SIMMETRIE
Emmy Noether (1917):
A ogni simmetria corrisponde una legge di conservazione o di selezione. Simmetria?
l’assunzione fisica che certe quantità non sono osservabili implica un’invarianza del
sistema sotto la trasformazione matematica ad essa collegata.
Non osservabile
Trasformazione di simmetria
Diff. tra particelle eguali
Posizione spaz. assoluta
Tempo assoluto
Direzione spaz. assoluta
Permutazione
Traslazione spaziale
Traslazione temporale
Rotazione
Destra (sinistra) assolute
Carica elettrica assoluta
Direzione temp. assoluta|
Inversione spaziale
e → -e
t → -t
Legge di conserv. o selezione
Statistica di BE o FD
Impulso
Energia
Momento angolare
Parita spaziale: P
Inversione di carica: C
Inversione temporale: T
In aggiunta alle simmetrie dello spazio-tempo ci sono anche le simmetrie interne, ex.
-Invarianza di gauge (QED, U(1))
conservazione della carica elettrica
-Invarianza di gauge (Interazioni deboli, SU(2))
Conservazione dell’isospin debole
Teorema di Noether
Data la Lagrangiana scalare di Lorentz funzione dei campi φi e delle
sue derivate, ∂ µφi :
L = L(((φi , ∂ µφi )
Teorema di Noether: per ogni invarianza dell’azione sotto una
trasformazione continua dei campi esiste: •
-Una carica classica Q, indipendente dal tempo: Q = 0
-Una corrente conservata Jµ: ∂ µ J µ = 0
ex. φi ( x) → φ ( x) ≡ e
'
i
ϑ = numero reale
q i = carica elettrica
− iqiϑ
φi ( x )
w
Conservazione carica elettrica
Equazione di continuità:
∂q → →
∂ µ J = 0,
+ ∇⋅ J = 0
dt
µ
Principio di invarianza
Se il risultato di una misura è invariante sotto una trasformazione U
la matrice S e l’hamiltoniana H sono invarianti per U:
〈 f S i〉 = 〈 f U S iU 〉 = 〈 f U + SU i〉 ⇒
S = U + SU ⇒ [ S , U ] = 0 ⇒ [ H , U ] = 0
Due tipi di trasformazione U:
-Continua:
^
^
U = 1 − iε F , F : operatore hermitiano, osservabile del sistema,
→
generatore del gruppo, ex. Pµ o J .
^
^
Se [S, F] = 0, F è conservato infatti :
^
^
^
F i = Fi i , F f = F f f , f [ S , F ] i = 0, ( Fi − F f ) f S i = 0
^
i.e. Fi = Ff ⇒ F è una costante del moto.
-Discreta se U2=1
gli autovalori di U=≤1
U è unitaria e hermitiana.
L’insieme delle operazioni di simmetria su un sistema deve soddisfare le proprietà:
1)Chiusura: se Ri e Rj sono nell’insieme, lo è anche RiRj ;
2)Identità: c’è un elemento I tale che I Ri= RiI =Ri;
3)Inverso: qualunque Ri esiste Ri-1 tale che RiRi-1=I;
4)Associatività: Ri(RjRk)=(RiRj)Rk
SONO
UN GRUPPO
In generale RiRj∫RjRi, se RiRj=RjRi il gruppo è detto abeliano (ex. Le traslazioni
spaziali sono abeliane, le rotazioni no.)
Sono gruppi U(1) ( moltiplicazione per una fase), le trasformazioni di
Lorentz, vedremo SU(2)...
Ciascun gruppo può essere rappresentato da un gruppo di matrici:
Per ciascun elemento a c’è una matrice Ma e tale che se
a b =c allora MaMb=Mc
Se ci sono più elementi del gruppo rappresentati dalla stessa matrice si dice omomorfico
Non necessariamente isomorfico. I gruppi possono essere rappresentati da matrici in
differenti dimensioni ex. SU(2) ha rappresentazioni in 1,2 (fondamentale), 3, 4 dimensioni.
Simmetrie di sapore (interne)
Osserviamo che mp=938.28 MeV ~ mn (939.57 MeV).
Heisenberg: sono due stati di una singola particella: il nucleone:
“spegnendo” la carica elettrica p e n diventerebbero indistinguibili:
Le forze sperimentate dal protone sono le stesse di quelle del neutrone.
Organizzazione formale in un doppietto N
α
β
1
p 0
n
0
1
p e n sono due stati dell’isospin forte I, I=1/2: p=|1/2,1/2>, n=|1/2,-1/2>
Le interazioni forti di p e n sono invarianti per rotazioni
nello spazio dell’isospin I. L’insieme di queste rotazioni
costituisce il gruppo SU(2): gruppo di matrici 2x2 unitarie
e a determinante =1.
