Titoli obbligazionari (Bond)
Un’obbligazione è un titolo di debito emesso da una società, da uno stato o da un
ente pubblico che dà diritto al suo possessore al rimborso del capitale prestato
alla scadenza e al pagamento di interessi (cedole).
La emissione di un titolo obbligazionario è la operazione attraverso cui l’emittente
reperisce capitali; l’obbligazionista viene remunerato per il suo prestito attraverso
il pagamento degli interessi.
Le caratteristiche principali di un’obbligazione sono la scadenza, il tasso cedolare,
la frequenza dei pagamenti delle cedole, il tipo di eventuale indicizzazione
delle cedole, il merito creditizio dell’emittente (usualmente espresso da un rating
attribuito da una agenzia indipendente).
Le obbligazioni possono essere acquistate o in fase di collocamento (ad esempio
le aste dei titoli di stato) oppure successivamente sul mercato secondario.
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Tipi di titoli obbligazionari
Alcuni tipi di titoli obbligazionari:
• Zero Coupon Bond (ZCB) cioè titoli privi di cedole intermedie; in questo caso
la componente interessi è tutta compresa nel rimborso del valore nominale alla
scadenza. L’esempio più comune sono i BOT e i CTZ; un BOT rimborsa 100
alla scadenza e viene acquistato a sconto.
• Coupon Bond, cioè genericamente titoli con cedole intermedie; queste cedole
possono essere di due tipi: prefissate al momento della emissione del bond, oppure
variabili durante la vita del bond.
Nel primo caso si parla di titoli a cedola fissa (ad esempio i BTP), mentre nel
secondo di titoli a cedola variabile (ad esempio i CCT).
La indicizzazione può essere molto semplice (ad esempio legata al tasso dei BOT
o al tasso Euribor per i CCT) oppure molto complessa; in questo caso si parla di
obbligazioni strutturate.
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Rischiosità di un BTP
I flussi finanziari che il detentore di un BTP percepisce (cedole semestrali e rimborso
del valore nominale) sono tutti predeterminati al momento dell’acquisto.
Tuttavia esistono diverse fonti di rischio che influenzano i BTP:
• in un qualsiasi istante prima della scadenza, il prezzo del BTP è all’incirca pari
al valore attuale dei flussi rimanenti; questo valore attuale dipende ovviamente
dalla struttura per scadenza dei tassi di interesse; se i tassi salgono, i valori attuali
(e di conseguenza i prezzi dei BTP) diminuiscono (rischio di tasso)
• esiste una probabilità non nulla che l’Italia o più in generale l’emittente non ripaghi
una o più cedole (rischio di default); anche senza arrivare a questo, c’e’ il rischio di
un peggioramento del merito creditizio dell’Italia (rischio di downgrading)
• infine se una emissione è poco liquida c’e’ sempre il rischio che l’operazione
comporti un costo addizionale dovuto allo spread tra bid e ask (rischio di liquidità)
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Rendimento di un BTP
In generale, data una successione di flussi di cassa, il suo tasso interno di rendimento
(TIR, o in inglese internal rate of return, IRR) è quel tasso che rende pari a 0 il
valore attuale; non sempre questo tasso esiste e può succedere che esista e non sia
unico.
Nel caso dell’acquisto di un BTP a un prezzo P, abbiamo una operazione
di investimento: l’unico flusso negativo è il prezzo che paghiamo P, mentre tutti
i flussi successivi (cedole e rimborso del capitale nominale) sono positivi.
Il TIR prende il nome di rendimento effettivo del BTP ed è quindi la soluzione i*
della equazione
P=
C
C
C + 100
+
+ ... +
2
1 + i * (1 + i *)
(1 + i*) n
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Il valore attuale
Richiamiamo alcuni concetti fondamentali sul valore attuale (present value o
net present value, NPV). Indichiamo un flusso finanziario con
x = {x1 , x 2 ,..., x n ; t1 , t 2 ,..., t n }
intendendo che ciascun importo xi viene percepito al tempo ti.
