Prodotti notevoli
(pane quotidiano dell’algebra,
dannazione… degli studenti)
IN QUESTA PRESENTAZIONE SARA’ TRATTATO:
- QUADRATO DEL BINOMIO
- QUADRATO DE TRINOMIO
- DIFFERENZA DI DUE QUADRATI
- CUBO DEL BINOMIO
- PRODOTTO DELLA SOMMA O DIFFERENZA DI DUE
DUE MONOMI PER IL FINTO QUADRATO DEL BINOMIO
PREREQUISITI:
-CONOSCENZA DELL’ INSIEME Q E DELLE PROPRIETA’
DELLE SUE OPERAZIONI
-CONOSCENZA DELLE PROPRIETA’ DELLE POTENZE
Vogliamo
vedere
il
prodotto
(2x+3)(2x+3)
a cosa è uguale; svolgiamolo nel modo che
conosciamo: 4x2+6x+6x+9, sommiamo i due monomi
uguali 6x e 6x, otteniamo il risultato 4x2+12x+9. Cosa
notiamo?
(2x+3)(2x+3)=(2x+3)2=4x2+12x+9 invece di avere
quattro termini, come ci aspetteremmo, ne abbiamo
tre.
Proviamo con un altro esercizio
(5x2y-3)(5x2y-3)=
=25x4y2-15x2y-15x2y+9= 25x4y2-30x2y+9
Anche in questo caso, invece di avere quattro termini,
come ci aspetteremmo, ne abbiamo tre.
Consideriamo il prodotto di una somma per una
differenza
e facciamo lo stesso ragionamento
(2xy+7x)(2xy-7x)
Svolgiamolo nel modo tradizionale:
4x2y2-14x2y+14x2y-49x2 , elidendo i due monomi
opposti -14x2y+14x2y, possiamo scrivere il risultato
finale della moltiplicazione 4x2y2 - 49x2.
Anche in questo caso invece di avere quattro
termini, come ci aspetteremmo, ne otteniamo un
numero inferiore, due.
Nel calcolo letterale spesso si incontrano moltiplicazioni
tra particolari polinomi, i cui risultati, opportunamente
semplificati, hanno una forma ricorrente, facilmente
memorizzabile.
A causa della frequenza con cui, si incontrano tali
particolari moltiplicazioni, è bene tenere a mente i
risultati, applicandoli subito senza passare attraverso
l’applicazione delle regole generali.
Questi particolari prodotti si chiamano
“PRODOTTI NOTEVOLI ”
e riguardano: il prodotto di un polinomio per se stesso, il
prodotto di tre binomi uguali, il prodotto della somma di
due monomi per la loro differenza, ecc.
IL QUADRATO DEL BINOMIO
(A+B)2=A2+2AB+B2
(5ab+2b)2=(5ab)2+2(10ab2)+(2b)2=
=25a2b2+20ab2+4b2
(A-B)2=A2-2AB+B2
(5ab-2b)2=(5ab)2+2(-10ab2)+(-2b)2=
=25a2b2-20ab2+4b2
Consideriamo due generici monomi che indichiamo
con A e B; la loro somma è il binomio A+B. Per
definizione di potenza si ha: XX = X2
analogamente (A+B)(A+B) =(A+B)2
Eseguendo il prodotto
(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2
e sommando i termini AB e BA, uguali per la
proprietà commutativa del prodotto, si ottiene:
2
(A+B) =
2
2
=A +2AB+B
Oppure analogamente
2
(A-B) =
2
2
=A -2AB+B
Le uguaglianze:
(A+B)2=A2+2AB+B2
(A-B)2=A2-2AB+B2
dicono che:
il quadrato di un binomio è uguale al quadrato
del primo monomio A2, più o meno il doppio
prodotto del primo monomio per il secondo 2AB,
più il quadrato del secondo monomio B2.
COSA SIGNIFICA
GEOMETRICAMENTE?
