Meccanica Computazionale
Progetto e verifica di un cavalcavia
1 Indice
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
Premessa
Normativa di riferimento e materiali utilizzati
Descrizione della struttura
Analisi dei carichi
Combinazioni di carico
Elementi utilizzati per risolvere la struttura
Modellazione con SAP2000
Inserimento dei carichi
Caratteristiche della sollecitazione
Verifiche
Cerniera tra travatura reticolare e pilastri
1
Meccanica Computazionale
Progetto e verifica di un cavalcavia
1.1 Premessa
L’esercitazione si svolge all’interno del corso di Meccanica computazionale delle strutture
e prevede una verifica, mediante l’ausilio di un software commerciale, di una struttura con
geometria, materiali e carichi assegnati.
2
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Progetto e verifica di un cavalcavia
1.2 Normativa di riferimento e materiali utilizzati
L’opera è un opera mista in calcestruzzo armato e acciaio.
Le verifiche sia della parte dell’opera in acciaio che in calcestruzzo viene realizzata in
accordo al Decreto del Ministero delle Infrastrutture 14 gennaio 2008. La struttura il
calcestruzzo armato, verrà realizzata con classe di resistenza C25/30 mentre per l’acciaio
classe B450C. Per gli elementi in acciaio inerenti alla travatura reticolare verranno
utilizzati dei profili a sezione aperta laminati a caldo con qualità S420 N/NL. I valori
caratteristici di resistenza e deformabilità dei materiali sono:
Acciaio B450C per armamento del cls:
• modulo di elasticità E = 210.000 N/mm2
• modulo di elasticità tangenziale G = E/2(1+ν)
• coefficiente di Poisson ν = 0.3
• coefficiente di espansione termica lineare α = 12E-6 °C -1
• densità ρ = 7850 Kg/m3
• resistenza di snervamento fy,nom = 450 N/mm2
• resistenza a rottura per trazione fu = 540 N/mm2
Il diagramma costitutivo dell’acciaio è il seguente:
Calcestruzzo C25/30:
1. Resistenza caratteristica cubica a compressione:
Rck = 25 MPa (350 N/mm2);
2. Resistenza caratteristica cilindrica a compressione:
fck = 30 MPa (350 N/mm2);
3. Resistenza di calcolo a compressione:
f
30
f cd = α ⋅ ck = 0,85 ⋅
= 17.0 N / mm 2
γc
1,5
Il diagramma costitutivo del calcestruzzo è il seguente:
3
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Acciaio S420 N/NL per travatura reticolare:
Per spessore nominale dell’elemento t ≤ 40 mm:
4. Tensione caratteristica di snervamento fyk=420 N/mm2
5. Tensione caratteristica di rottura
ftk=520 N/mm2
6. Sezione Classe di tipo 3:
1. ε = 235 / f yk = 0,75
2. h / t ≤ 15 ⋅ ε
b+h
3.
≤ 11,5 ⋅ ε
2⋅t
7. modulo di elasticità E = 210.000 N/mm2
8. modulo di elasticità tangenziale G = E/2(1+ν)
9. coefficiente di Poisson ν = 0.3
10. coefficiente di espansione termica lineare α = 12E-6 °C -1
11. densità ρ = 7850 Kg/m3
4
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Progetto e verifica di un cavalcavia
1.3 Descrizione della struttura
La struttura in esame è composta da due pilastri in cemento armato alti 8 m ed inclinati
rispetto alla verticale di un angolo di 25° che sor reggono una travatura reticolare di tipo
Engesser a 10 campi con dimensione del singolo campo pari a 2,35 m.
1.3.1 Misura della travatura reticolare
Isolando la capriata dal resto della costruzione, si ottiene la seguente struttura che sarà
oggetto dello studio:
Le aste presenti nella struttura sono di tre tipi: correnti superiori e inferiori e aste di parete
che sono diagonali e verticali. La travatura presenta 20 nodi e 37 aste.
Si tratta di un sistema articolato piano il cui schema è costituito da aste rettilinee vincolate
tra loro tramite cerniere. Le sollecitazioni esterne sono supposte puramente nodali, nel
senso che le forze esterne devono agire solo in corrispondenza dei nodi, cioè nei punti di
concorso di due o più aste. Il sistema in esame è isostatico internamente essendo la rete
costituita tutta da maglie triangolari. Esternamente risulta essere una volta iperstatico
poiché i gradi di vincolo sono pari a 4, ovvero si hanno due cerniere.
1.3.2 Misura dei pilastri in cemento armato
Isolando i pilastri dal resto della costruzione, si ottiene la seguente struttura che sarà
oggetto dello studio:
5
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1.4 Analisi dei carichi
Le azioni che graveranno sulla struttura nel corso della propria vita utile sono dovute a tre
fattori:
•
•
•
carichi di tipo Fi =145kN;
carichi di tipo Fj =55kN;
azioni dovute ad escursioni termiche.
Le azioni di tipo Fi sono applicate nei seguenti nodi:
Le azioni di tipo Fj sono applicate nei seguenti nodi:
Le azioni termiche che si considerano sono a distribuzione uniforme lungo la generica
sezione e costanti per ogni asta. Esse producono esclusivamente deformazioni, quindi
sollecitazioni, assiali. Le azioni dovute alla variazione di temperatura sono generate dalle
seguenti due temperature massime e minime cui la struttura sarà soggetta.
•
•
T1 = +15°C
T2 = + 25°C
6
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1.5 Combinazioni di carico
Ai fini di effettuare le verifiche è necessario conoscere quale è l’azione massima che
graverà su ogni singola asta. A tale scopo si perviene combinando opportunamente i
carichi, tenendo conto della probabilità che essi si manifestino simultaneamente (metodo
dei coefficienti parziali), in varie combinazione ed alla fine confrontare i diagrammi delle
sollecitazioni per ogni singola asta e scegliendo quello relativo alla combinazione che ha
prodotto il maggiore impegno della sezione.
