Appunti di azionamenti elettrici I
Anno accademico 2009/2010
Docente Petrella
Vieni a trovarmi sul mio sito: www.ivanbortolin.it
Ivan Bortolin
2
Indice
1 Introduzione
1.1 Informazioni utili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 L’azionamento elettrico
2.1 Definizione ed elementi di un azionamento elettrico
2.2 Motore elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Struttura di un motore elettrico . . . . . . . . . . .
2.4 Motori elettrici impiegati negli azionamenti . . . . .
2.5 Paramentri per la progettazione di un A.E. . . . . .
2.6 Dimensionamento motore . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Convertitore statico di potenza . . . . . . . . . . .
2.8 Tipologie di convertitori . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Protezione del convertitore . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Dispositivo di controllo . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1 Controllo in catena . . . . . . . . . . . . . .
2.10.2 Controllo in catena chiusa . . . . . . . . . .
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3 Motori elettrici
3.1 Il motore elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Principio di causa/effetto in un motore elettrico . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Forza contro ellettro motrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Scelta tra campo magnetico e campo elettrico . . . . . . . . . .
3.3 Modellistica di un attenuatore elettromeccanico . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Equazioni elettriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Bilancio di energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Energia magnetica immagazzinata. Coenergia . . . . . . . . . .
3.3.4 Espressione della coppia elettromagnetica . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Espressione della coppia nei sistemi lineari (coenergia costante)
3.3.6 Calcolo della coppia per l’attuatore elementare a riluttanza . . .
3.3.7 Modello dinamico dell’attuaore elementare a riluttanza . . . . .
3.4 Attuatori con avvolgimenti multipli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Equazioni elettriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Energia magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Espressione della coppia elettromagnetica . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Sistemi ad induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
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4
4 Dinamica del sistema motore-carico
4.1 Equazione di equilibrio meccanico . . . . . . . . . . .
4.2 Funzione di trasferimento del sistema meccanico . . .
4.3 Risposta al gradino di coppia . . . . . . . . . . . . .
4.4 Relazione velocità-posizione . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Risposta al gradino di velocità . . . . . . . . .
4.4.2 Risposta alla rampa di velocità . . . . . . . .
4.5 Diagramma a blocchi del sistema meccanico completo
4.6 Traiettorie tipiche del controllo di moto . . . . . . . .
4.6.1 Traiettorie tipiche del controllo di velocità . .
4.6.2 Traiettorie tipiche del controllo di posizione .
4.6.3 Azionamenti reversibili . . . . . . . . . . . . .
4.6.4 Tipi di carico: coppie attive e passive . . . . .
4.6.5 Caratteristiche di carico . . . . . . . . . . . .
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5 Modelizzazione dei sistemi meccanici
5.1 Equazioni per il calcolo dell’inerzia equivalente . . . . . .
5.1.1 Esempio pignone cremagliera . . . . . . . . . . .
5.1.2 Esempio vite-madrevite . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Esempio motore con cambio . . . . . . . . . . . .
5.2 Analogia tra un sistema meccanico e un sistema elettrico
5.2.1 Esempio generale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Il convertitore statico
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6.1 IL duty-cicle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2 Gli interrutori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2.1 Quadranti di lavoro dello switch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.2 SPST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2.3 Diodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2.4 Silicon Controlled Rectifier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.5 Bipolar Junction Transistor (BJT) e Insulated Gate Bipolar Transistor (IGBT) 86
6.2.6 Metal-Oxide Semiconductor Field Effect Transistor (MOSFET) . . . . . . . 88
6.3 Convertitori DC-DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.3.1 Convertitore Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3.2 Convertitore Buck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3.3 Convertitore Buck-Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3.4 Convertitore Chopper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.4 Convertitore CC-CA Inverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.4.1 Calcolo della tensione di uscita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.4.2 Comando ad onda quadra (Six Step) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.4.3 Rappresentazione vettoriale della tensione di uscita . . . . . . . . . . . . . . 107
6.4.4 Tecniche di modulazione PWM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7 Macchina in corrente continua
117
7.1 Struttura e schema elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2 Principio di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.2.1 Funzionamento da generatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
INDICE
7.3
7.4
7.5
7.6
5
7.2.2 Funzionamento da motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Determinazione del modello dal punto di vista dei circuiti accoppiati . . . . . . . . . 126
7.3.1 Equazioni elettriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.3.2 Espressione della coppia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.3.3 Rappresentazione circuitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Dinamica dei motori a C.C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.4.1 Modello dinamico della macchina a c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.4.2 Limiti e regioni di funzionamento del motore c.c. ad eccitazione indipendente 135
Controllo in velocità del motore in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.5.2 Caratteristica meccanica coppia-velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.5.3 Controllo di velocità dei motori in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.5.4 Comportamento dinamico del motore c.c. a flusso costante . . . . . . . . . . 152
Azionamenti con motore in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.6.1 Struttura dell’azionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.6.2 Azionamento con il solo anello di velocià . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.6.3 Azionamenti con anelli di velocità e di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8 Motore a passo (stepper motor)
8.1 Motori a passo a riluttanza variabile . . . . . . . . . . . . .
8.2 Motori a passo a magneti permanenti . . . . . . . . . . . . .
8.3 Motori a passo ibridi: struttura e principio di funzionamento
8.4 Modi di alimentazione dei motori a passo. . . . . . . . . . .
8.4.1 Eccitazione a singola fase. . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Eccitazione a doppia fase . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.3 Funzionamento a mezzo passo . . . . . . . . . . . . .
