Capitolo 4
IDRAULICA DEI TERRENI
CAPITOLO 4
IDRAULICA DEI TERRENI
Nell’affrontare la maggior parte dei problemi di Ingegneria Geotecnica non si può prescindere dalla presenza dell’acqua nel terreno.
L’acqua che viene direttamente a contatto con la superficie del terreno, o raccolta da fiumi e laghi, tende ad infiltrarsi nel sottosuolo per effetto della gravità e, se si eccettua una
percentuale trascurabile che si accumula all’interno di cavità sotterranee, la maggior parte
di essa va a riempire, parzialmente o completamente, i vuoti presenti nel terreno e le fessure degli ammassi rocciosi.
In particolare, nel caso di depositi di terreno, si possono distinguere, al variare della profondità, zone a differente grado di saturazione e in cui l’acqua presente nei vuoti si trova
in condizioni diverse. Partendo dalla superficie del piano campagna e procedendo verso il
basso, si possono generalmente individuare (Figura 4.1).
−
un primo strato superficiale di suolo vegetale, detto di evapotraspirazione, dove
l’acqua di infiltrazione viene parzialmente ritenuta, ma in prevalenza assorbita dalle
radici della vegetazione;
−
un secondo strato, detto di ritenzione, in cui l’acqua presente è costituita principalmente da una parte significativa dell’acqua di infiltrazione che rimane aderente ai
grani ed è praticamente immobile ed è detta acqua di ritenzione, che comprende
l’acqua adsorbita e l’acqua pellicolare (Figura 1.7).
−
un terzo strato, denominato strato della frangia capillare, caratterizzato prevalentemente dalla presenza di acqua capillare, quella che, per effetto delle tensioni superficiali, rimane “sospesa” all’interno dei vuoti, vincendo la forza di gravità.
Al di sotto di queste tre zone, che insieme costituiscono la cosiddetta zona vadosa, si trova la zona di falda (o acquifero).
Il grado di saturazione delle diverse zone dipende principalmente dalle caratteristiche
granulometriche e fisiche del deposito, da fattori climatici e ambientali. Fatta eccezione
per alcune categorie molto particolari di materiali, i vuoti presenti nel terreno sono comunicanti tra loro e costituiscono un reticolo continuo, cosicché, generalmente, la zona di
falda è completamente satura; la zona vadosa è satura in prossimità della falda per spessori variabili da pochi centimetri per le ghiaie a decine di metri per le argille e generalmente
ha un grado di saturazione decrescente salendo verso il piano campagna. La pressione
dell’acqua nella zona vadosa è inferiore a quella atmosferica (per cui la pressione interstiziale risulta negativa avendo assunto convenzionalmente, come ricordato nel capitolo 3, la
pressione atmosferica uguale a zero).
Inoltre, in relazione alla loro permeabilità i diversi tipi di terreno possono consentire più o
meno agevolmente il flusso dell’acqua, perciò la presenza di strati a differente permeabilità può determinare nel sottosuolo la presenza di diversi tipi di falda. In particolare, si possono individuare (Figura 4.2) le tre condizioni di:
−
falda freatica
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−
falda sospesa
−
falda artesiana
Acqua sospesa
Zona vadosa
Zona di evapotraspirazione
Zona di ritenzione
Acqua di falda
Zona di falda
Frangia capillare
Falda
Figura 4.1 – Zone a differente grado di saturazione in un deposito di terreno
Infiltrazione
Livello piezometrico
Falda sospesa
Falda freatica
Terreno con permeabilità
molto bassa
Acquifero confinato
(falda artesiana)
Roccia
Figura 4.2 – Differenti tipi di falda in un deposito di terreno
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La falda freatica è delimitata inferiormente da uno strato che non permette il flusso
dell’acqua (o comunque in quantità e velocità trascurabili) ed è delimitata superiormente
da una superficie, detta superficie freatica, in corrispondenza della quale l’acqua si trova
a pressione atmosferica, come si trovasse in un serbatoio aperto.
Immaginando di inserire un tubo verticale aperto alle estremità (piezometro) all’interno di
una falda freatica, ovvero di perforare un pozzo, si osserva che il livello statico raggiunto
dall’acqua nel tubo (detto livello piezometrico) è uguale a quello della superficie freatica.
Analoghe considerazioni possono essere fatte riguardo alla falda sospesa, che rispetto alla
precedente, risulta delimitata inferiormente da uno strato di estensione molto più limitata.
Si ha una falda artesiana quando l’acqua di una falda freatica viene incanalata tra due strati impermeabili. In questo caso l’acqua racchiusa nello strato permeabile (che ne permette
agevolmente il flusso) si comporta come se si trovasse entro una tubazione in pressione,
ossia ha una pressione maggiore di quella atmosferica. Immaginando di inserire un piezometro fino a raggiungere la falda artesiana, si osserva un livello piezometrico maggiore
di quello della superficie che delimita superiormente la falda.
In generale, l’acqua presente nel terreno può trovarsi in condizioni di quiete o di moto, sia
allo stato naturale sia in seguito a perturbazioni del suo stato di equilibrio.
Nel caso in cui si trovi in condizioni di moto, il flusso può essere stazionario (o permanente) oppure non stazionario (o vario), a seconda che i parametri del moto risultino costanti o variabili nel tempo.
Nel moto stazionario la quantità di acqua che entra in un elemento di terreno è pari alla
quantità di acqua che esce dallo stesso elemento (filtrazione in regime permanente). Nel
moto vario la quantità di acqua entrante in un elemento di terreno è diversa da quella uscente (filtrazione in regime vario). Se il terreno è saturo, la differenza tra le due quantità
può produrre il fenomeno della consolidazione (con riduzione dell’indice dei vuoti, o del
rigonfiamento, con aumento dell’indice dei vuoti.
Il vettore che caratterizza il moto dell’acqua può essere scomposto in una o più direzioni
nello spazio, definendo condizioni di flusso mono-, bi-, o tri-dimensionali. Generalmente,
nella maggior parte dei casi pratici, si fa riferimento ai primi due tipi.
4.1 Carico totale e piezometrico: il gradiente idraulico
I moti di filtrazione di un fluido avvengono tra due punti a diversa energia (da quello a
energia maggiore a quello a energia minore). In ciascun punto, l’energia è data dalla
somma dell’energia cinetica (legata alla velocità del fluido) e dell’energia potenziale (legata alla posizione del punto nel campo gravitazionale e alla pressione del fluido).
Nello studio dei moti di filtrazione è conveniente esprimere l’energia, potenziale e cinetica, in termini di carico, o altezza, che corrisponde all’energia per unità di peso del liquido. In particolare, si definiscono:
−
altezza geometrica, z, la distanza verticale del punto considerato da un piano orizzontale di riferimento arbitrario (z = 0),
−
altezza di pressione, u/γw, l’altezza di risalita dell’acqua rispetto al punto considerato, per effetto della sua pressione, u
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−
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altezza di velocità, v2/2g, l’energia dovuta alla velocità, v, delle particelle del fluido
(essendo g l’accelerazione di gravità).
La somma dei tre termini:
H =z+
u v2
+
γ w 2g
(Eq. 4.1)
è denominata carico effettivo (o totale) o altezza totale, mentre il binomio:
h =z+
u
γw
(Eq. 4.2)
è detto carico piezometrico.
In virtù del teorema di Bernoulli, si ha che per un fluido perfetto, incomprimibile, in moto
permanente, soggetto solo all’azione di gravità, il carico totale è costante lungo una data
traiettoria. Se, con riferimento allo schema di Figura 4.3 viene inserito un campione di
terreno, dotato di sufficiente
permeabilità, all’interno del
tubo di flusso nella zona controllata dai due piezometri, si
osserva che in essi l’acqua riPiezometri
sale a quote diverse; ciò significa che tra i due punti di
carico totale per fluido
ideale
osservazione si è avuta una
∆h
u1
perdita di carico nel termine h
γw
1
= z + u/γw. Potendo ritenere
A
u2
trascurabili le perdite di cariγw
co dovute al flusso del2
l’acqua in assenza di terreno e
osservando che per il principio di conservazione della
L
z1
massa la velocità media nelle
varie sezioni della condotta
z2
Figura 4.3 – Perdita di carico in condizioni di flusso monodi- deve essere costante, la diffepiano di riferimento
mensionale stazionario
in un campione di terreno
renza di altezza d’acqua nei
due piezometri, ∆h, è perciò
una misura della perdita di energia totale dovuta al flusso dell’acqua nel terreno, ossia
dell’energia spesa dall’acqua per vincere la resistenza al moto opposta dal terreno compreso tra i due punti considerati. Inoltre, poiché nei terreni la velocità di flusso, e quindi
l’altezza di velocità, è generalmente trascurabile, il carico piezometrico può essere ritenuto rappresentativo dell’energia totale nel punto considerato.
Con riferimento ai simboli di Figura 4.3, si definisce gradiente idraulico il rapporto:
i=
∆h
L
(Eq. 4.3)
che rappresenta la perdita di carico per unità di lunghezza del percorso.
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4.2 Legge di Darcy
Poiché il moto di filtrazione fra due generici punti è governato solo dalla differenza di carico, può essere utile identificare un legame tra le caratteristiche del moto (in particolare
la velocità), le proprietà del terreno e la perdita di carico.
Darcy, studiando il flusso monodimensionale dell’acqua attraverso strati orizzontali di
sabbia (in condizioni di moto laminare), osservò che la portata per unità di superficie è direttamente proporzionale alla perdita di carico e inversamente proporzionale alla lunghezza del percorso considerato. In sostanza, con riferimento alla Figura 4.3, tra la portata per
unità di superficie, Q/A, che può essere definita velocità apparente (nominale) di filtrazione, v, la perdita di carico, ∆h, e la lunghezza L, vale la relazione:
Q
∆h
= v = k⋅
= k ⋅i
L
A
(Eq. 4.4)
nota come Legge di Darcy, nella quale k è detto coefficiente di permeabilità.
In termini vettoriali, in condizioni di flusso bi-, e tri-dimensionali:
r
r
r
v = −k ⋅ ∇h = −k ⋅ div h
h = carico idraulico
(Eq. 4.5)
Considerando che la permeabilità è in generale una caratteristica anisotropa per i terreni
naturali, la (4.5) diventa:
∂h
= −k x ⋅ i x
∂x
∂h
v y = −k y ⋅
= −k y ⋅ i y
∂y
∂h
v z = −k z ⋅
= −k z ⋅ i z
∂z
v x = −k x ⋅
(Eq. 4.6)
Nelle relazioni precedenti, v è una velocità apparente, perché la velocità reale, vr,
dell’acqua nei pori è maggiore, in quanto, come evidenzia la Figura 4.4a, l’area della sezione attraversata effettivamente dall’acqua (area dei vuoti, Av) è minore dell’area della
sezione A. Quindi se Q è la portata misurata, essa può essere espressa come
v Av
Q = v ⋅ A = v r ⋅ A v da cui, osservando che
=
= n , segue:
vr
A
(Eq. 4.7)
v = n⋅vr.
È opportuno inoltre osservare che anche il percorso di filtrazione finora considerato, pari
alla lunghezza L del campione (Figura 4.3), è in realtà apparente, essendo quello reale sicuramente maggiore, come mostrato in Figura 4.4b.
