PROGETTO
DiGiScuola
Gruppo di MATEMATICA
Liceo Ginnasio “Satriani”
con indirizzo Classico e Scientifico – Cassano J. (CS)
Docenti : Anna Rita Diana e Francesco Zaccaro
TUTOR: Prof. ANNA ALFIERI
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Cassano, Settembre2007
Dirigente Scolastico
Prof.ssa Agata Foti
TITOLO DEL PROGETTO:
TITOLO del progetto:
Le percentuali: che cosa sono?
INDICE
Premessa
La domanda
I prerequisiti
Gli obiettivi
Metodologia
Strumenti
Verifiche
Valutazione
Le percentuali
Esempi di semplici problemi risolubili mediante le percentuali
Un problema analizzato con il “Turbo Pascal”
Conclusioni
Bibliografia
PREMESSA
L’insegnamento della Matematica si è
sempre
estrinsecato e continua ad esplicitarsi in due
distinte direzioni:
a “leggere il libro della Natura” ed a
matematizzare la realtà esterna
a simboleggiare ed a formalizzare (attraverso
la costruzione di modelli interpretativi) i propri
strumenti di lettura
Tali direzioni, tuttavia, confluiscono,
intrecciandosi ed integrandosi in un unico
risultato: la formazione e la crescita
dell’intelligenza dei giovani.
Nella fase adolescenziale, nel biennio della
scuola secondaria superiore, l’insegnamento
della Matematica tende ad affinare varie
attività, caratterizzandole, ma nello stesso
tempo fondendole in un unico processo
culturale e formativo.
E’ importante ribadire la necessità che
l'insegnamento della matematica sia
condotto per “problemi” cercando, prima di
scoprire e poi di collegare e sistemare
razionalmente le nozioni teoriche e le
relazioni che sottostanno a ciascun
problema.
L'uso di strumenti informatici consente,
nella programmazione scolastica, di
rafforzare le abilità di formalizzazione e,
nell'applicazione di software matematico, di
esemplificare e visualizzare situazioni
teoriche e processi algoritmici; molto utile
ed innovativa a tal proposito è la LIM
(Lavagna interattiva multimediale).
LA DOMANDA
Per “leggere e interpretare il libro della natura”
spesso si parte da una domanda da cui
successivamente si procede per cercare di trovare una
risposta.
La “domanda” è il motore di ricerca che spinge un
uomo a trovare le adeguate risposte, è il primo passo
riconosciuto dal “metodo scientifico” per il quale tanti
grandi geni della nostra cultura hanno dato vita al
processo evolutivo dell’umanità.
Il metodo di lavoro successivo alla primordiale
domanda sarà basato su osservazioni, prove,
misurazioni, deduzioni, fino ad enunciare una legge,
una formula che riesca a sintetizzare lo studio
effettuato.
Iniziamo, dunque, il nostro percorso con
una domanda: <<Cosa sono le
percentuali?>>, la risposta più probabile
sarà: <<Le percentuali servono a calcolare
lo sconto…>>.
Eppure quante tematiche della vita
quotidiana possono essere affrontate ed
espresse mediante le percentuali?
Il tasso d’interesse di un prestito bancario
La pendenza di una strada
La concentrazione di una soluzione
(Chimica)
Un’informazione statistica
….
Le percentuali costituiscono una delle
applicazioni pratiche della matematica più
comuni nella società.
Frasi tipo “il 40% degli elettori è
favorevole…”, “la legge è stata approvata con
una maggioranza del 70%”, “il film è stato
visto dal 35% dei telespettatori”… fanno parte
del linguaggio quotidiano e sono sicuramente
comprensibili.
La diffusione delle percentuali è dovuta
anche al fatto che esse permettono di
effettuare confronti facili e immediati.
Affermare che: “in un Istituto 40 studenti su 500 hanno
conseguito valutazione ottima, mentre in un altro
Istituto 30 studenti su 300 hanno conseguito la stessa
valutazione” è meno chiara che esprimere lo stesso
concetto in percentuale, cioè che nel primo Istituto
l’8% ha avuto valutazione ottima, invece nel secondo
Istituto il 10%!