NOETHER: l’isospin I si conserva in tutte le interazioni forti:
2
 ^ ^
 S , I  = 0 ⇒ ∆ I = 0, ∆I 3 = 0
Esempi
I π =1 (tre possibili stati di carica):π+=|1,1>(m~140 MeV), π0=|1,0> (m~135 MeV), π−=|1,−1>
Ι Λ= 0 (1 solo stato di carica) Λ=|0,0>(m~1115 MeV), cosi pure Ω−=|0,0> (m~1672 MeV)
Ι ∆=3/2 ( 4 stati di carica) (m~1230 MeV):∆++=|3/2,3/2, ∆+=|3/2,1/2> , ∆0=|3/2,−1/2>, ∆−=|3/2,−3/2>,
La 3a componente dell’isospin è determinata dalla carica elettrica: formula di Gell-Man Nishijma:
1
Q = I3 + ( A + S )
2
Con S=stranezza, A numero barionico
Y= ipercarica forte
Ogni interazione che conserva Q, A e I, I3 conserva anche Y e S, ex.
p:
n:
Λ:
∆++:
I3=1/2 ,
I3=-1/2 ,
I3=0 ,
I3=3/2 ,
A=1 S=0
A=1 S=0
A=1 S=-1
A=1 S=0
Q=1 E’ una scelta naturale assumento per i primi
Q=0 2 quark un doppietto:
Q=0
u=[1/2,1/2], d=[1/2,-1/2]
Q=2 e un singoletto per il terzo: s=[0,0]
Ma l’isospin ha anche implicazioni dinamiche, ex
1 ,1 = pp
1) Combiniamo 2 nucleoni: I=1
1
1, 0 =
2
1 , − 1 = nn
pn + np
I=0
0 ,0 =
1
2
pn − np
L’unico stato legato di 2 nucleoni è il deutone: d(pn) è un singoletto o un tripletto? r r
Nel potenziale di interazione mi aspetto un termine di interazione tra isospin del tipo: I 1 ⋅ I 2
r
r r
r
dato I tot = I 1 + I 2 e I tot
2
r 2
r
= I1 + I 2
2
r r
+ 2( I1 ⋅ I 2 )
r r
r
1
I 1 ⋅ I 2 = per il tripletto ( I tot = 1)
4
r r
r
3
I 1 ⋅ I 2 = − per il singoletto ( I tot = 0 ) potenziale attrattivo !
4
Ex. 2
a ) pp ( 1,1 ) → d + π + ( 1,1 )
1
( 1,0 + 0,0 )
2
c)nn( 1,−1 ) → d + π − ( 1,−1 )
b) pn( 1,0 ) → d + π 0 (
Interazioni forti con Id=0
Ma nelle interazioni forti si conservano dia I che I3 quindi le ampiezze M devono essere:
M a : M b : M c = 1: 1
:1
E le sezioni d’urto:
σ a : σ b : σ c = 2 :1: 2
2
Verificato sperimentalmente ( a) e b) misurate in laboratorio)
Ex 3) Scattering
Elastici:
Scambio carica
pione nucleone: π Ν→π Ν;
a )π + p → π + p
b )π 0 p → π 0 p
c) π − p → π − p
d )π + n → π + n
e) π 0 n → π 0 n
f )π − n → π − n
g )π + n → π 0 p
h )π 0 p → π + n
i) π 0 n → π − p
j )π − p → π 0 n
L’isospin totale πΝ è 3/2 o ½ rispettivamente con ampiezze M3 e M1
π + p : 1,1 1 / 2,1 / 2 = 1 3 / 2,3 / 2
π p : 1,0 1 / 2,1 / 2 = 2 3 3 / 2,1 / 2 − 1
0
3
1 / 2,1 / 2
π − p : 1,−1 1 / 2,1 / 2 = 13 3 / 2,−1 / 2 − 2 / 3 1 / 2,−1 / 2
π + n : 1,1 1 / 2,−1 / 2 = 13 3 / 2,1 / 2 − 2 / 3 1 / 2,1 / 2
π 0 n : 1,0 1 / 2,−1 / 2 = 2 3 3 / 2,−1 / 2 + 1
π − n : 1,−1 1 / 2,−1 / 2 = 1 3 / 2,−3 / 2
3
1 / 2,−1 / 2
La a) e la f) sono pure I=3/2: Ma=Mf=M3
La b): Mb=2/3 M3+1/3 M1
La c): Mc=1/3 M3 + 2/3 M1
La d) Md=1/3 M3+2/3 M1
.
.
La j): Mj=◊2/3 M3 - ◊2/3 M1
.
.
Quindi le sezioni d’urto saranno:
2
2
σ a : σ c : σ j = 9 M 3 : M 3 + 2M 1 : 2 M 3 − M 1
2
M3 e M1 si possono estrarre dallo scattering risonante πΝ all’energia c.m. E=1232 MeV:
Risonanza ∆ di I=3/2; a questa energia M3>>M1 e vale:
σ a : σ c : σ j = 9 :1 : 2
Sommando i processi c) e j) (elastico + scambio carica) e ancora trascurando M1
σ T (π + p )
=3
−
σ T (π p)
Verificato sperimentalmente
La simmetria di isospin degli adroni sottointende la simmetria di isospin dei costituenti quark:
I quark hanno tutti la stessa interazione forte!
In effetti la differenza di massa tra p(uud) e n(udd) e π+(ud) ,π−(ud) e π0(uu-dd) è solo qiualche %.
Ci sono altri barioni a spin ½: (8 barioni): Λ Σ Ξ (uds, uus, uss)
Con massa simile: 940 - 1320 MeV.
Appartengono a supermultipletti di gruppi più grandi?: SU(3) SU(2) (quark u, d, s )
Con gli altri quark: SU(4) (c), SU(5) (b), SU(6) (t)....
Ma mentre SU(2) è una buona simmetria, quelle di dimensioni maggiori sono sempre
peggiori: massa dei quark?
Il numero barionico
Stuckelberg 1938: perchè non esiste p
e+ γ ?
Regola di selezione: associamo ai fermioni con m¥mp una qualità chiamata
numero barionico che si conserva
nelle interazioni. Ex.
