Appunti di analisi funzionale
Spazi funzionali normati
Introduciamo di seguito due importanti esempi di spazi funzionali su un
generico dominio limitato Ω
Spazio L2(Ω)
Z
2
L (Ω) = {v : Ω → R t.c.
v 2 dx < ∞}
Ω
lo spazio delle funzioni quadrato sommabili
Spazio H 1(Ω)
H 1 (Ω) = {v : Ω → R t.c. v ∈ L2 (Ω), v 0 ∈ L2 (Ω)}
lo spazio delle funzioni in cui le funzioni e le loro derivate generalizzate sono
quadrato sommabili.
Dalla denizioni appena date segue che H 1 (Ω) ⊂ L2 (Ω).
Nel seguito introdurremo alcuni concetti relativi a spazi funzionali che serviranno ad arricchire gli spazi appena deniti di ulteriori e importanti propiretà
Exercise 1 Si consideri la seguente funzione
f (x) :=
1
x1/4
vericare che f (x) ∈ L2 ([0, 1]), ma f (x) ∈/ H 1 ([0, 1]).
1
Denizione
Dato uno spazio di funzioni V , si dice funzionale un'applicazione
F : V → R,
ovvero un operatore che associa ad ogni elemento di V un'unico elemento
reale
Denizione
Uno spazio di funzioni V si dice normato se esiste un funzionale
k · kV : V → R
detto norma, con le seguenti proprietà:
(a) kvkV ≥ 0, ∀v ∈ V ; kvkV = 0 ⇔ v = 0.
(b) kαvkV = |α|kvkV , ∀v ∈ V, ∀α ∈ R.
(c) kv + wkV ≤ kvkV + kwkV , ∀v, w ∈ V.
(1)
(2)
(3)
Un funzionale si dice:
lineare se F (αv + βw) = αF (v) + βF (w), ∀v, w ∈ V, ∀α, β ∈ R.
limitato se ∃C > 0 t.c.|F (v)| ≤ CkvkV , ∀v ∈ V.
Una norma è quindi un funzionale limitato ma non lineare.
Gli spazi funzionali appena denti sono due esempi di spazi normati rispetto
alle seguenti norme:
1. L2 (Ω), k · kL2 (Ω) dove assegnato v ∈ L2 (Ω)
sZ
v 2 dx
kvkL2 (Ω) :=
Ω
2. H 1 (Ω), k · kH 1 (Ω) dove assegnato v ∈ H 1 (Ω)
sZ
Z
v 2 dx
kvkH 1 (Ω) :=
Ω
2
+
Ω
(v 0 )2 dx
Tra le proprietà degli spazi normati particolarmente importante è la completezza
.
Denizione
Uno spazio funzionale normato si dice completo se ogni successione di Cauchy è convergente. Uno spazio funzionale normato completo si dice spazio di
Banach.
Gli spazi funzionali introdotti, dotati delle corrispondenti norme, sono entrambi completi, quindi rappresentano due importanti esempi di spazi di
Banach.
Spazi funzionali dotati di prodotto scalare
Introduciamo adesso i concetti di prodotto scalare e di norma indotta:
Denizione
Si dice prodotto scalare in V un'applicazione (·, ·)V : V × V → R, ovvero un
funzionale V × V → R tale che:
(a)
(b)
(c)
(d)
(v, w)V = (w, v)V , ∀v, w ∈ R.
(v + w, z)V = (v, z)V + (w, z)V , ∀v, w, z ∈ R.
(αv, w)V = α(v, w)V , ∀v, w ∈ R, ∀α ∈ R.
(v, v)V ≥ 0, se (v, v)V = 0 ⇔ v = 0.
Denizione
Se V è uno spazio
p con prodotto scalare, l'applicazione che ad un elemento
v ∈ V associa (v, v) soddisfa tutte le proprietà di una norma e si chiama
norma indotta.
Denizione
Uno spazio funzionale dotato di prodotto scalare e completo rispetto alla
norma indotta si dice spazio di Hilbert.
Le forme
Z
(f, g) : =
∀f, g ∈ L2 (Ω)
f (x)g(x)dx
ZΩ
(f, g) : =
Z
f 0 (x)g 0 (x)dx
f (x)g(x)dx +
Ω
Ω
3
∀f, g ∈ H 1 (Ω)
vericano le proprietà di prodotto scalare rispettivamente su L2 (Ω) e su
H 1 (Ω) , inoltre le norme indotte ad esse associate coincidono con le denizioni di norme date in precedenza.