4.3 Coefficiente di permeabilità
Il coefficiente di permeabilità ha le dimensioni di una velocità. Esso è legato alla resistenza viscosa e frizionale alla filtrazione di un fluido in un mezzo poroso e dipende dalle
proprietà del fluido (densità e viscosità) e dalle caratteristiche del mezzo poroso (permeabilità intrinseca). Limitandoci a considerare come fluido intestiziale l’acqua, e poiché la
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densità e la viscosità di un fluido sono legate principalmente alla temperatura, che nel terreno, salvo gli strati più superficiali o alcune situazioni particolari, varia abbastanza poco,
si assume il coefficiente di permeabilità dipendente solo dalle caratteristiche del terreno.
a)
b)
Porzione di tubo
di flusso idealizzato
Figura 4.4 – Velocità (a) e percorso di filtrazione (b) reali ed apparenti
Il campo di variazione del coefficiente di permeabilità dei terreni è enormemente grande,
come mostra la Tabella 4.1.
Tabella 4.1. Valori tipici del coefficiente di permeabilità dei terreni
TIPO DI TERRENO
k (m/s)
Ghiaia pulita
10 - 1
-2
-5
-2
-6
-4
-9
-5
-8
-6
Sabbia pulita, sabbia e ghiaia
10 - 10
Sabbia molto fine
10 - 10
Limo e sabbia argillosa
10 - 10
Limo
10 - 10
Argilla omogenea sotto falda
Argilla sovraconsolidata fessurata
Roccia non fessurata
< 10
-9
-8
10 - 10
10
-12
- 10
-4
-10
Per i terreni a grana grossa, le cui particelle sono approssimativamente di forma subsferica, il coefficiente di permeabilità è influenzato prevalentemente dalla granulometria e
dall’indice dei vuoti, che determinano la dimensione dei canali di flusso (diminuisce
all’aumentare del contenuto di fine e al diminuire dell’indice dei vuoti).
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Coefficiente di permeabilità [mm/s]
Per i terreni a grana fine sono invece
fondamentali la composizione mineralogica e la struttura, perché questi parametri determinano il tipo di interazione elettrochimica che si stabilisce tra particelle
di terreno e molecole d’acqua (ad esempio la permeabilità della caolinite è circa
100 volte maggiore di quella della
montmorillonite).
Grado di saturazione [%]
Figura 4.5 – Variazione del coefficiente di permeabilità col grado di saturazione per una sabbia
Anche il grado di saturazione influenza
sensibilmente la permeabilità; in particolare, sebbene non si possa stabilire una
relazione univoca tra le due grandezze, si
può osservare che la permeabilità cresce
al crescere del grado di saturazione (Figura 4.5).
A grande scala la permeabilità di un deposito dipende anche dalle caratteristiche
macrostrutturali del terreno (discontinuità, fessurazioni), come evidenziato in Tabella 4.1 dal confronto tra i valori tipici di k di
argille omogenee intatte e argille fessurate.
4.3.1 Permeabilità di depositi stratificati
Consideriamo un deposito di terreno costituito da n strati orizzontali saturi (Figura 4.6) e
indichiamo con:
kh1, kh2, . . . . . .khn i coefficienti di permeabilità in direzione orizzontale dei vari strati
kv1, kv2, . . . . . .kvn i coefficienti di permeabilità in direzione verticale dei vari strati
H1, H2, . . . . . Hn
gli spessori corrispondenti
H = ΣHi
lo spessore totale del deposito
kH
il coefficiente di permeabilità medio in direzione orizzontale
kV
il coefficiente di permeabilità medio in direzione verticale
Nel caso in cui il deposito sia interessato da un moto di filtrazione orizzontale (Figura
4.6a), cioè parallelo all’andamento degli strati (filtrazione in parallelo), si ha che il gradiente idraulico, i, è lo stesso per tutti gli strati. Se si assume valida la legge di Darcy
(4.4), la velocità di filtrazione per ogni strato, vi, è proporzionale al rispettivo coefficiente
di permeabilità, ossia:
v1 = kh1 i, v2 = kh2 i,………., vn = khn i
mentre la portata di filtrazione per ogni strato è pari al prodotto della velocità di filtrazione per il corrispondente spessore:
q1 = v1 H1, q2 = v2 H2,………..., qn = vn Hn
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a)
q
q
b)
kh1, H1
q1
kh2, H2
q2
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
H
qn
khn, Hn
kv1, H1
kv2, H2
H
⋅
⋅
⋅
Kvn, Hn
q
Figura 4.6 – Filtrazione parallela (a) e perpendicolare (b) ai piani di stratificazione
La portata di filtrazione totale, q, data dalla somma delle portate dei singoli strati, è data
anche dal prodotto della velocità media, v, per lo spessore totale del deposito:
q = Σqi = v H
(Eq. 4.8)
dove, in accordo con la legge di Darcy, la velocità media di filtrazione, v, è il prodotto del
coefficiente di permeabilità medio, kH, per il gradiente idraulico, i, ovvero v = kH i.
Sostituendo questa espressione nell’equazione (4.8) ed esplicitando i vari termini si ottiene infine l’espressione del coefficiente di permeabilità medio in direzione orizzontale:
kH =
v ∑ qi
=
=
i
H ⋅i
∑v
i
⋅ Hi
H ⋅i
=
∑k
hi
⋅ Hi
(Eq. 4.9)
H
Se il moto di filtrazione avviene in direzione verticale (Figura 4.6b), ovvero ortogonale
all’andamento degli strati si parla di filtrazione in serie. In questo caso, per il principio di
conservazione della massa, se il fluido è incompressibile, la portata che attraversa ciascuno strato è la stessa, quindi, essendo uguale anche l’area attraversata, è la stessa la velocità di filtrazione, v = kv1 i1 = kv2 i2 = . . . . . = kvn in, con ii = hi/Hi. In accordo con la legge
di Darcy (4.4), la velocità di filtrazione v può essere espressa come il prodotto del coefficiente di permeabilità medio in direzione verticale, kV, per il gradiente idraulico medio,
im, dato dalla perdita di carico totale (h) diviso il percorso di filtrazione (H):
v = kV im = kV (h / H)
(Eq. 4.10)
Ma la perdita di carico piezometrico, h, è la somma delle perdite di carico in ciascuno
strato (pari al prodotto del gradiente idraulico per il relativo spessore) ovvero, esplicitando il gradiente idraulico di ciascuno strato:
h = ∑ h i = ∑ Hi ⋅ ii = ∑ Hi ⋅
H
v
= v⋅∑ i
k vi
k vi
(Eq. 4.11)
Sostituendo questa espressione nell’equazione (4.10) si ottiene infine l’espressione del
coefficiente di permeabilità medio in direzione verticale:
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kV =
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v
=
h
H
h
1
⋅
=
Hi h
k vi H
∑
H
Hi
k vi
(Eq. 4.12)
∑
In presenza di terreni stratificati, il valore medio del coefficiente di permeabilità è fortemente condizionato dalla direzione del moto di filtrazione. Per filtrazione verticale (o più
esattamente ortogonale alla giacitura degli strati) il valore medio è molto prossimo al valore minore, ovvero al coefficiente di permeabilità degli strati a grana fine, mentre per filtrazione orizzontale (o più esattamente parallela alla giacitura degli strati) il valore medio
è molto prossimo al valore maggiore, ovvero al coefficiente di permeabilità degli strati a
grana grossa.
4.4 Equazione generale del flusso in un mezzo poroso
Si consideri un elemento infinitesimo di terreno di dimensioni dx dy dz (Figura 4.7), attraversato da un flusso d’acqua. Assumiamo per ipotesi che il fluido ed i grani di terreno
siano incomprimibili, e che pertanto i rispettivi pesi specifici siano costanti nel tempo
(γw=cost, γs=cost).
r
Indicando con vx la componente nella direzione dell’asse x del vettore v , velocità apparente di filtrazione, la portata in peso d’acqua entrante nell’elemento in direzione x, qex, e
quella uscente, qux, nella stessa direzione saranno rispettivamente:
q ex = γ w ⋅ v x ⋅ dy ⋅ dz
∂v
⎞
⎛
q ux = γ w ⋅ ⎜ v x + x ⋅ dx ⎟ ⋅ dy ⋅ dz
∂x
⎠
⎝
Analoghe espressioni valgono per le direzioni y e
z.
z
dy
dx
dz
y
x
Figura 4.7: Flusso attraverso un
elemento di terreno
(q
ex
(Eq. 4.13)
+ q ey + q ez ) − (q ux + q uy + q uz ) =
Indicando con Pw il peso dell’acqua contenuta
nell’elemento di terreno, per la condizione di continuità la differenza tra la portata in peso d’acqua
entrante e quella uscente dall’elemento di terreno
sarà pari alla variazione del peso di acqua
nell’unità di tempo.
In formula:
∂Pw
∂t
(Eq. 4.14)
E combinando le l’Eq. 4.13 e 4.14:
∂v y ∂v z
⎛ ∂v
− γ w ⋅ ⎜⎜ x +
+
∂y
∂z
⎝ ∂x
⎞
∂P
⎟⎟ ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz = w
∂t
⎠
(Eq. 4.15)
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Introducendo la legge di Darcy (Eq. 4.6) nell’Eq. 4.15 si ottiene:
⎞
⎛
∂ 2 h ∂k ∂h
⎜kx ⋅ 2 + x ⋅
+ ⎟
∂x ∂ x
∂x
⎟
⎜
2
⎟
⎜
k
∂
∂P
∂ h
y ∂h
⋅
+ ⎟ ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz = w
γw ⋅⎜+ ky ⋅ 2 +
∂t
∂y ∂y ⎟
∂y
⎜
⎟
⎜
2
⎜⎜ + k z ⋅ ∂ h2 + ∂k z ⋅ ∂h ⎟⎟
∂z ∂ z ⎠
∂z
⎝
(Eq. 4.16)
Se la permeabilità è costante lungo ciascuna delle tre direzioni, ovvero se è:
∂k x ∂k y ∂k z
=0
=
=
∂z
∂y
∂x
(Eq. 4.17)
l’Eq. 4.16 si semplifica nel modo seguente:
⎛
∂P
∂ 2h
∂2h
∂ 2h ⎞
γ w ⋅ ⎜⎜ k x ⋅ 2 + k y ⋅ 2 + k z ⋅ 2 ⎟⎟ ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz = w
∂t
∂x
∂y
∂z ⎠
⎝
(Eq. 4.18)
Per definizione di: contenuto in acqua, w = Pw/Ps, indice dei vuoti, e = Vv/Vs, e grado di
saturazione, Sr = Vw/Vv, si può scrivere:
Pw = w ⋅ Ps = γ w ⋅ Vw = γ w ⋅ Vv ⋅ S r = γ w ⋅ Vs ⋅ e ⋅ S r
(Eq. 4.19)
La derivata dell’Eq. 4.19 rispetto al tempo è1:
∂Pw
∂e ⎞
⎛ ∂S
= γ w ⋅ Vs ⋅ ⎜ e ⋅ r + S r ⋅ ⎟
∂t ⎠
∂t
⎝ ∂t
(Eq. 4.20)
poiché il volume totale dell’elemento di terreno è V = dx dy dz, per definizione di indice
dei vuoti, e = (V-Vs)/Vs, e quindi Vs = V/(1+e) = dx dy dz /(1+e), si può anche scrivere:
γ w ⎛ ∂S r
∂Pw
∂e ⎞
+ S r ⋅ ⎟ ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz
⋅⎜e ⋅
=
∂t ⎠
(1 + e) ⎝ ∂t
∂t
(Eq. 4.21)
Sostituendo l’Eq. 4.21 nell’Eq. 4.18, si ottiene l’equazione generale di flusso:
⎛
1 ⎛ ∂S r
∂e ⎞
∂2h
∂2h
∂2h ⎞
⎜⎜ k x ⋅ 2 + k y ⋅ 2 + k z ⋅ 2 ⎟⎟ =
⋅⎜e ⋅
+ Sr ⋅ ⎟
∂t ⎠
∂x
∂y
∂z ⎠ 1 + e ⎝ ∂t
⎝
(Eq. 4.22)
la quale si semplifica nei vari problemi di flusso secondo il seguente schema:
1
Vs e γw sono indipendenti dal tempo.
