Bellavite Caterina
&
Salvati Federica
Dato un insieme A si ha una SUCCESSIONE quando tra gli
elementi dell’ insieme dato e quelli dell’insieme dei numeri naturali
(R) si ha una CORRISPONDENZA UNIVOCA, ovvero quando ad
ogni elemento del dominio corrisponde un solo elemento del
codominio.
Esempio di
Corrispondenza
Univoca
DOMINIO
CODOMINIO
D’ora in poi considereremo solo le successioni in cui il codominio è
numerico…
N
1
A
a[0]
2
a[1]
3
a[2]
4
a[n]
n
…e intendiamo con a[n] un elemento della successione.
Come si definisce una successione, essendo infinita?
La definizione di successione può
essere espressa in due modi differenti:
• Fornendo a[0], primo
elemento della
successione, e la legge
che stabilisce il
passaggio da un
elemento al suo
successivo.
• Fornendo la legge che
ad ogni numero
naturale associa il suo
corrispondente
Esempio 1
Esempio 2
ESEMPIO di successione 1
Consideriamo a[0]  3, in quanto è il
primo elemento della successione e
la legge
a[n  1]  1
a[n] 
2
si otterrà:
•
•
a[0]  1 3  1

2
2
2
a[1]  1 2  1 3
a[2] 


2
2
2
a[1] 
e così per tutti gli infiniti elementi
della successione
ESEMPIO di successione 2
Consideriamo la legge a[n]=3n
si otterrà:
• a[0]=0
• a[1]=3
• a[2]=6
• e così per tutti gli infiniti elementi
della successione
Rappresentazione grafica
30
A
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
Numeri naturali
5
6
Per rappresentare
graficamente una
successione si considera
un PIANO CARTESIANO
e si pongono i valori di N
sull’asse delle ascisse e
quelli di A sull’asse delle
ordinate. I risultati ottenuti
non devono essere uniti in
quanto fra due numeri
naturali successivi non ne
è compreso un terzo.
Come si comporta la successione con
N che tende all’infinito?
A[n] tende all’infinito
a[n] 
n
1
10
20
30
40
50
A[n] tende ad un numero
n2
2
successione
1,5
6
11
16
21
26
Grafico 1
Grafico 2
a[n] 
n
5
10
15
20
40
3n  2
n
successione
3,4
3,2
3,133333333
3,1
3,05
Grafico 3
Grafico 4
Limite di a[n] è +infinito per n che tende
all’infinito
n2
a[n] 
2
30
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
In questo caso
anche gli elementi
della successione
tendono all’infinito
e quindi il grafico
si sposterà
sempre, oltre che
verso destra, verso
l’alto.
Limite di a[n] è -infinito per n che tende
all’infinito
20
0
0
2
4
6
-20
-40
-60
-80
-100
a[n]  10  n 2
8
10
12
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
8
10
successione
10
9
6
1
-6
-15
-26
-39
-54
-54
-90
Limite per n che tende all’infinito di a[n] è 3
3n  2
a[n] 
n
3,5
3,4
3,3
3,2
3,1
3
2,9
2,8
1
2
3
4
5
6
In questo caso
gli elementi
della
successione
tendono ad un
numero (3) e
quindi
tenderanno a
raggiungerlo,
(limite).
Limite per n che tende all’infinito di a[n] è 2
sen( n)
a[n] 
2
n 1
2,6
2,4
2,2
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0
5
10
15
20
25
30
35
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
8
10
successione
2
2,42073549
2,30309914
2,03528
1,8486395
1,84017929
1,9600835
2,08212332
2,10992869
2,10992869
1,95054354
Ma che cos’è il limite di una successione?
Occorre ora dare delle definizioni precise e non intuitive
di limite.
+
Limite infinito
-
Limite finito
Attenzione esistono successioni che non ammettono limite
Definizioni di limite infinito
Si dice che limite per n che tende all’infinito di a[n] è +
lim n a[n]   se
e si scrive
H (k ) / n  H
k  0
a[n]  K
Nell’esempio se si fissa K
uguale a 25 H che dipende da
K sarà 6, fissando un “tetto” K
maggiore, H dovrà essere
maggiore. Dobbiamo essere in
grado di superare un qualsiasi
“tetto” K prefissato a patto di
prendere H abbastanza
30
25
20
15
10
5
grande.
0
1
2
3
4
5
6
Definizioni di limite infinito
Si dice che limite per n che tende all’infinito di a[n] è -
lim n a[n]   se
e si scrive
H (k ) / n  H
k  0
20
0
0
-20
-40
-60
-80
-100
2
4
6
8
10
12
a[n]   K
Nell’esempio se si fissa K
uguale a 50 H che dipende da
K sarà 8, fissando K maggiore,
H dovrà essere maggiore.
Dobbiamo essere in grado di
oltrepassare un qualsiasi limite
inferiore -K prefissato a patto
di prendere H abbastanza
grande.
Definizioni di limite finito
Si dice che limite per n che tende all’infinito di a[n] è A
(numero finito nell’esempio 2) e si scrive lim n a[n]  A se
H ( ) / n  H A    a[n]  A  
  0
Fissato un  piccolo a piacere è
possibile trovare un numero H
oltre il quale a[n] è sempre
compreso tra A- e A+. Se ciò
avviene a[n] si avvicina
indefinitivamente (quanto
vogliamo) ad A a patto di
prendere n abbastanza grande.
2,6
2,4
2,2
A+
A=
A-
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0
5
10
15
20
25
30
35
Successioni che non ammettono limite
a[n]  sen( n)
1,5
1
0,5
0
-0,5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-1
-1,5
La successione oscilla tra -1 e 1 senza
avvicinarsi a nessun numero in
particolare
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
8
10
11
12
13
14
15
successione
0
0,84147098
0,90929743
0,14112001
-0,7568025
-0,95892427
-0,2794155
0,6569866
0,98935825
0,98935825
-0,54402111
-0,99999021
-0,53657292
0,42016704
0,99060736
0,65028784
Dimostrare
Un limite si può...
caso di limite finito
caso di limite infinito
Dimostrare il limite di una
successione significa fare dei
calcoli algebrici a partire dalla
definizione per costatare che
essa è vera. Questo modo di
procedere non è però
conveniente perché per poterlo
applicare occorre conoscere il
limite a priori.
Calcolare
Calcolare il limite di una
successione significa partire dalla
legge iniziale e sommare,
dividere, moltiplicare o sottrarre i
limiti dei singoli elementi fino ad
ottenere il limite complessivo.
ESEMPIO DI DIMOSTRAZIONE NEL CASO DI LIMITE FINITO
lim n
Vogliamo dimostrare che
n3 1

