Intorno alla trigonometria della parabola II parte
Trigonometry of parabola II part
Guido Carolla1
Sunto. Il presente lavoro segue la prima parte, “Le funzioni paraboliche”, già pubblicata
dall’Editrice Rotas-Barletta nel settembre 2001, con gli Atti del Congresso Nazionale di
Matematica “Il ruolo della Matematica nella società contemporanea”, tenutosi a Barletta dal 17 al
19 ottobre 2000 ed ora, nella sezione “Approfondimenti”, di www.matematicamente.it. In questa
seconda parte, riporteremo, per brevità, solo l’essenziale intorno alla trigonometria della parabola,
seppure in relazione all’angolo u di un settore della parabola trigonometrica 2x+y2=1 (relazione
fondamentale della trigonometria della parabola), per cui, rifacendoci a Giovanni Egidi, daremo
alcune relazioni con le funzioni trigonometriche. Infine, saranno date le formule differenziali ed
integrali sulle funzioni paraboliche dirette ed inverse. Tenendo presente la periodicità delle suddette
funzioni, si concluderà, ipotizzando una possibile loro utilizzazione, anche attraverso la
trigonometria della parabola, nelle considerazioni teoriche in cui intervengano valori periodici.
Nell’Appendice vi è una sintesi dell’argomento con le funzioni paraboliche dipendenti dalle
circolari ed indipendenti da queste. Seguono alcuni chiarimenti e passaggi in particolare su come si
perviene ai risultati finali delle derivate e degli integrali delle stesse funzioni paraboliche e due
listati di programma in Qbasic, che permettono di trovare le funzioni paraboliche di ogni
argomento, sia esso l’angolo u in gradi sessagesimali, in radianti, o in relazione all’area t, e infine
alcuni esempi in output.
Abstract. The following paper completes what already said in the first published work "The
parabolic functions" (edited by Rotas-Barletta September 2001), as part of the Acts of the National
Conference of Mathematics about "Maths role in the today society", held in Barletta 17th-19th
October 2000, work which is also available online in the section "Approfondimenti: idee
interessanti", on www.matematicamente.it. In this second part, it will be only developed, due to the
available space, the core concept of trigonometry of the parabola, although seen in relation to the u
angle of a section of the trigonometric parabola 2x+y2=1 (the fundamental equation of the
trigonometry of parabola). Referring to Giovanni Egidi's works, some relationships to the
trigonometric functions will be also introduced together with some differentials and integrals
formulas applied onto the direct and indirect parabolic functions. Bearing in mind the periodicity of
the functions introduced, it will be offered to readers the opportunity to consider their potential
uses, also relating to the trigonometry of the parabola, in developing theoretical considerations
about scenarios where periodic values apply. In the Appendix, some cases when parabolic functions
and circular functions are dependent and independent will be offered. Topics include also step by
step calculation of derivatives and integrals of parabolic functions and a QBasic code (and related
examples of outputs) which solves any parabolic function having the u angle in radians or in
sexagesimal degrees as the argument, or as a dependent value of the t area.
-------------------------------------------------------------------------------[1] Secondary School Maths Teacher and retired Headmaster living in Lecce (Italy). E-mail: [email protected]
1
Docente di Matematica e Preside a r.(non troppo) LECCE. E-mail: [email protected]
www.matematicamente.it
1
1.Premessa
Dell’argomento l’autore si occupò in primis in occasione del Convegno Nazionale Mathesis “Le
problematiche dell’insegnamento della Matematica nella nuova scuola secondaria superiore”
tenutosi a Paestum (CE) dal 18 al 22 aprile 1983 c/o l’ETAP Hotel Club via Spineta Nuova di
Battipaglia, presentando una relazione, che fu allegata agli Atti che non furono pubblicati per
mancanza di fondi2. Ora, a distanza di alcuni anni, dopo aver ottenuto la pubblicazione della prima
parte nel 2001, viene alla luce, ampliata riveduta e corretta, la seconda parte, le cui copie delle
figure a colori sono state eseguite dal Prof. Marcello Pedone3, al quale va un sentito ringraziamento.
2.Osservazione
Nel corso del presente lavoro si riporteranno solo una sintesi essenziale della trigonometria della
parabola, con un breve riepilogo dei risultati già ottenuti nella prima parte.
Alcune formule sono state trovate per mezzo di relazioni tra le funzioni circolari e quelle
paraboliche. Le funzioni paraboliche relative all’angolo u si possono intendere riferite
indifferentemente anche all’area t che è il doppio di quella di un settore parabolico: infatti, proprio
l’argomento t ha permesso che dette funzioni possano essere indipendenti da quelle circolari.
3. Indicazioni grafiche delle funzioni paraboliche e di quelle trigonometriche
Le figure in neretto 1 e 2 vengono riproposte per riallacciare la teoria a “Le funzioni paraboliche”
I parte.
y
A
T
D
M
FUOCO
P(x,y)
x
u
N
O
V(1/2,0)
t
P1
DIR ETTRICE
p =1
f ig .1
2
Alcune copie vennero consegnate agli I.T.I. di Lecce e di Como, all’I.T.C. di Maglie sez. staccata di Martano (LE),
agli ex Presidenti della Mathesis Nazionale Prof. Bruno Rizzi, Prof. Silvio Maracchia, al Centro Europeo di
Programmazione di Frascati ed al famoso matematico e Docente nella Scuola Normale di Pisa Prof. Ennio De Giorgi, in
occasione di un lungo incontro che l’autore ebbe nella casa del matematico, a Lecce il 5 settembre 1984, nel quale
incontro lo studioso fu prodigo di suggerimenti, redigendo undici pagine per lo più di osservazioni e grafici sulle
relazioni tra le funzioni circolari, le iperboliche, le paraboliche e per verificare o integrare le argomentazioni trattate nel
lavoro (l’autore conserva come reliquie gli appunti dello scienziato).
3
Ordinario di Matematica negli istituti superiori e coautore di www.matematicamente.it
www.matematicamente.it
2
Nella fig.1 è riportata la parabola trigonometrica 2x+y2=1.
y
A
T
D
P (x,y)
M
FUOCO
O
u
x
V
N
t
P1
DIRE TTRI CE
p=1
fig2
Nella fig.2 sono riportati la parabola e il cerchio trigonometrici.
4. Estensione ad un angolo che può superare 90° e definizioni delle funzioni paraboliche
La figura n. 3 viene riproposta anche per evidenziarne alcune particolarità
fig. 3
www.matematicamente.it
3
Tenendo presente la fig. 3 e per un p qualunque, si ripropongono le definizioni:
OP
= = ρ (u ) (raggio vettore)
p
ON
cosp u=x
p
PN
= sinp u=y
p
2⋅x
AD
=cotp u =
p
x+ y
VT
y
= tanp u =
p
2x
1− x
OT
=secp u=
p
2x
1− x
OD
=cscp u=
p
x+ y
Ora, si daranno alcuni chiarimenti sul significato delle definizioni delle funzioni paraboliche e del
raggio vettore di cui sopra, partendo dalle funzioni paraboliche generalizzate.
(y )
x=−
2
p
, avente per asse di simmetria l’asse x, il fuoco
2p 2
coincidente con l’origine degli assi, la direttrice di equazione x=p e il vertice V(p/2,0), si indicano
con ρ (u ) , sinp u, cosp u, tanp u, cotp u, secp u, cscp u il raggio vettore e le sei funzioni paraboliche
riferiti al parametro p=1, mentre gli stessi simboli soprassegnati, al pari dei relativi valori espressi
in funzione di x , y indicano rispettivamente il raggio vettore e le funzioni chiamate generalizzate
in relazione ad un parametro p > 1 .
Quindi, impostando il sistema tra l’equazione di cui sopra e quella della retta passante per l’origine
degli assi y = (tan u )x , sulla quale giace il segmento OP che è il raggio vettore, si ha:
Facendo riferimento alla parabola
()
2
⎧
y
p
⎪x = −
+
⎨
2p 2
⎪
⎩ y = (tan u )x
()
(
⎧⎪ y 2 = p p − 2 x
; cioè ⎨
⎪⎩ y = (tan u )x
)
+
(
che sostituito nella seconda equazione dà y1, 2 =
y1, 2 = sinp u =
)
(
)
()
; p p − 2 x = (tan u ) x
2
2
; x1, 2 =
(
)
− p 1 ± 1 + tan 2 u
,
tan 2 u
)
(
− p 1 ± 1 + tan 2 u
. Per quanto detto sopra si ha
tan u
− p 1 ± 1 + tan 2 u
,
tan u
)
(
⎡ con − se u è nel I e IV quadrante ⎤
⎢con + se u è nel II e III quadrante⎥ .
⎣
⎦
− p 1 ± 1 + tan 2 u
,
tan 2 u
Ora, applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OPN si ha
e x1, 2 = cosp u =
OP =
OP =
(x ) + (y ) , nella quale sostituendo il valore di (y )
(x ) + p − 2 p x = (p − x ) = p − x = ρ (u ) .
2
2
2
2
2
possiamo scrivere
2
Quindi a seguire, facendo alcune considerazioni, si possono definire il raggio vettore e le sei
funzioni paraboliche:
OP p − x ρ (u ) p − cosp u
=
=
=
= 1 − x = 1 − cosp u = ρ (u ) ;
p
p
p
p
www.matematicamente.it
4
PN y sinp u
ON x cosp u
= =
= y = sinp u ;
= =
= x = cosp u ;
p
p
p
p
p
p
per la similitudine dei triangoli rettangoli ONP e VOT si ha VT : OV = PN : ON , cioè
sinp u
p
, quindi
tanp u : = sinp u : cosp u ; tanp u =
2
2cosp u
sinp u
tanp u
VT
y
y
=
=
=
=
= tanp u ;
2x
p
p
2 p x 2 pcosp u
Impostando e risolvendo il sistema delle equazioni delle rette sulle quali giacciono i segmenti
⎧ y = −x + p
⎛ px
py ⎞
⎟ , che con le
AD e OD , cioè ⎨
, si hanno le coordinate del punto D ⎜⎜
,
⎟
+
+
x
y
x
y
y
=
2
tanp
u
⋅
x
⎝
⎠
⎩
2
2
⎛ px ⎞ ⎛
py ⎞
⎟ +⎜p−
⎟ , che con semplici
coordinate di A(0, p) permettono di avere AD = ⎜⎜
⎟ ⎜
⎟
+
x
y
x
y
+
⎝
⎠ ⎝
⎠
passaggi dà AD =
p 2x
p 2 cosp u
= cotp u =
, quindi
x+ y
sinp u + cosp u
AD cotp u
2x
=
=
= cotp u ;
p
p
x+ y
per la similitudine dei triangoli rettangoli ONP e VOT si ha
p
p p − cosp u
OT : OP = OV : ON , cioè secp u : p − cosp u = : cosp u ; secp u =
, quindi
2
2cosp u
(
)
(
)
OT secp u p − x 1 − x
=
=
=
= secp u ;
p
p
2x
2x
infine, utilizzando le coordinate di D di cui sopra e quelle dell’origine O(0, 0) si può ottenere la
2
2
⎛ px ⎞ ⎛ p y ⎞
⎟ +⎜
⎟ , da cui con semplici passaggi si ha
distanza OD = ⎜⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝x+ y⎠ ⎝x+ y⎠
p( p − x)
p( p − cosp u )
OD =
, quindi
= cscp u =
x+ y
sinp + cosp u
OD cscp u 1 − x
=
=
= cscp u .
p
p
x+ y
Il raggio vettore, le funzioni paraboliche generalizzate ( p > 1 ), l’area t(u,p) ed i rapporti delle
suddette funzioni con p che costituiscono le definizioni, possono essere calcolati, digitando in input
u in radianti e p, con un listato di programma in QBasic che sarà riportato in fondo all’Appendice di
questo lavoro.