(A+B)2=A2+2AB+B2
Per interpretare geometricamente la formula
(A+B)2=A2+2AB+B2
Supponiamo che A e B siano due numeri positivi e
considerato un quadrato di lato l=A+B, l’area
misurerà A=(A+B)(A+B)=(A+B)2
A
+ B
A
+
B
(A+B)2
Come si vede dalla seconda figura, l’area del
quadrato si può pensare composta dall’area di
quattro figure, due quadrati disuguali di area A2 e B2
e due rettangoli uguali, entrambi di area AB
A =(A+B)(A+B)=(A+B)2
A
A
+
B
A = A2+2AB+B2
+ B
A
A
(A+B)2
+
A2
B
AB
+
B
A
+
B2
AB
A
+
B
B
QUADRATO DI UN TRINOMIO
(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
(5ab+2b+1)2=
=(5ab)2+(2b)2 +(1)2+2(10ab2)+2(5ab)+2(2b)=
=25a2b2+4b2+1+20ab2+10ab+4b
Analogamente a quanto appena visto consideriamo
tre generici monomi che indichiamo con A, B e C; la
loro somma è il trinomio A+B+C. Per definizione di
potenza si ha
(A+B+C)(A+B+C) =(A+B+C)2
Eseguendo
il
prodotto
(A+B+C)(A+B+C)=
=A2+AB+AC+BA+B2+BC+CA+CB+C2 e sommando i
termini AB e BA, AC e CA, BC e CB, uguali per la
proprietà commutativa del prodotto, si ottiene:
(A+B+C)2=(A+B+C)(A+B+C)=
=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
2
(A+B+C) =
2
2
2
A +B +C +2AB+2AC+2BC
L’uguaglianza: (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
dice
che:
il quadrato di un trinomio è uguale al quadrato
del primo monomio A2, più il quadrato del
secondo monomio B2 e del terzo C2, più il doppio
prodotto del primo monomio per il secondo 2AB,
più il doppio prodotto del primo monomio per il
terzo 2AC, più il doppio prodotto del secondo
monomio
per
il
terzo
2BC.
COSA SIGNIFICA
GEOMETRICAMENTE?
(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
Per interpretare geometricamente la formula
(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
Supponiamo che A, B e C siano due numeri positivi
e considerato un quadrato di lato l=A+B+C, la cui
area misura A=(A+B+C)2
A
A + B + C
+
B
+
C
(A+B+C)2
Come si vede dalla seconda figura, l’area dello stesso
quadrato, si può pensare composta dall’area di
quattro figure, tre quadrati disuguali di area A2, B2,
C2 e sei rettangoli uguali a due a due di area AB, AC,
BC
A=(A+B+C)(A+B+C)=(A+B+C)2
A = A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
A
A + B + C
A + B + C
A
+
A2 AB AC
B
AB B2 BC
+
+
C
AC BC C2
C
+
B
A=(A+B+C)2
Una formula perfettamente analoga si trova per il
quadrato di un polinomio di quattro o più termini e
si ottiene così la regola generale: il quadrato di
un polinomio di un numero di termini
qualunque è uguale alla somma dei quadrati
di tutti i termini e dei doppi prodotti di
ciascuno di essi per ognuno dei termini che
seguono.
PRODOTTO DELLA SOMMA DI DUE
MONOMI PER LA LORO DIFFERENZA
(A+B)(A-B)=A2-B2
(3ab+2a)(3ab-2a)=(3ab)2-(2a)2=9a2b2 – 4a2
Siano A e B due generici monomi; calcolando il
prodotto della loro somma A+B per la differenza A-B,
si ha:
(A+B)(A-B)=A2+AB-BA-B2
Da cui, elidendo i monomi opposti AB e –AB, si ricava
(A+B)(A-B)= A2-B2
(A+B)(A-B) =
2
2
A -B
L’ uguaglianza
(A+B)(A-B)= A2-B2
dice che: il prodotto della somma di due monomi
per la loro differenza è uguale al quadrato del
primo monomio meno il quadrato del secondo
monomio.
COSA SIGNIFICA
GEOMETRICAMENTE?
(A+B)(A-B)= A2-B2
Per interpretare geometricamente la formula
(A+B)(A-B)= A2-B2
supponiamo che A e B siano due numeri positivi e
considerato un rettangolo di lati l1=A+B e l2=A-B,
la cui area misura
A =(A+B)(A-B)
l2 =
A
-
B
l1= A +
B
(A+B)(A-B)
l1 =
A
+
l2 =
A
-B
B
Come si vede dalla seconda figura, l’area dello stesso
rettangolo, si può pensare di ottenerla sottraendo
dall’area A2 di un quadrato e dall’area AB di un
rettangolo l’area AB dello stesso rettangolo e l’area B2
di un quadrato
A= (A+B)(A-B)
A
B
+
A + B
B
A=(A+B)(A-B)
A
A2
AB-B2
A
A= A2+AB-BA-B2
(AB)
B2
A
A
IL CUBO DEL BINOMIO
(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
(x +2y)3 =(x)3+3(x)2(2y)+3(x)(2y)2+(2y)3=
=x3+6x2y+12xy2+8y3
(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3
(1-2a)3=(1)3+3(1)2(-2a)+3(1)(-2a)2+(-2a)3=
=1-6a+12a2-8a3
Consideriamo la somma di due generici monomi
che indichiamo con A e B.