Si considereranno due combinazioni di carico. Questa scelta pur non essendo una
indagine completa è sufficiente per ottenere i valori massimi al fine di effettuare le sole
verifiche.
Le combinazioni di carico saranno le seguenti:
1) Fi + Fj + T1;
2) Fi + Fj + T2;
Tutte le azioni verranno semplicemente sommate considerando tutti i moltiplicatori delle
azioni unitari. Questa posizione è una semplificazione della reale procedura, che viene
eseguita per concentrarsi maggiormente sugli aspetti inerenti il corso in seno al quale si
svolge questa esercitazione.
7
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1.6 Elementi utilizzati per risolvere la struttura
La struttura è scomponibile in due parti, la travatura reticolare in acciaio ed i pilastri in
cemento armato.
Per lo studio della travatura reticolare presa in considerazione sono state fatte alcune
ipotesi :
•
•
•
•
•
i carichi gravanti sulla trave si considerano applicati ai nodi e quindi le aste sono
soggette unicamente a sforzo normale di trazione o compressione;
gli assi baricentrici delle aste che convergono in un nodo devono concorrere in un
punto e costituiscono gli assi dello schema delle travature, se ciò non avvenisse
l’intera asta sarebbe soggetta oltre alle forze assiali ad altre azioni sollecitanti. Nel
caso di travi reticolari ottenute tramite chiodatura o bullonatura, anziché considerare
gli assi baricentrici delle aste, si possono considerare gli assi di bullonatura o
chiodatura;
gli assi baricentrici di tutte le aste che compongono l’intera travatura devono
appartenere tutti a un piano che è quello medio e di simmetria della struttura, in
caso contrario si avrebbero momenti torcenti;
nella costruzione della travatura si devono evitare collegamenti di tipo misto in
quanto presentano una rigidezza diversa;
le aste si considerano collegate a cerniera in corrispondenza dei nodi, per cui
occorre che le piastre dei giunti abbiano uno sviluppo limitato in modo da consentire
eventuali deformazioni plastiche, che permettono al collegamento un
comportamento simile alla cerniera.
In base alle ipotesi sopra riportate si può dire che l’unica caratteristica di sollecitazione
presente sulle aste della travatura è lo sforzo normale.
In coordinate locali l’elemento Truss (biella) ha il seguente legame tra forze nodali e
spostamenti nodali:
EA  1 −1  u1   f u1 
 = 
L  −1 1  u2   fu 2 
Ovvero:
[ K ]{s} = { f }
Gli elementi pilastro in cemento armato invece vengono rappresentati da elementi Frame
(trave) nel piano. Per trave nel piano si intende un elemento comunque orientato nel piano
8
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e che può essere sollecitato da carichi comunque giacenti nel piano della struttura e aventi
componenti sia parallele sia ortogonali all’asse dell’elemento. In coordinate locali, x-y,
l’elemento Frame ha il seguente legame tra forze nodali e spostamenti nodali:
 EA
0
 L

12 EI
 0

L3

6 EI
 0
L2

 EA
0
−
 L

12 EI
− 3
 0
L

6 EI

 0
L2
0
6 EI
L2
4 EI
L
0
6 EI
L2
2 EI
L
−
−
EA
L
0
0
EA
L
0
0
0
12 EI
L3
6 EI
− 2
L
−
0
12 EI
L3
6 EI
− 2
L



6 EI 
u
f
L2   1   u1 
2 EI   v1   f v1 
L  α z1  =  mz1 
 u   f 
0   2   u2 
  v2   f v 2 
6 EI  α  m 
− 2   z2   z2 
L 
4 EI 
L 
0
9
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1.7 Modellazione con SAP2000
I programmi di calcolo strutturale della famiglia SAP sono nati alla fine degli anni ’60
dall’opera pionieristica di Ed. Wilson, studente di Clough Penzien all’ University of
California, Berkeley, dove il Prof. Wilson ha insegnato e di cui attualmente è professore
emerito.
Lo sviluppo del programma SAP è nato dall’interazione fra mondo accademico e industria,
dal momento che a partire dal 1963-65, Wilson ha lavorato come ingegnere nella società
Aerojet General Corp. Di Sacramento in California. Qui le necessità di calcolo legate alla
progettazione aero-spaziale hanno fatto da propulsore alla messa a punto di uno
strumento di analisi che sfruttasse le potenzialità della formulazione agli elementi finiti,
all’epoca appena messa a punto in ambiente accademico.
Negli anni febbrili a cavalo fra i ’70 e gli ’80, definiti da qualche commentatore “gli anni
della rivoluzione degli elementi finiti”, il programma subisce progressive evoluzioni fino alla
versione SAP IV, il cui codice, liberamente distribuito da Ed Wilson e collaboratori, è
tuttora il motore di molti dei programmi di analisi attualmente in commercio.
La possibilità di poter usare il SAP come strumento di analisi non-lineare è dovuta invece
a Klaus-Jyrgen Bathe, studente di Wilson a Berkeley. Il programma NONSAP si è
progressivamente accresciuto fino a diventare il codice di calcolo ADINA.
Il nome SAP è l’acronimo di “programma per l’analisi strutturale” (Structural Analysis
Program), ma nello slogan anglosassone significa anche “esecutore acritico di ordini”.
Come spiegato da Ed Wilson, nel primo manuale utente del SAP questo gioco di parole è
intenzionale.
Gli elementi disponibili nella versione corrente (SAP2000 Nonlinear) sono:
•
•
•
•
•
•
elementi mono-dimensionali elastici trave/colonna [ Frame ]
elementi bidimensionali elastici lastra/piastra [ Shell ]
elementi elastici con stato piano di sforzo/deformazione [ Plate ]
elementi tridimensionali elastici [ Solid, Asolid ]
molle lineari collegate a terra [ Spring ]
elementi non lineari [ Nonlinear Link, Push-over Plastic Hinge ]
Le possibili modalità d’analisi vanno dall’analisi sotto carichi statici (forze e spostamenti
concentrati nei nodi, carichi distribuiti, pressioni idrostatiche, azioni termiche e
precompressione), a quella di strutture da ponte soggette a carichi mobili ( secondo la
teoria delle linee di influenza), alle azione dinamiche (sia analisi statica equivalente con
spettro di risposta, che risposta nel dominio del tempo).