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Filtrazione permanente
e = costante
Sr = costante
Consolidazione o rigonfiamento
e = variabile
Sr = costante=1
Drenaggio o imbibizione
e = costante
Sr = variabile
Deformabilità per non saturazione
e = variabile
Sr = variabile
Ulteriori semplificazioni si hanno nel caso di isotropia completa (kx = ky = kz = k), e nel
caso di flusso mono-direzionale o bi-direzionale.
4.4.1 Filtrazione permanente in un mezzo omogeneo, isotropo e incompressibile
Nel caso di filtrazione permanente (e = cost, Sr = cost.) in un mezzo omogeneo, idraulicamente isotropo (kx = ky = kz = k) e incompressibile (γw=cost, γs=cost), l’equazione generale del flusso si semplifica nell’equazione di Laplace:
⎛ ∂ 2h ∂ 2h ∂ 2h ⎞
⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ = 0
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
(Eq. 4.23)
Nel caso bidimensionale di moto piano l'equazione di Laplace diviene:
⎛ ∂ 2h ∂ 2h ⎞
⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ = 0
∂z ⎠
⎝ ∂x
(Eq. 4.24)
La soluzione analitica dell’equazione di Laplace è sempre molto difficile. Attualmente si
ricorre a soluzioni numeriche con i metodi delle differenze finite o degli elementi finiti, o
alle più tradizionali e storiche soluzioni grafiche2.
Infatti, l’equazione di Laplace bidimensionale può essere rappresentata graficamente da
due complessi di curve (le linee di flusso e le linee equipotenziali) che si tagliano ad angolo retto (rete di filtrazione):
Le linee di flusso sono i percorsi dei filetti liquidi nella sezione trasversale. Esistono infinite linee di flusso ma per disegnare la rete di filtrazione se ne sceglie un numero limitato.
Lo spazio tra due linee di flusso successive viene chiamato canale di flusso. In ogni canale di flusso scorre una portata costante d’acqua ∆q.
Le linee equipotenziali sono le linee di eguale energia potenziale, ovvero di eguale carico idraulico. Anche di linee equipotenziali ne esistono infinite, ma per disegnare la rete di
filtrazione se ne sceglie un numero limitato. Quando l’acqua filtra attraverso i pori del terreno dissipa energia per attrito, e la distanza fra due linee equipotenziali successive indica
in quanto spazio si è dissipata una quantità costante ∆h del carico idraulico. Pertanto se il
flusso attraversa prima un mezzo più permeabile e poi uno meno permeabile le linee e-
2
In passato si ricorreva spesso a modelli idraulici e a modelli elettrici basati sull’analogia fra le leggi
dell’idraulica dei terreni e le leggi dell’elettrotecnica.
4 -11
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IDRAULICA DEI TERRENI
quipotenziali nel primo mezzo sono fra loro più vicine delle linee equipotenziali nel secondo mezzo attraversato dal flusso, e viceversa.
Linee di flusso
Campo
∆h
∆b
le d
h
i fl
us s
o
Linee equipotenziali
h-∆
h
Ca
na
È conveniente costruire la rete di filtrazione (ovvero scegliere quali linee
di flusso e quali linee equipotenziali
rappresentare) in modo tale che:
∆q
∆a
Le particelle d'acqua scorrono lungo
le linee di flusso in direzione sempre
perpendicolare alle linee equipotenziali. Pertanto le linee di flusso e le
linee equipotenziali si intersecano ad
angolo retto. Lo spazio (l’area) delimitata da due linee di flusso successive e da due linee equipotenziali successive è detta campo. Il campo è la
maglia della rete di filtrazione (Figura
4.8).
Figura 4.8. Definizione della rete di filtrazione
−
i canali di flusso abbiano eguale portata ∆q,
−
la perdita di carico fra due linee equipotenziali successive ∆h sia costante,
−
i campi siano approssimativamente quadrati, ovvero che abbiano eguali dimensioni
medie (graficamente significa che è possibile disegnare un cerchio interno al campo
tangente a tutti e quattro i lati curvilinei).
Noto il carico idraulico totale dissipato, h, e scelto il numero N dei dislivelli di carico ih
draulico tra due linee equipotenziali successive ∆h = , dalla condizione che i campi
N
siano approssimativamente quadrati, ∆a ≅ ∆b , essendo ∆a la distanza media fra le linee
di flusso e ∆b la distanza media fra le linee equipotenziali del campo, si ottiene il numero
N1 di canali di flusso.
Il gradiente idraulico in un campo è:
i=
∆h
∆b
(Eq. 4.25)
la velocità di filtrazione è:
v = k ⋅i = k ⋅
k⋅h
∆h
=
∆b N ⋅ ∆b
(Eq. 4.26)
la portata di filtrazione, per ogni canale di flusso, è:
∆q = v ⋅ ∆a =
k ⋅ h ⋅ ∆a k ⋅ h
≅
N ⋅ ∆b
N
(Eq. 4.27)
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e la portata totale è:
Q = N1 ⋅ ∆q = k ⋅ h ⋅
N1
N
(Eq. 4.28)
Le condizioni al contorno, che permettono di tracciare alcune linee equipotenziali e di
flusso, sono date da:
−
le superfici impermeabili sono linee di flusso (ad esempio la superficie di uno strato
di argilla, o la superficie verticale di un diaframma impermeabile, etc..),
−
le superfici a contatto con l’acqua libera sono linee equipotenziali, poiché in tutti i loro punti vale la relazione: h = z + u/γw = cost.
4.4.2 Esempio di rete idrodinamica (caso di moto di filtrazione confinato)
A titolo di esempio si consideri il problema rappresentato in Figura 4.9a, dove un diaframma è stato infisso, per una lunghezza L = 6.0 m, in uno strato di terreno, di spessore
H = 8.6 m e coefficiente di permeabilità k = 5 10-4 m/s, delimitato inferiormente da uno
strato di terreno impermeabile. L’altezza di falda, rispetto al piano di campagna, è, a monte del diaframma, Hw1, di 4.5 m, mentre a valle, Hw2, è stata ridotta, mediante pompaggio,
a 0.5 m.
Il primo passo per la costruzione della rete idrodinamica consiste nel definire le condizioni al contorno:
ƒ
le superfici AB e CD che delimitano il piano di campagna, sono, in quanto a contatto
con l’acqua libera, equipotenziali;
ƒ
le superfici BE e CE che rappresentano rispettivamente il lato a monte ed il lato a valle del diaframma e la superficie FG, che delimita lo strato di terreno impermeabile,
sono linee di flusso, in quanto impermeabili.
Poiché le condizioni al contorno della regione interessata dal flusso sono note a priori, si
parla di moto confinato.
In genere si assume come quota di riferimento per il calcolo del carico piezometrico il livello di falda a valle, da cui risulta che il carico piezometrico è h1 = 0 in corrispondenza
della superficie equipotenziale CD (la quota geometrica è -0.5 m e l’altezza di pressione è
0.5 m), ed è h2 = 4 m per la superficie AB (la quota geometrica è -0.5 m e l’altezza di
pressione è 4.5 m).
Le linee di flusso saranno tutte comprese tra la superficie FG e la superficie BEC e possono essere tracciate seguendo la procedura suggerita da Casagrande, che consiste nei seguenti passi:
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1) si traccia una prima linea di
flusso di tentativo (HJ) da
un punto della superficie
equipotenziale a monte AB,
vicino al diaframma, ad un
punto della superficie equipotenziale a valle CD (Figura 4.9b); tale linea dovrà
essere perpendicolare ad
entrambe le superfici equipotenziali e passare attorno
al punto E;
2) si disegnano le linee equipotenziali di tentativo tra le
linee di flusso BEC e HJ, in
moda da formare dei campi
approssimativamente quadrati (Figura 4.8); qualora
non si riesca ad ottenere un
numero intero di quadrangoli tra BH e CJ la linea di
flusso HJ può essere leggermente spostata;
3) viene tracciata la seconda
linea di flusso di tentativo
KL a partire da un punto
della superficie equipotenziale AB più lontano dal
diaframma rispetto al punto
H, e prolungate le linee equipotenziali precedentemente disegnate, sempre in
modo da individuare dei
quadrangoli curvilinei;
4) si ripete la procedura descritta al punto 3) fino a
raggiungere la linea di flusso di confine FG;
Diaframma
H
H
= 4. 5 m
w1
A
B C
h 2 = 4.0 m
w2
Piano di
riferimento
= 0.5 m
h1 = 0. 0 m
D
L = 6.0 m
H = 8.6 m
E
F
G
(a)
A
H
K
B C
J
D
L
E
G
F
(b)
Tubo
piezometrico
H = 4.5 m
w1
up
γw
h p = 3.3 m
H
Piano di
riferimento
= 0.5 m
W2
12
nd = 0
a
1
11
10
P
2
9
0 1
2 3
7 6 5 4
8
4
5
3
10 m
(c)
5) al primo tentativo general- Figura 4.9 – Costruzione di una rete idrodinamica: a) sezione; b) tentativo di prova; c) rete finale
mente l’ultima linea di
flusso tracciata interseca la
superficie impermeabile FG e per eliminare tale incoerenza si itera la procedura descritta ai punti precedenti fino a che l’ultima linea di flusso tracciata ricada sopra la
superficie FG (riducendo la dimensione dei quadrangoli), come mostrato in Figura
4.9c.
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Le aree comprese tra l’ultima linea di flusso tracciata e la superficie impermeabile FG
non sono quadrate (canale di flusso non completo) ma il rapporto tra la lunghezza e la
larghezza deve essere all’incirca lo stesso per tutte le aree.
Per tracciare correttamente una rete idrodinamica con questa procedura è opportuno utilizzare un numero limitato di linee di flusso (generalmente 4 o 5 canali di flusso).
Nell’esempio riportato il numero di canali di flusso che è stato ottenuto è N1 = 4.3 e il
numero di campi delimitati dalle linee equipotenziali, N, è 12, con un rapporto N1/N =
0.36 e una perdita di carico tra due linee equipotenziali successive pari a:
∆h = (h2 – h1)/N = 0.33 m.
