getto didattica in re progetto didattica in rete Fisica Tecnica Ambientale Parte II: trasporto di calore e di massa G.V. Fracastoro Politecnico di Torino, maggio 2003 Dipartimento di Energetica otto editore PARTE II trasporto di calore e di massa WWW. POLITO. IT Giovanni Vincenzo Fracastoro Fisica Tecnica Ambientale parte II - trasporto di calore e di massa Prima edizione maggio 2003 È vietata la riproduzione, anche parziale, con qualsiasi mezzo effettuato, compresa la fotocopia, anche ad uso interno o didattico, non autorizzata. INDICE 1. Generalità sulla trasmissione del calore e conduzione 69 1.1. Conduzione e legge di Fourier . . . . . . . . . . . . . . 69 1.2. Equazione generale della conduzione . . . . . . . . . . . 72 1.3. Condizioni al contorno e scambio termico misto . . . . 75 1.4. Parete piana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1.5. Parete cilindrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 1.6. Transitori termici in sistemi a capacità termica concentrata 85 1.7. Alcuni problemi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2. Irraggiamento 95 2.1. Leggi del corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.2. Caratteristiche radiative delle superfici reali . . . . . . . 98 2.3. Scambio termico per irraggiamento fra corpi neri . . . . 99 2.4. Scambio termico per irraggiamento fra superfici grigie . 101 3. Convezione 105 3.1. Regime di moto e viscosità . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.2. Concetto di strato limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.3. Analisi dimensionale per la convezione forzata . . . . . . 110 3.4. Convezione naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 67 4. Problemi termoigrometrici nelle pareti edilizie 68 117 4.1. Scambio termico misto in intercapedini . . . . . . . . . 117 4.2. Diagramma (T,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.3. Trasmissione del calore in pareti opache in presenza di . radiazione solare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.4. Il problema della condensa superficiale . . . . . . . . . . 122 4.5. Diffusione del vapore e condensa interstiziale . . . . . . 124 4.6. Trasmissione del calore in pareti vetrate . . . . . . . . . 130 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE La Parte della Fisica Tecnica che studia il trasferimento di calore all’interno di un corpo o fra corpi diversi è detta Termocinetica o Trasmissione del Calore. Per meglio comprendere l’ambito di studio della Termocinetica si può dire che essa inizia là dove finisce la Termodinamica. Quest’ultima, infatti, ci consente di calcolare lo stato termico che si raggiunge in condizioni di equilibrio, ma non le leggi con cui si perviene a queste condizioni. Ad esempio, ci consente di stimare la temperatura finale di due corpi messi a contatto, ma non la velocità di evoluzione delle loro temperature. Questo è appunto il compito della Trasmissione del Calore. Si è già detto che il calore è energia in transito per differenza di temperatura; sebbene nei problemi reali sia abbastanza raro che si verifichino isolatamente, si distinguono tre modi fondamentali di trasmissione del calore: conduzione, irraggiamento e convezione. Inizieremo con la trattazione della conduzione, ma poiché la distribuzione di temperatura all’interno di un corpo dipende da quello che avviene sul suo contorno, sarà necessario fornire anche qualche informazione preliminare sulle altre modalità di scambio termico. 1.1. CONDUZIONE E LEGGE DI FOURIER Nella conduzione lo scambio di energia termica avviene per scambio di energia cinetica molecolare (fluidi e dielettrici) o per diffusione elettronica (metalli) senza scambio di materia, all’interno di un corpo. Si ricorda che, secondo la teoria cinetica, la temperatura è proporzionale all’energia cinetica molecolare media e l’energia 69 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE interna di un corpo non è altro che la somma delle energie cinetiche e potenziali delle molecole che lo costituiscono. L’esperienza insegna che il flusso di calore all’interno di un corpo non isotermo avviene sempre dalle regioni a temperatura più alta a quelle a temperatura più bassa (II Principio della Termodinamica), e che esso è tanto più intenso quanto più è grande il gradiente di temperatura. Ciò può essere espresso in forma analitica attraverso la legge di Fourier: Q̇ = −λ · A ∂T ∂x 1.1 dove: Q̇ = potenza o flusso termico, W A = area della superficie di passaggio del flusso termico, m2 λ = conducibilità termica, W/(mK) T = temperatura, K x = lunghezza generica, m Il segno meno è imposto dal Secondo Principio della Termodinamica, poiché il flusso termico è diretto nel verso delle temperature decrescenti, e quindi ha segno opposto al gradiente termico. La conducibilità termica λ risulta definita anche dimensionalmente attraverso la 1.1. Essa varia a seconda del tipo di sostanza, e in genere cresce con la densità. I valori per alcuni materiali e sostanze di comune impiego in edilizia sono riportati in tabella 1.1. La conducibilità termica varia in funzione della temperatura. Essa cresce con l’aumentare della temperatura per i gas e per i materiali isolanti: ad esempio, per l’aria il gradiente è di circa 0.5 % al ◦ C. Per i metalli molto puri essa diminuisce, invece, al crescere della temperatura. 70 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE Tab. 1.1 – Valori di conducibilità termica per alcune sostanze e materiali di comune impiego nell’edilizia. Sostanza o materiale FLUDI ISOLANTI Conducibilità termica [W/(m · K)] aria 0.024 acqua 0.554 lana minerale, granuli 0.046 poliuretano 0.026 fibra di vetro 0.027 polistirene espanso 0.03-0.17 MATERIALI laterizi ordinari 0.72 DA laterizi faccia-vista 1.3 COSTRUZIONE calcestruzzo normale 1.2-2.0 calcestruzzo alleggerito 0.2-0.8 legno duro (quercia, acero) 0.16 legno tenero (abete, pino) 0.12 vetro 1.4 pietra (calcare, granito, marmo) intonaco di cemento intonaco di gesso METALLI 2.15-2.80 0.72 0.22-0.25 acciaio inox 13-15 acciaio 45-60 ferro alluminio, lega di alluminio rame 80 170-237 385 71 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE 1.2. EQUAZIONE GENERALE DELLA CONDUZIONE Coordinate rettangolari Applicando il I Principio della Termodinamica a un cubetto elementare attraversato da flussi termici conduttivi si ottiene, nell’ipotesi di conducibilità termica costante nelle tre direzioni, l’equazione generale della conduzione (vd. DIMOSTRAZIONE a pag. 73): ∂2T ∂2T qi ρc ∂T ∂2T + + + = · 2 2 2 ∂x ∂y ∂z λ λ ∂t 1.2 o anche ∇2 T + 1 ∂T qi = · λ α ∂t 1.2a dove ∇2 è l’operatore di Laplace e α è la diffusività termica, α= λ ρ·c La 1.1 è un’equazione differenziale alle derivate parziali integrabile soltanto in alcuni casi particolari, ai quali si tenta di ricondurre i problemi reali. Ad esempio, quando il corpo è costituito da una parete piana di grandi dimensioni rispetto allo spessore che separa due ambienti a temperatura diversa, il flusso termico può essere ragionevolmente considerato monodimensionale e ortogonale alla parete. In questo caso la 1.2 si riduce a: qi 1 ∂T ∂2T + = ∂x2 λ α ∂t In assenza di generazione interna si ottiene: 1 ∂T ∂2T = ∂x2 α ∂t 1.3 Nel caso di flusso stazionario (∂T/∂t = 0) e in assenza di generazione interna si ottiene: d2 T =0 dx2 72 1.4 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE DIMOSTRAZIONE Applicando il Primo Principio della Termodinamica in forma di potenza: X Q̇ = ∂U ∂t ad un solido elementare di materia avente lati dx, dy e dz e conducibilità λ x , λy , λz (fig. 1.1) attraversato da un flusso termico conduttivo tridimensionale e sede di un flusso termico generato internamente, Q̇i si avrà: Q̇x + Q̇y + Q̇z + Q̇i = Q̇x+dx + Q̇y+dy + Q̇z+dz + ∂U ∂t Applicando la 1.1 si ottiene: Q̇x = −λx · dy · dz · ∂T ∂x Q̇y = −λy · dx · dz · ∂T ∂y Q̇z = −λz · dx · dy · ∂T ∂z Il flusso uscente lungo x sarà: Q̇x+dx = Q̇x + ∂ Q̇ dx ∂x e analogamente lungo y e z. La differenza fra i flussi termici sullo stesso asse dà: „ « ∂ ∂T λx dx · dy · dz Q̇x+dx − Q̇x = ∂x ∂x Q̇y+dy − Q̇y = ∂ ∂y Q̇z+dz − Q̇z = ∂ ∂z „ « ∂T λy dx · dy · dz ∂y „ λz ∂T ∂z « dx · dy · dz A sua volta la variazione di energia interna ed il flusso generato internamente possono essere espressi come: ∂T ∂U = ρ · c · dx · dy · dz · ∂t ∂t Q̇i = qi · dx · dy · dz dove: 73 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE z Qz+dz Qx Qy Qy+dy dz Qx+dx dx dy Q z y x Fig. 1.1 – Flussi di conduzione attraverso un solido elementare. ρ = massa volumica (kg/m3 ) c = capacità termica massica (J/kg·K) qi = flusso generato per unità di volume (W/m 3 ) Si ottiene in questo modo l’equazione generale della conduzione: „ « „ « „ « ∂ ∂T ∂T ∂T ∂T ∂ ∂ λx + λy + λz + qi = ρc · ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂t D.1 Se la conducibilità termica è costante nelle tre direzioni si ottiene: ρc ∂T ∂2T ∂2T ∂2T qi = · + + + 2 2 ∂x ∂y ∂z 2 λ λ ∂t D.2 Coordinate cilindriche Adottando un sistema di coordinate cilindriche (r, θ, z), con un procedimento simile a quello illustrato nella DIMOSTRAZIONE a pag.73 l’equazione generale della conduzione diviene: qi 1 ∂T ∂2T ∂2T 1 ∂T 1 ∂2T + = · + + + 2 2 2 2 r ∂θ ∂z ∂r r ∂r λ α ∂t 1.5 che si riduce, nel caso di flusso monodimensionale radiale, stazionario e senza generazione interna, a: 74 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE d2 T 1 dT =0 + · dr2 r dr 1.3. 