Calcolo del limite
Il limite destro e il limite sinistro
Discontinuità
• La funzione
1
f ( x) 
x
Non è definita per x=0
In x=0
Se x si avvicina a zero da destra, allora la funzione diventa sempre più grande
Se x si avvicina a zero da sinistra, allora la funzione diventa sempre più
grande, ma di segno negativo
Limite sinistro

x
0
M
Per ogni M>0 esiste un intorno sinistro di zero I-(0,)
tale che, se x I-(0,) allora f(x)<-M
Questo
1
lim  
x 0 x
f(x)
In generale…
Definizione Sia f:(a,b)  R una funzione e sia
x0 un punto di accumulazione per (a,b)
lim  f ( x)  
x  x0
Se, per ogni M >0 esiste un intorno di x0 tale che,
se x appartiene all’intorno, f(x) <-M (A.L.Cauchy)
•“Per ogni cosa che facciamo, esiste un bambino cinese di
•cinque anni che la fa in un tempo minore del nostro”
Limite destro di
f(x)
M
0
x

Per ogni M>0 esiste un intorno destro di zero I+(0,)
tale che, se x  I+(0,) allora f(x)>M
1
Se questo accade , scriviamo
lim  
x 0 x
1
f ( x) 
x
In generale
Definizione Sia f : (a,b)  R una funzione e sia
x0 un punto di accumulazione per (a,b)
lim  f ( x)  
x  x0
Se, per ogni M >0 esiste un intorno destro di x0 tale che,
se x appartiene all’intorno, f(x) >M (A.L.Cauchy)
•“Per ogni cosa che facciamo, esiste un bambino cinese di
•cinque anni che la fa in un tempo minore del nostro”
Calcolo dei limiti destro e sinistro
1. Tabella dei limiti notevoli
2. Sistema di regole
3. Teorema 1 Sia f : (a,b)  R una funzione
continua e sia x0 (a,b). Allora
lim  f ( x)  f ( x0 )  lim  f ( x)
x  x0
x  x0
Calcolo dei limiti
Limiti notevoli
1
lim  
x  x0  x
1
lim   
x  x0 x
Regola 1 Siano f,g : D  R e sia x0 un punto di frontiera per D
Allora
a)
b)
lim f ( x)  g ( x)  lim  f ( x)  lim  g ( x)
x  x0 
x  x0
x  x0
lim f ( x) g ( x)  lim  f ( x) lim  g ( x)
x  x0 
x  x0
x  x0
Regola 3 Sia f : D  R , g: (c,d)  R e sia x0 un punto di
frontiera per D , sia y0=f(x0) allora
lim  g ( f ( x))  lim  g ( y)
x  x0
y  y0
y0  f ( x0 )
Esercizio 1
posto
1
lim 
x  1 x  1
Si ha
f ( x)  x  1
1
g  f  x  
x 1
E quindi
1
1
lim 
 lim  
x  1 x  1
y 0 y
1
g ( y) 
y
f (1)  0
Esercizio 2
1
lim

x 3 3 x  9
1
1
lim
 lim

x 3  3 x  9
x 3 3 x  3
1
1
Regola 1a
lim lim

x 3 3 x 3 x  3
1
1
lim
 Regola 2+Teorema 1
3 x 3 x  3
1
1 1
lim      
3 y 0 y 3
f ( x)  x  3
1
g  f  x  
x 3
g ( y) 
1
y
f (3)  0
Esercizio 3
3x  2
lim

x 1 x  1
posto
Si ha
3x  2
1
 lim 3 x  2
x 1
x  1 x 1
x 1
1
 lim 3 x  2  lim

x 1
x 1 x  1
1
1
5 lim
 5 lim  5    
x 1 x  1
y 0 y
lim
f ( x)  x  1
1
g  f  x  
x 3
Regola 1a
Regola 2+ Teorema
g ( y) 
1
y
f (1)  0
Un metodo antico….
Gottfried Wilehm von Leibnitz
Barone e matematico tedesco (1646-1716)

3x  2 5

3x  2 xlim
lim
 1

 
x 1
x 1
lim x  1 dx
x 1
dx è una quantità infinitesima
“la vera ricchezza di un popolo
risiede nelle capacità dei singoli di inventare”
È un numero più piccolo di qualsiasi numero . FORTEMENTE CRITICATO, ma…
Funziona!!!!, ma il perché nessuno è mai riuscito finora a saperlo