Quanto sopra esposto permette di definire le funzioni paraboliche canoniche come segue:
il raggio vettore e le funzioni paraboliche relative ad un qualunque argomento in radianti, in gradi
sessagesimali o secondo il doppio dell’area del corrispondente settore parabolico costituiscono i
www.matematicamente.it
5
rapporti dei relativi segmenti con il parametro p che è l’ascissa dei punti costituenti la retta direttrice
(y )
della parabola trigonometrica di equazione x = −
2
2p
+
p
.
2
5. Relazioni tra l’angolo u di un settore parabolico e t che è il doppio dell’area dello stesso
settore
⎛ sinp t ⎞
-1 ⎛ sinp t ⎞
⎟⎟
⎟⎟ = tan -1 ⎜⎜
u = tanp ⎜⎜
⎝ cosp t ⎠
⎝ 2cosp t ⎠
sinp u ⎛ sinp 2 u ⎞ 1 − cos u ⎡ (1 − cos u )2 ⎤
⎟=
t=
⋅ ⎜⎜1 +
⎟ 2 sin u ⎢1 + 3 sin 2 u ⎥ .
2
3
⎢⎣
⎥⎦
⎝
⎠
6. Definizione delle funzioni paraboliche relative all’area t
sinp t = 3 3t + 9 t 2 + 1 + 3 3t − 9 t 2 + 1 ;
1
cosp t = [1 - ( 3 3t + 9 t 2 + 1 + 3 3t − 9 t 2 + 1
2
sinp t
2cosp t
tanp t =
; cotp t =
;
2cosp t
sinp t + cosp t
1 - cosp t
1 - cosp t
secp t =
; cscp t =
.
2cosp t
sinp t + cosp t
)2 ] ;
7. Alcune relazioni tra il raggio vettore, le funzioni paraboliche con le funzioni circolari
1
ρ (u ) =
;
1 + cos u
sin u
1 − cos u
cos u
tan u
=
; cosp u =
sinp u =
; tanp u =
;
1 + cos u
sin u
1 + cos u
2
2 ⋅ cot u
2 ⋅ cos u
sec u
; secp u =
cotp u =
;
=
1 + cot u sin u + cos u
2
⎡ + se u è nel quadrante I o III ⎤
csc u
1
csc u
=
=
cscp u
con ⎢
⎥.
1 + cot u sin u + cos u 1 ± csc2 u − 1
⎣- se u è nel quadrante II o IV⎦
8. Alcune relazioni tra le funzioni circolari e le paraboliche
sin u = sinp u/(1-cosp u) ; cos u=cosp u/(1-cosp u) ;
tan u=2tanp u=sinp u/cosp u=sinp (2u) ; cot u=cotp u/( 2 -cotp u)=cosp u/sinp u ;
www.matematicamente.it
6
sec u=2 secp u=(1-cosp u)/cosp u ; csc u =2 secp u cscp u/(2 secp u-cscp u)=(1-cosp u)/sinp u .
9. Alcune relazioni tra le funzioni paraboliche
sinp 2 u + 2 cosp u = 1 ; sinp 2 u + cosp 2 u = ρ 2 (u ) ; 1 - cosp u = ρ (u ) ;
(1 2 )2 + tanp2 u=secp2 u ; sinp u= ρ (u ) tanp u/secp u ; cosp u= ρ (u ) /(2secp u)=1/(1+2secp u)
tanp u=sinp u/(2cosp u) ; cotp u= 2 /(1+2tanp u)= 2 cosp u/(sinp u+cosp u);
secp u= ρ (u ) /(1-sinp2 u)= 1 + 4 tan p 2 u /2 ;
cscp u=2cosp u secp u/(sinp u+cosp u)= ρ (u ) /(sinp u+cosp u).
10. Funzioni paraboliche di argomenti negativi
sinp (− u ) = − sinp u ; cosp (− u ) = cosp u ; tanp (− u ) = − tanp u ;
cotp (− u ) = −
2 cotp u/( 2 − 2 cotp u) ; secp (− u ) = secp u ;
cscp (− u ) = − secp u cscp u/(secp u-cscp u).
11. Segni e variazioni delle funzioni paraboliche
Quadrante
Funzioni
sinp u
cosp u
tanp u
cotp u
secp u
I
II
III
−
da - ∞ a - 1
−
da - ∞ a 0
+
da 0 a + ∞
+
da 2 a 0
+
da 1 a + ∞
−
da 0 a - ∞
−
da − ∞ a 0
∓
da 0 a ∓ ∞
da 2 a 0
da - ∞ a 0
∓
da 0 a ∓ ∞
+
da 1/2 a + ∞
a 2
−
da - ∞ a - 1/2
−
da - 1/2 a - ∞
a 2
+
da + ∞ a 1/2
+
da 0 a 1
+
da 1/2 a 0
+
da 0 a + ∞
+
+
cscp u
da 1 a 2 / 2
a1
www.matematicamente.it
±
da 1 a ± ∞
a -1
−
da - 1 a - 2 / 2
a -1
IV
−
da - 1 a 0
+
da 0 a 1/2
−
∓
da - 1 a ∓ ∞
a1
7
12.VALORI ESATTI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE PER ARGOMENTI SPECIALI
1^ Tabella
Angolo u
in gradi
sessagesimali
0
30
45
Angolo u
in radianti
0
1
π
6
1
π
4
60
1
π
3
90
1
π
2
2
π
3
3
π
4
5
π
6
120
135
150
180
π
sinp
Area t
0
1
(16 − 9 3 )
3
1
(4 2 − 5)
3
5
3
27
0
1
2
2− 3
2 3 −3
2 −1
1
3
3
1
2
3
3
1
(4 2 + 5)
3
1
(16 + 9 3 )
3
±∞
cosp
tanp
0
2 −1
1
3
6
1
2
1
3
2
1
3
±∞
0
3
-1
2 +1
− ( 2 + 1)
−
2+ 3
− (2 3 + 3)
±∞
−∞
1
3
2
1
2
1
−
3
6
0
−
210
7
π
6
−
1
(16 + 9 3 )
3
− (2 + 3 )
− (2 3 + 3)
1
3
6
225
5
π
4
4
π
3
3
π
2
5
π
3
7
π
4
11
π
6
−
1
(4 2 + 5)
3
− ( 2 + 1)
− ( 2 + 1)
− 3
− 3
-1
2
3
5
−
3
27
1
− (4 2 − 5)
3
-1
0
1
2
1
3
2
±∞
240
270
300
315
330
360
2π
www.matematicamente.it
−
−
0
1
(16 − 9 3 )
3
−
1
3
3
1
3
−
1
3
2
−
1
2
− ( 2 − 1)
2 −1
− (2 − 3 )
2 3 −3
−
0
1
2
0
1
3
6
8
2^ Tabella
Angolo u
in gradi
sessagesimali
0
Angolo u
in radianti
0
cotp
Area t
0
2
30
1
π
6
1
(16 − 9 3 )
3
1
(3 2 − 6 )
2
45
1
π
4
1
(4 2 − 5)
3
1
2
2
60
1
π
3
5
3
27
90
1
π
2
2
3
120
2
π
3
135
3
π
4
1
(4 2 + 5)
3
150
5
π
6
1
(16 + 9 3 )
3
±∞
180
π
3
210
7
π
6
−
225
5
π
4
1
− (4 2 + 5)
3
240
4
π
3
− 3
270
3
π
2
300
5
π
3
315
7
π
4
2
3
5
−
3
27
1
− (4 2 − 5)
3
330
11
π
6
2π
360
1
(16 + 9 3 )
3
−
−
0
www.matematicamente.it
1
(16 − 9 3 )
3
1
( 6 − 2)
2
0
−
1
( 6 + 2)
2
∓∞
secp
cscp
1
1
2
3 −1
1
3
3
1
2
2
1
±∞
1
2
2
3 −1
1
-1
3 +1
±∞
−
1
2
2
−
1
3
3
− ( 3 + 1)
−
1
2
-1
1
(3 2 − 6 )
2
−
1
3
3
− ( 3 − 1)
1
2
2
−
1
2
2
−
1
(3 2 + 6 )
2
2
1
( 6 − 2)
2
0
−
1
( 6 + 2)
2
∓∞
1
(3 2 + 6 )
2
2
1
2
2
-1
− ( 3 − 1)
∓∞
-1
1
− ( 3 + 1)
1
2
2
∓∞
3 +1
1
3
3
1
2
1
9
13. Grafici delle funzioni paraboliche
Ogni grafico è preceduto dalla relativa funzione usata ed x è in radianti; i medesimi grafici si hanno
se si adoperano le funzioni del §6:
Seno parabolico
sin x
sinp x =
1 + cos x
Coseno parabolico
cos x
cosp x =
1 + cos x
www.matematicamente.it
10
Tangente parabolica
tan x
tanp x =
2
Cotangente parabolica
2 cos x
cotp x=
sin x + cos x
www.matematicamente.it
11
Secante parabolica
sec x
secp x=
2
Cosecante parabolica
1
cscp x =
sin x + cos x
www.matematicamente.it
12
14.Formule di addizione e sottrazione
sinp (u ± s ) =
sinp u cosp s ± cosp u sinp s
;
ρ (u )ρ (s ) + cosp u cosp s ∓ sinp u sinp s
cosp (u ± s ) =
cosp u cosp s ∓ sinp u sinp s
;
ρ (u )ρ (s ) + cosp u cosp s ∓ sinp u sinp s
tanp (u ± s ) =
tanp u ± tanp s
;
1 ∓ 4 tanp u tanp s
cotp (u ± s ) =
2 (1 ∓ tanp u tanp s)
;
1 + 2( tanp u ± tanp s) ∓ 4tanp u tanps
ρ (u )ρ (s )
secp (u ± s ) =
cscp (u ± s ) =
2(cosp u cosp s ∓ sinp u sinp s)
;
ρ (u )ρ (s )
sinp u (cosp s ∓ sinp s) + cosp u (cosp s ± sinp s)
.
