x+5=6
2x = 12 + x
Il concetto di identità
“Se a un numero addizioniamo 5 e poi sottraiamo il numero
stesso, otteniamo 5”.
Questa frase può essere tradotta in un’uguaglianza.
Infatti, se indichiamo con x il numero, possiamo scrivere:
x+5−x=5
Questa uguaglianza è vera per qualsiasi valore attribuito alla
lettera x, per esempio:
• se x = 2
• se x = 0
allora 2 + 5 − 2 = 5
allora 0 + 5 − 0 = 5
5=5
5=5
Un’uguaglianza di questo tipo si chiama identità.
L’identità è un’uguaglianza fra due espressioni algebriche,
di cui almeno una letterale, verificata per qualsiasi
valore attribuito alle lettere che in essa figurano.
Alcuni esempi
• “Il doppio di un numero relativo addizionato al numero stesso
dà come somma il triplo del numero.”
In termini matematici:
2x + x = 3x
3x = 3x
Tale uguaglianza è un’identità perché è verificata per qualsiasi
valore venga attribuito alla lettera x.
• L’uguaglianza (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 è un’identità perché è
verificata per qualsiasi valore delle lettere a e b; per esempio:
se a = 0 e b = 1 allora (0 + 1)2 = 02 + 2 × 0 × 1 + 12, cioè 1 = 1;
se a = 3 e b = 1 allora (3 + 1)2 = 32 + 2 × 3 × 1 + 12, cioè 16 = 16.
Prova tu
• “Il triplo di un numero aumentato del suo doppio è uguale al
quintuplo del numero.”
Traduci questa frase in una espressione letterale: ...................
È una identità? ……
3x +2x = 5x
5x = 5x
è una identità
L’equazione
“Se a un numero naturale addizioniamo 5, otteniamo 6”.
In termini matematici:
x+5=6
Tale uguaglianza è vera solo per un particolare valore attribuito
alla lettera x, e cioè il valore 1.
Infatti se x = 1 allora 1 + 5 = 6
6 = 6 (vero)
Se invece, per esempio:
x = 0 allora 0 + 5 = 6
x = 3 allora 3 + 5 = 6
5 = 6 (falso)
8 = 6 (falso)
Un’uguaglianza di questo tipo si chiama equazione e la lettera
x si dice incognita. Incognita vuol dire “non conosciuta”.
Un’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni
algebriche, di cui almeno una letterale, verificata solo
per particolari valori attribuiti all’incognita o
alle incognite che in essa figurano.
Alcuni esempi
• Se a un numero relativo aggiungiamo 8, otteniamo 5.
Qual è il numero?
Indicando con y il numero che non conosciamo (l’incognita),
l’equazione che traduce il problema è: y + 8 = 5
L’uguaglianza è vera quando a y attribuiamo il valore −3.
Infatti: −3 + 8 = 5
• Troviamo quel numero relativo che, elevato al quadrato, dà 25.
Indicando con x l’incognita, l’equazione è: x2 = 25
L’uguaglianza è vera quando a x attribuiamo due valori: 5 o −5.
Infatti:
(5)2 = 25
e
(−5)2 = 25
Prova tu
• Stabilisci quali delle seguenti uguaglianze indicano un’identità
(I) e quali un’equazione (E).
2x + 3x = 5x ...... I
2x + 3x = 5 ...... E
2x = 0 ...... E
0 • x = 0 ......I
(x − 1)2 = x2 + 2x + 1 ...... E
Conosciamo i termini di un’equazione
Nelle equazioni l’espressione scritta a sinistra dell’uguale si
dice 1° membro; quella a destra 2° membro:
2x =
25
1°
2°
membro membro
y+8 = 5
1°
2°
membro membro
x2
=
25
1°
2°
membro membro
• La lettera che compare nelle equazioni, ed esprime un valore
numerico variabile, si dice incognita.
• Il numero che moltiplica l’incognita si dice coefficiente
dell’incognita.
• I termini che non contengono incognite si dicono termini noti.
• Il valore che attribuito all’incognita rende vera l’uguaglianza,
se esiste, si dice soluzione o radice dell’equazione.
Un’equazione può avere più soluzioni o nessuna soluzione.
Soluzione e grado di un’equazione
Risolvere un’equazione significa trovare le sue soluzioni.
La soluzione di un’equazione si indica solitamente con una
semplice uguaglianza tra l’incognita utilizzata e il valore trovato.
2x = 25
x=
25
2
y+8=5
y=−3
x2 = 25
x=
5
a2 = −36
nessuna soluzione
Il grado di un’equazione a un’incognita è dato
dall’esponente massimo con cui essa appare.