8.5 Accuratezza nel posizinamento del motore a passo . . . . . .
8.6 Specifiche delle caratteristiche di un motore a passo . . . . .
8.6.1 Caratteristiche statiche . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.2 Caratteristiche dinamiche . . . . . . . . . . . . . . .
9 Il motore sincrono a magneti permanenti (versione light)
9.1 Stuttura e principio di funzionamento . . . . . . . . . . . . .
9.2 Principio di funzionamento in orientamento di campo . . . .
9.3 Motore trifase a induzione o motore asincrono . . . . . . . .
9.3.1 Struttura e principio di funzionamento . . . . . . . .
9.3.2 Analisi del funzionamento in regime sinusoidale . . .
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191
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6
INDICE
Capitolo 1
Introduzione
1.1
Informazioni utili
Docente: Roberto Petrella
E-mail: [email protected]
Sito: http://diegm.uniud.it/petrella
Modalità d’esame:
 2 o 3 domande orali (scritte)
 1 esercizio
7
8
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
Capitolo 2
L’azionamento elettrico
2.1
Definizione ed elementi di un azionamento elettrico
Si definisce Azionamento Elettrico (A.E.) “l’isieme composto da un motore elettrico e dagli apparati
d’alimentazione, comando e controllo, avente come scopo la regolazione della coppia, della velocità
o della posizione di un albero di trasmissione”.
Secondo questa definizione, l’A.E. risulta individuato da tre elementi fondamentali:
- IL MOTORE ELETTRICO
- IL CONVERTITORE STATICO DI POTENZA
- IL DISPOSITIVO DI CONTROLLO
A questi elementi ne va aggiunti un quarto, la cosiddetta
- MACCHINA AZIONATA
che rappresenta il “carico ”dell’azionamento, il quale, pur concettualmente distinto dallo stesso,
ne viene a determinare, mediante le proprie caratteristiche meccaniche, tutti gli aspetti essenziali.
2.2
Motore elettrico
Il motore elettrico è l’elemento che trasforma con elevato rendimento, l’energia elettrica proveniente
dal convertitore statico nell’energia meccanica necessaria per imprimere il moto alla macchina
azionata.
A seconda del tipo di moto reso disponibile si individuano:
- MOTORI ROTANTI
- MOTORI LINEARI
I primi, più usuali, rendono disponibile il moto come rotazione attorno ad un asse (asse del
“rotore” del motore); i secondi, invece, producono un movimento in direzione lineare (direzione di
spostamento del “movente” del motore).
9
10
CAPITOLO 2. L’AZIONAMENTO ELETTRICO
Figura 2.1: Elementi basilari di un azionamento elettrico
2.3
Struttura di un motore elettrico
Dal punto di vista strutturale il motore elettrico può essere suddiviso in due parti strettamente
interagenti tra loro: una parte fissa detta statore, ed una parte mobile detta rotore (nel caso di
moto rotatorio) o movente (nel caso lineare).
Le parti fissa e mobile di un motore interagiscono tramite il campo elettromagnetico prodotto dalla
alimentazione del motore. Quest’interazione si traduce in una coppia (coppia elettromagnetica)
disponibile all’asse del rotore o in una forza (forza elettromagnetica) lungo la direzione del movente,
rispettivamente per motori rotanti e lineari.
Ai fini del progetto del convertitore statico e del dispositivo di controllo, il motore elettrico può
essere rappresentato mediante due blocchi funzionali:
- La parte elettromagnetica, che rappresenta il comportamento degli avvolgimenti di statore e
rotore (nel seguito, per comodità, si farà riferimento ai soli motori rotanti, fermo restando
che per i motori lineari valgono analoghe considerazioni) della macchina elettrica, cioè la
formazione delle correnti, dei campi magnetici e della coppia elettromagnetica, indicata con
Ce
- la parte meccanica che rappresneta il comportamento meccanico per quanto attiene alla parte
mobile del motore, e comprende l’ inerzia delle masse rotanti e le coppie resistenti interne
alla macchina
La struttura della parte elettromagnetica dipende fortemente dal tipo di motore
elettrico. Dal punto di vista funzionale viene rappresentata da modelli circuitali degli avvolgimenti di statore e rotore, descritti da sistemi di equazioni differenziali (eq. elettriche), e dalla
espressione, in funzione delle grandezze elettriche, della coppia elettromagnetica.
La struttura della parte meccanica è indipendente dal tipo di motore, e dal punto di
vista funzionale è descritta mediante la legge dell’equilibrio dinamico (eq. meccaniche).
In essa interviene, come disturbo esterno, la macchina azionata in termini di coppia resistente
indicata con Cr .