15. Riduzione al I quadrante
1^ tabella
-u
90° ± u
180° ± u
270° ± u
k∈N
k ⋅ 360° ± u
www.matematicamente.it
sinp
− sinp u
cosp u
ρ (u ) ∓ sinp u
sinp u
∓
1 - 2cosp u
cosp u
−
ρ (u) ± sinp u
± sinp u
cosp
cosp u
sinp u
ρ (u ) ∓ sinp u
cosp u
−
1 - 2cosp u
sinp u
±
ρ (u) ± sinp u
∓
cosp u
tanp
− tanp u
1
∓
4tanp u
± tanp u
∓
1
4tanp u
± tanp u
13
2^ tabella
-u
cotp
2cotp u
−
2 − 2cotp u
90° ± u
∓
180° ± u
270° ± u
k∈N
k ⋅ 360° ± u
±
∓
±
2 2 tanp u
1 - 2tanp u
secp
secp u
∓
− sec p u
2cotp u
2 − 2cotp u
2 2 tanp u
1 - 2tanp u
2cotp u
2 − 2cotp u
secp u cscp u
2secp u - cscp u
±
sec p u cscp u
2secp u - cscp u
secp u
cscp
secp u cscp u
−
secp u - cscp u
secp u cscp u
1±1
secp u cscp u
2
secp u cscp u
∓
1∓1
secp u cscp u
2
secp u cscp u
∓
1±1
cscp u - secp u
2
secp u cscp u
±
1∓1
secp u cscp u
2
∓
16. Relazioni tra le funzioni paraboliche
1^ tabella
sinp u=a
1-a2=b
cosp u=a
1 - 2a = b
sinp u
a
±b
cosp u
b
2
a
b
2b
2a + b
1 + a2
2b
1 + a2
2a + b
tanp u
cotp u
secp u
cscp u
www.matematicamente.it
a
b
2a
2a
a±b
1− a
2a
1− a
a±b
±
tanp u=a
1 + 4a 2 = b
−1± b
2a
−1± b
4a 2
a
2
1 + 2a
b
±
2
b
±
1 + 2a
14
2^ tabella
sinp u
cosp u
secp u=a
cotp u=a
a 2 + ( 2 − a) 2 = b
a±b
a− 2
a 2 ± ab
−
( 2 − a)2
tanp u
cotp u
secp u
cscp u
4a −1 = b
2
±
2a 2 −1 = b
a±b
a +1
b
2a + 1
1
2a + 1
a + 1 − a 2 ± ab
(a + 1) 2
b
2
a2 ± b
2(1 − a 2 )
±
2 −a
±
2a
a
±′
cscp u=a
±
2
1± b
a
b
2a
2a
1± b
2b
2
2 (1 ± b)
2
a (1 ± b)
2(1 − a 2 )
a
17. Formule di duplicazione
sinp 2u=sinp u/cosp u ; cosp 2u=(cosp2u-sinp2u)/(2cosp2u) ; tanp 2u=2tanp u/(1-4tanp2u) ;
cotp 2u= 2 (1-4tanp2u)/(1+4tanp u -4tanp2u) ; secp 2u= ρ 2 (u ) /(2(cosp2u-sinp2u));
cscp 2u= ρ 2 (u ) /(2sinp u cosp u+cosp2u-sinp2u).
18. Alcune formule di triplicazione e quadruplicazione
sinp 3u =
4cosp 3 u − 3cosp uρ 2 (u )
3sinp u ρ 2 (u ) − 4sinp 3u
cosp
3u
=
;
;
ρ 3 (u ) + 4cosp3u − 3cosp uρ 2 (u )
ρ 3 (u ) + 4cosp 3 u − 3cosp uρ 2 (u )
tanp 3u =
3tanp u − 4tanp 3 u
;
1 − 12tanp 2 u
sinp 4u =
2sinp u cosp u ρ 2 (u ) − 4sinp3u cos pu
.
ρ 4 (u ) + 4cosp 4u − 4cosp 2 uρ 2 (u )
19. Formule di bisezione
sinp u/2=sinp u /(1 ± 2 ρ ( u ) ) ; cosp u/2= 1 /(1 ± 2 ρ ( u ) ) ;
tanp u/2=(sinp u) /2 ; cotp u/2=
2 /( 1 ± sinp u)
secp u/2= ± 2 ρ ( u ) / 2 ; cscp u/2= ± 2 ρ ( u ) / (1+sinp u) .
www.matematicamente.it
15
20. Formule che danno il seno parabolico, il coseno parabolico, la tangente parabolica di un
angolo in funzione razionale del doppio della tangente parabolica dell’angolo metà
La sostituzione u=2tanp-1(z/2) trasformerà una qualsiasi funzione razionale di sinp u, cosp u e tanp
u in una funzione razionale di z, perché: sinp u=z, cosp u= 1 − z 2 2 , tanp u= z 1 − z 2 e
d u= 2 ⋅ dz / 1 + z 2 . La prima, la seconda e la terza di queste relazioni si ottengono dalla fig. 4,
(
(
)
)
(
)
fig. 4
nella quale AB=1+z2 , BC=2z , AC=1-z2
La quarta relazione si ottiene derivando la u=2 tanp-1 (z/2) .
La sostituzione di cui sopra, che, tra l’altro, permetterà eventuali integrazioni, è equivalente a
z = 2 tanp (u/2) , che sarà usata per tornare alla variabile originaria. ( v.in Appendice i chiarimenti).
21. Quadrati delle funzioni paraboliche
sinp2 u=1-2 cosp u; cosp2u=(1-2cosp u)/(1-2cosp 2u) ; tanp2u=(1-2cosp 2u)/4 ;
cotp2 u=1/(1-cosp 2u + 2tanp u); secp2 u=(1-cosp 2u)/2 ; cscp2 u=(1-cosp 2u)/(1-cosp 2u+2tanpu)
22. Funzioni paraboliche inverse
Se x=sinp u, allora u= sinp-1x è, come sappiamo, il seno parabolico inverso di x. Analogamente
risultano definite le altre funzioni paraboliche inverse. Come nel caso delle funzioni circolari
inverse e iperboliche inverse, anche le funzioni paraboliche inverse sono plurivoche e se ci
limitiamo al valore principale per cui esse possono essere considerate univoche.
Riportiamo i valori delle funzioni paraboliche inverse espresse in termini delle funzioni circolari
inverse, in aggiunta a quanto già detto nei paragrafi 2 e 3 della prima parte “Le funzioni
paraboliche”:
sinp-1x=sin-1( 2x /(1+x2 )) ; cosp-1x=cos-1(x/(1-x)) ; tanp-1x=tan-12x ;
cotp-1x=cot –1(x/( 2 − x )) =tan-1(( 2 − x )/x) ; secp-1x=sec-12x=cos-1(1/2x) ;
cscp-1x=tan-1((1-x2)/ ( x ± 2 x 2 − 1) ) = sin-1 ((1 ± 2 x 2 − 1) / 2 x) .
2
www.matematicamente.it
16
23. Valori principali delle funzioni paraboliche inverse
__________________________________
Valori principali per x ≥ 0
__________________________________
0 ≤ sinp-1x ≤ π /2
_____________________________________
Valori principali per x < 0
_____________________________________
- π /2 sinp-1 x<0
0 ≤ cos p −1 x ≤ π / 2
π / 2 < cos p −1 x < π
0 ≤ tan p −1 x < π / 2
− π / 2 < tan p −1 x < 0
− π / 4 < cot p −1 x ≤ π / 2
− π / 2 ≤ cot p −1 x < −π / 4
0 ≤ sec p −1 x < π / 2
π / 2 < sec p −1 x ≤ π
− π / 4 < csc p −1 x ≤ π / 4
− 3π / 4 ≤ csc p −1 x < −π / 4
__________________________________________________
______________________________________________________
24. Relazioni tra le funzioni paraboliche inverse
Si suppone di usare sempre i valori principali.
(
cosp −1 x = sinp −1 1 − 2 x
)
⎛ 1 − x2 ⎞
⎟⎟
sinp −1 x = cosp −1 ⎜⎜
⎝ 2 ⎠
⎛ 1 ⎞
secp −1 x = cosp −1 ⎜
⎟
⎝ 1 + 2x ⎠
⎛ x ⎞
sinp −1 x = tanp −1 ⎜
2 ⎟
⎝1− x ⎠
⎛ 1 − 2x ⎞
⎟
cosp −1 x = tanp −1 ⎜⎜
⎟
⎝ 2x ⎠
⎛ 2 − x⎞
⎟
cotp −1 x = tanp −1 ⎜⎜
⎟
⎝ 2x ⎠
www.matematicamente.it
⎛ 2 ⎞
⎟
tanp −1 x = cotp −1 ⎜⎜
⎟
+
1
2
x
⎝
⎠
⎛1− x ⎞
cosp −1 x = secp −1 ⎜
⎟
⎝ 2x ⎠
sinp −1 (− x) = − sinp −1 x
tanp −1 (− x ) = − tanp −1 x
secp −1 (− x ) = π − secp −1 x
⎛1
⎞
cscp −1 (− x ) = −⎜ π + cscp −1 x ⎟
⎝2
⎠
17
25. Grafici delle funzioni paraboliche inverse
Arcoseno parabolico
2x
sinp -1 x = sin −1
1 + x2
Arcocosenoparabolico
cosp-1 x = cos −1
www.matematicamente.it
x
1− x
18
Arcotangente parabolica
tanp-1 x = tan −1 2x
Arcocotangente parabolica
x
2−x
= tan −1
cotp -1 x = cot −1
x
2−x
www.matematicamente.it
19
Arcosecante parabolica
secp -1 x = sec−1 2 x = cos −1
1
2x
Arcocosecante parabolica
⎛ 1 + 2 x2 − 1 ⎞
cscp -1 x = sin −1 ⎜
⎟
⎜
⎟
2
x
⎝
⎠
www.matematicamente.it
20
26. Periodicità delle funzioni paraboliche
Nel seguito k è un intero qualunque
sinp( x + 2 k π ) = sinp x
cosp( x + 2 k π ) = cosp x
tanp( x + k π ) = tanp x
cotp( x + k π ) = cotp x
secp( x + 2 k π ) = secp x
cs cp( x + 2 k π ) = cs cp x .
27. Relazioni tra lati ed angoli acuti di un triangolo rettangolo mediante le funzioni
paraboliche
Il triangolo rettangolo di cui alla figura
ha i lati di lunghezza a,b,c,l’angolo retto si
oppone al lato c e l’angolo u si oppone al lato a. Le funzioni paraboliche dell’angolo u sono
definite come segue:
fig. 5
a a
= cosp u
c b
b b
cosp u = ρ (u ) = sinp u
c a
a
tanp u =
2b
2b
cotp u =
a+b
c
secp u =
2b
c
cscp u =
a+b
sinp u = ρ (u )
www.matematicamente.it
21
Si possono ottenere relazioni analoghe per l’altro angolo acuto.
28. Relazioni tra lati ed angoli di un triangolo qualunque mediante le funzioni
paraboliche
∧
∧
∧
I seguenti risultati valgono per ogni triangolo A B C di lati a, b, c e angoli A, B, C .
fig. 6
Teorema dei seni parabolici:
aρ ( A) bρ ( B) cρ (c)
=
=
.
sinp A
sinp B
sinp C
Teorema del coseno parabolico:
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab
cosp C
.
ρ (C )
Teorema delle tangenti paraboliche:
⎛1
⎞
tanp ⎜ ( A + B) ⎟
a+b
⎝2
⎠ ,
=
1
a−b
⎛
⎞
tanp⎜ ( A − B) ⎟
⎝2
⎠
con relazioni analoghe relative agli altri lati ed angoli.
Inoltre abbiamo:
( s − b)( s − c)
,
s( s − a)
1
dove s = (a + b + c) è il semiperimetro del triangolo.