In un primo istante sembrerebbe che nel primo Istituto
ci siano più studenti (40) che abbiano ottenuto Ottimo,
rispetto al secondo (30); ma in realtà i dati letti in
percentuale affermano il contrario, infatti il dato
numerico ci dà un’informativa corretta se è letto
relativamente alla totalità del contesto in cui si
analizza.
Unità didattica: Le percentuali
I PREREQUISITI
In Matematica la programmazione che viene preparata
in una classe di qualunque ordine e grado non può
prescindere dal presupposto che siano richiesti dei
prerequisiti per poter meglio comprendere un nuovo
argomento da studiare.
Lo studio delle percentuali prevede che l’alunno abbia
già acquisito conoscenze e competenze per i seguenti
macro-argomenti:
Il concetto di Insieme
I numeri Naturali e Relativi, le operazioni e le proprietà
Concetto di multiplo e sottomultiplo
Il sistema di numerazione decimale
I numeri Razionali, il confronto fra due numeri, le varie operazioni e le
proprietà
I numeri periodici e il concetto di approssimazione
Il concetto di proporzionalità
Le figure geometriche piane
GLI OBIETTIVI
Una corretta programmazione deve aver chiari sin
dall’inizio gli obiettivi da raggiungere al termine della
trattazione di un paragrafo, di un capitolo o di un
modulo. Nel nostro caso possiamo prevedere di
raggiungere i seguenti obiettivi:
Approfondire le conoscenze sulle frazioni
Riconoscere frazioni proprie, apparenti, improprie
Attivare confronti tra frazioni
Operare con le frazioni, sfruttandone consapevolmente
le proprietà anche in relazione alla risoluzione di
problemi vari
Acquisire abilità nel condurre semplici elaborazioni
statistiche…
METODOLOGIA
Credo sia importante ribadire la necessità che l'insegnamento della
Matematica sia condotto per “problemi” cercando, prima di scoprire e
poi di collegare e sistemare razionalmente le nozioni teoriche e le
relazioni che sottostanno a ciascun problema.
L'insegnamento per problemi, evidentemente, non esclude la lezione
frontale né il ricorso ad esercizi di tipo applicativo per consolidare le
nozioni apprese.
Gli stessi argomenti, inoltre, saranno più volte affrontati in un
percorso a spirale per sistemarli, alla fine, in un quadro teorico
complessivo.
L'uso di strumenti informatici consente, nella programmazione in
un linguaggio evoluto, di rafforzare le abilità di formalizzazione, e,
nell'applicazione di software matematico, di esemplificare e
visualizzare situazioni teoriche e processi algoritmici.
Ove possibile, dunque,il processo sarà rinforzato mediante l'utilizzo
dell'elaboratore elettronico che avverrà :
impiegando software già predisposto, soprattutto di simulazione per
permettere la "visualizzazione" di leggi e modelli;
progettando algoritmi, specie di tipo grafico di rappresentazione dei
dati.
STRUMENTI
L’azione didattica ed educativa si svolgerà utilizzando i
seguenti strumenti didattici:
lezione / informazione partecipata
lavori di gruppo o singoli in classe
e i seguenti strumenti tecnici:
libro di testo
strumentazione didattica per esperienze di laboratorio
strumentazione on-line per esperienze di laboratorio e
software elaborazione dati (Excel; Programma Turbo
Pascal…)
IWT con i CDD Frazioni e proporzioni, Operazioni tra
numeri razionali, le operazioni con gli interi, mcm e MCD.
materiale audiovisivo e software divulgativo e di
simulazione, ad integrazione dell'attività di laboratorio.
VERIFICHE
Serviranno a constatare le abilità e le competenze
acquisite dagli alunni e a definire nuovi interventi finalizzati
al superamento di eventuali difficoltà, quindi costituiranno
un mezzo necessario al docente per accertare l'efficacia
dei metodi adottati. La valutazione, pertanto, non sarà
diretta soltanto a giudicare il profitto degli alunni , ma
anche il processo didattico nel suo complesso e nelle sue
parti.
