Stati fisici
• Uno stato fisico è rappresentato da un vettore di stato (ket) in uno
spazio vettoriale complesso:
E
• Un ket contiene tutte le informazioni su di uno stato fisico.
• La somma di due ket è un altro ket:
Operatori C, P e T
+ = , , E
• La moltiplicazione di un ket per un numero complesso c è un altro ket:
prof. Domenico Galli
c = c= , E
• I ket e c , c = Aei rappresentano il medesimo stato fisico:
Temi di Fisica delle Particelle Elementari al LHC
Dottorato di ricerca in Fisica, Bologna
Domenico Galli
c ,
– Soltanto la direzione è significativa nello spazio dei ket.
– Gli stati fisici sono raggi, non vettori.
– Raggio: sottospazio c E;c , E .
{
Digitally signed by Domenico Galli
DN: c=IT, o=INFN, ou=Personal Certificate,
l=Bologna, cn=Domenico Galli
Date: 2010.07.20 14:37:43 +02'00'
}
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Operatori C, P e T
Osservabili
2
Osservabili (II)
• Un osservabile (p. es.: una componente della quantità di moto o
dello spin) è rappresentato da un operatore A.
• In generale un operatore agisce su di un ket da sinistra
originando un altro ket:
• L’applicazione dell’operatore A a un autoket riproduce lo stesso
autoket a meno di un fattore moltiplicativo.
• Lo stato fisico corrispondente a un autoket è chiamato autostato.
• I numeri dell’insieme:
{a, a, a, …}
A = sono chiamati autovalori dell’operatore A.
• In generale lo stato A non è la moltiplicazione dello stato per uno scalare complesso.
• Tuttavia ci sono dei ket particolarmente importanti (autoket
dell’operatore A), che si indicano con:
a , a , a , …
e che soddisfano la proprietà:
A a = a a , A a = a a , ecc., a, a, a DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC —
Operatori C, P e T
3
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Operatori C, P e T
4
Componenti dei ket
Lo spazio dei bra
• La dimensione N dello spazio vettoriale è determinata dal numero
di alternative nel risultato di un esperimento.
• In tale spazio, gli N autoket dell’osservabile A formano una base.
• Ogni ket arbitrario si può scrivere, per componenti:
• Lo spazio dei bra è uno spazio vettoriale E *, duale rispetto allo
spazio dei ket E:
– Spazio duale: insieme di tutti i funzionali lineari su E a valori complessi.
( )
( )
E N
i
= ci a( ) , ci – La linearità implica che:
(
)
c + c = c + c , , i=1
• Addizione di bra e moltiplicazione un bra per uno scalare sono
definite dalle relazioni:
( + ) = (c ) = c DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC —
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5
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Operatori C, P e T
Lo spazio dei bra (II)
• Il corrispondente duale di una somma è la somma dei
corrispondenti duali dei singoli addendi:
CD
{ +
dove CD = corrispondenza duale.
• Una base nello spazio dei bra è costituita dagli autobra
corrispondenti duali di una base di autoket:
}
{
}
CD
+ + +
• Il corrispondente duale del prodotto di un ket per un numero è il
prodotto del bra duale per il complesso coniugato del numero:
{ a( ) ,i = 1,2,…} { a( ) ,i = 1,2,…}
CD
6
Lo spazio dei bra (III)
• A ogni ket corrisponda un bra :
i
+ i
CD
c* c , c • Per le combinazioni lineari di ket si ha perciò:
{c
*
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7
}
{
}
CD
+ c* + c + c +
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8
Prodotto interno
Ortonormalità
• Il prodotto interno è il prodotto di un bra per un ket , che
si scrive:
• Dato un ket non nullo si può formare il ket normalizzato ˆ ,
definito come:
ˆ =
• Il prodotto interno per definizione soddisfa due proprietà:
= 0
=0 =0
che rappresenta il medesimo stato fisico.
