Liceo Scientifico di Bussoleno
APPRENDIMENTO IN RETE
Introduzione
alle geometrie non euclidee
Prof.sa Bruna Consolini
Bussoleno (TO) - Anno scolastico 2003 - 04
IMPOSTAZIONE DIDATTICA
Attività di insegnamento/apprendimento
strutturate secondo modalità diverse:
 lezioni dialogate
 lavori di gruppo
 ricerca in Internet
 discussione sui concetti
Articolazione operativa delle attività
Lezione introduttiva sulla geometria euclidea e
sull’impostazione assiomatica
Ricerca cooperativa per approfondire aspetti storici e logici
Condivisione dei risultati e sviluppi orientati alle geometrie non
euclidee
Ricerca in Internet con sitologia guidata
Lezione introduttiva alle geometrie non euclidee con
particolare riferimento alla geometria iperbolica
Attività cooperativa per costruire la dimostrazione di alcuni
teoremi mediante schede guidate
Presentazione delle dimostrazioni e del modello di Poincaré
Verifica finale: esercitazione sul modello di Poincaré e
questionario
SCHEDA ANALITICA
Sequenza tematica
• PRIMA UNITA’
osservazioni sulla
geometria euclidea per
riflettere sul sistema
assiomatico e sulla
“portata” del V
postulato di Euclide
relativo alle rette
parallele
• SECONDA UNITA’
introduzione alle
geometrie non
euclidee come risultato
di un percorso logico
in relazione allo
sviluppo storico e alla
formulazione di nuovi
postulati e nuove
deduzioni
Struttura delle unità
Lezione dialogica
introdurre i concetti e fornire stimoli
Attività in modalità cooperativa
sviluppare i concetti e operare con essi
Momento di condivisione e sintesi
presentare i risultati e discutere
Verifica individuale
affrontare quesiti teorici e applicazioni
Lezione dialogica
sulla geometria euclidea e sull’impostazione assiomatica
• TEMI
– origine della geometria euclidea
– terminologia e presupposti del sistema
assiomatico
– gli “Elementi” di Euclide
– storia del V postulato
• COMPITI
– organizzazione degli appunti
– enucleazione quesiti e punti di chiarimento
Attività in modalità cooperativa
approfondire aspetti storici e logici
1° WEBQUEST
SCENARIO
 sei uno studente del 1600 che studia sui testi recuperati
dal mondo greco, interrogandosi sugli aspetti della
geometria e avendo l’ambizione di costruire nuovi
teoremi
COMPITI IN 4 GRUPPI DI LAVORO
PROCEDIMENTO - RISORSE
VERIFICA
SCHEDA ANALITICA
Traccia delle attività
• COMPITI
– fare riferimento ad una serie di risorse
– effettuare una ricerca oppure ripercorrere delle
dimostrazioni oppure analizzare un testo
specifico
• ESITO ATTESO
– produrre un breve documento Word (o altro)
– presentare i risultati in sede di condivisione
GRUPPO A
• Analizzare il percorso storico che parte da
Euclide e procede nei secoli successivi nel
tentativo di dimostrare il V postulato.
RISORSE
Vita e opere di Euclide
http://web.unife.it/altro/tesi/A.Montanari/Euclide.htm
Euclide e i suoi Elementi
http://www.netsys.it/itis.alessandrini/infinito/euclide.htm
Gli studi di Euclide
http://www.orianapagliarone.it/proporzioni/matematica.htm
Euclide con Cabrì
http://www.marioluciani.it/Matematica/
Presentazione in Power Point sulla geometria euclidea
http://www.atuttascuola.it/matematica.htm
Il problema del V postulato
http://www.dm.unibo.it/matematica/NonEuclidea/File/introduzione2.htm
Preamboli di geometria euclidea
http://www.robertofantini.it/Geometrie_non_euclidee/sommario.htm
Alcuni teoremi di geometria elementare
http://www.lorenzoroi.net/geometria/indice.html
GRUPPO B
• Individuare un teorema e analizzarlo usando il V
postulato di Euclide e senza utilizzarlo (ad es:
criterio generalizzato di congruenza dei triangoli).
RISORSE
Libri: Testi scolastici degli anni precedenti.
Lobacevskij N, “Nuovi Principi Della Geometria”, Boringhieri.
Dispense.
Siti: Alcuni teoremi di geometria elementare
http://www.lorenzoroi.net/geometria/indice.html
http://www.liceoberchet.it/ricerche/pitagora/approfondimenti.htm
http://piripillina.ifrance.com/piripillina/Geometria/pagina6.htm
GRUPPO C
• Analizzare il testo di Saccheri “Euclide liberato
da ogni macchia” per delineare il percorso logico
nel tentare di dimostrare il V postulato
RISORSE
Libri: Testi scolastici degli anni precedenti.