2
sinp A =
Si possono avere relazioni analoghe per gli altri angoli in B,C.
www.matematicamente.it
22
29. Generalizzazione delle funzioni paraboliche
Mediante il parametro p si possono generalizzare le funzioni paraboliche, servendosi della
parabola
y2= p (p – 2x) ,
che ha l’asse di simmetria coincidente con l’asse delle ascisse x ed ha il vertice
p
V = ( ,0). Per cui si hanno i valori dell’angolo u e di t (v. figg. dall’1 alla 3) che
2
esprime il doppio dell’area del settore parabolico delimitato dall’asse x, dall’arco di
parabola e dalla semiretta uscente dall’origine degli assi e delle funzioni paraboliche
in p, che per distinguerle dalle precedenti di valore definito p=1, si soprasegnano:
u = ± tanp -1
t=
⎡ + se t è nel I o III quadrante ⎤
⎢
⎥ ;
⎣- se t è nel II o IV quadrante ⎦
sinp t
sinp t
= ± tan -1
, con
2cosp t
cosp t
sinp t
sinp 2 t
(p +
) , con
2
2cosp t
⎡t > 0 nel I e nel II quadrante ⎤
⎢
⎥ ;
⎣ t < 0 nel III e IV quadrante ⎦
sinp t = 3 pt + p 9t + p + 3 pt − p 9t + p
2
3
tanp t = p
secp t = p
4
sinp t
;
2cosp t
p − cosp t
;
2cosp t
2
3
cotp t = p
4
;
2 cosp t
sinp t + cosp t
cscp t = p
1
sinp 2 t
cosp t = ( p −
) ;
2
p
;
p − cosp t
.
sinp t + cosp t
30. Derivate e integrali sulle funzioni paraboliche per un qualunque p
Per quanto detto nel paragrafo precedente, si ha :
ρ (u ) = p − x
y=
p( p − 2 x)
p ( p − 2 x)
y
=
p−x
ρ (u )
x
x
=
cos u =
ρ (u ) p − x
Essendo
sin u =
www.matematicamente.it
23
d cos u = − sin u ⋅ d u
dx
p⋅d x
d cos u =
=
p − x ( p − x) 2
si ha
− p⋅d x
sin u ⋅ d u =
,
( p − x) 2
nella quale, sostituito il valore di sin u, si trova facilmente
− p⋅d x
.
du=
( p − x) p( p − 2 x)
Premesso ciò, si possono ottenere le derivate delle funzioni paraboliche generalizzate:
d sinp u
= p − cos p u = ρ (u ) ;
du
d cosp u
ρ (u )
=−
sinp u ;
du
p
2
d tanp u
ρ (u )
=
;
2
du
2cosp u
2
d cotp u
ρ (u ) p 2 2
=−
;
du
(sinp u + cosp u ) 2
d secp u ρ (u ) ⋅ p ⋅ tanp u
=
;
du
cosp u
d cscp u ρ (u ) p(sinp u − cosp u )
=
.
du
(sinp u + cosp u ) 2
Gli integrali delle funzioni paraboliche generalizzate, cioè per un qualunque p danno i seguenti
valori, ai quali si sottintenda “+c”:
∫ ρ (u)du = sinp u
∫ sinp u
du = p ⋅ ln p − cosp u = p ln ρ (u ) ;
∫ tanp u
du =
p
(ln p − cosp u − ln cosp u ) ;
2
∫ cotp u
du =
p
sinp u + cosp u
) ;
2 (u + ln
2
p − cosp u
p
2
u
π
p
2
∫ cosp u
du = p ⋅ u − sinp u ;
∫ secp u du = 2 ln p tanp ( 2 + 4 ) = 2 ln p (secp u + tanp u )
∫ cscp u du =
[
;
]
p 2
ln sinp u + p( 2 − 1) − ln − sinp u + p( 2 + 1) .
2
www.matematicamente.it
24
31. Le derivate e gl’integrali delle funzioni paraboliche
Se nelle derivate e negli integrali di cui sopra si sostituiscono a p il valore 1 e, quindi, alle funzioni
paraboliche in p che si sono sopra segnate, le funzioni senza alcuna sopra segnatura (p=1), si hanno
più semplicemente le derivate e gl’integrali delle funzioni relative alla parabola trigonometrica
y 2 + 2 x = 1 e di essi si riportano i valori più salienti:
d sinp u
= 1 − cosp u = ρ (u ) ;
du
d cosp u
= − ρ (u) sinp u ;
du
ρ 2 (u )
d tanp u
=
;
du
2cosp 2 u
ρ 2 (u ) 2
d cotp u
;
=−
du
(sinp u + cosp u ) 2
d secp u ρ (u ) tanp u
=
;
du
cosp u
d cscp u ρ (u )(sinp u - cosp u )
=
.
du
(sinp u + cosp u ) 2
Nei seguenti valori si sottintenda “+c”:
∫ ρ (u )du = sinp u
;
∫ sinp u
du = ln 1 − cosp u = ln ρ (u ) ;
∫ tanp u
du =
1 ⎡ 1 − cosp u ⎤
⎢ln
⎥ ;
2⎣
cosp u ⎦
∫ cotp u
du =
1
sinp u + cosp u
2 [ u + ln
2
1 − cosp u
1
u
π
1
]
du = u − sinp u ;
;
∫ secp u du = 2 ln 2tanp ( 2 + 4 ) = 2 ln 2(secp u + tanp u)
∫ cscp u du =
∫ cosp u
;
2
sinp u + 2 − 1
ln
.
2
- sinp u + 2 + 1
www.matematicamente.it
25
32. Formule differenziali e integrali che legano le funzioni trigonometriche al seno e coseno
parabolico
d sin u = cos u du =
⎤
x ⎡
− dx
− x dx
;
⎢
⎥=
1 − x ⎣ (1 − x) 1 − 2 x ⎦ (1 − x) 2 1 − 2 x
d cos u = − sin u du = −
d tan u =
⎤
− dx
du
(1 − x) 2 ⎡
(1 − x) dx
;
=
⎢
⎥=− 2
2
2
cos u
x
x 1 − 2x
⎣ (1 − x) 1 − 2 x ⎦
d cot u = −
d sec u =
⎤
1 − 2x ⎡
− dx
dx
;
⎢
⎥=
(1 − x) ⎣ (1 − x) 1 − 2 x ⎦ (1 − x) 2
(1 − x) 2
du
=
−
sin 2 u
1 − x2
⎡
⎤ (1 − x) dx
− dx
;
⎢
⎥=
3
(
1
−
)
1
−
2
x
x
⎦ (1 − 2 x) 2
⎣
sin u
1 − 2 x (1 − x) 2
=
du
cos 2 u
(1 − x) x 2
⎡
⎤ − dx
− dx
⎢
⎥= 2 ;
x
−
−
x
x
(
1
)
1
2
⎣
⎦
⎤
cos u
− dx
x(1 − x) 2 ⎡
d csc u = − 2 du = −
⎢
⎥=
sin u
(1 − x)(1 − 2 x) ⎣ (1 − x) 1 − 2 x ⎦
⎡
Dalle formule di cui sopra, ricordando che ⎢− ∞ < x ≤
⎣
x dx
(1 − 2 x)
3
2
.
1⎤
, x = cosp u, 1 − 2 x = sinp u e
2 ⎥⎦
(1 − x) = ρ (u ) , si hanno le seguenti formule d’integrazione, ai quali valori si sottintenda “+c”:
− x dx
= sin u ;
2
1 − 2x
∫ (1 − x )
∫
(1 − x) dx
(1 − 2 x)3
= cot u ;
∫
− (1 − x) dx
= tan u ;
2
1 − 2x
dx
∫ (1 − x ) = cos u ; ∫ x
2
- dx
= sec u ;
x2
∫
x dx
(1 − 2 x)3
= csc u .
33. Derivate e integrali sulle funzioni paraboliche inverse
dsinp -1x
2
=
dx
1 + x2
−1
dcosp-1x
=
dx
(1 − x) 1 − 2 x
dtanp −1 x
2
=
dx
1 + 4x2
dcotp-1 x
2x − 2
=
dx
( 2 − x) 2 + x 2
www.matematicamente.it
π⎤
⎡ π
-1
⎢- 2 < sinp x ≤ 2 ⎥ ;
⎣
⎦
[0 < cosp
−1
x≤π
];
π⎤
⎡ π
-1
⎢- 2 < tanp x ≤ 2 ⎥ ;
⎦
⎣
π⎤
⎡ π
-1
⎢- 4 < cotp x ≤ 2 ⎥ ;
⎣
⎦
26
π⎤
⎡
-1
se
0
secp
+
<
≤
⎢
2⎥ ;
⎥
⎢
⎢− se π < secp-1 ≤ π ⎥
⎥⎦
⎢⎣
2
π
π ⎤
⎡
-1
⎢+ se - 4 < cscp x ≤ 4 ⎥
⎥ .
⎢
⎢− se - 3π < cscp-1 x ≤ − π ⎥
4
4 ⎦⎥
⎣⎢
dsecp x
±1
=
dx
x 4x2 − 1
-1
dcscp-1 x
± 1 − 2x2 − 1
=
dx
x 2(2 x 2 − 1)( x 2 ± 2 x 2 − 1)
Ai seguenti valori si sottintenda “+c”:
2∫
∫(
∫
dx
= sinp -1 x ;
1 + x2
- dx
= cosp -1 x ;
1 - 2x
∫ (1 - x)
2x − 2
dx = cotp -1 x ;
2
2
2 − x) + x
(±1 − 2 x 2 − 1)
x 2(2 x − 1)( x ± 2 x − 1)
2
2
∫x
±1
4x − 1
2
2∫
dx
= tanp -1 x ;
1 + 4x2
dx = secp-1 x ;
dx = cscp-1 x .
2
www.matematicamente.it
27
APPENDICE
Allo scopo di una più immediata utilizzazione le due tavole seguenti riportano in gran parte alcuni
valori approssimati rispetto a quelle riportate al §12:
ALCUNI VALORI APPROSSIMATI ED ALTRI ESATTI DELLE FUNZIONI
PARABOLICHE PER ARGOMENTI SPECIALI
1^ Tabella
Angolo u
in gradi
sessagesimali
0
30
45
60
90
120
135
150
180
210
225
240
270
300
315
330
360
Angolo u
in radianti
sinp
Area t
cosp
tanp
0
1
π =.5235987
6
1
π =.7853981
4
0
.1371809106
0
.2679491924
.5
.4641016151
0
.2886751346
.2189514165
.414213562
.414213562
.5
1
π
3
.3207501495
.5773502692
.333333333
.8660254038
=1.047198
.6666666666
1
π =1.5707963
2
1.732050808
2
π =2.0943951
3
3.55228475
3
1
0
±∞
1.732050808
-1
-8660254038
2,414213562
-2,414213562
-.5
4
5
π
6
10.52948576
3.732050808
-6.464101615
-.2886751346
π
±∞
±∞
−∞
0
7
π
6
5
π
4
4
π
3
-10.52948576
-3.732050808
-6.464101615
.2886751346
-3.55228475.
-2,414213562
-2,414213562
.5
-1.732050808
-1.732050808
-1
.8660254038
3
π
2
5
π
3
7
π
4
-.6666666666
-1
0
±∞
-.3207501495
-.5773502692
.33333333333
-.8660254038
-.2189514165
-.414213562
.414213562
-.5
11
π
6
2π
-.1371809106
-.2679491924
.4641016151
-.2886751346
0
0
.5
0
π
www.matematicamente.it
28
ALCUNI VALORI APPROSSIMATI ED ALTRI ESATTI DELLE FUNZIONI
PARABOLICHE PER ARGOMENTI SPECIALI
2^ Tabella
Angolo u
in gradi
sessagesimali
Angolo u
in radianti
cotp
Area t
secp
cscp
0
30
0
1
π
6
0
.1371809106
1.414213562
.8965754722
.5
.5773502632
1
.7320508076
45
1
π
4
.2189514165
.7071067812
.7071067812
.7071067812
60
1
π
3
.3207501495
.5176380902
1
.7320508076
90
1
π
2
.6666666666
0
±∞
1
120
2
π
3
1.732050808
-1.931851653
-1
2.7320508076
135
3
π
4
3.55228475
∓∞
-.7071067812
±∞
150
5
π
6
10.52948576
3.346065215
-.5773502632. -2.7320508076
±∞
-10.52948576
1.414213562
.8965754722
-.5
-.5773502632
-1
-.7320508076
180
210
π
7
π
6
225
5
π
4
-3.55228475
.7071067812
-.7071067812
-.7071067812
240
4
π
3
-1.732050808
.5176380902
-1
-.7320508076
270
3
π
2
-.6666666666
0
∓∞
-1
300
5
π
3
7
π
4
-.3207501495
-1.931851653
1
-2.7320508076
-.2189514165
∓∞
.7071067812
∓∞
-.1371809106
3.346065215
.5773502632
2.7320508076
0
1.414213562
.5
1
315
330
360
11
π
6
2π
N. B. Le funzioni paraboliche relative all’angolo u possono intendersi riferite indifferentemente
anche all’area t che è il doppio di quella del settore parabolico relativo ad u: infatti, proprio
l’argomento t ha permesso che dette funzioni possano essere considerate indipendenti da quelle
circolari.