2.4. MOTORI ELETTRICI IMPIEGATI NEGLI AZIONAMENTI
11
Figura 2.2: Parti di un motore elettrico
La parte meccanica e quella elettromagnetica interagiscono tra loro in modo diretto mediante la
coppia elettromagnetica ed in modo retroattivo mediante la velocità di rotazione ω, che influenza
i circuiti elettrici del motore (a livello di tensioni indotte).
2.4
Motori elettrici impiegati negli azionamenti
Negli A.E. vengono impiegati motori elettrici di vario tipo secondo le caratteristiche di moto da
imprimere alla macchina azionata e della potenza necessaria. I motori posso essere:
1. A CORRENTE CONTINUA (MCC)
2. ASICRONO (MA)
3. SINCRONO A MAGNETI PERMANENTI (MSMP)
4. SINCRONO LINEARE (MSL)
5. RILUTANZA (MSR O MRC)
6. PASSO-PASSO (MPP)
Le prime 5 tipologie di motore sono a movimento continuo, mentre l’ultima è a movimento
incrementato.
Vedremo nel seguito, con l’avvento dei dispositivi elettronici di potenza e degli odierni convertitori
statici, le caratteristiche di impiego dei principali motori elettrici hanno subito un profondo mutamento. In particolare, per i motori in corrente alternata (sincroni ed asincroni) si usa distingure tra:
- motori alimentati direttamente da rete (alimentazione convenzionale)
12
CAPITOLO 2. L’AZIONAMENTO ELETTRICO
- motori per azionamenti o “servomotori” (alimentazione da convertitore statico)
I motori sincroni si dividono a loro volta in:
- Senza magneti permanenti (sul rotore) o motori a riluttanza (REL). Sul rotore non sono
presenti magneti permanenti e la coppia dipende dal rapporto ferro-aria
- Con magneti permanenti (PMSP). I magneti sono sulla superficie del rotore e la coppia
dipende dal numero di magneti.
- Con magneti permanenti interni o annegati (IPMSM: Interior Permanent Magnet Sincromovie Motor). Sul rotore sono presenti magneti e la coppia dipende dal numero di questi e
dal rapporto ferro-aria.
Il motore per azionamento, destinato ad effettuare una movimentazione a velocità variabile,
presenta in genere delle caratteristiche costruttive diverse dal motori alimentati da rete, destinati a funzionare a velocità circa costante.
Nei motori passo-passo, le caratteristiche di funzionamento favoriscono un movimento di tipo
incrementale, cioè lo spostamento attraverso posizioni successive di equilibrio distanti di una fissata posizione angolare (il “passo”). Sono pertanto preferiti nelle applicazioni di posizionamento.
Invece, nei motori in corrente continua (c.c.) ed in corrente alternata (c.a) il movimento ottenuto è di tipo continuo, sono pertanto utilizzati preferibilmente (ma non esclusivamente) per
la realizzazione di azionamenti a moto continuo.
2.5
Paramentri per la progettazione di un A.E.
1. Alto rapporto potenza/peso
2. Spinte/coppie elevate
3. Alta velocità di avanzamento
4. Alte accelerazioni
5. Alto rendimento (perdite contenute)
6. Alta affidabilità
7. Controllabilità in remoto
8. Compattezza
9. Semplicità di installazione
Il 5 punto è importante relativamente alla generazione di calore che poi dovrà essere dissipato.
2.6. DIMENSIONAMENTO MOTORE
2.3.1 Motore a sezione larga
13
2.3.2 Motore a sezione stretta
Figura 2.3: Tipologie di motori
2.6
Dimensionamento motore
Esistono due tipologie di motore:
1. A sezione larga e lunghezza proporzionale corta 2.3.1
2. A sezione stretta e lunghezza proporzionale lunga 2.3.2
La prima ha un alta inerzia e quindi utili ad esempio per la trazione e spostamento di carichi,
mentre la seconda è a bassa inerzia e quindi utili per spostamenti di precisione.
2.7
Convertitore statico di potenza
È l’elemento che provvede ad alimentare il motore elettrico in modo da produrre le caratteristiche
di moto richieste con le prestazioni desiderate.
Esso può essere riguardato come l’amplificatore di potenza che provvede a modificare, sotto il governo del dispositivo di controllo, le caratteristiche dell’energia elettrica proveniente da una sorgente
d’alimentazione primaria in modo da adattarle all’alimentazione del particolare tipo di motore.
La sorgente di alimentazione primaria è in genere la rete in corretente alternata (trifase per azionamenti di potenza superiore a qualche kW, monofase per potenze inferiori ad 1-2 kW); in casi
particolari può trattarsi di una rete elettrica in corrente continua (azionamenti per trazione su
rotaia) oppure batterie di accumulatori (trazione su ruote).
