Parabola
Dato un punto F del piano
F
ed una retta d
si dice parabola l’insieme dei punti del piano
equidistanti dal punto F e dalla retta d
d
Parabola punto per punto
Animazione : clicca
sull’immagine
Ogni punto è
determinato
dall’eguaglianza
fra le distanze
punto-retta
punto-fuoco
fuoco F
direttrice
Per ogni punto il
valore delle
distanze(=raggio)
è diversa, tranne
che . . .
fuoco F
direttrice
L’insieme dei punti
(parabola)
• ha un punto particolare detto vertice
• è simmetrico rispetto alla linea asse di simmetria
Asse di
simmetria
F fuoco
V vertice
Rappresentazione della parabola nel piano cartesiano
10
Se nel piano
inseriamo un
sistema di assi
cartesiani si ha la
rappresentazione a
fianco della
parabola.
Il fuoco F e il
vertice V sono
punti,ognuno con le
sue coordinate,
l’asse di simmetria
è una retta
parallela all’asse
y.
8
6
F
4
V
2
4
2
0
2
4
2
4
6
8
10
I punti della parabola sono costruiti sull’eguaglianza delle
distanze dal fuoco e dalla direttrice
Animazione : clicca
sull’immagine
Variando fuoco e direttrice si possono ottenere parabole diverse
per posizione . . .
Animazione : clicca
sull’immagine
. . . e per ampiezza
Animazione : clicca
sull’immagine
I punti di una parabola
soddisfano tutti la
proprietà eguaglianza delle
distanze. Possiamo
determinarne l’equazione.
8
P
F
4
2
5
0
2
5
Cerchiamo l’equazione della parabola di fuoco
F(3 ,4 ) e direttrice d: y = 2 nel piano
cartesiano.
Per ogni punto P(x,y) della parabola si deve
ottenere :
distanza (P , F) = distanza ( P , retta d)
quindi
(x - 3) 2 + (y - 4) 2
= y -2
10
6
Esempio numerico
10
da cui
(x – 3)2 + ( y – 4)2 = (y –2)2
Sviluppando i calcoli si ottiene
x2 – 6x + 9 + y2 - 8y +16 = y2 – 4y + 4
e l’equazione della parabola :
y = 1/4 x2- 3/2
x +21/4
4
y = a x2
+b x
+c
Equazione generica della parabola
y  ax2  bx  c
a,b,c  R
Asse di simmetria parallelo asse y
x  ay2  by  c
a,b,c  R
Asse di simmetria parallelo asse x
Ci occuperemo qui delle parabole con asse di simmetria parallelo all’asse y
Per approfondimenti vedere scheda
Variazione dei grafici al variare dei coefficienti
y  ax2  bx  c
a,b,c  R
Vediamo come si presenta il grafico della parabola al variare dei valori
a,b,c
Con il pacchetto grafico che avete a disposizione disegnate nel piano
cartesiano le parabole :
Esercizio 1
y
2
x
y
y
2x 1
2
y
Esercizio 2
x
x
24
12
32  2
x
9
2
x
8x
1x
1x
24
12
2
1
25
3
x 4
y
y
18
32 
9
2
x
160 
3
1
x
192
Si ottengono i grafici
10
10
10
5
5
f( x)
g ( x)
h ( x)
10
10
5
0
5
5
0
5
10
5
5
10
Esercizio 1
Esercizio 2
10
10
10
x
10
Concavità
a>0
4
a<0
4
f( x )
f( x )
0
0
4
4
4
x
4
4
x
4
10
Vertice
Esercizio 3
20
20
10
y
2
x
8 x 18f( x )
g( x )
y
2
x
8 x 18h( x )
20
10
0
10
20
p( x )
2
y
x
y
x
2
5 x 18
10
12 x 18
20
20
20
x
20
b
b 2  4ac
V( 
,
)
2a
4a
50
Esercizio 4
y
2
x
40
8 x 20f( x )
Al variare di a e b
varia la posizione
dell’ascissa del
vertice, che ha
infatti coordinate :
20
g( x )
2
8 x 20
2
20
y
x
y
x
h( x )
20
20
10
0
20
Per approfondimenti vedere scheda
20
20
10
x
20
5
Esercizio 5
4
2
2
y x 3x 2
2
f( x )
g( x )
2
h( x )
0
2
4
y x 3x
2
2
y x 3x 2
4
5
3
x
5
Al variare di c varia la posizione del vertice per quanto riguarda
l’ordinata : il grafico della parabola risulta traslato
Intersezioni con gli assi
8
8
6
Esercizio 6
f( x)
2
y
0.25 x
y
0.25 x
y
0.25 x
2
2
4
2g (xx) 3
h ( x)
2
2x 4
2x 6
4
2
2
0
2
4
6
8
10
12
2
4
x
12
Quali sono i punti in cui la parabola taglia gli assi cartesiani ?