L’analisi della struttura viene effettuata mediante il software agli elementi finiti SAP vers.
10.0.7 della CSI. Si è dapprima creato il modello utilizzando per tutte le aste l’elemento
FRAME con l’opzione PINNED ovvero biella. Si è effettuata un’analisi in campo elasticolineare. La struttura è stata vincolata al suolo con due incastri che rappresentano la
fondazione. Definiti i materiali e gli attributi di ogni sezione si è proceduto all’assegnazione
dei carichi e delle loro combinazioni. Al termine dell’analisi è possibile visionare:
• i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione delle due combinazioni ed
infine l’inviluppo delle due;
• deformata della struttura;
• ottenere i valori numerici relativi a spostamenti e sollecitazione.
Una volta avviato il programma, comparirà la finestra con l’ambiente di lavoro, come nella
figura seguente:
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Si procederà innanzitutto selezionando, nell’angolo in basso a destra, le unità i misura più
convenienti per l’analisi che si intende condurre (ad es. kN-m) come in figura :
Si provvederà poi a selezionare dalla barra degli strumenti l’opzione:
File, New Model from Template…
Apparirà, quindi, il seguente schema, in cui sono elencati i modelli base per i quali il
SAP2000 fornisce la possibilità di eseguire una creazione assistita.
11
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Progetto e verifica di un cavalcavia
A questo punto, occorre selezionare lo schema statico che più si avvicina alla struttura che
si vuole analizzare. Nel caso in esame è opportuno sceglie la griglia vuota.
Si inseriranno i seguenti valori.
Nodo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Coordinate
X
0
3,73
6,08
8,43
10,78
13,13
15,48
17,83
20,18
22,53
24,88
27,23
27,23
24,88
22,53
20,18
17,83
15,48
13,13
10,78
8,43
6,08
3,73
30,96
Z
0
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
5,65
5,65
5,65
5,65
5,65
5,65
5,65
5,65
5,65
5,65
5,65
0
12
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Progetto e verifica di un cavalcavia
Ottenendo il seguente schema:
Per disegnare la struttura si clicca su
Draw, Draw frame…
Ottenendo il seguente risultato:
Trattandosi di una struttura che giace tutta nel piano XZ (si veda il riferimento cartesiano
che compare nella figura precedente) e soggetta ai soli carichi verticali (lungo Z) gli unici
gradi di libertà che ci interessano sono: la traslazione lungo l’asse X; la traslazione lungo
Z; la rotazione intorno a Y.
Per rimuovere i gradi di libertà indesiderati occorre selezionare sulla barra degli
strumenti: Analyze, Set Options … e si deseleziona UY; RX E RZ alla voce Available
DOFs .
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Progetto e verifica di un cavalcavia
Per completare la definizione della geometria dello schema non resta che modificare, se
serve, i vincoli. Selezionare, quindi, i nodi sui quali apportare le modifiche e utilizzare lo
strumento Assign, Joint, Restraint.
Si seleziona dalla barra degli strumenti Define, Materials…, in modo da ottenere la
seguente finestra;
Il programma ha già predefinite le proprietà del calcestruzzo (concrete) e dell’acciaio
(steel). Si possono aggiungere nuovi materiali ciccando su Add New Material; se invece
si vuole verificare o modificare le proprietà dei materiali già esistenti occorre cliccare su
Modify/Show Material. Si ottengono i seguenti dati di input:
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Per definire le sezioni della struttura si seleziona Define, Frame Sections…
Vengono definite due sezioni, una per la travatura reticolare ed una per i pilastri. I dati di
input sono i seguenti:
Per la travatura reticolare si è scelto di utilizzare due profili ad L a lati uguali di tipo 130x16
accoppiati con i valori presi da sagomario:
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I giunti saranno realizzati mediante fazzoletti in modo simile all’immagine (cambiano i
profili utilizzati, in foto profili a L)
Figura 1 - Esempio di collegamento con angolari a L
Mentre per i pilastri si è deciso di utilizzare una sezione 40 x 80 cm.
Si fa notare che nel caso della sezione in calcestruzzo le proprietà sono calcolate
supponendo la sezione interamente reagente, trascurando quindi l’effetto di
parzializzazione indotto dalla formazione di fessure nel lembo teso. Un simile effetto ha
grande influenza ai fini di un calcolo accurato delle frecce di inflessione per il quale è
opportuno tenere in conto l’effetto di riduzione dell’inerzia ad opera della fessurazione, ma
tale fenomeno non influenza significativamente il calcolo delle sollecitazioni e verrà
pertanto trascurato in questa sede.
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Per assegnare una particolare sezione ad un elemento presente nel modello, bisogna
selezionarlo e quindi attivare i comandi Assign, Frame, Section… scegliere la sezione
desiderata e premere OK.
Per controllare le modalità di visualizzazione degli elementi occorre selezionare la voce
View, Set Elements. È utile al fine di verificare visivamente il corretto orientamento degli
elementi, selezionando in View - Set Display Options la casella Extrude View. Il modello
definitivo che si ottiene è il seguente.
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1.8 Inserimento dei carichi
Per definire i carichi occorre utilizzare il comando Define, Static Load Case… dove è possibile
specificare per ogni singolo carico il nome Load Name, il tipo Type ed i corrispettivi coefficienti
moltiplicativi Self Weight Multiplier.
