OSCILLATORE ARMONICO
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
INTRODUZIONE
• Nella Cinematica abbiamo studiato la legge oraria
del moto armonico che era stato introdotto come il
moto della proiezione su di un diametro di un punto
che descrive un moto circolare uniforme
• Adesso studieremo, dal punto di vista dinamico,
degli esempi di sistemi meccanici il cui moto è un
moto armonico
• Un sistema fisico caratterizzato da un moto
armonico si chiama oscillatore armonico
• Molti sistemi fisici hanno un comportamento di
questo tipo, da cui l’importanza degli esempi che
vedremo
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
DEFINIZIONE
• Un oscillatore armonico è un sistema
dinamico la cui equazione del moto è:
a = - ω2x
dove x è una coordinata (eventualmente
curvilinea o angolare) che rappresenta la
posizione del sistema, e a l’accelerazione,
ovvero d2x/dt2
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (1)
• PRIMO ESEMPIO: sistema costituito da una massa
m attaccata ad una molla di costante elastica k
U
(
k
L
m
F = - kx0 m - F = kx0
x
x0
• Spostiamo la massa dalla sua posizione di equilibrio
di una distanza x0 e manteniamola ferma
O
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (2)
• Lasciamo libera la massa in modo che essa sia
soggetta alla sola forza elastica della molla
F = - kx0 m
O
x0
x
• Ad un istante successivo, la massa si troverà più
vicina alla posizione di equilibrio
F = - kx m
O
x
x
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (3)
F = - kx
m
x
x
• Applichiamo alla massa m la seconda legge di
Newton:
- kx = ma
a = -(k/m)x
poiché k e m sono due costanti positive, possiamo
scrivere:
a = - ω2x
dove ω2 = k/m. L’equazione del moto di questo
sistema è quella di un oscillatore armonico
O
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (4)
• Quindi la massa m attaccata alla molla di costante
elastica k descrive un moto armonico con pulsazione
ω = √(k/m)
• Il periodo delle oscillazioni è dato dalla formula
generale T = 2π/ω. Nel caso di questo oscillatore, il
periodo diventa:
T = 2π√(m/k)
• La legge oraria generale del moto armonico è:
x(t) = R cos(ωt + ϕ)
inoltre la velocità è data da:
v(t) = - ωR sen(ωt + ϕ)
per trovare il valore delle costanti R e ϕ dobbiamo fare
riferimento alle condizioni iniziali
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (5)
• Le condizioni iniziali sono la posizione e la velocità
nell’istante in cui abbiamo lasciato andare la massa
F = - kx0 m
O
x0
x
• Ovvero: x(0) = x0 e v(0) = 0
ma x(0) = R cosϕ e v(0) = - ωR senϕ
otteniamo il sistema di equazioni:
⎧ R cosϕ = x0
⎨
⎩- ωR senϕ = 0
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (6)
• Il precedente sistema ha due soluzioni:
ϕ = 0 e R = x0
oppure
ϕ = π e R = - x0
In entrambi i casi la legge oraria diventa:
x(t) = x0 cos(ωt)
• Notiamo che dei tre parametri che compaiono
nella legge oraria ω, R, e ϕ, il primo dipende dalle
caratteristiche fisiche del sistema, mentre gli altri
due dipendono dalle condizioni iniziali del moto. R
è l’ampiezza delle oscillazioni perché è il massimo
valore di x(t), e ϕ la fase iniziale cioè la fase a t = 0
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (7)
• In realtà dalla legge oraria generale del moto
armonico:
x(t) = R cos(ωt + ϕ)
vediamo che R è sempre l’ampiezza delle
oscillazioni perché è il massimo valore di x(t)
• Nell’esempio precedente si poteva osservare che
poiché la massa partiva da ferma l’ampiezza delle
oscillazioni era uguale alla posizione iniziale x0 e
calcolare successivamente ϕ
• La velocità in funzione del tempo è:
v(t) = - ωx0 sen(ωt)
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (8)
• Con delle diverse condizioni iniziali avremmo avuto
dei diversi valori delle costanti R e ϕ ma non di ω