1.6 CONDIZIONI AL CONTORNO E SCAMBIO TERMICO MISTO La soluzione delle equazioni differenziali alle derivate parziali come le 1.2- 1.6 permette di descrivere il campo termico all’interno di un corpo. Questo dipende tuttavia dalle condizioni termiche al contorno e, per i problemi che dipendono dal tempo, iniziali. Per esempio, la 1.4 ha come soluzione generale T = a·x+b che indica come in una parete piana in regime stazionario il profilo di temperatura sia lineare. Tuttavia, il valore delle due costanti a e b può essere determinato soltanto se sono definite due condizioni al contorno (ovvero, sulle due facce della parete). La condizione iniziale specifica invece i valori di temperatura in ogni punto del sistema all’istante iniziale. Esistono tre tipi di condizione al contorno, che verranno di seguito esemplificate per casi monodimensionali stazionari: – 1◦ tipo - condizione di temperatura (o di Dirichlet) – 2◦ tipo - condizione di flusso (o di Neumann) – 3◦ tipo - condizione di temperatura e flusso (o di convezione) Una condizione al contorno in cui il termine noto sia nullo viene detta omogenea. Le condizioni al contorno del 1◦ tipo sono quelle in cui sul contorno del sistema in esame è imposto e noto il valore della temperatura. Ad esempio, per un caso monodimensionale: T |x=x1 = T1 1.7 75 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE Le condizioni al contorno del 2◦ tipo sono quelle in cui sul contorno del sistema in esame è noto il valore assunto dal flusso termico. Ad esempio, per un caso monodimensionale: Q̇ x=x1 = −λ · A · dT = Q̇1 dx x=x1 1.8 Su un piano di simmetria del sistema si avrà una condizione al contorno omogenea perché sarà nullo il gradiente di temperatura e dunque Q̇1 = 0 . Le condizioni al contorno del 3◦ tipo sono le più comuni nella pratica. Esse prevedono che sul contorno del sistema siano fornite equazioni supplementari in cui compaiono sia la temperatura che il flusso termico: dT Q̇ = − λ·A· = h · A · T |x=x1 − Ta dx x=x1 x=x1 1.9 in cui Ta è la temperatura dell’ambiente (fluido e superfici) con cui viene scambiato calore per convezione e irraggiamento e h è il coefficiente di scambio termico liminare o adduttanza superficiale. Per comprendere meglio il significato di h è necessario analizzare più nel dettaglio cioè che avviene all’interfaccia fra la superficie del corpo e l’ambiente. Il calore che proviene dall’interno del corpo per conduzione (Q̇k ) è uguale alla somma di quello scambiato dalla superficie per convezione con il fluido (Q̇c ) e per irraggiamento con le superfici circostanti (Q̇r ), come indicato in figura 1.2. Q̇k = Q̇c + Q̇r 1.10 È necessario dunque fornire alcune indicazioni preliminari sulle due forme con cui avviene lo scambio termico per irraggiamento e convezione. Una trattazione più dettagliata verrà fornita nei CAPITOLI 2 e 3. Irraggiamento L’irraggiamento è il trasferimento di calore per propagazione di onde elettromagnetiche. Questa avviene alla velocità della luce, sotto forma di quanti di energia che si propagano con leggi desumibili dalla teoria ondulatoria. Non vi è bisogno di un mezzo 76 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE Qr Qk Qc Fig. 1.2 – Equilibrio dei flussi alla parete. per consentire la propagazione delle onde elettromagnetiche: esse si propagano anche nel vuoto. Nello scambio termico fra due corpi neri la potenza termica scambiata vale Q̇ = A1 F12 σ(T14 − T24 ) 1.11 in cui σ è la costante di Stefan-Boltzmann e F12 rappresenta il fattore di vista fra la superficie 1 (di area A1 ) e la superficie 2. La 1.11 mostra come la potenza termica emessa da un corpo sia funzione della quarta potenza della sua temperatura assoluta. Una espressione analoga si può ricavare per la potenza termica scambiata fra due superfici grigie, cioè due superfici che emettono una frazione della potenza emessa a parità di altre condizioni dal corpo nero: Q̇ = A1 Fε σ(T14 − T24 ) 1.12 in cui F è un fattore che tiene conto sia del fattore di vista che delle emissività delle due superfici. Se le temperature T1 e T2 non differiscono troppo, si può linearizzare l’espressione precedente ponendo 3 hr = 4Fε σTm 1.13 77 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE in cui Tm è la media aritmetica fra le due temperature e hr è detto coefficiente di scambio termico liminare per irraggiamento. Si ottiene immediatamente Q̇r = hr A1 (T1 − T2 ) 1.14 Convezione È il meccanismo che regola la trasmissione del calore tra una superficie solida e un fluido. Si tratta di un meccanismo complesso in cui sono presenti diversi fenomeni (conduzione, irraggiamento, accumulo termico, trasporto di massa): le particelle di fluido adiacenti alla parete scambiano calore con quest’ultima per conduzione, poiché la velocità delle particelle stesse è nulla sulla superficie. Quando poi le particelle vengono trasportate verso regioni a temperatura diversa, esse si mescolano e trasferiscono la loro energia e quantità di moto alle particelle di queste regioni. Si usa distinguere tra convezione naturale e forzata. Nel primo caso la causa del moto delle particelle fluide sono i gradienti di densità indotti nel fluido dalle differenze di temperatura, mentre nel secondo caso tale moto è provocato da una azione esterna. In entrambi i casi si è soliti calcolare il flusso scambiato fra parete e fluido per mezzo della seguente relazione (Legge di Newton): Q̇ = hc A (T1 − Tf ) 1.15 in cui hc è detto coefficiente di scambio termico liminare per convezione, e Tf la temperatura del fluido adiacente alla parete. Nel caso di convezione forzata hc dipende essenzialmente dalla velocità relativa fra fluido e parete, mentre in convezione naturale esso dipende da molti fattori, fra cui, come si vedrà, la differenza di temperatura stessa. Scambio termico liminare Una volta ricavate le equazioni 1.14 e 1.15, nel caso in cui la temperatura del fluido coincida praticamente con quella delle superfici viste dalla parete considerata (T2 ≈ Tf ) e divenga perciò genericamente la temperatura dell’ambiente Ta , si può tornare all’equazione 1.9, che diviene: 78 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE Q̇k dT =−λ = (hc + hr ) · (T1 − Ta ) = h · (T1 − Ta ) A dx x=x1 1.16 dove h, detto coefficiente di scambio termico liminare o adduttanza superficiale, è dato da: h = hc + hr 1.17 L’inverso del coefficiente h viene detto resistenza termica liminare. 1.4. PARETE PIANA In questo paragrafo si analizza l’andamento della temperatura attraverso una parete piana di spessore piccolo rispetto alle altre due dimensioni e si calcola il flusso termico che la attraversa nella direzione dello spessore. Le ipotesi ricorrenti in questa trattazione sono: – regime stazionario – geometria rettangolare – flusso monodimensionale – generazione interna nulla (q̇i = 0 ) Parete piana monostrato con condizioni al contorno del 1◦ tipo Si abbia una parete piana (fig. 1.3) composta da un solo strato omogeneo di spessore s e conducibilità termica λ; sono inoltre imposte sulle due facce della parete valori prefissati di temperatura. Occorre integrare l’equazione differenziale 1.4 con le seguenti condizioni al contorno: T (0) = T1 T (s) = T2 Si ottiene l’andamento lineare: T = T1 − T1 − T2 ·x s 1.18 79 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE T T1 T2 0 s x Fig. 1.3 – Parete piana monostrato. Derivando la 1.18 e applicando la legge di Fourier si ottiene immediatamente il flusso trasmesso: Q̇ = λA T1 − T2 s 1.19 Si osservi che la 1.19 poteva essere ottenuta direttamente dalla 1.1, che è in questo caso una equazione differenziale a variabili separabili, facilmente integrabile poiché Q̇ non è funzione di x1 . La 1.19 viene spesso scritta come: Q̇ T1 − T2 = A R 1.19 a Q̇ = C · (T1 − T2 ) A 1.19 b o anche: o infine: Q̇ = 1 T1 − T2 R 1.19 c Infatti, se il flusso entrante in uno strato fosse diverso da quello uscente, per il Primo Principio della Termodinamica l’energia interna e dunque la temperatura dello strato varierebbe nel tempo. 