio da porzioni di curve gobbe
si trasforma in una figura piana, ma si può constatare che ogni arco di geodetica si trasforma
in un segmento di retta (ovvero in un segmento di geodetica del piano) che ha la stessa lunghezza, e che inoltre gli angoli fra questi segmenti di retta risultano uguali agli angoli α, β e γ fra
le tangenti alle geodetiche sul cilindro. Si può dire quindi che il triangolo geodetico non si
deforma in quanto in seguito allo spianamento i lati mantengono le stesse lunghezze e rimangono
altresì inalterati gli angoli fra i lati.
Fig. 1 Triangolo geodetico su un cilindro e sviluppato su un piano
Il cilindro è infatti una superficie sviluppabile, ovvero si può distendere su un piano senza che gli
angoli o i lati delle figure tracciate su di esso subiscano deformazioni. L'ellissoide terrestre, come
nel caso più semplice della sfera, non è al contrario una superficie sviluppabile, cioè non si può
distendere su un piano senza che i lati e gli angoli delle figure costituite con archi di geodetica si
deformino, senza cioè che si verifichino variazioni di lunghezza dei lati, variazioni degli angoli
ed anche variazioni dell'aree racchiuse dalle figure. Di conseguenza qualsiasi rappresentazione
dell'ellissoide sul piano, cioè qualsiasi carta, risulta deformata. Vi è una sola maniera di
distendere un cilindro od un cono su di un piano, mentre, stabilito che per lo stesso scopo occorre
deformare la superficie dell'ellissoide, vi sono infinite maniere di ottenere una rappresentazione
piana dell'ellissoide in relazione alle infinite maniere con cui la deformazione può essere
apportata; è ovvio però che le rappresentazioni utili nella pratica dovranno avere deformazioni
contenute entro determinati limiti. È anche intuitivo che, stabilita una maniera di spianare
l'ellissoide su un piano effettuando stiramenti o contrazioni più o meno accentuate in varie
direzioni, due figure uguali sull'ellissoide, ma in posizioni diverse, risulteranno sulla carta
diversamente deformate, in altre parole la deformazione della carta varia da punto a punto; ne
deriva che per caratterizzare la deformazione stessa occorre riferirsi ad elementi infinitesimi; le
deformazioni sulla carta di figure formate da elementi finiti, trasformate delle corrispondenti
sull'ellissoide, si potranno dedurre con operazioni di integrazione.
È opportuno precisare che la rappresentazione dell'ellissoide sul piano è un'operazione che si può
eseguire per via puramente numerica, si determinano cioè coordinate cartografiche, lunghezze di
linee, angoli fra linee, operando esclusivamente sui numeri; questi numeri rappresentano, sulla
base delle unità di misura usate, i valori veri delle grandezze in questione, sia se sono considerate
sull'ellissoide sia se sono considerate nella rappresentazione. La rappresentazione diventa
grafica, cioè una carta, quando, stabilita una determinata scala 1/n, i vari elementi vengono
riportati graficamente; pertanto i numeri che definiscono graficamente, nelle stesse unità di
misura, coordinate, lunghezze di linee, ecc., sono n volte più piccoli; ovviamente la questione
non si pone per gli angoli, mentre per le aree il rapporto fra il valore risultante dal grafico ed il
valore vero, espressi nella stessa unità di misura, è 1/n2.
Per non ingenerare confusioni è quindi necessario stabilire che nel seguito non si prende in
considerazione l'aspetto grafico della rappresentazione, a meno che non vi si faccia
esplicitamente riferimento, dimodoché tutti gli elementi di una rappresentazione saranno definiti
da numeri che si riferiscono a grandezze vere, e non ridotte in scala.
Ciò posto per definire la deformazione in un punto della rappresentazione si potranno prendere in
considerazione due moduli: il modulo di deformazione lineare e il modulo di deformazione
areale; quanto agli angoli si potrà considerare la deformazione di un determinato angolo in
quanto questa, se è presente, dipenderà dall'ampiezza dell'angolo stesso.
Se con dse (fig. 2) si indica un archetto infinitesimo di arco di geodetica sull'ellissoide e con dsr il
corrispondente nella rappresentazione, cioè sul piano cartografico, il rapporto
[1]
definisce il modulo di deformazione lineare; questo rapporto varia sempre da punto a punto
della rappresentazione, perché nel caso contrario si avrebbe una rappresentazione senza
deformazioni.
In particolare il modulo di deformazione dipende anche dalla direzione dell’arco di geodetica.
Dunque il modulo di deformazione lineare può avere nel punto più valori, a seconda della
direzione dell’arco di geodetica infinitesimo uscente dal punto.
Analogamente indicando con dσe (fig. 3) l'area racchiusa da un quadrilatero infinitesimo
nell'ellissoide e con dσr quella racchiusa dal corrispondente quadrilatero sulla rappresentazione si
definisce modulo di deformazione areale il rapporto
[2]
Si consideri un meridiano sull'ellissoide (fig. 4) e la linea (trasformata del meridiano) che gli
corrisponde nella rappresentazione cartografica; un elemento, di linea sull'ellissoide forma un
angolo α (azimut) con il meridiano (cioè la tangente nel punto alla linea definisce un angolo α
(azimut) con la tangente al meridiano nel punto. La trasformata della linea sul pianto cartografico
forma un angolo α' con la linea trasformata del meridiano; la deformazione angolare si può
definire come differenza
[3]
fra le due direzioni; la deformazione di un angolo risulta poi dalla differenza delle deformazioni
che competono alle due direzioni che lo formano.
A questo punto si tenga conto che per α = 0, sulla superficie dell’ellissoide, viene individuata la
direzione lungo il meridiano, che dunque porta al Nord geografico del polo. La direzione α’ = 0
sulla superficie cartografica porta anch’essa verso il Nord geografico, indicato dalla trasformata
del meridiano.
Sul piano carta però, viene a definirsi anche il Nord cartografico che, a meno di particolari
proiezioni come nel caso della proiezione di Mercatore, non coincide con il Nord geografico.