Numerate le linee equipotenziali da valle verso monte con l’indice nd (che varia tra 0 e
12), il carico piezometrico corrispondente a ciascuna linee è pari a nd ∆h.
La portata di filtrazione per ogni canale di flusso è (Eq. 4.27):
∆q = k ∆h = 1.65 10-4 (m3/s)/m
e la portata di filtrazione per unità di lunghezza del diaframma è pari a (Eq. 4.28):
q = N1 ∆q = 7.1 10-4 (m3/s)/m.
La rete idrodinamica permette di calcolare in ogni punto il carico piezometrico ed il gradiente idraulico. Ad esempio, con riferimento ad un generico punto P (Figura 4.9c), appartenente alla superficie equipotenziale indicata con nd = 10 e ad una distanza a = -zP =
4.3m, dal livello di falda a valle del diaframma, il corrispondente valore del carico piezometrico è
hp = nd ∆h = 10⋅0.33 = 3.3 m = zp + up/γw = -a + up/γw
da cui, posto γw = 10 kN/m3, si ricava il valore della pressione interstiziale:
up = γw (hp –(-a)) = γw (hp +a) = 10 (3.3+4.3) =76 kPa
Il gradiente idraulico nel campo è dato da (Eq.4.25):
iP = ∆h/∆b = 0.33/2= 0.165
dove ∆b ≅ 2 è la distanza media tra le linee equipotenziali 10 e 11, e 10 e 9, ricavata graficamente in Figura 4.9c. Ovviamente tale valore, e con esso la velocità di filtrazione, varia tra un massimo corrispondente al campo di dimensione minima ed un minimo corrispondente al campo di dimensione massima.
4.4.3 Filtrazione al confine tra terreni a differente permeabilità
Quando il flusso d’acqua attraversa in obliquo la superficie di separazione tra terreni a
differente permeabilità, le linee equipotenziali corrispondenti ad uguali intervalli del carico piezometrico non sono equidistanti, ma sono più fitte nel terreno a permeabilità inferiore. Se, inoltre, il flusso d’acqua attraversa la superficie di separazione in direzione obliqua, come avviene ad esempio nelle dighe in terra zonate, le linee di flusso deflettono
e, oltre alla distanza fra le linee equipotenziali, varia anche la larghezza dei tubi di flusso
e i campi, inizialmente quadrati, divengono rettangolari. Infatti la portata di ogni tubo di
∆h
⋅ ∆a , deve restare costante. Se passando da un terreno ad un
flusso, ∆q = k ⋅ i ⋅ ∆a = k ⋅
∆b
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∆a
deve aumentare, ovvero
∆b
deve crescere la larghezza del canale di flusso e diminuire la distanza fra due linee equipotenziali, e viceversa. La legge con cui si modificano le dimensioni dei campi è indicata
In Figura 4.10.
altro il coefficiente di permeabilità k diminuisce, il rapporto
∆a
∆a
k1
∆b
α
k2<k1
∆c
k1
∆b
α
∆d
β
β
∆d
k2>k1
∆c
∆a/∆b = 1
∆c/∆d = tanα /tanβ = k2/k1
Figura 4.10: Filtrazione tra terreni a differente permeabilità
4.4.4 Moto non confinato
Se tutte le condizioni al contorno in cui avviene il moto di filtrazione non sono note a
priori, si parla di moto di filtrazione non confinato. In tal caso il problema è molto più
complesso in quanto è necessario procedere contemporaneamente alla determinazione
delle condizioni al contorno mancanti e alla risoluzione dell’equazione di Laplace. Situazioni di questo tipo si verificano ad esempio nello studio dei moti di filtrazione all’interno
di argini fluviali o dei corpi di dighe in terra; in questi casi la superficie che delimita superiormente l’acqua in moto di filtrazione è a pressione atmosferica (coincide con la superficie freatica), la sua localizzazione non è nota e può essere determinata con costruzioni
grafiche.
4.4.5 Terreni anisotropi
Quanto detto finora si riferisce a terreni con eguale coefficiente di permeabilità in tutte le
direzioni (isotropi dal punto di vista della permeabilità). Spesso i terreni naturali ed anche
i terreni messi in opera con costipamento sono anisotropi, ovvero hanno coefficiente di
permeabilità diverso in direzione orizzontale e in direzione verticale. Per utilizzare le regole di costruzione grafica del reticolo idrodinamico sopra esposte occorre disegnare la
sezione della struttura interessata dal moto di filtrazione in una scala orizzontale alterata,
kv
moltiplicando le distanze orizzontali per la quantità:
. Poiché in genere è kh > kv tale
kh
trasformazione produce una riduzione delle dimensioni orizzontali. Ad esempio, per
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kh=9kv, tutte le dimensioni orizzontali devono essere divise per 3. Una volta disegnata la
rete idrodinamica, per calcolare la distribuzione delle pressioni interstiziali occorre riportare il disegno in scala naturale, ottenendo dei campi non più quadrati.
4.5 Determinazione della permeabilità mediante correlazioni
Per i terreni a grana grossa vengono talvolta impiegate relazioni empiriche che legano k
ad alcuni parametri relativamente semplici da determinare. Esistono ad esempio grafici
che legano il coefficiente di permeabilità al D50, alla densità relativa, Dr, e al coefficiente
di uniformità, U = D60/D10, (Figura 4.11) oppure formule, valide per sabbie sciolte, uniformi (U ≤ 5), che forniscono k in funzione di qualche diametro significativo presente
nella distribuzione granulometrica. Tra queste, una delle più usate è la formula di Hazen3:
k = C⋅ (D10)2
(Eq. 4.29)
dove C è una costante compresa tra 100 e 150 se k è espresso in cm/s e D10 in cm.
Figura 4.11 – Correlazione tra il coefficiente di permeabilità, k, la densità relativa, Dr e il coefficiente di uniformità, U (Prugh, 1959)
3
Si può giustificare l’equazione (4.29) osservando che la permeabilità di un terreno è influenzata maggiormente dalla frazione fine, che tende a riempire i vuoti, e quindi dal D10.
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Capitolo 4
IDRAULICA DEI TERRENI
La misura sperimentale della permeabilità di un terreno può essere invece effettuata sia in
laboratorio che in sito; tuttavia, essendo la permeabilità un parametro fortemente influenzato anche dai caratteri macrostrutturali, per i terreni naturali le misure in sito risultano
generalmente più significative e quindi preferibili, a meno che non si riesca a riprodurre
fedelmente in laboratorio le condizioni esistenti in sito, mentre per i terreni utilizzati come materiale da costruzione sono significative anche le prove di laboratorio.
Inoltre, ogni metodo di misura ha un campo di applicazione ottimale all’interno di un certo range di variazione della permeabilità; di conseguenza il metodo di misura più opportuno deve essere scelto in relazione al tipo di terreno, come è evidenziato nella Tabella
4.2.
4.6 Determinazione della permeabilità in laboratorio
Per la misura del coefficiente di permeabilità in laboratorio vengono generalmente usati
tre metodi:
a) il permeametro a carico costante, per k > 10-5 m/s
b) il permeametro a carico variabile, per 10-8< k < 10-5 m/s
c) i risultati della prova edometrica (che verrà descritta dettagliatamente nel Capitolo 7),
per k < 10-8 m/s
4.6.1 Permeametro a carico costante
La prova con permeametro a carico costante è eseguita generalmente su campioni di terreno a grana grossa (ghiaie e sabbie pulite), compattati a diversi valori di densità relativa,
in modo da ottenere una relazione tra la permeabilità e l’indice dei vuoti del terreno esaminato. La permeabilità in sito viene poi stimata a partire dal valore dell’indice dei vuoti
ritenuto più rappresentativo del terreno naturale.
Lo schema del permeametro a carico costante è quello indicato in Figura 4.12. Per
l’esecuzione della prova viene immessa acqua nel recipiente che contiene il terreno, mantenendo costante (realizzando degli sfioratori) la differenza di carico, h, esistente tra le estremità del campione, ossia il livello dell’acqua nei due recipienti.
La quantità di acqua raccolta in un certo
intervallo di tempo, ∆t, è pari a C =
Q⋅∆t, essendo Q la portata immessa.
Poiché il moto è stazionario, con velocih
tà pari a v, risulta C = v A⋅∆t. SuppoA
L
nendo inoltre valida la legge di Darcy
(4.4) e che la perdita di carico si realizzi
interamente all’interno del campione di
C
terreno, si ha:
Figura 4.12 – Permeametro a carico costante
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Capitolo 4
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C = k ⋅ i ⋅ A ⋅ ∆t = k ⋅
h
⋅ A ⋅ ∆t
L
(Eq. 4.30)
dove A è l’area della sezione trasversale del campione. Dall’equazione (4.30) si ricava il
valore di:
k=
C⋅L
h ⋅ A ⋅ ∆t
(Eq. 4.31)
Generalmente si effettuano più determinazioni considerando differenze di carico h e intervalli di
tempo ∆t differenti per poi adottare un valore medio.
4.6.2 Permeametro a carico variabile
Se la permeabilità del terreno è presumibilmente inferiore a 10-5 m/s, la portata e quindi la
quantità di acqua raccolta (almeno in tempi ragionevolmente brevi) è piccola ed è difficile
misurarla accuratamente con una prova a carico costante.
Si eseguono in questo caso prove con permeametro a carico variabile, in cui la quantità di
acqua che fluisce attraverso il campione è determinata attraverso la misura della riduzione
dell’altezza di carico, ∆h, in un tubo di piccolo diametro collegato al recipiente che contiene il campione (Figura 4.13).
∆h
h0
h
1
a
A
L
Trascurando
la
compressibilità
dell’acqua, si suppone che, per il principio di conservazione della massa, la
quantità di acqua che scorre nel tubicino
sia pari a quella che attraversa il campione. Se il livello dell’acqua si abbassa di
una quantità dh nel tempo dt, la quantità
di acqua che scorre nel tubicino nel tempo dt è pari a -a⋅dh (il segno meno perché
il livello dell’acqua diminuisce), uguale a
quella che attraversa il campione v⋅ A⋅dt.
Supponendo valida la legge di Darcy
(4.4) e che la perdita di carico si realizzi
interamente all’in-terno del campione di
terreno, si ha:
k⋅i⋅A⋅dt = -a⋅ dh
ovvero
Figura 4.13 – Permeametro a carico variabile
k⋅
h
⋅ A ⋅ dt = −a ⋅ dh .