_
n → p + e− +ν e
Ai barioni è associato un numero barionico +1
agli antibarioni –1
pp → pp + pp
N.B. τ( p
π0e+) > 1034 anni
Il numero barionico è assegnato anche
−
Λ → pπ
ai quark: 1/3, -1/3
Nelle interazioni forti (nq-nq) è conservato per ogni tipo di sapore, ex:
− u
++
u
π
∆
+
++
+
d
πp
∆
πp
d
d
d
p
u
u
u
u
Nelle interazioni deboli (nq-nq) è conservato solo globalmente: ex:
Λ
π−p
u
d
s
u
d
u
W-
La simmetria di isospin forte degli adroni riflette
quella dei costituenti:
i quark u e d sono indistinguibili
u
per la QCD (doppietto),
d
gli altri: s,c,b,t sono singoletti.
Parità spaziale
x3
Operatore inversione spaziale: P:
r
r
r
P ( x0 , x ) = ( x0' , x ' ) = ( x0 ,− x )
left − handed ↔ right − handed
P equivale a una rotazione di 180o attorno
a un asse e a un’ inversione speculare (discreta)
x1’
x2’
x2
x1
x3’
Principio di invarianza: se α’ e β’ sono gli stati trasformati per
P dagli stati α e β e ω è la probabilità di transizione tra i due stati vale:
ω (α , β ) = ω (α ' , β ' )
Se in un’interazione lo stato fisico iniziale e finale hanno la stessa parità (gli autovalori
sono +1 o –1 essendo P unitario), l’hamiltoniana dell’interazione H commuta con P:
[H,P]=0 (ottengo lo stesso stato fisico misurando l’energia e poi invertendo gli assi o viceversa
ïH è uno scalare ex:
v r v r
r r
r r
[3(σ 1 ⋅ r )(σ 2 ⋅ r )] r r
− (σ 1 ⋅ σ 2 )( forza tensoriale)
L ⋅ σ ( spin − orbita ), σ 1 ⋅ σ 2 ( spin − spin),
2
r
Ex. Scattering pione nucleo:
pπ
σp
pπ’
r r, r r, r
pπ ⋅ pπ ; ( pπ × pπ ) ⋅ σ p
Parità singola particella
r
r r
r
µ
Ex. 1: il fotone. La corrente J = ( ρ , j ) → ( ρ ,− j ) ( j = ρ ⋅ v )
se vogliamo che anche l’interazione JµΑµ sia invariante per P allora Aµ=(Α0,A) dovrà
trasformarsi come:
r
r
A0 (− x ) = A0 ( x )
r r
r r
A(− x ) = − A( x )
Definiamo
r r
r r
r r
r
r ∂ ( A(− x ))
E (− x ) = −∇A0 (− x ) +
= − E ( x ) vettore polare;
∂t
r r
r r r
r r
B(− x ) = ∇ × A(− x ) = B( x ) vettore assiale
r r
r P r
A = ε ⋅ f ( x), ε →− ε (parità del fotone negativa)
La parità del campo è definita dalla parità del vettore polarizzazione
Ex. 2: il π0
π0
Vertice forte
γ
γ
r
ε1
r
ε2
τ ≈ 2 ⋅10
r
J =0
−16
s
La funzione d’onda dei due fotoni nello stato finale si deve trasformare
con J = 0, deve essere simmetrica nello scambio dei due fotoni e lineare nelle due
polarizzazioni ε1,ε2. Ci sono due possibilità (dalla convervazione di P e di J):
r r
ε1 ⋅ ε 2 con parità P = +1
Se P è conservata:
P(π0) = P(γγ) = +1 ο −1
r
r
(ε1 × ε 2 ) ⋅ k con parità P = -1 (k vettore impulso relativo γ 1γ 2 )
r
r
N.B. Confronta con gli invarianti del campo elettromagnetico:
r2 r2
r r
∂Ak ∂Ai
ik
iklm
−
Fik F = ( B − E ); ε Fik Flm = ( E ⋅ B) con Fik =
∂xi ∂xk
Sperimentalmente ci aspettiamo che se la parità è –1 le due polarizzazioni ε1 ε2 sono
perpendicolari nel sistema in cui il π0 è a riposo (difficile perchè Eγ≈ 70 ΜeV)
Si studia la conversione interna: π0 → e+e- e+e- :
α
e- (probabilità
e+ ~1/30000 QED)
Esperimento in camera a bolle π−pØ π0n( Plano et al. Phys. Rev. Lett. 3, 525 (1959))
Dopo i tagli sopravvivono 64 eventi.
