Università degli Studi di Tramo Facoltà di Scienze della Comunicazione Master Universitario di I livello Comunicazione e Divulgazione Scientifica Direttore del Corso Ch.mo Prof. Franco Eufeni La Dimensione: tra immaginazione e realtà Candidata Relatore Dott.ssa Antonietta Esposito Prof. Ferdinando Casolaro La Dimensione La Dimensione Il punto ha dimensione 0 La linea ha dimensione 1 La superficie ha dimensione 2 Il solido ha dimensione 3 La IV Dimensione La IV Dimensione “Nessuno è in grado di indicare la quarta dimensione, eppure essa ci circonda. La quarta dimensione è una direzione diversa da tutte le direzioni dello spazio normale. Alcuni dicono che la quarta dimensione è costituita dal tempo e, in un certo senso, questo è vero. Altri affermano che la quarta dimensione è una direzione dell' iperspazio affatto diversa dal tempo... e anche questo è vero”. Rudy Rucker La IV Dimensione “E’ stata la totalità delle esperienze derivanti dal mondo a noi circostante a motivare l’estensione delle conoscenze geometriche dalla II alla III dimensione, ma poco o nulla a suggerire lo studio degli spazi a più di tre dimensioni. Ciò tuttavia è irrilevante. Infatti, se la geometria è debitrice al mondo esterno per il suo sviluppo, ne è anche logicamente indipendente. La geometria è una creazione della mente umana e solo incidentalmente e fortuitamente è un riflesso del mondo delle esperienze fisiche...” C. R. Wylie Jr Una sfera fa visita ad un quadrato Buongiorno signor Quadrato!!! La nonbidimensionale, contenta di essere Unsfera essere come Un essere tridimensionale nel considerata un quadrato, non un’aberrazione vede la sfera mondo piatto esiste solo psicologica, decidere che aleggia lungo dilaentrare terza parzialmente!! nel mondo piatto… dimensione, e sentendone la voce crede di essere ammattito!!! Intersezione di una sfera con un piano Quando un essere tridimensionale tocca il suolo di lui si vede solo il punto di contatto con il terreno. Via via che la sfera scivola sul piano si vedono apparire figure dal nulla. Il quadrato conclude che MATTO!!! Alla scoperta della III Dimensione La sfera non soddisfatta, afferra il quadrato e lo porta in una misteriosa dimensione: “SOPRA” ! H. von Helmovitz “Immaginiamo che esistano esseri dotati di ragione, bidimensionali, viventi, e moventesi sulla superficie di uno dei nostri corpi solidi e che non possano percepire alcunché fuori di questa superficie. Se tali esseri costruissero la loro geometria, attribuirebbero naturalmente al loro spazio due sole dimensioni “ (1870) Analogia Platone, VII Libro – La Repubblica Flatlandia Donna, Soldato, Operaio, Mercante, Professionista, Gentiluomo, Nobile, Gran Circolo (Sacerdote) Analogia • In Una Dimensione - osserva il Quadrato - un Punto in movimento genera una Linea con due Punti terminali. • In Due dimensioni, una Linea in movimento genera un Quadrato con quattro Punti terminali • In Tre Dimensioni, un Quadrato in movimento genera - e questo mio occhio l’’ha contemplato - quell'Essere benedetto, un Cubo, con otto Punti terminali 2,4,8: non è una Progressione Geometrica? • Allora in Quattro Dimensioni, un Cubo in movimento darà origine, per l’Analogia, a un Organismo più divino con sedici Punti terminali Analogia “Oh mio Signore – afferma il Quadrato rivolto alla Sfera – …conducetemi in quella regione benedetta, (Thoughtlandia ) dove io con il Pensiero vedrò l’interno di ogni cosa solida! E una volta colà, vorremo arrestare il corso della nostra ascesa? In quella beata regione a Quattro Dimensioni, indugeremo forse sulla soglia della Quinta, e non vi entreremo? “ Una rappresentazione dello spazio a quattro dimensioni Da 0-Dim a 1-Dim t01 traslazione Punto Dimensioni: 0 Vertici: 1 Segmento Dimensioni: 1 Vertici: 2 Spigoli: 1 Da 1-Dim a 2-Dim t12 traslazione Segmento Dimensioni: 1 Vertici: 2 Spigoli: 1 Quadrato: Dimensioni: 1 Vertici: 4 Spigoli: 4 Facce: 1 Da 2-Dim a 3-Dim t23 traslazione Quadrato: Dimensioni: 1 Vertici: 4 Spigoli: 4 Facce: 1 Cubo Dimensioni: 3 Vertici: 8 Spigoli: 12 Facce: 6 Cubi: 1 Da 3-Dim a 4-Dim t34 traslazione Cubo Dimensioni: 1 Vertici: 8 Spigoli: 12 Facce: 6 Cubi: 1 Ipercubo Dimensioni: 4 Vertici: 16 Spigoli: 32 Facce: 24 Cubi: 8 Ipercubi: 1 Ipercubo Proiezione tridimensionale dell’ipercubo Generalizzazione pk: numero vertici (0-dim) del k-cubo sk: numero spigoli (1-dim) del k-cubo fk : numero facce (2-dim) del k-cubo ck: