LA PARABOLA
Prof. Valerio Muciaccia
Prof. Alberico Nardiello
Progetto Docente
Gruppo di lavoro classe 16A
I significati di “cono”
Solido
Superficie
Più diffuso nella scuola
Più usato all’università
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2
Il cono inteso come superficie conica
Data una retta s, detta asse di rotazione, e una retta r che
interseca s in un punto V, detto vertice, la superficie illimitata
generata da r nella sua rotazione completa intorno a s si chiama
superficie conica circolare indefinita di rotazione. La retta r è
la generatrice, s è l’asse (ed è asse di simmetria).
Le due porzioni della superficie conica, quella inferiore e
quella superiore, che hanno in comune il vertice, si chiamano
falde della superficie conica.
L’angolo  formato dalle rette generatrici con l’asse di rotazione
si chiama semiapertura della superficie conica. (Fig. 1)
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3
s
Fig.1
r
Asse di rotazione

V
Retta generatrice
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4
Le coniche
Con il termine conica, si indica una curva ottenuta sezionando,
mediante un piano, una superficie conica indefinita a due falde.
Al variare dell’ampiezza dell’angolo  , formato dall’asse della
superficie conica con il piano secante, si possono presentare
seguenti casi (fig. 2):

 = 90o
circonferenza

 <  900
ellisse

=
parabola

0<
iperbole
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5
Fig.
2
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6
Cenni storici sulle coniche
Si ritiene che a scoprire le coniche sia stato il matematico
greco Menecmo (IV sec. a.C.), discepolo di Platone e di Eudosso
di Cnido.
Di esse si sarebbero occupati anche Aristeo il Vecchio
(contemporaneo di Euclide) e Euclide stesso, ma dei loro
studi eventuali su tale argomento non è rimasta traccia.
Ma una sistemazione completa e organica della loro trattazione fu
Data da Apollonio di Perge1, il quale, nella sua grande opera sulle
coniche espose la maggior parte delle proprietà tuttora note di
quelle curve e propose i nomi di ellisse, parabola e iperbole, per
indicarne le varie specie.
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7
Le coniche nelle applicazioni
Le coniche si prestano a rappresentare molti fenomeni fisici e
tecnici. Illustriamo alcuni esempi particolarmente significativi.
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
Parabola

Ellisse

Iperbole

cerchio
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8
Parabola e sue applicazioni

Arco d’uno zampillo d’acqua

Forma della luce di una torcia elettrica su
una superficie piana

Riflessione della luce in uno specchio
parabolico

Legge di caduta dei gravi
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9
Ellisse e sue applicazioni

Moto dei pianeti intorno al sole

Moto di alcune comete

Riflessioni in uno specchio ellittico

Architettura a pianta ellittica
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10
Iperbole e sue applicazioni

Legge di Boyle

Orbite di alcune comete e di altri oggetti
astronomici

Applicazione nell’architettura moderna
(iperboloidi a sella)
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11
Cerchio e sue applicazioni

Onde in uno stagno

Orbite circolari

La ruota e vari oggetti in natura
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12
La parabola

Dunque, la parabola è quella particolare curva che
si ottiene dall’intersezione di una superficie conica
rotonda (indefinita e a due falde) con un piano
parallelo alla generatrice (Fig. 3).
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13
Fig. 3
falda superiore

generatrice
falda inferiore

parabola
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14
Luogo geometrico parabola
Ci proponiamo ora di studiare la parabola da un punto di vista
analitico; a tal fine, è opportuno enunciare una nuova
definizione di parabola, intesa come luogo geometrico dei
punti del piano che godono di una certa proprietà caratteristica.
Definizione. Si chiama parabola il luogo geometrico dei punti del
piano equidistanti da una retta fissa, detta direttrice, e da un
punto fisso, detto fuoco.
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15
Costruzione della parabola
Assegnati il fuoco F e la direttrice d di una parabola, per
disegnarla, per determinare alcuni suoi punti, si procede come
segue. Si traccia dapprima l’asse di simmetria (retta per F e
perpendicolare alla d) e si segna il punto medio V del segmento su
di essa intercettato dal fuoco e dalla direttrice; questo è il vertice
della parabola. Con centro in F e con un raggio qualsiasi (purchè
maggiore della lunghezza del segmento FV), si disegna la
circonferenza; si manda quindi la retta r1 parallela alla d e avente
da essa distanza uguale al raggio della circonferenza appena
tracciata. I due punti P1 e P’1 d’intersezione tra la circonferenza e
la retta r1 appartengono alla parabola. Ripetendo questa
costruzione per una seconda circonferenza si possono ottenere tutti
i punti della parabola (Fig. 4).
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16
asse di
simmetria
Fig. 4
Circonferenza di
centro F e raggio FP2
r2
P’2
P2
F (fuoco)
r1
P’1
P1
V
d (direttrice)
H1
H
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H2
17
Equazione con asse parallelo all’asse y e VO
y
P(x;y)
F (0;p/2)
x
O
d
H
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18
p
Parametro della parabola
(Rappresenta la distanza orientata del fuoco dalla direttrice)
p
Il fuoco avrà coordinate F (0; )
2
p
La direttrice ha equazione y  
2
Equazione parabola
y=ax2
1
dove a 
2p
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19
Effetto del coefficiente a
2
Grafico di una parabola y = ax
Le celle di Input sono evidenziate in giallo
a=
Unità di misura asse X =
0,5
-2
Grafico parabola
0,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
-1,0
Vx =
0,00
Vy =
0,00
x
-2,00
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
y
-8,00
-4,50
-2,00
-0,50
0,00
-0,50
-2,00
-4,50
-8,00
-2,0
-3,0
Progetto Docente
-4,0
-5,0
-6,0
-7,0
-8,0
-9,0
Gruppo di lavoro classe 16A
ESEGUI
20
Equazione con asse parallelo all’asse y e VO
y
P(x;y)
O
x
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21
Equazione
y = ax2 + bx + c
Vertice
Asse di simmetria
Fuoco
Direttrice
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2a 4 a
V (  ;
)
b

