Magnetismo
Fatti sperimentali
Forza di Lorentz
Applicazioni: ciclotrone, spettrometro di massa, tubo catodico
Campo magnetico di un filo percorso da corrente
Campo magnetico di spira e solenoide
Forza magnetica tra fili percorsi da corrente
Definizione di Ampere
Proprietà magnetiche dei materiali
Induzione elettromagnetica
Legge di Faraday – Lenz
Applicazioni: generatore e motore elettrico, trasformatore
Magnetismo
pag. 1
Magnetismo – fatti sperimentali
Due “cariche” magnetiche: polo N/S.
Poli uguali si respingono, poli opposti
si attraggono.
Fino ad oggi in natura non sono state
osservate cariche magnetiche isolate
(monopoli magnetici).
Campo magnetico generato da:
Magneti permanenti: proprietà
magnetiche intrinseche delle particelle
elementari, in certe sostanze si
evidenziano macroscopicamente.
Elettromagneti: cariche elettriche in
moto (correnti) generano campo
magnetico (Oersted 1820).
Magnetismo
pag. 2
Campo magnetico B
Campo magnetico terrestre
• dipolare
• ~1 gauss sulla superficie
Le linee di forza di B vanno da N
a S formando un percorso chiuso.
Si possono evidenziare con ago
magnetico (bussola) o limatura di
ferro.
Magnetismo
pag. 3
Forza magnetica agente su una carica in moto
r
r r
F = q v×B
F ⊥ v ⇒ Lavoro compiuto da F è nullo
[N] = [C][m][s -1 ][T]
[N]
(T: “Tesla” (MKS))
[T] =
[A][m]
1 T = 10 4 gauss
Regola della mano destra
il pollice dà il verso di F
Magnetismo
pag. 4
Carica in moto circolare uniforme
v ⊥ B (uniforme) ⇒ Moto circolare uniforme
v2
=qvB
m
R
mv
R=
qB
2π R 2π m
T=
T, ν, ω non dipendono da v (v<<c)
Particelle con uguale q/m compiono
un giro nello stesso tempo.
v
=
Raggio dell’orbita
Periodo
qB
1
qB
ω
=
ν= =
T 2 π m 2π
Magnetismo
Forza centripeta
Frequenza, pulsazione
pag. 5
Traiettorie elicoidali e a spirale
B (uniforme) ⇒ Moto elicoidale
vparallela determina passo dell’elica
B (NON uniforme) ⇒ Moto a spirale
Dove B è più intenso ⇒ minore R
Bottiglia magnetica
Magnetismo
Fasce di Van Allen
Raggi cosmici intrappolati dal
campo magnetico terrestre ⇒
Aurore polari
pag. 6
Aurora australe (Antartide - baia di Ross)
Magnetismo
pag. 7
Ciclotrone
Semidischi di rame a forma di “D” , cavi
immersi in campo B uniforme e ⊥ di
intensità ~ 1-2 T.
Oscillatore applica d.d.p. alternata ai D.
Sorgente S “inietta” particelle cariche
(ad esempio protoni):
- accelerati ad ogni passaggio
nell’intercapedine;
- in ogni D traiettoria circolare in B con
R = mv/qB e periodo T indipendente da v,
con R via via crescente.
Condizione di risonanza T = Toscillatore
⇒ il protone in circolo è in sincronia con
oscillazioni della d.d.p. applicata ai D.
Toscillatore
Traiettoria a spirale verso esterno
Protone acquista energia ad ogni
attraversamento dell’intercapedine
Funziona fino ad energie ~ 50 MeV
Magnetismo
pag. 8
Ciclotrone (2)
Esempio numerico
Un ciclotrone di raggio R = 53 cm lavora ad una frequenza di 12 MHz.
Qual è l’intensità di B necessaria per accelerare nuclei di deuterio?
Qual è la massima energia cinetica acquistata dai nuclei?
Il deuterio è isotopo dell’idrogeno con massa = 3.34 · 10-27 kg.
Per la condizione di risonanza la frequenza dell’oscillatore deve
essere uguale alla frequenza del moto circolare uniforme dei nuclei
nell’acceleratore. Dalla formula della frequenza, si ricava:
2 π mν
2 π ⋅ 3.34 ⋅10 -27 ⋅ 12 ⋅10 6
B=
=
T = 1.57 T
-19
q
1.6 ⋅10
L’energia cinetica massima è quella che il nucleo ha lungo la massima
circonferenza possibile nella macchina:
1
1 R 2 q 2 B2 1 (0.53 ⋅1.6 ⋅ 10 -19 ⋅ 1.57) 2
2
−12
E = mv =
=
=
2
.