Se l’incognita compare con l’esponente 1 si ha un’equazione
di 1° grado a un’incognita → y = 2
Se l’incognita compare con l’esponente 2 si ha un’equazione
di 2° grado a un’incognita → x2 − 4 = 0
Equazioni famose
Lo sviluppo del sapere
scientifico è disseminato
di equazioni famose.
Sicuramente ti sarà
capitato di leggere da
qualche parte la celebre
equazione di Albert Einstein
(1879-1955), che lega
l’energia alla massa:
E = mc2
Avrai anche studiato le equazioni di Galileo (1564-1642)
per il moto, che legano posizione e velocità di un corpo:
x = x0 + v • t + 1 a • t2
2
Gli scienziati per descrivere ogni genere di situazione
utilizzano spesso equazioni complicatissime.
Alcuni esempi
2x − 3 = 9
l’incognita è x
è un’equazione di 1° grado
i termini noti sono −3 e 9
L’uguaglianza è vera per x = 6.
x2 = 25
è un’equazione di 2° grado
l’incognita è x
il termine noto è 25
L’uguaglianza è vera per x = 5 e x = − 5.
è un’equazione di 2° grado perché il termine
x • y è un monomio di 2º grado;
le incognite sono x e y e il termine noto è 24.
I valori che rendono vera l’uguaglianza sono
infinite coppie ordinate: (1, 24), (2, 12), (3, 8), (6, 4), ……..
x • y = 24
Prova tu
• Indica le incognite, i termini noti e il grado delle seguenti equazioni.
6x − 1 = 15
2 = 4 + 3a
3xy = 1
L’insieme delle soluzioni
L’insieme delle soluzioni di un’equazione si indica con S.
Nel caso delle equazioni:
2x = 25
y+8=5
x2 = 25
a2 = −36
S=
25
2
S = {− 3}
S = { + 5; −5 }
S=
Quando per un’equazione abbiamo S =
l’equazione si dice impossibile.
,
È sempre importante considerare l’insieme in cui si opera.
Infatti può accadere che:
non esista alcun valore
che verifichi l’equazione.
il valore esista ma non sia
accettabile perché non appartiene
all’insieme di esistenza.
Allora diciamo che l’equazione è impossibile.
Alcuni esempi
• Troviamo quel numero intero relativo che è uguale a se stesso
aumentato di 2.
x=x+2
x∈Z
La frase che esprime il problema ci fa capire che non può esistere alcun
numero che verifichi questa uguaglianza: quindi l’equazione è impossibile
non solo in Z ma in un qualsiasi altro insieme numerico.
• Troviamo quel numero naturale il cui doppio è uguale a 25.
2x = 25
x∈N
25
L’uguaglianza risulta vera quando a x attribuiamo il valore
2
25
infatti
2•
= 25
25 = 25
2
Tale valore però non è accettabile perché operiamo in N e 25 ∉N
L’equazione è impossibile nell’insieme dei numeri naturali.2
Prova tu
• in N
Stabilisci quali delle
seguenti uguaglianze • in Qa
sono impossibili.
• in R
□ x +1 = 3
x□ 5 + x = 0
□ x2 = 4
□ 5x + 5 = 5
□ 5x = 9
x □ x2 = −49
x
□ 3x = 5
□ 4x = 1
Esercitati
• Completa le frasi scegliendo tra i termini particolari valori, almeno
due, disuguaglianza, uguaglianza, almeno una, qualsiasi valore.
uguaglianza
Una identità è una ............................ fra due espressioni algebriche
almeno una
qualsiasi valore
di cui ................................ letterale, verificata per ..............................
attribuito alle lettere che in essa figurano.
uguaglianza
Una equazione è una ....................... fra due espressioni algebriche
almeno una
particolari valori
di cui ........................ letterale, verificata solo per ..........................
attribuiti alla lettera o alle lettere che in essa figurano.
Esercitati
• Verifica che l’uguaglianza x2 − 2x + 1 = (1 − x)2 è una identità
attribuendo alla lettera x almeno quattro valori a piacere.
Se x = ...... allora ........................
Se x = ...... allora ........................
Se x = ...... allora .......................
Se x = ...... allora ........................
• Considera l’equazione 4x + 3 = 13x − 2 e i suoi vari elementi.
primo
L’equazione assegnata è di primo o di secondo grado? ..................
Come riconosci se è di primo o di secondo grado?
.........................…………………………………………………….
• Scrivi:
a) una equazione di primo grado con la sola incognita x: ...................
b) una equazione di primo grado con le incognite x e y: .....................
c) una equazione di secondo grado con la sola incognita y: ...............