Consolidazione monodimensionale (1(1-D)
carico distribuito q
falda freatica
sabbia
x
Consolidazione
monodimensionale e prova
edometrica
argilla
sabbia
z
IPOTESI
1) carico distribuito su un’area molto più larga dello spessore dello strato
2) deformabilità degli strati sabbiosi trascurabile rispetto a quella dello strato
argilloso
prof. Simonetta Cola
Venerdì 7 marzo 2008
Prof. Simonetta Cola - Consolidazione monodimensionale e prova edometrica
Evoluzione nel tempo delle pressioni dell’
dell’acqua
Consolidazione monodimensionale (1(1-D)
carico distribuito q
‰ Al tempo t0 = 0
falda freatica
sabbia
x
Δσ1 = Δu
Δσ1
Δσ’ = 0
argilla
sabbia
εz≠0
z
Δσz=q
H0
Sovrappressioni
Δσ1
neutre,
Δu
εx=0
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Master in Bonifica Idraulica e Irrigazione - Rovigo 08
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1
Evoluzione nel tempo delle pressioni dell’
dell’acqua
L’incremento di tensione verticale provocato dal carico applicato
esternamente induce una compressione verticale dello scheletro
solido.
‰ Al generico tempo t
Δσ’+ Δu = Δσ1
Δσ1
H0
Δu
Δσ’
Poichè grani solidi e fluido interstiziale sono praticamente
incomprimibili, la compressione dello scheletro solido può aver luogo
solo se l’acqua interstiziale fuoriesce per filtrazione verso gli strati
permeabili inferiore e superiore.
La filtrazione dell’acqua (e quindi anche la compressione) è ritardata
nel tempo per effetto della bassa permeabilità (regime transitorio).
Sovrappressioni
Δσ1
Consolidazione
neutre,
Δu
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Prova edometrica
Tale fenomeno transitorio, chiamato consolidazione, è riprodotto in
laboratorio per mezzo della prova edometrica.
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Prova edometrica
È una prova di compressione verticale con espansione laterale
impedita.
Consiste nell’applicare una sequenza di carichi ad un provino
cilindrico saturo contenuto lateralmente in modo che le deformazioni
ed il flusso dell’acqua avvengano solo in direzione verticale.
Per ogni carico si permette la consolidazione.
È la prova più utilizzata per determinare i parametri di
compressibilità, di consolidazione e per quantificare la storia
tensionale di un deposito.
È comunemente effettuata sui terreni COESIVI.
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Master in Bonifica Idraulica e Irrigazione - Rovigo 08
Cella edometrica composta da:
‰ anello rigido contenente il provino
(Hmin= 19 mm, Dmin= 50 mm);
‰ pietre porose sopra e sotto il
provino
‰ cappello di carico
Sistema di carico verticale a leva
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2
Prova edometrica
Modalità di prova
‰
‰ Un micrometro per la misura
delle deformazioni verticali del
provino e un cronometro per la
misura
dei
tempi
di
consolidazione.
‰ L’insieme
provino-anellodischi porosi è posto in un
contenitore pieno d’acqua.
Si applica al provino una sequenza di carichi verticali N1, N2, N3,
ecc. secondo una progressione geometrica
ΔNi+1/Ni =1
‰ Ogni incremento di carico è mantenuto per 24h, tempo durante il
quale si rileva l’andamento nel tempo degli abbassamenti ΔH. Tali
letture sono eseguite dopo 5”, 10”, 20”, 30”, 1’, 2’, 4’, 8’, 15’, 30’,
1h, 2h, 4h,8h e 24h dall’applicazione dell’incremento di carico.
‰ Per ogni carico applicato Ni si ha quindi di un abbassamento (o
cedimento) complessivo ΔHi, valore misurato alle 24 h.
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Interpretazione della prova
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Modello analogico (semistrato)
In virtù
virtù del fatto che:
‰ L’acqua è incomprimibile;
‰
La compressibilità
compressibilità delle particelle che costituiscono lo scheletro
solido può considerarsi TRASCURABILE;
‰
Il provino è SATURO;
Il cedimento (riduzione di volume del provino) che si verifica a seguito
dell’
dell’applicazione di un carico è uguale al volume di acqua interstiziale che
viene espulso.