Immaginando per ora di avere uno stesso tasso i valido per tutte le scadenze
(struttura piatta dei tassi di interesse), abbiamo che il valore attuale (oggi è t=0)
è dato da:
n
V ( x, i ) = ∑ xk vk , con v k =
k =1
1
(fattore di attualizza zione)
(1 + i ) t k
n
xk
tk
k =1 (1 + i )
quindi V ( x, i ) = ∑
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Valore attuale in funzione del tasso
In tutti gli esempi considerati, abbiamo visto che la funzione valore attuale V(i)
è una funzione decrescente e convessa del tasso di interesse i.
Inoltre possiamo vedere che
 n
xk
∑ x se la rendita è finita
=  k =1 k
lim+ V ( x, i ) = lim+ ∑
tk
i→0
i→ 0
k =1 (1 + i )
 + ∞ se la rendita è perpetua

n
n
lim V ( x, i ) = lim
i → +∞
i → +∞
xk
∑ (1 + i)
k =1
tk
 x se è presente un flusso in t = 0
= 0
0 altrimenti
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Derivata rispetto al tasso i
Calcoliamo la derivata della funzione V(i) rispetto al tasso i; da
n
xk
tk
k =1 (1 + i )
V (i) = ∑
otteniamo
n
V ' ( i ) = ∑ xk
k =1
n
d
1
d
=
xk
(1 + i ) − t k =
∑
tk
di (1 + i )
di
k =1
n
n
k =1
k =1
∑ xk (− t k )(1 + i ) − tk −1 = ∑ x k ( − t k )
V ' (i ) = −
(1 + i )
1+ i
−t k
quindi
1 n
t k x k (1 + i ) − t k < 0
∑
1 + i k =1
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Duration
Se dividiamo entrambi i membri di questa uguaglianza per il valore attuale V(i)
otteniamo
V ' (i )
1 n t k xk (1 + i) −t k
=−
∑ V (i)
V (i )
1 + i k =1
il termine wk =
xk (1 + i ) −t k
rappresenta il valore attuale del flusso
V (i )
kesimo xk (1 + i) −tk rispetto al valore attuale totale V (i);
è il peso del flusso k - esimo (in termini di valore attuale).
Evidentemente abbiamo wk > 0 e
n
n
k =1
k =1
∑ wk = ∑
xk (1 + i ) −t k
1 n
V (i )
=
xk (1 + i) −tk =
=1
∑
V (i )
V (i) k =1
V (i )
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Duration
Possiamo quindi riscrivere
V ' (i )
1 n
1
t k wk = −
D( x, i )
=−
∑
V (i )
1 + i k =1
1+ i
n
dove la quantità D( x, i ) = ∑ tk wk è una media ponderata
k =1
delle scadenze t k con pesi pari ai valori attuali dei singoli flussi,
che prende il nome di duration del flusso x. La duration si misura
in anni ed è una misura finanziari amente appropriata della vita
residua del titolo; titoli lunghi hanno tipicamente duration alta
mentre titoli con scarsa vita residua hanno duration bassa.
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Duration e semielasticità
Il calcolo precedente ci ha mostrato che la sensitività del valore attuale rispetto
al tasso di interesse è legata alla duration; più precisamente il termine
V ' (i ) ∆V (i ) 1
∆V (i ) 1
≅
⋅
=
⋅
V (i )
∆i V (i ) V (i ) ∆i
prende il nome di semielasti cità e rappresenta la variazione
percentuale infinitesi ma di V per una variazion e infinitesi ma
di i.
La relazione
V ' (i )
1
=−
D ( x, i)
V (i )
1+ i
ci dice che titoli con elevata duration (“lunghi”) sono molto più sensibili al rischio
di tasso rispetto a titoli a bassa duration (“corti”).
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Proprietà della duration
La duration è una media ponderata delle scadenze
n
D ( x, i) =
∑
tk wk
k =1
wk =
x k (1 + i ) − t k
V (i )
i) gode della proprietà di internalità (a volte detta di Cauchy):
t1 ≤ D ( x , i ) ≤ t n
ii) di conseguenza nel caso di uno ZCB con scadenza t abbiamo
D ( x, i) = t
iii) la duration è una funzione omogenea (di grado 0) rispetto agli importi:
D (α x , i ) = D ( x , i )
iv) la duration gode della proprietà associativa delle medie ponderate.
v) la duration è una funzione omogenea (di grado 1) rispetto ai tempi.
