UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
Fisica Tecnica G. Grazzini
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SCAMBIO TERMICO PER CONVEZIONE
La trasmissione del calore per convezione si ha quando al meccanismo di scambio proprio
della conduzione si sovrappone un trasporto di energia interna da un punto all'altro del
sistema, dovuto al fatto che i volumi elementari costituenti il mezzo continuo sono dotati
di moto relativo l'uno rispetto all'altro. Ci occuperemo della convezione tra una superficie
solida ed un fluido, anche se in generale la convezione può avvenire anche tra un liquido
ed un gas o tra due liquidi immiscibili.
Anche se il fluido è in movimento, a contatto con la parete si ha sempre uno straterello
di fluido con velocità nulla, pertanto la quantità di calore scambiata tra la parete ed il
fluido potrebbe essere valutata con la relazione che esprime lo scambio attraverso tale
straterello:
dQ = - k (∂T/∂n)p dS
dove n e' il versore normale alla superficie ed il gradiente deve essere valutato sulla
parete.
In pratica però si impiega la relazione
dQ = h (Tp- Tf) dS
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detta legge di Newton, che non ha valore di legge fisica, ma definisce il coefficiente h di
convezione. Questo risulta pertanto dipendere non solo dalla natura del fluido, ma anche
dalle particolari condizioni del sistema (geometria del sistema, regime del moto, ecc.).
Il valore da assegnare ad h deve essere determinato caso per caso per via analitica o
sperimentale; bisogna notare che il valore di h dipenderà anche dal criterio di scelta della
temperatura del fluido Tf che dovrà essere precisato.
Per la temperatura di riferimento Tf nel caso dei fluidi limitati da una sola parete si
assume la temperatura del fluido nella zona indisturbata, al di fuori dello strato limite;
nella convezione entro condotti, assumere la temperatura del fluido sull'asse del condotto,
è una scelta semplicistica priva di fondamento fisico. Si potrebbe definire una temperatura
media Tf su di una sezione A come:
1
T f = ∫ TdA
In questo caso occorrerebbe conoscere il profilo di temperatura, ma non
AA
si terrebbe conto però della distribuzione delle velocità.
Fisicamente più corretta è la scelta di una Tf ponderata i cui pesi sono dati dalle singole
portate dei vari filetti di corrente con velocità v
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∫ ρc T (v)dA
p
Tf =
A
∫ ρc
p
(v)dA
A
detta anche temperatura di mescolamento adiabatico.
Il valore del coefficiente h è determinabile per via analitica soltanto se si può valutare
la distribuzione della temperatura nel mezzo e quindi il valore del gradiente di temperatura
alla parete, infatti eguagliando le espressioni dello scambio termico già viste si ha
h (Tp- Tf) = - k(dT/dn)p
A)
In questo caso occorre quindi risolvere l'equazione generale del trasporto di energia nel
fluido.
L'integrazione di quest'ultima equazione, richiede la conoscenza della distribuzione
della velocità, ottenibile attraverso la soluzione dell'equazione di continuità,
dell'equazione del moto e dell'equazione di stato che esprime la dipendenza della densità
del mezzo dalla pressione e dalla temperatura. Anche per un fluido incomprimibile, per
cui la densità dipende solo dalla temperatura, non si può in generale trascurare questa
dipendenza, dato che, in presenza di un campo gravitazionale, od in generale di un campo
di forze, si hanno delle forze di galleggiamento, dette spinta di Archimede.
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La dipendenza della densità dalla temperatura si esprime tramite il coefficiente di
dilatazione termica ß definito da:
ß = (∂v/∂T)p /v=- (∂ρ/∂T)p / ρ
che può essere approssimato sostituendo
le derivate con il rapporto incrementale, ottenendo:
ρ = ρ 0 [1 + ß ( T0 - T)]
Nell'equazione del moto si dovrà tener conto della variazione della densità con la
temperatura; se il moto avviene esclusivamente a causa di gradienti di temperatura si parla
di convezione naturale.
