Pareggiare è difficile, però è bello! Paolo ha capito una cosa importante: nella vita non vuole né vincere, né perdere: vuole pareggiare! La sua amica Giulia ha 2 gatti? Anche lui vuole esattamente 2 gatti. La sua amica Giulia ha preso 6 in matematica? Lui vuole prendere esattamente 6 in matematica, non 7 o 8! Però ora Paolo è un po’ in difficoltà: Il professore di educazione fisica ha detto a Giulia di fare 24 tiri e Giulia ha fatto canestro 18 volte; Poi ha detto a Paolo di fare 20 tiri. Paolo, che vuole pareggiare con Giulia si chiede quanti canestri dovrà fare …. ? Prova ora: Calcola quanti canestri deve fare Paolo per pareggiare con Giulia. La prima idea di Paolo è: devo fare 18 canestri, esattamente come Giulia. …ma realizzare 18 canestri su 20 è più difficile che realizzarne 18 su 24!! E allora??? Canestri Tiri Giulia 18 24 Paolo ? 20 Dunque qual è il rapporto canestri-tiri di Giulia? E’ 18 3 24 4 Allora anche Paolo deve fare canestro solo ¾ delle volte che tira; i ¾ di 20. 3 20 15 4 Quindi Paolo deve realizzare 15 canestri su 15! Adesso è davvero un pareggio: 18 su 24 è la stessa cosa di 15 su 20! Infatti le due frazioni 18/24 e 15/20 sono EQUIVALENTI. Si possono semplificare entrambe giungendo a ¾=0,75 MORALE… La morale di questa storia è un doppio elogio a Paolo. Un primo elogio perché quest’idea di puntare non a vincere o a perdere ma a pareggiare ci sembra molto bella e originale. Un secondo elogio perché, grazie allo studio dei rapporti, ha capito cosa significa pareggiare anche quando il numero delle prove (in questo caso il numero dei tiri) non è lo stesso… Adesso ripassiamo quanto visto lo scorso anno… COS’È UNA PROPORZIONE? Proporzione Uguaglianza tra due rapporti Termini di una proporzione Si legge: a sta a b come c sta a d a : b = c : medi estremi d Termini di una proporzione antecedenti a : b = c : conseguenti d Una proporzione particolare medi uguali a : b = b : c Se i medi (oppure gli estremi) sono uguali la proporzione è CONTINUA Proprietà fondamentale delle proporzioni La proprietà fondamentale è collegata alla definizione di frazioni equivalenti. A : B=C : D AD=BC Proprietà dell’invertire a:b=c:d b:a=d:c Se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il suo conseguente si ottiene ancora una proporzione Proprietà del permutare • a:b=c:d d:b=c:a • a:b=c:d a:c=b:d Se in una proporzione si scambiano tra loro i medi e/o gli estremi si ottiene ancora una proporzione Proprietà del comporre • a:b=c:d (a+b):a = (c+d):c • a:b=c:d (a+b):b = (c+d):d In ogni proporzione la somma dei primi due termini sta al primo ( o al secondo termine come la somma degli altri due sta al terzo (o al quarto termine) Proprietà dello scomporre • a:b=c:d (a - b):a = (c - d):c • a:b=c:d (a - b):b = (c - d):d Se in una proporzione il primo termine è maggiore del secondo termine (e quindi il terzo maggiore del quarto), la differenza del primo e secondo termine sta al primo (o al secondo) come la differenza del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto termine). Applica la proprietà fondamentale 6 : 16 = x :40 x : 7 = 6 : 14 6 40 x 15 16 7 6 x 3 14 Prova tu Applica la proprietà fondamentale x 5 45 225 15 5 : x = x : 45 1 9 :x x: 2 8 x 1 9 2 8 9 3 16 4 Applica la proprietà del comporre 3 x : x 2 :3 5 3 x x : x 2 3 : 3 5 E quindi otteniamo 3 : x 5:3 5 3 3 9 1 9 5 x 5 5 5 25 Prova tu Applica la proprietà dello scomporre (4+x):x=5:3 (4+x-x):x=(5-3):3 E quindi: 4:x=2:3 4 3 x 6 2 Prova tu Applica la proprietà del permutare e del comporre 2:x=6:(x+3) (x+3):x=6:2 E quindi (x+3-x):x=(6-2):2 32 3 x 4 2 3:x=4:2 Prova tu Prova tu (proprietà fondamentale) • 6:7 = 21:x 49 x 2 • 10:26 = x:13 x5 Clicca per il risultato Prova tu (proprietà del comporre) (11- x):x=42:4 (11 x x) : x (42 4) : 4 11 4 22 x 46 23 Clicca per il risultato Prova tu (proprietà dello scomporre) 7:2=(x+1):x 5:2=1:x Clicca per il risultato (7-2):2=(x+1-x):x x =2/5 Prova tu (proprietà del permutare e del comporre) x:5=(x+3):12 (12-5):5=(x+3-x):x x= 15/7 Clicca per il risultato 12:5=(x+3):x 7:5=3:x
