Test del
2

Confronto dato empirico e dato teorico
modalità
testa
croce
n=
frequenze
empiriche:
fe
499
501
1000
probabilità
teoriche: p
0,5
0,5
frequenze
teoriche:
ft=p*n
500
500
funzione test
2=
livello di
significativita'
a=
valore critico
c2=
2
(fe - ft) / ft
0,002
0,002
0,004
0,05
Confrontare 2
col valore
teorico nel caso
di moneta non
truccata
3,841458821
Il valore critico lo posso ottenere dalla tabella dei valori della distribuzione 2, in funzione di a
e dei gradi di libertà, o calcolarlo direttamente con INV.CHI(probabilità; gradi_libertà), dove
gradi di libertà = quantità delle frequenze sperimentali che devo conoscere direttamente.
Nel nostro esempio:
a = 0,05 e gradi di libertà = 1 (perché basta conoscere p per ottenere q=1-p)
2 c = INV.CHI(0,05;1) = 3,841458821
Valori in tabella con Excel
Come ottenere i valori in tabella con Excel?
20,950 = 0,004
DISTR.CHI(0,004;1) = 0,950
INV.CHI(0,950;1) = 0,004
20,050 = 3,841
DISTR.CHI(3,841;1) = 0,050
INV.CHI(0,050;1) = 3,841
20,050 corrisponde alla probabilità 5%
20,010 corrisponde alla probabilità 1%
20,950 corrisponde alla probabilità 95%
ACCETTO se 2 < 2C
Accettazione
(come indica il libro di Excel)
Il valore della funzione test
Il valore critico
2 = 0,004 = 20,950
2C = 3,841 = 20,050
0,004 < 3,841 quindi ACCETTO.
Equivalentemente:
ACCETTO se 0,95 > 0,05 = a livello di significatività scelto; ovvero
ACCETTO se 95% > 5%
In Excel la percentuale 0,950 la posso ottenere direttamente:
0,950 = TEST.CHI(int_effettivo; int_previsto)
dove int_effettivo e int_previsto sono rispettivamente le tabelle delle
frequenze empiriche e teoriche
Quindi più velocemente:
ACCETTO se TEST.CHI(int_effettivo; int_previsto) > a
Funzione TEST.CHI
TEST.CHI(B2:B3;D2:D3) = 0,950
Indica direttamente che il valore di 2 (0,004) corrisponde a 20,950
Dato che 0,950 > 0,05: ACCETTO l’ipotesi nulla!
Esempio dal libro di fisica
La tabella mostra 40 misurazioni di una variabile.
Vogliamo valutare col test di 2 la concordanza con una distribuzione normale di Gauss.
731
772
771
681
722
688
653
757
733
742
739
780
709
676
760
748
672
687
766
645
678
748
689
810
805
778
764
753
709
675
698
770
754
830
725
710
738
638
787
712
Procediamo come segue. Calcoliamo la media X, la deviazione standard s.
Stabiliamo di considerare i valori nei 4 intervalli individuati da X - s, X, X + s.
Per ogni intervallo calcoliamo le frequenze empiriche Ok, date del numero di valori che
ricadono in quell’intervallo.
Come passo intermedio, calcoliamo il numero di valori ≤ X - s, X, X + s, rispettivamente,
con la funzione CONTA.PIÙ.SE(A1:J4;"< X - s"), eccetera. Otteniamo:
X ≤ 683,3
X ≤ 730,1
X ≤ 776,9
X>776,9
frequenze
ausiliare
8
18
34
6
Calcolo probabilità intermedie
Calcoliamo ora le probabilità teoriche concordi ad una
distribuzione normale. Come passo intermedio calcoliamo:
P(X ≤ 683,3) = DISTRIB.NORM.N(683,3;$B$9;$B$10;VERO)
e similmente per le altre. Otteniamo:
X ≤ 683,3
X ≤ 730,1
X ≤ 776,9
X>776,9
frequenze
ausiliare
8
18
34
6
probabilità
ausiliare
0,16
0,50
0,84
0,50
Calcolo probabilità teoriche
Con i valori calcolati nella slide precedente, possiamo ora calcolare:
frequenze probabilità
empiriche Ok teoriche pk
frequenza
teorica Ek
(fe-ft)2/ft
k
Intervallo
1
0< X ≤ 683,3
8
0,16
6,3
0,4320
2
683,3< X ≤ 730,1
10
0,34
13,7
0,9825
3
730,1< X < 776,9
16
0,34
13,7
0,4018
4
X >776,9
6
0,16
6,3
0,0176
2 = 1,8340
Per esempio:
P(683,3< X ≤ 730,1) = P(X ≤ 730,1) - P(X ≤ 683,3).
Ek = pk * n, dove n=CONTA.VALORI(A1:J4)
Il valore 2 è ottenuto come la somma dei valori soprastanti.
Considerazioni finali
Infine calcolo il valore critico con cui confrontare con
INV.CHI(0,05;1) ed accetto se 2 è minore di tale valore
2 = 1,8340
valore critico = 3,84
risultato: accetto H0
con la funzione SE(F26<F28; "accetto H0";"rifiuto H0").
731
739
678
698
772
780
748
770
n=
minimo=
40
638
massimo=
830
X media=
730,1
s dev. standard=
46,8
X-s=
683,3
X+s=
776,8
771
709
689
754
681
676
810
830
frequenze probabilità
empiriche Ok teoriche pk
722
760
805
725
688
748
778
710
frequenza
teorica Ek
(fe-ft)2/ft
0,16
6,3
0,4320
10
0,34
13,7
0,9825
730,1< X < 776,9
16
0,34
13,7
0,4018
X >776,9
6
0,16
6,3
0,0176
X ≤ 683,3
X ≤ 730,1
X ≤ 776,9
X>776,9
frequenze
ausiliare
8
18
34
6
probabilità
ausiliare
0,16
0,50
0,84
0,16
k
Intervallo
1
0< X ≤ 683,3
8
2
683,3< X ≤ 730,1
3
4
2 = 1,8340
valore critico = 3,84
risultato: accetto H0
653
672
764
738
757
687
753
638
733
766
709
787
742
645
675
712