Quando il moto del fluido avviene principalmente a causa di fattori esterni al fenomeno
di scambio termico (pompe, ventilatori, differenze di livello, ecc.) si dice che la
convezione è forzata.
E` evidente che convezione forzata pura in effetti non si ha mai,
infatti dovrebbe essere ß = 0, ma quando le forze di galleggiamento possono essere
trascurate rispetto alle altre forze in gioco è utile porre ß = 0.
Convezione forzata e convezione naturale sono le due condizioni estreme in cui e' spesso
utile analizzare i fenomeni per poter ottenere importanti semplificazioni analitiche.
Lo studio della trasmissione del calore per convezione è uno dei campi in cui risulta
quasi indispensabile l'indagine sperimentale viste le enormi difficoltà analitiche che si
frappongono alla soluzione delle equazioni costitutive anche con l'utilizzo di metodi
numerici.
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Analisi dimensionale dell'equazione del trasporto energetico
Per dare un carattere più generale al singolo caso preso in esame sperimentalmente,
occorre procedere ad una adimensionalizzazione delle equazioni in modo da definire
coefficienti che non dipendono dalle unità di misura ma che comprendano le
caratteristiche geometriche e di moto del sistema, rendendo quindi la soluzione valida per
ogni altro sistema geometricamente e dinamicamente simile.
Dalla relazione A) scelta una lunghezza di riferimento L si può scrivere:
Nu = L h/k =(dT/dn)p L/(Tp- Tf)
che definisce il numero puro Nu (Nusselt).
Analogamente si può procedere adimensionalizzando le equazioni dell'energia,
introducendo delle variabili senza dimensioni, ad esempio w/W, e rielaborando le equazioni sostituendo tali variabili.
Si può anche utilizzare l'analisi dimensionale col teorema di Buckingham, individuate le
variabili che caratterizzano il sistema, dato che si può scrivere ad esempio per un canale:
(
)
h = f ( w, D, β , ρ , µ ,......) = ∑i Bi µ ai ⋅ ρ bi ⋅ wci ⋅ D d i ⋅ .....
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si impone che la relazione sia dimensionalmente omogenea e quindi si determinano i
valori degli esponenti.
Oltre al numero di Nusselt si ottengono così il già conosciuto numero di Reynolds:
Re =
wDρ
µ
=
cpµ
wD
ν
, il numero di Prandtl
ed il numero di Grashoff .
ν
Pr =
=
k
α
βgD 3 (Tp − T∞ )ρ 2
Gr =
µ2
Pertanto si vede che per situazioni geometricamente simili e per condizioni al contorno
della stessa specie, si ottengono delle soluzioni particolari che risultano uguali tra loro se
ciascuno dei numeri puri così definiti assume lo stesso valore nei diversi sistemi: ciò
significa che in questi casi i profili di temperatura adimensionali risultano
geometricamente simili, la similitudine diventa termofisica.
In generale scriveremo, scegliendo una relazione interpolante per i dati sperimentali del
tipo semplificato:
Nu = C · Rea · Grb · Prc
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Determinati sperimentalmente il coefficiente e gli esponenti di questa funzione è quindi
possibile calcolare il valore del coefficiente di convezione h per situazioni fisicamente
simili; potremo quindi eseguire misure su modelli ed estenderne la validità a situazioni
reali.
Interpretazione fisica dei coefficienti adimensionali
Analizziamo come si può interpretare fisicamente la similitudine di due sistemi.
Similitudine cinematica: le linee di corrente dei due sistemi sono geometricamente
simili. Implica la similitudine geometrica dei contorni ed assicura che sono simili i due
campi di velocità.
Similitudine dinamica: le forze della stessa specie applicate a qualsiasi coppia di punti
corrispondenti nei due sistemi agiscono su direzioni parallele e stanno tra loro in un
rapporto costante indipendente dalla natura delle forze.