80 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE dove: R = resistenza termica dello strato = s/λ C = conduttanza dello strato = λ/s = 1/R R = resistenza termica specifica dello strato = s/(λA) = R/A La 1.19.c mostra la perfetta analogia fra le leggi della conduzione (legge di Fourier) e quelle dell’elettromagnetismo (legge di Ohm): I= ∆T ∆V ⇔ Q̇ = R R con le seguenti corrispondenze: corrente elettrica (I) ⇔ flusso termico Q̇ differenza di potenziale (∆V ) ⇔ differenza di temperatura (∆T ) resistenza elettrica (R) ⇔ resistenza termica specifica (R’) Parete piana multistrato con condizioni al contorno del 1◦ tipo Sono note, come prima, le temperature sulle due facce estreme T1 e Tn+1 . Si scrive la 1.19 per ognuno degli n strati che costituiscono la parete (fig. 1.4). Q̇ T1 − T2 = λ1 · A s1 Q̇ T2 − T3 = λ2 · A s2 ..................... Q̇ Tn − Tn+1 = λn · A sn Il flusso che attraversa i vari strati è sempre lo stesso, per l’ipotesi di stazionarietà. Per cui, mettendo in evidenza le n differenze di temperatura e sommando, si ottiene: T1 − Tn+1 T1 − Tn+1 T1 − Tn+1 Q̇ = = = C · (T1 − Tn+1 ) = n s n A R j Rj λ j=1 j j=1 1.20 81 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE T T1 T2 s1 T3 s2 sn 2 1 n Tn Tn+1 1 2 3 n n+1 Fig. 1.4 – Parete multistrato. essendo C la conduttanza, ed R la resistenza termica della parete multistrato: n R= n sj 1 = = Rj C λ j=1 j j=1 Pareti piane che separano ambienti a temperatura prefissata In questo caso, assai frequente nella realtà, si considerano pareti che separano ambienti mantenuti a temperature diverse, ad esempio l’ambiente interno di un edificio e l’ambiente esterno. Sono note le temperature dei due ambienti, ma non le temperature superficiali né i flussi. Le condizioni al contorno che si impongono sono dunque del 3◦ tipo, ovvero: Q̇ A Q̇ A 82 x=0 dT = −λ · = hi · (Ti − T (0)) dx x=0 = −λ · x=s dT = he · (T (s) − Te ) dx x=s 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE dove hi e he sono i coefficienti di scambio termico liminare interno ed esterno e Ti e Te le temperature (note) dei due ambienti interno ed esterno separati dalla parete. Si ha dunque, essendo il flusso costante in ogni strato e ricordando la 1.20: Q̇ = hi · (Ti − T1 ) A Q̇ T1 − Tn+1 = n A sj j=1 λj Q̇ = he · (Tn+1 − Te ) A Sommando, come prima, le differenze di temperatura e semplificando si ottiene: n sj Q̇ 1 1 = Ti − Te + + A hi j=1 λj he da cui: Q̇ = U · (Ti − Te ) A 1.21 dove U , detta trasmittanza termica o coefficiente di scambio termico globale, è data da: 1.5. −1 n 1 s 1 j + U = + hi j=1 λj he 1.22 PARETE CILINDRICA Parete monostrato con condizioni al contorno del 1◦ tipo Si abbia una parete cilindrica composta da un solo strato omogeneo di conducibilità termica λ (fig. 1.5). Valgono le seguenti ipotesi: – regime stazionario – assenza di generazione interna – flusso monodimensionale (radiale). 83 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE T1 T2 r2 r r1 Fig. 1.5 – Parete cilindrica monostrato (sezione trasversale). Anche in questo caso è possibile ricavare direttamente il flusso ponendo nella 1.1, x = r e A = 2πrL Q̇ dT = −λ · 2πrL dr 1.23 e integrando con le seguenti condizioni al contorno: T (r1 ) = T1 T (r2 ) = T2 Si ottiene la potenza per unità di lunghezza: Q̇ T1 − T2 = 2πλ L ln (r2 /r1 ) 1.24 Alla stessa espressione si poteva giungere ricavando dalla 1.6 il profilo di temperatura e successivamente applicando la legge di Fourier. In modo del tutto analogo a quanto visto per la parete piana multistrato, per una parete cilindrica formata da n strati concentrici si ottiene: T1 − Tn+1 Q̇ = 2π · n L rj+1 1 λj ln rj j=1 84 1.25 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE Pareti cilindriche che separano fluidi a temperatura prefissata Procedendo in modo analogo a quanto fatto per la parete piana multistrato si ottiene il flusso disperso per unità di lunghezza: Q̇ = 2π · L 1 r i hi + n Ti − Te j=1 1 λj ln rj+1 rj + 1 r e he = UL (Ti − Te ) 1.26 Volendo esprimere il flusso disperso per unità di superficie, occorre distinguere il caso in cui ci si riferisce alla superficie interna: Q̇ = Ai 1 hi Ti − Te n rj+1 1 + ri λj ln rj + j=1 ri r e he = Ui · (Ti − Te ) 1.27 = Ue · (Ti − Te ) 1.28 da quello in cui ci si riferisce alla superficie esterna: Q̇ = Ae re r i hi Ti − Te n rj+1 1 + re λj ln rj + j=1 1 he Dalle 1.26 - 1.28 si ricavano le espressioni delle trasmittanze UL , Ui , Ue . 1.6. TRANSITORI TERMICI IN SISTEMI A CAPACITÀ TERMICA CONCENTRATA Vengono detti sistemi a capacità termica concentrata quei corpi la cui temperatura può variare nel tempo, mantenendosi però uguale in ogni punto (uniforme). Si osservi peraltro che se il corpo scambia calore attraverso il suo contorno deve esistere un gradiente termico al suo interno, come si vede da un semplice bilancio su una superficie infinitesima del contorno dA : h dA (T − Ta ) = −λ dA ∂T ∂n dove h = coefficiente di scambio termico liminare 85 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE T = temperatura del corpo Ta = temperatura dell’ambiente λ = conducibilità termica del corpo n = normale alla superficie Tuttavia il gradiente ∂T /∂n diviene molto piccolo se λ è grande rispetto ad h. In pratica esso può essere trascurato se vale la condizione: Bi = h·L L/λ Rint h (V /A) = = = < 0.1 λ λ 1/h Rest dove Bi è il numero di Biot e V è il volume del corpo. Se si introduce un corpo avente Bi < 0.1 e temperatura iniziale T0 in un fluido a temperatura Ta < T0 e capacità termica infinita (fig. 1.6) nel tempo dt si ha dunque, supponendo che il sistema sia nel complesso adiabatico: dQ = −ρcV · dT = −C · dT 1.29 con dQ = h A (T − Ta ) · dt dove: ρ = densità c = calore specifico C = capacità termica h = coefficiente di scambio termico liminare A = area della superficie di scambio Le 1.29 - 1.30, risolte imponendo la condizione iniziale: T (0) = T0 86 1.30 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE Ta T Q Fig. 1.6 – Corpo a capacità termica concentrata inserito in un sistema a capacità termica infinita. forniscono: T − Ta = (T0 − Ta ) · e−·h·A·t/C 1.31 L’andamento della differenza di temperatura è dunque esponenziale. La temperatura raggiunta dal corpo al tempo t = ∞ varrà ovviamente Ta . Il termine τ= ρcV C = hA hA è detto costante di tempo del sistema e rappresenta il tempo necessario perché la differenza di temperatura tra corpo e fluido si riduca del fattore 1/e (36.8 %). È possibile dimostrare che esso coincide inoltre con il tempo in cui la temperatura del corpo raggiungerebbe quella dell’ambiente se essa decadesse con legge lineare e con pendenza pari a quella assunta all’istante iniziale. Inoltre, tenendo presente che: hL2 λ hL αt hA t= · t = = Bi · F o 3 C ρcL λ λ L2 dove L è la lunghezza caratteristica del corpo (ad esempio, L = Volume/Area Laterale), α è la diffusività termica e F o = αt/L2 è il numero di Fourier (o tempo adimensionato), si può scrivere: ϑ = e−Bi·F o 1.32 87 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE 1 0.9 Temperatura adimensionata 0.8 0.7 Bi = 0.02 0.6 0.5 Bi = 0.04 0.4 Bi = 0.06 0.3 Bi = 0.08 0.2 Bi = 0.10 0.1 0 0 5 10 15 20 Numero di Fourier, Fo Fig. 1.7 – Transitorio termico in un sistema a capacità concentrata. in cui ϑ= T − T∞ T0 − T∞ è la temperatura adimensionata del corpo. L’equazione 1.32 è illustrata in figura 1.7. 1.7. ALCUNI PROBLEMI PARTICOLARI Pareti piane composite Si consideri la parete di figura 1.8, composta di sezini a e b (con Ua < Ub ) separati da un piano parallelo alla direzione del flusso. Si supponga che gli ambienti che essa separa siano mantenuti rispettivamente alla temperatura Ti e Te , con Ti > Te . Il flusso termico attraverso le aree Aa e Ab vale rispettivamente: ∆T Ra ∆T Q̇b = Ub Ab (T i − T e ) = Rb Q̇a = Ua Aa (Ti − Te ) = 88 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE Aa a Ab b Fig. 1.8 – Parete piana composita. Il flusso complessivamente uscente vale: Q̇ = Q̇a + Q̇b = ∆T 1 1 + Ra Rb Pertanto si ha: Q̇ = ∆T = Ueq · ∆T Req essendo: Req = 1 1 + Ra Rb −1 1.33 la resistenza equivalente (Req < Rb < Ra ) e: Ueq = Aa Ua + Ab Ub Aa + Ab 1.34 la trasmittanza equivalente (Ua < Ueq < Ub ) della parete. In figura 1.9 viene presentato il caso di sezioni costituite ciascuna da un solo strato omogeneo (con λa < λb ). Si osserva che l’andamento di temperatura lungo la parete a (linea spessa) diviene diverso da quello lungo la parete b (linea sottile) e nascono differenze di temperatura anche in direzione y ortogonale allo spessore della parete. 