In ogni caso il flusso d’energia (indicato con frecce larghe nelle figure di questo capitolo) fluisce
generalmente dalla sorgente, attraverso il convertitore, al motore elettrico e quindi alla macchina
azionata. In queste circostanze la macchina elettrica funziona da “motore”(Fig. 2.42.4.1)
In alcune particolari condizioni operative, la macchina elettrica si trova a funzionare da “generatore”, cioè riceve energia meccanica dalla macchina azionata che si trasforma in energia elettrica
disponibile ai morsetti del motore (le macchine elettriche sono reversibili, cioè possono funzionare
sia da “motore”che da “generatore ”). Per mantenere una buona qualità del moto anche in tali
14
CAPITOLO 2. L’AZIONAMENTO ELETTRICO
circostanze, il convertitore deve essere realizzato in modo da permettere il flusso dell’energia anche nel senso dal motore verso l’alimentazione. Tale energia, quando non può essere restituita
alla sorgente primaria (funzionamento in recupero, Fig. 2.42.4.2) deve essere opportunamente
dissipata (Fig. 2.42.4.3)
2.4.1 Funzionamento da motore
2.4.2 Funzionamento da generatore con recupero
2.4.3 Funzionamento da generatore con dissipazione
Figura 2.4: Flusso d’energia in un azionamento elettrico
Come si è detto, il convertitore ha lo scopo di modificare (“convertire”, appunto) le caratteristiche dell’energia disponibile dalla sorgente nella forma più adatta all’alimentazione del tipo di
motore.
Per un azionamento a velocità variabile anche l’alimentazione dovrà essere variabile, in particolare:
- per un motore in c.c. sarà necessario alimentare con una tensione continua di ampiezza
variabile.
- per un motore in c.a., sarà necessario alimentare con una tensione alternata variabile in
ampiezza ed in frequenza.
Questa variazione deve avvenire con poche perdite e con segnali di controllo a basso livello di potenza. Questa esigenza è verificata con i convertitori statici, composti da dispositivi
elettronici a semiconduttore di vario tipo quali:
- diodi, tiristori, GTO
- transistori di potenza (detti anche a “commutazione”) bipolari (BJT) o ad effetto di campo
(MOSFET)
collegati a realizzare strutture di conversione secondo diversi tipi di schemi circuitali1 .
1
Il termine convertitore “statico”fa riferimento al fatto che, nei moderni convertitori, non sono presenti organi in
rotazione. Storicamente, infatti sono stati utilizzati dei convertitori “rotanti”, composti da più macchine elettriche,
per ottenere l’alimentazione alternata a frequanza/ampiezza variabile, soluzione, oggi, non più utilizzata nella
pratica
2.8. TIPOLOGIE DI CONVERTITORI
2.8
15
Tipologie di convertitori
Dal punto di vista funzionale si hanno le seguenti tipologie di convertitori:
- Il CONVERTITORE AC/DC non controllato, noto come raddrizzatore, fornisce in uscita
una tensione continua di ampiezza costante a partire dalla rete alternata (di ampiezza e
frequenza costante)
- Il CONVERTITORE AC/DC controllato, noto come raddrizzatore controllato, fornisce in
uscita una tensione continua di ampiezza variabile (mediante opportuno comando) a partire
dalla rete alternata.
- il CONVERTITORE DC/DC, noto come chopper, fornisce in uscita una tensione continua
di ampiezza varibile a partire da una sorgente in continua a tensione costante.
- Il CONVERTITORE DC/AC, noto come inverter, fornisce in uscita una tesione alternata
di ampiezza e frequenza variabili a partire da un ingresso in continua in ampiezza.
- Il CONVERTITORE AC/AC, noto come convertitore di frequenza, fornisce in uscita una tensione alternata di ampiezza e frequenza varibili dalla rete alternata (di ampiezza e frequanza
costanti).
In genere i convertitori per l’alimentazione di motori a velocià variabile sono realizzati impiegando uno o più di tali circuiti, in funzione della sorgente primaria di alimentazione che si ha a
disposizione e del tipo di motore che occorre azionare.
Il convertitore di frequenza ad esempio, per l’alimentazione in alternata di un motore a velocità
varibile, viene usualmente realizzato ponendo in cascata un raddrizzatore non controllato ed
un inverter, quando di alimenti dalla rete in alternata.
16
CAPITOLO 2. L’AZIONAMENTO ELETTRICO
2.5.1 Convertiotre AC/DC
2.5.2 Convertitore AC/DC controllato
2.5.3 Convertiotre DC/DC
2.5.4 Convertitore DC/AC controllato
2.5.5 Convertitore AC/AC controllato
2.9. PROTEZIONE DEL CONVERTITORE
2.9
17
Protezione del convertitore
Ogni convertitore statico è provvisto di un opportuno sistema di protezione, il quale assicura
che non accadano condizioni operative tali da danneggiare in modo irreparabile i semiconduttori
di potenza. Fra le protezioni, quella di massima corrente riveste un ruolo particolarmente
rilevante, in quanto deve disinserire rapidamente l’alimentazione quando avvengono gravi disturbi
quali corto-circuiti o surriscaldamenti.
Nei moderni convertitori la protezione (come anche i sensori che indicano la condizione di guasto)
è parte integrante dello stesso, ma concettualemente può essere vista in modo separato, come
indicato in Fig. 2.5
Figura 2.5: Dispositivi di protezione
Il dispositivo di protezione riceve in ingresso il segnale proveniente dai sensori di guasto (ad esempio relativo alla corrente erogata), ed interviene bloccando il convertitore statico o disinserendo,
l’alimentazione quando il segnale supera il valore di soglia.