Per determinare il punto d’intersezione
con l’asse y si risolve il sistema
y  ax 2  bx  c
x = 0
P(0,c)
Per determinare i punti d’intersezione
con l’asse x si risolve il sistema
y  ax 2  bx  c
Y = 0
Si ottiene un’equazione di 2°
grado in x
ax 2  bx  c  0
le cui soluzioni rappresentano le
ascisse dei punti d’intersezione
La parabola ha due punti
d’intersezione con l’asse x
3
Se
b2-4ac>
0 f( x)
2
3
x
9
4
La parabola ha un punto
d’intersezione con l’asse x
Se b2-4ac= 0 f( x)
2
3
x
9
6
La parabola non ha punti
d’intersezione con l’asse x
Se b2-4ac< 0 f( x)
2
3
x
9
Inoltre
Se c=0
y=ax2+bx
4
La parabola passa per l’origine
f( x )
3
6
Se b=0
y=ax2+c
x
7
4
La parabola ha il vertice sull’asse y
f( x )
3
6
Se b=0 e c=0
y=ax2
x
7
6
La parabola ha il vertice nell’origine
f( x )
3
6
x
7
Formule
y=ax2+bx+c
vertice
10
b
b 2  4ac
V( 
,
)
2a
4a
8
fuoco
6
F
4
V
2
4
2
0
2
4
2
4
6
8
10
b 1  (b 2  4ac )
F( 
,
)
2a
4a
direttrice
1  (b 2  4ac )
d 
4a
equazione asse di
b
x  
simmetria
2a
Per approfondimenti vedere scheda
Come si rappresenta la parabola di equazione y=ax2+bx+c
nel piano cartesiano
•Determinare le coordinate
del vertice V
4
•Determinare l’equazione
dell’ asse di simmetria
•Determinare le coordinate
degli eventuali punti
d’intersezione con gli assi
•Determinare le coordinate di
qualche altro punto, anche
tenendo presente la simmetria
•Rappresentare punti e asse
nel piano : essi
caratterizzano il grafico
2
2
0
2
2
4
V
4
Classificazione
La parabola fa parte di una famiglia di curve dette
CONICHE
Con il termine CONICA si indica la curva che si ottiene come
sezione tra un cono indefinito e un piano che non passa per il
vertice del cono stesso.
PARABOLA
ELLISSE
IPERBOLE
CIRCONFERENZA
(ellisse particolare)
Osserva la linea
d’intersezione
cono-piano
Animazione : clicca
sull’immagine
1
f( x )
9
6
x
7
In questo caso la curva ottenuta come
intersezione tra il cono indefinito e il piano è la
parabola
Osserva la linea
d’intersezione
cono-piano
Animazione : clicca
sull’immagine
In questo caso la curva ottenuta come
intersezione tra il cono indefinito e il piano è
l’ellisse
Osserva la linea
d’intersezione
cono-piano
Animazione : clicca
sull’immagine
In questo caso la curva ottenuta come
intersezione tra il cono indefinito e il piano è
l’iperbole
parabola
ellisse
La curva
ottenuta
dipende
dall’inclinazione
iperbole
L’equazione generale di una conica è:
ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0
a,b,c,d,e,f R
Per farle a casa
Una torcia elettrica accesa
posta perpendicolarmente
ad una parete la illumina
formando un cerchio
Le coniche si
ottengono
intersecando
un cono ed
un piano : in
questo caso il
cono è il
fascio di luce
ed il piano è
la parete.
