Le parole
“difficili”
in geometria
Spunti per insegnare ad
affrontare e risolvere
problemi matematici
Terzo incontro
Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014
1
IL PORTAPOSATE DI NONNA AGOSTINA
(da Nel mondo della matenmatica vol,2 a cura di Clara Colombo Bozzolo… Erickson)
Tra le bancarelle del mercato, nonna Agostina trova un
portaposate molto semplice, ma funzionale.
Sulla confezione è disegnata la
rappresentazione schematica dell’utensile,
che vedi di fianco, e sulla quale è riportata
una misura reale.Nonna Agostina nota che
il disegno è formato da quattro rettangoli
congruenti.
Si ricorda che il fondo del cassetto in cui
vorrebbe riporre il portaposate è un
rettangolo largo 50cm e lungo 65cm.
Il portaposate starà in questo cassetto?
15cm
Rispondi alla domanda e spiega come hai proceduto…………………………..
………………………………………………………………………………….
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2
RETTANGOLI IN INCOGNITO
Le misure, in centimetri, delle lunghezze dei lati di un rettangolo sono
espresse da numeri interi. Il perimetro del rettangolo è 26 cm.
Quanti sono i rettangoli che corrispondono a questa descrizione?
* Qual è la somma della lunghezza di due lati consecutivi del rettangolo
descritto? ……………….
Perché?…………………………………………………………
* Per individuare i rettangoli descritti usa la seguente tabella: ℓ e ℓ’
indicano le lunghezze di due lati consecutivi del rettangolo.
Misura in
centimetri
di ℓ
1
2
3
4
5
6
di ℓ’
12
11
10
9
8
7
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3
Viste le richieste successive si determina la misura
dell’area in centimetri quadrati di ciascuno dei rettangoli
di ℓ
1
2
3
4
5
6
di ℓ’
12
11
10
9
8
7
Misura in
centimetri quadrati
dell’area
12
22
30
36
40
42
Misura in
centimetri
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4
Per ogni coppia di lunghezze che hai determinato, disegna su carta
centimetrata il rettangolo da essa individuato.
Quanti rettangoli hai trovato? ………………………………..
Un rettangolo R:
•ha i lati le cui lunghezze sono un numero intero di centimetri
•ha il perimetro di 22cm
•è equiesteso ad uno dei rettangoli precedenti.
Quanto sono lunghi i lati del rettangolo R?
* Rispondi alla domanda e spiega il ragionamento che hai fatto.
………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
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5
Per individuare il rettangolo R si può seguire il procedimento descritto
nella prima parte del problema; in questo caso le misure, in centimetri,
delle lunghezze di due lati consecutivi devono avere come somma 11:
di ℓ
1
2
3
4
5
di ℓ’
10
9
8
7
6
Misura in
centimetri quadrati
dell’area
10
18
24
28
30
Misura in
centimetri
Il rettangolo R è quello con i lati lunghi 5cm e 6cm.
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6
Un rettangolo Q:
•è quadrato
•ha il lato la cui lunghezza è un numero intero di centimetri
•è equiesteso ad uno dei rettangoli con perimetro 26cm.
Quanto è lungo il lato del rettangolo Q?
* Rispondi alla domanda e spiega il ragionamento che hai fatto.
Misura in
centimetri
di ℓ
1
2
3
4
5
6
di ℓ’
12
11
10
9
8
7
12
22
30
36
40
42
Misura in centimetri
quadrati dell’area
Il quadrato Q deve avere area 36cm2, dato che questo è l’unica misura della
prima parte che risulta essere il quadrato di un numero naturale.
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7
TRIANGOLI IN INCOGNITO
Le misure, in centimetri, delle lunghezze dei lati di un triangolo sono
espresse da numeri interi. Il perimetro del triangolo è 12 cm.
Quanti sono i triangoli che corrispondono a questa descrizione?
- Il triangolo descritto può avere un lato lungo 6cm? ………………. Perché?….
- Il triangolo descritto può avere un lato lungo più di 6cm? …Perché?……..
* Per individuare i triangoli descritti usa la seguente tabella: ℓ, ℓ’e ℓ” indicano
le lunghezze dei tre lati del triangolo.
di ℓ
Misura in
centimetri
di ℓ’
di ℓ”
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8
Analisi del compito e dei possibili sviluppi
I triangoli descritti nel problema hanno i lati lunghi meno di 6cm, affinché
sia rispettato il criterio di costruibilità; le misure, in centimetri, delle
lunghezze dei loro lati sono, dunque, tutte le terne di numeri, minori di 6 e
maggiore di 0, che hanno 12 come somma.
di ℓ
5
5
4
di ℓ’
5
4
4
di ℓ”
2
3
4
Nome del triangolo
a
b
c
Misura in
centimetri
Per ogni terna di lunghezze che
hai determinato, con gli
strumenti opportuni disegna il
triangolo da essa individuato.
Quanti triangoli hai trovato?
………………………………..
Contrassegna con una lettera
diversa ognuno dei triangoli
che hai trovato.
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9
Completa i seguenti diagrammi: inserisci nella zona opportuna la lettera che
individua ogni triangolo. Se è necessario usa il goniometro per misurare
l’ampiezza degli angoli dei triangoli
c

