Ottica geometrica 3
13 gennaio 2014
Diottro convesso, convenzione dei segni, fuochi
Diottro concavo, ingrandimento
Diottro piano
Diottro convesso
• Due mezzi trasparenti con indice di rifrazione
diverso, separati da una superficie, costituiscono un
diottro
• Noi studieremo i diottri con superficie sferica o piana
• Supponiamo che il mezzo di sinistra abbia indice n1
e il mezzo di destra n2 e che n1 < n2
i
q
P
• Come per gli specchi
abbiamo le relazioni
geometriche
N
a
V H
t
q’
C
Q
i q a
a  q 't
2
Diottro convesso
• Ora la relazione tra i e t è data dalla legge di Snell
n2 sin t  n1 sin i
• Ricordiamo le relazioni tra angoli e segmenti
(y = NH)
tgq  NH 
PH
tga  NH CH
i
N
q
P
tgq '  NH QH
a
V H
t
q’
C
Q
3
Diottro convesso
• In approssimazione di Gauss (AG) confondiamo il seno
e la tangente di un angolo con l’angolo stesso e VH~0
q  tgq  y / o
a  tga  y / R
q '  tgq '  y / i
• La legge di Snell diviene allora n2t  n1i
• Moltiplicando i  q  a per n1 e t  a  q ' per n2 e
sottraendo membro a membro si ottiene
n1q  a  n2 a  q '

i
N
q
P
a

V H
t


• ovvero
n1q  n2q '  n2  n1 a
q’
C
Q
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Diottro convesso
• Sostituendo i valori degli angoli in AG, troviamo l’eq.
del diottro
n1 n 2 n 2  n1
o

i

R
• Poiché non vi compare la posizione di N (cioè y) il
diottro è uno strumento stigmatico (nell’AG)

i
N
q
P
a
V H
t
q’
C
Q
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Convenzione dei segni
• Anche per il diottro vale una convenzione sui segni delle
distanze che permette di usare l’equazione trovata in
tutti i casi (diottro convesso, concavo; oggetto in diverse
posizioni)
– La luce proviene da sinistra (spazio d’incidenza) e va
a destra (spazio di trasmissione)
– o è positiva se l’oggetto è nello spazio di incidenza,
negativa se giace nello spazio di trasmissione
– i è positiva se l’immagine è nello spazio di
trasmissione, negativa se giace nello spazio di
incidenza
– R è positiva se il centro di curvatura è nello spazio di
trasmissione, negativa se giace nello spazio di
incidenza
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Fuoco posteriore
• Facendo tendere il punto oggetto P all’infinito,
l’immagine Q tende ad un punto detto fuoco posteriore
• La posizione del fuoco posteriore (i = f2) è
n2
f2 
R
n 2  n1
i

t
V
C
F2
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Fuoco anteriore
• Quando il punto oggetto P è nel fuoco anteriore,
l’immagine Q tende all’infinito
• La posizione del fuoco anteriore (o = f1) è
n1
f1 
R
n 2  n1
i
t

F1
V
C
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Eq. del diottro convesso
• Con la definizione delle due distanze focali si
può scrivere l’eq. del diottro nella forma
f1 f 2

1
o
i
• Le distanze focali sono sempre diverse e stanno
nel rapporto
f1 n1


f 2 n2

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Diottro concavo
• Ora le relazioni geometriche sono
a q i
a  q 't
n1 n 2
n 2  n1