Se incliniamo la torcia si
ottiene un’altra figura
luminosa : l’ellisse.
Inclinando maggiormente la
torcia, la linea esterna
della parte illuminata
diventa una parabola
10
f( x)
4
Ruotando ancora di più si
ottiene un ramo di iperbole.
5
x
10
Parabola : applicazioni e
meccanismi
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Moto di un proiettile
Fontane
Fuochi artificiali
Ponti sospesi
Proprietà focali della parabola
Specchi ustori
Antenna parabolica
Fari dei porti
Fari auto, flash, proiettori
Moto di un proiettile
Il moto di un proiettile è il moto di un peso che viene lanciato in
aria obliquamente. Il lancio di una palla da baseball, da golf o lo
sparo di una pallottola sono esempi di questo moto.
Galileo(1564-1642) fu il primo a studiare scientificamente tale
moto e nei Discorsi e Dimostrazioni matematiche sopra due Nuove
Scienze dimostrò che la traiettoria di un proiettile è una parabola.
Consideriamo il proiettile soggetto alla sola forza di gravità,
supponendo nulla l'influenza dei vari agenti atmosferici, in
particolare le forze di attrito dell'aria e quelle del vento.
Rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani il moto,
supponendo che l’origine sia il punto nel quale il proiettile inizia a
muoversi obliquamente con velocità v0
Facendo un po' di conti si scopre che la funzione del moto ha la
forma: y =ax2 +bx: la TRAIETTORIA è una parabola passante per
l'origine e con concavità rivolta verso il basso.
v0
Animazione : clicca
sull’immagine
Per approfondimenti vedere scheda
Scheda 4 moto di un proiettile
Il moto di un proiettile è il moto di un peso che viene lanciato in aria obliquamente.
Il lancio di una palla da baseball, da golf o lo sparo di una pallottola sono esempi di
questo moto.
Galileo(1564-1642) fu il primo a studiare scientificamente tale moto e nei Discorsi
e Dimostrazioni matematiche sopra due Nuove Scienze dimostrò che la traiettoria di
un proiettile è una parabola.
Consideriamo il proiettile soggetto alla sola forza di gravità, supponendo nulla
l'influenza dei vari agenti atmosferici, in particolare le forze di attrito dell'aria
e quelle del vento.
Rappresentiamo in un sistema di assi
cartesiani il moto, supponendo che
l’origine sia il punto nel quale il
proiettile inizia a muoversi con velocità
v0 e con un angolo di inclinazione
v0
g : accelerazione di gravità
v0 : velocità iniziale,
θ
θ
: angolo formato col terreno (alzo)
10
Le coordinate del punto P (x,y) che
individua la posizione del proiettile
al passare del tempo t sono
x = v0x t
y = v0y t - 1/2 g t2
g
f( x)
v0
v0x: componente orizzontale della
velocità iniziale v0
v0y: componente verticale della
velocità iniziale v0
v0y
0
0v0x
L'accelerazione è quella
gravitazionale ed essendo diretta
verso la terra è negativa, quindi va
sottratta
x
10
L’equazione della traiettoria si ottiene eliminando il tempo t. Si ha così :
y = v0y / v0x x - 1/2 g x2/ v0x2
che ha la forma: y =ax-bx2, ed è l'equazione di una parabola passante per l'origine e con
concavità rivolta verso il basso; e questo prova che la TRAIETTORIA di un proiettile è
una parabola.
Nel caso in cui un proiettile
venga lanciato da un'altezza h,
y ha anche un termine noto,
che significa che parabola
descritta non passa per (0, 0).