2.10
Dispositivo di controllo
È l’elemento che determina, istante per istante, il valore delle grandezze di comando del convertitore statico in base alla modalità ed alla strategia di controllo adottate per lo specifico azionamento.
Per quanto concerne la modalitá di controllo occorre distinguere tra controllo in catena aperta e
controllo in catena chiusa (o in “contro-reazione”)
2.10.1
Controllo in catena
Tale modalità è caratterizzata dal fatto che la grandezza da controllare y non viene misurata, ma
si può ragionevolmente ritenere individuata (in modo univoco) dalla grandezza di riferimento yR .
L’assenza di una misura della grandezza da controllare non assicura che, a regime, questa eguagli
il valore di riferimento: lo scostamento dipende dalla presenza di disturbi che intervengono sul
sistema controllato, e precisamente:
- la caratteristica di carici (statica e dinamica) della macchina azionata;
- le cadute di tensione nel convertitore;
- le variazioni parametriche nel sistema controllato.
18
CAPITOLO 2. L’AZIONAMENTO ELETTRICO
Figura 2.6: Schema del controllo in catena aperta
Con lo schema di controllo in catena aperta questi effetti possono essere, se noti, compensati
a livello della legge di controllo, ma se si vuole assicurare scostamento nullo bisogna ricorrere al
controllo in catena chiusa.
2.10.2
Controllo in catena chiusa
Figura 2.7: Schema del controllo in catena chiusa
In tale modalità la grandezza da controllare è misurata attraverso un opportuno sensore o trasduttore ed è confrontata nel nodo comparatore con la grandezza di riferimento. La loro differenza
(“errore”o “scarto”di regolazione) diventa l’ingresso del blocco di controllo in catena diretta.
Il controllo in catena chiusa è adottato quando con un azionamento in catena aperta non si possono
assicurare le prestazioni desiderate nelle regolazioni, in particolare:
- si vuole che l’errore a regime sia nullo indipendentemente dalle caratteristiche statiche
del sistema controllato, dalle escursioni della coppia resistente e dalle variazioni dei parametri
del motore;
- si desidera che le prestazioni dinamiche (rapidità del seguire le variazioni del riferimento
con andamento prefissabile) siano ottimali
2.10. DISPOSITIVO DI CONTROLLO
19
Pertanto, gli azionamenti di elevate prestazioni sono del tipo a catena chiusa, indicati
come servo-azionamenti
Il dispositivo di controllo in senso lato può includere diversi blocchi funzionali (anche in funzione
della modalità di controllo adottata):
- Un generatore di riferimento, avente il compito di fissare, in ogni istante, il valore delle
grandezze di comando dell’azionamento, cioè la velocità o la posizione di riferimento (yR )
che le parti mobili debbono assicurare via via nel tempo durante il funzionamento (legge di
moto)
- Una legge di controllo, avente il compito di tradurre il valore di riferimento in grandezza
di comando del convertitore statico. Nella determinazione della legge di controllo occorre
individuare opportune tecniche, dette strategie di controllo, allo scopo di ottenere le migliori
prestazioni dell’azionamento di termini di:
- funzionamento dinamico (transitori di velocirà o di posizione)
- funzionamento a regime (rendimento)
Nell’ambito delle strategie di controllo rientrano tecniche quali il controllo v/f del motore
asincrono, oppure il controllo vettoriale. Pertanto la strategia di controllo è fortemente legata al
tipo di motore elettrico, di convertitore ed alla “modalità”(catena aperta o contro-reazione) adottata per il controllo.
All’ interno della modalità di controllo in contro-reazione vengono usati regolatori di vario
tipo (standard, di stato) per manipolare l’errore generato al nodo comparatore. Un unità di ingresso/uscita(I/O), con in ingresso dei segnali provenienti dai trasduttori e dai sensori (necessari
al controllo in contro-reazione) ed uscita per il comando del convertitore.
Nei moderni azionamenti il dispositivo di controllo è realizzato mediante microprocessori dedicati al
controllo dei motori elettrici, ossi disponibili sul mercato in forma di microcontrollori o processori
di segnale digitale (DSP, Digital Signal Processors).
Figura 2.8: Funzioni del dispositivo di controllo
20
CAPITOLO 2. L’AZIONAMENTO ELETTRICO
In definitiva, lo schema a blocchi di un azionamento elettrico con controllo in catena chiusa è
illustrato nella figura seguente:
Figura 2.9: Schema a blocchi di un azionamneto elettrico
Le frecce tratteggiate indicano i fenomeni di contro-reazione tra la macchina azionata
ed il motore elettrico (dovuti alla caratteristica statica e dinamica del carico, o al collegamento
tramite albero elastico), la retroazione del motore sul convertitore (cadute di tensione) e di questo
sulla sorgente primaria (disturbi elettromagnetici sulla rete elettrica). Il flusso di potenza della sorgente, attraverso il convertitore al motore ed alla macchina azionata è indicato con frecce
larghe. I segnali di controllo (bassa potenza) a tratto continuo, quelli di protezione con
tratto-punto.