Su di una particella in movimento entro una massa non isoterma di fluido fisicamente e
chimicamente omogeneo, trascurando gli eventuali gradienti di pressione o di campi
imposti dall'esterno, agiscono le seguenti forze:
- d'inerzia
(fi)
- di attrito viscoso (fa)
- di galleggiamento (fg).
Nei due sistemi simili A e B dovrà pertanto essere verificato
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(fi)A/(fi)B = (fa)A/(fa)B
(fg)A/(fg)B = (fa)A/(fa)B
B)
Facendo una valutazione fenomenologica, riferendosi ad una forza per unità di
superficie F/S, si possono scrivere le seguenti relazioni di proporzionalità:
fi ≈ρ w2
; fa ≈µw/L ; fg ≈ρgβL(Tp-Tf)
per cui nei due sistemi deve assumere lo stesso valore il raggruppamento adimensionale
fi/fa ~ (ρ w2)/ (µw/L) = Re
per cui si vede che Re è collegato al rapporto tra le forze d'inerzia e quelle d'attrito.
Le forze di galleggiamento saranno legate a ß, e dovremo avere una proporzione tra le
forze di galleggiamento; d'altronde dovrà valere ancora la relazione precedente, quindi
l'uguaglianza di Re nei due sistemi.
La contemporanea validità delle B) implica che si possa scrivere:
(fi * fg)/fa2 ~ ρ2 gβL3 (Tp-Tf)]/ µ2= Gr
si ottiene il nuovo raggruppamento adimensionale Gr (Grashoff) in cui non compare più w
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Abbiamo inoltre:
(fg)A/(fg)B = (fi)A/(fi)B
fg
fi
=
f g ⋅ fi
f a2
e quindi
f a2
Gr
⋅ 2 =
fi
Re 2
pertanto se Gr<<Re2 le fg sono trascurabili
rispetto alle fi, per cui si ha praticamente convenzione forzata, se Gr≈Re² siamo in
convezione mista, infine se Gr>>Re2 si ha predominanza delle fg e la convezione è
naturale.
Similitudine energetica: vuol dire che nei due sistemi A e B dovranno essere simili
anche le distribuzioni di temperatura.
Si può vedere, tramite l'equazione dell'energia, che il trasporto di calore è legato al
trasporto di quantità di moto (q.m.), cioè di masse che hanno una determinata velocità.
Quindi perché sia verificata anche la similitudine energetica dovrà essere
[ (trasporto q.m.)A / (trasporto q.m.)B] ≈ [ (trasporto calore)A / (trasporto calore)B]
Pertanto
ν
α
ν
=
α
A
= Pr
B
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Il numero Prandtl rappresenta quindi il rapporto tra la disponibilità del fluido a
trasportare quantità di moto e quello a trasportare calore e dipende esclusivamente dalla
natura del mezzo e dal suo stato fisico.
Stabilito che due sistemi geometricamente simili sono anche energeticamente simili
quando per entrambi si hanno gli stessi valori di Re, Gr, Pr, ne segue che anche il
gradiente della temperatura, reso adimensionale, e quindi il numero di Nusselt deve essere
funzione di tali numeri puri
Nu = f (Re, Gr, Pr)
Vediamo quale può essere il significato fisico di Nu. Immaginiamo uno strato piano di
fluido stagnante aderente alla parete avente uno spessore s, una conducibilità termica k e
temperatura Tf e Tp alla parete. Come visto nella A) quindi Nu rappresenta il rapporto tra il
calore che si scambia effettivamente per convezione e quello che si scambierebbe per
conduzione attraverso uno strato di fluido stagnante di spessore s, a parità di differenza di
temperatura.
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Moto interno ed esterno
Bisogna anche distinguere tra flussi interni che si svolgono entro un condotto confinato e
flussi esterni, nei quali una superficie è lambita da un fluido che si muove in uno spazio
virtualmente illimitato.