D ( x , α t 1 ,..., α t n ) = α D ( x , t 1 ,..., t n )
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Proprietà associativa
La proprietà associativa è fondamentale perché ci dice come calcolare la
duration di un portafoglio; essa afferma che la duration di un portafoglio è
pari alla media ponderata delle duration dei singoli titoli, con pesi pari ai valori
attuali dei singoli titoli. Vediamone la dimostrazione nel caso di un portafoglio
composto da due flussi x e y.
n
D( x + y) =
n
∑ tk wx + y =
∑ tk
k =1
k =1
( x k + y k )(1 + i ) −t k
V (x) + V ( y)
n
 n
1
−t
−t 
=
 ∑ t k x k (1 + i ) k + ∑ t k y k (1 + i ) k  =
V ( x ) + V ( y )  k =1
k =1

=
n
n

1
t k x k (1 + i ) −t k
t y (1 + i ) − t k
+ V ( y)∑ k k
V ( x ) ∑
V ( x ) + V ( y ) 
V ( x)
V ( y)
k =1
k =1
=
V ( y)
1
{V ( x ) D ( x) + V ( y ) D ( y )} = V ( x ) D ( x ) +
D( y) =
V ( x) + V ( y)
V ( x) + V ( y)
V ( x) + V ( y )
= w x D ( x) + w y D ( y )

=

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Esempi di calcolo della duration
In generale possiamo procedere in due modi per calcolare la duration:
o applicando la definizione (calcolando i pesi di tutti i flussi e poi calcolando
la media ponderata delle scadenze) oppure, se il valore attuale ha un’espressione
semplice, possiamo ricavare la duration dalla relazione
V ' (i )
1
= −
D ( x, i)
V (i )
1+ i
Il caso più semplice è quello della rendita perpetua:
R
− 2
R
R V ' (i )
1
V (i ) = ; V ' (i ) = − 2 ;
= i = − ; dalla relazione
R
i
i V (i )
i
i
1
V ' (i )
V ' (i )
=−
D ( x, i ) abbiamo D ( x, i ) = − (1 + i )
V (i )
1+ i
V (i )
nel nostro caso la duration della rendita perpetua è
1+ i
D=
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i
Duration di una rendita finita
1− vn
1 − (1 + i ) − n
) = R(
)
i
i
possiamo supporre R = 1 (la duration è omogenea di grado 0 negli importi)
V (i ) = Ra n ,i = R (
d 1 − (1 + i ) − n
n (1 + i ) − n −1 ⋅ i − (1 − (1 + i ) − n )
(
)=
quindi
di
i
i2
V ' (i ) ni (1 + i ) − n −1 − (1 − (1 + i ) − n )
i
=
⋅
=
V (i )
i2
1 − (1 + i ) − n
V ' (i ) =
ni (1 + i ) − n −1 − (1 − (1 + i ) − n )
n (1 + i ) − n −1 1
=
− la duration è pertanto
−n
i (1 − (1 + i ) )
(1 − (1 + i ) − n ) i
V ' (i )
nel nostro caso
D (i ) = − (1 + i )
V (i )
D (i ) =
1+ i
n (1 + i ) − n
1+ i
n
−
=
−
−n
i
(1 − (1 + i ) )
i
(1 + i ) n − 1
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Duration di una rendita finita /2
1+ i
n
−
possiamo fare alcune osservazioni :
i
(1 + i) n −1
1+ i
1+ i
n
i) se n → +∞, lim
−
=
(duration rendita perpetua)
n→+∞ i
(1 + i) n − 1
i
1+ i
n
−
= 1 (tutto il peso va sulla prima cedola)
ii) se i → +∞, lim
i →+∞ i
(1 + i) n − 1
1+ i
n
iii) se i → 0+ lim+
−
= ∞ − ∞ quanto fa?
i→0
i
(1 + i) n − 1
Quanto dovrebbe fare dal punto di vista finanziario?
D(i) =
Se i = 0, tutte le rate hanno lo stesso valore attuale, e di conseguenza
lo stesso peso; gli istanti di tempo sono 1,2,....,n; la loro media
ponderata è uguale alla loro media aritmetica e pari a .........?