Le verifiche si articoleranno in tre diverse fasi:
1. Verifiche di ingresso, da effettuare all'inizio dell'anno
per accertare le abilità di base esistenti e relative alle
competenze espressive, comunicative e sociali,
logiche e del piano percettivo e psicomotorio. Esse
saranno anche diagnostiche in quanto consentiranno
di accertare eventuali lacune e di avviare attività di
recupero.
2. Verifiche intermedie sul rendimento degli
alunni, fatte in itinere o per ogni fase
significativa del lavoro svolto in classe.
Esse sono:
di sondaggio, per misurare le
differenze di rendimento tra gli allievi;
formative,
per
registrare
i
risultati
dell'apprendimento e accertare il livello minimo di
padronanza dei contenuti;
sommative,
per
rilevare
l'avvenuto
conseguimento degli obiettivi prefissati .
Consisteranno in:
Prove scritte con produzione di elaborati di tipo
oggettivo e soggettivo.
Prove orali effettuate attraverso colloqui,
relazioni, test, questionari, discussioni collettive.
VALUTAZIONE
La valutazione seguirà il processo delle verifiche, che
consentiranno di accertare il conseguimento o meno degli
obiettivi, ma sarà completata anche dalla rivelazione dei
traguardi educativi raggiunti.
Essa sarà così articolata:
Valutazione di ingresso, si basa sulle verifiche effettuate
all'inizio dell'anno che comprendono le competenze
trasversali e quelle linguistico-espressive. Tale valutazione
consentirà o di iniziare con le nuove informazioni o di
avviare un'attività di recupero che consenta di
omogeneizzare i livelli degli alunni.
Valutazione in itinere, effettuata sulle verifiche e al
termine dell’Unità Didattica
consentirà di decidere se iniziare subito una nuova U.D. o
se procedere ad un recupero tempestivo , per portare tutti
gli alunni al possesso dei prerequisiti necessari ad una
nuova informazione.
Valutazione formativa, collocata all'interno del processo
educativo e didattico, fornirà un'informazione continua del modo
in cui ciascun alunno procede nell'itinerario di apprendimento.
Valutazione sommativa.
Partendo dalla situazione iniziale dell'alunno, saranno
considerati i progressi fatti registrare in itinere e l'avvenuto
conseguimento degli obiettivi prefissati. Inoltre si terrà conto
dell'interesse e del senso di responsabilità mostrati nel corso
delle attività didattiche, della acquisizione di un proficuo metodo
di studio, dell'impegno profuso, del grado di autonomia
raggiunto dai singoli alunni, della loro crescita umana e
scolastica e quindi della loro formazione, sia culturale che etica.
Dopo aver stabilito il percorso di lavoro si potrà
procedere con una semplice trattazione dell’argomento
(“semplice” perché ci vogliamo rivolgere ad alunni del
biennio delle scuole secondarie di II grado).
LE PERCENTUALI
Def.:
LE PERCENTUALI SONO FRAZIONI che hanno denominatore
uguale a 100.
(Su un totale di elementi la percentuale indica quante unità,
rispetto al numero 100, soddisfano una certa condizione)
Ad esempio sono tali le seguenti frazioni:
,
Le frazioni con denominatore 100 potranno essere scritte
in forma diversa utilizzando il simbolo di percentuale:
14%,
80% …
Tuttavia qualunque frazione può essere trasformata in
percentuale, grazie alle proprietà delle operazioni, moltiplicando e
dividendo per il numero 100:
Con questo esempio notiamo come il numero 9 assume un
significato quantitativo (in percentuale) che dipende dalla totalità
degli elementi cui è riferito; ripetendo dunque lo stesso tipo di
trasformazione per una frazione che ha un denominatore diverso dal
precedente, il “9” ci fornirà una percentuale ovviamente diversa:
= (
9  9
2,5


100  :100   0,025 100  :100 
 2,5%
360  360
100

Quindi per ben capire il concetto di percentuale occorre già aver acquisito in
precedenza il concetto di Insieme (vedi “Prerequisiti”).