• Due ket e si dicono ortogonali se:
*
(
1
)
=0
• La norma del ket o del bra è definita come:
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9
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC —
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Operatori
10
Operatori (II)
• Un operatore X agisce su di un ket da sinistra e il prodotto
risultante è ancora un ket:
• Gli operatori possono essere sommati:
(X + Y ) X = =X +Y , • La somma è commutativa e associativa:
• Due operatori X e Y si dicono uguali se:
X +Y = Y +X
X =Y , (
) (
)
X + Y +Z = X +Y +Z
• Un operatore X si dice nullo se:
• Un operatore X si dice lineare se:
(
X = 0, X c + c )=c X + c X , , • Vedremo che gli operatori C e P sono lineari, mentre l’operatore T
è anti-lineare:
(
T c + c DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC —
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11
)=c T *
+ c* T , , DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC —
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12
Operatori (III)
Operatori (IV)
• Un operatore X agisce su di un bra da destra e il prodotto
risultante è ancora un bra:
• Gli operatori X e Y possono essere moltiplicati:
(XY ) = X (Y ) ,
(XY ) = ( X ) Y,
X= • Il ket X e il bra X non sono in generale duali tra loro.
• Si definisce operatore hermitiano coniugato o aggiunto
dell’operatore X, l’operatore X † tale che:
XY YX
ma è associativa:
( ) ( )
X YZ = XY Z
• Un operatore si dice hermitiano o autoaggiunto se e è uguale al suo
aggiunto:
• Si noti che:
( Y )X
X =X
†
†
(XY )
†
13
ket
ket
(
)
( )
CD
Y †X † XY = Y †X †
14
CD
X † X e dunque:
, ,
( )
†
numero
= • Inoltre si osservi che, per l’assioma associativo, si ha, per operatori
lineari:
dove è semplicemente un numero, mentre è definito
prodotto esterno.
• Come si vede, un prodotto esterno, applicato a un ket produce un
altro ket.
• Il prodotto esterno di un ket e un bra può essere considerato come
un operatore.
• L’operatore ruota nella direzione di .
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CD
• In particolare, per l’assioma associativo, si ha:
prodotto
esterno
)
• Si osservi che:
– Non vale per operatori anti-lineari.
(
CD
X Y Assioma Associativo e Prodotto Esterno (II)
• Assioma associativo: La proprietà associativa vale in generale,
fintanto che abbiamo a che fare con moltiplicazioni consentite tra
operatori, bra e ket e operatori lineari.
def
†
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Assioma Associativo e Prodotto Esterno
) = ( )= (
• La moltiplicazione, in generale, non è commutativa:
CD
X † X DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC —
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(
) (
)
def
X = X = X
bra
15
ket
bra
ket
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16
Assioma Associativo e Prodotto Esterno (III)
Operatori hermitiani
• Poiché:
• Teorema: Gli autovalori di un operatore hermitiano sono reali; gli
autoket corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali.
A = A†
A a( i ) = a( i ) a( i ) a( j ) A a( i ) = a( i ) a( j ) a( i )
j
j*
j
( j)
( j) ( j)
CD
a( ) A † = a( ) a( )
A a = a a a( j ) A = a( j )* a( j ) a( j ) A a( i ) = a( j )* a( j ) a( i )
i
j
i
j*
j
i
i
j*
j
i
0 = a( ) a( ) a( ) a( ) a( ) a( ) a( ) a( ) a( ) a( ) = 0
X X †
CD
= *
si ha:
) {(
(
X = X =
X = X† ) } = X
X† *
†
*
*
( i )*
(i)
j = i a = a
j i
j i a( ) a( ) 0
j
i
( j)
a , a( ) a( ) = DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC —
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17
{ a , a , a , …, a } = { a
,i = 1,…, N
• Per quanto detto possiamo scrivere:
}
N
i
=
i a( ) , i i=1
= a( j ) j
formano un insieme completo ortonormale.
• Un generico ket si può scrivere, per componenti:
N
i
= i a( ) , i j
• Moltiplicando per a( ) a sinistra si ottiene la componente j-esima:
a
= a
i=1
i
a
(i)
N
N
i=1
i=1
i
i
i
= a( ) a( ) = a( )
i=1
( j)
18
Relazione di chiusura
• Gli autoket normalizzati dell’operatore A:
(N )
(i)
( j)
)
j,i
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Basi di autoket
N
(
N
N
i=1
i=1
N
a( )
j
i
= i a( ) a( ) = i j,i = j
i
a( ) = 1
i
i=1
j
j = a( ) DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC —
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i
a( ) (relazione di chiusura o di completezza).