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Come si fa il limite?
n
1+ i
(1 + i )[( 1 + i ) n − 1 ] − ni
−
= lim+
n
i→ 0
i
i [( 1 + i ) n − 1 ]
(1 + i ) − 1 i → 0
n ( n − 1) 2
i + o (i 2 )
ricordiamo che (1 + i ) n − 1 = ni +
2
n ( n − 1) 2
i + o ( i 2 )] − ni
(1 + i )[ ni +
2
lim
=
i→ 0 +
i [( 1 + i ) n − 1]
n ( n − 1) 2
ni +
i + o ( i 2 ) + ni 2 − ni
2
lim
=
i→ 0 +
i [( 1 + i ) n − 1]
n ( n − 1) 2
ni +
i + o ( i 2 ) + ni 2 − ni
2
lim
=
i→ 0 +
ni 2
n ( n − 1) 2
i + ni 2
n −1
n +1
2
=
+1 =
lim
2
i→ 0 +
ni
2
2
lim+
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Duration di un BTP
Abbiamo visto una formula per la duration di una rendita a rata costante;
dato che un titolo a tasso fisso (pensiamo a un BTP) può essere sempre
scomposto nella rendita costituita dalle cedole di interessi e nel singolo
flusso del rimborso del valore nominale, la duration di un BTP può
sempre essere calcolata come
D BTP = w Ced D Ced + w VN D VN =
Ca n , i
V BTP
1+ i
100 (1 + i ) − t n
n
)+
⋅(
−
⋅ tn
i
V BTP
(1 + i ) n − 1
Abbiamo quindi due metodi di calcolo: o usiamo la definizione, calcolando
I singoli pesi, oppure usiamo questa formula (se le cedole sono molte faccio
prima usando la formula).
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Calcolo della duration in Excel
Iniziamo con un esempio di calcolo diretto, con C=4, i=5%, n=10, cedole annuali:
tasso i
cedola C
5.00%
4
tempo
fatt. att.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
flussi
1
0.95238
0.90703
0.86384
0.8227
0.78353
0.74622
0.71068
0.67684
0.64461
0.61391
flussi att.
4
4
4
4
4
4
4
4
4
104
3.80952
3.62812
3.45535
3.29081
3.1341
2.98486
2.84273
2.70736
2.57844
63.847
pesi
media ponderata
0.04128
0.03932
0.03744
0.03566
0.03396
0.03235
0.03081
0.02934
0.02794
0.6919
0.041283002
0.07863429
0.1123347
0.142647238
0.16981814
0.194077874
0.215642082
0.234712471
0.251477647
6.918961721
valore att. somma
duration
92.2783
1
8.359589164
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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Calcolo della duration/ 2
Verifichiamo il risultato utilizzando la formula ricavata precedentemente
D BTP = w Ced D Ced + wVN DVN =
Ca n , i
V BTP
⋅(
1+ i
n
100 (1 + i ) − t n
−
)
+
⋅ tn
i
(1 + i ) n − 1
V BTP
1 − v n 1 − (1 + i ) − n 1 − (1 . 05 ) −10
=
=
≅ 7 . 72
i
i
0 .05
100
100
V BTP = Ra n , i +
= 4 ⋅ 7 . 72 +
≅ 30 . 88 + 61 .39 = 92 .27
n
(1 + i )
(1 . 05 ) 10
30 .88
61 .39
w Ced =
≅ 33 . 47 % wVN =
= 1 − w Ced = 66 .53 %
92 . 27
92 . 27
1+ i
n
1 .05
10
D Ced =
−
=
−
≅ 5 . 10
n
i
(1 + i ) − 1 0 . 05 (1 .05 ) 10 − 1
D BTP = w Ced D Ced + wVN DVN = 0 . 3347 ⋅ 5 . 10 + 0 . 6653 ⋅ 10 ≅ 8 .36
a n ,i =
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Dipendenza dal tasso i
Facciamo ora variare il tasso di interesse i, passando dal 5% al 20% al 50%
tasso i
cedola C
20.00%
4
tempo
fatt. att.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tasso i
cedola C
50.00%
4
flussi
1
0.83333
0.69444
0.5787
0.48225
0.40188
0.3349
0.27908
0.23257
0.19381
0.16151
flussi att. pesi
4
4
4
4
4
4
4
4
4
104
3.33333
2.77778
2.31481
1.92901
1.60751
1.33959
1.11633
0.93027
0.77523
16.7966
media ponderata
0.10125
0.08438
0.07032
0.0586
0.04883
0.04069
0.03391
0.02826
0.02355
0.51022
0.101254195
0.168756992
0.21094624
0.234384711
0.244150741
0.244150741
0.237368776
0.226065501
0.211936407
5.102172765
tempo
fatt. att.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
flussi
1
0.66667
0.44444
0.2963
0.19753
0.13169
0.08779
0.05853
0.03902
0.02601
0.01734
flussi att.