Per definizione di potenza si ha:
X2X = X3
Analogamente (A+B)2(A+B)=(A+B)3
Essendo (A+B)2=A2+2AB+B2 moltiplichiamo il
quadrato del binomio per la somma (A+B):
(A2+2AB+B2) (A+B)=
=A3+A2B+2A2B+2AB2+AB2+B3
sommando i termini simili A2B e 2A2B, 2AB2 e AB2,
si ottiene:
(A+B)3= A3+3A2B+3AB2+B3
3
(A+B) =
3
2
2
3
=A +3A B+3AB +B
Oppure analogamente
3
(A-B) =
3
2
2
3
=A -3A B+3AB -B
Le uguaglianze
(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3
dicono che:
il cubo di un binomio è uguale al cubo del
primo monomio A3, più il triplo prodotto del
quadrato del primo monomio per il secondo
3A2B, più il triplo prodotto del primo monomio
per il quadrato del secondo 3AB2, più il cubo
del secondo monomio B3.
COSA SIGNIFICA
GEOMETRICAMENTE?
(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
Per interpretare geometricamente la
formula (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
Supponiamo che A e B siano due numeri
positivi e considerato un cubo di lato
l=A+B, il cui volume misurerà
V=(A+B)(A+B)(A+B)=(A+B)3
V =(A+B)(A+B)(A+B)=(A+B)3
A +
B
A + B
A
B
Come si vedrà dalla figura che segue il
volume del cubo si può pensare
costituito dal volume di quattro figure,
due cubi disuguali di volume A3 e B3 e
sei prismi a tre a tre uguali, di volume
A2B e AB2
V=A3+3A2B+3AB2+B3
A
+
B
A
+
B
B3
A2B
AB2
A3
PRODOTTO DELLA SOMMA O
DIFFERENZA DI DUE DUE
MONOMI PER IL FINTO
QUADRATO DEL BINOMIO
(A+B)(A2+AB+B2) =A3+B3
(3a+1)(9a 2-3a+1)= (3a)3+(1) 3 =27a3+1
(A-B)(A2-AB+B2) =A3-B3
(x – 2y)(x2+2xy+4y2) =(x)3-(2y)3=x 3– 8y3
Altri prodotti notevoli frequenti e di grossa utilità
sono il prodotto della somma di due monomi per il
finto quadrato di binomio
(A+B)(A2+AB+B2)
(A-B)(A2-AB+B2)
Effettuando i prodotti e le opportune
semplificazioni si ottiene
2
2
(A+B)(A -AB+B )
=
3
3
A +B
=
2
2
(A-B)(A +AB+B )
=
3
3
A -B
=
Le uguaglianza
(A+B)(A2-AB+B2) = A3+B3
(A-B)(A2+AB+B2) = A3-B3
dicono che:
moltiplicando la somma algebrica di due
monomi per il trinomio costituito dal quadrato
del primo monomio meno o più il prodotto del
primo per il secondo più il quadrato del
secondo è uguale al cubo del primo monomio
A3 più il cubo del secondo monomio B3.
RICAPITOLANDO
ECCO TUTTI I CASI POSSIBILI
QUADRATO DEL BINOMIO
(A+B)2= A2 + 2AB + B2
(A−B)2= A2 − 2AB + B2
QUADRATO DEL TRINOMIO
(A+B+C)2= A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC
PRODOTTO DELLA SOMMA DI DUE MONOMI PER LA LORO DIFFERENZA
(A+B)(A−B)=A2 − B2
CUBO DEL BINOMIO
(A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 +B3
(A−B)3= A3 − 3A2B + 3AB2 − B3
PRODOTTO DELLA SOMMA O DIFFERENZA DI DUE MONOMI PER IL
FINTO QUADRATO DEL BINOMIO
(A−B)(A2 + AB + B2) = A3− B3
(A+B)(A2 − AB + B2) = A3+ B3
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