essere
isoscele
a

La classificazione
rispetto ai lati è
piuttosto
immediata
b

essere
rettangolo
essere
ottusangolo
b

c

a

Si osserva che per il triangolo c
la misura è inutile, perché in
quanto equilatero, esso è
sicuramente acutangolo.
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10
TRIANGOLI IN INCOGNITO
I triangoli a, b, c, d, e
- sono isoperimetrici e hanno perimetro minore di 30cm
- non sono tra loro congruenti
- hanno i lati le cui lunghezze sono espresse da un numero intero
di centimetri.
Inoltre:
il triangolo a è equilatero
i triangoli b e c sono entrambi isosceli e hanno almeno un lato lungo
10cm.
Qual è il perimetro dei triangoli?
* Rispondi alla domanda e spiega il ragionamento che hai fatto.
…………………………………………………………………………………
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11
TRIANGOLI IN INCOGNITO
Il triangolo b è acutangolo. Quanto sono lunghi i suoi lati?
Quanto sono lunghi i lati del triangolo c?
 Sul quaderno, con gli strumenti opportuni disegna i possibili triangoli isosceli
che rispettano tutte le caratteristiche descritte.
* Rispondi alle domande del problema e spiega il ragionamento che hai
fatto.………………………………………………………………………………
Il triangolo
-
d è rettangolo e ha due lati lunghi 6cm e 8cm
-
e ha due lati lunghi 4cm e 7cm.
Esistono questi triangoli?
È possibile costruire il triangolo rettangolo d? ……………… Perché? …….
Se hai risposto sì, qual è la lunghezza dell’ipotenusa del triangolo? …………
È possibile costruire il triangolo e? ……………………… Perché? ……
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12
TRIANGOLI IN INCOGNITO
Il problema consiste nel determinare i triangoli dl perimetro minore di
30cm e che hanno le lunghezze dei lati espresse da un numero intero di
centimetri.
Il fatto che tra i triangoli ce ne sia uno equilatero, significa che la
misura, in centimetri, del perimetro è un multiplo di 3:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27.
I triangoli b e c sono isosceli e non congruenti né tra loro né con quello
equilatero; da ciò si deduce che la misura, in centimetri, del perimetro
- è maggiore di 20, dato che i due lati congruenti possono essere lunghi
10cm
- è un numero pari, dato che, se i due lati non congruenti non sono
lunghi 10cm, la somma delle loro lunghezze è pari;
il perimetro è, pertanto, 24cm.
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13
Si ricava che
-
il triangolo equilatero a ha i lati lunghi 8cm
i due triangoli isosceli possono avere i lati lunghi 10cm, 10cm, 4cm, oppure
10cm, 7cm, 7cm; si dice che b è acutangolo, quindi è il triangolo con i lati lunghi 10cm,
10cm, 4cm, dato che l’altro triangolo isoscele è ottusangolo. Il triangolo c ha i lati
lunghi 10cm, 7cm, 7cm.
Per l’individuazione del triangolo d sono date informazioni superflue, ma gli alunni non
sono a conoscenza del teorema di Pitagora.
Non esiste il triangolo e perché le lunghezze dei suoi lati 4cm, 7cm, 13cm non rispettano
il criterio di costruibilità.
Per quanto riguarda l’area dei triangoli si ha
-
area del triangolo a: 27,71cm2
-
area del triangolo b: 9,95cm2
-
area del triangolo c: 24,49cm2
-
area del triangolo d: 424cm2
a meno di errori dovuti all’imprecisione nelle misure delle lunghezze delle altezze
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14
Problemi con le figure
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15
Puzzle geometrico di Sam Loyd
Il tuo lavoro è finito quando sarai
riuscito a costruire:
1 triangolo, 7 quadrilateri,
7 pentagoni e 3 esagoni.
Osserva i cinque pezzi
che formano il puzzle.
Ricopiali su un
cartoncino
centimetrato e
ritagliali.
Ora prova a costruire
dei poligoni convessi,
uno diverso dall’altro,
utilizzando ogni volta
tutti i cinque pezzi che
hai ritagliato
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16
TRIANGOLI
QUADRILATERI
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17
PENTAGONI
ESAGONI
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18
Successivamente si chiede di calcolare
1)
la misura dell’area in centimetri quadrati
2)
la misura del perimetro in centimetri
3)
è ora interessante chiedere di calcolare
•
velocemente... la misura dell’area di ogni poligono
costruito
•
nel modo più conveniente la misura del perimetro
degli stessi poligoni.
Si può concludere il lavoro facendo una partizione
dell’insieme dei 18 poligoni trovati, secondo la relazione “
... essere isoperimetrico a ...”.
Si potrà così ribadire che due o più poligoni che hanno la
stessa area non necessariamente hanno anche lo stesso
perimetro.
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19
Poligono
a
b
d
e
misura
dell’area
in Del
4 Torchio3
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Dova-Marinella
2
Mathesis Varese
2014
cmottobre-dicembre
5
20
7
Anche per la misura del perimetro
basta osservare che i tratti obliqui
rispetto alla quadrettatura sono
multipli dell’ipotenusa del triangolo
rettangolo fig.c .
La lunghezza di tale segmento si
calcola facilmente applicando al
triangolo c il Teorema di Pitagora:
mis. in centimetri dell’ipotenusa del
triangolo c = 2,2…= 5
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21
UN CICLAMINO SPECIALE
I petali del fiore sono …...
La foglia è un poligono …...
Il contorno del fiore è un
poligono ……..
Le due parti dello stelo sono
linee ……..
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22
Disegna i tre petali e scrivi il nome di ogni figura
Calcola la misura
dell’area di ciascun
quadrilatero in cm2
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23