Nello specifico cosa significa
?
Tale frazione sta ad indicare che si scelgono 9 elementi su un totale
di 360.
In generale la frazione individua una totalità di elementi divisa in un
certo numero di parti, di cui se ne considerano solo alcune; ad
esempio
“i
di un quadrato” prevedono che il quadrato sia diviso in
9 parti uguali (denominatore) e se ne considerino 5 (il
numeratore):
Anche sulla retta numerica tale numero frazionario si può individuare
dividendo l’unità in 9 parti e considerandone 5( “i
0
dell’unità):
1
Abbiamo compreso con questi esempi che il dato
numerico considerato è riferito ad un altro dato
numerico che rappresenta la totalità dell’Insieme.
Ciò può essere espresso anche mediante
una proporzione:
5:9 = x:1 (se la totalità di riferimento è
l’unità numerica)
5:9 = x:100 ( se si vuole ottenere il dato in
percentuale la totalità corrisponde a 100)
Occorre altresì precisare che il numero
ottenuto dalla divisione 5:9 è un numero
periodico semplice, cioè 0,55555… che
richiede un’approssimazione (si presume
che l’argomento sia stato già trattato in
precedenza).
Esaminiamo ora il seguente esempio:
Affermare, relativamente ad un risultato elettorale, che il partito “A”
ha ottenuto 1500 voti non ci fa capire molto dal punto di vista
quantitativo; ma se si specifica che i 1500 voti son riferiti ad un totale
di 4000 votanti già riusciamo a farci un’idea, che sarà ancora più
chiara riportando i dati in percentuale:
37,5%
in tal modo riusciamo immediatamente a capire che il 62,5%
(100-37,5=62,5) ha espresso voti ad altri partiti politici.
Interessante è la modalità di rappresentazione che si può
fare per una serie di dati gestiti statisticamente: Tabelle,
Grafici lineari, Grafici a torta, Istogrammi …
Molto utile è, in tal senso, il programma “Excel”, con il quale
proponiamo l’esempio dei dati elettorali che abbiamo appena
citato (nella tabella seguente la seconda riga specifica i
risultati ottenuti dai partiti, la terza riga le percentuali e di
seguito tre esempi di grafici che rappresentano la medesima
tabella):
Partito A
Partito B
Partito C
Partito D
Totale elettori
1500
800
580
1120
4000
37,5
20
14,5
28

Esempi di semplici problemi risolubili mediante
le percentuali
Calcola quanto guadagna un risparmiatore che
deposita per un anno un capitale di 8000€ , sapendo
che la banca corrisponde un tasso d’interesse annuo
dell’1.5%
Si può risolvere impostando una proporzione:
1.5 :100 = x: 8000
Cioè: il rapporto fra la percentuale d’interesse e la
totalità (che corrisponde a 100) è uguale al rapporto
fra il guadagno (Interesse da calcolare) e la totalità
del deposito; quindi si ottiene
x= (8000*1.5)/100 = 120€ (guadagno)
Pertanto dopo un anno il risparmiatore avrà un totale
di 8120€
In 784 grammi di acqua vengono disciolti 336 grammi
di zucchero. Qual è la percentuale di zucchero rispetto al
peso complessivo?
Si calcola il peso complessivo della miscela: 784g + 336g =
1120g (che rappresenta la totalità)
E poi si calcola la percentuale come frazione
 336

100  :100  30%

 1120

Analogamente si può impostare una proporzione, che conduce allo
stesso risultato
336: 1120 = x: 100
cioè x =30 che corrisponde alla percentuale cercata, ossia dello
zucchero rispetto al peso complessivo.