Pertanto, si riportano in riepilogo tanto le funzioni paraboliche dipendenti dalle circolari che quelle
indipendenti da quest’ultime:
1
ρ (u ) =
;
1 + cos u
sin u
1 − cos u
cos u
tan u
sinp u =
; tanp u =
;
=
; cosp u =
1 + cos u
sin u
1 + cos u
2
2 ⋅ cot u
2 ⋅ cos u
sec u
cotp u =
;
=
; secp u =
1 + cot u sin u + cos u
2
⎡ + se u è nel quadrante I o III ⎤
csc u
1
csc u
=
=
cscp u=
,con ⎢
⎥.
1 + cot u sin u + cos u 1 ± csc2 u − 1
⎣- se u è nel quadrante II o IV⎦
www.matematicamente.it
29
1
2
ρ (t ) = 1 − cosp t = (1 + sinp 2t );
sinp t = 3 3t + 9 t 2 + 1 + 3 3t − 9 t 2 + 1 ;
1
[1 - ( 3 3t + 9 t 2 + 1 + 3 3t − 9 t 2 + 1
2
sinp t
2cosp t
tanp t =
; cotp t =
;
2cosp t
sinp t + cosp t
1 - cosp t
1 - cosp t
secp t =
; cscp t =
.
2cosp t
sinp t + cosp t
cosp t =
)2 ] = 1 (1 − sinp 2t ) ;
2
A chiarimento del §20 si riporta quanto segue, applicando il teorema dei triangoli rettangoli al
triangolo della fig. 4 e si trovano i due cateti:
2z=(1+z2)sin u=(1+z2)sinp u/(1-cosp u);
(1-z2)=(1+z2)cos u=(1+z2)cosp u/(1-cosp u).
Dalla seconda si ha cosp u/(1-cosp u)=(1-z2)/(1+z2); (1+z2)cosp u=(1-z2)(1-cosp u);
cosp u + z2cosp u=1-cosp u –z2 +z2cosp u; 2cosp u=1-z2; cosp u=(1-z2)/2.
Dalla prima, sostituendo il valore trovato di cosp u, si ha:
sinp u/(1-cosp u)=2z/(1+z2); sinp u=2z/(1+z2) (1-(1-z2)/2); sinp u=2z/(1+z2)-z(1-z2)/(1+z2);
sinp u=(2z-z+z3)/(1+z2); sinp u=(z+z3)/(1+z2); sinp u=z.
Per cui si ha: tanp u=sinp u/(2cosp u); tanp u=z/(2(1-z2)/2); tanp u=z/(1-z2).
Essendo u=2tanp-1 (z/2) e derivando la stessa si ha du/dz=d(2tanp-1(z/2))/dz=d(2tan-1z)/dz=
2/(1+z2), per cui si ha: d u= 2dz/(1+z2).
Ora si riportano in dettaglio alcuni passaggi (possono seguirsi altre vie), che mostrano come
l’autore sia pervenuto ai notevoli valori delle derivate e degli integrali delle funzioni paraboliche,
riportati al §31; di proposito egli ha voluto variare la ricerca delle soluzioni per evidenziarne alcune
diverse possibilità:
d sinp u
= 1 − cosp u = ρ (u ) , perché
du
− dx
- dx
essendo sinp u = 1 - 2x , du =
e d 1 − 2x =
allora
(1 − x) 1 − 2 x
1 − 2x
d sinp u d 1 − 2 x
(1 − x) 1 − 2 x d 1 − 2 x (1 − x) 1 − 2 x dx
=
=−
=
= 1 − x = ρ (u ) .
du
du
dx
1 − 2 x dx
www.matematicamente.it
30
d cosp u
= − ρ (u) sinp u , che per quanto detto sopra si è ottenuto come segue
du
d cosp u
dx (1 − x) 1 − 2 x
=−
= −(1 − x) 1 − 2 x = − ρ (u )sinp u .
du
dx
ρ 2 (u )
d tanp u
=
, che si è ottenuto come segue
du
2cosp 2 u
d tanp u d tanp u d (sinp u/2cosp u) d (sin u/(1 + cos u) ⋅ (1 + cos u)/(2cos u)
=
=
=
=
du
du
du
du
2 cos 2 u + 2 sin 2 u sin 2 u + cos 2 u
1
1
(1 − cosp u) 2
ρ 2 (u )
=
=
=
=
=
.
4 cos 2 u
2 cos 2 u
2 cos 2 u 2 (cosp u (1 − cosp u)) 2
2cosp 2u
2cosp 2u
− ρ 2 (u ) 2
d cotp u
, che si è ottenuto come segue
=
du
(sinp u + cosp u ) 2
d cotp u d ( 2cosp u (sinp u + cosp u)
− 2(1 − x) 2 2
− 2 (1 − x) 2
=
= 2
=
=
du
du
2 x (1 + 1 − 2 x x) 2 x 2 (1 + 2 1 − 2 x 2 x) 2
− 2 ρ 2 (u )
− ρ 2 (u ) 2
=
.
cosp 2u (1 + 2tanp u) 2 (sinp u + cosp u )2
d secp u ρ (u ) tanp u
=
, che si è ottenuto come segue
du
cosp u
d secp u d [ (1 - cosp u)/2cosp u) ] ρ (u )sinp u 2cosp u + 2 ρ (u) sinp u (1 - cosp u)
=
=
=
du
du
4cosp 2 u
2 ρ (u )sinp u (cosp u + 1 - cosp u) ρ (u )sinp u ρ (u ) tanp u
=
=
.
4cosp 2u
2cosp 2 u
cosp u
d cscp u ρ (u )(sinp u - cosp u )
, che si è ottenuto come segue
=
du
(sinp u + cosp u ) 2
1
sin u − cos u
(sinp u - cosp u )(1 - cosp u ) ρ (u )(sinp u - cosp u )
d cscp u
d
.
=
=
=
=
2
(sinp u + cosp u ) 2
(sinp u + cosp u ) 2
du
d u sin u + cos u (sin u + cos u )
Ai seguenti valori intermedi e/o finali si sottintenda “+c”:
∫ sinp u
du = ln 1 − cosp u , che si è ottenuto con le sostituzioni fatte sopra per le derivate, come
segue
www.matematicamente.it
31
1 − 2 x dx
dx
= ∫−
= ln 1 − x = ln 1 − cosp x .
1− x
(1 − x ) 1 − 2 x
∫ sinp u
du = ∫ −
∫ cosp u
du = u − sinp u , che si è ottenuto come segue
∫ cosp u du = ∫ du
1 ⎡ 1 − cosp u ⎤
⎢ln
⎥, che si è ottenuto come segue
2⎣
cosp u ⎦
∫ tanp u du =
∫ tanp u
du =
− sinp u = u − sinp u.
1
1
1 cosp u
1
tan u du = − ln cos u = − ln
= − [ln cosp u − ln 1 − cosp u ] =
∫
2
2
2
2
ρ (u)
⎡
⎤
1
(ln 1 − cosp u − ln cosp u ) = 1 ⎢ln 1 − cosp u ⎥.
2⎣
cosp u ⎦
2
∫ cotp u
du =
1
sinp u + cosp u
2 [ u + ln
2
1 − cosp u
∫ cotp u du =
2∫
cosp u
cos u
du
du = 2 ∫
du = 2 ∫
du;
sinp u + cosp u
sin u + cos u
1 + tan u
essendo tale integrale della forma
2∫
tan u=z , si ha
] , che si è ottenuto come segue
∫ f (tan u )du con
f segno di funzione razionale, ponendo
du
dz
2 dz
2 z −1
= 2∫
=
−
dz =
2
∫
1 + tan u
(1 + z )(1 + z )
2 1+ z
2 ∫ 1 + z2
1
1
2
⎛1
⎞
(u + ln sin u + cos u ) = 1 2 [ u + ln sinp u + cosp u
2 ⎜ ln 1 + z − ln 1 + z 2 + tan −1 z ⎟ =
2
2
2
1 − cosp u
4
⎝2
⎠
1
π
u
1
∫ secp u du = 2 ln 2tanp ( 2 + 4 ) = 2 ln 2(secp u + tanp u)
1
1
∫ secp u du = 2 ∫ sec u du = 2 ln sec u + tan u
∫ cscp u du =
=
].
, che si è ottenuto come segue
1
u π
1
ln 2(secp u + tanp u ) o anche = ln 2tanp ( + ) .
2
2
2 4
2
sinp u + 2 − 1
ln
, che si è ottenuto come segue:
2
- sinp u + 2 + 1
www.matematicamente.it
32
∫ cscp u du = ∫
⎛
⎞
− dx
− dx
1− x
⎜
⎟=∫
, ponendo ± 1 − 2 x = y
⎜
⎟
1 − 2 x + x ⎝ (1 − x) 1 − 2 x ⎠
1 − 2x + x 1 − 2x
si avranno 1 − 2 x = y 2 ; x =
1 − y2
e − 2dx = 2 ydy;−dx = ydy , che sostituiti nell’ultima
2
espressione integrale dà
ydy
dy
dy
dy
, uguagliando a zero il
∫ 2 1 − y 2 = ∫ 1 − y 2 = 2∫ 2 y + 1 − y 2 = −2∫ y 2 − 2 y − 1
y +
y
y+
2
2
denominatore della funzione integrante e risolvendo l’equazione si ha y1, 2 = 1 ∓ 2 , per cui si può
(
)(
)
scrivere y 2 − 2 y − 1 = ( y − 1) − 2 = y − 1 + 2 y − 1 − 2 e quindi
2
⎞
A
B
1
2⎛
1
1
⎜
⎟ , in quanto essendo
=
+
=−
−
y − 2y −1 y −1+ 2 y −1− 2
4 ⎜⎝ y − 1 + 2 y − 1 − 2 ⎟⎠
2
1 = A( y − 1 − 2 ) + B( y − 1 + 2 ) , si possono ottenere A e B come segue rispettivamente da
1 = A( y1 − 1 − 2 ) e 1 = B( y2 − 1 + 2 ) , nelle quali, sostituendo i valori ottenuti di y1 e y2 si hanno
1 = A(1 − 2 − 1 − 2 ) = A(−2 2 ), cioè A =
1
2
=−
ed anche
4
−2 2
2
; riprendendo l’integrale in d y si ha
4
2 2
⎞
⎤
dy
2 2 ⎛
1
1
2⎡
dy
dy
⎜
⎟dy =
− 2∫ 2
=
−
−∫
⎢∫
⎥=
∫
⎜
⎟
y − 2y −1
4 ⎝ y −1+ 2 y −1− 2 ⎠
2 ⎣ y −1+ 2
y −1− 2 ⎦
1 = B(1 + 2 − 1 + 2 ) = B(2 2 ) , cioè B =
[
1
=
]
⎤
2
2⎡
dy
dy
+∫
ln y + 2 − 1 − ln − y + 2 + 1 =
⎢∫
⎥=
2
2 ⎣ y −1+ 2
− y +1+ 2 ⎦
2
y + 2 −1
ln
, nella quale risostituendo il valore di y assegnato e cioè 1 − 2 x si ha
2
− y + 2 +1
2
1 − 2x + 2 − 1
ln
, ricordando che 1 − 2 x = sinp u , in definitiva si ha
2
− 1 − 2x + 2 + 1
∫ cscp u du =
2
sinp u + 2 − 1
ln
.