Riassumendo quindi L2 (Ω) è uno spazio di Hilbert, perchè completo rispetto
alla norma su di esso considerata e tsle norma è eettivamente una norma
indotta da un prodotto scalare.Analogamente anche H 1 (Ω) è uno spazio di
Hilbert rispetto alla norma considerata.
Per uno spazio dotato di prodotto scalare l'essere spazio di Hilbert determina
diverse proprietà aggiuntive, tra cui fondamentale risulta essere la seguente
disuguaglianza:
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
Sia V uno spazio di Hilbert, allora:
|(v, w)V | ≤ kvkV kwkV , ∀v, w ∈ V.
Exercise 2 Vericare che la funzione norma precedentemente denita sullo
spazio L2 (Ω) soddisfa eettivamente tutte le proprietà di una norma.
dim. Le proprietà di positività e di omogeneità sono immediate dalla denizione, verichiamo invece la disuguaglianza triangolare: siano f, g ∈ L2 (Ω)
kf + gk2L2 (Ω) = (f + g, f + g)L2 (Ω) = (f, f )L2 (Ω) + (g, g)L2 (Ω) + 2(f, g)L2 (Ω)
≤ kf k2L2 (Ω) + kgk2L2 (Ω) + 2kf k2L2 (Ω) kgk2L2 (Ω)
≤ (kf kL2 (Ω) + kgkL2 (Ω) )2
dove sono state utilizzate la proprietà di simmetria e la disuguaglianza di
Cauchy Schwartz. Analoga verica si può fare nel caso in cui lo spazio sia
H 1 (Ω) con la corrispondente norma con f ∈ L2 ([0, 1]) e g costante assegnata.
Proprietà di H 1(Ω) nel cado 1D
Innanzitutto introduciamo il seguente spazio di funzioni
Denizione
Indichiamo con
H01 (Ω) = {v ∈ H 1 (Ω) : v(a) = v(b) = 0}
lo spazio delle funzioni in H 1 (Ω) con valori agli estremi entrambi nulli.
4
Precisiamo subito che tale denizione ha senso perché nel caso monodimensionale le funzioni in H 1 (Ω) sono eettivamente funzioni continue, quindi
possiamo calcoare il valore puntuale nei punti del dominio di denizione.
H 1 ([a, b]) ⊂ C 0 ([a, b])
In realtà ciò che si dimostra nel caso 1D è la seguente importante proprietà:
Proprietà di H 1 (Ω)
Sia Ω = [a, b] un generico intervallo dell'asse reale, sia u ∈ L2 (Ω) allora
u ∈ H 1 (Ω) sse u è continua in [a, b] ed esiste w ∈ L2 (Ω) tale che
Z
x
w(t)dt + u(a) ∀x ∈ Ω.
u(x) =
a
u0 = w ( come derivata generalizzata).
Conseguenza diretta di tale proprietà nel caso in cui u ∈ H01 (Ω), Ω = [a, b] è
la seguente disuguaglianza: sia x ∈ Ω = [a, b]
Rx
Rx
Rb
|u(x)| = | a u0 (t)dt| ≤ a 1|u0 (t)|dt ≤ a 1|u0 (t)|dt
qR
qR
p
p
b
b
0
0 (t)|dt =
2 (Ω) ≤
≤
1dt
|u
(b
−
a)ku
k
(b − a)kukH 1 (Ω)
L
a
a
Disuguaglianza di Poincaré
Sia u ∈ H01 ([a, b]) allora vale che
kukL2 ([a,b]) ≤ Cp ku0 kL2 ([a,b])
dim.
si ottiene dall'ultima disuguaglianza tramite elevazione a quadrato, integrazione su [a, b] ed inne passando alla radice quadrata su entrambi i membri.
Exercise 3 Su H01 (Ω) le seguenti norme sono equivalenti ku0 kL2 (Ω) ekukH 1 (Ω)
ossia esistono due costanti C1,C2 tali da soddisfare la seguente catena di
disuguaglianze
C1ku0 kL2 (Ω) ≤ kukH 1 (Ω) ≤ C2ku0 kL2 (Ω)
5
dim la seconda disuguaglianza discende banalmente dalla denizione delle
due norme e dalla positività di una norma,la prima segue invece dalla disuguaglianza di Poincoiré e dalla denizione infatti
kuk2H 1 ([a,b]) = kuk2L2 ([a,b]) + ku0 k2L2 ([a,b]) ≤ [(b − a)2 + 1]ku0 k2L2 ([a,b])
1
da cui C1 = √1+(b−a)
.
2
6