Concetti base della finanza
•
Rendimento delle azioni, obbligazioni e attività
reali: valore attuale scontato; rendimento sul
periodo d’investimento (holding period return);
•
Funzione di utilità e curve di indifferenza: utilità
attesa; incertezza e rischio; curve di indifferenza;
preferenze intertemporali;
•
Scelte d’investimento fisico e livello ottimale di
consumo
1
Rendimento delle azioni ecc. - 1
Interesse semplice vs. interesse composto
es. un tasso del 10% annuo è minore di un tasso del 5%
semestrale (che dà interessi sugli interessi):
1*(1+0,10) = 1,10 < (1,05)*(1,05) = (1,05)2 = 1,1025
Ma come si calcola in generale il valore finale di un
investimento quando cambia la frequenza con la quale
si compongono i tassi di interesse?
Consideriamo un ammontare €x investito per n anni al tasso
di interesse R per ogni anno. Se interessi composti una
sola volta all’anno:
(1)
VFn  € x(1  R)
n
2
Rendimento delle azioni ecc. - 2
Ma se invece che una volta all’anno, i tassi di
interesse si compongono m volte all’anno:
m
VFn
(2)
 R
 € x1  
 m
mn
E si può mostrare che andando verso la
composizione continua:
(3)
c
VFn
 R
 lim € x1  
m 
 m
mn
 € xexp Rn 
Ove exp = 2,71828 è la e dell’esponenziale studiata in matematica
3
Rendimento delle azioni ecc. - 3
Esempio dell’effetto di una composizione del tasso
di interesse sempre più frequente:
Frequenza di
composizione
Annuale (m=1)
Trimestrale (m=4)
Settimanale (m=52)
Giornaliera (m=365)
Valore di €100 a fine anno
(R = 10% annuo)
110,00
110,38
110,51
110,517
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Rendimento delle azioni ecc. - 5
Il Valore Attuale Scontato (VAS)
Se rs(n) è il tasso d’interesse annuale su un investimento
privo di rischio per n anni, il valore futuro di €x tra n anni
con interesse composto annualmente è:
VFn  € x(1  rs
( n) n
)
Ne segue che dovremmo essere indifferenti tra ricevere con
certezza €VFn tra n anni e avere €x oggi ovvero, in
termini formali, il valore attuale scontato di €VFn è:
VFn
VAS 
(n) n
(1  rs )
5
Rendimento delle azioni ecc. - 6
Supponendo ora che il tasso di interesse privo
di rischio sugli n anni sia costante e pari a r
(curva per scadenza dei tassi di interesse
piatta) il VAS di una serie di incassi VFi (i=
1, 2, .., n) privi di rischio è dato da:
n
VFi
VAS  
i
i 1 (1  r )
6
Rendimento delle azioni ecc. - 7
Progetto di investimento fisico
Consideriamo un progetto di investimento fisico, es. una
nuova fabbrica, da cui si prevede di ricevere un flusso di
incassi (profitti) di VFi (i= 1, 2, .., n). Supponiamo che il
costo capitale del progetto, pagato inizialmente (a t=0),sia
€CK. Allora l’imprenditore investirà nel progetto se:
VAS  CK
ovvero, in termini di valore attuale netto (VAN) deve valere:
VAN = VAS – CK  0
Se VAN=0 i profitti del progetto sono appena sufficienti a
ripagare il capitale (montante e interessi). Se VAN>0 ci
sono profitti positivi.
7
Rendimento delle azioni ecc. - 8
Al crescere del costo dei fondi (r) VAN cala per dato VFi .
Esiste un valore di r=y (10% in figura) per cui VAN=0,
detto tasso interno di rendimento (TIR) dell’investimento:
n
VFi
CK  
i
i 1 (1  y )
VAN
5
10
15
Costo dei fondi r (%)
8
Rendimento delle azioni ecc. - 9
Ora rimuoviamo l’ipotesi di r costante e diciamo che i flussi
a 1 anno (VFi) sono scontati con rs(1), quelli a 2 anni con
rs(2) e così via, il VAS è dato da:
n
VF1
VF2
VFn
VAS 

 ... 
  iVFi
(1)
( 2)
( n)
(1  rs ) (1  rs )
(1  rs ) i 1
ove δi = (1 + rs(i))-i sono i fattori di sconto e gli rs(i) sono tassi di
interesse a pronti (spot) applicati ai flussi di cassa sui periodi
rs(1)=0-1 anno, rs(2) = 1-2 anni e così via.