Capitolo 3
Motori elettrici
3.1
Il motore elettrico
Il motore converte potenza elettrica in meccanica, il convertitore elettronico converte potenza meccanica in potenza elettrica.
Si ha feedback quando il carico influisce sul motore e quest’ultimo influisce sul convertitore. Questo
può essere anche interpretato come un flusso di potenza al contrario, quindi parleremo di generatore (eolico, fotovoltaico, Diesel) di corrente elettrica. Per i generatori servono necessariamente
dei convertitori bidirezionali.
Ad esempio nei generatori eolici le pale girano a un ω non nota (dipendente dal vento), ma la rete
elettrica ha caratteristiche precise (necessita di un convertitore)
Gli elementi che vanno a costituire il motore sono:
- Lo statore: è il componente fermo composto da avvolgimenti in rame. Fig:3.1.1
- Il rotore: collegato ad un albero, è il componente che ruota. Sostenuto dentro allo statore
da dei cuscinetti che gli consentono di girare. Fig:3.1.2
3.1.1 Rotore
3.1.2 Statore
Figura 3.1: Componenti di un motore elettrico
3.2
Principio di causa/effetto in un motore elettrico
Se controlliamo la corrente negli avvolgimenti, controlliamo la coppia
21
22
CAPITOLO 3. MOTORI ELETTRICI
3.2.1
Forza contro ellettro motrice
La forza contro elettromotrice dipende dalla variazione di flusso concatenato:
FCEM =
−dψ
dt
(3.1)
La variazione del flusso concatenato dipende da:
- Variazione del campo magnetico B
- Variazione della posizione della spira
Figura 3.2: Spira immersa in un campo magnetico
Dimostreremo che la coppia C è proporzionale alla corrente i e che la pulsazione ω è proporzionale alla tensione.
3.2.2
Scelta tra campo magnetico e campo elettrico
Per i motori elettrici si utilizza il campo magnetico (tranne in casi particolari) perchè la sua densità
N
di pressione 2 è di diversi ordini di grandezza maggiore rispetto a quella del campo elettrico:
m
1 B2
N
= 4 ∗ 104 2
p=
2 µ0
m
1 2
N
p = εE ' 4 2
2
m
B = 1T
(3.2)
V
cm
(3.3)
E = 105
3.3. MODELLISTICA DI UN ATTENUATORE ELETTROMECCANICO
23
Figura 3.3: Attuatore a riluttanza
3.3
Modellistica di un attenuatore elettromeccanico
Per introdurre i fondamenti della conversione elettromeccanica dell’energia consideriamo la struttura elementare illustrata in Fig. 3.3, nota come attuatore elementare a riluttanza.
In essa sono individuabili gli elementi di base dei sistemi di conversione elettromeccanici: una
struttura fissa (statore) ed una mobile (rotore) in materiale ferromagnetico; degli avvolgimenti che
hanno il compito di generare il flusso magnetico necessario al funzionamento del sistema, ed uno
spazio in aria (traferro) disposto tra statore e rotore per consentire il movimento.
Nel caso particolare dell’attuatore a riluttanza abbiamo un solo avvolgimento disposto sullo statore ed un rotore sagomato (non cilindrico). Il rotore non essendo cilindrico è anisotropo, cioé ha
caratteristiche magnetiche che dipendono dalla direzione lungo la quale esse sono considerate.
Una volta alimentato l’avvolgimento si statore, si genera un flusso (detto “principale ”) che oltrepassa il traferro, attraversa il rotore e si chiude attraverso lo statore.
Per effetto del flusso si genera un coppia (coppia elettromagnetica) che tende ad allineare il rotore
con la posizione θr = π/2 indicata in figura (posizione allineata). In questa trattazione ci proponiamo di collegare, sia in termini qualitativi che analitici, la coppia alle grandezze elettriche che la
generano (flusso di corrente).
3.3.1
Equazioni elettriche
Dal punto di vista elettrico l’equazione che descrive il sistema è rappresentata dall’equilibrio delle
tensioni nell’avvolgimento:
v = Ri + e
(3.4)
dove:
- v tensione applicata all’avvolgimento (in Volt, [V])
- i corrente nell’avvolgimento (in Ampere, [A])
- R resistenza dell’avvolgimento (in Ohm, [Ω])
24
CAPITOLO 3. MOTORI ELETTRICI
- e tensione indotta nell’avvolgimento, che in base alla legge di Faraday-Neumann-Lenz scritta
con la convezione dell’utilizzatore è data dalla (3.5)
dΨ
(3.5)
dt
dove Ψ è il flusso concatenato con l’avvolgimento 1 (in Weber, [Wb])
È interessante comprendere, qualitativamente, la relazione esistente tra il flusso concatenato
e la corrente. Come noto, tali grandezze sono legate dalla Legge di Hopkinson dei circuiti
magnetici:
e=
N i = <Φ, → N 2 i = <Ψ
(3.6)
dove N è il numero di spire, Φ il flusso principale ed < è la riluttanza del circuito magnetico,
definita dalla:
1L
(3.7)
<=
µS
essendo L ed S rispettivamente la lunghezza e la sezione del tubo di flusso, µ la permeabilità
del mezzo.