653
⋅
10
J ≈ 16.6 MeV
− 27
2
2 m
2
3.34 ⋅10
Magnetismo
pag. 9
Spettrometro di massa
Ioni emessi da sorgente S
accelerati da d.d.p. continua V
1
mv 2 = qV
2
Ioni entrano con velocità v in camera
di separazione dove B uniforme ⊥ v
⇒ descrivono semicirconferenze di
raggio:
R=
mv 1
m
=
2 V
qB B
q
Ioni con stessa q e diversa m (isotopi)
percorrono circonferenze di R diversi
• Misura rapporto q/m di ioni Potere risolutivo in massa:
• Separazione isotopica degli
∆m
∆x
=2
m
x
elementi
Magnetismo
pag. 10
Spettrometro di massa (2)
Esempio numerico
Sia V = 1 kV, la carica dello ione +e, B=0.08 T. Calcolare la massa
dello ione in unità di massa atomica (1 amu = 1.6605 10-27 kg)
supponendo di avere misurato x = 1.6254 m. Qual è la risoluzione in
massa dello strumento?
Si ricava m dalla formula del raggio R che è uguale a x/2:
2
2
B2 q x 2 (0.08) ⋅ 1.6 ⋅10 −19 ⋅ (1.6254 )
m=
=
= 3.3817 ⋅10 − 25 kg = 203.65 amu
8V
8000
Dato che x è espresso con precisione di 4 cifre decimali, assumiamo ∆x
= 10-4 m. Quindi si ottiene:
∆m = 2 m ∆x/x = 2 · 203.93 · 10-4/1.6254 = 0.025 amu
Magnetismo
pag. 11
Tubo catodico
Thomson scopre l’elettrone (1897)
misurando rapporto q/m con un
tubo catodico
Y
y
L0
Elettroni emessi da filamento riscaldato
(effetto termoionico) e accelerati da
d.d.p. V.
L
E del condensatore deflette elettroni
verso l’alto (se B = 0).
B uniforme e ⊥ E ⇒ campi incrociati.
Si può regolare B in modo che elettroni non siano deflessi.
Si misura così v. Da misura di Y (spostamento verticale
sullo schermo), nota L0 (distanza condensatore-schermo)
e L (lunghezza del condensatore), si ricava y (spostamento
verticale al condensatore).
Da misura di y (noti E, v ed L) si ricava infine q/m.
E
qE = qvB ⇒ v =
B
y =Y −
y=
q ELL0
mv 2
q EL2
2mv 2
Esercizio: ricavare le ultime due equazioni (valide per piccole deflessioni)
pag. 12
Campo magnetico generato da corrente
in un filo rettilineo
Esperimento di Oersted (1820): un conduttore percorso da
corrente genera un campo magnetico nello spazio circostante.
µ0 I
B=
2π R
Legge di Biot-Savart
µ0 = 4 π ×10-7 [T][m][A-1]
Permeabilità magnetica del vuoto
Magnetismo
pag. 13
Campo magnetico di una spira
Il campo magnetico di una spira percorsa
da corrente è analogo al campo di una
barra magnetica (dipolo magnetico)
Se il dipolo magnetico si trova in un
campo magnetico esterno, il campo
esercita su di esso un momento torcente
µxBext. Il dipolo ha un’energia potenziale
associata all’ orientamento nel campo
U = - µ·Bext
r
µ = I S n̂
(S : sup. spira)
r
r
µ
Bz ∝ 3
z
Momento di
dipolo magnetico
(z >> R)
pag. 14
Momento torcente su di una bobina: applicazioni (cenni)
Motore elettrico
Le forze magnetiche esercitano sulla spira
un momento torcente che la induce a
ruotare (in modo che la normale alla sua
superfice tenda ad essere parallela alle
linee di campo). Un commutatore inverte il
verso della corrente ad ogni mezzo giro in
modo che il momento torcente agisca
sempre nello stesso verso.
Galvanometro
Il momento torcente della forza magnetica
è bilanciato dal momento di richiamo
elastico di una molla. Dalla misura della
deflessione angolare della bobina si
ricava la misura della corrente.
Magnetismo
pag. 15
Campo magnetico di un solenoide
Il campo di un solenoide ideale
(lunghezza infinita) è uniforme e
parallelo all’asse, di intensità
B=
µ0 In
L
n = numero di spire
L = lunghezza
n/L = numero di spire per unità di lunghezza
Esercizio
Calcolare il campo magnetico nel centro di un
solenoide di 4250 spire e lunghezza 1.23m
percorso da 1 A di corrente
B = 4π·10-7TA-1m·(4250/1.23m)·1A = 4.34·10-3 T
Magnetismo
pag. 16
Forza magnetica agente su una corrente
Esperimento di Faraday (1821): un campo magnetico
esercita una forza su un conduttore percorso da corrrente
La forza agente su di una corrente
si ottiene sommando i contributi
della forza di Lorentz su ciascun
portatore di carica.