2
- sinp u + 2 + 1
www.matematicamente.it
33
LISTATO DI PROGRAMMA. Si riporta un listato in Qbasic che permette di calcolare le funzioni
paraboliche di ogni argomento, sia esso espresso in radianti che in gradi sessagesimali o nell’area
doppia del settore parabolico sotteso dal relativo angolo:
CLS : PRINT "VALORI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE DI ARGOMENTI (T),(U) ed (s)"
PRINT "ESSENDO: (T) IL DOPPIO DELL'AREA DEL SETTORE PARABOLICO DI AMPIEZZA (U)."
REM QUEST'ULTIMO IN RADIANTI, PER CUI E'U(T)=ATN(SINP(T)/COSP(T)) E
REM T(U)=SINP(U)/2*(1+SINP(U)^2/3);IL RAGGIO VETTORE R(U)=1/(1+COS(U)) ED IL
REM PARAMETRO P=1(distanza direttrice fuoco,nel quale e'l'origine degli assi)
REM (come il raggio=1 nel cerchio trigon.co). L'EQUAZ. PARABOLA E' Y^2+2*X=1.
REM L'INFINITESIMO +1D-37 E'POSTO COME UN ARTIFICIO CHE PERMETTE LE DIVISIONI
REM PER ZERO:NELL'OUTPUT GLI INFINITESIMI VANNO LETTI ZERO. MENTRE I NUMERI
REM DEL TIPO 1E+37 VANNO LETTI INFINITO.SE VUOI INTRODURRE T=2/3 DIGITA
REM .6666666667(punto,nove volte 6,un 7) E MODIFICA LE ISTRUZIONI 140,150,
REM 350,PER T=-2/3 ANCHE LA 320, SOMMANDO AI DENOMINATORI 1D-37.
REM PER T=INFINITO DIGITA 1E+37.
REM v.CAROLLA G.,2001 "FUNZIONI PARABOLICHE",in Atti Congresso Naz.le MATHESIS
REM di Barletta,17,18,19 OTTOBRE 2000.
P = 1
PRINT "Se vuoi direttamente le funzioni paraboliche in funzione di (s) gradi"
PRINT "sessagesimali digita 1, se vuoi i valori in funzione di"
INPUT "(T) e di (U) in radianti digita rispettivamente 2 e 3"; Z
IF Z = 1 THEN 400 ELSE 100
100 IF Z = 3 THEN 380
INPUT "T="; T
IF T = 0 OR T = .6666666667# OR T = 1E+37 THEN 120 ELSE 130
120 A0 = SQR(9 * T ^ 2 + P ^ 4)
A = 3 * P * T + P * A0
C = 3 * P * T - P * A0
A1 = SGN(A) * (SGN(A) * A) ^ (1 / 3)
C1 = SGN(C) * (SGN(C) * C) ^ (1 / 3)
SINP = A1 + C1 + 1D-37
PRINT
COSP = (1 - SINP ^ 2) / 2 + 1D-37
GOTO 140
130 A0 = SQR(9 * T ^ 2 + P ^ 4)
A = 3 * P * T + P * A0
C = 3 * P * T - P * A0
A1 = SGN(A) * (SGN(A) * A) ^ (1 / 3)
C1 = SGN(C) * (SGN(C) * C) ^ (1 / 3)
SINP = A1 + C1
PRINT
COSP = (1 - SINP ^ 2) / 2
140 TANP = SINP / (2 * COSP)
COTP = (SQR(2) * COSP) / (SINP + COSP)
SECP = (1 - COSP) / (2 * COSP)
150 CSCP = (1 - COSP) / (SINP + COSP)
e = -2 / 3 * P ^ 2
F = 2 / 3 * P ^ 2
IF T >= 0 THEN 350
IF T < 0 THEN 320
IF T > e THEN 350
IF T < F THEN 350
320 i = SINP / COSP
U = ATN(i) - (SGN(i) + 1) * ATN(1) * 2
GOTO 370
350 L = SINP / COSP
U = ATN(L) - (SGN(L) - 1) * ATN(1) * 2
370 PRINT "U="; U
GOTO 390
380 INPUT "U="; U
COSPU = COS(U) / (1 + COS(U))
www.matematicamente.it
34
SINPU = SIN(U) / (1 + COS(U))
T = SINPU / 2 * (1 + SINPU ^ 2 / 3)
REM PRINT SINPU; COSPU; T
SINP = SINPU: COSP = COSPU
TANP = SINP / (2 * COSP)
COTP = (SQR(2) * COSP) / (SINP + COSP)
SECP = (1 - COSP) / (2 * COSP)
CSCP = (1 - COSP) / (SINP + COSP)
390 PRINT
PRINT "GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (T) E (U)"
PRINT "(U negativo nel III e IV quadrante, fino al primo angolo giro)"
PRINT
PRINT "SINP "; T; "="; "SINP "; U; "="; SINP; "="; (1 - COS(U)) / SIN(U); "=";
SIN(U) / (1 + COS(U))
PRINT
PRINT "COSP "; T; "="; "COSP "; U; "="; COSP; "="; COS(U) / (1 + COS(U))
PRINT
PRINT "TANP "; T; "="; "TANP "; U; "="; TANP; "="; TAN(U) / 2
PRINT
PRINT "COTP "; T; "="; "COTP "; U; "="; COTP; "="; SQR(2) * COS(U) / (SIN(U) +
COS(U))
PRINT
PRINT "SECP "; T; "="; "SECP "; U; "="; SECP; "="; 1 / (2 * COS(U))
PRINT
PRINT "CSCP "; T; "="; "CSCP "; U; "="; CSCP; "="; 1 / (SIN(U) + COS(U))
END
400 REM LE FUNZIONI PARABOLICHE DI (s) IN GRADI SESSAG.E IN (U) IN RADIANTI
INPUT "s"; s
IF s <= 180 THEN 410
U = ATN(1) * 4 * s / 180 - ATN(1) * 8: GOTO 420
410 U = ATN(1) * 4 * s / 180
420 PRINT
PRINT "U="; U
PRINT
PRINT "GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (s) GR. SESSAG. E (U)
RAD."
PRINT "(U negativo nei quadranti III e IV, fino al primo angolo giro)"
PRINT
PRINT "SINP "; s; "="; "SINP "; U; "="; (1 - COS(U)) / SIN(U); "="; SIN(U) / (1
+ COS(U))
PRINT
PRINT "COSP "; s; "="; "COSP "; U; "="; COS(U) / (1 + COS(U))
PRINT
PRINT "TANP "; s; "="; "TANP "; U; "="; TAN(U) / 2; ""
PRINT
PRINT "COTP "; s; "="; "COTP "; U; "="; SQR(2) * COS(U) / (SIN(U) + COS(U))
PRINT
PRINT "SECP "; s; "="; "SECP "; U; "="; 1 / (2 * COS(U))
PRINT
PRINT "CSCP "; s; "="; "CSCP "; U; "="; 1 / (SIN(U) + COS(U))
END
ESEMPI IN OUTPUT. I sei esempi che seguono sono relativi alle tre opzioni del programma di
cui sopra e si riferiscono rispettivamente ad argomenti dei quadranti I, II, III, IV, I, II:
VALORI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE DI ARGOMENTI (T),(U) ed (s)
ESSENDO: (T) IL DOPPIO DELL'AREA DEL SETTORE PARABOLICO DI AMPIEZZA (U).
Se vuoi direttamente le funzioni paraboliche in funzione di (s) gradi
www.matematicamente.it
35
sessagesimali digita 1, se vuoi i valori in funzione di
(T) e di (U) in radianti digita rispettivamente 2 e 3? 1
s? 45
U= .7853982
GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (s) GR. SESSAG. E (U)
RAD.
(U negativo nei quadranti III e IV, fino al primo angolo giro)
SINP 45 =SINP .7853982 = .4142136 = .4142136
COSP 45 =COSP .7853982 = .4142136
TANP 45 =TANP .7853982 = .5
COTP 45 =COTP .7853982 = .7071068
SECP 45 =SECP .7853982 = .7071068
CSCP 45 =CSCP .7853982 = .7071068
VALORI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE DI ARGOMENTI (T),(U) ed (s)
ESSENDO: (T) IL DOPPIO DELL'AREA DEL SETTORE PARABOLICO DI AMPIEZZA (U).
Se vuoi direttamente le funzioni paraboliche in funzione di (s) gradi
sessagesimali digita 1, se vuoi i valori in funzione di
(T) e di (U) in radianti digita rispettivamente 2 e 3? 2
T=? 3.55228475
U= 2.356194
GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (T) E (U)
(U negativo nel III e IV quadrante, fino al primo angolo giro)
SINP 3.552285 =SINP 2.356194 = 2.414213 = 2.414214 = 2.414214
COSP 3.552285 =COSP 2.356194 =-2.414213 =-2.414214
TANP 3.552285 =TANP 2.356194 =-.5000001 =-.5
COTP 3.552285 =COTP 2.356194 =-1.432025E+07 = 1.185935E+08
SECP 3.552285 =SECP 2.356194 =-.7071068 =-.7071068
CSCP 3.552285 =CSCP 2.356194 = 1.432025E+07 =-1.185935E+08
Si noti che 2.356194=3/4 π
VALORI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE DI ARGOMENTI (T),(U) ed (s)
ESSENDO: (T) IL DOPPIO DELL'AREA DEL SETTORE PARABOLICO DI AMPIEZZA (U).
Se vuoi direttamente le funzioni paraboliche in funzione di (s) gradi
www.matematicamente.it
36
sessagesimali digita 1, se vuoi i valori in funzione di
(T) e di (U) in radianti digita rispettivamente 2 e 3? 3
U=? 4.1887902
T=-1.73205
GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (T) E (U)
(U negativo nel III e IV quadrante, fino al primo angolo giro)
SINP -1.73205 =SINP 4.18879 =-1.732051 =-1.732051 =-1.732051
COSP -1.73205 =COSP 4.18879 =-.9999996 =-.9999996
TANP -1.73205 =TANP 4.18879 = .8660256 = .8660256
COTP -1.73205 =COTP 4.18879 = .517638 = .517638
SECP -1.73205 =SECP 4.18879 =-1 =-1
CSCP -1.73205 =CSCP 4.18879 =-.7320508 =-.7320508
VALORI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE DI ARGOMENTI (T),(U) ed (s)
ESSENDO: (T) IL DOPPIO DELL'AREA DEL SETTORE PARABOLICO DI AMPIEZZA (U).
Se vuoi direttamente le funzioni paraboliche in funzione di (s) gradi
sessagesimali digita 1, se vuoi i valori in funzione di
(T) e di (U) in radianti digita rispettivamente 2 e 3? 1
s=? 300
U=-1.047198
GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (s) GR. SESSAG. E (U)
RAD.