L
Separando le variabili e integrando si ottiene:
a⋅
ho
∫
h1
t
1
A 1
dh = k ⋅ ⋅ dt
h
L t
∫
o
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Capitolo 4
IDRAULICA DEI TERRENI
Tabella 4.2 – Condizioni di drenaggio, tipi di terreno e metodi per la determinazione
della permeabilità
k
1
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
10-9
10-10
10-11
(m/s)
GRADO DI
alto
medio
basso
PERMEABILITÀ
buono
DRENAGGIO
TIPO DI
TERRENO
ghiaia pulita
molto
impermeabile
basso
povero
praticamente
impermeabile
sabbia pulita
sabbia fine,
terreni impermeabili
e miscele di
limi organici e
argille omogenee
sabbia e ghiaia
inorganici,
sotto la zona alterata
pulita
miscele
dagli agenti
di sabbia, limo
atmosferici
e argilla,
depositi di
argilla
stratificati
terreni impermeabili
modificati dagli
effetti della
vegetazione e del
tempo
Prova in foro di sondaggio
(misura locale; delicata esecuzione)
Prova di pompaggio
MISURA DIRETTA DI K
(delicata esecuzione; significativa)
Permeametro a carico costante
(facile esecuzione)
Permeametro a carico variabile
Facile
delicata
esecuzione
significativa
esecuzione:
non significativa
delicata esecuzione:
molto poco significativa
Piezometro
Pressiometro
STIMA INDIRETTA DI K
Piezocono
(misura locale; delicata esecuzione)
Determinazione
Determinazione
dalla curva granulometrica
dai risultati
(solo per sabbie e ghiaie pulite)
della prova edometrica
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Capitolo 4
a ⋅ ln
IDRAULICA DEI TERRENI
ho
A
= k ⋅ (t 1 − t o )
h1
L
da cui:
k=
h
h
a⋅L
a⋅L
ln o = 2.3
log10 o
A ⋅ (t 1 − t o ) h 1
A ⋅ (t 1 − t o )
h1
(Eq. 4.32)
Per quanto riguarda la determinazione di k a partire dai risultati della prova edometrica si
rimanda al Capitolo 7, in cui viene descritta la prova e definito il coefficiente di permeabilità in funzione di uno dei parametri che si determinano mediante tale prova.
4.7 Determinazione della permeabilità in sito
Per la misura del coefficiente di permeabilità in sito si può ricorrere a tre tipi di prove:
a) prove in pozzetto superficiale
b) prove in foro di sondaggio
c) prove di emungimento
4.7.1 Prove in pozzetto superficiale
Si tratta di prove speditive, di facile esecuzione, che, per contro, hanno un campo di utilizzo limitato, in quanto forniscono misure del coefficiente di permeabilità limitate agli
strati più superficiali e si eseguono in genere su terreni che costituiscono opere di terra
durante la loro costruzione, aventi permeabilità maggiori di 10-6 m/s, e posti sopra falda.
Il pozzetto è uno scavo di forma circolare o quadrata. La dimensione della sezione in
pianta è legata al diametro massimo presente nella granulometria; in particolare il diametro, d, (o il lato, b) del pozzetto deve risultare maggiore di 10÷15 volte il diametro massimo presente nella granulometria.
La distanza del fondo del pozzetto dalla falda, H, deve essere pari ad almeno 7 volte
l’altezza media (hm o h) dell’acqua nel pozzetto durante la prova, che a sua volta deve risultare maggiore di d/4, per pozzetto circolare (o b/4, per pozzetto a base quadrata).
Lo schema della prova è rappresentato in Figura 4.14.
Esistono due tipi di prova:
- a carico costante
- a carico variabile
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Capitolo 4
IDRAULICA DEI TERRENI
hm > d/4
d > 10-15 diametro massimo dei granuli
H > 7 hm
Figura 4.14 – Schema della prova in pozzetto superficiale
Nel primo caso viene immessa nel pozzetto una portata d’acqua costante q, tale che a regime il livello d’acqua sia costante; nel secondo caso, dopo avere riempito il pozzetto,
viene registrato l’abbassamento del livello dell’acqua nel tempo.
In relazione alla forma del pozzetto e al tipo di prova, vengono impiegate formule semiempiriche, valide nell’ipotesi di terreno omogeneo e isotropo, con k > 10-6 m/s.
In particolare, nel caso di pozzetto circolare valgono le seguenti relazioni:
k=
q
1
⋅
d ⋅ hm π
per prova a carico costante
(Eq. 4.33)
k=
d h1 − h 2 1
⋅
⋅
32 t 2 − t 1 h m
per prova a carico variabile
(Eq. 4.34)
mentre nel caso di pozzetto a base quadrata:
k=
q
⋅
b2
1
h
27 ⋅ m + 3
b
h − h2
k= 1
⋅
t 2 − t1
1+ 2 ⋅
per prova a carico costante
hm
b
h
27 ⋅ m + 3
b
per prova a carico variabile
(Eq. 4.35)
(Eq. 4.36)
Nelle Equazioni da (4.33) a (4.36), h1 e h2 sono le altezze dell’acqua nel pozzetto rispettivamente agli istanti t1 e t2, e hm = (h1 + h2)/2 è l’altezza media.
4.7.2 Prove in foro di sondaggio
Le prove in foro di sondaggio possono essere eseguite a varie profondità durante la perforazione, oppure a fine foro, sul tratto terminale e forniscono generalmente un valore puntuale della permeabilità, limitatamente alla verticale esplorata e alle profondità considerate. Le pareti del foro devono essere rivestite con una tubazione fino alla profondità a cui si
vuole effettuare la misura di permeabilità (Figura 4.15a). Nei terreni che tendono a franare o a rifluire il tratto di prova viene riempito di materiale filtrante e isolato mediante un
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Capitolo 4
IDRAULICA DEI TERRENI
tampone impermeabile (Figura 4.15b). Il filtro deve avere una granulometria opportuna,
in modo da non influenzare il flusso all’interno del materiale di cui si vuole determinare
la permeabilità.
In particolare, deve risultare:
F60/F10 ≤ 2 (materiale uniforme) e 4D15 ≤ F15 ≤ 4D85
dove Fx sono i diametri del filtro e Dx quelli del terreno indagato.
Le prove in foro di sondaggio si suddividono in:
di immissione (sopra o sotto falda)
−
prove a carico costante
di emungimento (solo sotto falda)
di risalita (solo sotto falda)
−
prove a carico variabile
di abbassamento (sopra o sotto falda)
b)
a)
Q
Rivestimento esterno
Q
h
Tubazione interna
h
h2 h1
h2
h1
Tubo di rivestimento
Tampone impermeabile
Filtro
L
L
D
D
Figura 4.15 – Schema della prova di immissione in foro di sondaggio, a carico variabile o costante, senza filtro (a) e con filtro (b)
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IDRAULICA DEI TERRENI
Prove a carico costante
Nelle prove a carico costante viene misurata, a regime, la portata, emunta o immessa, Q,
necessaria a mantenere costante il livello dell’acqua nel foro. Il coefficiente di permeabilità viene ricavato mediante la seguente relazione:
k=
Q
[m/s]
F⋅h
(Eq. 4.37)
dove Q [m3/s] è la portata, h [m] il livello dell’acqua nel foro (rispetto alla base del foro
se la prova è eseguita sopra falda, oppure rispetto al livello di falda se la prova è eseguita
sotto falda) ed F [m] un fattore di forma, dipendente dalla forma e dalla geometria della
sezione filtrante ed è riportato in Tabella 4.3 in relazione alle geometrie rappresentate in
Figura 4.16.
Tabella 4.3 – Espressioni del coefficiente di forma F per differenti geometrie della sezione filtrante (per lo schema geometrico vedi Figura 4.16)
Geometria della sezione
Coefficiente di forma F
1. Filtro sferico in terreno uniforme
2π ⋅ D
2. Filtro emisferico al tetto di uno strato confinato
π ⋅D
3. Fondo filtrante piano al tetto di uno strato confinato
4. Fondo filtrante piano in terreno uniforme
2D
2.75 D
5. Tubo parzialmente riempito al tetto di uno strato
confinato
2D
⎛
8 L kh ⎞
⎟
⎜⎜ 1 + ⋅ ⋅
π D k' v ⎟⎠
⎝
2.75 D
⎛
11 L k ⎞
⎜⎜ 1 + ⋅ ⋅ h ⎟⎟
π D k' v ⎠
⎝
6. Tubo parzialmente riempito in terreno uniforme
3π ⋅ L
2⎞
⎛
3L
⎛ 3L ⎞
ln⎜⎜
+ 1 + ⎜ ⎟ ⎟⎟
⎜ D
⎝ D⎠ ⎟
⎠
⎝
7. Filtro cilindrico al tetto di uno strato confinato
3π ⋅ L
2
⎛
L
L⎞
⎛
ln⎜⎜ 1.5 + 1 + ⎜ 1.5 ⎟
D
D⎠
⎜
⎝
⎝
8. Filtro cilindrico in terreno uniforme
9. Filtro cilindrico attraversante uno strato confinato
⎞
⎟
⎟⎟
⎠
2π ⋅ L
⎛r ⎞
ln⎜ 0 ⎟
⎝ r ⎠
Prove a carico variabile
Le prove di risalita a carico variabile vengono effettuate prelevando acqua dal foro in
modo da abbassarne il livello di una quantità nota e misurando la velocità di risalita; nelle
prove di abbassamento viene immessa acqua nel foro in modo da alzarne il livello di una
quantità nota e viene misurata la velocità di abbassamento. Il coefficiente di permeabilità
viene ricavato mediante la seguente relazione:
4 -24
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Capitolo 4
k=
IDRAULICA DEI TERRENI
h
A
⋅ ln 1 [m/s]
F ⋅ (t 2 − t 1 )
h2
(Eq. 4.38)
dove A [m2] è l’area di base del foro, h1 e h2 sono le altezze agli istanti t1 e t2 rispetto al
livello della falda o a fondo foro (se si tratta di prove di abbassamento condotte sopra il
livello di falda), F [m] è il fattore di forma precedentemente definito (Tabella 4.3).
2
1
3
D
D
D
D/2
4
5
6
D
D
D
L
k’v
L
k
k
7
k’v
9
8
D
D
D
r
L
0
L
L
Figura 4.16 – Geometrie del fattore di forma per il calcolo del fattore di forma F
4 -25
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Capitolo 4
IDRAULICA DEI TERRENI
La procedura sperimentale seguita nella prova a carico variabile, consiste nel riferire le
altezze h e i tempi corrispondenti t rispettivamente all’altezza iniziale h0 dell’acqua nel
foro rispetto al livello di falda idrostatico ed all’istante iniziale corrispondente t0 = 0.
Quindi si definisce il tempo di riequilibrio T, come l’istante per il quale risulta ln(h/h0) =1
e quindi l’Eq. 4.38 diventa:
k=
A
⋅ [m/s]
F⋅T
(Eq. 4.39)
La costruzione grafica che consente di determinare il tempo di riequilibrio T è descritta
nell’esempio riportato in Fig. 4.17.
Figura 4.17 – Esempio procedura seguita per la misura della permeabilità in foro di sondaggio con prova a carico variabile.
4 -26
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Capitolo 4
IDRAULICA DEI TERRENI
Una stima più attendibile del valore del coefficiente di permeabilità può essere eseguita
determinando la media geometrica dei valori ricavati con prove di risalita (kr) e di abbassamento (ka), ovvero k = k r ⋅ k a . Infatti, durante le prove di abbassamento, la frazione
più fine del materiale tende ad essere spinta verso il fondo del foro e la spinta idrodinamica tende a comprimere il terreno, facendone diminuire la permeabilità; al contrario, durante le prove di risalita, la frazione più fine del materiale tende ad essere asportata
dall’acqua e la spinta idrodinamica tende a decomprimere il terreno, facendone aumentare
la permeabilità.