Calcola lo sconto del 25%
d’abbigliamento che costa 190€.
su
un
capo
Si può impostare una proporzione
25: 100 = x: 190
da cui x= (25*190):100 = 47.50 € corrisponde allo sconto
da detrarre al prezzo precedente di 190€.
Il prezzo definitivamente scontato sarà di 142.50€
UN PROBLEMA ANALIZZATO CON IL “TURBO
PASCAL”
Una condominio è costituito da 3 appartamenti di misura
diversa appartenenti a persone diverse (che chiamiamo
A, B, C). Per il riscaldamento centralizzato sono stati
spesi in un anno 9600€, quale quota deve pagare ciascun
condomino sapendo che l’appartamento di A misura 150
metri quadrati, l’appartamento di B misura 180 metri
quadrati, e l’appartamento di C misura 140metri quadrati?
Schema della situazione:
A possiede
135 mq
B “
198 mq
C “
117 mq
Totale ……….. 450 mq
Percentuale della proprietà di ogni condomino:
A (135:450) x 100
30%
B (198:450) x 100
44%
C (117:450) x 100
26%
Calcolo della spesa di ogni condomino, riferita alla
percentuale della sua proprietà:
Spesa di A 9600 x 30 :100 = 2880€
Spesa di B 9600 x 44 :100 = 4224€
Spesa di C 9600 x 26 :100 = 2496€
Totale…………………………..= 9600€
Linguaggio di progetto “Turbo Pascal” generalizzato a
qualunque misura di proprietà in un condominio a 3 piani
e a qualunque spesa annua (progettato da noi, non tratto
dai libri):
Program spesacondominiale;
uses crt;
var A, B, C, Tot, Consumo, percA, percB, percC, spesA,
spesB, spesC: real;
Begin;
clrscr;
writeln(‘Introduci la proprietà di A in metri quadrati’);
radln(A);
writeln(‘Introduci la proprietà di B in metri quadrati’);
radln(B);
writeln(‘Introduci la proprietà di C in metri quadrati’);
radln(C);
Tot:= A+B+C;
writeln(‘La casa misura complessivamente metri quadrati
=’,Tot:4:2);
PercA:= (A/Tot)*100;
writeln(‘La percentuale di proprietà di A è =’,PercA:4:2);
PercB:= (B/Tot)*100;
writeln(‘La percentuale di proprietà di B è =’,PercB:4:2);
PercC:= (C/Tot)*100;
writeln(‘La percentuale di proprietà di C è =’,PercC:4:2);
writeln(‘Il consumo totale è =’);
readln(Consumo);
SpesA:= (Consumo*PercA)/100;
writeln(‘Il condomino A deve pagare euro ’,SpesA:4:2);
SpesB:= (Consumo*PercB)/100;
writeln(‘Il condomino B deve pagare euro ’,SpesB:4:2);
SpesC:= Consumo- (SpesA+SpesB);
writeln(‘Il condomino C deve pagare euro ’,SpesC:4:2);
readln;
END.
CONCLUSIONI
I numeri intervengono praticamente in quasi tutte le nostre
attività quotidiane; bisogna dunque acquisire le necessarie
competenze per agire razionalmente ed anche per non
incorrere in errori di valutazione che possano trarci in inganno.
Con i numeri si eseguono calcoli che ci consentono di
risolvere problemi; la diffusione delle calcolatrici ci evita di
eseguirli manualmente, tuttavia anche con l’uso di qualsiasi
strumento è opportuno stare attenti e mantenere vivo lo spirito
critico. “Attribuire” numeri significa innanzitutto “precisare”, ma
anche “controllare” e “prevedere”.
<<Se solo saremo capaci, come docenti, di far nascere negli
studenti un barlume di passione verso la “scienza dei numeri”, anche
senza ottenere grandi risultati, avremo già vinto!>> (A.Rita Diana)
BIBLIOGRAFIA
“Orizzonti della Matematica, Algebra1”- Palladino, Scotto,
Frixione- Ed. Principato
“Moduli di Matematica”, Mod.1A”- Trovato, Marchioni- Ed.
Minerva Italica