Una distinzione fondamentale è quella tra moto turbolento e moto laminare: in moto
turbolento lo scambio termico interno al fluido è fortemente intensificato dalle fluttuazioni
di velocità.
u D
La definizione del numero di Reynolds è diversa per i moti interni Re = m
ed esterni,
Re =
u∞ x
ν
ν
dove x è la distanza dall'inizio della superficie considerata.
Corrispondentemente variano anche i valori limiti delle transizioni: se per i condotti il
moto è laminare per Re < 2300 e turbolento per Re > 3500, nel caso di una lastra piana
si ha transizione per Re = 5·105.
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Strato limite termico
Dalla descrizione del meccanismo del trasporto di energia per convezione ci si
accorge che hanno grande importanza sia la conduzione che il trasporto di materia. Poiché
la conducibilità termica dei fluidi, tranne che per i metalli liquidi è abbastanza piccola, la
velocità del trasporto di energia dipende principalmente dal moto di mescolamento del
fluido. Di conseguenza, per trasmettere una certa potenza termica per convezione
attraverso un fluido, è richiesto un gradiente di temperatura più grande in una regione a
bassa velocità rispetto a quello necessario in una regione ad alta velocità. Quindi in
corrispondenza dello strato limite dinamico si viene a generare anche uno strato limite
termico. Nello strato di fluido aderente alla parete il calore può fluire soltanto per
conduzione, conseguentemente in questo strato si ha di solito una brusca caduta di
temperatura; allontanandosi dalla parete, il movimento del fluido facilita il trasporto di
energia ed il gradiente di temperatura sarà meno ripido, annullandosi infine nella corrente
principale. Convenzionalmente lo strato limite termico è definito dalla temperatura T tale
che: T − T
(
(T
p
p
) = 0.99
−T )
∞
Convezione forzata
Nel caso della convezione forzata trascurando le forze di galleggiamento avremo
Nu = f (Re, Pr)
e quindi
Nu = C Rea Prc
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In particolare se il moto è laminare stazionario a = c per cui Nu è funzione del prodotto
Re Pr = Pe (numero di Peclet).
Nei casi più semplici è possibile determinare C, a, c analiticamente, altrimenti occorre
procedere sperimentalmente.
Condizioni
al contorno
Temperatura parete costante
Tp
Flusso termico a parete costante
T
T
Tp
Tf
Tf
x
x
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Valori Nu moto laminare
CONDIZIONI AL
SEZIONE
DEL Flusso costante
CONDOTTO
Circolare
4.36
Quadrata a=b
3.63
Rettangolare a=1.4 b
3.78
Rettangolare a=2 b
4.11
Rettangolare a=3 b
4.77
Rettangolare a=4 b
5.35
Rettangolare a=8 b
6.60
8.24
Rettangolare a=∞
5.38
Rett. a=∞ 1 lato adiabatico
Triangolare equilatera
3.00
CONTORNO
(parete)
Temperatura costante
3.66
2.98
3.40
4.44
5.95
7.54
4.86
2.35
Sezione di ingresso
Nel momento in cui il fluido entra in un condotto sia la velocità che la temperatura hanno
valori definiti molto diversi da quelli della parete, si presentano perciò dei gradienti di
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temperatura e velocità tendenti all'infinito all'imbocco, con la tendenza a stabilizzarsi man
mano che il fluido entra nel condotto. Essi sono importanti se x/D<50
Distribuzione velocità
w
Tp<T
δ
Distribuzione
temperatura in
raffreddamento
T
δt
hx/h∞
x/D
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Ingresso: Dinamico e Termico oppure Termico
Campo
Re
<2300
<2300
<2300
300030000
2700-7000
>10000
>10000
>10000
>10000
>10000
>10000
>10000
12000220000
Regime
ing.
ing. svilupdinam. term.
