ITCG MOSE’ BIANCHI MONZA
Intersezioni di un fascio di
rette improprio
con una parabola
• Vitalone Marco
• A3 geometri
• Anno Scolastico 2000/2001
LA PARABOLA
Definizione:
La parabola è il luogo
geometrico dei punti di un
piano equidistanti da un
punto fisso F detto fuoco e
da una retta d detta
direttrice
Y
P(x,y)
PF=PH
X
F
H
d
La sua equazione è:
Y=ax²+bx+c
Con a, b, c  R
FASCIO DI RETTE
IMPROPRIO
Definizione
Un fascio di rette improprio è un
insieme di rette aventi tutte
la stessa direzione e quindi lo
stesso coefficiente angolare,
ovvero un fascio di rette
parallele tra loro
Y
La sua equazione è del
tipo: y=mx+q
X
Con m noto e q variabiale
POSIZIONI RECIPROCHE
Una retta rispetto ad una parabola può
essere:
• Secante
• Esterna
• Tangente
RETTA SECANTE ALLA
PARABOLA
La retta ha due dei
suoi infiniti punti
che appartengono
anche alla parabola
RETTA ESTERNA ALLA
PARABOLA
La retta non ha
neanche un punto
in comune con la
parabola
RETTA TANGENTE ALLA
PARABOLA
La retta ha uno dei
suoi infiniti punti
che appartiene
anche alla parabola
(in realtà si tratta di
due punti
coincidenti)
COME SI TROVANO LE INTERSEZIONI
RETTA-PARABOLA
Per determinare le intersezioni tra un fascio di rette e una
parabola bisogna risolvere il sistema di secondo grado tra le
loro due equazioni.
 y  ax 2  bx  c

 y  mx  q
• Se le due soluzioni sono reali e distinte (>0)la retta è secante la
parabola
• Se non vi sono soluzioni ( <0)la retta è esterna alla parabola
• Se le due soluzioni sono reali e coincidenti ( =0) la retta è tangente
la parabola
ESEMPIO
Troviamo le rette del fascio y=3x+2k che sono secanti,
tangenti o esterne alla parabola y=x²+2x+1
Impostiamo il sistema:
 y  3 x  2k

2
y

x
 2x 1

Risolvendo il sistema col metodo del confronto
otteniamo l’equazione risolvente:
x²+2x+1=3x+2k
x²-x+1-2k=0
Troviamo il discriminante:
 =1- 4(1-2k) = 1- 4+8k = 8k-3
Consideriamo i tre casi:
 >0
8k-3>0
k>
 =0
 <0
8k-3=0
8k-3<0
k=
k<
3
8
3
8
3
8
Rette secanti
Retta tangente
Rette esterne
Fine