Si sfrutta la correlazione tra la polarizzazione dei fotoni e
il piano di decadimentodella coppia e+e-
Probabilità di misurare due piani di decadimento ad un angolo Φ (teorica):
Es = 1 + α ( x1 , y1 , x2 , y2 ) ⋅ cos(2ϕ )
E ps = 1 − α ( x1 , y1 , x2 , y2 ) ⋅ cos(2ϕ )
con x1 , y1 , x2 , y2 che dipendonodalla cinematicadel decadimento
Solo il segno di α
determina la parità
Due criteri sperimentali:
a)Evento per evento si calcola α e α2 (α è una misura dell’utilità dell’evento) e si costruisce
una distribuzione sperimentale in φ pesando l’evento con α2 . Fit della distribuzione:
α = −0.75 ±0.42 (teorico α = ± 0.42) (a 3σ P=-1)
b) Criterio di likelihood relativa: si costruisce:
L( PS ) 64 1 − α i cos(2φi )
= 1500
=∏
L( S )
i =1 1 + α i cos( 2φi )
Parità π+ π− si studia la reazione
Che conferma ancora P=-1
con 3 σ di confidenza
π−d Ø n n
r r r
J = L+S
Sd=1, Sπ=0; il pione è catturato in onda S (L=0)
Gli stati consentiti ai due neutroni dalla conservazione di J sono: (notazione
3
2S+1
S1 ( L = 0, S = 1), 3P1 ( L = 1, S = 1), 1P1 ( L = 1, S = 0), 3D1 ( L = 2, S = 1)
LJ )
Ma la funzione d’onda nn deve essere antisimmetrica per lo scambio cioè L+S deve essere pari
La simmetria globale di scambio è (-1)L+S+1ï resta solo 3 P1 con P = -1 (P = +1 ⋅ (−1) L )
î P(π − ) ⋅ parità orbitale (onda S,+1) ⋅ parità d (d è 3S1 , P = +1) = -1 îP(π−)
= −1
e--
e+
1+αcos2φ
π0
e+
B=5500 G
nota l’ambiguità
dell’accoppiamento
e- + e e , ma l’angolo tra le
coppie è piccolo θ∼100
Parità intrinseca
Nel caso del fotone il comportamento del vettore polarizzazione ε
è estensibile a ogni particella |a,p>:
determina la parità; questo
r
r
ˆ
P a, p = η a, p , con η = parità intrinseca
Ma η può essere definita in maniera assoluta (riferita al vuoto che viene assunto con η=1)
solo per i bosoni. Infatti:
r
Pˆ ' (n) = Pˆ (n) + n ⋅ 2π se a, p è autostato di P̂ (con autovalori ± 1)
Per i bosoni
Per i fermioni
r
Pˆ ' ( n ) a , p
r
Pˆ ' ( n ) a , p
= η
r
a , p
= η (− 1)
n
r
a , p
La funzione d’onda per i fermioni è soluzione dell’equazione di Dirac (spinore) e cambia
segno a ogni rotazione di 2π. Per i fermioni è solo definibile una parità relativa f/f. Dirac:
Fermioni:
La parità relativa f/f= -1
Pˆ ( f / f ) = −(−1) l (l è il momento angolare orbitale )
Pˆ ( f / f ) = (−1) l
Bosoni
Exp: parità relativa e+e- (C.S. Wu, Phys. Rev 77, 136 (1949))
Stato 1So del positronio , stato legato e+e- che decade in due fotoni (vita media ~10-10 s)
Due funzioni d’onda possibili per i due fotoni:
r r
ϕ (γγ ) = a(ε1 ⋅ ε 2 ) scalare
r r r
ϕ (γγ ) = b(ε1 × ε 2 ) ⋅ k pseudoscalare
Si distinguono attraverso una misura
della polarizzazione relativa
Si sfrutta lo scattering Compton dei fotoni: la direzione del fotone dopo lo scattering
dipende fortemente dalla sua polarizzazione, tende a essere perpendicolare
(cfr radiazione di dipolo ¶ al campo elettrico incidente che stabilisce anche la
direzione di oscillazione del dipolo).
Il positronio viene creato con un flusso di e+ da una sorgente Cu64ØNi64+e+
(vita media circa 12 ore).
Cristalli
di antracene
di %
efficienza
7-8%
Cristalli
di antracene
con 7/8
efficienza
Bersagli alluminio
asimmetria :
Rate(∆φ = 90o )
ρ=
Rate(∆φ = 0o )
2 sin 4 ϑ
1
ρ teoria ( pseusoscalare) = 1 + 2
,
γ
=
2
−
cos
ϑ
+
γ − 2γ sin 2 ϑ
2 − cos ϑ
Asimmetria misurata ρ= 2.04 ± 0.08, teorica = 2.0
Conclusione: i due fotoni sono emessi preferenzialmente ortogonalmente (∆φ=90o)
ïf(γ1,γ2) è pseduscalare î se la parità è conservata nel decadimento
ï la parità del sistema (e+e-) (fermione/antifermione) è negativa
Conservazione della parità?
θ, τ puzzle: due particelle con la stessa massa, ma diversi modi di decadimento:
a) θ+Æ π+ π0
Spin =0, l=0: la parità del θ vale:
Nel caso del τ definiamo:
,
b) τ+ Æ π+ π− π+
ηθ= η(π0) η(π+) (−1)0 = +1
r
r
+ +
l = momento angolare π π , L = momento angolare π − (π +π + )
r r
Spin = 0 ⇒ l + L = 0 ⇒ l = L ⇒ ητ = (−1) 3 (−1) l + L = −1
Se la parità è conservata nel decadimento , θ e τ hanno parità opposta
Vero anche per particelle di spin ∫ 0 (Dalitz) (θ+=K+ Æπ+ π0, τ+= K+ Æπ+ π−π+).
Lee & Yang (Phys Rev. 104, 254 (1956)): analisi dei dati sperimentali:
Le interazioni forti e elettromagnetiche conservano la parità
Per le interazioni deboli (decadimento β e di alcune particelle instabili)
la conservazione della parità era solo un’estrapolazione.