19
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20
Relazione di chiusura (II)
Operatori di proiezione
• Dalla relazione di chiusura troviamo:
N
a( )
• Consideriamo l’operatore:
a( ) = 1
i
i
i
i = a( )
i=1
N
= a( ) i
*
i=1
N
i=1
2
i
N
= a( ) i
N
i i
a( ) = a( )
i=1
N
a( ) = a( ) i
a( ) =
(
i
2
N
i=1
=1
21
=1
N
k
U = b( )
1
=U
N k
i
U a( ) = b( )
k =1
†
i
b( ) ,i = 1,…, N
N k
UU † = b( )
k =1
}
N
esiste un operatore unitario U tale che:
N
N
k l
a( ) a( )
l =1
N
k
i
k
i
a( ) a( ) = k ,i b( ) = b( )
N N
l k
b( ) = b( )
k =1 l =1
N
k
l
k
= b( ) k ,l b( ) = b( )
i
i
b( ) = U a( ) , i = 1,…, N
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Operatori C, P e T
N
k i
k
a( ) a( ) = b( )
k =1
k =1
inoltre U è unitario:
• Teorema: Date due basi di ket ortonormali e complete:
}{
k
a( )
k =1
U U = UU = 1 U
,i = 1,…, N
22
U soddisfa la relazione richiesta:
• Un operatore unitario soddisfa la relazione:
†
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• Infatti, definito:
U †U = {
i
Operatori unitari e cambiamento di base (II)
• Si chiama operatore unitario un operatore che conserva il
prodotto interno:
a
i
i
a( ) = i a( )
i=1
Operatori unitari e cambiamento di base
(i)
i
i
a( ) a = a( )
i
• La relazione di chiusura si può scrivere come:
i
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†
)
i a = a( )
i=1
2
i
detto operatore di proiezione.
(i)
• Esso seleziona la parte del ket parallela ad a
:
=1
N i
= a( )
i=1
a( )
k =1 l =1
23
k
l
a( ) a( )
l
b( ) =
l
b( ) = 1
k =1
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24
Operatori unitari e cambiamento di base (III)
Operatori unitari e cambiamento di base (IV)
• La matrice di trasformazione relativa al cambiamento di base si
(i)
(i)
scrive, essendo b = U a :
• Troviamo ora la relazione tra i vecchi e i nuovi elementi di matrice.
• Essendo:
i
j
i
j
Ui, j = a( ) U a( ) = a( ) b( )
N
a(
N
k
k
a( ) = 1
N
nuovo elemento
di matrice
k
j
k
k
a( ) = a( ) U † a( ) a( ) k =1 nuova
componente
U †j ,k
25
N
N
m
n
a( ) X a( )
i
i
Tr X = a( ) X a( )
i=1
e risulta indipendente dalla rappresentazione a
• Si può anche dimostrare che:
n
j
a( ) b( ) =
i
m
m
n
n
j
= a( ) U † a( ) a( ) X a( ) a( ) U a( )
m=1 n=1 vecchio elemento
di matrice
Un ,l
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26
• Vi sono osservabili (come lo spin) con uno spettro discreto di
autovalori.
• Vi sono osservabili (come le componenti dell’impulso) con uno spettro
continuo di autovalori.
• Molti risultati sono generalizzabili
(i) ( j )
N
( i ) scelta.