4
4
4
4
4
4
4
4
4
104
pesi
2.66667
1.77778
1.18519
0.79012
0.52675
0.35117
0.23411
0.15607
0.10405
1.80352
media ponderata
0.27791
0.18527
0.12352
0.08234
0.0549
0.0366
0.0244
0.01627
0.01084
0.18796
0.277910342
0.370547123
0.370547123
0.329375221
0.274479351
0.21958348
0.170787151
0.130123544
0.097592658
1.879562301
valore att. somma
duration
9.59542
1
4.120508295
valore att. somma
duration
32.9204
1
6.98118707
0 .3
0.6
0. 25
0.5
0 .2
0.4
0 .15
0.3
0.1
0.2
0. 05
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Al crescere del tasso, la distribuzione si sposta a sinistra e la duration diminuisce.
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Dipendenza dalla cedola
Con i=5%, confrontiamo i casi di cedola bassa C=2 e cedola alta C=10
tasso i
cedola C
5.00%
10
tasso i
cedola C
5.00%
2
tempo
fatt. att.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
flussi
1
0.95238
0.90703
0.86384
0.8227
0.78353
0.74622
0.71068
0.67684
0.64461
0.61391
flussi att.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
102
pesi
1.90476
1.81406
1.72768
1.6454
1.56705
1.49243
1.42136
1.35368
1.28922
62.6192
media ponderata
0.02479
0.02361
0.02249
0.02141
0.0204
0.01942
0.0185
0.01762
0.01678
0.81498
0.024790356
0.047219725
0.06745675
0.085659365
0.101975435
0.116543354
0.129492616
0.140944344
0.151011797
8.149843009
tempo
fatt. att.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
flussi
1
0.95238
0.90703
0.86384
0.8227
0.78353
0.74622
0.71068
0.67684
0.64461
0.61391
flussi att.
10
10
10
10
10
10
10
10
10
110
pesi
9.52381
9.07029
8.63838
8.22702
7.83526
7.46215
7.10681
6.76839
6.44609
67.5305
media ponderata
0.06871
0.06544
0.06232
0.05935
0.05653
0.05384
0.05127
0.04883
0.04651
0.4872
0.068710054
0.130876293
0.186966133
0.237417312
0.282639657
0.323016751
0.358907502
0.390647621
0.418551022
4.872022481
valore att. somma
duration
138.609
1
7.269754827
valore att. somma
duration
76.8348
1
9.014936751
0.6
0.5
0 .9
0 .8
0.4
0 .7
0.3
0 .6
0 .5
0.2
0 .4
0. 1
0 .3
0 .2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 .1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
I titoli con cedola bassa tendono ad avere più peso a scadenza e quindi duration
maggiore.
© Fabio Bellini 2011
Duration in Excel /2
La duration è anche già implementata come funzione di Excel :
© Fabio Bellini 2011
Duration in Excel /3
Verifichiamo il nostro esempio (attenzione alla terminologia di Excel, molto
fuorviante!)
© Fabio Bellini 2011
Dipendenza dalla scadenza
Utilizzando la funzione durata di Excel, possiamo studiare la dipendenza
della duration dalla scadenza; nel caso precedente (C=4%, i=5%) abbiamo
Il limite è la duration della rendita perpetua, che in questo caso è pari a 21 anni.
© Fabio Bellini 2011
Dipendenza dalla scadenza /2
Sorprendentemente, in alcuni casi (di scarso rilievo pratico) la duration
diminuisce all’aumentare della scadenza (può capitare con cedole basse, in questo
esempio C=0,01)
© Fabio Bellini 2011
Dipendenza dalla scadenza /3
Se invece pongo C=0 (ZCB) ottengo
La duration ovviamente cresce linearmente per uno ZCB.
© Fabio Bellini 2011