pato
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Nu = C* Rea *Prb
C
a
b
Note
L<20 D teorico
0.289(D/x)1/2
1.860(D/x)1/3
0.664(D/x)1/2
0.0033
0.5
0.33
0.5
1
0.33
0.33
0.33
0.37
0.01(D/x)0.37
0.036(D/x)1/18
0.032(D/x)1/20
0.032(D/x)1/20
0.183(D/x)1/3
0.023
0.023
0.027
0.02(Di/De)0.53
1
0.8
0.8
0.8
0.583
0.8
0.8
0.8
0.8
0.37
0.33
0.37
0.30
0.33
0.40
0.30
0.33
0.33
teorico parete piana
liquido riscaldato
liquido raffreddato
teorico
fluido riscaldato
fluido raffreddato
prodotti petroliferi
anulare, superficie
esterna isolata
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Convezione naturale
Se consideriamo la trasmissione di energia termica da una parete ad un fluido che
occupa un semispazio infinito delimitato dalla parete stessa, dovendo essere nulla la
velocità non solo sulla parete, ma anche a distanza infinita dalla stessa, quindi su tutto il
contorno del sistema, poniamo uguale a zero la velocità di riferimento, ossia Re = 0, da cui
Nu = C Grb Prc
nel caso di moto laminare stazionario anche in questo caso sarà b = c.
Poiché il numero di Reynolds non compare è necessario stabilire un nuovo criterio per
determinare se il moto sia laminare o turbolento. Si definisce allora un nuovo numero puro
Gr Pr = Ra (numero di Rayleigh); sperimentalmente si vede che si ha moto laminare solo
se Ra < 109.
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Situazione
geometrica
Superficie
cilindrica
orizzontale
Superficie piana o
cilindrica verticale
Superficie piana
orizzontale,
quadrata
di lato L
Sfera
Strato verticale
altezza H e
spessore
L: una parete
verticale più calda
dell’altra
Campo di validità
Ra = Gr * Pr
<10-5
103
÷
109
÷
103
÷
9
10
÷
5
10
÷
2*107
÷
105
103
Ra
109
1012
109
1012
2*107
3*1010
2*107
÷
107
÷
<2000 Pr
Pr*2*103 ÷
Pr*2*104
Pr*2*104 ÷
<103
103
÷
Nu = C* Gra
C
0.4
0.53
0.13
0.59
0.13
0.54
0.14
*Prb
a
0
0.25
0.33
0.25
0.33
0.25
0.33
b
0
0.25
0.33
0.25
0.33
0.25
0.33
0.25
0.51
1
0.18(H/L)-1/9
0.25
0.25
0
0.25
0.25 verso il basso
0.25
0
Nu e Gr calcolati
0
in funzione di L
Pr*2*106 0.065(H/L)-1/9
1
107
0.28(H/L)-1/4
Note
Nu e Gr in funzione
del diametro D
Nu e Gr in funzione
della verticale L
flusso termico
verso l’alto
0.33 0
valide per gas
0
0
Idem per liquidi
0.25 0.25 3<Pr<30000
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Convezione naturale libera
su piastra
Descrive anche il comportamento
su tubo (cilindro) verticale
A destra su tubo orizzontale
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T2
T1
T2 > T 1
T1
T2
T2 >T1
(b)
(a)
Schema del flusso nella cavità: (a) scaldata da sotto e (b) scaldata da sopra
Il numero adimensionale di Rayleigh per una cavità assume la forma:
Ra = (g . β .Dt . δ3) .Pr / ν2
dove: g = accelerazione gravitazionale; β = coefficiente di dilatazione termica;
Dt = differenza di temperatura tra le due pareti; δ = distanza tra le pareti; ν =
viscosità cinematica; Pr = numero di Prandtl
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Il rapporto d’aspetto (AR =
L /δ) definito come il
rapporto tra la dimensione
longitudinale della cavità
ed il suo spessore, ossia la
distanza tra le pareti.
Effetto dell’angolo di
inclinazione sul numero di
Nusselt in cavità
[Arnold J.N. et al.,1976].
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