La forza (sul tratto di filo l) è
perpendicolare sia a B che al
vettore lunghezza l
(orientato come la corrente)
F(l) =Il×
×B
Magnetismo
pag. 17
Forza magnetica fra due fili paralleli
Esperimento di Ampère (1820):
Il campo B generato da i1 esercita
una forza F2 su i2; viceversa il campo
originato da i2 esercita una forza F1 su i1.
F1 e F2 sono uguali in modulo.
Fili percorsi da correnti parallele e concordi
si attraggono; si respingono se le correnti
sono parallele e discordi.
µ0 I 1I l
F (l ) =
2π d
2 2
21
2
F21: forza sul filo 2
dovuta al filo 1
d: distanza tra i due fili
l2: tratto del filo 2
Magnetismo
Definizione di Ampere
1A è l’intensità di corrente
(costante) che scorre in due
fili rettilinei e paralleli di
lunghezza infinita, se questi
posti a distanza di 1 metro
nel vuoto si attraggono con
una forza pari a 2·10-7 N/m
pag. 18
Proprietà magnetiche dei materiali (cenni)
Derivano dal momento di dipolo magnetico intrinseco (legato allo spin)
e dal momento magnetico orbitale degli elettroni nell’atomo.
L’atomo ha un momento magnetico totale dato dalla somma vettoriale dei
momenti di spin e orbitale di tutti gli elettroni.
Se la somma dei momenti magnetici degli atomi dà un campo magnetico
non nullo a livello macroscopico, la sostanza è magnetica.
Le sostanza sono classificate in:
- Diamagnetiche (Cu, Ag, Au, H2O). Deboli momenti di dipolo magnetico
sono indotti da Bext e scompaiono in assenza di esso.
- Paramagnetiche (Al, O, Ca, Tc, U, Pt). Ogni atomo ha un momento
magnetico permanente, ma l’orientazione casuale dei momenti fa sì che a
livello macroscopico il campo sia nullo. In presenza di Bext i momenti si
orientano e la sostanza acquista un campo magnetico netto, che
scompare se si rimuove Bext.
- Ferromagnetiche (Fe, Co, Ni e leghe). Presentano regioni (domini) di
forte campo magnetico, dovute a orientazione dei momenti elettronici.
Bext allinea i momenti dei singoli domini e il materiale acquista un’ intensa
magnetizzazione, che rimane parzialmente anche quando Bext è rimosso.
Magnetismo
pag. 19
Induzione elettromagnetica
Si genera una corrente nella bobina, solo
se barra magnetica e bobina sono in moto
relativo. Il verso della corrente cambia a
seconda che la bobina si avvicini o allontani.
Se si chiude l’interruttore nel circuito primario,
si ha una corrente indotta nel secondario per
pochi istanti. Se si apre il circuito, la corrente
indotta circola nel verso opposto per brevi
istanti. La corrente indotta è quindi associata
a una variazione di corrente nel primario.
Se la corrente è stazionaria non si ha
corrente indotta.
Magnetismo
pag. 20
Legge di Faraday-Lenz
Legge di induzione di Faraday
Si ha una f.e.m. indotta in un circuito
immerso in un campo magnetico
quando varia il numero di linee di forza
del campo che attraversano il circuito
(o anche, quando varia il flusso di B
“concatenato” con il circuito).
Legge di Lenz
La corrente indotta ha verso tale che
il campo magnetico da essa generato
si oppone alla variazione del campo
magnetico che l’ha indotta.
r
Φ finale − Φiniziale
∆Φ(B)
ε=−
=−
∆t
t finale − t iniziale
Magnetismo
pag. 21
Legge di Faraday-Lenz (2)
Esempio
Una barra magnetica viene avvicinata rapidamente ad una bobina
circolare con 40 avvolgimenti di raggio 3.05 cm. Mentre il magnete si
muove, il valore medio di B attraverso la superficie della bobina cresce
da 0.0125 T a 0.450 T in 0.25 s. Assumendo che la resistenza della
bobina sia 3.55 Ω, calcolare la f.e.m. e la corrente indotta nella bobina.
Calcoliamo i valori iniziali e finali del flusso magnetico attraverso la bobina:
Φ iniziale = Biniziale A = Biniziale Nπ r 2 = 0.0125 ⋅ 40 ⋅ π (0.0305) 2 = 1.46 ⋅10 −3 Tm 2
Φ finale = B finale A = B finale Nπ r 2 = 0.450 ⋅ 40 ⋅ π (0.0305) 2 = 5.26 ⋅10 − 2 Tm 2
Applicando la legge di Faraday si trova:
∆Φ(B) Φ finale − Φ iniziale 5.26 ⋅10 −2 − 1.46 ⋅10 −3 Tm 2
=
=
= 0.205 V
ε =
∆t
t finale − tiniziale
0.25
s
i=
ε
R
=
0.205
A = 0.0577 A
3.55
Magnetismo
pag. 22
Applicazioni della legge di Faraday (cenni)
Pickup di una chitarra elettrica
Microfono dinamico
Registratore a
nastro magnetico
Magnetismo
e ancora:
sismografi
dispositivi antifurto
rilevatori di movimento
...