o
i
R
• E grazie
dei segni

 alle convenzioni
diventa
N
• Da cui
n1 n 2 n 2  n1


o
i
R
q q’
P
Q C
i
t
a
H
V
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Immagine di punti fuori asse
• Ripetiamo il ragionamento fatto per gli specchi
• Sia P un punto fuori asse, è sempre possibile
tracciare una retta passante per P e il centro C
della superficie sferica e ripetere le costruzioni
fatte per punti sull’asse, sostituendo quest’ultimo
con la retta PC
P
Q’
P’
V
C
Q
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Immagine di punti fuori asse
• Tracciamo due superfici sferiche, una di raggio CP e
l’altra di raggio CQ e siano P’ e Q’ le intersezioni con
l’asse (P’C=PC, Q’C=QC)
• La relazione oggetto-immagine tra P e Q è la medesima
che tra P’ e Q’
• Quindi il diottro trasforma una superficie sferica oggetto
PP’ in una superficie sferica immagine QQ’
P
Q’
P’
V
C
Q
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Immagine di punti fuori asse
• Grazie all’approssimazione parassiale, le
porzioni di superfici sferiche sono così piccole
da poter essere considerate piane
• I diottri trasformano quindi superfici oggetto
piane perpendicolari all’asse in superfici
immagine piane perpendicolari all’asse
P
Q’
P’
V
C
Q
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Tracciamento dell’immagine
• Il diottro trasforma un segmento oggetto perpendicolare
all’asse in un segmento immagine perpendicolare
all’asse, basta quindi considerare i due punti estremi
dell’oggetto per conoscere l’estensione dell’immagine
• Essendo il diottro stigmatico, bastano due raggi per
determinare un punto immagine
• I raggi principali emessi dall’oggetto sono, in questo caso
– Il raggio parallelo all’asse che viene rifratto nel fuoco
posteriore
– Il raggio passante per il fuoco anteriore che viene rifratto
parallelamente all’asse
– Il raggio passante per il centro di curvatura che viene
rifratto senza deviazione
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Ingrandimento
• Usiamo il raggio incidente nel vertice: dai triangoli
PP’V e QQ’V abbiamo
PP' P'V tgqi
QQ' Q'V tgq t
• Dividendo membro a membro
QQ' Q'V  tgq t Q'V  q t Q'V n1



PP' P'V tgq i P'V  q i P'V n 2

• E usando la
convenzione dei
segni

I
n1 i
G 
O
n2 o
P
qi
P’
C
V
qt
Q’
Q
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Diottro piano
n2
o
• In questo caso R è infinito, per conseguenza i  
n1
• Il segno negativo significa che l’immagine non sta
nello spazio di trasmissione, ma in quello d’incidenza
(è virtuale)
• Poiché n1 < n2 l’immagine è più distante dalla
superficie del diottro di quanto lo sial’oggetto; se il
mezzo con n maggiore fosse a sinistra avverrebbe
l’inverso, l’immagine sarebbe più vicina alla superficie
Q
P
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Diottro piano
• L’ingrandimento è dato da
I
n1 i
n1  n2 
G 
   1
O
n2 o
n2  n1 
• Cioè l’immagine è dritta e delle stesse dimensioni
dell’oggetto

Q
P
Q’
P’
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Esercizio: diottro+specchio
• Sia dato un diottro piano di con indici di rifrazione n1, n2
accoppiato ad uno specchio piano posto a distanza s dalla
superficie del diottro
• Trovare l’immagine del punto oggetto P
VD
P
n1=1
VS
n2=n
s
Prima immagine del diottro (Q1)
• Distanza oggetto PVD=o=o1
• Distanza immagine Q1VD=i1
• Equazione del diottro
1 n
 0
o1 i1
• Da cui
i1  no1
Q1
VD
P
n1=1
VS
n2=n
s
Immagine dello specchio(Q2)
• Distanza oggetto Q1VS=o2=-i1+s
• Distanza immagine Q2VS=i2
• Equazione dello specchio
1 1
 0
o2 i2
• Da cui
i2  o2
Q1
VD
P
n1=1
VS
n2=n
s
Q2
Seconda immagine del diottro (Q3)
• Distanza oggetto Q2VD=o3=-i2+s
• Distanza immagine Q3VD=i3=i
• Equazione del diottro
n 1
 0
o3 i3
• Da cui
i3  
o3
n
Q1
• Effettuando le sostituzioni
i  i3  
VD
P
n1=1
VS
Q3
n2=n
s
o3
 i  s  o2  s i1  2s  no1  2s
2s
2s
 2



 o1   o 
n
n
n
n
n
n
n
Q2