Metodi per la verifica della conservazione della parità
1)Se il valore di aspettazione di quantità pseudoscalari è ∫ 0, la parità è violata
ex. 1)
r r r r r
( p1 × p2 ) ⋅ p3 , J ⋅ p
Doppio scattering di protoni su targhetta non polarizzata:
“up”
p3
“down”
p1
p2
P
r r r
Per i decadimenti “up”: ( p1 × p2 ) ⋅ p3 > 0
r r r
Per i decadimenti “down” ( p
1 × p2 ) ⋅ p3 < 0
p1
p2
p3
r r r
se < ( p1 × p2 ) ⋅ p3 >≠ 0 ⇒ asimmetria " up" - " down"
⇒ violazione della parità
Argomento analogo per il processo π−pØΚ0 Λ0 Ø Κ0 π−p (π0n)
r r
2) < J ⋅ p >≠ 0 -Il sistema genitore polarizzato e la distribuzione delle particelle dipende
•
da cosθ (sinθ), cos3θ, ... (θ angolo rispetto alla polarizzazione
J)
r r
-Genitore non polarizzato, elicità dei decadimenti: < σ ⋅ p >≠ 0
Esperimento di tipo 2) (C.S.Wu et al., Phys.Rev. 105, 1413 (1957))
Co60
Ni60*
β−
γ
γ
5+
Decadimento beta del tipo ∆J=1 (Gamow-Teller)
4+
Eβ<0.316 ΜeV
Eγ1=1.17 ΜeV
Eγ2=1.33 ΜeV
2+
0+
Rispetto alla direzione di polarizzazione dei nuclei la parità è conservata se la distribuzione
angolare è pari in cosθ ( θ angolo del β− rispetto alla polarizzazione del Cobalto) i.e.:
W (θ ) = A + B cos 2 θ + C cos 4 θ + ...
Il campione di Co viene raffreddato a 0.01 K e orientato per mezzo del campo magnetico di un
solenoide. Mano a mano che il campione di Co si riscalda il suo grado di polarizzazione
è misurato dalla asimmetria a di produzione dei 2 fotoni:
W (θ = π / 2) − Wγ (θ = 0)
a(θ ) = γ
Wγ (θ = π / 2)
Risultati:
α = −0.4 ≈
ve
c
r
r
p ⋅ < J Co >
We (θ ) = 1 + α cosθ , cosθ = e
J Co pe
α negativo: gli elettroni sono emessi prevalentemente opposti a J
L’esperimento di M.me Wu
Rivela fotoni
a θ=0
Rivela i β−
Rivela fotoni
a θ=π/2
Altro esperimento di tipo 2) (R.L. Garwin et al., Phys.Rev. 105,1415 (1957))
Si studia la sequenza: π+ Ø µ+ + ν
e+ + ν + ν
Il primo decadimento debole non conserva la parità: da un genitore non polarizzato decade
il µ+ polarizzato lungo la direzione di moto:
r
r
< σ µ > ⋅ pµ ≠ 0
Se anche nel secondo decadimento debole la parità non è conservata la distribuzione dei
positroni dipende da cosθ (θ= angolo tra la polarizzazione del µ e la direzione del e+).
L’angolo del rivelatore di positroni rispetto alla direzione di incidenza dei muoni è θ∼100ο
la direzione incidente corrisponde anche alla direzione iniziale di polarizzazione dei muoni.
per cambiare la direzione di polarizzazione si fa precedere il momento magnetico (spin)
dei muoni con un campo magnetico verticale H (79 Gauss per Ampère)
r
µ
r r
ds g ⋅ e r r
(s × H ) = µ × H
=
dt
2m
velocità di precession e, ω =
θ = θ (t ) ∝
ge
H ⋅t
2m
ge
H rad / s
2m
H
s
Per un ritardo fissato (t) si misura il rate di e+ in funzione di H (corrente nella bobina).
Coincidenza S1S2 segnala il passaggio
del µ e apre una finestra temporale(gate)
di 1.5 µs
Il gate, ritardato,
in coincidenza
con S3S4 (e+)
Il µ si ferma nella
targhetta di carbonio,
si assume che conservi
la sua polarizzazione
Si studia la distribuzione
dei positroni rispetto alla
direzione della
polarizzazione (spin) del µ
∼(1+αcosθ)
Verifiche sperimentali:
-Riduzione dello spessore assorbitore (i pioni finiscono nella targhetta dei muoni), il rate
-aumenta di un fattore 10 e non dipende più dalla corrente (da H) infatti π+→µ+ν è isotropo;
-Il rivelatori di positroni è posizionato a θ=65oïla curva trasla di una fase che corrisponde
-a un angolo di precessione di ~ 37o (100-65).
Risultati:
1)
2)
3)
4)
5)
Esiste un’asimmetria nella distribuzione di e+ (1+αcosθ) ïil µ è polarizzato, α=-1/3
La parità in entrambi i decadimenti non si conserva.
g=2 ≤ 0.1
Spin del µ =1/2
L’asimmetria nella distribuzione dei positroni non dipende dall’energia.
Ex. Decadimento non leptonico
π − p → Λ0 + K 0 , Λ0 → p + π − , Λ0 → n + π 0 ;τ ≈ 3 ⋅10 −10 s
r
r
r
se ( pπ ,in × pΛ ) ⋅ pπ ,out ≠ 0 ⇒ asimmetria rispetto al
r
r
piano definito da pπ ,in , pΛ ⇒ violazione della parità
Esperimento effettuato nel laboratorio di Brookhaven (USA) con π− di energia 0.88-1.4 GeV:
Eventi “up” : 325 (±18) ; Eventi “down”: 215 (±15)
In altre parole: la direzione del π−, quella della Λ e la direzione preferenziale di
decadimento formano una terna di assi (right-handed) riconoscibile (assoluta).