m
O
v0
x
• Ad esempio se imprimiamo, nella posizione di riposo
della molla, una velocità iniziale v0 alla massa m, le
condizioni iniziali sono:
x(0) = 0 e v(0) = v0 da cui otteniamo il sistema di
equazioni:
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (9)
⎧ R cosϕ = 0
⎨
⎩- ωR senϕ = v0
• Il sistema ha due soluzioni:
ϕ = π/2 e R = - v0/ω
oppure
ϕ = - π/2 e R = v0/ω
• In entrambi i casi la legge oraria diventa:
x(t) = v0/ω cos(ωt - π/2) = v0/ω sen(ωt)
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (10)
• Notiamo che v0/ω ha la dimensione di una
lunghezza ed è il massimo valore di x(t) quindi
rappresenta l’ampiezza delle oscillazioni
x(t) = X sen(ωt)
con X = v0/ω
• Notiamo anche che:
v(t) = - ωR sen(ωt + ϕ) con R = - (v0/ω) e ϕ = π/2
v(t) = ω (v0/ω) sen(ωt + π/2)
v(t) = v0 cos(ωt)
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
PENDOLO SEMPLICE (1)
• Il pendolo è costituito da un corpo di massa m
attaccato ad un filo di lunghezza costante L del
quale la seconda estremità è sospesa ad un punto
fisso. Il corpo è soggetto alla forza peso e alla
tensione del filo
• Il pendolo semplice è un’idealizzazione nella quale
si considera il corpo un punto materiale e il filo privo
di massa
• Supponiamo che il pendolo compia delle oscillazioni
in un piano verticale e inoltre limitiamo lo studio al
caso di piccole oscillazioni vicino alla posizione di
equilibrio (sulla verticale del punto di sospensione
del filo)
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
PENDOLO SEMPLICE (2)
L
θ(t)
T
m
s(t)
mg
Poiché la massa m è
vincolata a muoversi lungo
un arco di circonferenza, la
posizione del pendolo è
individuata dall’angolo θ(t)
oppure dall’ascissa
curvilinea s(t)
La relazione tra queste due
grandezze è:
s(t) = Lθ(t)
La freccia curva in basso
indica il verso positivo di
θ(t) e s(t)
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
PENDOLO SEMPLICE (3)
F = T+ mg
θ
F = ma
L
T
m
mg
Notiamo che la forza
risultante F non è
tangente alla traiettoria.
Infatti deve esserci una
componente centripeta
perché il punto descrive
un arco di circonferenza
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
PENDOLO SEMPLICE (4)
θ
L
F = ma
T
m
mg θ
Scomponiamo queste
forze lungo le direzioni
tangente e radiale:
Ft = - mg senθ
Fr = T – mg cosθ
Poiché F = ma è una
relazione vettoriale essa
equivale alle due relazioni:
Ft = mat = mLα
Fr = mar = mv2/L
dove α è l’accelerazione
angolare e v la velocità
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
PENDOLO SEMPLICE (5)
θ
L
F = ma
T
m
mg θ
Otteniamo quindi le
equazioni:
mLα = - mg senθ
mv2/L = T – mg cosθ
La seconda ci dà la
tensione del filo:
T = mg cosθ + mv2/L
La prima ci dà
l’accelerazione angolare:
α = - (g/L) senθ
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
PENDOLO SEMPLICE (6)
Osserviamo che per angoli piccoli senθ ≅ θ
senθ θ
O
1
Possiamo esprimere l’accelerazione angolare come:
α = - (g/L) θ
Questa è l’equazione del moto di un oscillatore
armonico:
α = - ω2 θ
dove ω = g/L
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
PENDOLO SEMPLICE (7)
• Quindi, per piccoli angoli di oscillazione, il pendolo
semplice descrive un moto armonico con
pulsazione ω = √(g/L)
• Il periodo delle oscillazioni è dato dalla formula
generale T = 2π/ω. Nel caso del pendolo semplice,
il periodo è:
T = 2π√(L /g)
• Osserviamo che il periodo non dipende dalla
massa del pendolo, ma solo dalla lunghezza del filo
e dall’accelerazione di gravità. Il periodo aumenta
all’aumentare della lunghezza del filo
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
PENDOLO SEMPLICE (8)
Osserviamo che in questo caso ω = g/L è la
pulsazione mentre la velocità angolare del
pendolo è Ω = v/L (che non è costante!)