= i, j
a a
( )
( )
Tr ( U XU ) = Tr (X )
Tr XY = Tr YX
N
a( )
†
)
a( ) ) = a( ) b( )
i
a( ) = 1 i
i=1
j
a( ) = i, j
N
i
= a( )
i
a( ) i
i=1
N
i=1
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N
Spettri continui
• La traccia di un operatore è la somma dei suoi elementi diagonali:
i
N
Ui†,m
Traccia di un operatore
i
i
i
b( ) = a( ) U †
vecchia
componente
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i
n
a( ) = 1
n=1
N
j
j
k
b( ) = b( ) a( )
k =1
i
n
i
j
i
m
b( ) X b( ) = b( ) a( )
m=1 n=1
La matrice colonna delle nuove componenti di un ket si ottengono
dalla matrice colonna delle vecchie, moltiplicando per la matrice U†i,j:
(
Tr ( b( )
a( )
• Si ottiene la trasformazione di similarità X = U †X U :
j
j
b( ) = a( ) U †
Tr a( )
N
m
a( ) = 1,
j
j
b( ) = U a( ) ,
k =1
( )
)
m=1
• Inoltre, poiché:
a( )
m
27
a( ) i
2
= 1 (
= )
d = 1
= d d DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC —
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2
=1
28
Spettri continui (II)
N
i
= a( )
a( ) i
= d A = i=1
i
j
j
a( ) A a( ) = a( ) i, j
Spazio delle coordinate
(
• Gli autoket dell’operatore posizione X, soddisfano l’equazione agli
autovalori:
X x = x x
)
• Il ket di stato per un arbitrario stato si può scrivere come:
=
+
x d x x • Consideriamo una misura della posizione:
– Mettiamo un rivelatore sottile nella posizione x che scatta quando una
particella si trova in un piccolo intervallo intorno a x: [x, x+];
– Quando si registra un conteggio il ket cambia come:
=
+
x d x x DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC —
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29
Spazio delle coordinate (II)
(
• Si chiama funzione d’onda per lo stato il prodotto interno:
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O †O x = x ()
• Spesso, per indicare lo stato avente x
d’onda si scrive:
30
2
2
= • Questa condizione può essere soddisfatta in due modi:
come funzione
O †O = O †O = ()
= x
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x d x x • Dato un ket consideriamo uno stato simmetrico che supponiamo
sia stato ottenuto applicando un operatore O.
• Poiché O è un operatore di simmetria, l’azione di O non deve
cambiare il risultato di una misura. Dovrà perciò valere la condizione:
)
( )
x Operatori di simmetria
• La condizione di ortonormalità della base di ket si scrive:
x x = x x x +
31
*
( operatore unitario)
( operatore anti-unitario)
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32
Inversione spaziale
Inversione spaziale (II)
P, X = 0
• Vediamo ora come si trasforma per parità un autoket delle
coordinate:
x P x
X P x = X P x = PX x = P x x = x P x • Dunque P x è un autoket di X corrispondente all’autovalore x .
• Si ha anche, per definizione:
X x = x x
• Dato un ket consideriamo uno stato spazialmente invertito che
supponiamo sia stato ottenuto applicando un operatore P, noto come
operatore di parità:
• Dunque P anticommuta con X :
{
P
P = P • Detto X l’operatore posizione, ci aspettiamo che il valor medio delle
(
coordinate — preso rispetto allo stato spazialmente invertito —
sia l’opposto:
P †X P = X P †X P = X
P †X P = X PP †X P = PX X P = PX X P + PX = 0
i
e =1
• Per cui si ha:
P x = x
)
P x = ei x 33
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34
Coniugazione di Carica
• L’operazione della coniugazione di carica cambia il segno della carica
e del momento magnetico, lasciando inalterate le altre coordinate.
• Nella fisica classica la coniugazione di carica cambia in segno della
densità di carica, della densità di corrente, del campo elettrico e del
campo magnetico:
P e L = e R
P 0 = 0
P n =+ n
C
, C
,
C
C
E E, B B.
• Inoltre:
P 2 x = PP x = P x = x • Per cui:
• Le equazioni di Maxwell sono invarianti per coniugazione di carica.
• Nella fisica quantistica relativistica implica anche lo scambio di
particella e antiparticella.
P2 = 1
• Pertanto l’operatore P è hermitiano oltre che unitario:
P 1 = P † = P
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( )(
• Pertanto P x deve essere uguale all’autoket delle coordinate x a meno di un fattore di fase:
Inversione spaziale (III)
• Per convenzione si sceglie:
)
( )
• Questo è vero se:
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC —
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}
– Per i leptoni implica anche un cambio di segno nel numero leptonico.