Coniugazione di carica
La meccanica quantistica relativistica prevede che a una particella corrisponda
un’antiparticella con la stessa massa e spin (Dirac 1931: esistenza dei positroni e+).
L’operatore coniugazione di carica C cambia il segno della carica elettrica e del
momento magnetico di una particella, per i leptoni e barioni cambia anche il segno
del numero barionico e leptonico.
Classicamente le equazioni di Maxwell sono invarianti per C.
Ex.
C π + = π − , C e− = e+ , C p = p
Gli autostati di C sono le particelle veramente neutre: γ, π0,η0, ρ0, φ0, (e+e-), (pp),...
con C(ψ) = ± ψ
N.B.Ci sono particelle neutre che non sono autostati di C ex: n, atomo di idrogeno.
Infatti C|n>=|n>π|n>.
C inverte tutti i numeri quantici eccetto l’impulso e lo spin:
r r
r r
C Q, I 3 , B, Y , L, p, s = − Q,− I 3 ,− B,−Y ,− L, p, s
Quindi solo gli stati con Q=I3=B=L=0 possono essere autostati
dell’operatore parità di carica C
Le interazioni forti e elettromagnetiche sono invarianti sotto C (dato sperimentale).
Ex. nella reazione forte:
p + p → π + + π − + ..., p + p → K + + K − + ...
il numero e le distribuzioni di particelle finali positive e negative sono eguali (entro 1%).
Ex. nel decadimento elettromagnetico:
η → π +π −γ ,η → π +π −π 0
Si studiano gli spettri di energia dei pioni positivi e negativi: sono eguali entro l’errore
Le interazioni deboli non sono invarianti per C.
s
s
⇐ r
⇐ r
Ma l’antineutrino sinistrorso
Ex 1)
C
ν: →p 
→ ν : → p
non esiste in natura!
Devo fare CP |ν>=|ν> per avere l’antineutrino fisico destrorso
Ex 2)
K0L
e +π −ν
→ − + = 1.00648 ± 0.00035
eπ ν
Ex. 3) L’universo consiste di materia e non di antimateria:
violazione di C nella sua evoluzione? Asimmetria iniziale?
Coniugazione di carica particella/antiparticella
Coppie particella antiparticella sono veramente neutre: (π+π−),(Κ+Κ−),(Κ0,Κ0),(pp),(π0π0)
a) Coppie di bosoni distinguibili: (π+π−),(Κ+Κ−),...
C ha lo stesso effetto dello scambio delle coordinate:
C
Φ ( x1 , s1 , Q1 , x2 , s2 , Q2 ) 
→
ηc Φ ( x2 , s2 , Q1 , x1 , s1 , Q2 )
Parte orbitale (equivalente a inversione spaziale)
x ⇔x
(-1)l
1
2
(-1)S
îηC=(-1)l+S
Proprietà dei coefficient CG per addizione di 2 spin
interi con S come risultato.
b) Coppie di bosoni indistinguibili: (π0π0),(ρ0ρ0),...
C
Φ ( x1 , s1 , Q1 , x2 , s2 , Q2 ) 
→
ηc Φ( x2 , s2 , Q1 , x1 , s1 , Q2 )
Funzione d’onda simmetrica îηC=+1ma vale ancora: ηC=(-1)l+S : (-1)l+S=1.
c) Coppie di fermioni distinguibili: (e+e-), (pp), (qq),...
Parte orbitale (-1)l, parte di spin (-1)S+1 (caratteristiche coefficienti CG)
+ parità relativa fermione/antifermione. In totale:
ηC=(-1)l (-1)S+1 (-1) = (-1)l+S
La parità di carica del sistema (se autostato) prima e dopo l’interazione è la stessa.
Parità di carica del fotone
C
J µ Aµ è invariante ma C ( J µ ) = − J µ ⇒ C ( Aµ ) = − Aµ ⇒ ε µ 
→
−ε µ
Quindi:
C γ = − γ ⇒ C nγ = (−1) n nγ
Se C è conservato nella interazione o nel decadimento porta a regole di selezione:
π 0 → γγ , π 0 x
→ γγγ , C (π 0 ) = (−1) 2 = +1
Pseudo
l=S=0
0
0
0
2
x
η
→
γγ
,
η
→
γγγ
,
C
(
η
)
=
(
−
1
)
=
+
1
scalari
Vetto- ρ 0 → π +π −
riali
0
+ −
x η 0π 0 ,
ρ0 →
ρ 0 →x π 0π 0 ,
ω → π π π 0 ω 0 →x π 0π 0π 0
C( ρ 0 ) = −1 (ηC = (−1) l + S )
C(ω 0 ) - 1
ω0 ha I-spin=0 quindi I(π+π−) o I(π0π0) e I(π0)=1 ma per la simmetria sotto C, I-spin è come lo spin
ordinario: ηC=(-1)I quindi C(ω0)=(-1)1 C(π0)= -1 ∏ 1 = -1, ma la funzione d’onda è anche
antisimmetrica per lo scambio π0π0 con I=1, ma globalmente π0π0 deve essere simmetrico
⇒ l (π π ) = 1, C (π π ) = (−1) (−1) = +1 e C (ω ) = (+1)
0
0
0
0
I
l
0
π 0π 0
Nel caso invece di π+π−π0, l(π+π−) può essere anche 0
⋅ (+1)
π0
φ 0 → K +K −
Permesse:
Vietate:
C(φ 0 ) = −1
ω 0 → π 0γ , ω 0 → π 0 e + e − ,
ρ 0 → π 0π 0γ
ω 0 → ρ 0γ , η 0 → π 0π 0γ , η 0 → π 0 e + e − , φ → ω 0γ
N.B. ρ, ω, φ, J/ψ, γ si possono ottenere da e+e-Æ γ∗ Æ (interazione elettrom.) e
quindi hanno C, P del fotone.