Analogamente, non bisogna confondere
l’angolo θ che individua la posizione del
pendolo, con l’angolo ωt + ϕ che
rappresenta la fase del moto armonico
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
PENDOLO SEMPLICE (9)
• La legge oraria del moto armonico del pendolo
semplice esprime le variazioni nel tempo
dell’angolo θ che definisce la posizione del pendolo
stesso:
θ(t) = Θ cos(ωt + ϕ)
dove Θ è l’ampiezza (angolare) delle oscillazioni e
ϕ la fase iniziale
• Inoltre la velocità angolare è data da:
Ω(t) = - ωΘ sen(ωt + ϕ)
i valori delle costanti di integrazione Θ e ϕ
dipendono dalle condizioni iniziali
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
PENDOLO SEMPLICE (10)
θ0
L
T
m
mg
Ad esempio se scostiamo
il pendolo dalla verticale
di un angolo θ0 e lo
lasciamo partire da fermo
le condizioni iniziali
saranno:
θ(0) = θ0 e Ω(0) = 0
da cui:
Θ cosϕ = θ0
- ωΘ senϕ = 0
Si ottiene la legge oraria:
θ(t) = θ0 cos(ωt)
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
PENDOLO SEMPLICE (11)
L
T
m
v0
mg
Se invece il pendolo è
inizialmente sulla verticale
e gli imprimiamo una
velocità iniziale v0 le
condizioni iniziali saranno:
θ(0) = 0 e Ω(0) = v0/L
da cui:
Θ cosϕ = 0
- ωΘ senϕ = v0/L
Si ottiene la legge oraria:
θ(t) = v0/(ωL) cos(ωt - π/2)
θ(t) = v0/(ωL) sen(ωt)
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
PENDOLO SEMPLICE (12)
Notiamo che le due precedenti leggi orarie possono
essere espresse mediante l’ascissa curvilinea s(t)
Nel primo caso, da θ(t) = θ0 cos(ωt) otteniamo:
Lθ(t) = Lθ0 cos(ωt), ovvero:
s(t) = s0 cos(ωt)
dove s0 = Lθ0
Nel secondo caso, da θ(t) = v0/(ωL) sen(ωt) otteniamo:
Lθ(t) = v0/ω sen(ωt), ovvero:
s(t) = v0/ω cos(ωt)
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
ENERGIA DELL’OSCILLATORE
ARMONICO (1)
Negli esempi precedenti le forze che agiscono
sull’oscillatore armonico sono conservative (forza
elastica e forza di gravità) quindi ci aspettiamo che
l’energia meccanica totale di questi oscillatori sia
costante
Tuttavia è istruttivo studiare in dettaglio l’evoluzione
nel tempo dell’energia meccanica totale. Consideriamo
solo il caso della massa attaccata alla molla per
semplicità. Dei risultati analoghi valgono per il pendolo
semplice
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
ENERGIA DELL’OSCILLATORE
ARMONICO (2)
L’espressione dell’energia meccanica totale della
massa attaccata alla molla in funzione del tempo è:
ET(t) = (1/2)mv2(t) + (1/2)kx2(t)
con:
x(t) = x0 cos(ωt + ϕ)
v(t) - ωx0 sen(ωt + ϕ)
dove:
x0 è l’ampiezza delle oscillazioni, ω = √(k/m) la
pulsazione e ϕ la fase iniziale
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
ENERGIA DELL’OSCILLATORE
ARMONICO (3)
Sostituendo nell’espressione dell’energia meccanica
totale l’espressione esplicita della posizione e della
velocità otteniamo:
ET(t) = (1/2)mω2x02sen2(ωt + ϕ) + (1/2)kx02cos2(ωt + ϕ)
Osserviamo che l’energia meccanica dell’oscillatore
armonico è la somma di due termini oscillanti (la cui
somma come abbiamo detto è costante). Questi due
termini oscillano in opposizione di fase (uno è
massimo quando l’altro è minimo e viceversa). Ad
esempio, quando ωt+ϕ = π/2, il primo termine è
massimo e il secondo è minimo
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
ENERGIA DELL’OSCILLATORE
ARMONICO (4)
Supponiamo per semplicità che ϕ = 0. L’espressione
dell’energia totale diventa:
ET(t) = (1/2)mω2x02sen2(ωt) + (1/2)kx02cos2(ωt)
Inoltre osserviamo che mω2 = k, quindi possiamo
scrivere:
ET(t) = (1/2)kx02sen2(ωt) + (1/2)kx02cos2(ωt)
dove vediamo che i due termini oscillanti hanno lo
stesso valore massimo (1/2)kx02
E’ utile rappresentare questi due termini in un grafico
in funzione del tempo
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
ENERGIA DELL’OSCILLATORE
ARMONICO (5)
EC, U
EC= (1/2)mω2x02sen2(ωt) U = (1/2)kx02cos2(ωt)
kx0/2
kx0/4
0
π/2ω
π/ω
3π/2ω
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
t
2π/ω
ENERGIA DELL’OSCILLATORE
ARMONICO (6)
Possiamo infine verificare che l’energia meccanica è
costante e calcolarla. Infatti
ET(t) = (1/2)kx02 [sen2(ωt) + cos2(ωt)]
e poiché sen2(ωt) + cos2(ωt) = 1
ET(t) = (1/2)kx02
Osserviamo che l’energia totale dell’oscillatore è
uguale all’energia potenziale della molla al massimo
allungamento o alla massima compressione. Infatti in
quelle posizioni l’energia cinetica è nulla.
