Geometria euclidea, affine e
proiettiva
Anno accademico 2008/09
3. Il birapporto. Le coordinate
cartesiane omogenee.
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1
Che cosa si conserva per
proiezioni e sezioni?
• Non l’eguaglianza tra
segmenti
• Dato un segmento
diviso in parti uguali,
in che relazione
stanno le parti del
segmento che è la
sua proiezione?
Da M. Menghini, www.treccani.it/site/
Scuola/Zoom/prospettiva/
g.e.a.p. 08/09
scuola_zoom.htm
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2
Da Stillwell, “The four pillars of
geometry”, cap. 5, esercizio
Supponiamo che il pavimento abbia delle righe di
piastrelle che incontrano l’asse delle x nei punti
di ascissa x = 0,1,2,3,…. e che l’artista copi la
vista del pavimento su uno schermo trasparente
che passa per l’asse (verticale) delle y, tenendo
un occhio fermo nella posizione di coordinate
(1,1). Allora la vista in prospettiva dei punti di
ascissa 0,1,2,3,… sull’asse delle x sarà la
successione di punti sull’asse delle y mostrata
della figura che segue
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Esercizio
Mostrare che la retta da (1,1) a (n,0) taglia
l’asse delle y nel punto di ordinata n/(n+1).
rettapunti
di O = (1,1) e (n,0)
Quindi, le immagini prospetticheladei
ha equazione x + (1+n)y  n =0
x = 0,1,2,3…. sono i punti yponendo
= 0, ½,
2/3, ¾,……
in questa
equazione x = 0
si ottiene y = n/(1+n )
.
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AC
BC
AD
BD
Non si conserva il rapporto di
due segmenti, bensì
il rapporto dei rapporti di quattro segmenti.
Möbius (1790-1868) ritrovò un risultato già
noto a Pappo: dati quattro punti allineati A,
B, C, D, proiezioni e sezioni conservano il
loro birapporto
AC
BC  ( A, B, C , D)
AD
BD
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Dimostrazione elementare
AC sin(ac) BC sin(bc)

;

;
OC
sin  OC
sin 
AD sin(ad ) BD sin(bd )

;

OD
sin  OD
sin 
AC AD sin(ac) sin(ad )

BC BD sin(bc) sin(bd )
A ' C ' A ' D ' sin(ac) sin(ad ) AC AD


B ' C ' B ' D ' sin(bc) sin(bd ) BC BD
Quindi: (A,B,C,D) = (A’,B’,C’,D’), c.v.d.
Esempi di proprietà proiettive
Sono proprietà invarianti per proiezioni e
sezioni:
• per tre punti, l’appartenenza ad una retta
(essere allineati)
• per quattro punti non allineati,
l’appartenenza ad uno stesso piano
(individuato da tre di essi)
• per una quaterna ordinata di punti allineati,
il loro birapporto.
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La proiezione in coordinate
• Scegliamo: centro di
proiezione O = (0,0,0)
• Proiettiamo da O il piano
z=1
• Per ogni P = (x*,y*,1),
costruiamo la retta OP
(x*,y*,1)  (tx*,ty*,t),t  
• Abbiamo una funzione
iniettiva dal piano alla
stella delle rette per O
• Si può renderla una
bigezione?
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Controimmagine di una retta
• Una retta r per O è
determinata dai parametri
direttori (l,m,n)  (0,0,0):
r = {(tl,tm,tn), t  .
• Se n  0, r interseca il
piano z = 1 in (l/n,m/n,1), di
cui è immagine nella
proiezione da O:
(l/n,m/n,1)  {(tl,tm,tn), t
• Se n = 0, r è parallela al
piano, lo interseca in un
punto improprio
(l,m,0)  {(tl,tm,0), t
(l,m,0) rappresenta un punto
improprio!
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Coordinate omogenee nel piano
ampliato
• (x, y) coordinate cartesiane di un punto P proprio
nel piano
• (x1,x2,x3) tali che x1/x3 = x, x2/x3= y si chiamano
coordinate omogenee di P.
• Sono definite a meno di un fattore moltiplicativo
non nullo
• Se P appartiene alla retta di equazione
ax + by + c = 0
le sue coordinate omogenee verificano l’equazione
omogenea
ax1  bx2  cx3  0
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Coordinate omogenee nel piano
ampliato
ax1  bx2  cx3  0
L’equazione omogenea
è verificata dalla terna (b,a,0), che non
dipende dal valore di c.
• (b,a,0) è il punto improprio della retta
• Una terna ordinata di numeri reali
(z1,z2,z3)(0,0,0),
– se z30, individua il punto proprio (z1/z3,z2/z3)
– se z3=0, individua il punto improprio del fascio
con direzione (-z2,z1)
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Chiusura proiettiva
• L’equazione omogenea rappresenta la
retta come insieme di tutti i suoi punti
propri più il punto improprio
• La retta così ampliata viene detta
“chiusura proiettiva” della retta definita
dall’equazione non omogenea
• La retta impropria ha l’equazione
x3 = 0
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Punti impropri di una curva
algebrica
• Sia F(x,y) un polinomio (a coefficienti reali). Si chiama
“curva algebrica” di equazione
(1) F(x,y) = 0
l’insieme C dei punti del piano le cui coordinate soddisfano
(1).
• La chiusura proiettiva della curva C è l’insieme dei punti
del piano ampliato le cui coordinate omogenee
soddisfano l’equazione algebrica omogenea ottenuta da
(1) ponendo x1/x3 = x, x2/x3= y e moltiplicando per il
minimo comune multiplo dei denominatori.
• L’intersezione della retta impropria con la chiusura
proiettiva di C costituisce il “luogo all’infinito” di C.
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Esempio
Sia C la parabola di equazione y + x2 + x = 0.
Ponendo x1/x3 = x, x2/x3= y , si ottiene
x2 x12 x1
 2  0
x3 x3 x3
La chiusura proiettiva di C ha l’equazione
x2 x3  x  x1 x3  0.
2
1
Il luogo improprio è formato da un solo punto, di coordinate
omogenee (0,1,0).
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Punti impropri delle coniche
Una conica, di equazione (a coefficienti
reali),
a11 x 2  2a12 xy  a 22 y 2  2a13 x  2a 23 y  a33  0
ha come chiusura proiettiva la curva
d’equazione omogenea
a11 x12  2a12 x1 x 2  a 22 x 22  2a13 x1 x3  2a 23 x 2 x3  a33 x32  0.
Il luogo improprio è definito dal sistema
 x3  0
.

2
2
2a12 x1 x2  a22 x2  0
a11x1 g.e.a.p.
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Punti impropri delle coniche
I punti impropri sono due reali, distinti o
coincidenti, a seconda che sia
 I 2  a  a11a22  0
2
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La conica non ha punti impropri reali se è
I2 > 0.
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