Nelle terre sature si hanno variazioni di volume
apprezzabili solo per RIASSESTAMENTO DELLE
PARTICELLE CON ESPULSIONE DEL FLUIDO
INTERSTIZIALE.
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3
Compressione edometrica
Risultati della prova (piano σ’-e)
e
e
εz =
ΔH ΔV
=
H0
V0
εz =
ΔV V0 − V1 Vs (1 + e0 ) − Vs (1 + e1 ) e0 − e1
=
=
=
V0
V0
Vs (1 + e0 )
1 + e0
log σ’ (kPa)
ΔH
Δe
=
H0 1 + e0
σ’ (kPa)
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Parametri di compressibilità
compressibilità
Risultati della prova (piano σ’-ε)
σ’ (kPa)
σ’ (kPa)
log σ’ (kPa)
e
εz (%)
εz (%)
εz (%)
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Rapporto di
compressibilità
Δε
mv =
Δσ '
Modulo edometrico
M = 1/ mv
σ’ (kPa)
Indice di
compressibilità
av = −
Δe
Δσ '
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4
Tensione di preconsolidazione
σ’zo
Parametri di compressibilità
compressibilità
Tensione di
consolidazione σ’c
‰
Curva εz-logσ’
RAPPORTO DI RICOMPRESSIONE (tratto di ricarico)
Grado di
sovraconsolidazione
OCR =
log σ’’
OCR
=1
>1
<1
σ 'c
σ 'z 0
RAPPORTO DI COMPRESSIONE (tratto di carico)
Δε z
Δ log σ '
CR =
Terreni normalmente consolidati
Terreni sovraconsolidati
Terreni sottoconsolidati (rari)
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Indici di compressione
c
e
Δε z
Δ log σ '
RR =
n TRATTO DI RICARICO
d
Cr
o TENSIONE DI
PRECONSOLIDAZIONE
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Schematizzazione della risposta dei terreni coesivi
Tensione di consolidazione σ’c
Δσ’z
e
Cr
p TRATTO DI CARICO
f
Cc
e
q TRATTO DI SCARICO RICARICO
Cc
Cr
Cr
σ’c
σ’ (kPa)
INDICE DI RICOMPRESSIONE
(tratto di ricarico)
INDICE DI COMPRESSIONE
(tratto di carico)
Cr = −
Δe
Δ log σ '
Cc = −
Δe
Δ log σ '
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=σ’zo
σ’
Terreni normalmente consolidati
ΔH = H0
Δe
Cc
σ ' + Δσ 'z
= H0
log z0
1 + e0
1 + e0
σ ' z0
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5
Schematizzazione della risposta dei terreni coesivi
Δσ’z
e
Cr
Teoria della consolidazione
monodimensionale disaccoppiata
Cc
Cr
σ’zo
σ’c
σ’
Terreni sovraconsolidati
ΔH =
H0
1 + e0
⎛
σ'
σ ' + Δσ 'z
⎜ Cr log c + Cc log z0
⎜
σ ' z0
σ 'c
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
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CEDIMENTI PER CONSOLIDAZIONE PRIMARIA
MONODIMENSIONALE
Il cedimento dipende da variazioni delle tensioni efficaci, cui si accompagnano
processi di diffusione dell’acqua interstiziale
Δσ
La TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE DI
TERZAGHI costituisce la base per l’interpretazione delle prove
edometriche e per un’analisi dell’andamento dei cedimenti.