– Per i barioni implica anche un cambio di segno nel numero barionico.
35
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36
Coniugazione di Carica (II)
Coniugazione di Carica (III)
• Consideriamo particelle di spin , nella rappresentazione delle
coordinate x = x .
• Per un elettrone l’equazione di Dirac si scrive:
• Corrispondenza 1-1 tra soluzioni a energia negativa dell’equazione di
Dirac per l’elettrone:
( )
•
e
e
e μ
p c A mc = i c A mc = i x μ c Aμ mc = 0
Prendendo = c = 1, si scrive:
μ
p eA m = i eA m = i μ eAμ m = 0
x
Una lacuna nel mare delle energie negative
registra l’assenza di una energia E (E > 0) e
l’assenza di una carica +e (e < 0).
E = ± me2 + p 2
Essa è equivalente alla presenza di un positrone
di energia +E > 0 e carica e > 0.
Ma si può scrivere direttamente anche
l’equazione di Dirac per il positrone.
(
•
•
•
)
(
)
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC —
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37
( p eA m) = ( i eA m) = i x
( p + eA m) = ( i + eA m)
C
( )
Aμ = Aμ
*
• Cerchiamo un operatore che trasformi le due equazioni l’una
nell’altra.
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC —
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0
μ
*
0
1
μ
i μ eAμ m = 0
x
*
i
μ
+ m * = 0
x μ + eAμ =
( )
(C )
0
( )
( ) (C )
1
0
*
μ
(
C † 0
) =C
= † 0
T
μ
μ
0
*
0 *
i μ + eAμ + m C = 0 i μ + eAμ m C = 0
x
x
( )
(
0 0 0 i
0 0 i 0 , 3=
0 i 0 0
i 0 0 0
1
0 , 2=
0
0
0
0
1
0
μ
†
)
0
0
μ
0
39
*
0
0
0
C
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC —
Operatori C, P e T
0 0 0
0 0 1
0 1 0
1 0 0
μ
=0
T
g μ =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0
0
0
1
1 0
0 1
0 0
0 0
0,2
{ , } = 2g 1, μ, = 0,1,2,3
( ) = , , μμ == 1,3
( ) = ( ) = ( ) = ( ) = , ( ) = , = 1,2,3
( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( )
= = = ( )
( )
( ) = ( ) , μ = 0,1,2,3
(C )( ) (C ) = C ( ) ( ) C = C ( ) C = C ( ) C
0
+ m C 0
0 0 0
1 0 0 , 1 =
0 1 0
0 0 1
Si ha:
• Allora avremo, come cercato:
*
1
0
0
0
0
= μ
μ
i μ + eAμ x
38
• Costruiamo esplicitamente C 0 nella rappresentazione in cui:
• Se riusciamo a trovare una matrice non-singolare C 0 tale che:
(C )( ) (C )
= i μ + eAμ μ m C = 0
x
C
Coniugazione di Carica (V)
• Prendendo la complessa coniugata dell’equazione di Dirac per
l’elettrone, moltiplicando per 1 e ricordando che Aμ è reale si ottiene:
*
eAμ μ m = 0
e soluzioni a energia positiva dell’equazione di Dirac per il positrone:
Coniugazione di Carica (IV)
i μ = i μ ,
x x
μ
*
*
*
0
0
0
0
μ
T
*
0
1
0
0
μ
0
1
0
0
0
T
*
0
0
0
0
μ
0
*
0
*
†
μ
T
μ
0
0
*
0
μ
*
*
†
*
T
T
0
1
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1
0
1
μ
T
1
40
Coniugazione di Carica (VI)
Coniugazione di Carica (VII)
• Per cui si deve avere:
(C )( ) (C )
C ( ) C = ( ) = C C
C ( ) = C
μ
0
μ
T
*
μ
μ
= μ
T
μ ,
μ = 0,2
= μ
, μ = 1,3
{
μ
}
, = 2g μ 1, μ , = 0,1,2,3
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Operatori C, P e T
41
2
1
T
0
0
2
2
2
2
( )
μ
0
( )
0
μ
T
μ ,
μ = 0,2
= μ
, μ = 1,3
Cu = u
C = C 0 * = i 2 *
Cd = d
( ) ( )
( i ) = = ( )(
)
2
2
2
C n = n
C =
C 0 = + 0