2n  1 2
  0
Si deve di verificare che:
H ( ) / n  H
1
n3 1
 
 
2
2n  1 2
Si tratta di trovare la funzione che a un generico  fa corrispondere un opportuno H
in modo che per ogni n>H si abbia:
1
n3 1
n3 1
n3 1
 
   , osservato che quest’ultima equivale a
  e
 
2
2n  1 2
2n  1 2
2n  1 2
cioè al sistema
 n3 1
 2n  1  2  
 n3 1

 
 2n  1 2
 4n  7  2

 7  2  4n
 n3 1
 2n  1  2    0
 n3 1

   0
 2n  1 2
pertanto n 
Sempre verificata
7  2
4
H()
 2n  6  2n  1  4n  2
0

2(2n  1)
 2n  6  2n  1  4n  2

0

2(2n  1)
ESEMPIO DI DIMOSTRAZIONE NEL CASO DI LIMITE INFINITO
Vogliamo dimostrare che
Si deve di verificare che:
lim n
n2
 
n 1
k  0
H (k ) / n  H
n2
k
n 1
Si tratta di trovare la funzione che a un generico K fa corrispondere un opportuno
H in modo che per ogni n>H si abbia:
n2
k
n 1
verificata per
n2
K 0
n 1
K  K 2  4K
n
2
Ininfluente perché n tende a +
n 2  Kn  K
0
n 1
n 2  Kn  K  0
K  K 2  4K
o n
2
H(k) (approssimato all’intero appena maggiore)
Calcolo dei limiti
I limiti possono anche essere calcolati grazie a tre teoremi che si
riferiscono alle diverse operazioni che possono essere coinvolte
1 teorema
Esempio di calcolo
2 teorema
3 teorema
Teorema 1
Il limite della somma è generalmente uguale alla somma dei limiti
Lim a[n]=A
Lim b[n]=B
Lim ( a[n]+b[n] ) = A+B
Lim a[n]=+(-)
Lim b[n]=+(-) 
Lim ( a[n]+b[n] ) = +(-)
Lim a[n]=+(-)
Lim b[n]=-(+) 
indecisione
?
Teorema 2
Il limite del prodotto è generalmente uguale al prodotto dei limiti (si segue
la regola dei segni)
Lim a[n]=A
Lim ( a[n]*b[n] ) = A*B
Lim b[n]=B
Lim a[n]=+(-)
Lim b[n]=+(-)  o A
Lim a[n]=+(-)
Lim ( a[n]*b[n] ) = +inf
Lim ( a[n]*b[n] ) = -inf
Lim b[n]=-(+)
Lim a[n]=+(-)
indecisione
Lim b[n]=0
?
Teorema 3
Il limite del quoziente è generalmente uguale al rapporto tra i limiti
Lim a[n]
Lim b[n]
A
B0
Lim a[n]/b[n]
A/B

A0
0
0
0
indecisione


indecisione

0

A

0
?
?
FORME DI INDECISIONE
Capita, durante il calcolo dei limiti, di trovarsi di fronte a dei casi di
INDECISIONE. Casi cioè in cui è inizialmente impossibile dare una
soluzione. In questi casi, con opportuni accorgimenti di calcolo e
semplificazioni, si modifica l’argomento del limite in modo da
ottenere forme più semplici ed immediatamente risolvibili per
mezzo dei teoremi.
ESEMPIO DI CALCOLO DI LIMITE
lim n
n2 1
?
1 n
lim n
n2 1  

 F .I .
1 n  
1 

n 1  2 
 n   lim
n  
1 
n  1
n 
2
lim n
n2 1
 lim n
1 n
1 

n1  2 
 n 
1
1
n
TEOREMA 3
1 

  1 

      1  0   .1     

1
0  1
1
1
1

TEOREMA 3
TEOREMA 1
TEOREMA 4
ok