MONOTONIA
IN ANALISI MATEMATICA
Fabio Bagagiolo
Percorso d’Eccellenza 2008/2009
Esistenza di limiti
•
1.
2.
3.
4.
5.
•
1.
2.
Problema dell’esistenza del limite di:
successioni;
funzioni;
rapporti incrementali;
integrali impropri;
successioni di funzioni.
Passaggio al limite:
f  f  f  f ?
sotto il segno di integrale;
sotto altre relazioni non lineari. f n  f   ( f n )   ( f ) ?
n
n
Regolarita’
•
1.
2.
3.
4.
Per una funzione di una variabile:
continuita’;
derivabilita’;
integrabilita’
convessita’.
Applicazioni
•
1.
2.
3.
4.
5.
•
Spesso, nei fenomeni fisici/ingegneristici/economici/biologici della
“vita reale” alcune grandezze del sistema in questione sono
legate tra loro da relazioni che, con chiara evidenza sperimentale,
presentano effetti di monotonia.
fase (liquida/solida) vs temperatura nei processi di transizione di
fase;
pressione vs saturazione nei processi di flusso attraverso mezzi
porosi;
sforzo vs deformazione nei processi elastoplastici;
investimento vs profitto nei processi economici;
attivita’ di batteri vs quantita’ di nutriente a disposizione nei
processi biologici.
Questa monotonia permette, a volte, di formulare modelli
matematici per tali processi, che si dimostrano di piu’ facile studio,
sia analitico che numerico.
• ESISTENZA DI LIMITI
Un Teorema (ben noto) sul limite
delle successioni monotone
• Sia (a ) una successione monotona (non
decrescente) di numeri reali
• a ≥ a per ogni n naturale.
• Allora la successione ammette limite l
(finito reale o +∞) e tale limite l vale
• l = sup (a )≤+∞.
n
n+1
n
n
n
n
Osservazione
• Questo risultato e’ alla base di tutti i criteri di
convergenza per le serie numeriche a termini positivi.
• Infatti se a ≥0 per ogni n naturale, allora la serie
numerica  a ha la successione delle somme parziali
monotona non decrescente (s = a ≤ s = a ).
• E sappiamo bene che la convergenza di una serie
numerica e’, per definizione, la convergenza della
successione delle somme parziali.
• Pertanto una serie a termini positivi non puo’ oscillare: o
converge o diverge a +∞.
• Basta quindi provare che le somme parziali sono limitate
ed e’ fatta!
n
n
n
k
n≤k
n
k+1
n≤k+1
n
Dimostrazione
• Dobbiamo provare che, se la successione
e’ non decrescente, allora essa converge
all’estremo superiore dei termini a , l.
• Bisogna distinguere due casi: l reale,
l=+∞.
n
l reale finito
• Ricordiamo la definizione di limite:
– per ogni ε>0, esiste un numero naturale N tale
che, se n e’ naturale, n≥N|l-a |≤ε
n
• Ricordiamo la definizione di estremo
superiore:
– per ogni n naturale, a ≤ l (l e’ un
maggiorante);
– per ogni ε>0 esiste n naturale tale che a ≥l-ε
(l e’ il minimo dei maggioranti).
n
ε
nε
l reale finito
• Fissiamo ε>0 e poniamo N=n .
• Allora, per la monotonia (non
decrescenza) della successione si ha, per
ogni naturale n≥N:
• l-ε ≤ a ≤ a ≤ l ≤ l+ε
• E quindi si conclude. cvd
ε
N
n
Osservazione Importante
• Questo risultato lega insieme i due
concetti fondamentali di tutta l’analisi
matematica: il concetto di limite e il
concetto di estremo superiore.
• Con queste due nozioni si fa tutta l’analisi
matematica reale.
• La dimostrazione, anche se facile, implica
l’uso appropriato delle definizioni dei due
concetti.
Esercizi per casa
(facilissimi, quasi offensivi)
• Dimostare il risultato nel caso di l=+∞.
• Enunciare e dimostrare l’analogo risultato
nel caso di successione non crescente.
• Trovare un controesempio al fatto che la
monotonia non e’ necessaria per la
convergenza di una successione.
Convergenza di successioni di
funzioni
• f :I→R, f:I→R, I intervallo;
• La successione di funzioni (f ) converge
puntualmente a f su I se:
• lim f (x)=f(x) per ogni Ix.
• La successione converge uniformemente a f su I
se:
• Per ogni ε>0 esiste N naturale rale che
n≥Nsup |f (x)-f(x)|≤ε, equivalentemente:
• lim sup |fn(x)-f(x)|=0.
• La convergenza uniforme implica quella
puntuale, ma non vale il viceversa.
n
n
n→+∞ n
Ix
n→+∞
Ix
n
n
Teorema (del Dini)
• Sia {fn}n una successione di funzioni continue su un intervallo chiuso
e limitato [a,b].
• Supponiamo che la successione sia monotona crescente (risp.
decrescente): fn(x)≤fn+1(x) per ogni x in [a,b] e per ogni n naturale
(risp. fn(x)≥fn+1(x) per ogni x in [a,b] e per ogni n naturale).
• Supponiamo che fn converga puntualmente su [a,b] ad una funzione
continua f.
• Allora fn converge ad f uniformemente su [a,b].
• Dimostrazione gia’ vista a lezione (Barozzi). Studiarla per la
prossima volta.
• N.B. Questo risultato non richiede che le funzioni approssimanti fn
siano continue!
• Esercizio per i prossimi 3 minuti:
• trovare controesempi che provino che se manca la compattezza,
oppure se manca la continuita’ delle fn , oppure se manca la
continuita’ del limite, allora il risultato non e’ piu’ valido.
Mancanza di compattezza
2+1/n
fn(x)=|x|
fn(x)=|x|
2-1/n
f(x)=x2
-1
1
La successione fn e’ monotona decrescente su R, converge puntualmente a
f su R, f e’ continua, ma la convergenza non e’ uniforme su R
(e’ comunque uniforme su ogni compatto di R)
Mancanza di continuita’ del limite
f
fn+1
1
f
-a
a
fn
La successione fn e’ crescente, fn converge puntualmente a f su [-a,a],
f non e’ continua, fn non converge uniformemente a f su [-a,a]
(non e’ uniforme in nessun compatto intorno al punto di discontinuita’
della funzione limite) .
Passaggio al limite sotto segno di
integrale
• Problema: I=(a,b) intervallo di R, f :I→R una
successione di funzioni integrabili su I, che
“converge” ad una funzione integrabile f:I→R.
• E’ vero che, per n→+∞,  f ( x)dx   f ( x)dx ?
n
b
b
n
a
a
Risposte
• Se la convergenza e’ uniforme su I, allora
la risposta e’ SI’ (teorema).
• Se la convergenza e’ solamente puntuale,
allora la risposta e’ NO (cioe’: con la sola
informazione di convergenza puntuale non
e’ possibile dedurre che vale il passaggio
al limite sotto il segno di integrale.
Controesempi
2
n
fn
2/n
b
La successione converge puntualmente a f0 sull’intervallo [0,b].
fn=n→+∞, f=0
Controesempi
n
fn
2/n
b
La successione converge puntualmente a f0 sull’intervallo [0,b].
fn=1→1, f=0
Osservazione
• Nel primo controesempio, gli integrali delle f
divergono e quindi, banalmente, non possono
convergere all’integrale di f che e’ finito.
• Nel secondo controesempio, gli integrali delle
f convergono (sono addirittura costanti!) ma
non convergono all’integrale di f : non
possiamo portare il segno di limite dentro
all’integrale:
n
n
b
 b
lim n   f n ( x)dx    lim n f n ( x) dx
a
 a
Teorema (della convergenza
monotona di Beppo Levi)
• I=(a,b) intervallo di R, f :I→R una successione di
funzioni integrabili su I, che converge puntualmente ad
una funzione integrabile f:I→R.
• Supponiamo inoltre che la successione sia monotona
crescente (risp. monotona decrescente) e che sia
minorata (risp. maggiorata) da una costante C: f (x)≥C
(risp. f (x)≤C) per ogni n e ogni x in (a,b).
• Allora vale il passaggio al limite sotto al segno di
integrale
n
n
n
b
f
a
b
n
( x)dx   f ( x)dx
a
Osservazione
• Se le f e il limite f sono continue, allora, in
virtu’ della convergenza puntuale e della
monotonia, la convergenza e’ anche
uniforme e quindi questo teorema non dice
nulla di nuovo.
• Ma il teorema non richiede affatto che il
limite sia continuo, ma ne richiede solo
l’integrabilita’.
n
Osservazione
• fn(x)dx=1/(2n)+a-1/n→a=f(x)dx
1
-a
1/(n+1) 1/n
a
Esercizio
• Se la successione e’ monotona crescente
e soddisfa alle altre condizioni del
teorema, tranne la equilimitatezza
inferiore, allora la conclusione non e’ piu’
vera.
• 2 MINUTI per trovare un controesempio.
• Via!
Soluzione (da aggiustare…)
 1
1