Elementi che definiscono una rappresentazione.
La rappresentazione dell'ellissoide sul piano è definita da due funzioni
[4]
x = x (φ, λ)
y = y (φ, λ)
che stabiliscono una corrispondenza biunivoca fra la posizione di un punto P sull'ellissoide, data
dalle coordinate geografiche φ e λ, e la posizione del corrispondente punto P' sul piano della
rappresentazione, data dalle coordinate piane ortogonali x, y. x, y. Prendono il nome di
coordinate carta e vengono spesso indicate con le lettere Est e Nord. Tale sistema di coordinate
prende il nome di planimetria che dunque consiste in quella relazione tra i punti della superficie
fisica della terra proiettati sulla superfici di riferimento (ellissoide) e rappresentati in un sistema
cartografico piano detto proiezione cartografica. La soluzione completa dei problemi inerenti
una rappresentazione dell'ellissoide sul piano comporta :
a) la definizione delle formule [4] di corrispondenza e delle formule inverse
φ = φ(x, y),
λ = λ (x, y),
b) la definizione dei moduli di deformazione e della deformazione angolare in funzione
delle coordinate geografiche φ e λ, o meglio per gli usi pratici, in funzione delle coordinate x, y,
cioè delle coordinate nel sistema carta;
c) la definizione del reticolato geografico ovvero la determinazione delle linee che sulla
rappresentazione costituiscono le trasformate dei meridiani e dei paralleli ed in particolare la
definizione dell'angolo γ (convergenza del meridiano) che la tangente alla trasformata del
meridiano in un punto forma con la parallela all'asse delle ordinate y.
Abbiamo in precedenza dimostrato come una misurazione di una distanza sulla superficie fisica
della terra, viene rappresentata (con i dovuti ambiti di applicazione) con un arco di geodetica
P1P2 (fig. 5) sull'ellissoide. Tale arco viene dunque rappresentato in una linea chiamata
trasformata della geodetica, in generale costituita da un arco di curva che congiunge i punti P'1
P'2 della rappresentazione, che è distinto dalla corda che collega i due punti P'1 P'2 ;
d) la natura geometrica della trasformata di un arco di geodetica per poter definire
e) gli angoli ε1, ε2 che il segmento rettilineo che congiunge P'1 con P'2 forma con le
tangenti alla trasformata
f) il rapporto l'/l fra la lunghezza della congiungente rettilinea (corda) i punti P'1 e P'2 e la
lunghezza l dell'arco di geodetica.
Determinazione dei moduli di deformazione.
I moduli di deformazione in un punto della rappresentazione e la deformazione di un
angolo si possono esprimere in funzione delle quattro derivate parziali delle [4] rispetto a x e y.
Si consideri (fig. 6) un elemento lineare infinitesimo dse sull’ellissoide, i due elementi di
meridiano ρdφ e di parallelo rdλ passanti per i suoi estremi e l'azimut a di dse; dal triangolo
infinitesimo così formato, e che si può considerare piano perché infinitesimo, si ha
[5]
Trasformate secondo le [4] le coordinate estreme di questo elemento si ottengono due punti
infinitamente vicini della rappresentazione e quindi un elemento lineare dsr che, con riferimento
agli assi ortogonali x, y, è dato da
[6]
Dalle [4] si ha poi
[6']
per cui quadrando e sostituendo nella [6] si ha
[6"]
avendo posto
[7]
Dal triangolo infinitesimo di figura 6 si ha inoltre
[8]
per cui ricavando dφ e dλ, sostituendoli nella [6"] e dividendo per dse2 si ha il quadrato del
modulo di deformazione
[9]
che si può scrivere più semplicemente ponendo
[10]
[11]
Ovviamente e* e g* rappresentano i quadrati dei moduli di deformazione rispettivamente
secondo la direzione della trasformata del meridiano e secondo la direzione della trasformata del
parallelo.
Poiché e*, f* e g* sono funzione solo della φ e λ del punto si può constatare che in generale il
modulo di deformazione varia al variare dell’azimut α; se a partire dal punto si riportano nelle
varie direzioni dei segmenti inversamente proporzionali ai moduli di deformazione, gli estremi di
questi segmenti si trovano su un ellisse, chiamato ellisse delle deformazioni, le cui caratteristiche
possono essere ricavate dalla [11].
DA LEGGERE – DIMOSTRAZIONE NON RICHIESTA
Per trovare l'espressione del modulo di deformazione areale si consideri (fig. 7) un
quadrilatero formato da due meridiani e due paralleli infinitamente vicini; poiché tali linee sono
ortogonali l'area del quadrilatero infinitesimo è
[12]
Sulla rappresentazione all'elemento di meridiano corrisponde un elemento dm=ρdφ√e*, ed
all’elemento di parallelo un elemento dp=rdλ√g*; l'area del quadrilatero infinitesimo sulla
rappresentazione è pertanto
[13]
dovendosi ammettere,
in generale, che le trasformate
dei meridiani e dei paralleli uscenti da un punto formino fra di loro un angolo ω diverso da π/2.
Pertanto i1 modulo di deformazione areale è
[14]
È necessario però esprimere il sen ω in funzione delle derivate delle [4] rispetto φ e λ; in analogia
alla formula che fornisce l’angolo di direzione di un segmento in funzione delle differenze delle
coordinate degli estremi, e tenuto conto che il triangolo è infinitesimo, l'angolo di direzione θm
dell'elemento di meridiano è dato dalla
e ricavando dx e dy dalle [6'] con d λ = 0
[15]
e analogamente per l'angolo di direzione dell'elemento di parallelo, ricavando dalle [6'] dx e dy per
dφ = 0,
[16]
per cui
e poiché
[17]
e infine
[18]
È anche utile ricavare dalla [17], con semplici passaggi,
[19]
Sia α l'azimut dell'elemento dse sull'ellissoide, ovvero l’angolo che questo forma con il
meridiano, e sia α' l'angolo che il corrispondente elemento dsr forma con la trasformata del
meridiano (fig. 4); se con dp e dm si indicano le componenti di dsr secondo le trasformate del
parallelo e del meridiano si ha
e dalle
per cui sostituendo
Tenuto poi conto che (v.
si ha
[20]
[3])
che fornisce l'espressione della deformazione angolare.