Parità G
Le interazioni forti conservano C e non dipendono da I3. Definiamo:
G = C ⋅ exp[iπ ( I 2 )] ruota I 3 → − I 3
Applichiamo G alla funzione ψ di un sistema neutro:
G ψ = (−1) l + S + I ψ
(ηC=(-1)l+S(-1)I)
Ma G si applica anche ai sistemi carichi:
G | π 0 >= − | π 0 > e G | π ± >= − | π ± >, per n pioni l' autovalore è G = (-1)n
Ne segue la regola di selezione che una particella che decade forte in 2 pioni
x + π− (G(ω0)=−1).
non può decadere in tre, ex. ω0→π+ π− π0 ma non ω0→π
Invarianza di C nelle interazioni el. magnetiche
Positronio:
(e+e-)Ø n γ
parapositronio S=0 C=+1 (=(-1)l+S)
ortopositronio S=1 C= -1
τ∼10−10 s;
τ∼10−7 s
(n pari per il parapositronio, n dispari per l’ortopositronio)
Exp. A. Mills and B. Berko, Phys. Rev. Lett. 18, 420 (1967)
Studio del decadimento del positronio che si forma in gas con una sorgente di Cu64Øe+
Problema: separazione del decadimento permesso (orto/para~1/400) 3S1Ø3γ da
quello vietato 1S0Ø3γ (si separano attraverso uno studio della distrib. angolare).
I rivelatori di fotoni sono posti in posizione simmetrica:
1200
γ
γ In tale configurazione (P1=P2=P3) il decadimento cercato
1S Ø3γ è vietato dalla statistica di Bose e viene usato
0
come nornalizzazione del contributo 2S1 (fondo).
γ
1S Ø3γ valutato come “piccola perturbazione ai conteggi dovuti principalmente
0
3
1
a S1:
S → 3γ
b = 1 0
< 2 . 8 ⋅ 10 − 3 ( 68 % C . L .)
S 0 → 2γ
Exp. K.Marko and A. Rich, Phys. Rev. Lett. 33, 980 (1974)
•Decadimento ortopositronio 3S1Ø4γ. Contaminazione da 1S0Ø 4 γ (piccolo ma
permesso da C) eliminato con i 4 rivelatori di fotoni ai vertici di un tetraedro:
la configurazione p1=p2=p3=p4 è vietata dalla statistica di Bose per 1S0 mentre
è favorito dallo spazio delle fasi 3S1Ø4γ.
Metodo: Na22Ø e++ γ (1.27 MeV usato come trigger pronto) ï formazione di
Ortopositronio in polvere di MgO.
Coincidenza di 4 ioduri di sodio (( )tempo risolutivo di 16 µs) ritardata da 20 a 120 ns
dal trigger “act”( ).
Contatori di trigger (act) su γ (1.27 ΜeV)
2
a scintillazione
Cristalli di NaI per i rivelare i γ dal
decadimento del positronio
1
1
4
3
F
Risultato:
4γ
S1 → 4γ
< 8 ⋅10 −6 (68% C.L.)
= 3
S1 ← 3γ
3
Coniugazione di carica nelle interazioni deboli
π + → µ +ν µ
π − → µ −ν µ
C

→
s
s
r →
r ←
µ : p ←
 ν : p 
→
+
s
s
r →
r ←

→ µ : p ←
 ν : p 
→
−
C
C non agisce sullo spazio tempo, ma cio’ implica un antineutrino
con elicità negativa !
Ancora ν LH!
C
−
+
DIS :ν µ n → µ p

→ ν µ n → µ p
µ → e ν eν µ

→ µ → e ν eν µ
+
+
C
−
−
e+e e- avrebbero la
stessa elicità!
La presenza nell’hamiltoniana debole di termini con γ5 e senza γ5 rende
impossibile l’invarianza per C: teoria (V-A).