Ma l’investimento fisico non è privo di rischio e il fattore di sconto
è il tasso spot privo di rischio rs(i) più un premio al rischio rp(i):
δi = (1 + rs(i) + rp(i))-i
ma qui serve un modello per il premio al rischio (CAPM)
9
Rendimento delle azioni ecc. - 15
Se non ci sono opportunità di profitto sistematiche da fare
acquistando e vendendo azioni tra investitori razionali ben
informati, allora il prezzo di mercato effettivo delle azioni
Pt deve essere uguale al valore fondamentale Vt , cioè al
VAS dei dividendi futuri attesi. Per esempio, se Pt < Vt
allora gli investitori dovrebbero acquistare le azioni
sottovalutate e, quindi, realizzare guadagni in conto
capitale a mano a mano che Pt si innalza verso Vt . In un
mercato efficiente, tali opportunità di profitto dovrebbero
essere prontamente eliminate.
È chiaro che Vt non può essere calcolato direttamente per
confrontarlo con Pt perché i dividendi attesi (e i fattori di
10
sconto) non sono osservabili.
Scelte in condizioni di rischio
• Per rappresentare le scelte in condizione di
rischio utilizziamo lotterie o giochi.
• Supponiamo che ci siano due possibili stati
del mondo: c’è il sole o piove, ogni stato del
mondo ha probabilità 0.5 di verificarsi.
Descrizione di un albero decisionale
(giochi o prospetti rischiosi)
• Nodi aleatori
• Rami
• Outcomes (risultati)
La Teoria dell’Utilità attesa
• Sviluppata da Von Neumann e Morgestern
(1944) si basa su alcuni importanti assiomi che
permettono di ordinare le preferenze,
riportiamo i 5 rilevanti:
• 1)Comparabilità (Completeness): questo
assioma stabilisce che un individuo è sempre
in grado di paragonare, stabilendo un ordine di
preferenza o indifferenza, diversi prospetti
rischiosi e mutualmente escludentesi
Transitività
• Se un individuo preferisce il prospetto
rischioso x al prospetto y, e il prospetto y al
prospetto z allora preferirà x a z.
Indipendenza forte
• Si supponga di dover scegliere tra due
giochi: il gioco A=(x,z; α , (1-α)) e il gioco
B=(y,z; α , (1-α); Se un individuo considera
x equivalente a y allora considera i due
prospetti rischiosi equivalenti, se invece
preferisce x a y preferirà il prospetto A al
prospetto B (common consequence effect).
L’assioma afferma che nel confrontare i due
prospetti si concentra l’attenzione sui
risultati che non sono comuni.
Misurabilità
• Si supponga che il prospetto rischioso x sia
preferito a y il quale è a sua volta preferito a
z. Allora ci può essere un’unica probabilità
α per la quale il prospetto rischioso formato
da x e z è equivalente a y. Quindi ci può
essere un unico equivalente certo che è
compreso tra i risultati x e z del prospetto
rischioso.
Ordinabilità
• Supponiamo che esista il seguente ordine di
preferenze:
• x>y>z e x>u>z
• Vale a dire u e y sono due esiti entrambi
compresi tra x e z, attribuendo a z ed a x
diverse probabilità, è possibile trovare un
prospetto equivalente a y e uno equivalente a
u. Se A=(x,z;α1 (1- α1 ) è equivalente a y e B=
(x,z;α2 (1- α2 ) è equivalente a u, se α1> α2
allora A>B
Funzione di Utilità attesa
• La teoria dell’Utilità attesa si basa sull’ipotesi di
non sazietà in base alla quale l’utilità marginale
della ricchezza è sempre positiva. Le funzioni di
utilità devono rispettare i 5 assiomi sopra citati.
• La funzione può essere usata per ordinare i giochi
rischiosi, l’utilità attesa dei giochi rischiosi è la
seguente:
• UA=∑pi U(Wi)
• Combinazione lineare dell’utilità e delle probabilità
Utilità e curve di indifferenza - 4
L’atteggiamento verso il rischio dipende da:
U”(W) < 0
avverso al rischio (curva U concava)
U”(W) = 0
neutrale al rischio (curva U retta)
U”(W) > 0
amante del rischio (curva U convessa)
Il grado di avversione al rischio si misura sul grado di
concavità della funzione di utilità, il valore di U”(W):
RA(W) = -U”(W)/U’(W) indice assoluto di Arrow-Pratt
RR(W) = RA(W) • W
indice relativo di Arrow-Pratt
L’avversione assoluta (relativa) al rischio è decrescente se al
crescere di W si investe di più in attività rischiose.
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Utilità e curve di indifferenza - 5
U (W )
neutrale rispetto al rischio
avverso al rischio
U (2)
U (1)
amante del rischio
U (0)
W
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