Classificazione delle rappresentazioni in base alle caratteristiche delle deformazioni.
La rappresentazione piana dell'ellissoide comporta comunque delle deformazioni, ma si possono
definire delle rappresentazioni chiamate isogone o conformi per le quali il modulo di deformazione
lineare pur variando da punto a punto non varia, in uno stesso punto, al variare della
direzione dell'elemento; ne deriva che a meno di infinitesimi di ordine superiore le figure
infinitesime sul piano risultano simili alle corrispondenti sull'ellissoide, con il rapporto di
similitudine che varia però da punto a punto; in questo caso è evidente che l'angolo formato da
due elementi infinitesimi sull'ellissoide, ovvero l'angolo fra le tangenti a due linee uscenti da un
punto, risulta uguale all'angolo formato fra le tangenti alle trasformate di tali linee sulla
rappresentazione; nelle carte conformi la deformazione angolare è pertanto nulla in ogni punto.
Nelle rappresentazioni equivalenti si conserva invece costante il rapporto fra le aree di due
quadrilateri infinitesimi corrispondenti, è cioè costante ed uguale all'unità il modulo di
deformazione areale.
Si chiamano infine afilattiche le rappresentazioni in cui sono presenti tutti i tipi di
deformazione ognuno dei quali e però mantenuto nei limiti più ristretti possibili. Ogni tipo di
rappresentazione, e la carta che ne deriva, presenta dei vantaggi per uno o più specifici usi, ad
es. le carte isogone sono particolarmente utili per la navigazione, mentre le carte equivalenti
sono utili per le mappe catastali che riportano i confini delle proprietà fondiarie, e devono quindi
permettere la corretta valutazione delle superfici.
Le rappresentazioni come proiezione dei punti dell'ellissoide su superfici
sviluppabili.
Tipi di proiezione.
Le relazioni [4] che definiscono una rappresentazione possono essere dedotte eseguendo da un
opportuno centro la proiezione dei punti dell’ellissoide su una superficie sviluppabile
convenientemente disposta e determinando poi le deformazioni della rappresentazione sulla
superficie spianata; ma le carte, nate appunto come proiezioni geometriche, furono rese
indipendenti da questo carattere puramente proiettivo (proiezioni modificate) perché avessero, in
relazione ad usi specifici, determinate caratteristiche.
È opportuno infatti procedere in senso contrario, e cioè derivare le equazioni della
rappresentazione dalle caratteristiche di deformazione che si vogliono realizzare; ciò viene fatto
comunemente sulla base di una teoria matematica delle rappresentazioni, i cui elementi sono
esposti nel § 3 ; è però conveniente per il carattere intuitivo delle proiezioni, e per dare una
classificazione delle rappresentazioni, esaminare la genesi di una rappresentazione come
proiezione, nell'ipotesi semplificativa che la superficie di riferimento sia sferica.
Le superfici sviluppabili su cui eseguire la proiezione sono : il piano, il cilindro ed il cono (fig. 8
a); si hanno nel primo caso le proiezioni prospettiche, negli altri due casi le proiezioni per
sviluppo; utilizzando il piano sii hanno, a seconda di dove si dispone il punto di proiezione P (v.
fig. 8 b) le proiezioni centrografiche, stereografiche, scenografiche e ortografiche.
Nelle proiezioni per sviluppo il cono od il cilindro si dispongono tangenti o secanti alla superficie
dell'ellissoide, ed il punto di proiezione è in generale il centro dell'ellissoide o un punto all'infinito
in direzione normale alla linea di tangenza.
A seconda poi dell'orientamento dell'ellissoide rispetto al centro e rispetto alla superficie di
proiezione, si hanno le proiezioni polari (piano tangente al polo), azimutali (piano tangente in un
punto qualsiasi), meridiane (piano tangente in un punto dell'equatore), e così via.
Per rappresentare vaste zone della superficie dell'ellissoide si adottano le rappresentazioni
policentriche, si suddivide cioè la zona da rappresentare in porzioni, per ognuna delle quali si
sceglie un conveniente punto e una conveniente superficie di proiezione; sorgono in tal caso dei
problemi per le corrispondenze fra i punti ai confini di ogni porzione.
Proiezione stereografica polare.
(DIMOSTRAZIONE RICHIESTA CON ESCLUSIONE DEL CALCOLO DEI COEFFICIENTI DI
DEFORMAZIONE)
Nella rappresentazione stereografica polare i punti dell'ellissoide sono proiettati su un piano
tangente ad un polo, con il centro di proiezione sull'altro polo (fig. 9); si assume l'asse y della
rappresentazione nella direzione in cui si proietta il meridiano fondamentale.
Sia A un punto sulla superficie di riferimento di coordinate φ e λ ed A' la sua proiezione; risulta (fig.
9 a)
e pertanto le equazioni della rappresentazione sono
[21]
Facendo il rapporto delle due equazioni si elimina la coordinata φ e risulta
x = y tang λ
per cui con λ = cost. ha l'equazione di una retta; pertanto i meridiani sono rappresentati da
rette uscenti dall'origine delle coordinate cartografiche (fig. 9 b).
Eliminando λ si ha
e per φ= cost. l'equazione di un cerchio; i paralleli si trasformano pertanto in circonferenze
concentriche con il centro nell'origine degli assi (fig. 9 b) ; i raggi di queste circonferenze sono
evidentemente maggiori dei raggi dei corrispondenti paralleli ed in particolare all'equatore
corrisponde una circonferenza di raggio 2R.