89 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE Ti a T1a Ta Tb T1b T2b T2a Te b Fig. 1.9 – Andamento delle temperature in parete composita. Alette di raffreddamento Le alette di raffreddamento sono dispositivi che consentono di incrementare il flusso termico disperso verso l’ambiente circostante attraverso l’aumento della superficie disperdente. Le alette possono essere piane, anulari o a spina. In questo paragrafo si analizzerà il comportamento di alette piane a sezione rettangolare (fig. 1.10) con le seguenti ipotesi: – regime stazionario – caratteristiche di scambio termico (conducibilità, coefficiente di scambio termico liminare) indipendenti dalla temperatura – assenza di gradienti termici in direzione trasversale all’aletta L’ultima ipotesi implica che lo spessore dell’aletta sia molto piccolo rispetto alla sua lunghezza. Se si considerano inoltre costanti per l’intera lunghezza L il perimetro p e l’area A della sezione trasversale, e trascurabile il flusso disperso dall’estremità dell’aletta, si 90 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE T a T0 A L Fig. 1.10 – Aletta piana rettangolare. ottiene (vedi DIMOSTRAZIONE a pag. 92 anche per il significato degli altri simboli) il flusso disperso dall’aletta: Q̇ = λAm (T0 − T∞ ) · tanh (mL) 1.35 dove T0 e T∞ rappresentano rispettivamente la temperatura alla radice dell’aletta e dell’ambiente circostante. Si può poi introdurre il concetto di efficienza dell’aletta, intesa come il rapporto fra il flusso effettivamente disperso e quello massimo disperdibile. Quest’ultimo è il flusso che verrebbe disperso se tutta l’aletta avesse una temperatura uniforme e pari a T0 : Q̇max = p · L · h · (T0 − T∞ ) per cui: ε= Q̇ tanh(mL) <1 = mL Q̇max 1.36 In figura 1.11 è riportato l’andamento dell’efficienza al variare del prodotto (mL). Si può inoltre valutare un’altra forma di efficienza , definita come il rapporto fra il flusso effettivamente disperso e quello che sarebbe disperso se non vi fosse l’aletta: Q̇0 = h · A · θ0 Tale valore dovrebbe evidentemente essere superiore ad 1. Infatti: 91 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE 1 0.9 0.8 0.7 efficienza, 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 mL Fig. 1.11 – Efficienza di un’aletta. ε= p·L 2 (a + δ) L 2aL 2L λ · m · tanh(mL) = ε= ε≈ ε= ε h A a·δ aδ δ In genere, è dunque tanto maggiore di quanto più l’aletta è lunga e sottile. DIMOSTRAZIONE Con le ipotesi sopra indicate il bilancio termico di un elementino di lunghezza dx (fig. 1.12) dà: Q̇x = Q̇x+dx + dQ̇c D.1 Essendo: Q̇x = −λA · dT dx D.2 e dQ̇c = hp · (T − T∞ ) dx in cui: λ = conducibilità termica del materiale costituente l’aletta A = area della sezione trasversale dell’aletta 92 D.3 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE dQc Qx+dx Qx dx Fig. 1.12 – Aletta piana rettangolare. h = coefficiente di scambio termico liminare p = perimetro della sezione trasversale T = temperatura dell’aletta (funzione di x) T∞ = temperatura dell’ambiente si ottiene: λA d2 T = hp (T − T∞ ) dx2 D.4 Ponendo: m2 = hp λA D.5 e θ = T − T∞ D.6 d2 θ − m2 θ = 0 dx2 D.7 si ottiene: La D.7 ammette la soluzione generale: θ = M · e−mx + N · emx D.8 I valori delle costanti M ed N possono essere ricavati imponendo le oppportune condizioni al contorno. In tal modo si ricava il profilo di temperatura lungo l’aletta. Da questo, integrando la D.3 su tutta l’aletta o ricavando il flusso disperso alla radice dell’aletta per 93 1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE mezzo della D.2 si ottiene il flusso disperso. Ad esempio, supponendo trascurabile il flusso disperso dall’estremità dell’aletta, il flusso disperso risulta: Q̇ = λAmθ0 · tanh (mL) 94 D.9 2. IRRAGGIAMENTO L’irraggiamento termico è il fenomeno del trasporto di energia per propagazione di onde elettromagnetiche; nei problemi termici la radiazione elettromagnetica è caratterizzata da lunghezze d’onda comprese, in genere, tra 0.1 e 100 µm (radiazione termica). Quando la radiazione incide su un mezzo materiale essa viene riflessa, assorbita o trasmessa. Se si indicano con α, ρ, τ le frazioni di energia assorbita, riflessa e trasmessa (fig. 2.1), note rispettivamente come fattore o coefficiente di assorbimento, di riflessione e di trasmissione, si deve avere: α+ρ+τ =1 2.1 I coefficienti α, ρ, τ sono funzione sia della lunghezza d’onda λ della radiazione (in tal caso sono detti spettrali o monocromatici), sia del suo angolo d’incidenza θ (direzionali). Quando essi sono riferiti alla radiazione proveniente da tutto lo spettro essi sono detti integrali, quando sono riferiti 1 ϑ τ ρ α Fig. 2.1 – Interazione della radiazione con un mezzo materiale. 95 2. IRRAGGIAMENTO alla radiazione proveniente da tutto l’angolo solido visto dalla parete sono detti emisferici. In ogni caso vale la 2.1. Per mezzi opachi τ = 0. Se, inoltre, ρ = 0 a tutte le lunghezze d’onda, si ha α = 1 e il mezzo viene detto corpo nero, o radiatore integrale, o ancora radiatore di Planck. 2.1. LEGGI DEL CORPO NERO La potenza emessa per unità di superficie nell’intervallo di lunghezza d’onda [λ, λ + dλ] dal corpo nero ad una temperatura T è detta potere emissivo monocromatico o densità di flusso monocromatica, definita come: Eλn = ∂ 2 Q̇n , ∂A · ∂λ W/(m2 ·µm) Il potere emissivo monocromatico è dato dall’espressione, nota come legge di Planck, ricavabile in base a considerazioni di termodinamica statistica applicata al gas di fotoni: Eλn = C1 · λ−5 C e 2 /λT − 1 2.2 dove le costanti valgono C1 = 3.74 · 108 Wµm4 /m2 e C2 = 1, 44 · 104 µm·K. Esso risulta funzione di λ e T , come indicato in figura 2.2. Da tale figura si osserva che il valore massimo del potere emissivo monocromatico aumenta e si sposta verso sinistra al crescere di T . Differenziando la 2.2 rispetto alla lunghezza d’onda si vede che il luogo dei punti di massimo è caratterizzato dall’equazione (nota come legge di Wien o dello spostamento): λmax · T = C3 2.3 con C3 = 2898 µm · K. E’ di particolare interesse pratico determinare il potere emissivo integrale E n : n ∞ E = 0 96 Eλn · dλ, W/m2 2. IRRAGGIAMENTO Potere emissivo monocromatico, W/m2 µm 1.2E+08 1.0E+08 T = 6000 K T = 5000 K T = 4000 K T = 3000 K 8.0E+07 6.0E+07 4.0E+07 2.0E+07 0.0E+00 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 Lunghezza d'onda, µm Fig. 2.2 – Potere emissivo monocromatico del corpo nero. Il suo valore fu ricavato per via sperimentale da Stefan, e da Boltzmann, che vi pervenne successivamente sulla base di considerazioni termodinamiche; per questo motivo l’equazione che la esprime è nota come Legge di Stefan-Boltzmann1: En = σ · T 4 2.4 con σ (costante di Stefan-Boltzmann), pari a 5.67 · 10−8 W/(m2 K4 ). In alcuni problemi può essere utile disporre di un metodo rapido per conoscere la frazione di radiazione emessa dal corpo nero che si trova contenuta in una determinata porzione dello spettro. Ciò è possibile introducendo il concetto di fattore di radiazione fλ : λ fλ = 0 Eλn · dλ σ · T4 2.5 Si dimostra che il valore di fλ è in realtà funzione soltanto del prodotto λT , come illustrato in fig. 2.3. Da tale diagramma si vede che oltre il 99 % della radiazione è 1 Da un punto di vista cronologico la legge di Stefan-Boltzmann precede la legge di Planck. 97 2. IRRAGGIAMENTO 1.00 0.90 0.80 0.70 fλ 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 1000 10000 100000 Prodotto λT ( µm K) Fig. 2.3 – Fattore di radiazione. emessa nell’intervallo 1000 µm·K < λT < 30000 µm·K e oltre il 90 % nell’intervallo 2000 µm·K < λT < 20000 µm·K. A titolo di esempio, per un corpo nero a 3000 K il 90 % della radiazione è emessa fra 0.67 µm e 6,7 µm, mentre per un corpo nero a 300 K il 90 % della radiazione è emessa fra 6,7 µm e 67 µm. Se si vuole calcolare la frazione di radiazione visibile (0.4µm < λ < 0.8µm) emessa dal Sole, che può essere assimilato ad un corpo nero a circa 6000 K, è sufficiente svolgere il seguente calcolo: fvis = f0.8·6000 − f0.4·6000 ≈ 0.61 − 0.14 = 0.47 Il 14 % sarà pertanto radiazione ultravioletta (λ < 0.4µm) e il 39 % infrarossa (λ > 0.8µm). 2.2. CARATTERISTICHE RADIATIVE DELLE SUPERFICI REALI In un corpo opaco reale il fattore di riflessione è sempre diverso da zero, quindi il fattore di assorbimento è minore di uno. Anche il potere emissivo monocromatico, in un corpo reale, è una frazione, variabile con la lunghezza d’onda, del potere emissivo 98 2. IRRAGGIAMENTO monocromatico del corpo nero Eλn , alla stessa temperatura T. Questa frazione è detta fattore di emissione monocromatico emisferico: ελ = Eλ (T ) Eλn (T ) dove Eλ (T ) è il potere emissivo monocromatico del corpo. La legge di Kirchhoff stabilisce che, quando un corpo è in equilibrio termico, si deve avere: ελ = αλ 2.6 Il fattore di emissione emisferico integrale è dato da: ε= E(T ) E(T ) = E n (T ) σ · T4 in cui: ∞ E(T ) = ελ · Eλn · dλ 0 Si definiscono grigie le superfici in cui il fattore di emissione non dipende dalla lunghezza d’onda. In questo caso si ha: ε=α 2.3. SCAMBIO TERMICO PER IRRAGGIAMENTO FRA CORPI NERI Irraggiamento fra due superfici nere Per ricavare il flusso termico scambiato per irraggiamento fra due superfici nere è necessario definire il fattore di vista (o di forma, o ancora di configurazione). Il fattore di vista dalla superficie 1 alla superficie 2 (F12 ) rappresenta la frazione di radiazione uscente dalla superficie 1 che raggiunge la superficie 2. Ovvero: F12 = Q̇12 Q̇1 2.7 99 2. IRRAGGIAMENTO E dunque: Q̇12 = E1 n A1 F12 è il flusso che da A1 raggiunge A2 Q̇21 = E2 n A2 F21 è il flusso che da A2 raggiunge A1 Il flusso netto scambiato vale: Q̇ = E1n A1 F12 − E2n A2 F21 2.8 Un caso particolare della 2.8 è quello in cui T1 = T2 . In questo caso E1n = E2n , ma deve anche essere Q̇ = 0 . Perciò: A1 F12 = A2 F21 2.9 La 2.9 è una relazione puramente geometrica e pertanto deve valere sempre, indipendentemente dai valori assunti dalle temperature. Essa è nota come teorema o relazione di reciprocità. Lo scambio netto vale pertanto: Q̇ = A1 F12 (E1n − E2n ) = σA1 F12 T14 − T24 in cui il fattore di vista è dato da: F12 1 = · A1 A1 A2 cosβ1 · cosβ2 · dA1 dA2 π · r2 2.10 2.11 ed è riportato nella figura 2.4, a titolo d’esempio, per due superfici rettangolari affacciate. Irraggiamento fra n superfici nere Nel caso in cui si debba valutare il flusso termico scambiato per irraggiamento fra n superfici nere il flusso netto uscente dalla superficie i-esima varrà: Q̇i = Ein Ai − n Aj Fji Ejn j=1 che, utilizzando il teorema di reciprocità (Aj Fji = Ai Fij ) si riscrive come: n Q̇i = Ai · (Ein − Fij Ejn ) j=1 100 2.12 2. IRRAGGIAMENTO 1000 10 5 2 1 1 0.5 0.1 0.1 Rapporto Y/L F 12 Y X L 0.01 0.1 1 Rapporto X/L 10 Fig. 2.4 – Fattore di vista fra due rettangoli uguali (XxY), allineati e paralleli a distanza L. Inoltre, se le n superfici nere costituiscono una cavità chiusa, vale la seguente proprietà: n Fij = 1 j=1 per cui la 2.12 può essere riscritta così: n Q̇i = Ai · Fij · (Ein − Ejn ) 2.13 j=1 Essendo note le temperature di tutte le n superfici, le n equazioni come la 2.13 permettono di calcolare immediatamente il flusso netto uscente dalle n superfici. 