IPOTESI alla base teoria di Terzaghi:
u per t=0
Sabbia
u0
Argilla
L’analisi del processo di consolidazione primaria ha lo scopo di prevedere il
decorso nel tempo del cedimento e della sovrappressione interstiziale.
u dopo un
certo tempo
t1
ui
‰ Consolidazione monodimensionale (deformazioni e flusso d’acqua
avvengono in una sola direzione)
‰ Terreno omogeneo e saturo
‰ Legge sforzi-deformazioni lineare
‰ Il coefficiente di permeabilità k è costante durante il processo
‰ Incompressibilità dell’acqua e dei grani solidi
Sabbia
Pressione neutra, ui+u (t/m2)
‰ Comportamento non viscoso del terreno
‰ Validità della legge di Darcy
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6
Conservazione della massa per un continuo incomprimibile:
Legge di Darcy per un moto di filtrazione in direzione z:
∂v x ∂v y ∂v z
+
+
=0
∂z
∂x
∂y
Conservazione della massa in un mezzo poroso comprimibile
(εv=deformazione volumetrica):
v z = −k z
Introducendo nell’equazione di continuità:
∂v x ∂v y ∂v z ∂ε v
=
+
+
∂t
∂z
∂x
∂y
In un mezzo poroso comprimibile per un processo
monodimensionale che avviene secondo l’asse z:
−k
∂v z ∂ε z
=
∂z
∂t
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ε z = mv σ 'z
−
∂σ 'z
k ∂ 2u
= mv
2
∂t
γ w ∂z
Considerando il principio delle tensioni efficaci in direzione z (σ’z=σzui-u) ed ipotizzando che la tensione totale rimanga costante nel
tempo
=0
−
k ∂ u ⎛ ∂(σ z − ui ) ∂u ⎞ ∂u
=⎜
−
⎟=
∂t
mv γ w ∂z 2 ⎝
∂t ⎠ ∂t
∂ 2h ∂ε v
=
∂t
∂z 2
Sostituendo il valore del carico idraulico h=[(ui + u)/γw-z]:
−
Introducendo il legame costitutivo semplificato per una
compressione solo nella direzione z:
∂h
∂z
k ∂ 2 (ui + u )
k ∂ 2u ∂ε v
=
=
−
∂t
γw
γ w ∂z 2
∂z 2
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Equazione della consolidazione monodimensionale
disaccoppiata di Terzaghi
∂ 2u ∂u
cv 2 =
∂t
∂z
cv =
k
mv ⋅ γ w
cv = coefficiente di
consolidazione
primaria [L2t-1]
La teoria di Terzaghi mette in relazione tre quantità:
‰ La sovrappressione interstiziale u
‰ La profondità z rispetto all’estradosso dello strato
‰ Il tempo t dall’istante di applicazione del carico
2
Si ottiene il disaccoppiamento dell’analisi idraulica da
quella tensionale
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2H
z
dz
dx
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7
La soluzione dell’equazione dipende:
‰ dalle condizioni di drenaggio
‰ dalla distribuzione iniziale (a t=0) delle sovrappressioni
interstiziali [u0]
La pressione neutrale, funzione di z e t, vale:
u( z, t ) =
(
m =∞
2u0 ⎛
Mz ⎞
⎜ sin
⎟ exp − M 2Tv
H ⎠
m =1 M ⎝
∑
)
Essendo:
‰ m ed M dei contatori con M=π/2.(2m+1)
Condizioni al contorno
‰
u = u0 per
Tv =
‰ Tv il fattore di tempo adimensionale
0 ≤ z ≤ 2H e t = 0
Drenaggio
cv t
H2
u0=cost.