pag. 23
Generatore e motore elettrico (cenni)
Generatore: trasforma energia meccanica in
energia elettrica
Energia meccanica in entrata:
• caduta dell’acqua (centrali idroelettriche)
• espansione del vapore (centrali termoelettriche)
• motore a scoppio (gruppo elettrogeno)
Se ω è costante ⇒
generatore di corrente
alternata (alternatore)
Motore: trasforma energia
elettrica in energia meccanica
Magnetismo
pag. 24
Il trasformatore
Dispositivi elettrici che funzionano a tensioni diverse:
• linee alta tensione (380000 V)
• rete elettrica domestica (220V)
• elettrodomestici, dispositivi elettronici (5÷12V)
• tubo catodico di un televisore (15000 V)
Vp N p I s
=
=
Vs N s I p
Trasformatore
di tensione
La corrente prodotta dalle centrali elettriche
è trasportata sui luoghi di utilizzo con linee
ad alta tensione. Questo consente di ridurre
le perdite per effetto Joule:
l’innalzamento di tensione (e quindi,
dall’equazione del trasformatore, la
diminuzione di corrente) permette di ridurre
la potenza dissipata sulla linea.
Magnetismo
pag. 25
Esercizi (I)
Es. 20.1 (Gia)
(a) Quanto vale, per metro di lunghezza, il modulo della forza che agisce su un filo percorso
da una corrente di 8.4 A e che è perpendicolare ad un campo magnetico di 0.9 T?
(b) Quanto varrebbe se l’angolo tra filo e campo fosse di 45o ?
Es. 20.7 (Gia)
La massima forza agente su un filo posto tra le due espansioni polari di un magnete vale
6.5 ·10-2 N. La corrente scorre orizzontalmente verso destra e il campo magnetico è verticale.
All’instaurarsi della corrente il filo compie un “balzo” verso l’osservatore. (a) Di che tipo è
l’espansione polare superiore? (b) Supponendo che il diametro delle espansioni sia di 10 cm e
che il campo magnetico abbia intensità 0.16 T, stimare la corrente nel filo. (c) Calcolare la forza
agente sul filo se questo viene inclinato di 10o rispetto all’orizzontale.
Es. 20.17 (Gia)
Un atomo di elio doppiamente ionizzato, di massa 6.6·10-27 Kg, viene accelerato da una
differenza di potenziale di 2100 V. (a) Calcolare il raggio di curvatura della sua traiettoria
nel caso in cui successivamente si muove in un campo magnetico uniforme ortogonale
alla sua velocità e di intensità 0.34 T. (b) Quanto vale il periodo di rivoluzione?
Es. 20.23 (Gia)
Una pallottola da 3.4 g si muove alla velocità di 160 m/s ortogonalmente al campo magnetico
terrestre di intensità 5·10-5 T. Calcolare la deflessione subita dalla pallottola dopo aver percorso
1 Km, supponendo che la sua carica valga 13.5·10-9 C.
Magnetismo
pag. 26
Esercizi (II)
Es. 20.47 (Gia)
Due lunghi fili paralleli posti a distanza d vengono percorsi dalla corrente I nello stesso verso.
Uno dei due fili si trova nel punto ad ascissa x = 0 e l’altro nel punto di ascissa x = d, essendo
paralleli all’asse z e nel piano xz. Determinare il campo B nei punti dell’asse x tra i due fili
in funzione dell’ascissa x.
Es. 20.49 (Gia)
Il campo magnetico nel centro di un solenoide lungo 30 cm e di diametro 1.25 cm vale 0.385 T.
Calcolare la corrente nel solenoide sapendo che sia costituito da 975 spire.
Es. 21.11 (Gia)
Il campo magnetico normale al piano di una spira circolare di diametro 12 cm viene portato
da +0.52 T a -0.45 T in 180 ms. Il segno – indica che il campo punta verso l’osservatore e il
segno + indica il verso opposto. (a) Calcolare la f.e.m. indotta. (b) Quale è il verso in cui
fluisce la corrente indotta?
Es. 21.15 (Gia)
Una spira rettangolare è parzialmente immersa in un campo magnetico uniforme da una sua
estremità, quella del lato più corto di lunghezza h = 0.35 m. Il campo magnetico ha intensità
0.55 T ed è perpendicolare al piano della spira. La spira ha resistenza di 0.230 Ω.
Calcolare la forza che deve essere applicata per tirare la spira dalla estremità opposta alla
velocità costante di 3.4 m/s. Trascurare l’effetto della gravità.
Magnetismo
pag. 27