CORRENTE DI NEWTON
y
F
V
fluido
u(y)
yy<<
<<
√A
√A
piastre di
area A
x
F = forza necessaria per mantenere costante la velocità relativa V tra le piastre
piane e parallele di area A poste alla distanza y.
Sperimentalmente vale la relazione:
F
V

A
y
1
CORRENTE DI NEWTON
y
F/A
strato dΩ

x
Sulla superficie superiore dello strato elementare dΩ agisce la forza F (aderenza).
Proiettando le sole azioni significative nella direzione del moto (simmetria del problema), la
stazionarietà del fenomeno impone che tale forza F sia equilibrata dalla risultante degli sforzi
viscosi (y) alla base dello strato dΩ (equilibrio dinamico). Per la simmetria del problema lo
sforzo  è uniforme.
F
F  A 
A
2
CORRENTE DI NEWTON
y
F/A
strato dΩ

x
Sulla superficie superiore dello strato elementare dΩ agisce la forza F (aderenza).
Proiettando le sole azioni significative nella direzione del moto (simmetria del problema), la
stazionarietà del fenomeno impone che tale forza F sia equilibrata dalla risultante degli sforzi
viscosi (y) alla base dello strato dΩ (equilibrio dinamico). Per la simmetria del problema lo
sforzo  è uniforme.
F
F  A 
A
3
CORRENTE DI NEWTON
y
V
F
V
fluido
u(y)
y <<√A
piastre di
area A
x
Mettendo in relazione le due equazioni trovate, si riesce a quantificare lo sforzo viscoso
in funzione del gradiente medio di velocità in direzione ortogonale al moto:
V
F
 A   y
V
  

y
F 
 A
4
CORRENTE DI NEWTON
y
F/A
strato dΩ

y
x
Poiché lo spessore y di fluido è piccolo (i.e. y <<√A) e data la simmetria del problema, si
può ipotizzare una distribuzione lineare di velocità tra il valore V (al contatto con lastra
superiore) e zero (al contatto con lastra inferiore).
Il gradiente medio di velocità coincide con quello locale e si perviene alla relazione
differenziale (legge di Newton) che fornisce il valore dello sforzo viscoso entro il fluido:
 
du
dy
5
VISCOSIMETRO A CILINDRO ROTANTE
asse di rotazione
Sez. A-A
rc
rotore
re
fluido
M , 0
y
A
A
l
rc
re
r
x
u(y)
y
rc  0
statore
6
VISCOSIMETRO A CILINDRO ROTANTE
asse di rotazione
Sez. A-A
re – rc << re , rc
x
rotore
rc
re
fluido
u(y)
0
y
A
y
A
l
rc
re
r
x
u(y)
y
rc  0
statore
7
VISCOSIMETRO A CILINDRO ROTANTE
Sez. A-A
Poiché re – rc << re, rc il campo di
velocità all’interno della cavità
anulare può essere assimilato a
quello tra le lastre piane (curvatura
trascurabile).
L’equilibrio dinamico dello strato
elementare dΩ impone l’uguaglianza
tra il momento torcente M ed il
momento risultante degli sforzi
viscosi sulla superficie cilindrica di
raggio r.
M , 0
strato dΩ
rc
re
r
M   2 r 2 l
x
u(y)
y
rc  0
8
Deformazione del fronte liquido infinitesimo
y
u dt
d=du dt/dy
u
dy
u(y)
2
1
x
u+du
(u+du) dt
Si considera il fronte piano di lunghezza infinitesima dy appartenente ad una particella
fluida; per effetto della variazione lineare di velocità, esso passa nel tempo dt, dalla
posizione 1 alla posizione 2 mantenendosi piano.
Per piccoli spostamenti, la deformazione angolare subìta nell’unità di tempo (velocità di
deformazione) è:
d du
 

dt dy
9
Deformazione del fronte liquido infinitesimo
y
u dt
d=du dt/dy
u
dy
u(y)
2
1
x
u+du
(u+du) dt
La legge di Newton può essere espressa in relazione alla velocità di deformazione angolare
della particella fluida:
   
10
VISCOSIMETRO A CILINDRO ROTANTE
Sez. A-A
Nel caso del viscosimetro a cilindro
rotante, la velocità di deformazione
angolare può essere correlata alla
variazione di velocità angolare tra
gli strati di fluido cilindrici coassiali
M , 0
 
strato dΩ
du
d
r
dy
dr
Per cui risulta:
rc
re
  r
r
x
u(y)
y
rc  0
d
dr
Da cui la condizione di equilibrio
dinamico dello strato dΩ:
M  
d
2 r 3 l
dr
11
VISCOSIMETRO A CILINDRO ROTANTE
Sez. A-A
Integrando l’equazione differenziale
tra la distanza radiale rc ed re
tenendo conto delle condizioni al
contorno per la velocità angolare
(i.e. Ωrc=Ω0 ed Ωre=0) si ottiene:
M , 0
M

2  l
strato dΩ

rc
re
re
r
rc
0
3
dr   d
0
re2  rc2
4  0 l rc2 rc2
M
r
x
u(y)
y
rc  0
12
VISCOSIMETRO A CONO E PIASTRA
asse di rotazione
y
rotore
M , 0
Strato dΩ
fluido
rc
y
rc  0

u
r 0
r tan
r
statore
Rappresenta una variante del precedente tipo. Nell’ipotesi che  ≈ 0 si può ricavare la
velocità di deformazione angolare per lo strato infinitesimo alla distanza r:
 
du
r 0



 0    0
dy r tan( ) 

essa risulta indipendente dal raggio r.
13
VISCOSIMETRO A CONO E PIASTRA
asse di rotazione
rotore
0
rc  0
y
Strato dΩ
fluido
rc
y

u
r 0
r
r tan
statore
Dunque l’equazione di equilibrio dinamico diviene:
rc
M    r dA  
0
0

rc
2
 2 r dr   
0
3M 
2  rc3 0
14
MISURE CON VISCOSIMETRO A CONO E PIASTRA (17/10/2014)
yogurt
Prova
paraffina
γ. [1/s]
Taumis [Pa]
µmis [mPa s]
Taumis [Pa]
µmis [mPa s]
200
40.575
202.873
200
2.498
12.491
200
30.527
152.635
200
2.037
10.185
200
28.003
140.006
200
2.019
10.093
200
26.531
132.653
200
2.018
10.088
500
55.520
111.039
400
6.405
16.014
500
42.183
84.365
400
6.431
16.076
500
38.334
76.667
400
6.479
16.196
500
36.066
72.130
400
6.469
16.173
800
55.449
69.311
800
15.928
19.122
800
45.949
57.436
800
15.104
18.88
800
42.200
52.749
800
15.109
18.887
800
39.861
49.826
800
15.148
18.935
1
2
3
Tabella valori medi (yogurt)
γ. [1/s]
Taumed [Pa]
Prova
γ. [1/s]
1
2
3
Tabella valori medi (paraffina)
µmed [Pa s]
γ. [1/s]
Taumed [Pa]
µmed [Pa s]
200
31.409
0.157
200
2.143
0.011
500
43.026
0.086
400
6.446
0.016
800
45.865
0.057
800
15.322
0.019
15
MISURE CON VISCOSIMETRO A CONO E PIASTRA (17/10/2014)
16