H
‰
u = 0 per
z = 0 e z = 2H e t > 0
2H
Drenaggio
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La soluzione dell’equazione di Terzaghi è usualmente
rappresentata in termini di grado di consolidazione Uz:
U
Uz = 1 −
z
m =∞
∑
m =1
=
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Nei problemi applicativi è di interesse il grado di consolidazione medio U:
u 0 − u (z,t )
u0
(
2⎛
Mz ⎞
⎜ sin
⎟ exp − M 2Tv
M⎝
H ⎠
U=
)
1
2H
2H
U = 1−
∫
0
⎡ u( z, t ) ⎤
S(t )
⎢1 −
⎥dz =
u
Sc
0 ⎦
⎣
m =∞
(
2
exp − M 2Tv
2
M
m =1
∑
)
La relazione tra U e Tv può essere approssimata dalle seguenti espressioni:
Tv =
Z=z/H
π
4
U 2 per U ≤ 0.60
Tv = −0.933 log(1 − U ) − 0.085 per U > 0.60
Uz
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8
Tv
Sabbia
Argilla
t=0
Sabbia
U
(%)
H
H
2H
us
Pressione
Idrostatica
u0
Sovrappressioni
interstiziali
Cedimenti
DETERMINAZIONE DI Cv DA PROVA EDOMETRICA
So
SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE DI TERZAGHI
Curva Sperimentale
Curva teorica
di Terzaghi
S100
log t
Nel piano U – log Tv
U=0
Tv
S50
U=100
U
(%)
Cα
t2
t1=t2/4
t50
H50=Ho-S50/2= semispessore del campione a t50
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cv =
Tv 50 H 50
t 50
2
= 0 . 198
H 50
t 50
2
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DETERMINAZIONE DI Cv e Cα DA PROVA EDOMETRICA
COMPRESSIONE SECONDARIA
‰ Spessore iniziale del campione: 17,53 mm
Cedimenti
S0
Cedimenti misurati sotto un carico di 200 kPa agente per 24h
Curva Sperimentale
S100
Curva teorica
di Terzaghi
Cα
in termini
- di indice dei vuoti
0,04
0,25
0,50
1
2,25
4
DH [mm]
0,121
0,233
0,302
0,390
0,551
0,706
Tempo
[min]
6,25
9
12,25
16
25
36
DH [mm]
0,859
0,970
1,065
1,127
1,205
1,251
Tempo
[min]
64
100
360
1440
DH [mm]
1,300
1,327
1,401
1,482
log t
COEFFICIENTE DI COMPRESSIONE SECONDARIA
- di deformazione
Tempo
[min]
c α ,ε =
Δε
Δ log t
Δe
cα =
Δ log t
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9
DETERMINAZIONE DI Cv e Cα DA PROVA EDOMETRICA
DETERMINAZIONE DI Cv e Cα DA PROVA EDOMETRICA
0
0
0.2
0.2
H50 =
S0= 0.076
H50 = 8.44mm
t2
0.4
Cedimenti [mm]
Cedimenti [mm]
0.4
t1
0.6
0.8
1
S50= 0.65
0.6
2H0 − S 50 17.53 − 0.65
=
2
2
Tv 50H50
(8.44 / 10)2
= 0.198
201
t50
2
U= 50%
cv =
0.8
cv = 7.02 ⋅ 10 −4 cm2 /s
1
1.2
1.2
1.4
1.4
S100=1.224
U=100%
t50= 3.35 min
1.6
1.6
0.01
0.1
1
10
100
Tempo (minuti)
1000
10000
0.01
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0.1
1
10
100
Tempo (minuti)
1 . 482
− 1 . 300
10000
= 0 . 077
1440
17 . 53 ⋅ log
64
1000
c α ,ε =
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Rilevati sui terreni compressibili
Cedimenti sotto un rilevato
•
•
•
•
Rilevati ferroviari
Rilevati stradali
Argini
Serbatoi industriali
Sono tipologie costruttive che
trasmettono al terreno carichi rilevanti
(100-200 kPa) su ampie aree.
A breve termine
E’ necessario verificare ogni fase della
costruzione, nel breve e nel lungo
termine.
E’ necessario un calcolo dell’entità del
cedimento e del sui decorso nel
tempo.