4
5
4
f( x)
f( x)
2
0
0
x
2
0
0
0
2
x
4
4
10
• Per ottenere la traiettoria in funzione dell’alzo θ :
essendo
v0x = v0 cos θ
v0y = v0 sin θ
si ottiene
x = (v0 cos θ) t
y = (v0 sin θ) t - 1/2 g t2
La funzione che si ottiene eliminando t è
y = (tang θ) x -[ g/2 v0 2cos2 θ ] x2
• Per ottenere l’altezza massima del proiettile
corrispondente ad un certo valore di v0 e di θ si può
determinare il vertice della parabola. Perciò si avrà :
ymax= v0 2sin2 θ /g
75°
60°
45°
30°
15°
f( x)
ymax
θ
0
0
x
10
Gittata
• Per ottenere la gittata intersecando
con l'asse delle x si ha :
Gittata = v02 sin 2θ /g
• Variamo la funzione per
l'alzo a che varia da 0° a 90°.
Si può osservare che la gittata
massima si ottiene per 45° e
che le gittate sono uguali per
angoli che differiscono
ugualmente da 45°,cioè per
angoli complementari.
Parabola con vertice nell’origine Formule
La parabola più elementare ha equazione
Cerchiamo l’equazione della parabola di
fuoco F(0,m ) e direttrice d: y = -m
nel piano cartesiano.
Per ogni punto P(x,y) della parabola si
deve ottenere :
distanza (P ,F) = distanza ( P,retta d)
quindi
P
F
(x - 0)2 + (y - =
m)2y +m
y=-m
Sviluppando i calcoli si ottiene
y = 1 x2
4m
Ponendo
V( 0,0 )
F( 0,
y  ax2
1
)
4a
asse di
simmetria
x=0
1 =a si ottiene y =a x2
4m
direttrice y  
1
4a
Parabola generica Formule
Q(X,Y)
P(x,y)
W(h,k)
k
Una parabola con vertice
in un punto W(h,k) può
essere vista come una
traslazione della parabola
con vertice V(0,0). Tutti i
punti P(x,y) di y=ax2 sono
spostati in Q(X,Y)
secondo la trasformazione
X = x+h
V(0,0)
Y = y+k
h
Si ricava
x = X-h
y = Y-k
Poiché x e y sono legati dalla relazione y=ax2
sostituendo si ottiene Y-k=a(X-h)2
Y= aX2 - 2ahX + ah2+k
Si ottiene l’equazione della parabola
ponendo b=-2ah c= ah2+k
↑
↑
↑
2
Y= aX + bX + c
Formule
Le formule relative a vertice V, fuoco F, retta direttrice e asse di
simmetria della parabola
vertice V(0,0)
1
fuoco F( 0,
)
4a
y=ax2
1
direttrice y  
4a
asse di simmetria x  0
tramite la trasformazione
X = x+h risultano per la parabola
Y = y+k
b
b2  4ac
,
)
2a
4a
b 1  (b2  4ac)
fuoco F( 
,
)
2a
4a
1  (b2  4ac)
direttrice y 
4a
b
asse di simmetria x  
2a
vertice V( 
y=ax2+ bx + c
Parabola con vertice nell’origine Formule
La parabola più elementare ha equazione
Cerchiamo l’equazione della parabola di
fuoco F(0,m ) e direttrice d: y = -m
nel piano cartesiano.
Per ogni punto P(x,y) della parabola si
deve ottenere :
distanza (P ,F) = distanza ( P,retta d)
quindi
P
F
(x - 0)2 + (y - =
m)2y +m
y=-m
Sviluppando i calcoli si ottiene
y = 1 x2
4m
Ponendo
V( 0,0 )
F( 0,
y  ax2
1
)
4a
asse di
simmetria
x=0
1 =a si ottiene y =a x2
4m
direttrice y  
1
4a
Parabola generica Formule
Q(X,Y)
P(x,y)
W(h,k)
k
Una parabola con vertice
in un punto W(h,k) può
essere vista come una
traslazione della parabola
con vertice V(0,0). Tutti i
punti P(x,y) di y=ax2 sono
spostati in Q(X,Y)
secondo la trasformazione
X = x+h
V(0,0)
Y = y+k
h
Si ricava
x = X-h
y = Y-k
Poiché x e y sono legati dalla relazione y=ax2
sostituendo si ottiene Y-k=a(X-h)2
Y= aX2 - 2ahX + ah2+k
Si ottiene l’equazione della parabola
ponendo b=-2ah c= ah2+k
↑
↑
↑
2
Y= aX + bX + c
Formule
Le formule relative a vertice V, fuoco F, retta direttrice e asse di
simmetria della parabola
vertice V(0,0)
1
fuoco F( 0,
)
4a
y=ax2
1
direttrice y  
4a
asse di simmetria x  0
tramite la trasformazione
X = x+h risultano per la parabola
Y = y+k
b
b2  4ac
,
)
2a
4a
b 1  (b2  4ac)
fuoco F( 
,
)
2a
4a
1  (b2  4ac)
direttrice y 
4a
b
asse di simmetria x  
2a
vertice V( 
y=ax2+ bx + c
Parabola con vertice nell’origine Formule
La parabola più elementare ha equazione
Cerchiamo l’equazione della parabola di
fuoco F(0,m ) e direttrice d: y = -m
nel piano cartesiano.