se
x

0
,
1

 n( x  1)

n 2 

f n ( x)  
1 

 n
se x  1  2 ,1

 n 
Trovare limite puntuale in (0,1).
Verificare che tutte le ipotesi del teorema sono soddisfatt e
tranne la equilimita tezza inferiore.
Provare che non c' e' convergenz a degli integrali.
Dimostrazione del Teorema
• Non e’ restrittivo supporre C=0 (basta prendere
g =f -C, g=f-C e fare i conti con g e g).
• La successione di funzioni e’ crescente. Quindi
(per la monotonia dell’integrale!) anche la
successione numerica degli integrali a =f (x)dx
e’ crescente.
• Quindi, per il nostro teorema fondamentale sulle
successioni numeriche crescenti, esiste
-∞<≤+∞ limite della successione degli
integrali.
• Il nostro scopo e’ ora quello di provare che
=f(x)dx.
n
n
n
n
n
Dimostrazione del Teorema
• Per la crescenza, per la convergenza
puntuale e per l’ipotesi di equilimitatezza
inferiore: 0≤f ≤f ≤f.
• Da cui si ha anche (usando ancora anche
la monotonia dell’integrale, e il fatto che f
e’ integrabile) 0≤≤f(x)dx<+∞.
• Per cui basta provare che ≥f(x)dx.
n
n+1
Dimostrazione del Teorema
• Fissato 0<<1, per ogni n definiamo
l’insieme E ={x(a,b) | f (x)≥ f(x)}.
n
n
f
fn
b
a
f
En
Dimostrazione del Teorema
• Per la crescenza della successione di
funzioni, la successione degli insiemi E e’
crescente: E E (a,b)
f
n
n
n+1
fn+1
fn
b
a
f
En
Dimostrazione del Teorema
• Per la convergenza puntuale, si ha inoltre  E =(a,b).
• Quindi {E } e’ una catena ascendente di sottoinsiemi di (a,b) che
invade tutto (a,b).
• Possiamo quindi dire che E (a,b).
• Nel nostro esempio grafico le funzioni sono continue e quindi En e’
unione di intervallini disgiunti. Possiamo definire la lunghezza di En
come la somma delle lunghezze degli (eventualmente in numero
infinito) intervallini che lo compongono (e questa somma esiste finita
perche’ En(a,b) che ha lunghezza finita). Quindi dire che E (a,b),
significa dire che la lunghezza di En tende a quella di (a,b).
• Ne segue anche che E f(x)dx → (a,b) f(x)dx.
• Tutto cio’ vale anche in casi piu’ generali, per sempio quando le
funzioni non sono continue e quindi gli insiemi En sono “brutti”:
bisogna dare un opportuno significato di misura dell’insieme e di
integrale. Ma tutto funziona allo stesso modo.
n
n
n n
n
n
n
Dimostrazione del Teorema
• Dalla seguente catena di disuguaglianze
(che discende anche dal fatto che le
funzioni sono positive):
•  f (x)dx≥ f (x)dx≥ f(x)dx,
• Passando la limite per n→+∞ e poi per
→1 si conclude:
• ≥ f(x)dx→ f(x)dx.
• cvd
(a,b)
n
En
(a,b)
n
En
(a,b)
Osservazione
• Altri risultati di passaggio al limite sotto il
segno di integrale esistono, senza ipotesi
di monotonia (e senza convergenza
uniforme).
• Per esempio quello della “convergenza
dominata” di Lebesgue. Ma tutti, nella
dimostrazione, passano attraverso il
risultato di Beppo Levi.
REGOLARITA’
(di una funzione monotona)
Funzioni monotone
• Una funzione f:(a,b)→R si dice monotona
crescente/non decrescente (risp.
decrescente/non crescente) se
• f(x)≤f(y) per ogni x,y(a,b), x≤y (risp.
f(x)≥f(y) per ogni x,y(a,b), x≤y).
crescente
decrescente
ne’ crescente ne’ decrescente
Importanza dello studio delle
funzioni monotone
• Se f:(a,b)→R e’ positiva (f(x)≥0 per ogni x)
ed e’ integrabile, allora la funzione
integrale x f(s)ds e’ monotona
crescente.
• Ogni funzione f:(a,b)→R puo’ essere
scritta come differenza
di
due
funzioni
+
positive: f=f -f (parte positiva meno parte
negativa) dove
(a,x)
Importanza dello studio delle
funzioni monotone
f ( x)  max 0, f ( x)  parte positiva