numero cubi (3-dim) del k-cubo Generalizzazione Con un po’ di pazienza… Dim. k-cubo pk sk 0 1 0 1 2 1 2 4 4 3 8 12 4 16 32 … … … fk 0 0 1 6 24 … ck 0 0 0 1 8 … fk 2 fk –1 sk1 ck 2 ck –1 fk 1 … e con un po’ di intuito 2 k sk 2 sk –1 pk1 Generalizzazione Chiamiamo Eki l ' elemento i dim di un k cubo Allora la nostra congettura diventa: Inizializzazione: E0k 2k Eik 2 Eik1 Ei1 k1 E00 1 ; Ei0 0 per i 0 k\i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 punto 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 segmento 2 4 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 quadrato 3 8 12 6 1 0 0 0 0 0 0 0 cubo 4 16 32 24 8 1 0 0 0 0 0 0 ipercubo 5 32 80 80 40 10 1 0 0 0 0 0 supercubo 6 64 192 240 160 60 12 1 0 0 0 0 fantacubo 7 128 448 672 560 280 84 14 1 0 0 0 extracubo 8 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1 0 0 9 512 2304 4608 5376 4032 2016 specialcubo 672 144 18 1 0 elefancubo 10 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180kilocubo 20 1 … … … … … … … … … … … … Teorema Chiamiamo Eik l' elemento i dim di un k cubo 10 0 1 2 10 i Calcoliamo: k Ek Ek Ek Ek 1 Ek k\i 0 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64 7 128 8 256 9 512 10 1024 … … 1 2 3 0 0 0 1 0 0 4 1 0 12 6 1 32 24 8 80 80 40 192 240 160 448 672 560 1024 1792 1792 2304 4608 5376 5120 11520 15360 … … … 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 10 1 60 12 280 84 1120 448 4032 2016 13440 8064 … … i i0 6 7 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 14 1 0 112 16 1 672 144 18 3360 960 180 … … … k è uguale a 1, per ogni k 9 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 20 1 … … k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … Teorema Il teorema può essere generalizzato. Chiamiamo Eik l' elemento i dim di un k cubo k i i 1 Ek 1 Allora vale la formula: i0 Caso particolare: k=3 E03 E13 E23 E 33 8 12 6 1 1 Ossia: p3 s3 f3 1 1 p3 s3 f3 2 Vertici – spigoli + facce = 2 (formula di Euler per i poliedri) Rappresentare uno spazio a quattro dimensioni Rappresentiamo l’Ipercubo Utilizzando l’ANALOGIA vi sono 2 Modalità. Il Cubo Un cubo, schematizzato da un fil di ferro, visto da vicino appare come un quadrato piccolo contenuto in quadrato più grande. Ipercubo L’ipercubo può essere rappresentato disegnando due cubi concentrici con tutti i vertici uniti da linee. L’idea è che il cubo più piccolo si trovi più lontano, lungo la quarta dimensione Thomas Banchoff Ipercubo Pierelli 1974 Sviluppo di un cubo Esistono 11 modi per sviluppare un cubo! Sviluppo di un ipercubo Sviluppo di un ipercubo S. Dalì - Corpus Hypercubicus Muoversi in uno spazio a quattro dimensioni Come si percepirebbe il mondo tridimensionale muovendosi nell’iperspazio? Allo stesso modo di come noi esseri 3D possiamo vedere tutti e quattro i lati di un quadrato e tutti i particolari del suo interno, allo stesso modo un essere 4D riuscirebbe a vedere con un solo colpo d’occhio ogni centimetro del nostro corpo, interno ed esterno Destra o Sinistra? Il profilo di una mano disegnata su una lastra di vetro può essere sia destra che sinistra. Basta effettuare una rotazione nello spazio 3D! Nello sapzio 3D ogni figura piana può essere trasformata nella sua speculare mediante una Rotazione. Analogamente mediante una rotazione nello spazio 4D è possibile trasformare una figura solida nella sua immagine speculare. Cubo di Necker Figura ambigua che dà origine a un'inversione di profondità permettendo due prospettive orientate in direzioni diverse. Ecco un esempio di rotazione 4D Il tempo come IV dimensione Spazio - Tempo • Introdotto da Einstein l’Universo piatto (modello euclideo) è un Universo vuoto e privo di materia, in quanto la presenza di materia introduce una curvatura nello spazio. • Spazio-tempo quadridimensionale (x, y, z, t) di Minkovsky l'insieme dei punti-eventi (x, y, z, t) definisce un continuo a quattro dimensioni che rappresenta uno spazio geometrico . Spazio – Tempo di Minkovsky • per t = 0 (ovvero t = costante), si ha l'iperpiano , che è lo spazio geometrico euclideo tridimensionale, in cui valgono le leggi della cinematica classica; • se invece è costante una delle coordinate x, y, z, si hanno iperpiani di che caratterizzano modelli cinematici relativistici su , che è l'analogo del piano euclideo Conclusioni la geometria non si dall’evoluzione fisica!! può astrarre
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