2.4. SCAMBIO TERMICO PER IRRAGGIAMENTO FRA SUPERFICI GRIGIE Lo scambio termico fra superfici grigie presenta qualche ulteriore complessità rispetto a quello fra superfici nere. Infatti, poichè non tutto il flusso incidente su una superficie viene assorbito, una parte di quello riflesso tornerà sulla superficie da cui proviene il flusso incidente, verrà solo in parte assorbito, e così via. 101 2. IRRAGGIAMENTO Si dimostra che il flusso termico scambiato fra due superfici grigie vale: 4 σ · T14 − T24 4 Q̇ = 1−ε1 1−ε2 = Fε σA1 · T1 − T2 1 ε1 ·A1 + A1 ·F12 + ε2 ·A2 2.14 avendo posto: Fε = 1 − ε1 1 A1 1 − ε2 + + ε1 F12 A2 ε2 −1 2.15 È facile dimostrare che per i corpi neri F = F12 e la 2.14 si riduce alla 2.10. Valori di F per alcune geometrie particolari Per due superfici piane, parallele e infinite si avrà A1 = A2 e F12 = F21 = 1, e la 2.15 diverrà: Fε = 1 1 + −1 ε1 ε2 −1 2.16 Per una superficie di area A1 contenuta in una cavità di area A2 >> A1 , essendo F12 = 1, la 2.15 diviene semplicemente: Fε = ε1 2.17 Linearizzazione del flusso di irraggiamento Come già visto nel CAPITOLO 1.3, nella soluzione analitica di problemi di irraggiamento è spesso conveniente esprimere i flussi termici scambiati come funzione lineare della differenza di temperatura: Q̇ = hr · A1 · (T1 − T2 ) Questa relazione può essere agevolmente desunta dalla 2.14, attraverso le proprietà dei prodotti notevoli: Q̇ = Fε σA1 T14 − T24 = Fε σA1 T12 + T22 (T1 − T2 ) (T1 + T2 ) e ponendo: 3 hr = Fε σ T12 + T22 (T1 + T2 ) ≈ 4Fε σTm con Tm = (T1 + T2 )/2. 102 2.18 2. IRRAGGIAMENTO È possibile dimostrare che l’approssimazione insita nella 2.18 2 T12 + T22 ≈ 2Tm è tanto più accettabile quanto più prossime fra loro sono le temperature T1 e T2 . 103 3. CONVEZIONE La convezione è lo scambio di calore fra una superficie ed un fluido, a temperatura diversa, che la lambisce. I fenomeni di scambio termico sono concentrati in un sottile strato adiacente alla parete (strato limite termico) e consistono nell’interazione fra conduzione (e in minor misura irraggiamento) e trasporto di energia associata al fluido in moto (in direzione anche diversa da quella principale del moto). A seconda che il moto relativo fra parete e fluido sia determinato da forze esterne o sia provocato da variazioni di densità del fluido (dovute a loro volta a differenze di temperatura) in presenza di un campo di forze di massa, la convezione si dice rispettivamente forzata o naturale. Nel caso della convezione forzata, se le proprietà del fluido possono essere considerate costanti (il che implica che esse siano indipendenti dalla temperatura e che, nel caso di un gas, siano trascurabili le variazioni di pressione), il problema fluidodinamico e quello termico non si influenzano a vicenda e possono essere dunque affrontati separatamente. Al contrario, nella convezione naturale questa separazione della trattazione non è mai possibile perché il moto del fluido è proprio determinato dai gradienti di temperatura all’interno della massa fluida. In entrambi i casi, di convezione forzata o naturale, è consuetudine esprimere il flusso termico convettivo attraverso l’espressione nota come legge di Newton: Q̇ = hc A (Ts − Tf ) 3.1 dove: A = area di scambio, m2 hc = coefficiente di scambio termico liminare convettivo o adduttanza superficiale, W/(m2 K) 105 3. CONVEZIONE Ts = temperatura della superficie lambita dal fluido, ◦ C Tf = temperatura del fluido ◦ C La 3.1 è solo apparentemente una relazione lineare, perché il coefficiente di scambio termico liminare hc dipende, per la natura stessa del fenomeno fisico, da un grande numero di variabili, tra cui compare, insieme alle proprietà termofisiche del fluido (calore specifico, densità, viscosità, conducibilità termica, etc.), e ad altre grandezze fisiche e geometriche che caratterizzano il problema (velocità relativa, forma della superficie, etc.), anche la temperatura. L’obbiettivo degli studi sulla convezione è appunto quello di determinare hc . È possibile affrontare il problema dal punto di vista sperimentale o teorico. Nel primo caso è opportuno far precedere la fase sperimentale da una analisi dimensionale delle grandezze da cui dipende il problema (teorema di Buckingham o teorema Π), che consenta di ridurre il numero di variabili. Questo procedimento, che richiede l’identificazione a priori di tutte le variabili, consente di giungere a relazioni (nel caso più semplice monomie) fra un ristretto numero di parametri adimensionali. Gli esponenti e i coefficienti di queste relazioni vengono poi determinati per via sperimentale. Nel caso in cui il problema venga affrontato dal punto di vista puramente teorico, il fluido viene in genere considerato come un mezzo continuo al quale è possibile applicare le equazioni di conservazione della massa (continuità), della quantità di moto (equazioni di Navier-Stokes) e dell’energia. La soluzione esatta di queste equazioni presenta difficoltà matematiche insormontabili. Attraverso l’introduzione del concetto di strato limite (PARAGRAFO 3.2) è possibile semplificare notevolmente sia le equazioni di Navier-Stokes che dell’energia, giungendo a soluzioni esatte per configurazioni particolarmente semplici e per strato limite laminare. Lo strato limite può anche essere esaminato su scala macroscopica applicando le stesse equazioni di conservazione a una porzione finita di fluido (metodi integrali) e ottenendo in tal modo soluzioni approssimate, ma spesso ancora accettabili nei problemi di ingegneria. In questo caso il problema può essere risolto anche per strato limite turbolento. In quest’ultimo caso un procedimento matematico spesso adottato per risolvere questo tipo di problemi consiste nello stabilire delle analogie fra trasporto di calore e di quantità di moto (analogia di Reynolds). Nel seguito sono riportati alcuni richiami, necessariamente sintetici, di moto dei fluidi. 106 3. CONVEZIONE 3.1. REGIME DI MOTO E VISCOSITÀ Si deve a Reynolds (1883) la prima osservazione dell’esistenza di due tipi fondamentali di moto dei fluidi, il moto laminare e quello turbolento. Il ben noto esperimento da lui realizzato gli consentì di visualizzare (attraverso l’iniezione di un liquido colorante) il flusso d’acqua in un condotto, al variare della velocità. Per piccole velocità la traccia di colorante rimane continua e ben definita; l’assenza di miscelamento di particelle di fluido evidenzia un campo di moto puramente assiale, e il moto viene detto laminare. All’aumentare della velocità la traccia del colorante tende a sfilacciarsi fino a diffondersi su tutta la sezione del condotto; il rimescolamento delle particelle di fluido evidenzia la presenza di fluttuazioni di velocità sia in direzione parallela che perpendicolare alla direzione del moto, e il moto viene detto turbolento. Per flusso turbolento, anche se il regime di moto è stazionario le proprietà del fluido in un punto (velocità, pressione, temperatura, etc.) variano dunque nel tempo. Si tratta, tuttavia, di variazioni a valor medio temporale nullo. Perciò è sufficiente sostituire ai valori istantanei delle proprietà i loro valori medi, esprimendo le componenti fluttuanti attraverso il loro valore quadratico medio. Quando gli strati di fluido scorrono uno sopra l’altro sono sottoposti a sforzi tangenziali che sono bilanciati dagli effetti dissipativi interni al fluido, provocati dalla sua viscosità. Come conseguenza di ciò si osserva sperimentalmente la presenza di un gradiente di velocità in direzione trasversale al moto. In un fluido newtoniano gli sforzi tangenziali sono proporzionali in modo lineare al gradiente di velocità, e la costante di proporzionalità è detta viscosità dinamica µ: τ =µ· du dy 3.2 dove u è la velocità nella direzione principale del moto e y è la direzione perpendicolare alla superficie su cui scorre il fluido. 