A lungo termine
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10
Cedimento immediato
Calcolo dei cedimenti
Terreni normalconsolidati in strati sottili (B>> H )
Si = 0.1 Sc
Approccio tradizionale
S = S i + S c (t ) + Sα (t )
Formula di Giroud,
Giroud, 1973
Mezzo isotropo, omogeneo, elastico
con
Il cedimento in un punto generico M a
distanza x dall’asse di simmetria del
rilevato
Si = cedimento immediato
Sc = cedimento di consolidazione
per t ≤ tc
γh ⎛⎜ a 2 ⎞⎟ ⎡
2
⎤
⎛ a' ⎞
⎢
Si =
rH − ⎜ ⎟ r 'H ⎥
Eu ⎜⎝ a − a' ⎟⎠ ⎢
⎥⎦
⎝a⎠
⎣
γ
a
a'
h
Sα = cedimento secondario
per t > tc
x
H
M
Terreno compressibile
E u , νu =0.5
Substrato rigido
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Cedimento immediato (formula di Giroud,
Giroud, 1973)
Eu = modulo di Young non drenato. rH e r’H = parametri di influenza ricavati
dall’abaco
x/a
Per terreno a strati:
x/a’
5
1) calcolo degli incrementi di tensione nel terreno;
2) calcolo del cedimento di consolidazione sc:
20
30
• metodo edometrico;
H/a=40
Eu,m
r’H
Calcolo dei cedimenti di consolidazione
Il calcolo si divide in tre fasi:
0.5
10
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DmH
=
DH
∑ Ei i
u,i
con
D = sforzo deviatorico
medio
E = modulo di Young
H = spessore
m si riferisce al banco, i ai
singoli strati
• metodo di Skempton-Bjerrum;
• altri metodi (elementi finiti);
3) calcolo dei tempi di cedimento.
rH
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11
Incrementi di tensione
Incrementi di tensione
Abaco di Osterberg:
Osterberg
Ipotesi di mezzo isotropo, omogeneo, elastico
l’incremento di tensione per un
punto P a profondità z sotto l’asse
del rilevato
Δσv = q ⋅ I
ove I=coefficiente di influenza
a
b
γ
h
Nuovo rilevato
z
P
Rilevato in affiancamento
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Incrementi di tensione
Metodo edometrico
Alternativamente vi sono le formule e gli abachi per distribuzione costante o
lineare su una striscia indefinita. L’incremento di tensione per un punto P a
profondità z e in posizione generica rispetto l’asse del rilevato
b
b
q=γ h
α
β
P
q=γ h
h
z
α
Δσ v =
π
[α + sin α cos( α + 2 β ) ]
P
Δσ v =
q ⎡x
1) in termini di curva e-logσ’v
sc =
σ'
σ ' + Δσv ⎞
H ⎛
⎜ C log c + C c log vo
⎟
σ 'vo
σ 'c
1 + e0 ⎝ r
⎠
sc = Hmv Δ σ v
1
⎤
α − sin 2 β ⎥
π ⎢⎣ b
2
⎦
con α e β sono espressi in radianti
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Il cedimento si calcola utilizzando i risultati di una prova edometrica
2) in termini di curva ε-σ’v
z
x
x
q
β
h
Ipotesi di cedimento monodimensionale: B>>H
Dove:
H = spessore strato compressibile
eo = indice dei vuoti in sito
σ’vo = tensione verticale efficace a riposo
σ’c = pressione di consolidazione
Δσv = incremento di tensione al piano medio
Cr, Cc = indici di ricompressione e compressione
mv = modulo di compressibilità volumetrica
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12
Tempo di consolidazione
Metodo di Skempton-Bjerrum
Per cedimento monodimensionale (B>>H) l’andamento del cedimento nel tempo è:
Cedimento non solo monodimensionale: B≈
B≈H
s (t ) = U (t ) ⋅ s c
Il cedimento si calcola correggendo il valore edometrico
∞
U (t ) = 1 − ∑
sc = μ Hmv Δ σ v
m =0
essendo U(T) il grado medio di consolidazione
2
M
2
(
exp − M 2Tv
)
M = π2 (2m + 1)
Il fattore di tempo Tv dipende le condizioni di carico e di drenaggio al contorno. Per
incremento di u costante e drenaggio da entrambi i lati:
Dove μ tiene conto dello spessore
dello strato compressibile, della
forma dell’impronta di carico e del
parametro A di Skempton
Tv =
ABACO
cv t
L2
L = spessore strato compressibile
cv = coefficiente di consolidazione verticale
Con:
-terreno isotropo (Kv= Kh) e H>B/3
-terreno anisotropo con Kh = 1-15 Kv (terreni stratificati).