(U negativo nei quadranti III e IV, fino al primo angolo giro)
SINP 300 =SINP -1.047198 =-.5773503 =-.5773503
COSP 300 =COSP -1.047198 = .3333333
TANP 300 =TANP -1.047198 =-.8660254
COTP 300 =COTP -1.047198 =-1.931851
SECP 300 =SECP -1.047198 = 1
CSCP 300 =CSCP -1.047198 =-2.73205
VALORI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE DI ARGOMENTI (T),(U) ed (s)
ESSENDO: (T) IL DOPPIO DELL'AREA DEL SETTORE PARABOLICO DI AMPIEZZA (U).
Se vuoi direttamente le funzioni paraboliche in funzione di (s) gradi
www.matematicamente.it
37
sessagesimali digita 1, se vuoi i valori in funzione di
(T) e di (U) in radianti digita rispettivamente 2 e 3? 2
T=? .3207501495
U= 1.047198
GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (T) E (U)
(U negativo nel III e IV quadrante, fino al primo angolo giro)
SINP .3207501 =SINP 1.047198 = .5773503 = .5773503 = .5773503
COSP .3207501 =COSP 1.047198 = .3333333 = .3333333
TANP .3207501 =TANP 1.047198 = .8660255 = .8660254
COTP .3207501 =COTP 1.047198 = .517638 = .5176381
SECP .3207501 =SECP 1.047198 = 1 = 1
CSCP .3207501 =CSCP 1.047198 = .7320508 = .7320508
VALORI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE DI ARGOMENTI (T),(U) ed (s)
ESSENDO: (T) IL DOPPIO DELL'AREA DEL SETTORE PARABOLICO DI AMPIEZZA (U).
Se vuoi direttamente le funzioni paraboliche in funzione di (s) gradi
sessagesimali digita 1, se vuoi i valori in funzione di
(T) e di (U) in radianti digita rispettivamente 2 e 3? 3
U=? 2.6179939
T= 10.52948
GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (T) E (U)
(U negativo nel III e IV quadrante, fino al primo angolo giro)
SINP 10.52948 =SINP 2.617994 = 3.73205 = 3.73205 = 3.73205
COSP 10.52948 =COSP 2.617994 =-6.4641 =-6.4641
TANP 10.52948 =TANP 2.617994 =-.2886752 =-.2886752
COTP 10.52948 =COTP 2.617994 = 3.346066 = 3.346066
SECP 10.52948 =SECP 2.617994 =-.5773503 =-.5773503
CSCP 10.52948 =CSCP 2.617994 =-2.732051 =-2.732051
II LISTATO DI PROGRAMMA. Si riporta un altro listato di programma in Qbasic, con l’input e
qualche esempio in output:
CLS
PRINT “G. CAROLLA MARZO 2006”; "SULLE FUNZIONI PARABOLICHE
www.matematicamente.it
38
GENERALIZZATE,DEFINIZIONI DI QUELLE CANONICHE E COMPARAZIONE DEI VALORI
CALCOLATI"
REM IL PRESENTE LISTATO DI PROGRAMMA con
REM le istruzioni che seguono permettono di ottenere t(u,P),cioè il doppio
REM dell'area del settore parabolico che sottende u, da u in radianti e P>=1.
REM Inoltre,verificano le varie definizioni del raggio vettore e delle f. p.,
REM calcolano i valori anche delle f. p. generalizzate (per un P qualunque).
REM INFINE, SI POSSONO COMPARARE I VALORI CALCOLATI DELL'AREA t(u,1),
REM DEL RAGGIO VETTORE E DELLE DEFINIZIONI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE CON
REM QUELLI ESATTI RIPORTATI IN FONDO ALL'OUTPUT.
PRINT "IL PROGRAMMA VA IN OVERFLOW E PRESENTA PROBLEMI (ES. PER u=3/4(PIGRECA)"
PRINT "(PERCIO' DIGITA 2.356194),IN QUANTO (CON 2.3561945) VI E' SINPu+COSPu=0
AL DENOMINATORE),"
PRINT "E SOLO QUANDO CAPITA DI DIVIDERE PER ZERO,PERTANTO SI CONSIGLIA PER
L'INPUT"
PRINT "DI DARE LO ZERO IN .00001 O IN NOTAZIONE ESPONENZIALE DI INFINITESIMO."
PRINT "IN OUTPUT I VALORI NULLI, INFINITO E INFINITESIMO SONO IN NOTAZIONE"
PRINT "ESPONENZIALE, O L'INFINITO E' CON SETTE CIFRE. "
PRINT "************************************************************************"
PRINT “*A VOLTE LE RISPOSTE SONO DATE CON DUE NUMERI:
PRINT "*SE u E' NEL I O IV QUADRANTE IL PRIMO DEI DUE NUMERI DARA' LA RISPOSTA*"
PRINT "*ESATTA, SE u E' NEL II O III QUADRANTE SARA' ESATTO IL SECONDO NUMERO.*"
PRINT "************************************************************************"
PRINT
INPUT "u è angolo del I o IV quadrante? Se sì DIGITA 1, se u è del II o III
DIGITA 2"; V
IF V = 1 THEN 10 ELSE 55
10 INPUT " u="; u
INPUT "DIGITA IL VALORE DI P"; P
IF u >= 0 AND u < 1.5707963# THEN 20
IF u > 4.712389 AND u <= 6.2831853# THEN 30
R1 = P ^ 2 + (2 * P ^ 2 * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2))
GOTO 40
20 R1 = P ^ 2 + (2 * P ^ 2 * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u))
GOTO 50
30 R1 = P ^ 2 + (2 * P ^ 2 * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u))
PRINT "TAN(u)="; TAN(u); "R1="; R1
40 t = -(SQR(R1) / 2 * (1 + R1 / 3)): PRINT "t(u,P)="; "t("; u; ",";
GOTO 98
50 t = SQR(R1) / 2 * (1 + R1 / 3): PRINT "t(u,P)="; "t("; u; ","; P;
GOTO 98
55 INPUT " u="; u
INPUT "DIGITA IL VALORE DI P"; P
^ 2))
^ 2))
P; ")="; t
")="; t
IF u >= 1.5707963# AND u < 3.1415926# THEN 65
IF u >= 3.1415926# OR u <= 4.712389 THEN 75
R1 = P ^ 2 + (2 * P ^ 2 * (1 + SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2))
GOTO 85
65 R1 = P ^ 2 + (2 * P ^ 2 * (1 + SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u))
GOTO 95
75 R1 = P ^ 2 + (2 * P ^ 2 * (1 + SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u))
PRINT "TAN(u)="; TAN(u); "R1="; R1
85 t = -(SQR(R1) / 2 * (1 + R1 / 3)): PRINT "t(u,P)="; "t("; u; ",";
GOTO 98
95 t = SQR(R1) / 2 * (1 + R1 / 3): PRINT "t(u,P)="; "t("; u; ","; P;
GOTO 98
REM sotto + se u II e III quadrante
98 COSP1 = -P * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)
www.matematicamente.it
^ 2))
^ 2))
P; ")="; t
")="; t
39
COSP2 = -P * (1 + SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)
SINP1
SINP2
PRINT
PRINT
PRINT
RO1 =
RO2
PRINT
COSP2
PRINT
TANP1
= COSP1 * TAN(u)
= COSP2 * TAN(u)
"SINP(u,P)="; SINP1; SINP2; "COSP(u,P)="; COSP1; COSP2
"SINP/P="; SINP1 / P; SINP2 / P; "COSP/P="; COSP1 / P; COSP2 / P
"SI RIPORTA IL VALORE DI P DIGITATO, CIOE'"; P
P - COSP1: RO2 = P - COSP2: PRINT "RO(u,P)="; "RO("; u; ","; P; ")="; RO1;
"RO(u,P)/P="; RO1 / P; RO2 / P; " o anche 1-COSP/P="; 1 - COSP1 / P; 1 / P
= P * SINP1 / (2 * COSP1): PRINT "TANP(u,P)="; TANP1; "TANP/P="; TANP1 / P
PRINT
COTP1 = P * COSP1 * SQR(2) / (SINP1 + COSP1): PRINT "COTP(u,P)="; COTP1;
"COTP/P="; COTP1 / P
PRINT
SECP3
SECP3
SECP4
SECP4
PRINT
CSCP3
CSCP3
CSCP4
CSCP4
=
/
=
/
P * (P - COSP1) / (2 * COSP1): PRINT "SECP(u,P)="; SECP3; "SECP/P=";
P
P * (P - COSP2) / (2 * COSP2): PRINT "SECP(u,P)="; SECP4; "SECP/P=";
P
=
/
=
/
P * (P - COSP1) / (SINP1 + COSP1): PRINT "CSCP(u,P)="; CSCP3; "CSCP/P=";
P
P * (P - COSP2) / (SINP2 + COSP2): PRINT "CSCP(u,P)="; CSCP4; "CSCP/P=";
P
PRINT
PRINT "PER POTER EFFETTUARE LA COMPARAZIONE CON I VALORI DI CUI SOPRA,"
PRINT "DEI QUALI ALMENO UN VALORE DELLE DEFINIZIONI DEVE ESSERE ESATTO,"
PRINT "SEGUONO L'AREA t(u,1) E I VALORI ESATTI DEL"
PRINT "RAGGIO VETTORE E DELLE SEI FUNZIONI PARABOLICHE PER P=1:"
R2 = 1 + (2 * (1 + SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2))
PRINT
t2 = (SQR(R2) / 2 * (1 + R2 / 3))
PRINT "t(u,1)="; "t("; u; ",1)="; "+-"; t2; "con + II, - III quadrante"
R3 = 1 + (2 * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2))
t3 = SQR(R3) / 2 * (1 + R3 / 3): PRINT "t(u,1)="; "t("; u; ",1)="; "+-"; t3;
"con + I,- IV quadrante"
RO0 = 1 / (1 + COS(u)): PRINT "RO(u,1)="; "RO("; u; ")="; RO0
SINP0 = SIN(u) / (1 + COS(u)): PRINT "SINP(u,1)="; "SINP("; u; ")="; SINP0
COSP0 = COS(u) / (1 + COS(u)): PRINT "COSP(u,1)="; "COSP("; u; ")="; COSP0
TANP0 = TAN(u) / 2: PRINT "TANP(u,1)="; "TANP("; u; ")="; TANP0
COTP0 = SQR(2) * COS(u) / (SIN(u) + COS(u)): PRINT "COTP(u,1)="; "COTP("; u;
")="; COTP0
SECP0 = 1 / (2 * COS(u)): PRINT "SECP(u,1)="; "SECP("; u; ")="; SECP0
CSCP0 = 1 / (SIN(u) + COS(u)): PRINT "CSCP(u,1)="; "CSCP("; u; ")="; CSCP0
END
ESEMPI IN OUTPUT. In output si riportano quattro esempi relativi ad argomenti del I, del III
quadrante e due dell’angolo piatto:
1^ esempio
u = 30° =
1
π = .5235987
6
e p=3
*****************************************************************************
* A VOLTE LE RISPOSTE SONO DATE CON DUE NUMERI:
*
*SE u E' NEL I O IV QUADRANTE IL PRIMO DEI DUE NUMERI DARA' LA RISPOSTA*
*ESATTA, SE u E' NEL II O III QUADRANTE SARA' ESATTO IL SECONDO NUMERO. *
www.matematicamente.it
40