Per ogni punto P(x,y) della parabola si
deve ottenere :
distanza (P ,F) = distanza ( P,retta d)
quindi
P
F
(x - 0)2 + (y - =
m)2y +m
y=-m
Sviluppando i calcoli si ottiene
y = 1 x2
4m
Ponendo
V( 0,0 )
F( 0,
y  ax2
1
)
4a
asse di
simmetria
x=0
1 =a si ottiene y =a x2
4m
direttrice y  
1
4a
Parabola generica Formule
Q(X,Y)
P(x,y)
W(h,k)
k
Una parabola con vertice
in un punto W(h,k) può
essere vista come una
traslazione della parabola
con vertice V(0,0). Tutti i
punti P(x,y) di y=ax2 sono
spostati in Q(X,Y)
secondo la trasformazione
X = x+h
V(0,0)
Y = y+k
h
Si ricava
x = X-h
y = Y-k
Poiché x e y sono legati dalla relazione y=ax2
sostituendo si ottiene Y-k=a(X-h)2
Y= aX2 - 2ahX + ah2+k
Si ottiene l’equazione della parabola
ponendo b=-2ah c= ah2+k
↑
↑
↑
2
Y= aX + bX + c
Formule
Le formule relative a vertice V, fuoco F, retta direttrice e asse di
simmetria della parabola
vertice V(0,0)
1
fuoco F( 0,
)
4a
y=ax2
1
direttrice y  
4a
asse di simmetria x  0
tramite la trasformazione
X = x+h risultano per la parabola
Y = y+k
b
b2  4ac
,
)
2a
4a
b 1  (b2  4ac)
fuoco F( 
,
)
2a
4a
1  (b2  4ac)
direttrice y 
4a
b
asse di simmetria x  
2a
vertice V( 
y=ax2+ bx + c
Antenna parabolica
I grandi radiotelescopi e le antenne paraboliche con le quali si ricevono
le trasmissioni televisive dai satelliti agiscono secondo lo stesso principio: i
segnali, praticamente paralleli data la grande distanza da cui provengono,
rimbalzano sull'antenna e vengono concentrati sul ricevitore posto nel suo
fuoco, aumentando così considerevolmente la potenza in ingresso. In altre
parole, l'antenna parabolica funge da amplificatore, o meglio da
condensatore dei segnali, altrimenti piuttosto deboli, provenienti dai
satelliti.
Fari dei porti
Lo stesso principio viene utilizzato
in modo opposto nei fari dei
porti, nelle calotte dei fari per
auto e moto e nei proiettori in
genere: una luce posta nel fuoco
viene irradiata parallelamente
all'asse del fuoco. Un raggio
proveniente dal fuoco viene riflesso
dalla parabola in una direzione
parallela all'asse.
fuoco F
LANTERNA di Genova
Colosso di Rodi
Probabilmente il primo faro ad
utilizzare le proprietà focali della
parabola fu proprio il faro di Rodi,
considerato all'epoca una delle sette
meraviglie del mondo. Alto 85 metri
poteva esser visto a circa 50 km di
distanza. Esso fu costruito ad
Alessandria (Rodi era una isoletta
davanti al porto cittadino) nel 280 a.
C. cioè nell'epoca e nei luoghi in cui
lo studio delle coniche da parte dei
Greci era in pieno sviluppo.
