Le percentuali: che cosa sono?
Casoria, Marzo 2010
Tutor d’Istituto
Prof.ssa Sannino Patrizia
Le percentuali costituiscono una delle
applicazioni pratiche della matematica più
comuni nella società.
Frasi tipo “il 40% degli elettori è
favorevole…”, “la legge è stata approvata con
una maggioranza del 70%”, “il film è stato
visto dal 35% dei telespettatori”… fanno parte
del linguaggio quotidiano e sono sicuramente
comprensibili.
La diffusione delle percentuali è dovuta
anche al fatto che esse permettono di
effettuare confronti facili e immediati.
Affermare che: “in un Istituto 40 studenti su 500 hanno
conseguito valutazione ottima, mentre in un altro
Istituto 30 studenti su 300 hanno conseguito la stessa
valutazione” è meno chiara che esprimere lo stesso
concetto in percentuale, cioè che nel primo Istituto
l’8% ha avuto valutazione ottima, invece nel secondo
Istituto il 10%!
In un primo istante sembrerebbe che nel primo Istituto
ci siano più studenti (40) che abbiano ottenuto Ottimo,
rispetto al secondo (30); ma in realtà i dati letti in
percentuale affermano il contrario, infatti il dato
numerico ci dà un’informativa corretta se è letto
relativamente alla totalità del contesto in cui si
analizza.
Unità didattica: Le percentuali
I PREREQUISITI
In Matematica la programmazione che viene preparata
in una classe di qualunque ordine e grado non può
prescindere dal presupposto che siano richiesti dei
prerequisiti per poter meglio comprendere un nuovo
argomento da studiare.
Lo studio delle percentuali prevede che l’alunno abbia
già acquisito conoscenze e competenze per i seguenti
macro-argomenti:
Il concetto di Insieme
I numeri Naturali e Relativi, le operazioni e le proprietà
Concetto di multiplo e sottomultiplo
Il sistema di numerazione decimale
I numeri Razionali, il confronto fra due numeri, le varie operazioni e le
proprietà
GLI OBIETTIVI
Approfondire le conoscenze sulle frazioni
Riconoscere frazioni proprie, apparenti, improprie
Attivare confronti tra frazioni
Operare con le frazioni, sfruttandone consapevolmente
le proprietà anche in relazione alla risoluzione di
problemi vari
Acquisire abilità nel condurre semplici elaborazioni
statistiche…
METODOLOGIA
La strategia adottata ha condotto l’alunno per problemi da scoprire ,
da collegare e sistemare razionalmente progettando algoritmi di tipo
grafico per rappresentare i dati
STRUMENTI
Didattica laboratoriale
Lezione frontale
Problem solving
Presentazioni in Power Point
uso della LIM
LE PERCENTUALI
Def.:
LE PERCENTUALI SONO FRAZIONI che hanno denominatore
uguale a 100.
(Su un totale di elementi la percentuale indica quante unità,
rispetto al numero 100, soddisfano una certa condizione)
Ad esempio sono tali le seguenti frazioni:
,
Le frazioni con denominatore 100 potranno essere scritte
in forma diversa utilizzando il simbolo di percentuale:
14%,
80% …
Tuttavia qualunque frazione può essere trasformata in
percentuale, grazie alle proprietà delle operazioni, moltiplicando e
dividendo per il numero 100:
Con questo esempio notiamo come il numero 9 assume un
significato quantitativo (in percentuale) che dipende dalla totalità
degli elementi cui è riferito; ripetendo dunque lo stesso tipo di
trasformazione per una frazione che ha un denominatore diverso dal
precedente, il “9” ci fornirà una percentuale ovviamente diversa:
= (
9  9
2,5