Fatto questo, possono essere definite le diverse combinazioni di carico (indicate con le
sigle COMB1, COMB2, COMB3, COMB4 ecc…); il comando è Define, Load
Combination…
Per aggiungere una nuova combinazione bisogna selezionare Add New Combo; è
possibile definire il nome della combinazione in Response Combination Name, i carichi
che devono essere combinati assieme Case Type ed i rispettivi coefficienti moltiplicativi
Scale Factor come in Figura 2.
Figura 2
Il SAP permette inoltre di creare una combinazione di carico che include tutte le
combinazioni dichiarate e genera un inviluppo delle sollecitazioni e di tutti i diagrammi
sollecitanti, mediante la Combination Type:Envelope come riportato in Figura 3:
Figura 3
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Progetto e verifica di un cavalcavia
Le forze in precedenza dichiarate, vengono applicate ai nodi cliccando i nodi interessati
come in Figura 4:
Figura 4
E successivamente in Assign, Joint Loads, Forces si dichiara l’entità della forza, la
direzione e a quale Carico assegnare tale forza mediante Load Case Name
Figura 5
Dopo aver assegnato i valori delle forze ai nodi dei correnti superiori ed inferiori lo schema
è il seguente:
Figura 6 - Carichi sul corrente superiore
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Progetto e verifica di un cavalcavia
Figura 7 - Carichi sul corrente inferiore
L’ultimo carico da considerare è quello dovuto alla variazione della temperatura. Le
temperature in questa esercitazione sono pari a:
•
•
T1= 15°C
T2 = 25°C
Queste agiranno sull’intera struttura, pertanto una volta selezionate tutte le aste in gioco,
tramite il menù Assign, Frame/Cable/Tendon Loads, Temperature, appare la schermata in
Figura 8 con la possibilità di scegliere il tipo di temperatura da applicare alla struttura,
ovvero un gradiente di temperatura nelle direzione x,y,z Temperature Gradient 2-2, 3-3
oppure una temperatura costante, Temperature.
Figura 8
Terminata questa fase cliccando nel menù Display, Show load Assigns, Frame/Cable/Tendon,
Load name:T1 apparirà una schermata con l’intera struttura soggetta alla temperature
dichiarata in precedenza:
20
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Figura 9
21
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1.9 Caratteristiche della sollecitazione
Completato il modello, può essere eseguita l’analisi, non prima però di aver salvato il file di
input. Selezionando il comando Analyze, Run, il SAP provvede a fornire molto
velocemente i risultati.
Di default il SAP riporta, al termine dell’esecuzione la deformata del primo carico definito
(nel nostro caso PERM).
I valori degli spostamenti nodali possono essere visualizzati selezionando il nodo di cui si
vuole conoscere lo spostamento e quindi cliccando il tasto destro del mouse.
Per la visualizzazione di tutti gli altri risultati occorre selezionare il comando Display e
scegliere l’opzione desiderata; in particolare per visualizzare i diagrammi relativi alle varie
combinazioni di carico occorre selezionare Display, Show Element Forces/Stresses,
Frame.
Definita la combinazione di interesse (Load), posso ottenere il diagramma del taglio
selezionando Shear 2-2 (componente di taglio parallela all’asse locale 2), oppure il
diagramma del momento selezionando Moment 3-3 (momento intorno all’asse locale 3).
L’opzione Show Values on Diagramm permette di visualizzare i valori principali, mentre
tutti gli altri valori del grafico possono essere visualizzati cliccando col tasto destro del
mouse sul tratto di interesse. Si riporta il grafico dell’inviluppo dello sforzo normale delle
combinazioni di carico.
Nella tabella successiva per ogni elemento si riportano i risultati dell’analisi, sia per la
combinazione 1 che per la combinazione 2, ed inoltre l’inviluppo delle stesse con i valori
massimi (sui quali si effettueranno le verifiche) ed i valori minimi. I disegni successivi
mostrano i riferimenti numerici di ciascuna asta e nodo.
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Progetto e verifica di un cavalcavia
1.9.1 Risultati dell’analisi FEM
Frame Station OutputCase CaseType StepType
Text
m
Text
Text
Text
1
0,00
COMB1
Combination
1
4,41
COMB1
Combination
1
8,83
COMB1
Combination
1
0,00
COMB2
Combination
1
4,41
COMB2
Combination
1
8,83
COMB2
Combination
1
0,00
Inviluppo
Combination
Max
Max
1
4,41
Inviluppo
Combination
1
8,83
Inviluppo
Combination
Max
Min
1
0,00
Inviluppo
Combination
1
4,41
Inviluppo
Combination
Min
Min
1
8,83
Inviluppo
Combination
2
0,00
COMB1
Combination
2
0,47
COMB1
Combination
2
0,94
COMB1
Combination
2
1,41
COMB1
Combination
2
1,88
COMB1
Combination
2
2,35
COMB1
Combination
2
0,00
COMB2
Combination
2
0,47
COMB2
Combination
2
0,94
COMB2
Combination
2
1,41
COMB2
Combination
2
1,88
COMB2
Combination
2
2,35
COMB2
Combination
2
0,00
Inviluppo
Combination
Max
2
0,47
Inviluppo
Combination
Max
2
0,94
Inviluppo
Combination
Max
2
1,41
Inviluppo
Combination
Max
2
1,88
Inviluppo
Combination
Max
2
2,35
Inviluppo
Combination
Max
2
0,00
Inviluppo
Combination
Min
2
0,47
Inviluppo
Combination
Min
2
0,94
Inviluppo
Combination
Min
2
1,41
Inviluppo
Combination
Min
2
1,88
Inviluppo
Combination
Min
2
2,35
Inviluppo
Combination
Min
3
0,00
COMB1
Combination
3
0,47
COMB1
Combination
3
0,94
COMB1
Combination
3
1,41
COMB1
Combination
3
1,88
COMB1
Combination
3
2,35
COMB1
Combination
3
0,00
COMB2
Combination
3
0,47
COMB2
Combination
3
0,94
COMB2
Combination
3
1,41
COMB2
Combination
3
1,88
COMB2
Combination
3
2,35
COMB2
Combination
Max
3
0,00
Inviluppo
Combination
3
0,47
Inviluppo
Combination
Max
P
KN
-966,36
-966,36
-966,36
-968,38
-968,38
-968,38
-966,36
-966,36
-966,36
-968,38
-968,38
-968,38
-1256,55
-1256,55
-1256,55
-1256,55
-1256,55
-1256,55
-1261,31
-1261,31
-1261,31
-1261,31
-1261,31
-1261,31
-1256,55
-1256,55
-1256,55
-1256,55
-1256,55
-1256,55
-1261,31
-1261,31
-1261,31
-1261,31
-1261,31
-1261,31
-1256,55
-1256,55
-1256,55
-1256,55
-1256,55
-1256,55
-1261,31
-1261,31
-1261,31
-1261,31
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24
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25
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26
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Progetto e verifica di un cavalcavia
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28
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38
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1,88
2,35
0,00
0,47
0,94