Se la permeabilità orizzontale del terreno è diversa da quella verticale (a causa
dell’orientamento dei grani nella fase di deposizione il coefficiente di permeabilità orizzontale, kH, risulta generalmente maggiore, anche di un ordine di grandezza, del coefficiente di permeabilità verticale, kV), il coefficiente k ottenuto da prove in foro di sondaggio tende a rappresentare il coefficiente di permeabilità verticale, kV, tanto più è ridotta la
lunghezza del tratto filtrante L (Figura 4.16-8) rispetto al diametro del foro, D, fino alla
situazione limite di sezione piana, L=0 (Figura 4.16-4). Mentre per valori di L/D sufficientemente grandi (L/D ≥ 1.2) si assume che il coefficiente di permeabilità misurato sia
quello orizzontale, kH. Per situazioni intermedie (0 ≤ L/D ≤ 1.2) si assume che venga misurato un coefficiente di permeabilità medio k medio = k H ⋅ k V .
4.7.3 Prove di pompaggio
Le prove di pompaggio vengono eseguite in terreni con permeabilità medio-alta, al di sotto del livello di falda. Consistono nell’abbassare il livello della falda all’interno di un
pozzo, opportunamente realizzato, e nel rilevare in corrispondenza di un certo numero di
verticali, strumentate con piezometri, l’abbassamento una volta raggiunto un regime di
flusso stazionario (Figura 4.18). Nella fase di emungimento la velocità di abbassamento
del livello diminuisce all’aumentare del volume di terreno interessato dal flusso, fino ad
un valore prossimo alla stabilizzazione (regime pseudo-stazionario) se la falda non è alimentata e si stabilizza se la falda è alimentata. Il raggio di influenza è tanto maggiore
quanto maggiore è la permeabilità.
Per una corretta interpretazione della prova è necessario conoscere con buona approssimazione la stratigrafia, l’estensione dell’acquifero e le condizioni iniziali della falda, che
quindi vanno preventivamente ricavati mediante apposite indagini in sito.
Il pozzo principale, che viene utilizzato per l’emungimento, ha un diametro D compreso
generalmente tra i 200 e i 400 mm; intorno ad esso, nella zona di depressione della falda
(a causa dell’andamento caratteristico della superficie piezometrica si parla anche di “cono di depressione”) vengono disposti una serie di piezometri il cui numero dipende dalla
eterogeneità del terreno.
Per la realizzazione del pozzo viene disposto all’interno del foro un tubo finestrato, con
area delle aperture maggiore del 10% dell’area laterale. Nel tratto di terreno da investigare, l’intercapedine tra tubo e terreno è riempita con un filtro di ghiaietto e sabbia con una
opportuna granulometria; nel tratto sovrastante, per evitare l’infiltrazione di acque esterne, l’intercapedine è riempita con materiale impermeabilizzante (generalmente argilla o
bentonite).
Il tipo di piezometri viene scelto in relazione al tipo di terreno; devono essere in numero
non inferiore a tre, disposti secondo allineamenti passanti per il pozzo (almeno due alline4 -27
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Capitolo 4
IDRAULICA DEI TERRENI
amenti di cui uno parallelo alla direzione di moto della falda) come mostrato in Figura
4.18a.
a)
b)
Piezometri di controllo
Pozzo
Q
s
s
h
h
1
h
r
2
1
1
Livello piezometrico iniziale
2
r
2
Acquifero confinato
b
Linee di flusso
c)
Pompa sommersa
Superfici equipotenziali
Piezometri di controllo
Pozzo
Q
s
s
r
h
h
h
Linee di flusso
Livello piezometrico iniziale
2
1
1
2
1
r
Acquifero non confinato
2
Pompa sommersa
Superfici equipotenziali
Figura 4.18 – Disposizione in pianta del pozzo e dei piezometri (a) e schema della prova di pompaggio in acquifero confinato (b) e non confinato (c)
4 -28
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Capitolo 4
IDRAULICA DEI TERRENI
La distanza tra i piezometri aumenta con legge esponenziale: il primo di ogni allineamento viene posto a qualche metro dal pozzo, l’ultimo al limite della zona di influenza
(50÷200 m a seconda della permeabilità del deposito).
Come già detto, la prova viene eseguita prelevando acqua dal pozzo mediante un sistema
di pompaggio e misurando il livello piezometrico nel pozzo e nei piezometri fino a che
non si raggiunge una stabilizzazione. Le letture vengono eseguite a intervalli di tempo via
via crescenti (2 min. nelle prime due ore, 5 min. nelle 4 ore successive, 10÷15 min. per il
resto della prova, che dura mediamente 24÷36 ore e anche di più per terreni a bassa permeabilità).
Le prove di emungimento vengono interpretate tenendo presente che:
-
nel caso di acquifero confinato (falda artesiana) le linee di flusso sono orizzontali e le
superfici equipotenziali sono cilindri concentrici rispetto al pozzo (Figura 4.18b);
-
nel caso di acquifero non confinato (falda freatica) le linee di flusso (e le superfici equipotenziali) sono curve. In questo caso deve essere posta particolare attenzione alla
profondità di installazione dei piezometri, poiché l’altezza di risalita dell’acqua (o
comunque la pressione misurata) corrisponde alla pressione interstiziale della superficie equipotenziale passante per il punto di misura. (Figura 4.18c).
Soluzioni semplificate forniscono l’espressione del coefficiente di permeabilità rispettivamente per il caso di acquifero confinato (Figura 4.18b) e non confinato (Figura 4.18c):
r
ln( 2 )
r1
Q
⋅
k=
2π ⋅ b ( h 2 − h 1 )
(Eq. 4.40)
r
ln( 2 )
r
Q
k= ⋅ 2 1 2
π (h 2 − h 1 )
(Eq. 4.41)
Il valore della permeabilità ricavato con questo tipo di prova è un valore medio relativo al
volume di terreno interessato dal cono di depressione.
4.8 Pressioni di filtrazione e gradiente idraulico critico
Allo scopo di osservare come si modifica il regime delle pressioni (totali, efficaci e interstiziali) in un punto del terreno, passando da una condizione in cui il fluido presente nel
terreno è in quiete (regime idrostatico), ad una in cui avviene un moto di filtrazione (supponiamo in regime stazionario), consideriamo uno schema costituito da due recipienti
comunicanti, di cui uno contenente solo acqua (serbatoio) e l’altro contenente un campione di sabbia saturo completamente immerso, di altezza h2, con livello dell’acqua sovrastante la superficie superiore del campione di una lunghezza h1 (Figura 4.19).
In relazione alla posizione relativa del livello dell’acqua nei due recipienti si possono distinguere tre casi:
4 -29
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a)
IDRAULICA DEI TERRENI
A
h1
h2
B
O 0
γ h
u
w 1
P
Q
γ (h + h )
w
1
2
1
γw
z
b)
h1
h2
σz = γsat⋅z + γw⋅h1 (Eq. 4.42)
u
A
O 0
γ h
h
w 1
B
u
γ zi
P
w
γw(h1+ h2 - h)
Q
z
1
1
a) assenza di filtrazione. Se l’acqua si trova allo stesso livello
nei due recipienti (Figura
4.19a) non c’è differenza di carico (ossia di energia) tra due
punti, A e B, appartenenti alla
due superfici libere, per cui
l’acqua è in quiete. La pressione verticale totale nel generico
punto P, a profondità z dall’estremità superiore del campione,
O, sarà data da:
b) e la pressione dell’acqua (pressione interstiziale):
u = γw⋅(h1+z)
(Eq. 4.43)
c) per cui la pressione verticale
efficace vale:
γw
γw
σ’z = σz – u = γsat⋅z + (Eq.
γw⋅h1 - γw⋅(h1+z) = γ’⋅z 4.44)
B
c)
essendo γ’ = γsat -γw
d)
filtrazione discendente. Se
il livello dell’acqua nel serbatoio è
h1
γ h
w 1
O 0
mantenuto più basso di quello nel
u
γw z i
P
h2
recipiente che contiene il campioγ (h + h + h)
w 1 2
Q
ne, di una altezza h, si ha una differenza di carico costante che provo1
1
ca un moto di filtrazione dal reciγw γw
z
piente che contiene il campione
verso il serbatoio (da un punto a
energia maggiore, A, a un punto a
Figura 4.19 – Esempio di assenza di filtrazione (a), fil- energia minore, B). La pressione
trazione discendente (b) e ascendente (c) in un campione verticale totale nel punto P a profondità z dall’estremità superiore
di sabbia saturo
del campione, O, sarà data anche in
questo caso da (Figura 4.19b):
A
h
σz = γsat⋅z + γw⋅h1
(Eq. 4.45)
La pressione dell’acqua nel punto O, all’estremità superiore del campione, per z=0, è governata dalla quota del pelo libero nel recipiente e vale uz=0 = γw h1, mentre all’estremità
inferiore, per z=h2, è governata dalla quota del pelo libero nel serbatoio e vale uz=h2 = γw
(h2+h1-h). La pressione dell’acqua all’interno del campione varia linearmente con la profondità e, nel punto P, alla generica profondità z, vale u = γw (h1+z) –γw (h/h2)z. Il rappor4 -30
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Capitolo 4
IDRAULICA DEI TERRENI
to h/h2 è, per definizione, il gradiente idraulico, per cui si può scrivere che nel punto P a
profondità z la pressione interstiziale vale:
u = γw (h1+z) –γw i z
e la pressione efficace:
σ’z = σz – u = γsat z + γw h1 – γw (h1+z) +γw i z = (γsat – γw) z – γw i z = γ’ z + γw i z
Ovvero, rispetto al caso precedente di assenza di filtrazione, la filtrazione verticale discendente ha prodotto una riduzione della pressione interstiziale, γw i z, ed un eguale aumento di pressione efficace. Il termine γw i z è la pressione di filtrazione.
Allo stesso risultato si perviene ragionando in termini di carico piezometrico come descritto nel seguito.
Supponendo che la perdita di carico, h, tra i punti A e B appartenenti alle due superfici libere, avvenga interamente nel campione, e che vari linearmente al suo interno, la perdita
h
⋅z = i⋅z .
di carico nel tratto OP è pari a
h2
Quindi h 0 − h P = h 1 − (− z +
u = (z + h 1 ) ⋅ γ w −
u
u
h
) = (z + h 1 ) −
=
⋅ z , da cui:
γw
γw h2
h
⋅ z ⋅ γ w = (z + h 1 ) ⋅ γ w − i ⋅ z ⋅ γ w
h2
(Eq. 4.46)
La pressione efficace vale in questo caso:
σ’z = σz – u = γsat⋅z + γw⋅h1 - (z + h1)⋅ γw + i⋅z⋅γw = γ’⋅z + i⋅z⋅γw
(Eq. 4.47)
e) filtrazione ascendente. Se il livello dell’acqua nel serbatoio è mantenuto più alto di
quello nel recipiente che contiene il campione, di una quantità h, si ha una differenza di
carico costante che provoca un moto di filtrazione dal serbatoio verso il recipiente che
contiene il campione (Figura 4.19c).
