I LIMITI
Lezione multimediale a cura della prof.ssa Maria A. Sinagra
UN PRIMO APPROCCIO AL CONCETTO DI LIMITE
Consideriamo la seguente funzione:
x2  x  2
y
x 1
Il cui dominio è dato da tutti i numeri reali, escluso 1.
Ci proponiamo di studiare il comportamento della funzione in
prossimità di questo numero.
Ossia sostituiamo al posto della x valori vicini a 1.
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2
x  x2
y
x 1
2

x  1x  2
y
Possiamo scrivere
x 1
Quindi la funzione è equivalente, per
alla funzione di equazione
x 1
y  x2
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Risulta facile costruire il grafico di
y
y  x2
per
x 1
3
Nel punto x=1 la funzione non esiste.
2
Per x= 0 y= 2
per valori di x molto vicini a 1 la
funzione si avvicina a 3.
o
1
x
Lo possiamo vedere meglio
costruendo la tabella dei valori che
assume la funzione quando la x si
avvicina a 1
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sostituiamo al posto della x valori che si
avvicinano sempre di più a 1 per difetto e per
eccesso.
1
0,9
1,1
Dalla tabella si evince che avvicinandoci sia da
sinistra che da destra a 1, il corrispondente
valore di y si avvicina a 3 ( rispettivamente per
difetto e per eccesso)
In simboli
lim f x   3
x1
x
y
0,9
2,9
0,99
2,99
0,999
..
.
2,999
..
.
1
..
.

..
.
1,0001 3,0001
1,001
3,001
1,01
3,01
1,1
3,1
si legge
Il limite per x che tende a 1 di f(x) è 3.
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x2  x  2
lim
3
x 1
x 1
Ritorniamo a
3
f x 
3
3
2
o
1 x
I(1)
Torniamo al grafico
Consideriamo sull’asse y i punti
3
3
e
dove  è un numero positivo, arbitrariamente
piccolo. In corrispondenza ad esso è possibile
trovare un intorno I(1). Se prendiamo un qualsiasi
valore di x appartenente a questo intorno, diverso
da 1, il corrispondente valore f(x) è compreso tra
3
e
3
3    f ( x)  3  
ovvero
f (x)  3  
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Prova tu a costruire il grafico e la tabella dei valori per
la funzione:
x2  x  2
y
x 1
quando
x  1
Quanto vale il limite per x che tende a -1 di f(x)?
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DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO PER X CHE TENDE AD UN
VALORE FINITO
f(x)
Data una funzione y=f(x) definita in tutti i
punti di un intervallo a, b tranne al più un
punto
x 0 interno all’intervallo
l 
l
l 
Si dice che per x che tende a x 0 la
funzione ha per limite l e si scrive
lim f ( x)  l
x0 x I
x  x0
Se, fissato un numero positivo
 arbitrariamente piccolo
si può determinare in corrispondenza ad esso, un intorno completo I di
tale che, per ogni x appartenente a questo intorno (escluso al più
l    f ( x)  l  
cioè
x0
x0 )
f ( x)  l  
In simboli
lim f ( x)  l
x  x0

  0 I ( x0 ) / x  I ( x0 )  x0   f ( x)  l  
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