1,41
1,88
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0,00
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1,41
1,88
2,35
0,00
0,47
0,94
1,41
1,88
2,35
0,00
0,47
0,94
1,41
1,88
2,35
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0,47
0,94
1,41
1,88
2,35
0,00
0,47
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1,41
1,88
2,35
0,00
0,47
0,94
1,41
1,88
2,35
0,00
0,47
0,94
1,41
1,88
2,35
0,00
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
COMB1
COMB1
COMB1
COMB1
COMB1
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COMB2
COMB2
COMB2
COMB2
COMB2
COMB2
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
COMB1
COMB1
COMB1
COMB1
COMB1
COMB1
COMB2
COMB2
COMB2
COMB2
COMB2
COMB2
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Progetto e verifica di un cavalcavia
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Max
Max
Max
Max
Max
Max
Min
Min
Min
Min
Min
Min
Max
Max
Max
Max
Max
Max
Min
Min
Min
Min
Min
Min
Max
Max
Max
Max
Max
Max
Min
2400,00
2400,00
2400,00
2400,00
2400,00
2400,00
2400,00
2400,00
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2400,00
2400,00
2400,00
2400,00
2400,00
2400,00
2400,00
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2400,00
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2400,00
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2400,00
2400,00
2400,00
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2400,00
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2400,00
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2400,00
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2400,00
2400,00
2400,00
2400,00
2400,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
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1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
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1600,00
1600,00
1600,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
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0,00
0,00
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0,00
0,00
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0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
35
Meccanica Computazionale
38
38
38
38
38
39
39
39
39
39
39
39
39
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39
39
39
39
39
39
39
39
39
0,47
0,94
1,41
1,88
2,35
0,00
0,47
0,94
1,41
1,88
2,35
0,00
0,47
0,94
1,41
1,88
2,35
0,00
0,47
0,94
1,41
1,88
2,35
0,00
0,47
0,94
1,41
1,88
2,35
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
COMB1
COMB1
COMB1
COMB1
COMB1
COMB1
COMB2
COMB2
COMB2
COMB2
COMB2
COMB2
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Inviluppo
Progetto e verifica di un cavalcavia
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Combination
Min
Min
Min
Min
Min
Max
Max
Max
Max
Max
Max
Min
Min
Min
Min
Min
Min
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
1600,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
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0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
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0,00
0,00
0,00
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0
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0
0
0
0
0
0
0
0
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
La Tabella 1 sintetizza le sollecitazioni massime per la travatura reticolare, mentre nella
Tabella 2 quelli relativi alle colonne di calcestruzzo armato.
Numero elemento
34-35-36-37
6-7
Tipo sollecitazione
Trazione
Compressione
kN
2400
2861,31
Tabella 1 - Risultati delle sollecitazioni max della travatura reticolare
Quota
0
0
0
Tipo sollecitazione
Taglio
Momento
Compressione
kN
57,16
kN*m
504,59
968,37
Tabella 2 - - Risultati delle sollecitazioni max delle colonne in calcestruzzo
36
Meccanica Computazionale
Progetto e verifica di un cavalcavia
1.10 Verifiche elementi in acciaio
In accordo alle NTC-08 sulle membrature verranno effettuate verifiche di resistenza e di
stabilità. Essendo le singole aste sollecitate da sole azioni assiali, per la verifica agli stati
limite è necessario controllare che:
•
per la resistenza degli elementi tesi
N ed
≤1
N t , Rd
•
per la resistenza degli elementi compressi
N ed
≤1
N c ,Rd
•
per la stabilità degli elementi compressi composti
N c ,Ed
≤1
N b,Rd
con:
•
N ed
•
N t , Rd Resistenza di calcolo a trazione di membrature con sezioni indebolite da fori
Azione assiale di calcolo
per collegamenti bullonati o chiodati; essa deve essere assunta pari al
minore dei valori seguenti:
a)
La resistenza plastica della sezione lorda, A
A ⋅ f yk
N pl , Rd =
γM0
b)
La resistenza a rottura della sezione netta, Anet in corrispondenza dei
fori per collegamenti
0,9 ⋅ Anet ⋅ f tk
N u , Rd =
γM2
•
•
N c , Rd Resistenza di calcolo a compressione
a)
N c , Rd =
b)
N c , Rd =
A ⋅ f yk
γM0
Aeff ⋅ f yk
γM0
per le sezioni di classe 1,2 e 3
per le sezioni di classe 4
N b, Rd Carico critico determinato in riferimento alla lunghezza libera d’inflessione
del corrente data da:
χ ⋅ A ⋅ f yk
N b, Rd =
a)
γ M1
per le sezioni di classe 1,2 e 3
37
Meccanica Computazionale
b)
Progetto e verifica di un cavalcavia
χ ⋅ Aeff ⋅ f yk
per le sezioni di classe 4
γ M1
I coefficienti χ dipendono dal tipo di sezione e dal tipo di acciaio
N b ,Rd =
impiegato;essi si desumono, in funzione riappropriati valori della
snellezza adimensionale λ , dalla seguente formula:
1
χ=
≤1
2
Φ + Φ2 − λ
dove:
[
(
)
Φ = 0,5 ⋅ 1 + α λ − 0,2 + λ
2
]
α =fattore di imperfezione
λ=
λ=
•
A ⋅ f yk
N cr
Aeff ⋅ f yk
N cr
per sezione di classe 1,2 e 3 e a
per sezione di classe 4
N c ,Ed E’ la forza normale di progetto dei correnti ricavata da:
a)
N c ,Ed = 0,5 ⋅ N ed +
M ed ⋅ h0 ⋅ Ac
2 ⋅ J eff
dove:
h0
Ac
2
J eff = 0,5 ⋅ h0 ⋅ Ac
Med
è la distanza tra i baricentri dei correnti;
è l’area della sezione di ciascun corrente;
è il momento di inerzia efficace della sezione
dell’elemento composto;
è il momento di progetto dato da:
I
N ⋅ e + M ed
M ed = ed 0
N
N
1 − ed − ed
N cr
Sv
in cui:
π 2 ⋅ EJ eff
N cr =
è il carico critico euleriano dell’asta
L2
composta;
I
M ed
è il valore del massimo momento flettente
agente in mezzeria dell’asta composta;
Sv
è la rigidezza a taglio equivalente della
tracciatura o della calastrellatura pari a:
2
n ⋅ EAd ⋅ a ⋅ h0
Sv =
d3
con:
a
distanza tra due cerniere della
travatura;
d
lunghezza dei diagonali;
38
Meccanica Computazionale
Progetto e verifica di un cavalcavia
n
numero di piani della tralicciatura.