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Operatori C, P e T
42
• Un bra, per definizione è un funzionale lineare:
( )
( )
E • Tuttavia essi hanno un diverso comportamento quando si applicano a
combinazioni lineari di ket. Per un operatore lineare:
• Per gli operatori lineari vale l’assioma associativo:
c ,c ( L) • Si definisce invece anti-lineare un operatore per il quale:
(
= L
)=
def
L
• Nel caso di un operatore anti-lineare A l’assioma associativo non
vale, in quanto A è un funzionale anti-lineare, mentre si suppone
che un bra sia un funzionale lineare. Dobbiamo perciò introdurre una
coniugazione complessa per rendere A lineare:
c ,c • In particolare un operatore anti-lineare non commuta con una
costante, quando essa è considerata come un operatore
moltiplicativo alla sua destra:
( A) Ac = c*A
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Operatori C, P e T
T
2
0
– Lineare se il numero di fattori anti-lineari è pari;
– Anti-lineare se il numero di fattori anti-lineari è dispari.
A
)
0
1
2
• Il prodotto di n operatori lineari o anti-lineari è:
( )
( )
(E ) A (E )
(
T
0
2
μ
μ=0
,
= μ
, μ = 1,2,3
μ ,
1
μ=0
= μ
,
μ
= 1,2,3
†
Operatori anti-lineari (II)
E L E
A c + c = c* A + c* A , , E
1
0
C 2 = 1 C 1 = C † = C
L
)
μ
C = C = C 0 * = i 2 0 0 * = i 2 *
= i 2
• Sia un operatore lineare L, sia un operatore anti-lineare A mappa
uno spazio di ket E in se stesso:
(
0
1
2
*
Operatori anti-lineari
L c + c = c L + c L , , E
2
0
0
†
C 2 = CC = C i 2 * = i 2 i 2 * = i 2 i 2 =
C 0 = i 2 0 0 = i 0 2 0 = 0C
1
2 0 1
2 1 0
1 2 0
1
C = i = i = +i = C
2
2 0 2
2 2 0
2
C = i = i = C
C 3 = i 2 0 3 = i 2 3 0 = +i 3 2 0 = 3C
C = i 2 0
2
†
C † = C 1 = C T = C
+
• Avremo quindi, per l’operatore C di coniugazione di carica: C e L = e L
μ
• Una possibile scelta è:
( )
( ) = i ( ) ( ) = i ( ) = i = C
= ( i ) = i ( ) ( ) = i ( ) = i = C
= ( i ) = i ( ) ( ) = i = i = C
†
C † = i 2 0
CT
μ
μ
C = C, μ = 0,2
μ
μ
C = C, μ = 1,3
• Per C = i 2 0 si ottengono pertanto le proprietà:
C 1
μ
1
T
( )
μ
1
T
μ
0
1
43
(
)
* def
= A = A DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC —
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*
44
Operatori anti-lineari (III)
Operatori anti-unitari
• Dalla definizione di coniugato hermitiano e di prodotto interno:
• Un operatore anti-lineare che trasforma:
X X CD
†
= = = *
abbiamo trovato, per gli operatori lineari:
) {( L ) } = L
(
L = L =
*
†
†
si dice anti-unitario se:
(
*
)
( )( ) = ( )
( )( ) = †
• Per gli operatori anti-lineari troviamo invece:
( ) {( ) }
(A ) = (A )
A =
A† *
(
= A† )
†
= , ,
*
*
†
segue che:
†
† = † = 1
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45
Operatori anti-unitari (II)
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC —
Operatori C, P e T
46
Operatori anti-unitari (III)
• Un operatore anti-unitario si può sempre scrivere nella forma:
• Consideriamo inoltre l’operatore K:
K
K = K = UK
dove:
• Sviluppando in una base di autoket
U è un operatore unitario;
K è l’operatore di complessa coniugazione:
N
i
= a( )
• Genera il complesso coniugato di ogni coefficiente che moltiplica un ket e sta