Il modulo di deformazione mm lungo la trasformata del meridiano si può ricavare
direttamente determinando per questa linea le espressioni di dse e dsr', si ha
e per dsr
per cui, trascurando il segno -, in evidente relazione con il fatto che O A' diminuisce quando φ
aumenta,
questo risultato si può ricavare direttamente dalla [11] in quanto, eseguendo le derivate delle [21] rispetto a φ,
si ricava
Inoltre, eseguendo le derivate delle [21] rispetto a λ,
che sì può trasformare come segue
Il modulo di deformazione lungo il parallelo è pertanto uguale a quello lungo il meridiano: la
proiezione è infatti conforme; il modulo di deformazione vale 1, ovvero non si ha deformazione
nell'intorno del polo, ed arriva a 2, ovvero le dimensioni di un elemento lineare sulla rappresentazione sono doppie del corrispondente sull'ellissoide, sulla circonferenza che rappresenta
l'equatore.
Proiezione cilindrica equivalente di LAMBERT.
(DIMOSTRAZIONE NON RICHIESTA)
Nella proiezione cilindrica equivalente di LAMBERT (fig. 10) il cilindro è disposto tangente
all'equatore, ed il punto proiettante, che è variabile, è il punto all'infinito del piano del meridiano
del punto che si sta proiettando in direzione ortogonale all'asse del cilindro; risulta quindi
x = Rλ
[22]
y = R sen φ
Pertanto le trasformate dei meridiani (fig. 10 b) sono rette parallele all'asse y, ed i paralleli (φ =
cost) si proiettano in rette parallele all'asse x, aventi una distanza da questo proporzionale a sen
φ.
Dalla [18] e in base alle [22] si ricava che il modulo di deformazione areale è
il che dimostra che la rappresentazione è equivalente.
Per sua natura la rappresentazione di Lambert viene dunque soprattutto utilizzata nella
rappresentazione di paesi caratterizzati da uno sviluppo in particolare in direzione Est-Ovest,
quali ad esempio la Turchia.
Proiezione conica ordinaria o di TOLOMEO.
(DIMOSTRAZIONE NON RICHIESTA)
Per ottenere questa proiezione che risulta afilattica, ma che trova qualche applicazione, si
dispone (fìg. 11) il cono tangente ad un parallelo di latitudine λ e si proiettano i meridiani dal
centro della sfera, che si trasformano così nelle generatrici del cono ; i paralleli invece non si
ottengono per proiezione, ma vengono riportati lungo le sezioni del cono normali all'asse, e ad
una distanza reciproca uguale all'arco di meridiano compreso fra di essi (in fig. 11 la distanza
P'Q' è uguale all'arco PQ); la proiezione è in effetti modificata.
L'angolo θ fra la trasformata del meridiano di riferimento e quella di un meridiano generico non
è uguale alla differenza di longitudine λ, ma si ha
θ = λ sen φo
Infatti la lunghezza do della generatrice del cono compresa fra il vertice ed il punto di tangenza è
do = R cot φo, e l'arco di parallelo corrispondente alla differenza di longitudine λ ha una
lunghezza lo = R cos φo λ ; poiché nello sviluppo del cono sul piano sia do che lo conservano le
loro dimensioni risulta
L'angolo al vertice del settore circolare corrispondente al cono sviluppato è quindi minore di 2π.
Il parallelo alla latitudine φ si trasforma in una circonferenza di raggio do = R cot φo, mentre, per
la maniera con cui i paralleli vengono riportati sul cono, il parallelo alla latitudine φ si trasforma
in una circonferenza di raggio p = R cot φo - R (φ - φo).
Pertanto posto a = R (cot φo + φo) e b = sen φo si ha p = a - R φ, θ = bλ e le equazioni della carta
si scrivono
[23]
Equazioni differenziali delle rappresentazioni.
(PARTE OPZIONALE NON RICHIESTA)
Equazioni differenziali dette rappresentazioni conformi.
In una rappresentazione conforme la deformazione angolare deve essere nulla in ogni punto e per
ogni angolo e pertanto deve essere (v. [20]) δ = O e quindi
ovvero
che si scrive per esteso
[24]
Poiché la deformazione angolare è nulla le trasformate dei meridiani e i paralleli si incontrano ad
angolo retto e si ha cos ω = O, ovvero, per la [19], f = 0; quest'ultima relazione scritta per esteso
è
[25]
È opportuno però trasformare le [24] e [25] introducendo in luogo della coordinata curvilinea φ
la coordinata curvilinea u, chiamata latitudine ridotta e legata a φ dalla relazione
ovvero
Questo integrale si può facilmente eseguire e si ottiene
[26]
dove e é la radice dell'eccentricità; u si definisce pertanto in funzione della sola φ. Il sistema di
coordinate sull'ellissoide u, A è chiamato isotermo perché consente di esprimere il quadrato
dell'elemento lineare dse2 (v. [5]) in modo che i coefficienti di du e dλ siano uguali, e cioè
Risulta quindi
per cui la [24] si trasforma in
[27]
e la [25] in
[28]
che si può anche scrivere
[29]
Dalla [27] mettendo ili evidenza al primo membro (dy/du)2 ed al secondo membro (dx/dλ)2, e
tenendo conto della [29] si ha
da cui si può trarre che deve essere
in questa relazione è opportuno non prendere in considerazione il segno - perché se si adottasse
tale segno il modulo di deformazione superficiale delle carte conformi (v. [18]) risulterebbe
negativo, ovvero ad un quadrilatero infinitesimo di area dσe costruito con incrementi positivi di u
e di λ corrisponderebbe un valore negativo dell'area dσr corrispondente sulla rappresentazione.
Tenuto conto del risultato [30] si ricava poi dalla [29] che deve essere
[31]
In definitiva quindi le equazioni differenziali delle rappresentazioni conformi sono
[32]
poiché le rappresentazioni conformi sono definite da un sistema di equazioni alle derivate
parziali le soluzioni si possono trovare a meno di funzioni arbitrarie, il che vuol dire che si
possono avere infinite rappresentazioni conformi; i vari tipi di carte si ottengono quindi
imponendo condizioni al contorno, stabilendo cioè come si vuole che si trasformi un meridiano
od un'altra linea, o meglio quali valori deve assumere il modulo di deformazione lineare lungo la
trasformata di una determinata linea.