Saccheri G., “Euclide Liberato Da Ogni Macchia”, Bompiani
Dispense.
Siti:
Saccheri e il suo tentativo
http://www.matefilia.it/argomen/euclide/geonon7.htm
http://www.dm.unibo.it/matematica/GeometrieNonEuclidee/par6.html
In quale contesto si inserisce Saccheri
http://www.enel.it/magazine/res/arretrati/matematica_4.shtml
GRUPPO D
• Ripercorrere lo studio delle proprietà che
portarono Saccheri a dimostrare la falsità
dell’ipotesi dell’angolo ottuso.
RISORSE
Libri: Testi scolastici degli anni precedenti.
Saccheri G., “Euclide Liberato Da Ogni Macchia”, Bompiani
Dispense.
Siti:
Saccheri e il suo tentativo
http://www.matefilia.it/argomen/euclide/geonon7.htm
http://www.dm.unibo.it/matematica/GeometrieNonEuclidee/par6.html
In quale contesto si inserisce Saccheri
http://www.enel.it/magazine/res/arretrati/matematica_4.shtml
Momento di condivisione
• Produzione della dispensa cooperativa
• Presentazione dei risultati da parte dei gruppi
• Riflessioni e indicazioni sull’evoluzione del
discorso
• Ricerca in Internet sui protagonisti: Gauss,
Bolyai, Lobacewskji, Riemann, Klein
Attività in modalità cooperativa
studiare i teoremi della geometria iperbolica
2° WEBQUEST
SCENARIO
 sei uno studente del 2000 che studia i teoremi della
geometria iperbolica e cerca nel mondo reale degli
agganci intuitivi ed empirici alle apparenti assurdità dei
teoremi
COMPITI IN 4 GRUPPI DI LAVORO
PROCEDIMENTO - RISORSE
VERIFICA
SCHEDA ANALITICA
Traccia delle attività
• COMPITI
– fare riferimento ad una serie di schede guidate
– dimostrare alcuni teoremi di geometria
iperbolica
• ESITO ATTESO
– produrre un breve documento Word illustrato
con grafici esplicativi
– presentare i risultati in sede di condivisione
GRUPPO A
• Teoremi:
– Se una retta è asintoticamente parallela, in una direzione
data, a un’altra retta, allora la seconda retta è
asintoticamente parallela, nella stessa direzione, alla
prima. Le parallele asintotiche si avvicinano l’una all’altra
nella direzione di parallelismo.
– Se due rette, venendo intersecate da una terza, formano
angoli per i quali valga una qualsiasi delle otto relazioni,
allora le due rette sono parallele divergenti.
RISORSE
SCHEDA GUIDATA
• Teoremi:
GRUPPO B
– In un biangolo l’angolo esterno è maggiore dell’angolo interno
opposto.
– Se due rette, venendo intersecate da una terza, formano angoli
per i quali valga una qualsiasi delle otto relazioni, allora le due
rette sono parallele divergenti.
– Se due biangoli hanno uguali un angolo e la base, allora hanno
uguale l’altro angolo.
– Se due biangoli hanno rispettivamente uguali gli angoli, allora
hanno uguale anche la base.
RISORSE
SCHEDA GUIDATA
GRUPPO C
• Teoremi:
– La base e la sommità di un quadrilatero di Saccheri
sono parallele divergenti, e tali sono pure gli altri due
lati.
– Gli Angoli alla sommità di ogni quadrilatero di
Saccheri sono acuti.
RISORSE
SCHEDA GUIDATA
GRUPPO D
• Teoremi:
– La somma degli angoli di ogni triangolo è minore di
180°.
– Se due triangoli hanno rispettivamente uguali i tre
angoli, allora sono congruenti.
RISORSE
SCHEDA GUIDATA
Momento di condivisione
• Correzione delle dimostrazioni e produzione
della dispensa cooperativa
• Presentazione delle dimostrazioni alla classe
• Questione dei modelli rappresentativi
• Spiegazione del modello a disco di Poincaré
Verifica finale
• Esercitazione sul sito
http://www.cs.unm.edu
per costruire figure
geometriche sul disco di
Poincaré
• Questionario che
prevede la risposta a
domande aperte, chiuse e
la dimostrazione di uno
dei teoremi studiati
Disco di Poincaré
TRIANGOLO
CIRCONFERENZA
RETTE
PARALLELE
Buone Riflessioni
Da Bruna Consolini, Alessia Favro e tutta la IV B
Il materiale di riferimento
SITO DELLA SCUOLA
www.liceonorbertorosa.it
Cooperative learning