LA PARABOLA
PREREQUISITI
•DISTANZA TRA DUE PUNTI
Si definisce distanza tra due A e B punti il segmento che unisce tali punti
E’ possibile calcolare tale distanza utilizzando la
formula:
d = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
nel nostro caso essendo A(2,1) e B(6,3) si
ottiene:
d = (2 – 6)2 + (1 – 3)2 = 20  4,47
•RETTA
Una retta generica nel piano cartesiano ha equazione
y = mx + q
(forma esplicita)
ax + by + c = 0 (forma implicita)
Ricordiamo che:
m rappresenta il coefficiente angolare della retta
ed esprime l’inclinazione della retta rispetto al
semiasse positivo delle x
q rappresenta l’ordinata all’origine
ossia l’ordinata del punto d’intersezione della retta
con l’asse y
Nella retta in figura si ha
m=2 e q=1
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•DISTANZA PUNTO RETTA
La distanza tra una retta r ed un punto A del piano cartesiano è il tratto d di
perpendicolare che va dal punto alla retta.
Se il punto è A(xo,yo) e la retta ha equazione
y = mx+q è possibile calcolare tale distanza
utilizzando la formula:
| yo – (mxo + q) |
d=
1 + m2
nel nostro caso essendo A(1,7) e r: y = x-2 si ha:
|7 - (1-2)|
8
d=
 5,66
=
1 + 12
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2
•LUOGO GEOMETRICO
Si definisce luogo geometrico l’insieme di tutti e soli i punti del piano che
godono di una particolare proprietà.
Ad esempio la circonferenza è il luogo geometrico
dei punti del piano equidistanti da un punto fisso
detto centro.
Un altro luogo geometrico è l’asse di un segmento
ossia la retta passante per il punto medio di un
segmento e perpendicoalre ad esso. Si dimostra che
tutti i suoi punti sono equidistanti dagli estremi del
segmento.
PARABOLA COME LUOGO GEOMETRICO
Si definisce parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da una retta
fissa detta direttrice e da un punto fisso detto fuoco.
Nella figura a lato ogni punto P della
parabola è tale che la sua distanza dal
fuoco F ossia PF è uguale alla sua
distanza dalla direttrice della parabola
PH. In altre parole
Parabola
PF =PH
per ogni punto P della parabola.
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Direttrice
Fuoco
EQUAZIONE DELLA PARABOLA
Detto P(x,y) un punto generico della
parabola, fissati le coordinate del fuoco
F e l’equazione della direttrice d, dalla
condizione
PF = PH
che possiamo scrivere utilizzando
rispettivamente la formula della distanza
tra punti (PF) e quella tra retta e punto
(PH), otteniamo dopo pochi passaggi
l’equazione in forma normale della
parabola:
y = ax2 + bx + c
con a, b e c coefficienti numerici.
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RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PARABOLA
Data l’equazione di una parabola
y = ax2 + bx + c
per poterla rappresentare graficamente osserviamo che:
1)
Se a > 0 la parabola volge la concavità verso l’alto
Se a < 0 la parabola volge la concavità verso il basso
V
2)
Il punto più in baso della parabola
o più in alto
V
vertice della parabola e le sue coordinate sono
V[-b/2a; -(b2-4ac)/4a]
prende il nome di
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PARABOLA
3)
L’asse della parabola è la retta verticale passante per il vertice ed è asse di simmetria della
parabola stessa ossia ribaltando uno dei due rami della
parabola rispetto a tale retta verrà esso a coincidere
esattamente con l’altro ramo. La sua equazione sarà:
x= -b/2a
4)
L’intersezione della parabola con l’asse y si ottiene risolvendo il sistema
y = ax2 + bx + c (Parabola)
x=0
P
(Asse y)
ottenendo il punto P(0;c)
5)
L’intersezione della parabola con l’asse x si ottiene invece risolvendo il sistema
y = ax2 + bx + c (Parabola)
y=0
(Asse x)
Da cui si perviene all’equazione di 2° grado
ax2 + bx + c = 0
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SIGNIFICATO GEOMETRICO DI UN’EQUAZIONE DI 2° GRADO
Come abbiamo visto dunque, risolvere un’equazione di 2° grado
ax2 + bx + c = 0
è equivalente a trovare le intersezioni della parabola
y = ax2 + bx + c
con l’asse x.
Ricordando che con  = b2-4ac abbiamo indicato il discriminante dell’equazione generica di 2°
grado e con x1 e x2 le soluzioni, possiamo classificare le parabole con lo schema seguente
a>0
<0
a>0
=0
a>0
>0
x1  x2
a<0
<0
a<0
=0
x1  x2
x1
a<0
>0
x1
x2
x2