Nel caso in esame, la riluttanza del circuito magnetico dipende dalla posizione del rotore.
In particolare al variare di θr varierà la lunghezza del percorso in aria (che presenta una permeabilità
piccola e costante) rispetto a quella del percorso in ferro (che presenta una permeabilità elevata,
ma variabile per effetto del fenomeno della saturazione).
Di conseguenza si può affermare che nella posizione non allineata (θr = 0) Fig:?? in cui il traferro
è grande, il flusso (a pari corrente) sarà più piccolo ma varierà linearmente con la corrente e di
conseguenza < sarà molto grande; mentre nella posizione allineata (θr = π/2) Fig.3.4, dove invece
il traferro è piccolo, il flusso sarà più grande, ma soggetto a saturazione per correnti elevate e di
conseguenza la < sarà molto piccola.
3.4.1 Rotore a θr = 0
3.4.2 Rotore a θr = π/2
Figura 3.4: Possibili posizioni del rotore
1
Il flusso concatenato è esprimibile come Ψ = N Φ, dove Φ è il flusso principale, N il numero di spire
dell’avvolgimento
3.3. MODELLISTICA DI UN ATTENUATORE ELETTROMECCANICO
25
Le caratteristiche flusso/corrente sono indicate della seguente Fig.3.5
Figura 3.5: Caratteristica magnetica del sistema elettromeccanico elementare
Evidentemente, le due situazioni illustrate rappresentano le posizioni limite del sistema, nel
senso che a tutte le altre pozioni corrispondono caratteristiche intermedie.
L’insieme di queste caratteristiche (cioè il legame flusso/corrente) insieme all’equazione della tensione rappresenta il modello elettrico del sistema:
dψ
dt
ψ = ψ(i.θr )
v = Ri +
3.3.2
(3.8)
(3.9)
Bilancio di energia
Consideriamo il sistema elettromeccanico durante il generico intervallo di tempo elementare dt di
funzionamento, nel quale si verifichi uno spostamento dθr : la corrente, il flusso e la posizione, che
determinano il punto di lavoro (P) del sistema nel piano ψ − i, possono variare in modo del tutto
generale come indicato in Fig.3.6:
Se consideriamo l’equilibrio delle tensioni e lo moltiplichiamo per idt ricaviamo il bilancio di
energie elementari del sistema come segue (Fig. 3.7)
vidt = Ri2 dt + idψ
(3.10)
il cui significato dei singoli termini è il seguente:
dWe = vidt
(3.11)
è l’energia elettrica complessivamente fornita dalla sorgente di alimentazione al sistema nell’intervallo di tempo dt,
26
CAPITOLO 3. MOTORI ELETTRICI
Figura 3.6: Spostamento del punto di lavoro sulla caratteristica magnetica
Figura 3.7: Bilancio di energia di un attuatore elettromeccanico
dWj = Ri2 dt
(3.12)
è la parte di energia dissipata per effetto Joule,
dW = idψ = dWf + dWm
(3.13)
è la parte di energia elettrica rimanente (energia netta), pari alla somma della variazione di
energia immagazzinata nel campo magnetico (dWf ) e dell’energia meccanica (dWm ) resa all’asse.
In particolare, essendo il sistema dotato di moto rotatorio, l’energia meccanica è esprimibile
come il lavoro meccanico compiuto dalla coppia C nella direzione dello spostamento dθr :
dWm = Cdθr
3.3.3
(3.14)
Energia magnetica immagazzinata. Coenergia
Per calcolare l’energia magnetica immagazzinata, immaginiamo di mantenere fisso il rotore in
una generica posizione (θr = 0). In questo caso l’energia elettrica netta fornita dall’alimentazione, non potendosi trasformare in energia meccanica (che richiede un movimento) si traduce
3.3. MODELLISTICA DI UN ATTENUATORE ELETTROMECCANICO
27
in variazione dell’energia immagazzinata nel campo magnetico, cioé:
dW = idψ = dWf
(3.15)
Facendo il bilancio energetico nell’intervallo temporale [0,t] si ricava:
Z
energia elettrica fornita dal generatore:
t
We =
vidt
(3.16)
Ri2 dt
(3.17)
0
Z
energia elettrica dissipata nella resistenza:
WJ =
t
0
Z
energia immagazzinata del campo magnetico:
W = We − WJ = Wf =
ψ
idψ
(3.18)
0
L’energetica magnetica è quindi rappresentabile sul piano ψ − i come l’area compresa tra
l’asse del flusso e la caratteristica di magnetizzazione di funzionamento Fig3.8
Figura 3.8: Definizione dell’energia e della coenergia magnetica nel piano flusso-corrente
Parallelamente all’energia magnetica è possibile definire la coenergia magnetica:
Z i
Wc =
ψdi
(3.19)
o
graficamente pari all’area compresa tra l’asse della corrente e la curva di magnetizzazione, Fig.3.8
Evidentemente, l’energia e la coenergia magnetica sono legate dalla relazione:
Wf + Wc = iψ
3.3.4
(3.20)
Espressione della coppia elettromagnetica
Il sistema elettromeccanico, nel generico intervallo di tempo di funzionamento ∆t, modifica il suo
punto di funzionamento con variazione di corrente, flusso e posizione (spostamento 1 → 2 come
indicato in Fig.3.9).