Si può verificare facilmente tenendo presente la [24] e la condizione f = 0 che nelle
rappresentazioni conformi il modulo di deformazione lineare [11] è indipendente dall'azimut α;
risulta infatti
Uso delle funzioni di variabile complessa per definire le rappresentazioni conformi.
(NON RICHIESTA)
Le equazioni [32] coincidono con le condizioni di omogeneità di CAUCHY e cioè con le
condizioni necessarie e sufficienti affinché la variabile complessa y + ix si possa definire quale
funzione della variabile complessa u + iλ.
Tutte le rappresentazioni conformi hanno quindi equazioni che possono essere ricavate dalla
relazione
[33]
dove la funzione f è arbitraria: l'esistenza, ovvero la possibilità, del legame funzionale fra le due
variabili complesse garantisce la conformità della rappresentazione.
La [33] può essere sviluppata in serie di TAYLOR con termini immaginari assumendo come
incremento la quantità immaginaria iλ con λ espresso in radianti; si ha
[34]
e, tenuto conto che
[35]
Uguagliando le parti reali ed i coefficienti dell'immaginario si ha
[36]
Tutti i tipi di rappresentazioni conformi possono quindi essere ottenuti particolarizzando la
funzione f(u) e conseguentemente, tramite le derivate di questa funzione, tutti gli altri termini dei
secondi membri delle [36].
Da notare che particolarizzare la f(u) equivale (v. anche § 4) a stabilire a quale valore della y
deve corrispondere il valore della latitudine per ogni punto del meridiano fondamentale (λ = 0), o
in altre parole a stabilire come si deve trasformare tale meridiano.
Il numero delle rappresentazioni conformi è teoricamente infinito, ma in pratica il numero di
rappresentazioni semplici e che si adattano bene a rappresentare cartograficamente una regione
del globo terrestre è molto limitato.
Equazione differenziale delle rappresentazioni equivalenti.
(NON RICHIESTA)
Nelle rappresentazioni equivalenti il modulo di deformazione areale deve essere costante ed
uguale a 1; deriva quindi dalla [18] che le equazioni delle rappresentazioni equivalenti devono
soddisfare l'equazione differenziale alle derivate parziali
[37]
o, utilizzando le coordinate isometriche u, λ,
[37']
Si può facilmente dimostrare che non vi può essere una rappresentazione che sia al tempo stesso
equivalente e conforme, non possono cioè essere definite delle funzioni [4] che soddisfino
contemporaneamente le equazioni [32] e l'equazione [37'].
LA RAPPRESENTAZIONE CONFORME DI GAUSS.
Introduzione
La rappresentazione conforme di GAUSS viene descritta in maniera più ampia perché è quella
usata per la cartografia ufficiale italiana, e inoltre perché calcoli e compensazioni di reti
trigonometriche di qualsiasi estensione sull'ellissoide possono essere ridotti, mediante l'uso
di questa rappresentazione, a calcoli e compensazioni di reti piane evitando dunque di dover
ricorrere a complessi calcoli sulla superficie di riferimento ellissoidica; così si hanno infatti delle
notevoli semplificazioni nelle formule e una maggiore facilità di calcolo.
La proiezione di Gauss è detta anche “cilindrica inversa” perché la forma del reticolato
geografico è somigliante a quella che si otterrebbe proiettando la Terra dal suo centro su un
cilindro tangente lungo il meridiano 0°;
Figura 1: Schema della proiezione cilindrica trasversa
si ricorda però che la trasformazione non è affatto di tipo proiettivo ma che tale scelta descrittiva
è solo per finalità didattiche (in questa dispensa si è deciso infatti di NON descrivere le equazioni
di trasformazione di Gauss).
Il risultato mostrato nella figura 2 mostra l’aspetto del reticolato geografico ottenuto applicando
la proiezione di Gauss ad una sfera (il reticolato ottenuto da un ellissoide risulta poco differente).
Né per φ=cost. (equazione del parallelo) e per λ=cost. (equazione del meridiano) si ottengono
dele curve considerate nella geometria analitica.
I paralleli sono rappresentati da curve di forma abbastanza simile a settori di ellissi, mentre i
meridiani si approssimano a sinusoidi. L’equatore diventa una retta, mentre il meridiano centrale
(in cui, nella semplificazione grafica di ellissoide tangente ad un cilindro traverso, l’ellissoide
traverso risulta tangente al cilindro) diventa anch’esso una retta. Nella figura 3 si osserva come
un meridiano scelto come centro per la proiezione di Gauss, diventa nel fuso corrispondente un
segmento rettilineo.
Figura 11: Esempio di proiezione conforme di Gauss.
Figura 3: Lo schema dell’ellissoide con il cilindro inverso tangente ad un meridiano. Esempio di Fuso ottenuto
tramite la trasformazione di Gauss
Figura 4: Se si limita l’estensione in longitudine della trasformazione si ottiene un fuso di dimensioni
limitate rispetto alla 2, dove invece all’allontanandosi dalla trasformata del meridiano tangente
si osservano, anche intuitivamente, deformazioni sempre più importanti.
La proiezione di Gauss è denominata anche con il termine “cilindrica inversa” appunto
poiché la forma del reticolato geografico, che si ottiene sulla carta applicando le formule
di trasformazione di Gauss, è assai simile a quella che si otterrebbe proiettando
l’ellissoide dal suo centro su un cilindro tangente lungo un meridiano, denominato
meridiano centrale della proiezione o del fuso; è però opportuno ricordare che la
trasformazione non è in realtà di tipo proiettivo. In inglese tale trasformazione prende
anche il nome di “Transverse Mercator”, cioè proiezione traversa di Mercatore.
La Commissione Geodetica Italiana, nel 1940, decide di adottare l'ellissoide
internazionale di Hayford quale superficie di riferimento per le operazioni geodetiche
e cartografiche sul territorio nazionale italiano. II centro di emanazione della rete
geodetica e di orientamento dell’ellissoide fu stabilito presso l’osservatorio
astronomico di Roma Monte Mario, a cui furono attribuiti i seguenti valori (DA
RICORDARE), determinati con operazioni di astronomia geodetica.