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
ENERGIA DELL’OSCILLATORE
ARMONICO (7)
Poiché k = mω2 l’energia è anche uguale a
ET(t) = (1/2)mω2x02
ET(t) = (1/2)mV2
dove V = ωx0 è la velocità massima dell’oscillatore che
esso raggiunge alla posizione di riposo della molla.
Infatti in quella posizione l’energia potenziale della
molla è nulla
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
ENERGIA DELL’OSCILLATORE
ARMONICO (8)
Per ogni x, (1/2)mv2 + (1/2)kx2 = (1/2)kx02
da cui: v2 = (k/m)(x02 – x2) = ω2(x02 – x2)
U
U = (1/2)kx2
ET = (1/2)kx02
EC = (1/2)mv2
- x0
0
x
x0
x
v = ω√(x02 – x2)
Dalla conservazione
dell’energia abbiamo
una relazione tra
velocità e posizione
In particolare,
per x = 0, v = ωx0
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
ENERGIA DELL’OSCILLATORE
ARMONICO (9)
OSSERVAZIONE:
Se un oscillatore armonico è inizialmente a riposo la
sua energia totale è nulla. Affinché esso oscilli deve
ricevere l’energia dall’esterno. Ovvero, si deve
compiere lavoro su di esso in modo che aumenti la
sua energia totale.
Ad esempio se scostiamo la massa dalla posizione
di riposo allungando la molla, compiamo un lavoro
contro la forza elastica che aumenta l’energia
potenziale. Quando lasciamo andare la massa
questa energia rimane all’oscillatore armonico.
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
ENERGIA DELL’OSCILLATORE
ARMONICO (10)
OSSERVAZIONE (segue):
Al contrario, se fermiamo la massa, o la freniamo,
l’energia totale dell’oscillatore si annulla o
diminuisce.
Quindi, nell’oscillatore lasciato a se stesso, quando
agisce solo la forza elastica della molla, l’energia
meccanica si conserva. Però la stessa energia
meccanica può variare per l’intervento di forze
esterne all’oscillatore
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO SMORZATO (1)
Su di una massa attaccata ad una molla, oltre alla
forza elastica, agiscono delle forze di attrito.
Nell’oscillatore armonico non sono considerate le
forze di attrito. In realtà si tratta di un’idealizzazione
che è valida se le forze di attrito sono trascurabili.