107 3. CONVEZIONE Ripetendo l’esperimento di Reynolds con fluidi aventi proprietà fisiche (viscosità, densità) e velocità diverse e in condotti aventi diametro diverso si osserva che la transizione dal moto laminare a quello turbolento si verifica sempre in corrispondenza di uno stesso valore (2000-2500) di un insieme adimensionato di variabili, detto numero di Reynolds, definito da: Re = u·D ρ·u·D = µ ν 3.3 dove ν è la viscosità cinematica. Per Re < 2000 il moto sarà dunque laminare e per Re > 2500 sarà turbolento, qualunque siano i valori assunti singolarmente dalle varie grandezze. Un altro parametro particolarmente importante nello studio della convezione è il numero di Prandtl, definito come: Pr = ν µ · cp = λ α 3.4 in cui α = ρ · cp /λ è la diffusività termica, definita nel CAPITOLO 1. Esiste una analogia fra trasporto di massa e di calore in un campo di pressioni uniforme, evidenziata formalmente dal fatto che per P r ≈ 1 (ν = α) la distribuzione adimensionale della temperatura è identica a quella delle velocità. In effetti per la maggior parte dei gas P r è compreso fra 0.6 ed 1, mentre per i liquidi le variazioni sono assai più sensibili. 3.2. CONCETTO DI STRATO LIMITE Una notevole semplificazione del problema la si ottiene introducendo il concetto di strato limite. Tale concetto fu introdotto da Prandtl nel 1904 per studiare il moto di un fluido adiacente ad una parete. Egli osservò che, ad una adeguata distanza dalla parete, il moto del fluido non è più influenzato dalla presenza della parete e definì perciò strato limite della velocità quella regione di fluido, adiacente alla parete, in cui, a causa degli sforzi viscosi, esistono degli apprezzabili gradienti di velocità. Detta x la 108 3. CONVEZIONE T T Ts T T Ts T T y t (x) x Fig. 3.1 – Strato limite termico su una lastra piana. direzione principale del moto ed u la componente di velocità lungo x, lo spessore δ(x) dello strato limite dinamico viene determinato imponendo che u(x, δ) non differisca dalla velocità nella regione indisturbata u∞ per più dell’1%. Analogamente, esiste uno strato limite termico in cui la temperatura varia da Ts (temperatura della parete) a T∞ (temperatura del fluido nella regione indisturbata). La regione di fluido non compresa nello strato limite termico si comporta dunque come un pozzo termico, in grado di assorbire il calore proveniente dallo strato limite senza modificare la propria temperatura. Anche in questo caso, lo spessore δ t dello strato limite termico viene determinato imponendo che la differenza di temperatura |T (x, δt ) − Ts | sia pari al 99% della differenza di temperatura fra fluido nella zona indisturbata e parete |T∞ − Ts | (fig. 3.1). Se si rapporta il flusso termico scambiato per convezione attraverso lo strato limite: Q̇c = hc A (Ts − Tf ) con quello che sarebbe scambiato per pura conduzione attraverso lo strato limite: Q̇k = λ (Ts − Tf ) δt in cui λ è la conducibilità termica del fluido, si ottiene: 109 3. CONVEZIONE Q̇c /Q̇k = hδt λ Se al posto dello spessore dello strato limite si riporta nell’espressione precedente la generica lunghezza caratteristica L, si ottiene l’espressione del numero di Nusselt: Nu = 3.3. hL λ 3.5 ANALISI DIMENSIONALE PER LA CONVEZIONE FORZATA L’esperienza insegna che il coefficiente di scambio termico per convezione forzata dipende dalle seguenti variabili indipendenti: hc = f (u, µ, λ, L, ρ, cp ) 3.6 dove: u = velocità µ = viscosità dinamica λ = conducibilità termica L = lunghezza caratteristica del problema (es.: diametro) ρ = massa volumica cp = calore specifico Si hanno dunque 7 variabili (6 indipendenti) che dimensionalmente possono essere espresse attraverso le 4 dimensioni fondamentali M, L, T, Θ (massa, lunghezza, tempo e temperatura). Il teorema di Buckingham afferma che: una relazione fra n variabili dipendenti ed indipendenti funzione di m dimensioni fondamentali può essere espressa attraverso una funzione fra (n − m) gruppi adimensionati. La 3.6 darà dunque luogo ad una funzione di 7 – 4 = 3 gruppi adimensionati: 110 3. CONVEZIONE f1 (π1 , π2 , π3 ) = 0 Si ipotizza una funzione monomia del tipo: hc = A · ua · µb · λc · Ld · ρm · cnp 3.7 Essendo note le equazioni dimensionali delle 7 grandezze (tabella 3.1), si scrivono poi le equazioni di congruenza dimensionale per le 4 dimensioni fondamentali. M assa M : 1 =b+c+m Lunghezza L : 0 = a − b + c + d − 3m + 2n T empo t : T emperatura Θ : 3.8 −3 = a − b − 3c − 2n −1 = −c − n Tab. 3.1 – Equazione dimensionale per le variabili del problema. grandezza hc u µ λ D ρ cp unità di misura s.i. unità fond. s.i. equazione dimensionale W/(m2 K) m/s N s/m2 W/(m K) m kg/m3 J/(kg K) kg/(s3 K) m/s kg/(s m) kgm/(s3 K) m kg/m3 m2 /(s2 K) M 1 0 1 1 0 1 0 L 0 1 -1 1 1 -3 2 T -3 -1 -1 -3 0 0 -2 Θ -1 0 0 -1 0 0 -1 Il sistema 3.7 è di 4 equazioni in 6 incognite. Esprimendo a, b, c, d in funzione di m, n si ottiene: a=m b=n−m c=1−n d=m−1 111 3. CONVEZIONE Sostituendo nella 3.9 e raccogliendo i termini con uguale esponente si ottiene: hc = A um µn−m λ1−n Lm−1 ρm cnp = A ρuD µ m µ cp n λ λ L da cui: N u = A Rem Pr n 3.9 È opportuno sottolineare come nella 3.9 si sia giunti a due sole variabili indipendenti (Re e P r), dalle sei che comparivano nella 3.6. Per ricavare il valore del coefficiente A e degli esponenti m ed n che compaiono nella 3.9 è necessario ricorrere a tecniche sperimentali. In Tab. 3.2 si possono trovare tali valori per alcune configurazioni ricorrenti. Tab. 3.2 – Valori delle costanti dell’equazione 3.9 per alcune configurazioni geometriche semplici. Caso A n Moto turbolento completamente sviluppato all’interno di un condotto per fluido che si raffredda (equazione di Dittus e Boelter)1 0.023 0.8 0.3 Moto turbolento completamente sviluppato all’interno di un condotto per fluido che si riscalda (equazione di Dittus e Boelter)1 0.023 0.8 0.4 Fluido che scorre su una lastra piana indefinita per strato limite laminare 0.664 0.5 0.33 Fluido che scorre su una lastra piana indefinita per strato limite turbolento(ReL > 105 ) 2 0.036 0.8 0.33 1 Le proprietà del fluido vanno calcolate alla temperatura media del fluido. 2 In questo caso la 3.9 fornisce il valore medio di N u nel tratto L. 112 m 3. CONVEZIONE Per alcuni fluidi di uso comune (aria, acqua) esistono delle correlazioni semplificate in cui si fornisce direttamente hc in funzione delle principali variabili indipendenti (la velocità u e, a volte, una caratteristica dimensionale). Ad esempio, per aria che scorre su una parete si ha: hc = 3 + 2 u 3.4. CONVEZIONE NATURALE Applicando l’analisi dimensionale alla convezione naturale, è possibile ottenere: Nu = f(Gr, Pr) con Gr, numero di Grashof, definito da: Gr = g · β · ∆T · l3 ν2 3.10 dove ∆T = differenza di temperatura fra fluido (T∞ ) e parete (T0 ) L = lunghezza caratteristica 1 β = coefficiente di dilatazione termica, pari a V gas ideali, come l’aria ∂V ∂T , ovvero 1/T per i p Le relazioni sono del tipo: N u = C · (P r · Gr)m = C · Ram 3.11 con Ra = Gr · P r (numero di Rayleigh) 3.12 I numeri di Grashof e Prandtl vanno valutati alla cosiddetta temperatura di film Tf , definita come: Tf = (Ts + T∞ )/2 113 3. CONVEZIONE Calcolo dello scambio termico per convezione naturale per alcuni casi particolari I valori dei coefficienti C ed m dipendono dalla geometria del problema e dal valore del numero di Rayleigh, come indicato nella tabella 3.3. Tab. 3.3 – Costanti C ed m da usare nella 3.11. Geometria Ra C m 104 ÷ 109 0.59 1/4 109 ÷ 1013 0.10 1/3 2 · 104 ÷ 8 · 106 0.54 1/4 8 · 106 ÷ 1011 0.15 1/3 105 ÷ 1011 0.58 1/5 Piano o cilindro verticale Piano orizzontale (flusso ascendente) Piano orizzontale (flusso discendente) Quando il fluido è aria possono essere utilizzate le equazioni semplificate riportate in tabella 3.4. Tab. 3.4 – Espressioni semplificate di h c per l’ aria. Configurazione Regime laminare (104 < Ra < 109 ) turbolento (Ra > 109 ) Piano o cilindro verticale hc = 1.42 · (∆T /L)1/4 hc = 0.95 · (∆T )1/3 Piano orizzontale (flusso ascendente) hc = 1.32 · (∆T /L)1/4 hc = 1.43 · (∆T )1/3 Piano orizzontale (flusso discendente) 114 ´1/5 ` hc = 0.61 · ∆T /L2 3. CONVEZIONE u 0 T Ts1 Ta Ts2 Fig. 3.2 – Campo termico e di velocità in una intercapedine. Intercapedini d’aria Il caso di intercapedini d’aria limitate da pareti è molto frequente in edilizia. Nelle intercapedini si ha un doppio scambio termico convettivo parete calda-aria e ariaparete fredda che produce il tipico campo di moto e di temperatura riportato in figura 3.2. Per le intercapedini si ricorre talvolta al concetto di conducibilità termica equivalente λe . Essa rappresenta il valore di conducibilità termica di un immaginario materiale omogeneo inserito nell’intercapedine tale per cui, a parità di temperatura delle due facce, il flusso per conduzione risulterebbe pari a quello effettivamente trasmesso attraverso l’intercapedine per convezione naturale. Si ha allora: Q̇/A = hc · (T1 − T2 ) = λe (T1 − T2 ) δ 3.13 dove δ = spessore dell’intercapedine. 