39
Meccanica Computazionale
1.10.1
Progetto e verifica di un cavalcavia
Verifica a trazione per elementi 34, 35, 36 e 37
- Sforzo agente 2400 kN -
La condizione da verificare è la seguente:
N ed
≤1
N t ,rd
Svolgimento:
N u ,Rd
A ⋅ f yk
0,00785 ⋅ 420000
= 3140kN
γM0
1,05
0,9 ⋅ Anet ⋅ f tk 0,9 ⋅ 0,00785 ⋅ 520000
=
=
= 2939,04kN
γM2
1,25
N pl ,Rd =
=
verrà scelto pertanto N pl , Rd
N ed
2400kN
=
= 0,76 ≤ 1
N pl ,rd 3140kN
Verifica soddisfatta
40
Meccanica Computazionale
1.10.2
Progetto e verifica di un cavalcavia
Verifica a compressione per elementi 6 e 7
- Sforzo agente 2861,31 kN -
La condizione da verificare è la seguente:
N ed
≤1
N c ,Rd
Svolgimento:
N ed
N c , Rd
A ⋅ f yk
0,00785 ⋅ 420000
= 3140kN
γM0
1,05
2861,31kN
=
= 0,91 ≤ 1
3140kN
N c ,Rd =
=
Verifica soddisfatta
41
Meccanica Computazionale
1.10.3
Progetto e verifica di un cavalcavia
Verifica per la stabilità delle membrature
- Sforzo agente 2861,31 kN -
La condizione da verificare è la seguente:
N c ,Ed
≤1
N b,Rd
Svolgimento:
N c ,Ed = 0,5 ⋅ N ed +
M ed ⋅ h0 ⋅ Ac
2 ⋅ J eff
N ed ⋅ e0 + M ed
N
N
1 − ed − ed
N cr
Sv
M ed =
I
e0 = L / 500 = 2,35 / 500 = 0,0047 m
M ed = 0
I
N cr =
π 2 ⋅ EJ eff
L2
=
π 2 ⋅ 210000000 ⋅ J eff
2,352
J eff = 0,5 ⋅ h0 ⋅ Ac
2
h0 = 2,35 − 2 ⋅ ex = 2,35 − 2 ⋅ 0,03799 = 2,27m
(ex =ey rappresenta la distanza lungo x della posizione del baricentro del profilo)
2
n ⋅ EAd ⋅ a ⋅ h0
Sv =
d3
n=1
Ad =area dei diagonali=0,00785m2
a=2,35m
d=3,32m
sostituendo i valori si ottiene:
2
J eff = 0,02m 4 = 2029683,032cm 4
N cr = 7617483,75kN
S v = 582832,764kN
M ed = 13,52kN ⋅ m
N c , Ed = 1436,60kN
N b, Rd =
χ=
χ ⋅ A ⋅ f yk
γ M1
1
Φ+ Φ −λ
[
2
(
2
≤1
)
Φ = 0,5 ⋅ 1 + α λ − 0,2 + λ
2
]
α = 0,34
42
Meccanica Computazionale
λ=
N cr =
Progetto e verifica di un cavalcavia
A⋅ f yk
N cr
π 2 ⋅ EI min
l0
2
I min = 1210cm 4
momento di inerzia minore della sezione composta (da sagomario in Figura 10)
Figura 10
N cr = 4541,18kN
λ = 0,85
Φ = 0,97
χ = 0,692
N b ,Rd = 2172,35kN
N c ,Ed
= 0,66 ≤ 1
N b ,Rd
Verifica soddisfatta
43
Meccanica Computazionale
Progetto e verifica di un cavalcavia
1.11 Verifiche elementi in calcestruzzo
Le sollecitazioni di calcolo relative alle colonne di calcestruzzo ottenute mediante l’analisi
FEM tramite SAP2000 sono:
Ned = 968,376
Ted = 57,166
Med = 504,59
1.11.1
kN
kN
kNm
Progetto delle armature
Per la determinazione delle armature sono state rispettate le seguenti relazioni come da
normativa:
1.
As , min ≤ A ≤ As ,max
con:
As ,min = 0,10 ⋅
N ed
f yd
Area dell’armatura longitudinale minima
As , min > 0,003 ⋅ Ac
As ,max = 0,04 ⋅ Ac
Area dell’armatura longitudinale massima
2.