f  ( x)  max 0, f ( x) parte negativa
f ( x)  f  ( x)  f  ( x)
Importanza dello studio delle
funzioni monotone
• Quindi ogni funzione integrale e’ la
differenza di due funzioni (integrali)
monotone crescenti

x
a
x
x
f (s)ds   f (s)ds   f  (s)ds
a

a
• La derivata di una funzione convessa
derivabile e’ una funzione monotona
crescente.
• E le funzioni convesse sono importanti per
lo studio dei minimi (es: energie della fisica)
Regolarita’ delle funzioni monotone
• Un primo risultato e’ il seguente, la cui
dimostrazione e’ la medesima di quella per le
successioni monotone.
• Sia f:(a,b)→R monotona. Allora i limiti destro e
sinistro di f esistono finiti per ogni x(a,b):
f s ( x)  lim y  x  f ( y )  R,
f d ( x )  lim y  x  f ( y )  R
e ovviamente , f s ( x)  f d ( x) se f e' crescente,
f s ( x)  f d ( x) se f e' decrescent e.
La quantita' f d ( x)  f s ( x) si dice " salto di f in x".
Il salto in x e' nullo se e soltanto se f e' continua in x.
Regolarita’ delle funzioni monotone
• Quindi una funzione monotona puo’ avere
solo discontinuita’ di prima specie (salti)
Questa funzione ha due salti.
Ma quanti possono essere i salti di una funzione monotona?
Regolarita’ delle funzioni monotone
• In generale le funzioni possono avere infiniti
punti di discontinuita’, infiniti piu’ che numerabili.
Possono essere discontinue in ogni punto del
loro dominio.
• Esempio: la funzione caratteristica dei razionali
in (0,1):  (x)=1 se x e’ razionale,  (x)=0 se x
e’ irrazionale, non e’ continua in alcun punto.
• Ovviamente questa funzione non e’ monotona.
Q
Q
Regolarita’ delle funzioni monotone
• Teorema. Sia f:(a,b)→R una funzione
monotona. Allora i suoi punti di
discontinuita’ sono in una quantita’ al piu’
numerabile.
• Poiche’ (a,b) ha la potenza del continuo, si
puo’ dire che i punti di discontinuita’ di una
funzione monotona sono “pochi”.
Dimostrazione
• Supponiamo f crescente (l’altro caso e’ analogo).
• I punti di discontinuita’ di f possono essere solo salti.
• Per la monotonia, essendo tutti i salti “verso l’alto”, la somma di un
qualunque numero di salti non puo’ essere superiore al dislivello
totale di f: f(b)-f(a)<+∞.
• Per ogni n>0 definiamo l’insieme J dei punti x(a,b) per cui il salto
di f e’ maggiore di 1/n.
• Sia poi J l’insieme di tutti i punti x(a,b) che sono di salto per f