100  :100   0,025 100  :100 
 2,5%
360  360
100

Quindi per ben capire il concetto di percentuale occorre già aver acquisito in
precedenza il concetto di Insieme (vedi “Prerequisiti”).
Nello specifico cosa significa
?
Tale frazione sta ad indicare che si scelgono 9 elementi su un totale
di 360.
In generale la frazione individua una totalità di elementi divisa in un
certo numero di parti, di cui se ne considerano solo alcune; ad
esempio
“i
di un quadrato” prevedono che il quadrato sia diviso in
9 parti uguali (denominatore) e se ne considerino 5 (il
numeratore):
Anche sulla retta numerica tale numero frazionario si può individuare
dividendo l’unità in 9 parti e considerandone 5( “i
0
dell’unità):
1
Abbiamo compreso con questi esempi che il dato
numerico considerato è riferito ad un altro dato
numerico che rappresenta la totalità dell’Insieme.
Esaminiamo ora il seguente esempio:
Affermare, relativamente ad un risultato elettorale, che il partito “A”
ha ottenuto 1500 voti non ci fa capire molto dal punto di vista
quantitativo; ma se si specifica che i 1500 voti son riferiti ad un totale
di 4000 votanti già riusciamo a farci un’idea, che sarà ancora più
chiara riportando i dati in percentuale:
37,5%
in tal modo riusciamo immediatamente a capire che il 62,5%
(100-37,5=62,5) ha espresso voti ad altri partiti politici.
Interessante è la modalità di rappresentazione che si può
fare per una serie di dati gestiti statisticamente: Tabelle,
Grafici lineari, Grafici a torta, Istogrammi …
Molto utile è, in tal senso, il programma “Excel”, con il quale
proponiamo l’esempio dei dati elettorali che abbiamo appena
citato (nella tabella seguente la seconda riga specifica i
risultati ottenuti dai partiti, la terza riga le percentuali e di
seguito tre esempi di grafici che rappresentano la medesima
tabella):
Partito A
Partito B
Partito C
Partito D
Totale elettori
1500
800
580
1120
4000
37,5
20
14,5
28

Esempi di semplici problemi risolubili mediante
le percentuali
Calcola quanto guadagna un risparmiatore che
deposita per un anno un capitale di 8000€ , sapendo
che la banca corrisponde un tasso d’interesse annuo
dell’1.5%
Si può risolvere impostando una proporzione:
1.5 :100 = x: 8000
Cioè: il rapporto fra la percentuale d’interesse e la
totalità (che corrisponde a 100) è uguale al rapporto
fra il guadagno (Interesse da calcolare) e la totalità
del deposito; quindi si ottiene
x= (8000*1.5)/100 = 120€ (guadagno)
Pertanto dopo un anno il risparmiatore avrà un totale
di 8120€
In 784 grammi di acqua vengono disciolti 336 grammi
di zucchero. Qual è la percentuale di zucchero rispetto al
peso complessivo?
Si calcola il peso complessivo della miscela: 784g + 336g =
1120g (che rappresenta la totalità)
E poi si calcola la percentuale come frazione
 336

100  :100  30%

 1120

Analogamente si può impostare una proporzione, che conduce allo
stesso risultato
336: 1120 = x: 100
cioè x =30 che corrisponde alla percentuale cercata, ossia dello
zucchero rispetto al peso complessivo.
Calcola lo sconto del 25%
d’abbigliamento che costa 190€.
su
un
capo
Si può impostare una proporzione
25: 100 = x: 190
da cui x= (25*190):100 = 47.50 € corrisponde allo sconto
da detrarre al prezzo precedente di 190€.
Il prezzo definitivamente scontato sarà di 142.50€
Percentuale della proprietà di ogni condomino:
A (135:450) x 100
30%
B (198:450) x 100
44%
C (117:450) x 100
26%
Calcolo della spesa di ogni condomino, riferita alla
percentuale della sua proprietà:
Spesa di A 9600 x 30 :100 = 2880€
Spesa di B 9600 x 44 :100 = 4224€
Spesa di C 9600 x 26 :100 = 2496€
Totale…………………………..= 9600€
Risultati ottenuti
I ragazzi hanno acquisito la consapevolezza che i numeri
intervengono praticamente in quasi tutte le attività quotidiane
e che bisogna di acquisire le necessarie competenze per agire
razionalmente ed anche per non incorrere in errori di
valutazione che possano trarre in inganno