Nell’oscillatore armonico smorzato si tiene conto
delle forze di attrito
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO SMORZATO (2)
Supporremo che sulla massa agisca una forza di
attrito proporzionale alla velocità (e di verso opposto)
Fa = - αv
F = - kx
v
O
x
m
Fa = - αv
x
La forza risultante sulla massa sarà quindi:
Fris = - kx - αv
dove α è una costante positiva che caratterizza
l’intensità della forza di attrito (maggiore è α, maggiore
è l’attrito)
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO SMORZATO (3)
L’equazione del moto dell’oscillatore armonico
smorzato sarà quindi:
a = - (k/m)x – (α/m)v
Prima di dare la legge oraria corrispondente,
osserviamo che la forza di attrito compie un lavoro
strettamente negativo per cui l’energia totale
dell’oscillatore diminuirà fino ad annullarsi. Quindi in
un tempo più o meno lungo, a seconda dell’intensità
della forza di attrito, l’oscillatore, se viene perturbato,
tornerà nella posizione di riposo
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO SMORZATO (4)
Consideriamo prima il caso in cui la forza di attrito sia
debole in confronto con la forza elastica. Questa
condizione è realizzata se α < 2√(mk). In questo caso
si può dimostrare che la legge oraria, per le condizioni
iniziali x(0) = x0, e v(0) = 0, è data da:
x(t) = x0 e-γt cos(ω’t)
Dove:
γ = α/(2m)
ω’ = √(ω2 - γ2)
ω = √(k/m)
Notiamo che se α < 2√(mk), allora γ < ω
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO SMORZATO (5)
Notiamo che questa legge oraria descrive delle
oscillazioni armoniche la cui ampiezza decresce
esponenzialmente. Il coefficiente γ nell’esponenziale è
proporzionale al coefficiente di attrito. Quindi maggiore
è l’attrito, più velocemente decresce l’ampiezza delle
oscillazioni
Notiamo anche che la pulsazione ω’ e quindi anche la
frequenza f’ = ω’/2π dell’oscillatore armonico smorzato
è inferiore a quella di un oscillatore con uguali massa
e costante elastica ma non smorzato:
ω’ = √(ω2 - γ2) < ω
Se γ << ω, allora ω’ ≅ ω
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO SMORZATO (6)
x
x0
x0 e-γt
x(t) = x0 e-γt cos(ω’t)
t
0
- x0 e-γt
- x0
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO SMORZATO (7)
Consideriamo adesso il caso γ << ω (in cui ω’ ≅ ω) e
confrontiamo l’energia dell’oscillatore armonico
smorzato, nei massimi di due oscillazioni successive.
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO SMORZATO (8)
Queste posizioni corrispondono a tempi che sono
separati da un periodo T = 2π/ω
La legge oraria, con le condizioni iniziali x(0) = x0 e
v(0) = 0 è x(t) = x0 e-γt cos(ωt) e, poiché in un massimo
cos(ωt) = 1, le posizioni nei due massimi sono:
x1 = x0e-γt ; x2 = x0e-γ(t+T)
Le energie corrispondenti sono:
E1 = (1/2)kx02e-2γt ; E2 = (1/2)kx02e-2γ(t+T)
Notiamo che E1 ed E2 rappresentano l’energia totale
perché nei massimi la velocità è nulla. Calcoliamo
adesso il rapporto E2/E1
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO SMORZATO (9)
E2 / E1 = e-2γ(t+T) / e-2γt = e-2γT
L’energia decresce esponenzialmente con un
coefficiente 2γ che è il doppio di quello con il quale
decresce l’ampiezza delle oscillazioni
La diminuzione di energia in un periodo è:
E1 – E2 = E1(1 - e-2γT)
Si chiama fattore di qualità dell’oscillatore il rapporto
Q = 2π E1/(E1 – E2) = 2π / (1 - e-2γT)
Un Q grande indica uno smorzamento piccolo e
viceversa
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO SMORZATO (10)
Consideriamo adesso il caso in cui la forza di attrito sia
forte in confronto con la forza elastica. Questa
condizione è realizzata se α > 2√(mk). In questo caso si
può dimostrare che la legge oraria, per le condizioni
iniziali x(0) = x0, e v(0) = 0, è approssimativamente:
x(t) ≅ x0 e-(γ-ω’)t
Dove:
γ = α/(2m)
ω’ = √(γ2 - ω2)
ω = √(k/m)
Notiamo che se α > 2√(mk), allora γ > ω e γ > ω’
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO SMORZATO (11)
x
x0
x(t) ≅ x0 e-(γ-ω’)t
t
0
Osserviamo che se lo smorzamento è elevato, non vi è
oscillazione ma solo un movimento monotono verso la
posizione di riposo
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO SMORZATO (12)
Consideriamo infine il caso α = 2√(mk). In questo caso
si può dimostrare che la legge oraria, per le condizioni
iniziali x(0) = x0, e v(0) = 0, è:
x(t) = x0 (1+ γt)e-γt
Dove:
γ = α/(2m)
ω = √(k/m) = γ
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO SMORZATO (13)
x0
x
x(t) = x0 (1+γt)e-γt
t
0
Osserviamo che il moto è simile al caso precedente in
quanto non vi è oscillazione ma la posizione di riposo
viene raggiunta in un tempo più breve
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO SMORZATO (14)
Lo smorzamento nel caso α = 2√(mk) viene detto
smorzamento critico perché rappresenta un valore di
transizione tra smorzamento debole (α < 2√(mk) ) e
smorzamento forte (α > 2√(mk) ).