C −1γ µ C = −γ µt ; C −1γ 5C = γ 5t
⇒ termini γ µ γ 5 cambiano segno sotto C (come pure sotto P)
L’invarianza è ripristinata con l’operatore combinato
CP
Inversione temporale T
Def:
r T
r r
r
[t , x ] →[− t , x ]: p → − p; E → E
r
r r
r
M → − M ; σ → −σ
T
r
r r
r r r
+
0 +
Combinazioni che cambiano segno sotto T:σ ⋅ ( p1 × p2 ), ex. K → π µ ν (σ µ ⋅ ( pπ × pK )
e combinazioni che non cambiano segno:
r r r r
σ ⋅ p; p1 ⋅ p 2
In elettrodinamica: le equazioni di Maxwell:
r r
∇⋅E = ρ
r r
∇⋅B = 0
r
r r
∂B
∇× E = −
∂t
r
r r r ∂E
∇× B = j +
∂t
Restano invarianti se:
T
ρ
ρ
→
r T
r
j
→ − j
r
r
T ( E (t )) = E (−t )
r
r
T ( B (t )) = − B (−t )
r r r T
r
Il vettore di Poynting S = E × B 
→ − S :
T
r
r
r
r
r
∂A r r r
E = −∇φ +
, B = ∇ × A ⇒ T (φ ) = φ (−t ), T ( A) = − A(−t ) ⇒ T 2 ( Aµ ) = Aµ
∂t
Il fotone è autostato di T2con autovalore +1
Se esistesse un monopolo magnetico ci sarebbero una carica e una corrente magnetiche:
r r
T
ρM 
ρ Le equazioni di Maxwell sarebbero
∇ ⋅ B = ρM
→
r
r r
r
r simmetriche nei campi e correnti
∂B r
T
+ jM
jM 
→ − jM ma non sarebbero invarianti sotto T
∇× E = −
∂t
Forza di Lorentz e monopoli magnetici
S
N
N
N
N
v
N
N
B
Invarianza per T violata nel moto della particella
N
N
T
ï
S
B
v
S
S
S
S
S
S
Test dell’invarianza per T
Bilancio dettagliato: 1 + 2 Æ 3 + 4
¨
Esempio nelle interazioni forti:
p + 27Al ↔ α + 24Mg
stesso elemento di matrice Æ,¨
Test accurato a 5 10-4
p + p ↔ d +π +
Polarizzazione trasversa al piano definito dagli impulsi delle due particelle finali:
r
r r
µ + → e+ +ν +ν e
α = σ µ ⋅ ( pe × pv )
Interazioni deboli:
r
r r
n → p + e− +ν e
α = σ n ⋅ ( pe × pv )
r
r r
K + → π 0 + µ + +ν µ
α = σ µ ⋅ ( pπ × pv )
+
Interazioni el.m.: Σ → Λ + e + e
0
0
−
r
α = σΛ
r
r
r r
r
⋅ ( pΛ × pq ) con q = pe + + pe −
Nessun risultato positivo a livello 10-3-10-4
Momento di dipolo elettrico e invarianza per T
Euristicamente: le sole quantità vettoriali associate a una particella elementare sono:
l’impulso p e lo spin s
r
Per una particella a riposo ho un dipolo elettrico:
r
s
de = de r
s
Il dipolo elettrico in un campo elettrico esterno ha un’energia H:
r
r r
r sr ⋅ E
r
r T r r T
→ E ; d e 
→ −d e ( spin) ⇒
H = −d e ⋅ E = −d e r per T : E 
s
Violazione di T e della parità
N.B. Devono essere particelle elementari: gli atomi e le molecole possono avere
momento di dipolo elettrico.
îTutte le particelle elementari con spin π0 devono avere dipolo elettrico nullo
< 0.6 10-25 e cm (neutrone)
= 0.07≤0.07 10-26 e cm (elettrone)
Limiti sperimentali: de
= -4 ≤6 10-23 e cm (protone)
Se il neutrone fosse grande come la terra il limite corrisponde a due cariche elettriche
elementari di segno opposto al suo centro separate di 1 µ.
Speculazioni
Il massimo dipolo elettrico che ci potremmo aspettare senza restrizioni della simmetria è:
de
≈ lunghezza d' onda Compton del neutrone ≈ 10 −14 cm
e
Se attribuiamo il dipolo elettrico solo alla parte debole dell’interazione che viola T:
de
≈ 10 −14 GF m 2p ≈ 10 −19 cm
e
Molto maggiore del limite sperimentale di 10-25cm
Le violazioni di T dovute alle interazioni deboli sono (se ci sono) causate da
interazioni molto più deboli (oppure a interazioni deboli a ordine superiore)
Una stima dedotta dalla violazione di CP darebbe:
d e (neutrone) ~ 10 −32 e ⋅ cm
CPT (PTC,TCP,...)
Particella Øantiparticella
CPT∫Θ
Destra Ø sinistra
Passato Ø futuro
Teorema CPT (T.D. Lee: “Particle physics, an introduction to field theory”)
Ogni densità lagrangiana ã(x), invariante di Lorentz e che soddisfi le prescrizioni
di spin-statistica, si trasforma come:
Θã(x)Θ−1= ã†(-x)
Ma in ogni teoria quantistica ã= ㆠï l’azione Ûã d4x è invariante per CPT
Conseguenze:
m(e + ) − m(e − )
−8 m ( K 0 ) − m ( K 0 )
−19
m( p ) = m( p ) : test
<
4
⋅
10
,
<
10
m(e + ) + m(e − )
m( K 0 ) + m( K 0 )
+
τ
(
µ
)
τ ( p) = τ ( p ) :
σ ( pp ) = σ ( pp )
τ (µ − )
= 1.00002 ± 0.00008
momento magnetico particella = − momento magnetico antipartic ella :
( µ (e + ) − µ (e − )) /( µ (e + ) + µ (e − )) = −(1 ± 4) ⋅10 −12
Se uno o due dei tre operatori è violato (ex CP)
anche il terzo lo deve essere (ex. T)
Bibliografia
• D.Perkins, “Introduction to high energy
physics”,Cambridge University Press, 1999;
• D.Griffith,”Introduction to elementary particles” Harper &
Row, Publisher, New York, 1987;
• Q.Ho-Kim and P.Xuan Yem, “Elementary Particles and
their interactions”, Springer Verlag, 1998.