φl > 12mm
diametro minimo delle barre longitudinali (parallele all’asse
3.
i < 30cm
dell’elemento)
Interasse delle armature longitudinali
In riferimento alla scelta geometrica della sezione di calcestruzzo è necessario inserire un
numero minimo di tondini pari a 4. Per quanto riguarda le staffe si hanno le seguenti
relazioni:
12φ
i st ≤ min  min
25cm
φl , min

φst ≥ max  4
6mm

Interasse:
Diametro delle staffe
Alla sezione del pilastro di dimensioni B=40 cm ed H=80 cm è stato assegnato un
copriferro c=4 cm.
L’altezza utile della sezione è:
h = H - c = 80cm - 4cm = 76cm
δ = copriferro/h = 4cm/76cm = 0.053
Calcolo dello sforzo normale e del momento adimensionalizzati:
44
Meccanica Computazionale
Progetto e verifica di un cavalcavia
ν=
N ed
B ⋅ h ⋅ f cd
sforzo normale adimensionalizzato
µ=
M ed
B ⋅ h 2 ⋅ f cd
momento flettente adimensionalizzato rispetto al baricentro della
sezione in calcestruzzo
ω=
Atot ⋅ f yd
B ⋅ h ⋅ f cd
percentuale meccanica dell’armatura
Risultati:
ν = 0,11
µ = 0,077
dalle tabelle inerenti alle sezioni armate simmetricamente si ricava
ω ≅ 0,1
segue un area totale di armatura pari a:
Atot = 22cm 2
L’armatura necessaria per ricoprire tale area di ferro sarà fornita da 8 Ø 20 di cui 4 al
lembo superiore e 4 al lembo inferiore. Inoltre fuori calcolo si dovranno inserire due ferri di
parete Ø12 in quanto la normativa impone che l’interasse tra i ferri non deve essere
maggiore di 30 cm. Per la disposizione delle staffe si sceglie un passo pari a 18 cm e
aventi diametro pari a Ø10.
45
Meccanica Computazionale
Progetto e verifica di un cavalcavia
1.12 Cerniera fra travatura reticolare e pilastri
Si decide di utilizzare una cerniera a perno. Le cerniere devono essere conformate in
modo opportuno da contenere la sollecitazione a flessione del perno. La lunghezza del
perno deve essere tale da offrire completo appoggio a tutte le parti collegate. I perni
devono essere mantenuti in modo opportuno nella posizione prevista. Nelle staffe delle
cerniere soggette a trazione, le sezioni resistenti diametrali, rispettivamente normale e
parallela allo sforzo di trazione, devono rispettare le limitazioni seguenti:
Figura 11 - Condizioni geometriche per piastre nei collegamenti con perni
46
Meccanica Computazionale
1.12.1
Progetto e verifica di un cavalcavia
Dimensionamento della cerniera
Le forze agenti sul nodo B sono riportate in Figura 12:
Figura 12 - Schematizzazione delle forze agenti al nodo B
Valore delle forze agenti sulla cerniera:
•
FyB = 900kN
componente verticale
•
FxB = 361,31kN
componente orizzontale
La risultante sarà pari a:
Fsd = 9002 + 361,312 = 969,82kN
Condizioni essenziali per geometria assegnata:
t≥
Fsd ⋅ γ Mp
f yk
d 0 ≤ 2,5 ⋅ t
con:
γ Mp = 1,25
coefficiente di sicurezza per la verifica delle unioni
f yk = 235 N / mm 2
tensione di snervamento dell’acciaio usato per il perno
segue:
t=
Fsd ⋅ γ Mp
f yk
=
969,82 ⋅ 1,25
= 7,18cm
235000
si sceglie pertanto uno spessore di 8 cm con d0 :
d 0 ≤ 2,5 ⋅ t → 20cm
scelgo d0 pari a 10 cm.
47
Meccanica Computazionale
Progetto e verifica di un cavalcavia
Definita la geometria della cerniera, si passa alla verifica globale dell’elemento strutturale.
La verifica da soddisfare riguarda il rifollamento; in Figura 13 è riportato il fenomeno di
collasso della piastra.
Figura 13 - Rottura per rifollamento
Al fine della verifica è necessario che risulti:
Fv , Ed
≤1
Fb , Rd
con:
Fb,Rd =
1,5 ⋅ t ⋅ d ⋅ f yk
γ Mp
in particolare:
• t
• d
• fyk
• γ Mp
Resistenza a rifollamento dell’elemento in acciaio connesso al perno
spessore dell’elemento
diametro del perno
tensione di snervamento dell’acciaio usato per il perno (S235)
(1,25) coefficiente di sicurezza per la verifica delle unioni
Risultato:
1,5 ⋅ 0,08 ⋅ 0,1 ⋅ 235000
Fb, Rd =
= 2233,44kN
1,25
Fv , Ed
969,82
=
= 0,43 ≤ 1
Fb , Rd 2233,44
verifica soddisfatta
Successivamente sono riportati diversi rendering della cerniera.
48
Meccanica Computazionale
Progetto e verifica di un cavalcavia
Figura 14 - Rendering della cerniera relativa al nodo B
49
Meccanica Computazionale
Progetto e verifica di un cavalcavia
1.13 Progetto della fondazione
La tipologia di fondazione progettata è un plinto di forma parallelepipeda con sezione
quadrata.
I materiali utilizzati per la realizzazione del plinto sono:
•
•
Acciaio B450C;
Calcestruzzo Rck=30 MPa.
Le rispettive tensioni di progetto sono:
f yd =
•
Acciaio
•
Calcestruzzo
f yk
γs
=
450
= 391,30 MPa;
1,15
f cd =
0,83 ⋅ Rck
γc
=
0,83 ⋅ 30
= 15,56 MPa.