b
x
2a
b 1 
F(  ;
)
2a 4 a
1 
y
4a
22
Effetti dei coefficienti a, b , c
2
Grafico di una parabola y = ax + bx + c
Le celle di Input sono evidenziate in giallo
a=
b=
c=
Unità di misura asse X =
2
-3
1
0,5
Grafico parabola
9,0
8,0
Vx =
0,75
Vy =
-0,13
7,0
6,0
x
-1,25
-0,75
-0,25
0,25
0,75
1,25
1,75
2,25
2,75
y
7,88
4,38
1,88
0,38
-0,13
0,38
1,88
4,38
7,88
Progetto Docente
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
-1,5
-1,0
-0,5
-1,0
0,0
0,5
1,0
Gruppo di lavoro classe 16A
1,5
2,0
2,5
3,0
ESEGUI
23
Equazione parabola noti fuoco e direttice
Equazione della parabola noti Fuoco e Direttrice
Le celle di Input sono evidenziate in giallo
XF =
3,00
YF =
3,00
direttrice Y =
0,25
-1,5
4,25
6,0
Vx =
3
4,0
Vy =
2
1
x
-1,50
-0,50
0,50
1,50
2,50
3,50
4,50
7,0
a=
b=
c=
-1,5
Incremento X
Grafico parabola
8,0
1,00
X iniziale
5,0
y
7,06
5,06
3,56
2,56
2,06
2,06
2,56
5,50
6,50
7,50
3,0
2,0
3,56
5,06
7,06
1,0
0,0
-2,0
Progetto Docente
0,0
2,0
4,0
Gruppo di lavoro classe 16A
6,0
8,0
ESEGUI
24
Equazione parabola noti tre punti
Equazione della parabola passante per tre punti
Le celle di Input sono evidenziate in giallo
Punto A
Punto B
Punto C
Ascissa
0
2
-1
Ordinata
-9
-1
-7
Coefficienti della parabola
a=
2
b=
0
c=
a
0
4
1
Matrice dei
b
0
2
-1
a
Det =
-12
-9
-1
-7
Matrice per calcolo di
0
1
2
1
-1
1
b
Det =
0
0
4
1
Matrice per calcolo di
-9
1
-1
1
-7
1
c
Det =
54
0
4
1
Matrice per calcolo di
0
-9
2
-1
-1
-7
-9
Progetto Docente
coefficienti
c
T.N.
1
-9
1
-1
1
-7
Gruppo di lavoro classe 16A
Det =
-6
ESEGUI
25
Intersezione retta-parabola
RETTA - PARABOLA
m=
q=
Celle di Input evidenziate in giallo
1 DELTA =
3
a=
b=
c=
Y= m X + q
Y = a X^2 + bX + c
25
X
Retta
Parabola
-3,0
0,0
-12,0
-2,5
0,5
-6,5
-2,0
1,0
-2,0
-3
-1,5
1,5
1,5
0,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
4,0
5,5
6,0
5,5
4,0
1,5
-2,0
-6,5
-12,0
Retta secante
-2
0 x iniziale
6 passo
8,0
6,0
4,0
2,0
0,0
-3,0
-2,0
-1,0
-2,0
0,0
1,0
2,0
3,0
-4,0
-6,0
-8,0
-10,0
-12,0
-14,0
Retta
Progetto Docente
Parabola
Gruppo di lavoro classe 16A
ESEGUI
26
FINE
Progetto Docente
Gruppo di lavoro classe 16A
27