alla destra di K:
N
i=1
N
• Infatti è antilineare, in quanto:
(
) (
+ c K ) = Uc K = a( ) )
(
*
*
i
*
N
N
a( ) = K a( ) a( ) = a( ) i
i=1
i
i
i
*
i
K a( ) =
i=1
a( )
i
in quanto l’operatore K non modifica i ket della base (avendo essi
componenti 0 o 1 rispetto alla base stessa):
+ Uc* K =
i
j
a( ) a( ) = i, j
= c* UK + c* UK = c* + c* DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC —
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, si ha:
i=1
c + c = UK c + c = U Kc + Kc =
= U c* K i
i
i
K = K = K a ( )
Kc = c K )
a( ) { a( ) ,i = 1,…, N }
i=1
*
(
*
• Dovendo essere:
*
L = L† )(
= † = 47
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48
Operatori anti-unitari (IV)
• Avremo quindi:
N
N
i
i i
= = UK = UK a( ) a( ) = U a( ) i=1
i=1
N
= a( ) i
*
Operatori anti-unitari (V)
*
• Per cui si ha:
i a( ) =
i
U a( )
N
N
N
i
i i
= = UK = UK a( ) a( ) = U a( ) i=1
i=1
N
i
*
N
= a( ) i=1
= a( ) N
i
j
a( ) U † a( ) j=1
N
i
= a( ) i=1
*
i
j
a( ) U † U a( )
i
i a( ) =
N
N
= a( ) i
j
a( ) a( )
i
N
= a( ) =
j
a( ) i
a( ) i
*
N
= a( ) i
i=1
= = *
N
N
i
j
= a( ) i, j a( ) *
=
i=1 j=1
i=1
CD
:
• Per quanto riguarda il corrispondente duale i
*
j
a( ) i=1 j=1
i=1
= † = a( ) j U a( ) =
i=1 j=1
i
U a( )
N
*
N
i
i
a( ) = a( )
a( ) =
i
i=1
*
e l’operatore = UK risulta anti-unitario.
a( ) U †
i
i=1
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49
Inversione temporale
50
Inversione temporale (II)
• Dato un ket consideriamo uno stato temporalmente invertito che
supponiamo sia stato ottenuto applicando un operatore T, noto come
operatore di inversione temporale:
• Se il moto soddisfa la simmetria per inversione temporale ci
aspettiamo di ottenere lo stesso stato:
1. Applicando T al sistema al tempo t = 0 e lasciando evolvere il sistema per
il tempo t > 0 sotto l’azione della hamiltoniana H;
2. Facendo evolvere il sistema per il tempo t = t < 0 e quindi applicando T:
T = T T
iH 1 t T = T
• Consideriamo l’evoluzione temporale di uno stato fisico. Detto ,t0 ;t
lo stato (al tempo t) di un sistema che al tempo t0 è rappresentato dal
ket , si ha, essendo H l’operatore hamiltoniano:
iH
1 t ( )
• Affinché questa relazione sia vera per ogni ket deve essere:
iH ,t0 = 0;t = t = 1 t DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC —
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Operatori C, P e T
i HT = T i H 51
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52
Inversione temporale (III)
• Se T fosse unitario:
– Avremmo:
HT = TH T 1HT = H
p2 – Nel caso di una particella libera, H =
detto p l’impulso, si ha:
2m p2
p2
T 1
T =
2m
2m
2
– Ma ci aspettiamo che p cambi segno, ma non p .
• Se invece T è anti-unitario:
iHT = TiH = iTH Prof. Domenico Galli
Dipartimento di Fisica
[email protected]
– Si ha:
iHT = T i H = iT H HT = T H T 1HT = H
http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli
https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica
– Nel caso di una particella libera otteniamo, come atteso:
T
1
p2
p2
T =
2m
2m
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