La pressione totale nel punto P, a profondità z dall’estremità superiore del campione, O,
sarà data anche in questo caso da:
σz = γsat⋅z + γw⋅h1
(Eq. 4.48)
La pressione dell’acqua nel punto O, all’estremità superiore del campione, per z=0, è governata dalla quota del pelo libero nel recipiente e vale uz=0 = γw h1, mentre all’estremità
inferiore, per z=h2, è governata dalla quota del pelo libero nel serbatoio e vale uz=h2 = γw
(h2+h1+h). La pressione dell’acqua all’interno del campione varia linearmente con la profondità e, nel punto P, alla generica profondità z, vale u = γw (h1+z) +γw (h/h2)z. Il rapporto h/h2 è, per definizione, il gradiente idraulico, per cui si può scrivere che nel punto P a
profondità z la pressione interstiziale vale:
u = γw (h1+z) +γw i z
e la pressione efficace:
σ’z = σz – u = γsat z + γw h1 – γw (h1+z) - γw i z = (γsat – γw) z – γw i z = γ’ z - γw i z
4 -31
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Capitolo 4
IDRAULICA DEI TERRENI
Ovvero, rispetto al caso precedente di assenza di filtrazione, la filtrazione verticale ascendente ha prodotto una aumento della pressione interstiziale, γw i z, ed un eguale riduzione
di pressione efficace. Il termine γw i z è la pressione di filtrazione.
Allo stesso risultato si perviene ragionando in termini di carico piezometrico come descritto nel seguito.
Supponendo che la perdita di carico h, tra i punti B e A appartenenti alle due superfici libere, avvenga interamente nel campione, e che vari linearmente al suo interno, nel tratto
h
⋅z = i⋅z .
PO, la perdita di carico è pari a
h2
Quindi h P − h 0 = (−z +
u = (z + h 1 ) ⋅ γ w +
u
γw
) − h1 =
u
h
− (z + h 1 ) =
⋅ z , da cui:
γw
h2
h
⋅ z ⋅ γ w = (z + h 1 ) ⋅ γ w + i ⋅ z ⋅ γ w
h2
(Eq. 4.49)
La pressione efficace vale in questo caso:
σ’z = σz – u = γsat⋅z + γw⋅h1 - (z + h1)⋅ γw - i⋅z⋅γw = γ’⋅z - i⋅z⋅γw
(Eq. 4.50)
Le osservazioni precedenti evidenziano che in presenza di filtrazione, in un punto a profondità z, la pressione dell’acqua varia di una quantità pari i⋅z⋅γw, che rappresenta la componente idrodinamica della pressione interstiziale (pressione di filtrazione). Di conseguenza la pressione efficace varia della stessa quantità; nel caso di filtrazione discendente
la pressione efficace aumenta, mentre nel caso di filtrazione ascendente la pressione efficace diminuisce rispetto al casi di assenza di filtrazione. In particolare, la pressione effettiva in presenza di filtrazione ascendente è data da σ’z = γ’⋅z - i⋅z⋅γw e si annulla quando il
gradiente idraulico è pari a
ic= γ’/γw
(Eq. 4.51)
detto gradiente idraulico critico.
In questa condizione, se il terreno è privo legami coesivi, si annullano le forze intergranulari, si annulla la resistenza del terreno e le particelle solide possono essere trasportate
dall’acqua in movimento, dando origine ad un fenomeno progressivo di erosione che conduce al collasso della struttura del terreno. Tale fenomeno è noto come instabilità idrodinamica (o sifonamento) ed è quello che può manifestarsi ad esempio nel caso di uno scavo sorretto da un diaframma. (Figura 4.20). È da notare che essendo γ’≅ γw, il valore di ic
è prossimo all’unità.
Si definisce fattore di sicurezza globale nei confronti del sifonamento il rapporto tra il
gradiente idraulico critico e quello che si ha in esercizio (definito gradiente di efflusso,
iE), ossia:
FS = ic/iE
(Eq. 4.52)
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Capitolo 4
IDRAULICA DEI TERRENI
Essendo il sifonamento un fenomeno improvviso, senza segni premonitori, ed essendo
difficile tener conto di fattori quali l’eterogeneità e l’anisotropia del terreno, si adottano
valori alti di FS (generalmente si impone FS > 4).
p.c.
A
H
B
p.c.
D
Nel caso di un diaframma infisso ad una
profondità D in un mezzo omogeneo, il
gradiente di efflusso può essere valutato in
prima approssimazione dividendo la perdita
di carico per la lunghezza delle linea di
flusso più corta, rappresentata dal percorso
di una particella d’acqua in aderenza al diaframma, indicato con A-B in Figura 4.20,
ovvero, trascurando lo spessore del diaframma ed indicando con H la differenza di
carico esistente tra due punti A e B appartenenti alle due superfici libere, si può porre:
iE = H/(H+2D)
(Eq. 4.53)
Per determinare un valore del gradiente di
efflusso più aderente alla realtà si può ricorrere a diagrammi disponibili in letteratura per vari casi pratici ricorrenti (Figura 4.21).
Figura 4.20 – Scavo sorretto da un diaframma
a)
0.53
b/D
c)
Gradiente di efflusso iE
Gradiente di efflusso iE
α
b)
h/D
h/D
Figura 4.21 – Gradiente di efflusso, iE, nel caso di uno scavo in un mezzo di spessore infinito (a),
nel caso di uno scavo nastriforme in un mezzo di spessore infinito (b), nel caso di una trincea
drenante in un mezzo di spessore limitato (c)
A titolo di esempio, con lo schema di Figura 4.21, per h/D = 2 e d/D = 1 si ha ie ≅ 0.53.
La stima, approssimata per eccesso, ottenuta dall’Equazione (4.53) è:
4 -33
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Capitolo 4
ie =
IDRAULICA DEI TERRENI
2
h
h/D
=
=
= 0.66
d + 2D d / D + 2 1 + 2
Un fenomeno analogo al sifonamento, dovuto alle pressioni di filtrazione al piede di un
diaframma, è quello del sollevamento del fondo scavo.
Terzaghi ha osservato che il fenomeno di instabilità si estende a tutta la profondità D di
infissione per una larghezza pari a D/2 e che l’andamento delle sovrapressioni interstiziali
(ovvero delle pressioni interstiziali in eccesso rispetto alla pressione idrostatica di valle) è
quello riportato in Figura 4.22.
In prima approssimazione, cautelativamente, si assume che il valore della sovrapressione al piede del diaframma sia costante per una larghezza D/2 e pari ad γw ⋅Hc, dove Hc si ricava dall’Eq.(4.52):
p.c.
D/2
H
ie = H/(H+2D) =Hc/D
E
e quindi:
H
c
p.c
Hc = (H D)/(H+2D).
La forza totale di filtrazione che tenD
D
de a sollevare il cuneo è data da Sw =
Hc⋅γw⋅D/2; quando questa uguaglia il
peso efficace del cuneo (peso totale
A
del cuneo meno spinta di Archimede), dato da W’ = γ’ D D/2, si ragγ H
w
c
giungono le condizioni limite di instabilità.
Figura 4.22 – Distribuzione delle sovrapressioni al
Il fattore di sicurezza globale nei piede di un diaframma in un mezzo di spessore infinito
confronti del sollevamento del fondo
scavo è definito come rapporto tra il peso efficace del cuneo e la forza di filtrazione che
tende a sollevarlo, ossia:
FS =
W'
γ '⋅D ⋅ D / 2
γ '⋅D
=
=
Sw γ w ⋅ H c ⋅ D / 2 γ w ⋅ H c
(Eq. 4.54)
(è da osservare che in pratica il rapporto Hc/D rappresenta il gradiente di efflusso nel tratto infisso, e che quindi l’Eq. 4.54 corrisponde all’Eq. 4.52).
Talvolta, nel caso di terreno omogeneo, viene assunto cautelativamente Hc= H/2, invece
che Hc= HD/(H+2D), come risulterebbe, sempre in maniera approssimata, dallo schema
di Figura 4.22.
Per incrementare il valore di FS si possono adottare le seguenti soluzioni:
-
aumentare la profondità di infissione in modo da ridurre il gradiente di efflusso;
-
disporre sul fondo dello scavo in adiacenza al diaframma un filtro costituito da materiale di grossa pezzatura in modo da incrementare le tensioni efficaci. In questo caso
4 -34
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Capitolo 4
FS =
IDRAULICA DEI TERRENI
γ '⋅D 2 / 2 + W
γ w ⋅ Hc ⋅ D / 2
(Eq. 4.55)
dove W è il peso del filtro;
-
inserire dei dreni in modo da ridurre le sovrapressioni.
Se lo scavo è realizzato in un terreno a grana fine, sovrastante uno strato a permeabilità
molto più elevata, nel tempo che intercorre tra la realizzazione dello scavo e l’instaurarsi
del moto di filtrazione, occorre ragionare in termini di pressioni totali: se la forza risultante delle pressioni idrostatiche iniziali alla base del cuneo supera il peso totale del cuneo
può verificarsi il sollevamento. In questo caso il fattore di sicurezza globale è definito
mediante il rapporto tra la pressione verticale totale e la pressione interstiziale
all’intradosso dello strato di argilla a valle (Figura 4.23):
FS =
γ⋅D
γw ⋅ Hw
(Eq. 4.56)
p.c.
Sabbia
H
D
γ
w
H
w
w
Argilla NC
Sabbia
Figura 4.23 - Scavo realizzato in un terreno a grana fine, sovrastante uno strato a permeabilità
molto più elevata
4.9 Considerazioni sui problemi di idraulica dei terreni
Per affrontare e risolvere i problemi di ingegneria geotecnica si utilizzano modelli semplificati del sottosuolo, costituiti da strati di terreno omogenei, con superfici di confine ben
definite, cui vengono attribuite proprietà geotecniche medie o caratteristiche. La geometria e le proprietà fisiche, idrauliche e meccaniche dei diversi strati di terreno sono stimate
in base ai risultati di indagini geotecniche in sito e di laboratorio. Come vedremo nei capitoli successivi, le indagini geotecniche hanno limiti e incertezze, dovuti alla rappresentatività del campione statistico, alla variabilità intrinseca delle proprietà dei terreni, alla impossibilità di riprodurre in laboratorio le reali condizioni in sito, alle incertezze nelle procedure di trasformazione dei risultati sperimentali in proprietà geotecniche, etc.. Pertanto
il modello di sottosuolo utilizzato per il calcolo è solo uno schema semplificato della realtà fisica, sia per quanto riguarda la geometria sia per quanto riguarda le proprietà geotecniche attribuite ai singoli strati.
Le incertezze del modello hanno effetti molto diversi a seconda del problema geotecnico.
In alcuni di essi, anche scarti considerevoli dei valori reali di una proprietà geotecnica dal
valore medio stimato ed assunto per il calcolo, hanno modesti effetti sul risultato (ad e4 -35
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sempio, la stima della capacità portante e dei cedimenti di una fondazione, o anche la stima della spinta del terreno su un’opera di sostegno). Ma nei problemi di idraulica del terreno, ove è necessario considerare la filtrazione dell’acqua e la distribuzione delle pressioni interstiziali nello spazio e nel tempo, anche dettagli geologici minimi, apparentemente insignificanti e di difficile individuazione con le usuali tecniche di indagine, possono avere un’influenza decisiva, per cui l’uso di un modello semplificato di sottosuolo,
che trascuri tali dettagli, può condurre a risultati decisamente errati.