φ = 41° 55’ 25’’, 51
λ = 0° (12° 27’ 08’’, 4 Est di Greenwich)
Azimut convenzionale della direzione verso il Monte Soratte posto a Nord di Roma
pari a :
α = 6° 35’00’’, 88
In questo modo (operazione denominata di orientamento dell’ellissoide) l'ellissoide
e stato assunto tangente al geoide nel punto suddetto o, come suole dirsi, e stato
“orientato” a Roma Monte Mario. II rilievo terrestre calcolato sulla superficie
dell'ellissoide e in definitiva una proiezione conforme di quello eseguito sulla superficie
fisica e tale proiezione, per essere le due superfici ovunque applicabili entro 1'ordine di
approssimazione delle misure geodetiche, e anche equivalente; vengono, cioè, conservati
sia gli angoli che le distanze.
Nel 1941 fu poi deciso di usare la proiezione di Gauss per effettuare i calcoli
geodetici sul piano anziché sulla superficie dell'ellissoide. Ciò ovviamente permette di
semplificare enormemente i calcoli, non richiedendo più l’effettuazione di calcoli su
superfici non piane.
In un primo tempo (v. ad es. Boaga, 1942) fu stabilito di adottare fusi di 3° di
ampiezza onde limitare lo sviluppo delle formule e facilitare il calcolo. Furono cosi istituiti
cinque fusi con meridiano centrale alle longitudini -6°, -3°, 0°, +3°, +6° da M. Mario,
rispettivamente. Poiché in ogni fuso la massima differenza di longitudine dal
meridiano centrale era di 1°30', il modulo di deformazione raggiungeva al massimo il
valore di circa 1,0002, per cui non fu introdotto il fattore di scala. Ovviamente
essendo i meridiani centrali tangenti all’ellissoide, questi ultimi venivano sviluppati
in vera lunghezza. Cioè la lunghezza del meridiano centrale coincideva, a parte i
fattori di scala di rappresentazione, con la lunghezza della sua trasformata.
Per ricavare dalle coordinate dei punti le mutue relazioni di posizione e necessario che esse siano riferite allo stesso sistema di assi; tra le coordinate di punti
appartenenti a fusi diversi non vi è, perciò, alcuna relazione.
E’ allora necessario, per permettere di operare efficacemente nell’utilizzo pratico
delle carte, che per una ragionevole estensione nelle zone di separazione tra fusi
adiacenti le coordinate dei punti siano calcolate in entrambi i fusi, in modo da
permettere l’esecuzione dei calcoli sia con punti situati ad Ovest che con punti situati
ad Est. Tali zone vengono denominate zone di sovrapposizione. Nel sistema sopra
detto erano quindi necessarie quattro zone di sovrapposizione con una estrema
complicazione dei calcoli.
Gli studi teorici e la realizzazione pratica delle tavole per i calcoli furono opera
principalmente del Prof. Giovanni Boaga (n. 1902, m. 1961), ed in riconoscimento di
ciò la Commissione Geodetica Italiana stabili che la proiezione venisse denominata
Proiezione di Gauss-Boaga. Nel 1948 fu stabilito di adottare la proiezione di Gauss
anche per la cartografia. In considerazione del fatto che l’Italia si estende per poco
più di 12° in longitudine e tenendo conto di quanto era in via di realizzazione anche
in numerosi altri Stati, fu deciso di adottare, e tuttora vige tale scelta, due soli fusi di
6° di ampiezza con meridiani centrali 9° e 15° ad Est di Greenwich (cui
corrispondono le longitudini, se riferite al meridiano di riferimento italiano a Monte
Mario, rispettivamente di -3°27'08",4 e +2°32'5l",6).
Figura 14 : (Fonte Prof. Galetto)
Figura 15: (Fonte Prof. Galetto) I due sistemi cartografici del sistema cartografico nazionale
Si decise anche di introdurre il fattore di riduzione del meridiano centrale, pari a
m0 = 0,9996 al fine di contenere il modulo di deformazione che cosi assume il valore
massimo di circa 1,0004.
I due fusi sono denominati fuso Ovest e fuso Est e furono adottati come falsa
origine per le coordinate E i valori 1500 km e 2520 km rispettivamente, cosi che la
prima cifra della coordinata E indicasse anche il fuso di appartenenza. L’utilizzo del
Falso Est consiste nel sommare alla coordinata Est del sistema cartografico (che
dunque andrebbe ad associare al meridiano un valore Est pari a zero) un valore di
traslazione.
L’effetto di sommare ad ogni coordinata Est un fattore di traslazione,
denominato appunto Falso Est, permette ad esempio di evitare la presenza di valori
negativi in cartografia, con il risultato di semplificare notevolmente i calcoli sul
piano cartografico di Gauss.
Figura 16a: I fusi della proiezione di Gauss Boaga
Figura 16b: I fusi della proiezione di Gauss Boaga
Se inoltre il Falso Est applicato al fuso fosse per la cartografia italiana il
medesimo per entrambi i fusi, si avrebbe l’effetto che le coordinate di un punto non
identificherebbero univocamente un punto sul territorio nazionale, ma bensì due.
Scegliendo oculatamente i valori di Falso Est per i due fusi nazionali (Est e Ovest),
ed in particolare di 1500 km per il fuso Ovest e di 2520 Km per il fuso Est, si è
invece ottenuto l’effetto che semplicemente osservando la coordinata E si comprende
l’appartenenza del punto (se 1 al fuso Ovest se 2 al fuso Est), evitando inoltre la
possibilità di avere punti diversi con la medesima coordinata.
La zona compresa tra le longitudini -0°30' e 0° da Monte Mario (11°57'08",4 e
12°27'08",4 da Greenwich) e stata stabilita come zona di sovrapposizione ed in essa
le coordinate dei punti vengono determinate in entrambi i fusi.
Anche per questo sistema di rappresentazione e stato conservato il nome di
proiezione di Gauss-Boaga.
La proiezione UTM
Come già accennato la proiezione di Gauss e denominata nei Paesi anglosassoni
proiezione trasversa di Mercatore o UTM (Universal Transverse Mercator
Projection).