Calcola la misura dell’area della
foglia in cm2

E’ più esteso il fiore o la foglia?
Calcola il perimetro del fiore e della foglia,
adopera il righello solo se necessario
 Un petalo del fiore ha un asse di simmetria,
evidenzialo con un colore
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24
La “bambolina
poligonale”
si trasforma
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25
Nella fig. 1 vedi il ritratto di una bambolina poligonale.
•Quanti poligoni formano il
ritratto?............
•Denomina ogni poligono con
una lettera minuscola e
precisa il nome e le
caratteristiche di ognuno.
•Colora con uno stesso colore i
poligoni equiestesi
•Scrivi la misura dell’area di ogni
poligono in unità - quadretto (cm2) e
deduci la misura dell’area della
bambolina.
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26
•Il ritratto della bambolina ha un
asse di simmetria: segnalo.
•Sai giustificare, senza usare le
misure, perché il perimetro della
gonnellina è maggiore di quello
delle braccia?
•Ricopia il ritratto della
bambolina su un foglio
centimetrato.
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27
•Ritaglia i singoli poligoni e ricomponili in modo da
formare un poligono convesso.
•Che poligono hai ottenuto?........... Ricopialo sul tuo
quaderno.
•Calcola la misura della sua area in quadretti.
Attenzione !...
•Il poligono convesso che hai trovato ha assi di
simmetria? ...
•Se la risposta è “sì” , segnalo.
Calcola la misura del perimetro del poligono trovato in
centimetri.
Lunghezze: lato quadretto 1cm; di conseguenza la
lunghezza della diagonale-quadretto, approssimata ai
millimetri è 1,4cm.
Fai vedere il procedimento
cheDova-Marinella
segui. Del Torchio
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Possibili risposte non uniche
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29
•Domanda per i docenti e per gli allievi di scuola media :
•Perché con questi pezzi è sicuramente impossibile
costruire un quadrato?
..............................................................
•Possiamo ora continuare l’attività proponendo di
ricopiare, sempre su carta centimetrata, solo il contorno
di ogni poligono e di verificare se la sua area è di 22
quadretti unitari, per differenza dall’area del rettangolo
meno esteso in cui tale poligono è contenuto.
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30
Esempi
Verifichiamo, per
differenza, che l’area di
ogni poligono è di 22
quadretti ( cm2).
Misura dell’area dei poligoni disegnati in
quadretti (cm2)
triangoli
poligono
rettangolo
6x5=30
7x5=35
6x4=24
2x4 = 8
2x2+4,50x2 =
13
2x1=2
30-8 = 22
ottagono
35-13=22
esagono
24-2 = 22
pentagono
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31
I seguenti poligoni sono isoperimetrici?
Giustifica la tua risposta
Fig.1
Fig.2
Fig.3
Fig.4
Vi sono poligoni equiestesi? Giustifica la tua rispoasta
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32
Da un poligono tante figure
domande
riposte
corrette
Quanti lati ha il
poligono?
95 %
Il suo nome è…
50 %
Quanti angoli?
85 %
40 %
Quanti angoli
sono retti?
Gli altri due
angoli sono
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25 %
33
Da un poligono tante figure
domande
riposte
corrette
Quanti lati ha il
poligono?
95 %
Il suo nome è…
50 %
Quanti angoli?
85 %
40 %
Quanti angoli
sono retti?
Gli altri due
angoli sono
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25 %
34
domande
riposte corrette
Quale delle due figure è la più estesa?
85 %
Il contorno della prima figura da quanti lq è
formata
50 %
E quello della seconda figura?
25 %
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35
domande
Questa figura è
più estesa o
meno estesa delle
precedenti?
risposte
corrette
30 %
Espressione per
il calcolo
dell’area in q
25 %
Espressione per
la misura del
perimetro
10 %
Un’altra
proprietà in
comune
0%
Costruzione errata per
errori di ritaglio 25 %
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36
Costruzione nuova
figura 12 %
Costruzione scatola
senza coperchio 100 %
Poligono da
aggiungere come
coperchio 100 %
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37
Disegni della scatola con coperchio corretti 90 %
40 %
45 %
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38
Disegno diverso
dagli altri 5 %
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39