*****************************************************************************
u è angolo del I o IV quadrante? Se sì DIGITA 1, se u è del II o III DIGITA 2? 1
u=? .5235987
DIGITA IL VALORE DI P? 3
t(u,P)=t( .5235987 , 3 )= .4884942
SINP(u,P)= .8038474 -11.19615 COSP(u,P)= 1.392305 -19.39231
SINP/P= .2679491 -3.732052 COSP/P= .4641016 -6.464104
SI RIPORTA IL VALORE DI P DIGITATO, CIOE' 3
RO(u,P)=RO( .5235987 , 3 )= 1.607695 22.39231
RO(u,P)/P= .5358984 7.464104 o anche 1-COSP/P= .5358984 7.464104
TANP(u,P)= .8660252 TANP/P= .2886751
COTP(u,P)= 2.689727 COTP/P= .8965755
SECP(u,P)= 1.732051 SECP/P= .5773502
SECP(u,P)=-1.732051 SECP/P=-.5773502
CSCP(u,P)= 2.196152 CSCP/P= .7320508
CSCP(u,P)=-2.196152 CSCP/P=-.7320508
PER POTER EFFETTUARE LA COMPARAZIONE CON I VALORI (DI CUI SOPRA)
DEI QUALI ALMENO UN VALORE DELLE DEFINIZIONI DEVE ESSERE ESATTO,
SEGUONO L'AREA t(u,1) E I VALORI ESATTI DEL
RAGGIO VETTORE E DELLE SEI FUNZIONI PARABOLICHE PER P=1:
t(u,1)=t( .5235987 ,1)=+- 10.52949 con + II, - III quadrante
t(u,1)=t( .5235987 ,1)=+- .1371809 con + I,- IV quadrante
RO(u,1)=RO( .5235987 )= .5358984
SINP(u,1)=SINP( .5235987 )= .2679491
COSP(u,1)=COSP( .5235987 )= .4641016
TANP(u,1)=TANP( .5235987 )= .2886751
COTP(u,1)=COTP( .5235987 )= .8965756
SECP(u,1)=SECP( .5235987 )= .5773503
CSCP(u,1)=CSCP( .5235987 )= .7320508
II esempio u= 225° = 5 π
4
= 3.9269908
p=5
*****************************************************************************
* A VOLTE LE RISPOSTE SONO DATE CON DUE NUMERI:
*
*SE u E' NEL I O IV QUADRANTE IL PRIMO DEI DUE NUMERI DARA' LA RISPOSTA *
*ESATTA, SE u E' NEL II O III QUADRANTE SARA' ESATTO IL SECONDO NUMERO. *
*****************************************************************************
u è angolo del I o IV quadrante? Se sì DIGITA 1, se u è del II o III DIGITA 2? 2
u=? 3.9269908
DIGITA IL VALORE DI P? 5
TAN(u)= .9999999 R1= 145.7107
www.matematicamente.it
41
t(u,P)=t( 3.926991 , 5 )=-299.1829
SINP(u,P)= 2.071068 -12.07107 COSP(u,P)= 2.071068 -12.07107
SINP/P= .4142135 -2.414214 COSP/P= .4142136 -2.414214
SI RIPORTA IL VALORE DI P DIGITATO, CIOE' 5
RO(u,P)=RO( 3.926991 , 5 )= 2.928932 17.07107
RO(u,P)/P= .5857865 3.414214 o anche 1-COSP/P= .5857865 3.414214
TANP(u,P)= 2.5 TANP/P= .4999999
COTP(u,P)= 3.535534 COTP/P= .7071068
SECP(u,P)= 3.535534 SECP/P= .7071068
SECP(u,P)=-3.535534 SECP/P=-.7071067
CSCP(u,P)= 3.535534 CSCP/P= .7071068
CSCP(u,P)=-3.535534 CSCP/P=-.7071068
PER POTER EFFETTUARE LA COMPARAZIONE CON I VALORI (DI CUI SOPRA)
DEI QUALI ALMENO UN VALORE DELLE DEFINIZIONI DEVE ESSERE ESATTO,
SEGUONO L'AREA t(u,1) E I VALORI ESATTI DEL
RAGGIO VETTORE E DELLE SEI FUNZIONI PARABOLICHE PER P=1:
t(u,1)=t( 3.926991 ,1)=+- 3.552286 con + II, - III quadrante
t(u,1)=t( 3.926991 ,1)=+- .2189514 con + I,- IV quadrante
RO(u,1)=RO( 3.926991 )= 3.414214
SINP(u,1)=SINP( 3.926991 )=-2.414214
COSP(u,1)=COSP( 3.926991 )=-2.414214
TANP(u,1)=TANP( 3.926991 )= .4999999
COTP(u,1)=COTP( 3.926991 )= .7071068
SECP(u,1)=SECP( 3.926991 )=-.7071067
CSCP(u,1)=CSCP( 3.926991 )=-.7071068
3^ esempio
u = 180° = 3.141592653
p=2
*****************************************************************************
*A VOLTE LE RISPOSTE SONO DATE CON DUE NUMERI:
*
*SE u E' NEL I O IV QUADRANTE IL PRIMO DEI DUE NUMERI DARA' LA RISPOSTA *
*ESATTA, SE u E' NEL II O III QUADRANTE SARA' ESATTO IL SECONDO NUMERO. *
*****************************************************************************
u è angolo del I o IV quadrante? Se sì DIGITA 1, se u è del II o III DIGITA 2? 2
u=? 3.141592653
DIGITA IL VALORE DI P? 2
TAN(u)= 8.742278E-08 R1= 2.093489E+15
t(u,P)=t( 3.141593 , 2 )=-1.596448E+22
SINP(u,P)= 8.742295E-08 -4.575466E+07 COSP(u,P)= 1.000002 -5.233723E+14
SINP/P= 4.371148E-08 -2.287733E+07 COSP/P= .500001 -2.616862E+14
SI RIPORTA IL VALORE DI P DIGITATO, CIOE' 2
RO(u,P)=RO( 3.141593 , 2 )= .999998 5.233723E+14
www.matematicamente.it
42
RO(u,P)/P= .499999 2.616862E+14 o anche 1-COSP/P= .499999 2.616862E+14
TANP(u,P)= 8.742278E-08 TANP/P= 4.371139E-08
COTP(u,P)= 2.828427 COTP/P= 1.414213
SECP(u,P)= .9999959 SECP/P= .499998
SECP(u,P)=-1 SECP/P=-.5
CSCP(u,P)= 1.999992 CSCP/P= .9999959
CSCP(u,P)=-2 CSCP/P=-.9999999
PER POTER EFFETTUARE LA COMPARAZIONE CON I VALORI (DI CUI SOPRA)
DEI QUALI ALMENO UN VALORE DELLE DEFINIZIONI DEVE ESSERE ESATTO,
SEGUONO L'AREA t(u,1) E I VALORI ESATTI DEL
RAGGIO VETTORE E DELLE SEI FUNZIONI PARABOLICHE PER P=1:
t(u,1)=t( 3.141593 ,1)=+- 1.99556E+21 con + II, - III quadrante
In questo caso il programma è andato in overflow, dovuto al radicando negativo della prima delle
due istruzioni che si riportano a seguire
R3 = 1 + (2 * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2))
t3 = SQR(R3) / 2 * (1 + R3 / 3): PRINT "t(u,1)="; "t("; u; ",1)="; "+-"; t3;
Mancano perciò i risultati con i quali si sarebbero effettuati le verifiche.
Allo scopo, temporaneamente, solo per il presente esempio, si è resa la R3=R2 e quindi l’output che
segue è completo:
*****************************************************************************
*A VOLTE LE RISPOSTE SONO DATE CON DUE NIMERI:
*
*SE u E' NEL I O IV QUADRANTE IL PRIMO DEI DUE NUMERI DARA' LA RISPOSTA *
*ESATTA, SE u E' NEL II O III QUADRANTE SARA' ESATTO IL SECONDO NUMERO. *
*****************************************************************************
u è angolo del I o IV quadrante? Se sì DIGITA 1, se u è del II o III DIGITA 2? 1
u=? 3.1415926
DIGITA IL VALORE DI P? 2
t(u,P)=t( 3.141593 , 2 )=-1.386981E-03
SINP(u,P)=-1.509955E-07 2.64908E+07 COSP(u,P)= .9999981 -1.754407E+14
SINP/P=-7.549775E-08 1.32454E+07 COSP/P= .499999 -8.772033E+13
SI RIPORTA IL VALORE DI P DIGITATO, CIOE' 2
RO(u,P)=RO( 3.141593 , 2 )= 1.000002 1.754407E+14
RO(u,P)/P= .500001 8.772033E+13 o anche 1-COSP/P= .500001 8.772033E+13
TANP(u,P)=-1.509958E-07 TANP/P=-7.549789E-08
COTP(u,P)= 2.828428 COTP/P= 1.414214
www.matematicamente.it
43
SECP(u,P)= 1.000004 SECP/P= .5000019
SECP(u,P)=-1 SECP/P=-.5
CSCP(u,P)= 2.000008 CSCP/P= 1.000004
CSCP(u,P)=-2 CSCP/P=-1
PER POTER EFFETTUARE LA COMPARAZIONE CON I VALORI (DI CUI SOPRA)
DEI QUALI ALMENO UN VALORE DELLE DEFINIZIONI DEVE ESSERE ESATTO,
SEGUONO L'AREA t(u,1) E I VALORI ESATTI DEL
RAGGIO VETTORE E DELLE SEI FUNZIONI PARABOLICHE PER P=1:
t(u,1)=t( 3.141593 ,1)=+- 3.87297E+20 con + II, - III quadrante
t(u,1)=t( 3.141593 ,1)=+- 6.934893E-04 con + I,- IV quadrante
RO(u,1)=RO( 3.141593 )= 8.772008E+13
SINP(u,1)=SINP( 3.141593 )= 1.324536E+07
COSP(u,1)=COSP( 3.141593 )=-8.772008E+13
TANP(u,1)=TANP( 3.141593 )=-7.54979E-08
COTP(u,1)=COTP( 3.141593 )= 1.414214
SECP(u,1)=SECP( 3.141593 )=-.5
CSCP(u,1)=CSCP( 3.141593 )=-1
Naturalmente gli infiniti e lo zero sono dati in notazione esponenziale e quest’ultimo sotto forma di
un infinitesimo.
BIBLIOGRAFIA
A. AGOSTINI, “Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche. Trigonometria piana e sferica”, in Enciclopedia delle
Matematiche elementari e complementari, vol. II p. I, Milano 1937 (rist. an. 1957), pp. 540 sgg.;
J. BOOTH, A Memoir on the trigonometry of the parabola, London 1856;
M. CUGIANI, in Enciclopedia della Scienza e della Tecnica, vol. V, ed. it. Milano 21964, s. v. “Funzione”;
G. EGIDI, “Saggio intorno alle funzioni paraboliche.”, Atti Acc. Nuovi Lincei 47, 1894, pp. 16-33;
M. R. SPIEGEL, “Funzioni trigonometriche” e “Funzioni iperboliche”, in Manuale di Matematica, ed. it. , Milano
1994.
Carolla G., “Intorno alla trigonometria della parabola”, lavoro presentato nel Convegno Nazionale di
Matematica della Mathesis, Paestum (SA), 1983, pp.47.
Carolla G., “Le funzioni paraboliche” in Atti del Congresso Nazionale Mathesis “Il ruolo della
Matematica nella società contemporanea”, 17/19 ottobre 2000, Editrice Rotas, Barletta (BA), 2001,
pp. 97-112, pubblicato anche sul sito www.matematicamente.it nella sezione Approfondimenti: idee interessanti.
Lecce, marzo 2006
www.matematicamente.it
44