Durante e dopo la seconda guerra mondiale molte nazioni pensarono di introdurre
una rappresentazione conforme nella propria cartografia, ed il maggior favore fu
incontrato appunto dalla proiezione di Gauss. Tra le ragioni che inducevano a
preferirla, non ultima e che i fusi in tale proiezione sono identici 1'uno all'altro, per
cui le tavole costruite per il calcolo di un fuso possono essere usate per tutti gli altri.
Fu, anche, sentita 1'esigenza di uniformare per quanto possibile le cartografie. La
soluzione che incontro il maggior favore fu 1'adozione del fuso di 6° di ampiezza,
con fattore di contrazione del meridiano centrale pari m0 = 0,9996. Si trovò inoltre
l’accordo per un taglio standard.
Tutta la superficie terrestre fu suddivisa in 60 fusi, numerati da 1 a 60 in senso
antiorario a partire dall'antimeridiano di Greenwich. Le longitudini dei meridiani
centrali risultano, cosi, -177°, -171°, .... -3°, + 3°, + 9°, + 15° .... + 171°, + 177°.
I due fusi in cui ricade l’Italia, che peraltro erano gia stati stabiliti in modo
indipendente, hanno in questo sistema i numeri 32 e 33. La falsa origine per le
coordinate E è stata stabilita pari, per tutti i fusi, ed è pari al valore di 500 km.
L'estensione in latitudine è da +80° a -80°.
Questo sistema di proiezione e indicato con la sigla UTM (Universal Transverse
Mercator) ed e stato adottato, oltre che dall' Italia, da un grande numero di nazioni in
tutto il mondo.
Figura 17: I 60 fusi in cui è suddiviso l’intero globo terrestre
Il sistema di riferimento unificato europeo (ED 50)
La rete geodetica italiana (e conseguentemente le coordinate di tutti i punti
trigonometrici e la cartografia che e basata su di essi) e riferita all' ellissoide
internazionale orientate a Roma M. Mario (definizione 1940), che costituisce un
sistema nazionale di riferimento. Dunque il Datum RM40 corrisponde all’ellissoide
di Internazionale di Hayford orientato a Monte Mario e materializzato nel territorio
da una rete di vertici di primo ordine e di ordine inferiore. Analogamente, ogni Stato
ha un proprio sistema nazionale di riferimento, per cui le coordinate di punti
appartenenti a Stati diversi non hanno alcuna relazione tra loro.
Figura 18: La rete geodetica italiana
Dopo la fine della seconda guerra mondiale fu sentita 1'esigenza di unificare i
sistemi di riferimento e le cartografie, e nell'ambito dell'Associazione Internazionale di
Geodesia molti Stati europei concordarono 1'adozione della proiezione UTM. La
diffusione delle macchine calcolatrici elettroniche permetteva di affrontare calcoli di
mole altrimenti impensabile, per cui fu deciso di procedere ad un calcolo di
compensazione di insieme delle reti geodetiche europee onde riferire le coordinate
dei punti ad un unico sistema. Fu scelto come superficie di riferimento 1'ellissoide
internazionale di Hayford ed il centro di emanazione fu stabilito a Potsdam, ma
1'orientamento dell'ellissoide non fu tale da annullare in quel punto la deviazione
della verticale, bensì fu anche li lasciata una deviazione residua in modo da
minimizzare le deviazioni della verticale nelle altre reti: fu, cioè, assunto quello che
viene detto orientamento medio europeo. Fu anche stabilito di contare le longitudini
dal meridiano di Greenwich.
Figura 19: I diversi Datum di UTM
II calcolo di compensazione fu eseguito su macchine IBM dal Coast and Geodetic
Survey e dallo Army Map Service statunitensi; il sistema di riferimento fu denominate « European Datum 1950 », e viene indicate con la sigla ED 50. Le Nazioni che
avevano aderito a questa iniziativa decisero di riferire la propria cartografia al nuovo
sistema, ed in tal modo le carte di Paesi diversi costituiscono un insieme omogeneo.
II sistema europeo fu collegato attraverso 1' Egeo con 1'Africa e con 1'Asia, vari
sistemi africani furono collegati tra loro, ed una catena meridiana prevalen-temente
di trilaterazione fu spinta fino all'estremità meridionale dell'Africa ; la unificazione
delle cartografie e stata cosi estesa anche a parte di quei continenti.
Dunque, con particolare riguardo all’Italia, la proiezione UTM, che utilizza la
proiezione di Gauss con la contrazione del meridiano centrale pari a 0,9996, sfrutta
un datum denominato ED50 prima descritta. Ciò comporta che tra il sistema RM40 e
il sistema ED50 non sussista unicamente un fattore di traslazione spaziale dovuto ad
esempio ai differenti Falsi Est, ma sussistano anche delle deformazioni dovute al
fatto che le reti ED50 e RM40 sono assai differenti; la prima si sviluppa sull’intero
territorio europeo, la seconda unicamente a livello nazionale.
Figura 20: Le dure figure mostrano l’andamento dello scostamento tra UTM ED50 e RM40 in latitudine e
longitudine
L’esecuzione dei calcoli sul piano di Gauss
Il modulo di deformazione lineare per la carta di Gauss vale:
che può essere scritto anche in funzione delle coordinate carta:
Il medesimo coefficiente calcolato per un segmento di corda (si ricorda che la corda tra
due punti è approssimabile alla lunghezza della trasformata della geodetica), si ottiene:
Che diventa:
Valida fino a corde della lunghezza di circa 30km.
Come già accennato la Carta di Gauss viene usata per fusi di 6° di ampiezza; ai bordi, le
deformazioni vanno per l'Italia dal 6 al 9 circa per diecimila. Poiché tale valore massimo
di circa 9 m su 10 km) è superiore all’errore di graficismo, si è deciso di moltiplicare le
coordinate E e N per il coefficiente 0,9996. Ciò equivale a sostituire idealmente il cilindro
tangente al meridiano centrale con un cilindro secante, se si pensa a tale derivazione
geometrica della carta; si avrà cosi ai bordi del fuso una dilatazione massima (per
1'Italia) di circa lo 0,45%o. La deformazione sara nulla in corrispondenza delle due linee
di affioramento del cilindro (cosiddetti meridiani standard) mentre al loro interno vi sarà
contrazione.
