Assicurazione vita e mercato del
risparmio gestito
Lezione 12
Teoria dell’utilità attesa
Scelte d’investimento e utilità attesa
• Alla base delle tecniche di allocazione del portafoglio c’è un sistema di
regole che consente di ordinare titoli e le loro combinazioni
• Questo sistema di regole è alla base di quella che è nota come teoria
dell’utilità attesa. Secondo questa teoria la scelta tra alternative
rischiose può essere rappresentata confrontando i valori attesi di una
funzione, detta funzione di utilità.
• Se A e B sono due alternative rischiose la teoria dell’utilità attesa
consente di affermare che
A B  E[U(A)] < E[U(B)]
dove il simbolo  indica la preferenza di B rispetto ad A e la funzione
U(.) rappresenta la funzione di utilità.
Scelta tra alternative rischiose
• Utilità attesa: scelta tra lotterie A e B,
A < B (B è preferito ad A) se E(u(A)) < E(u(B))
• La funzione u(.) è crescente e concava nel caso
dell’avversione al rischio.
• La regola di scelta è determinata da assiomi.
Particolare importanza ha l’assioma di
independenza:
A < B  A +(1- )C < B +(1- )C
Probabilità equivalente
• Assumiamo una lotteria che dà valore WH e WL.
• La probabilità di WH è p.
• Un investitore è avverso al rischio se
pU(WH)+ (1 – p) U(WL) < U(pWH+ (1 – p)WL)
• Si consideri un cambio di probabilità da p a q
qU(WH)+ (1 – q) U(WL) = U(pWH+ (1 – p)WL)
Equivalente certo
• Assumiamo una lotteria che dà valore WH e WL.
• La probabilità di WH è p.
• Un investitore è avverso al rischio se
pU(WH)+ (1 – p) U(WL) < U(pWH+ (1 – p)WL)
• L’equivalente certo WCE è tale che
pU(WH)+ (1 – p) U(WL) = U(WCE)
L’avversione al rischio implica WCE < E(W)
Utilità attesa e avversione al rischio
• Consideriamo una lotteria W, con valore medio E(W).
• Un individuo è detto neutrale al rischio se è indifferente a percepire
sicuramente una somma pari a E(W) o la lotteria W. Quindi
E[U(W)] = U(E(W))
• Uni individuo è avverso al rischio se preferisce la somma pari a E(W) alla
lotteria W, per cui
E[U(W)] < U(E(W))
• Un risultato matematico (disuguaglianza di Jensen) consente di affermare
che nel caso di avversione al rischio la funzione di utilità è concava, mentre
nel caso di neutralità a rischio è lineare.
• Per misurare il grado di avversione al rischio cerchiamo di determinare un
valore π tale che
E[U(W)] = U(E(W) – π )
• Con un’espansione di Taylor possiamo verificare che
π = ½ (– U’’/U’)Var(W)
dove U’ e U’’ rappresentano la derivata prima e seconda della funzione di
utilità.
Misure di avversione al rischio
• Il termine – U’’/U’ misura la concavità della funzione ed è noto come
misura di avversione al rischio assoluta (ARA) di Arrow-Pratt
• Altre definizioni misurano l’avversione al rischio in proporzione alla
ricchezza, definendo relative risk aversion
RRA = W*ARA
• Le diverse funzioni di utilità si differenziano per il diverso
comportamento dell’avversione al rischio, assoluta o relativa, al variare
della ricchezza. In particolare ricordiamo
– La funzione di utilità quadratica (è facile da usare, ma ha la caratteristica
irrealistica di un’avversione al rischio crescente con la ricchezza)
– La funzione esponenziale, o CARA (constant absolute risk aversion)
– La power utility, o CRRA (constant relative risk aversion)
– La funzione di utilità logaritmica (un caso limite di CRRA)
– HARA (hyperbolic absolute risk-aversion): il caso più generale che
ingloba i casi precedenti con particolari specificazioni dei parametri)
Funzioni di utilità
• Quadratica
• U(W) = W – b W2
• CARA
• U (W) =a – exp (– b W)
• CRRA
• U(W) = [W – 1 ]/ 
– Logaritmica
• HARA
• U(W) = ln(W)

1    W
U W  
 

•
 1  


Funzioni di utilità
• Funzioni di utilità differenti differiscono nel modo
in cui l’avversione al rischio cambia con la
ricchezza
– Utilità quadratica (facile da usare, con due problemi:
preferenze non monotone, titoli rischiosi sono beni
inferiori)
– Utilità esponenziale o CARA (constant absolute risk
aversion)
– Power utility, o CRRA (constant relative risk aversion)
• Neutralità al rischio e utilità logaritmica come casi speciali
– HARA (hyperbolic absolute risk-aversion): (caso più
generale, tolleranza al rischio lineare nella ricchezza)
Prospect theory
• Kahneman e Tversky hanno proposto un
nuovo approccio alla teoria dell’utilità
• I principi fondamentali sono
– Esistenza di un “reference point” che
discrimina tra guadagni e perdite
– Deformazione delle probabilità, differente per
guadagni e perdite
– Avversione alle perdite (le perdite sono pesate
più dei guadagni)
Reference point
• Uno può cambiare la propria attitudine al rischio a
seconda che la perdita sia sotto (perdita) o sopra
(guadagni) un “reference point”.
• Qual è il “reference point”?
– Per guadagni di borsa può essere ritorno zero (cash), o
un tasso risk-free return, o un benchmark.
– Per una lotteria generale, può essere il reddito medio o i
guadagni passati (“house money”)
La funzione di utilità
• La “Prospect theory” propone la seguente
funzione di utilità
U(r) + w+(p) (U(WH) – U(r))
– w–(1 – p)(U(r)–U(WH))
con
– r il “reference point”
– w+(p) e w–(1 – p) deformazione di probabilità
–  “loss aversion”
Deformazione di probabilità
• Tversky e Kahneman proposero la seguente
forma funzionale per la deformazione di
probabilità
w p  
p
p



 1/ 
 1  p 
Expected utility: no loss aversion
18
16
14
12
10
Prospect Theory
Power Utility
8
6
4
2
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Expected utility: loss aversion
18
13
8
3
Prospect Theory
Power Utility
-2
-7
-12
-17
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Rischio e incertezza
• Knight, un economista degli anni 20, in una
polemica con Keynes, distingueva rischio e
incertezza.
• Rischio è quando si conoscono le probabilità di
successo. Incertezza è quando non si conoscono
queste probabilità (incertezza in senso di Knight)
• Come si comportano gli individui davanti
all’incertezza? Il paradosso di Ellsberg riguarda la
scelta tra lotterie ambigue e non ambigue. E’ il
ruolo della informazione nella scelta
Paradosso di Ellsberg
B < Z?...
Probability
Z
A
B
State H
1/3
0.6
0
0
State M
?
0
0.6
0
State L
?
0
0
0.6
… 0.5Z + 0.5A < 0.5B + 0.5A?
Probability
50% A
50% Z
State H
1/3
0.3
0
State M
?
0.3
0.3
State L
?
0
0.3
50% A
50% B
Financial puzzles
• Home bias:
– Gli investitori detengono una quota spoporzionatamente alta del
loro portafoglio in titoli domestici
• IPO underpricing
– Azioni alla prima quotazione danno un rendimento medio molto
più elevato del mercato
• Seasoned securities
– Titoli poco scambiati hanno un rendimento più elevato degli altri
• Fondi chiusi: la somma del valore di mercato dell’attivo
dei fondi è tipicamente minore del valore complessivo
delle quote dei fondi. Lo stesso non avviene per i fondi
aperti.