Si consideri, ad esempio, una palancola a sostegno di uno scavo in un deposito di sabbia,
in cui sia presente un sottile strato di argilla. In assenza di falda, e quindi di filtrazione, la
presenza dello straterello argilloso e molto poco permeabile, ha un’influenza trascurabile
sulla pressione mutua terreno-struttura, e quindi sulla stabilità e sulle deformazioni del sistema geotecnico. Al contrario, in presenza di falda, se il livello argilloso è al di sopra
dell’estremità inferiore della palancola ed è continuo, esso intercetta quasi completamente
la filtrazione ed altera profondamente la distribuzione delle pressioni interstiziali. Se tuttavia il livello di argilla non è continuo, ma corrisponde ad una piccola lente, la rete di filtrazione ne risulta modificata solo localmente. Una verticale di indagine geotecnica (ad
esempio un sondaggio o una prova penetrometrica) eseguita per la progettazione della
struttura, può non avere rilevato la presenza del sottile livello argilloso, oppure può averla
rilevata ma senza poterne accertare l’estensione e la continuità.
In definitiva, l’intensità e la distribuzione delle pressioni interstiziali in presenza di filtrazione sono stimate mediante la rete idrodinamica, la cui determinazione è molto incerta e
raramente rispecchia le reali condizioni idrauliche del terreno. Per cui l’analisi teorica del
comportamento atteso del modello geotecnico, pur necessaria, deve essere convalidata da
misure sperimentali durante la costruzione e in corso d’opera, ed eventualmente variata se
le misure sperimentali non confermano le previsioni.
4.10 Verifiche di sicurezza nei confronti degli stati limite di tipo idraulico secondo le Norme Tecniche per le Costruzioni (D.M. 14/01/08)
La progettazione geotecnica eseguita in conformità alle Norme Tecniche per le Costruzioni (D.M. 14 gennaio 2008) (NTC-08) si basa sul metodo degli stati limite e
sull’impiego dei coefficienti di sicurezza parziali. Nel metodo degli stati limite, che possono essere ultimi (SLU) o di esercizio (SLE), vi sono tre categorie di coefficienti parziali, da applicare rispettivamente alle azioni o agli effetti delle azioni (A), alle caratteristiche dei materiali (M) e alle resistenze (R). Essi possono assumere valori diversi ed essere
diversamente raggruppati e combinati tra loro in funzione del tipo e delle finalità delle verifiche nei diversi stati limite considerati.
Gli stati limite ultimi di tipo idraulico sono riconducibili ai seguenti due, denominati rispettivamente:
UPL (da Uplift) – che comportano la perdita di equilibrio della struttura o del terreno a
causa della sottospinta dell’acqua (fenomeni di galleggiamento di strutture interrate, come
parcheggi sotterranei, stazioni metropolitane, etc.. o di sollevamento del fondo scavo), e
HYD (da Hydrodinamic conditions) – in cui si verifica erosione e sifonamento del terreno
a causa di moti di filtrazione dal basso verso l’alto con gradiente idraulico tale da produrre l’annullamento delle tensioni efficaci.
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Gli schemi di rottura delle Figure 4.19, 4.20 e 4.21 sono del tipo HYD, mentre lo schema
di Figura 4.22 è del tipo UPL.
Secondo le NTC-08:
“Per la stabilità al sollevamento deve risultare che il valore di progetto dell’azione instabilizzante Vinst,d, combinazione di azioni permanenti (Ginst,d) e variabili (Qinst,d), sia non
maggiore della combinazione dei valori di progetto delle azioni stabilizzanti (Gstb,d) e delle resistenze (Rd):
dove
Vinst,d ≤ Gstb,d + Rd
(6.2.4)
Vinst,d = Ginst,d + Qinst,d
(6.2.5)
Per le verifiche di stabilità al sollevamento, I relativi coefficienti parziali sono indicati
nella Tab. 6.2.III. Tali coefficienti devono essere combinati in modo opportuno con quelli
relativi ai parametri geotecnici (M2).”
Tabella 6.2.III – Coefficienti parziali sulle azioni per le verifiche nei confronti di stati limite di sollevamento
CARICHI
Favorevole
Permanenti
SOLLEVAMENTO
(UPL)
0.9
γG1
Sfavorevole
Permanenti non strutturali
Variabili
Coefficiente parziale
γF (o γE)
EFFETTO
Favorevole
1.1
0.0
γG2
Sfavorevole
Favorevole
1.5
0.0
γQi
Sfavorevole
1.5
I valori dei coefficienti parziali relativi ai parametri geotecnici sono indicati nella seguente Tabella 6.2.II delle NTC08
Tabella 6.2.II – Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
( M1 )
( M2 )
tan φ’k
γφ’
1.0
1.25
Coesione efficace
c’k
γc’
1.0
1.25
Resistenza non drenata
cuk
γcu
1.0
1.4
γ
γγ
1.0
1.0
Tangente dell’angolo
di resistenza al taglio
Peso dell’unità di volume
Esempio di verifica al sollevamento di una struttura interrata:
Vasca in c.a. (Figura 4.24) immersa in terreno sabbioso saturo. Falda coincidente con il
piano campagna.
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Be x Le
Bi x Li
Hw
T
Pw
Hi
He
Pv
U
Figura 4.24- Schema della vasca
dati geometrici:
He = 3,5 m
Hi = 2,8 m
Hw = 2,5 m
Be = 5 m
Bi = 4 m
pesi specifici di progetto:
peso specifico del c.a.:
peso specifico dell’acqua.:
Le = 10 m
Li = 9 m
γc.a. = 25 kN/m3
γw. = 10 kN/m3
proprietà geotecniche (valori caratteristici)
- peso di volume saturo della sabbia:
γsat,k = 18 kN/m3
- angolo di resistenza al taglio:
φ’k = 32°
Verifica nei confronti dello stato limite di sollevamento secondo NTC 08
Area di base: Ab = Be Le = 10 x 5 = 50 m2
Area delle pareti: As = 2 He (Be + Le) = 2 x 3,5 x (5 + 10) = 105 m2
Valori di progetto delle proprietà geotecniche
(si applicano i coefficienti di sicurezza parziali di Tabella 6.2.II colonna M2)
- peso di volume saturo della sabbia:
γsat,d = γsat,k / 1.0 = 18 kN/m3
- angolo di resistenza al taglio:
φ’d = arctan(tanφ’k /1,25) = 26,56°
Peso della vasca:
Pv = γc.a. (Be Le He – Bi Li Hi) = 25 x (5 x 10 x 3,5 – 4 x 9 x 2,8) = 1855 kN
Peso dell’acqua contenuta nella vasca: Pw = γw Bi Li Hw = 10 x 4 x 9 x 2,5 = 900 kN
Sottospinta idraulica: U = γw He Ab = 10 x 3,5 x 50 = 1750 kN
Forza di attrito di progetto sulle pareti della vasca:
T = τm,d As
τm,d = Kd tanδd σ’vm
Kd = 1 – senφ’d = 1 – sen(26,56) = 0,553
δd = 0,75 φ’d = 0,75 x 26,56 = 19,92°
tanδd = tan(19,92) = 0,362
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σ’vm = γ’ He / 2 = (18 – 10) x 3,5 / 2 = 14 kPa
τm,d = Kd tanδd σ’vm = 0,553 x 0,362 x 14 = 2,80 kPa
T = τm,d As = 2,80 x 105 = 294,5 kN
Valori di progetto delle azioni instabilizzanti
(si applicano i coefficienti di sicurezza parziali di Tabella 6.2.III)
Ginst,d = U γG1 = 1750 x 1,1 = 1925 kN
Qinst,d (assente)
Vinst,d = Ginst,d = 1925 kN
Valori di progetto delle azioni stabilizzanti
(si applicano i coefficienti di sicurezza parziali di Tabella 6.2.III)
Gstb,d = Pv γG1 = 1855 x 0,9 = 1669,5 kN
Qstb,d = Pw γQi = 900 x 0 = 0 kN
Valori di progetto delle azioni resistenti
Rd = T = 294,5 kN
Gstb,d + Rd = 1669,5 + 294,5 = 1964 kN > Vinst,d = 1925 kN
Verifica soddisfatta.
Riprendendo lo schema della Figura 4.22, che si riferisce al pericolo di sollevamento del
fondo di uno scavo realizzato in un terreno a grana fine, sovrastante uno strato a permeabilità molto più elevata, nel tempo che intercorre tra la realizzazione dello scavo e
l’instaurarsi del moto di filtrazione, l’applicazione delle NTC 08 e quindi dei coefficienti
di sicurezza parziali di Tabella 6.2.III, comporta semplicemente di attribuire al coefficiente di sicurezza globale FS di Eq. 4.55 il valore minimo: FSmin = 1,1 / 0,9 = 1,22
Infatti:
(Gstab,d + Rd) = 0,9 γ D
e
Vinst,d ≤ Gstab,d + Rd
da cui, dovendo risultare:
1,1 γw Hw ≤ 0,9 γ D
Vinst,d = Ginst,d = 1,1 γw Hw
ne segue:
ovvero
FS = γ D / γw Hw ≥ 1,1/0,9 = 1,22
Per quanto riguarda le verifiche al sifonamento, le NTC-08 recitano:
“Il controllo della stabilità al sifonamento si esegue verificando che il valore di progetto
della pressione interstiziale instabilizzante (uinst,d) risulti non superiore al valore di progetto della tensione totale stabilizzante (σstb,d), tenendo conto dei coefficienti parziali della Tab. 6.2.IV:
uinst,d ≤ σstb,d
(6.2.6)
Tabella 6.2.IV – Coefficienti parziali sulle azioni per le verifiche nei confronti di stati limite di sifonamento
CARICHI
Permanenti
Permanenti non strutturali
Variabili
Coefficiente parziale
γF (o γE)
EFFETTO
Favorevole
γG1
Sfavorevole
Favorevole
γG2
Sfavorevole
Favorevole
γQi
Sfavorevole
SIFONAMENTO
(HYD)
0.9
1.3
0.0
1.5
0.0
1.5
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Si consideri ad esempio lo schema di Figura 4.25.
Acqua
∆h
dw
Acqua
H
Sabbia
d
u
Figura 4.25 – Schema per la verifica al sifonamento
Al piede del diaframma il valore caratteristico della pressione interstiziale instabilizzante
vale:
uinst,k = γw (d + dw + ∆h)
mentre il valore caratteristico della tensione totale stabilizzante vale:
σstb,k = γsat d + γw dw = (γ’ + γw) d + γw dw
Applicando i coefficienti di sicurezza parziali γG1 (rispettivamente sfavorevole per uinst,k e
favorevole per σstb,k) di Tabella 6.2.IV la verifica in termini di tensioni totali richiede che:
1,3 γw (d + dw + ∆h) ≤ 0,9 [(γ’ + γw) d + γw dw]
ovvero:
1,3 γw ∆h ≤ 0,9 γ’ d – 0,4 γw (d + dw)
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