(ovvero i punti di discontinuita’).
• Evidentemente si ha nJn=J.
• D’altra parte, ogni insieme Jn e’ formato da un numero finito di punti.
• Infatti, ogni Jn non puo’ contenere piu’ di n(f(b)-f(a)) punti.
• Ne segue che J, essendo unione numerabile di insiemi finiti, consta
al piu’ di una quantita’ numerabile di elementi.
• cvd
n
Conseguenza
• Ogni funzione monotona (crescente) su (a,b)
puo’ essere scritta come la somma di una
funzione continua monotona (crescente) e di
una funzione “salto”.
• Una funzione salto (crescente) su (a,b) e’ una
funzione del tipo h(x)= s
• dove {x } e’ una successione (numerabile!)
crescente di punti in (a,b): i punti di salto, e s ≥0
sono i rispettivi salti, con  s <+∞.
• Quindi ogni funzione monotona e’, a meno di
una funzione salto, una funzione continua.
”xn<x”
n
n
n
n
n
n
Funzione salto
s1{
s0{
x0=a x1
x2
x3
x4
xn
xn+1 b
Funzioni monotone, funzioni salto e
funzioni continue
+
Regolarita’ delle funzioni monotone
• Teorema. Sia f:(a,b)→R una funzione monotona.
Allora f e’ derivabile quasi dappertutto.
• L’insieme dei punti x(a,b) nei quali f non e’
derivabile ha misura nulla.
• Per ogni >0, tale insieme (che non e’
necessariamente unione di intervallini), puo’
essere ricoperto da una quantita’ al piu’
numerabile di intervalli disgiunti la cui somma
delle lunghezze e’ minore di .
Regolarita’
• Esistono funzioni
continue (non
monotone,
ovviamente) che non
sono derivabili in
alcun punto!
• Anzi, queste funzioni
sono molte di piu’
delle continue
derivabili!
• Esercizio

 x
 0 ( x)  
1  x

se 0  x 
se
1
2
1
 x  1,
2
estendere  0 a ~0 definita su tutta la retta reale
per periodicit a' con periodo 1.
Per ogni n e per ogni x porre
 n ( x) 
1 ~ n
 0 (4 x), e infine
4n

f ( x)    n ( x).
n 0
Provare che f e' ben definita (la serie converge),
che e' continua ma che non e' derivabile in alcun punto.
Sugg. Considerar e gli incrementi
1 

f  x  n   f ( x)
4 

1
 n
4
Preliminare al Teorema
fondamentale del Calcolo
• Sia f una funzione integrabile su [a,b].
• Allora la funzione xf(s)ds e’ derivabile
per quasi ogni x.
+
• Basta scrivere f(s)ds=f(s)ds-f(s)ds
che risulta essere la differenza tra due
funzioni monotone.
• Il Teorema dice, in realta’, che la derivata
(quasi ovunque) e’ proprio f.
x
a
x
a
x
a
x
a