Lo smorzamento debole viene anche detto
smorzamento sottocritico, e quello forte sovracritico.
Oppure si può dire che un oscillatore è sottosmorzato o
sovrasmorzato.
Lo smorzamento critico è caratterizzato dalla proprietà
che l’oscillatore raggiunge la posizione di riposo nel
tempo più breve rispetto a tutti gli altri valori di
smorzamento
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO SMORZATO (15)
x
x0
Smorzamento sovracritico
Smorzamento critico
t
0
Smorzamento sottocritico
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO FORZATO (1)
Abbiamo finora considerato il moto dell’oscillatore
armonico libero, ovvero lasciato a se stesso dopo
una perturbazione, oppure soggetto ad una forza di
attrito.
Nel seguito vedremo brevemente cosa accade
quando l’oscillatore armonico è soggetto ad una
forza esterna applicata continuativamente e
dipendente dal tempo.
In questa situazione l’oscillatore armonico è detto
forzato.
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO FORZATO (2)
Supporremo che sulla massa agisca, oltre alla forza di
attrito, anche una forza applicata Fapp (t) dipendente
dal tempo
Fa = - αv
F = - kx
v m
O
x
Fapp (t)
x
La forza risultante sulla massa sarà quindi:
Fris = - kx - αv + Fapp (t)
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO FORZATO (3)
L’equazione del moto dell’oscillatore armonico
forzato sarà quindi:
a = - (k/m)x – (α/m)v + Fapp (t)/m
La soluzione di questa equazione dipenderà dalla
specifica funzione Fapp (t)
Il caso più importante è quello di una funzione
sinusoidale:
Fapp (t) = F0 cos(ωt + ϕ)
Poiché vogliamo calcolare l’ampiezza delle
oscillazioni per diversi valori della pulsazione della
forza applicata, chiamiamo ω0 la pulsazione
dell’oscillatore libero (non forzato)
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO FORZATO (4)
Consideriamo solo il caso in cui la forza di attrito sia debole. In
questo caso si può dimostrare che la legge oraria, per le
condizioni iniziali x(0) = x0, e v(0) = 0, è data da:
F0/m
x(t) = x0 e-γt cos(ω’t) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ sen(ωt+ϕ+β)
[(ω02 - ω2)2 + 4γ2ω2]1/2
Dove:
γ = α/(2m)
ω’ = √(ω02 - γ2)
ω0 = √(k/m)
β = arctg [(ω02 - ω2)/2γω]
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO FORZATO (5)
F0/m
x(t) = x0 e-γt cos(ω’t) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ sen(ωt+ϕ+β)
[(ω02 - ω2)2 + 4γ2ω2]1/2
Osserviamo che il primo termine decade esponenzialmente col
tempo (transiente) mentre il secondo termine si mantiene nel
tempo (stazionario) ed è un’oscillazione armonica con la stessa
frequenza della forza applicata
Consideriamo nel seguito solo il termine stazionario:
F0/m
x(t) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ sen(ωt+ϕ+β)
[(ω02 - ω2)2 + 4γ2ω2]1/2
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO FORZATO (6)
F0/m
x(t) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ sen(ωt+ϕ+β)
[(ω02 - ω2)2 + 4γ2ω2]1/2
Il termine che moltiplica la funzione seno rappresenta
l’ampiezza delle oscillazioni forzate.