Inoltre, come già accennato, al fine di avere solo E positive, si usa aggiungere alle ascisse
un valore intiero in chilometri: esso e di 500 km per la rappresentazione UTM-ED50,
mentre è invece di 1.500 e rispettivamente 2.520 km per i due fusi italiani nella carta di
Gauss-Boaga (Sistema Nazionale Italiano – RM40). Ecco dunque che si ottiene per il
coefficiente di deformazione lineare della trasformata di un arco di geodetica (equivalente
alla corda), un valore pari:
dove con E*i= 0,9996 Ei sono indicate le ascisse cartografiche depurate dei valori di falso
Est già indicati (500, oppure 1.500 e 2.520 km). Ovviamente anche il coefficiente di
deformazione puntuale si modifica in:
che, per latitudini italiane medie, viene, in un ambito limitato (cioè nel campo topografico),
semplificato ancora in:
Il cosiddetto piano di Gauss viene utilizzato in sostituzione dei calcoli geodetici sulla
superficie dell’ellissoide. Questi si riducono allora a semplici operazioni sul piano, con
1'ausilio della geometria analitica e della trigonometria piana. I risultati vanno però
opportunamente corretti tenendo conto per le distanze del modulo md.
Per gli angoli è necessario tenere in conto che si conservano, essendo la trasformazione
conforme, gli angoli tra le geodetiche e gli angoli tra le trasformate delle geodetiche; tale
angolo non coincide però con l’angolo tra le corde, che deve essere opportunamente
corretto dell’angolo di riduzione alle corde.
L'angolo θ fra la trasformata di due geodetiche e pari all'angolo θ ' fra le corde
corrispondenti, al netto delle riduzioni che per distanze di qualche decina di chilometri nel
caso del cilindro secante sono date da:
Infine, tener conto del fatto che le trasformate dei meridiani sono convergenti rispetto
alla direzione dell’asse delle N, cioè del Nord cartografico. Tale angolo viene denominato
convergenza del meridiano e vale:
Si ponga attenzione al valore ∆λ che esprime la differenza di longitudine rispetto al
meridiano centrale del fuso, dunque al meridiano di 9° Est di Greenwich per il fuso
Ovest e 15° Est di Greenwich per il fuso Est.
Figura 21: angoli di correzione alle corde
Figura 22: angolo di convergenza del meridiano
Conversioni tra sistema cartesiano geocentrico e sistema geografico
Figura 23: angolo di convergenza del meridiano
Tra il sistema cartesiano geocentrico e il sistema geografico sono presenti le seguenti
relazioni di passaggio:
Figura 24: angolo di convergenza del meridiano
Dove con N si intende la Gran Normale.
Passaggio da coordinate geografiche a coordinate gaussiane (Hirvonen)
Valgono le seguenti relazioni:
Si faccia attenzione alla particolare notazione che in questa relazione prendono x e y,
dirette rispettivamente lungo N e lungo E. Per l’ellissoide internazionale di Hayford i
coefficienti A valgono:
e gli elementi dell’ellissoide :
Passaggio da coordinate gaussiane alle coordinate geografiche (Hirvonen)
Per il passaggio dalle coordinate gaussiane alle coordinate geografiche valgono le
seguenti relazioni dovute anch’esse a Hirvonen:
Domande ed esercizi tratti da temi di esame
Esercizio 1 (appello 17 settembre 2003)
Il progetto di una galleria fornisce le coordinate sul piano di Gauss-Boaga dell’ingresso
e dell’uscita della stessa. Viene data la quota rispetto alla superficie di riferimento di
ingresso e di sbocco, oltre alle coordinate, sempre sul piano di Gauss-Boaga, di un terzo
punto di riferimento per la direzione d’asse della galleria
DETERMINARE
•
La lunghezza reale della galleria;
•
L’angolo zenitale della direzione d’asse dall’imbocco, assunto un coefficiente di
rifrazione pari a 0,15 (vedi paragrafo Livellazione trigonometrica):
•
L’angolo orizzontale della direzione d’asse, misurato in senso orario, compreso fra
le direzioni definite dal punto di ingresso (punto 1) e dal punto di riferimento (punto
P), dal punto di ingresso (punto 1 ) e dal punto di sbocco (punto 2)
DATI:
Il raggio della sfera locale (superficie di riferimento) è assunto pari a 6370 Km
Punto 1 (inbocco galleria):
N1 = 5084660,35 metri
E1 = 1478514,68 metri
H1 = 1230,12 metri
Punto 2 (sbocco galleria):
N2 = 5102127,48 metri
E2 = 1479621,30 metri
H2 = 1650,25 metri
Punto P (pilastro segnale di
rifermento):
NP = 5085550,22 metri
EP = 1477910,54 metri
Esercizio 2
Si indichi l'espressione del modulo di deformazione lineare m12 per la trasformata di un
tratto finito di geodetica (12) sulla carta di Gauss, esplicitando la dipendenza dei termini
in funzione delle coordinate cartografiche e geografiche dei punti e delle caratteristiche
dell'ellissoide.
Esercizio 3 (Appello 10 gennaio 2006)
Si indichi l'espressione dell'angolo ε12 di riduzione alla corda per la trasformata di un
arco di geodetica (12) sulla carta di Gauss, esplicitando la dipendenza di tutti i termini
in funzione delle coordinate cartografiche e geografiche dei punti e delle caratteristiche
dell'ellissoide.
Esercizio 4 (Appello 5 luglio 2005)
Si scrivano le relazioni di passaggio da coordinate geografiche a coordinate cartesiane
geocentriche spiegando il significato dei termini. Che tipo di trasformazione consentono
le relazioni di Hirvonen?
Esercizio 5
Fornire la definizione di DATUM