115 3. CONVEZIONE I valori di λe si ricavano attraverso il rapporto adimensionato: N uδ = λe hc δ = λ λ in cui N uδ , numero di Nusselt calcolato per L = δ, rappresenta il rapporto fra il flusso convettivo e quello che si avrebbe nel caso di pura conduzione. Esso è dato da: n m N uδ = C · (Grδ · Pr) · (L/δ) 3.14 con: Grδ = numero di Grashof calcolato perL = δ L = altezza o lunghezza dell’intercapedine C, m, n = coefficienti riportati nella tabella 3.5 Per numeri di Grashof inferiori a 2000 si assume λe ≡ λ, ovvero N uδ = 1. Ciò significa che non si innescano moti convettivi e il trasporto di calore avviene per pura conduzione. Tab. 3.5 – Valori delle costanti dell’equazione 3.14 per alcune geometrie semplici Geometria Verticale Orizzontale (flusso ascendente) 116 Grδ · P r L/δ C m n 6 · 103 ÷ 2 · 105 2 · 105 ÷ 1.1 · 107 11 ÷ 42 11 ÷ 42 0.197 0.073 -1/9 -1/9 1/4 1/3 1700 ÷ 7000 7000 ÷ 3.2 · 105 > 3.2 · 105 .......... .......... .......... 0.059 0.212 0.061 0 0 0 0.4 1/4 1/3 4. 4.1. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE SCAMBIO TERMICO MISTO IN INTERCAPEDINI Si è visto nel CAPITOLO 1 (eq. 1.21) come il flusso di calore trasmesso attraverso una parete piana multistrato in regime stazionario sia dato dall’espressione Q̇ = U · (Ti − Te ) A 4.1 dove U, detta trasmittanza termica o coefficiente di scambio termico globale, è data da (CAPITOLO 1, eq. 1.22): −1 n 1 s 1 j U = + + hi j=1 λj he Tutti i termini fra parentesi rappresentano delle resistenze termiche. Esistono alcuni componenti di parete la cui resistenza termica non può essere determinata attraverso il rapporto s/λ. Si tratta di intercapedini d’aria, blocchi di laterizio o cemento alleggerito, etc. In questi casi si preferisce introdurre nella 1.22 direttamente la loro resistenza termica, ovvero: −1 n s 1 1 j + Rj + U = + hi j=1 λj he 4.2 Si esaminerà ora in particolare il calcolo della resistenza termica delle in intercapedini d’aria, comunemente impiegate in edilizia, sia nelle pareti opache che in quelle 117 4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE irraggiamento convezione ari a T1 T2 Ta Fig. 4.1 – Flussi termici in intercapedini. vetrate. Nelle intercapedini si ha uno scambio termico per irraggiamento diretto fra le due facce delle pareti, e uno scambio termico convettivo parete calda-aria e ariaparete fredda (vedi fig. 4.1). Il flusso complessivamente scambiato nell’intercapedine vale dunque: Q̇ = A Q̇ A + conv Q̇ A (hc + hr ) (T1 − T2 ) = = hc (T1 − T2 ) + hr (T1 − T2 ) = rad T1 − T2 Rint 4.3 Lo studio dell’irraggiamento fra le due facce di un’intercapedine si può ricondurre a quello fra due superfici piane, parallele e infinite, analizzato nel CAPITOLO 2. Il flusso scambiato per unità di superficie vale in questo caso Q̇ A = σ Fε T14 − T24 = hr (T1 − T2 ) rad con 3 hr = 4σ Fε Tm = 1 ε1 3 4σTm 1 + ε2 − 1 Dalla fig. 4.2 si vede che il valore di hr dipende debolmente dalla temperatura media delle due facce (in K), ma è fortemente influenzato dalla loro emissività. 118 4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE 6.000 coefficiente radiativo h r (W/m 2 K) 5.000 4.000 Tm = 275 K 3.000 Tm = 290 K 2.000 1.000 0.000 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 F Fig. 4.2 – Coefficiente radiativo h r in intercapedini per vari valori di F e Tm . Per quanto riguarda la convezione in intercapedini, essa è stata analizzata nel CAPITOLO 3. Si ha1 . Q̇/A = hc · (T1 − T2 ) con hc = λe δ dove δ = spessore dell’intercapedine λe = conducibilità termica effettiva (o equivalente) dell’intercapedine La conducibilità termica effettiva dipende a sua volta in modo complesso dallo spessore dell’intercapedine, dalla differenza di temperatura e dalla lunghezza (altezza) 1 Si noti che, contrariamente alla consuetudine, il flusso convettivo non viene assunto proporzionale alla differenza fra la temperatura di una faccia e dell’aria, ma alla differenza fra le temperature delle due facce. 119 4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE d = 5 cm d = 2 cm d = 8 cm 1.600 1.400 hc (W/m 2 K) 1.200 1.000 0.800 0.600 0.400 0.200 0.000 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Differenza di temperatura fra le facce (°C) Fig. 4.3 – Coefficiente convettivo h c in intercapedini al variare di differenza di temperatura e spessore dell’intercapedine (L = 3m). dell’intercapedine. In fig. 4.3 è illustrata la dipendenza dalla differenza di temperatura e dallo spessore dell’intercapedine. In definitiva le variabili da cui dipende la resistenza dell’intercapedine sono: • l’emissività delle facce • la differenza di temperatura fra le due facce • lo spessore dell’intercapedine • l’altezza dell’intercapedine In generale si può dire che la resistenza dell’intercapedine aumenta fortemente al diminuire dell’emissività delle due facce e diminuisce debolmente all’aumentare della differenza di temperatura e al diminuire dell’altezza dell’intercapedine. Ha invece un andamento variabile al variare dello spessore: cresce fino a circa 6 cm, poi diminuisce lentamente. Per intercapedini in pareti opache o vetrate non trattate l’emissività delle due facce è circa uguale a 0.93-0.95, da cui risulta F = 0.87-0.90. Si può assumere in tal caso Rint = 0.18-0.19 m2 K/W. 120 4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE T Ti Tx Te Rtot R0-x R Fig. 4.4 – Diagramma (T, R). Viceversa, quando si impiegano vetri speciali, denominati basso-emissivi, che consentono di raggiungere valori di F = 0.10-0.20, si può avere Rint = 0.4-0.5 m2 K/W. 4.2. DIAGRAMMA ( T, R ) La 4.1 può essere riscritta, ricordando la 1.19a Ti − Te Q̇ = A Rtot La formula mostra che in regime stazionario le differenze di temperatura sono proporzionali alle resistenze termiche. La costante di proporzionalità è proprio la densità di flusso termico: Ti − Te = Q̇/A · Rtot 4.4 Riportando le temperature su un diagramma (T, R), come indicato in fig. 4.4 si ottiene una retta che consente di determinare la temperatura in una sezione qualsiasi (x) della struttura in funzione della generica resistenza termica Ro−x dall’aria interna alla sezione considerata. 121 4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE 4.3. TRASMISSIONE DEL CALORE IN PARETI OPACHE IN PRESENZA DI RADIAZIONE SOLARE Si vuole calcolare il flusso trasmesso attraverso una parete multistrato di spessore s e costituita da n strati, sulla cui faccia esterna incide un flusso termico radiativo di origine solare. Siano Ti e Te le temperature dei due ambienti che essa separa. Si tratta di un problema con condizioni al contorno del 3◦ tipo su entrambe le facce della parete. In particolare, sulla faccia esterna si avrà: Q̇ A = he (Tn+1 − Te ) − α I x=s dove α è il fattore di assorbimento della parete e I l’irradianza solare, espressa in W/m2 . Seguendo la procedura indicata nel PARAGRAFO 1.4 si ricava la differenza di temperatura fra l’aria interna e la superficie esterna: n Q̇ sj 1 + = Ti − Tn+1 A j=1 λj hi Aggiungendo a questa equazione la condizione al contorno sulla faccia esterna si ottiene: Q̇ U αI = U (Ti − Te ) − = U (Ti − Ts,a ) A he avendo chiamato temperatura sole-aria la quantità Ts,a = Te + 4.4. αI he 4.5 IL PROBLEMA DELLA CONDENSA SUPERFICIALE Quando la temperatura superficiale di una parete a contatto con l’aria interna scende al di sotto della temperatura di rugiada si ha formazione di condensa. Se il fenomeno è ricorrente si creano condizioni favorevoli allo sviluppo di colonie fungine e muffe 122 4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE che deturpano l’aspetto della parete e creano un ambiente malsano per le persone che vi risiedono2 . Il problema si sintetizza nel confronto fra la temperatura superficiale Tsi = Ti − U (Ti − Te ) hi e la temperatura di rugiada Tr dell’aria interna, che a sua volta dipende, oltre che dalla temperatura dell’aria, dalla sua umidità relativa (vedi il CAPITOLO 4 della PARTE PRIMA ). Per evitare la condensa superficiale occorre che sia: Tsi > Tr Tuttavia, poiché la temperatura superficiale interna risente delle variazioni della temperatura esterna, è più conveniente effettuare il confronto utilizzando il concetto di fattore di temperatura della parete: f= Tsi − Te Ti − Te 4.6 in quanto si dimostra facilmente che questo è solo funzione delle caratteristiche di resistenza termica della parete (Rtot ) e dello strato liminare interno (Ri ): f= Tsi − Te Tsi − Te + Ti − Ti Ti − Tsi Ri = =1− =1− Ti − Te Ti − Te Ti − Te Rtot Occorre allora imporre che f sia superiore al valore massimo ammissibile fmax , dato a sua volta da: fmax = 2 Tr − Te Ti − Te Alcune muffe riescono a proliferare anche quando l’umidità relativa locale è inferiore al 100 %, fino a valori prossimi all’80%. 