Il grado medio di consolidazione diventa:
(1 − U ) = (1 − U )(1 − U )
h
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v
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Cedimento secondario
Il cedimento secondario si calcola a partire dal termine della
consolidazione primaria tc=t100
sα =
t + Δt
H
Cα ,e log c
1 + e0
tc
= HC α ,ε log
tc + Δt
tc
Indicativamente, Mesri suggerisce:
Cα ,e
Cc
Cα ,e
Cc
= 0.04 ± 0.01
per terreni inorganici
= 0.05 ± 0.01
per terreni organici
Metodi per accelerare la
consolidazione
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13
Dreni verticali
Tecnica del precarico
Siano Sc,1 e tc rispettivamente cedimento e tempo di consolidazione per il rilevato di
progetto di altezza H1. Se l’altezza del rilevato è maggiore (H2>H1), i tempi di
cedimento sono gli stessi ma il cedimento di consolidazione diventa:
I dreni verticali sono elementi ad elevata permeabilità che intercettano tutto lo strato da
consolidare, imponendo un drenaggio in direzione orizzontale secondo percorsi idraulici
più corti.
U=
Sc,1
Sc,2
< 95% → tc* < tc
Drenaggio e piano per
i mezzi pesanti
H1
tc*
H2
tc
tempo
Cedimento
Nella curva di consolidazione
del rilevato di altezza H2 il
cedimento Sc,1 corrisponde
ad un valore del grado di
Consolidazione inferiore al
95% e quindi il tempo per
raggiungerlo sarà inferiore
a tc. Sarà:
H rilevato
S c ,2 > S c ,1
Sc,1
Sc,2
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Tipi dreni
• In sabbia
• Prefabbricati
Disposizione tipica di un sistema di dreni verticali con sistema di monitoraggio
Prof. Simonetta Cola - Consolidazione monodimensionale e prova edometrica
Dreni prefabbricati
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Master in Bonifica Idraulica e Irrigazione - Rovigo 08
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Dimensioni caratteristiche:
de = diametro della zona di influenza del dreno (assunta cilindrica)
dw = diametro del dreno
Disposizione:
• a quinconce (maglia triangolare) de =1.06 i
• a quadrato
de =1.13 i
Teoria di Barron (1948)
Ipotesi (come la teoria disaccoppiata di Terzaghi):
• terreno omogeneo saturo;
• permeabilità e compressibilità costanti durante il processo di consol.
• piccole deformazioni verticali;
• carico applicato istantaneamente e costante durante il processo;
• flusso orizzontale.
Consolidazione radiale con equazione del flusso in coordinate cilindriche:
⎛ ∂ 2u 1 ∂u ⎞ ∂u
⎟=
ch ⎜ 2 +
⎜ ∂r
⎟ ∂t
∂
r
r
⎝
⎠
ch =
kh
mv γ w
NB: u è la sovrappressione
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L’equazione della consolidazione radiale è integrata con:
1) condizioni iniziali: t=0 la sovrappressione è u=uo in tutti i punti
2) per t>0 la sovrappressione è nulla nel dreno: u=0 per r=rw
Il grado di consolidazione puntuale sarà:
U (r , z ) = U (r ) = 1 −
Con:
U(r)=0 per u=uo (istante iniziale)
U(r)=1 per u=0 (tempo infinito)
u(r , t )
uo ( r )
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F(n) è funzione del rapporto n=re/rw=de/dw
F = F (n ) =
n2
3n 2 − 1
(
)
⋅
ln
n
−
≅
n2 − 1
4n 2
ln( n ) − 0 .75
Il grado di consolidazione medio si ottiene integrando sull’area di drenaggio
r
⎛ 8T ⎞
Uh = ∫r e U (r )dr = 1 − exp⎜ − h ⎟
w
⎝ F ⎠
Con
Th = fattore di tempo:
Th =
ch t
de2
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