1,6
Dai diagrammi delle sollecitazioni si evincono le forze agenti alla base. Per simmetria della
struttura, il nodo A di sinistra equivale al nodo A di destra; verrà trattato il nodo di sinistra:
Figura 15 - Diagramma del momento, dello sforzo assiale e del taglio
La sollecitazioni valgono:
•
•
•
M = 504,59
N = 968,36
T = 57,166
kN*m
kN;
kN;
50
Meccanica Computazionale
Progetto e verifica di un cavalcavia
Le reazioni alla base dell’incastro sono le seguenti:
Figura 16 - Reazioni dell'incastro
Risultati:
Rx = 361,31kN
Ry = 900kN
M = 504,59kNm
Componente orizzontale
Componente verticale
Momento
Valutate le reazioni e le sollecitazioni, i carichi agenti (di verso opposto) sono rappresentati
nella Figura 17.
51
Meccanica Computazionale
Progetto e verifica di un cavalcavia
Figura 17 - Schematizzazione delle forze agenti alla base
Per la progettazione della fondazione, occorre sapere qual è l’effettiva distribuzione di
forze che grava alla base. Parte della sollecitazione verticale Ry dovuta allo sforzo assiale
viene ridotta dalla componente verticale del taglio, mentre la componente orizzontale Rx
va a sommarsi alla componente orizzontale del taglio Tx; il momento rimane invariato.
Ty = T ⋅ sen(25°) = 24,16kN
Tx = T ⋅ cos(25°) = 51,81kN
N = R y − T y = 875,84kN
T = 361,31 + 51,81 = 413,12kN
In conclusione le forze da considerare per la progettazione sono:
•
•
•
M = 504,59
N = 875,84
T = 413,12
kN*m
kN;
kN;
Il calcolo della sezione in calcestruzzo armato si esegue con il metodo degli stati limite.
52
Meccanica Computazionale
1.13.1
Progetto e verifica di un cavalcavia
Dimensionamento di massima
La fondazione deve essere progettata in modo tale che nel terreno non insorgano tensioni
di trazione e che la massima tensione di compressione sia pari a 10N/cm2.
La tensione massima agente è:
σ t ,max =
N tot  6 ⋅ e 
2
⋅ 1 +
 = 100 kN/m
2
B 
B 
Lo sforzo normale totale agente tiene conto anche del peso del plinto.
Considerando una base B=4 m e un’altezza H=1,2 m il peso del plinto è il seguente:
(
)
(
)
P = B 2 ⋅ H ⋅ γ cls = 4 2 ⋅ 1,2 ⋅ 25 = 480 kN
Lo sforzo normale totale è:
N tot = N + P = 875,84 + 480 = 1355,84 kN
Il momento flettente totale è dato dalla somma del momento flettente proveniente dalla
struttura e dal contributo dovuto all’eccentricità del taglio rispetto alla superficie di contatto
terreno – plinto
M tot = M + T ⋅ H = 504,59 + 413,12 ⋅ 1,2 = 1000,3 kN*m
L’eccentricità del carico totale è:
e=
M 504,59
=
= 0,58 m
N 875,84
Occorre adesso verificare che le tensioni agenti siano di compressione e cioè la sezione
non si parzializzi; affinchè si verifichi questa condizione è necessario che l’eccentricità
generata dal momento agente ricada all’interno del nocciolo centrale d’ inerzia avente
coordinate limite C=(B/6;B/6)=(0,666m;0,666m).
La tensione massima agente è:
53
Meccanica Computazionale
Progetto e verifica di un cavalcavia
σ t ,max =
1355,84  6 ⋅ 0,58 
2
⋅ 1 +
 = 157,97 kN/m .
16
4


La tensione minima agente è:
σ t , min =
N tot  6 ⋅ e  1355,84  6 ⋅ 0,58 
2
⋅ 1 −
⋅ 1 −
=
 = 11,51 kN/m .
2
B 
16
4 
B 

t,min
t,max
54
Meccanica Computazionale
Progetto e verifica di un cavalcavia
1.13.2
Verifiche di stabilità del plinto
1.13.2.1
Verifica a scorrimento
Occorre valutare che la forza orizzontale non superi la forza di attrito alla base. La forza di
attrito è data dal carico verticale per il coefficiente di attrito terreno-calcestruzzo che è pari
a 0,4.
µ sl =
fs ⋅ N tot 0,4 ⋅ 1355,84
=
= 1,31 ≥ 1,3
T
413,12
1.13.2.2
verifica soddisfatta
Verifica a ribaltamento
Bisogna valutare che il momento stabilizzante superi quello ribaltante
µ ri =
(N + P ) ⋅ B / 2 = (1355,84) ⋅ 2,00
T ⋅H +M
1.13.2.3
413,12 ⋅ 1,2 + 504,59
= 2,71 ≥ 1,5
verifica soddisfatta
Verifica a punzonamento
La forza di taglio sollecitante per la verifica è di 413,12 kN e la dimensione del pilastro è
0,80m x 0,40m. Occorre calcolare il perimetro di punzonamento:
u = 2 ⋅ (H + c ) + 2 ⋅ (H + d ) = 2 ⋅ (1,2 + 0,8) + 2 ⋅ (1,2 + 0,4 ) = 7,2 m
La verifica al punzonamento consiste nel verificare che
Fres ≥ FPUN = T
La forza resistente è data da:
Fres = 0,5 ⋅ u ⋅ H ⋅ f ctd
Dove fctd è la resistenza a taglio di progetto che è pari a:
f ctd =
0,27 ⋅ 0,7 ⋅ 3 Rck2
γc
=
0,27 ⋅ 0,7 ⋅ 3 30 2
= 1,14 MPa
1,6
La forza resistente è:
Fres = 0,5 ⋅ 7200 ⋅ 1200 ⋅ 1,14 / 1000 = 4926,89 kN > T
verifica soddisfatta
Non occorre armare il plinto per resistere al punzonamento.
55