Colosso di Rodi
Fari auto, flash, proiettori
La luce emessa dalla lampadina
posta nel fuoco della superficie
riflettente parabolica dirige i
raggi uscenti in direzione
parallela all’asse, creando un
fascio di luce meno disperso, di
più alta luminosità direzionata.
Tale principio viene sfruttato in
generale nella costruzione di
proiettori
Moto d’epoca Guzzi Sport14
Ingrandimento della calotta del faro
Fontane
Apparato per mostrare la traiettoria parabolica
dei liquidi (Istituto e Museo di Storia della
Scienza, Firenze, ITALIA).
Gli strumenti esposti in questa sala furono
costruiti nell'officina del Museo di Fisica dal
1775, sotto la direzione di Felice Fontana (17301805).
La Barcaccia - Roma
Fontana di produzione
Euroflora
Genova
Fontana di produzione
Fontana di produzione
Le 99 cannelle – L’Aquila
Fontana delle Naiadi – Roma
Fuochi artificiali
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Specchi ustori
La leggenda secondo la quale
Archimede (III sec. a.C.) avrebbe
incendiato le navi romane con uno
specchio ustorio ha dato luogo a
ricerche fino al Seicento inoltrato.
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Ponti sospesi
Disposizione dei cavi dei ponti sospesi
La costruzione di un ponte è un problema che per la sua utilità
ha suscitato interesse fin dall’antichità.
I più imponenti sono sicuramente i ponti sospesi, ponti cioè in cui
l’impalcato è sospeso mediante tiranti in acciaio ai cavi portanti,
disposti secondo una certa curva e sostenuti da alti piloni.
Ciascuno dei cavi forma
una spezzata i cui
vertici sono i punti in
cui i tiranti si saldano
al cavo.
Tali punti
appartengono ad una
curva parabolica.
Per approfondimenti vedere scheda
Il Golden Gate, sulla baia di S. Francisco, è uno dei ponti maggiori di
questo tipo; è stato costruito negli anni ’30 ed ha una luce libera di
1280 m. I cavi d’acciaio del Golden Gate hanno 93 cm di diametro e
sono formati da 27500 "fili" di 6 mm di diametro, pesano da soli
circa 15.000 tonnellate e sostengono un impalcato a 75 m dal mare.
Le torri sono alte 223 m sopra il pelo dell’acqua. Questi dati possono
forse aiutare a capire l’interesse per calcolare la " curva" lungo cui si
dispongono i cavi in modo da conoscere la lunghezza dei tiranti prima
di aver iniziato la costruzione del ponte.
Un problema che potrebbe apparire dello stesso tipo è quello
della forma di una catena o di una fune appesa agli estremi:
esso ha come soluzione una curva, la catenaria, di equazione
y = (ex+e-x)/2.
che differisce dalla parabola
y  ax2  bx  c
Le differenze sono dovute alle forze che agiscono sui cavi a
causa del peso dell’impalcato.
SCHEDA
y1 = b
I vertici della nostra spezzata
appartengono alla parabola di equazione:
y = (p/2aT) x2 + (b - ap/8T)
con:
a = distanza fra due tiranti consecutivi
b = y1 = ordinata all’origine
p = forza peso
T = tensione del cavo
Proprietà focali della parabola
Il fuoco della
parabola ha
interessanti
proprietà relative
alla riflessione e
convergenza dei
raggi luminosi.
fuoco F
Un raggio proveniente secondo una direzione parallela
all'asse della parabola quando incontra la superficie
parabolica viene riflesso nel fuoco.
Se dunque vogliamo concentrare in un punto dei raggi paralleli (o praticamente
paralleli, come ad esempio quelli del sole) si dovrà usare una superficie
riflettente a forma di parabola (paraboloide).
Se la parabola è orientata verso il sole allora cattura i raggi solari, cioè tutti i
raggi riflessi convergono nel fuoco F. Così facendo si può costruire uno specchio
ustorio, capace di incendiare un pezzo di carta o di legno posto nel suo fuoco.
Questa proprietà giustifica tra l'altro il nome stesso di fuoco.
paraboloide
superficie ottenuta
dalla rotazione di una
parabola attorno al
suo asse
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