Il termine β rappresenta lo sfasamento dell’oscillatore rispetto
alla forza applicata
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO FORZATO (7)
Studiamo adesso come varia l’ampiezza delle oscillazioni
forzate in funzione della frequenza ω della forza applicata:
F0/m
f(ω) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
[(ω02 - ω2)2 + 4γ2ω2]1/2
Per semplicità consideriamo un’espressione approssimata
dell’ampiezza valida per ω vicino a ω0. In tal caso, possiamo
sostituire ω con ω0 e ω + ω0 con 2ω0 (ma non ω - ω0 con 0):
F0/m
f(ω) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2ω0[(ω0 - ω)2 + γ2]1/2
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO FORZATO (8)
f(ω) / (F0/m)
0,5
γ = ω0/100
γ = ω0/30
0,16
γ = ω0/10
0,05
ω0
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
ω
OSCILLATORE ARMONICO FORZATO (9)
Osserviamo che la funzione f(ω) presenta un massimo in ω0.
In altri termini, l’ampiezza delle oscillazioni forzate è tanto
maggiore quanto più la frequenza della forza applicata è vicina
alla frequenza propria dell’oscillatore. Questo fenomeno prende
il nome di risonanza.
Inoltre, il picco della funzione f(ω) è tanto più alto quanto più γ è
piccolo.
F0/m
f(ω0) = ⎯⎯⎯⎯
2ω0γ
Quindi l’ampiezza delle oscillazioni in risonanza aumenta al
diminuire dell’attrito
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO FORZATO (10)
Infine, il picco della funzione f(ω) è tanto più stretto quanto più γ
è piccolo.
In altri termini, l’oscillatore è in risonanza per un intervallo di
frequenze tanto più piccolo quanto più basso è lo smorzamento
Ovvero, la risposta dell’oscillatore è più selettiva in termini della
frequenza della forza applicata se lo smorzamento è basso.
Una misura quantitativa della selettività dell’oscillatore è data
dalla larghezza del picco a metà altezza. Si può dimostrare che
per un oscillatore con smorzamento basso tale larghezza è
circa uguale a 2γ
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO FORZATO (11)
f(ω) / (F0/m)
0,16
γ = ω0/30
0,08
ω0 - γ
ω0
ω0 + γ
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
ω
OSCILLATORE ARMONICO FORZATO (12)
Calcoliamo adesso la potenza assorbita dall’oscillatore in
funzione di ω:
P(ω,t) = Fapp(t) v(t)
dove:
Fapp (t) = F0 cos(ωt + ϕ)
e:
F0/m
v(t) = dx(t)/dt = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ω cos(ωt+ϕ+β)
[(ω02 - ω2)2 + 4γ2ω2]1/2
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO FORZATO (13)
ω F02 /m
P(ω,t) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ cos(ωt + ϕ) cos(ωt +ϕ+β)
[(ω02 - ω2)2 + 4γ2ω2]1/2
applicando le formule trigonometriche classiche:
cos(ωt + ϕ) cos(ωt +ϕ+β) = (1/2) [ cos(2(ωt+ϕ) + β) + cosβ ]
ω F02 /m
P(ω,t) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ [ cos(2(ωt+ϕ) + β) + cosβ ]
2 [(ω02 - ω2)2 + 4γ2ω2]1/2
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO FORZATO (14)
ω F02 /m
P(ω,t) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ [ cos(2(ωt+ϕ) + β) + cosβ ]
2m [(ω02 - ω2)2 + 4γ2ω2]1/2
Di questa potenza ci interessa il valore medio su di un periodo
di oscillazione. Il primo termine tra parentesi quadre è
sinusoidale e ha media zero in un periodo. Quindi sopravvive
solo il secondo termine che è costante:
ω F02 cosβ / m
<P(ω)> = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2 [(ω02 - ω2)2 + 4γ2ω2]1/2
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO FORZATO (15)
ω F02 cosβ / m
<P(ω)> = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2 [(ω02 - ω2)2 + 4γ2ω2]1/2
Possiamo anche qui utilizzare un’espressione approssimata
della precedente formula:
ω F02 cosβ / m
<P(ω)> = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4ω0[(ω0 - ω)2 + γ2]1/2
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
OSCILLATORE ARMONICO FORZATO (16)
<P(ω)> / (F02 cosβ / m)
2,5
γ = ω0/100
γ = ω0/30
0,8
γ = ω0/10
0,25
ω0
Corso di Fisica per CTF, Facoltà
Facoltà di Farmacia, Università
Università “G. D’
D’Annunzio”
Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
ω