123 4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE 4.5. DIFFUSIONE DEL VAPORE E CONDENSA INTERSTIZIALE La diffusione è quel particolare fenomeno di trasporto di massa provocato su scala microscopica da gradienti di concentrazione presenti all’interno di una miscela di gas. Per concentrazione si intende il rapporto fra la quantità di sostanza di uno dei componenti la miscela e il volume totale della miscela. La condensa interstiziale è un fenomeno che si verifica quando il vapore d’acqua, nella sua diffusione attraverso una parete, incontra zone a temperatura più bassa della temperatura di saturazione del vapore. Legge di Fick Si abbia un volume contenente una miscela di gas a concentrazione non uniforme. Attraverso una superficie immaginaria tracciata in modo da dividere il volume occupato dalla miscela in due parti, passeranno, per mera agitazione molecolare, più molecole dal lato a concentrazione più elevata a quello a concentrazione più bassa che non viceversa. Ne risulta un trasporto netto di massa nella direzione in cui il gradiente di concentrazione è minore di zero. L’esperienza dimostra che la portata di diffusione è proporzionale al gradiente della concentrazione, secondo la legge, detta Legge di Fick, valida in regime stazionario: ∂C ṅ = −D · A ∂x 4.7 in cui ṅ = flusso di quantità di sostanza, kmoli/s D = diffusività, m2 /s C = concentrazione molare, in kmoli/m3 , data da: C= n V Si osservi la perfetta analogia fra la 4.7 e la legge di Fourier, scritta in funzione della diffusività termica α = λ/ρcp , che ha le stesse dimensioni di D : Q̇ ∂T ∂ (ρ cp T ) = −λ = −α A ∂x ∂x 124 4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE Diffusione del vapore acqueo attraverso una parete Esaminiamo adesso il caso della diffusione del vapore acqueo attraverso un materiale permeabile. Poiché il vapore d’acqua è allo stato gassoso si può, con qualche approssimazione, applicare l’equazione di stato dei gas ideali: pV = nRT in cui p è la pressione parziale del vapore nell’aria. Dalla definizione di concentrazione molare si ricava C= p RT 4.8 Sostituendo la 4.8 nella 4.7 si ha: D ∂p ṅ =− · A R T ∂x o anche, moltiplicando per la massa molecolare µ: ṁ µ ∂p ∂p = −D = −δ A R T ∂x ∂x 4.9 avendo definito permeabilità al vapore la quantità δ= D R∗ T Applicando la 4.9 ad una parete piana multistrato in regime stazionario per flusso di vapore monodimensionale, si ottiene, con procedimento del tutto analogo a quello descritto per ricavare il flusso di calore per conduzione attraverso una parete multistrato (CAPITOLO 1.4): ṁ = M · (pi − pe ) A dove M= s 1 1 + + βi δ βe 4.10 −1 4.11 è la permeanza al vapore della parete, che ha il suo analogo termico nella trasmittanza termica U del CAPITOLO 1.4. I termini riportati nella parentesi hanno le dimensioni di una resistenza alla diffusione del vapore (Rv ); in particolare i coefficienti dimensionati β i e β e forniscono l’entità 125 4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE della diffusione del vapore dall’aria alla parete e viceversa. Il loro valore è molto elevato rispetto ai valori di δ/s dei principali materiali, per cui spesso si può assumere 1/βi = 1/βe = 0 Pertanto la 4.5 può essere riscritta come: s −1 M= δ 4.11 a I valori di permeabilità di alcuni fra i materiali più comunemente impiegati in edilizia sono forniti in Tabella 4.1. Tab. 4.1 – Valori di permeabilità al vapor d’acqua (δ). Materiale (kg/s m Pa) Materiale (kg/s m Pa) Aria 17.8 · 10−11 Legno di pino 0.10 · 10−11 Calcestruzzo da 2300 kg/m3 0.5 · 10−11 Muratura di mattoni pieni e forati 2.0 · 10−11 Calcestruzzo di pomice da 280 kg/m3 5.9 · 10−11 Fibra minerale (lastre) Calcestruzzo leggero 1.8 ÷ 4.8 · 10−11 Cartonfeltro bitumato 1.8 · 10−14 Foglio di polietilene 0.2 ÷ 0.5 · 10 −14 Eternit 0.27 · 10−11 Polistirolo espanso 0.4 ÷ 0.8 · 10−11 Intonaco di gesso 2.9 · 10−11 Polistirolo estruso 0.21 · 10−11 Intonaco di malta di cemento 0.9 · 10−11 PVC Foglio di alluminio, vetro cellulare 3 ÷ 15 · 10−11 0 0.8 ÷ 1.7 · 10−12 » 126 4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE Tab. 4.1 – Valori di permeabilità al vapor d’acqua (δ). Materiale (kg/s m Pa) Materiale (kg/s m Pa) Intonaco di malta e calce 1.8 · 10−11 Resina epossidica in lastre rinforzate con fibra di vetro 0.83 · 10−15 Legno di faggio 0.05 · 10−11 Vermiculite, perlite e argilla espansa sciolta 17.8 · 10−11 Diagramma di Glaser Il diagramma di Glaser costituisce un utile strumento non soltanto per la verifica dei rischi di condensa in una parete, ma anche per la correzione di tale inconveniente. Essa ha la resistenza alla diffusione del vapore in ascisse e la pressione parziale di vapore in ordinate. E’ dunque un diagramma (p, Rv ) e gode delle stesse proprietà di cui gode il diagramma (T, R) descritto al PARAGRAFO 4.2. Il procedimento di costruzione del diagramma consiste nei seguenti passi: a. Si riportano in ascisse, in successione, i valori delle resistenze s/δ alla diffusione del vapore degli strati costituenti la parete, dall’interno all’esterno, fino a raggiungere l’aria esterna (Rv,tot ). b. Si riportano i valori delle pressioni parziali del vapore interna (pi ) ed esterna (pe ), rispettivamente in corrispondenza di Rv = 0 e Rv = Rv,tot . c. Si traccia la retta che unisce i due punti così ottenuti. Essa rappresenta l’andamento delle pressioni parziali su ogni superficie attraversata dal flusso di vapore. Infatti, analogamente alla 4.4, si ha pe = pi − ṁ · Rv,tot A d. Conoscendo le temperature in corrispondenza dei vari strati si ricavano le corrispondenti pressioni di saturazione ps (vedi tab. 4.2 e fig. 4.1 della PARTE I) e le si riportano sul diagramma di Glaser. 127 4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE p psi pi pse pe Rv,tot Rv Fig. 4.5 – Diagramma di Glaser per una parete in cui non si manifestano fenomeni di condensa. Tab. 4.2 – Valori della pressione di saturazione dell’acqua fra –20 ◦C e 39◦ C. 128 T (◦ C) pvs (P a) T (◦ C) pvs (P a) T (◦ C) pvs (P a) T (◦ C) pvs (P a) -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 103 114 125 137 151 165 181 199 217 238 260 284 310 338 369 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 402 437 476 518 563 611 657 706 758 814 873 935 1002 1073 1148 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1228 1312 1403 1498 1598 1706 1819 1938 2064 2198 2339 2488 2645 2811 2985 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 3169 3363 3567 3782 4008 4246 4496 4759 5035 5324 5628 5947 6281 6632 7000 4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE p psi pi p1 p2 pse pe Rv,1 Rv,2 Rv,tot Rv Fig. 4.6 – Profilo delle pressioni reali in presenza di condensazione. Se in nessun punto la pressione reale supera quella di saturazione si ha la situazione di fig. 4.5. In caso contrario si ha formazione di condensa all’interno della parete, evidenziata dall’area tratteggiata (fig. 4.6). Tuttavia, in questo caso il profilo delle pressioni reali cambia rispetto a quello ricavato con le considerazioni precedenti, poiché la pressione reale non può mai superare la pressione di saturazione. Per ricavare il profilo di pressione reale si deve tener conto del fatto che, poiché parte della portata di vapore condensa, la portata uscente sarà minore di quella entrante. Pertanto, devono essere rispettate le due condizioni: – portata costante quando p < ps ( ∂p = costante) ∂Rv – p ≤ ps in ogni sezione della parete L’andamento delle pressioni reali che soddisfa le precedenti condizioni è quello in cui la retta delle pressioni reali è tangente alla curva di saturazione (tratti pi −p1 e p2 −pe ) o coincide con essa (tratto p1 − p2 ). 129 4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE p psi pi Rv,add pse pe Rv Fig. 4.7 – Correzione del problema della condensa interstiziale mediante resistenza aggiuntiva (barriera al vapore). La portata di vapore, ovvero la pendenza dp/dRv , sarà costante nel tratto i − 1, decrescente nel tratto 1 − 2 e di nuovo costante, ma inferiore a quella del tratto i − 1, nel tratto 2 − e. La portata condensata varrà dunque: pi − p1 p2 − pe ṁ ṁ ∂p ∂p ṁ = − = − = − A cond A in A out ∂Rv i−1 ∂Rv 2−e Rv,1 Rv,2 Nel caso in cui si voglia correggere la stratigrafia della parete in modo da evitare la formazione di condensa al suo interno, si può ancora utilizzare il diagramma di Glaser. Si traccia la retta partente da pe e tangente alla curva di saturazione fino a raggiungere il valore pi , sulla sinistra dell’asse (fig. 4.7). La distanza di tale punto dall’asse p rappresenta la resistenza Rv,add aggiuntiva che deve essere introdotta, attraverso una opportuna barriera al vapore, per evitare rischi di condensa. 4.6. TRASMISSIONE DEL CALORE IN PARETI VETRATE Nel caso di pareti vetrate, in presenza di radiazione solare, si ha un duplice fenomeno di scambio termico, di cui si tiene conto separatamente. Vi è un flusso termico per 130 4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE differenza di temperatura (trasmissione per conduzione, con condizioni al contorno radiativo-convettive) e un flusso termico entrante per effetto della radiazione solare. Il flusso termico per differenza di temperatura sarà dato, come in precedenza, dalla 4.1 Q̇ A = U · (Ti − Te ) cond Quello legato alla radiazione solare è somma di due componenti, una di trasmissione diretta verso l’interno, l’altra dovuta all’assorbimento e riemissione verso l’interno della radiazione Q̇ A = (τsol + n αsol ) I 4.12 sol in cui n = frazione riemessa verso l’interno della quota assorbita αsol = fattore di assorbimento alla radiazione solare τ sol = fattore di trasmissione alla radiazione solare Spesso la quantità fra parentesi nella 4.12 viene detta fattore solare (g ) : g = τ + n αsol 131