Per ricavare l’energia meccanica (e quindi la coppia elettromagnetica) possiamo però considerare
due modalità di spostamento particolari, a flusso costante ed a corrente costante.
28
CAPITOLO 3. MOTORI ELETTRICI
Figura 3.9: Variazione del punto di lavoro sulle caratteristiche flusso-corrente
Il valore della funzione di stato dell’energia magnetica dipende dallo stato iniziale e finale, ma
non dalla traiettoria seguita.
Le variabili del sistema sono i, θr , ψ: le variazioni energetiche causano variazioni sulle variabili
stesse. Dalla fig.3.9 si deduce che due sono variabili indipendenti e che ψ può essere scritta in
funzione di i, θr , risultando quindi ψ(i, θr ).
Quindi si può scrivere che:
Wf = Wf (i, θr , ψ) = Wf (θr , ψ)
(3.21)
derivando:
∂Wf (θr , ψ)
∂ψ
|
{z
}
dWf =
∂Wf (θr , ψ)
∂ψ
|
{z
}
+
derivo rispetto a ψ con θr costante
(3.22)
derivo rispetto a θr con ψ costante
Dalla 3.13 risulta:
dWf = idψ − dWm
(3.23)
Sostituendo nella 3.23 le equazioni 3.14 e 3.22 abbiamo:
idψ − Cdθ =
|{z} | {z }r
1
2
∂Wf (θr , ψ)dψ ∂Wf (θr , ψ)dθr
+
∂ψ
∂θ
{z
}
|
{z
} |
(3.24)
2
1
Da cui possiamo ricavare:
∂Wf (θr , ψ) C=−
∂θr
(3.25)
ψ=costante
La 3.25 unisce l’energia magnetica alla coppia e si deduce che questa non dipende dal tempo, ma
dall’angolo θr .
Nella figura 3.10 è illustrato lo spostamento (finito) a flusso costante da 1 → 20 ed il calcolo della
corrispondente variazione di energia magnetica ∆Wf (ψ1 rappresenta il valore costante del flusso).
3.3.5
Espressione della coppia nei sistemi lineari (coenergia costante)
Nei sistemi lineari la relazione flusso-corrente è una retta fig. 3.11 È facile verificare che in questa
condizione l’energia e la coenergia magnetica coincidono:
Wf = Wc
(3.26)
3.3. MODELLISTICA DI UN ATTENUATORE ELETTROMECCANICO
29
Figura 3.10: Spostamento a flusso costante
e dalla relazione 3.20 si ricava:
1
Wf = Wc = iψ
2
Tale relazione semplifica di molto le trattazioni e verrà usata estesamente nel seguito.
(3.27)
Figura 3.11: Energia e coenergia magnetica in sistemi lineari
Considerando il rotore fermo (θr = 0) non sarà possibile produrre energia meccanica quindi:
dWm = 0
(3.28)
dW = idψ = dWf
(3.29)
dW = dWe − dWJ
(3.30)
Dalla 3.13 ricaviamo:
e dalla 3.18 si può scrivere:
L’energia fornita dall’alimentazione (dWe ) in parte si perde per dissipazione sulla resistenza R
dell’avvolgimento e in parte va ad incrementare l’energia magnetica del sistema.
30
CAPITOLO 3. MOTORI ELETTRICI
t
Z
t
Z
vidt
(3.31)
Ri2 dt
(3.32)
dWe =
We =
0
0
Z
t
t
Z
dWJ =
WJ =
0
0
Dalla equazione 3.29 si ricava:
t
Z
W = We − WJ = Wf =
Z
ψ(t)
dW =
0
idψ
(3.33)
0
Riordinando:
ψ(t)
Z
Wf =
idψ
(3.34)
ψdi
(3.35)
0
Z
Wc =
i(t)
0
E sommando membro a membro:
Wc + Wf = iψ(t) + ψi(t)
= iψ
(3.36)
Wc = iψ − Wf
(3.37)
La 3.36 si può riscrivere:
In generale:
Wc = (i, ψ, θr ) = Wc (i, θr ) = iψ − Wf (ψ, θr )
dWc = d(iψ) − dWf (ψ, θr )
= idψ + ψdi − dwf (ψ, θr )
2
(3.38)
(3.39)
Ricordandosi che in generale (θr variabile nel tempo):
dWf = idψ − dWm
(3.40)
dWm = Cdθr
(3.41)
dWc (i, θr ) = idψ + ψdi − idψ + dWm
= ψdi + Cdθr
(3.42)
e che:
l’equazione 3.39 può essere riscritta:
2
i può essere scritta in funzione di ψ e θr
3.3. MODELLISTICA DI UN ATTENUATORE ELETTROMECCANICO
31
Per l’espressione del differenziale totale derivando rispetto a i e θr
dWc (i, θr ) =
∂Wc (i, θr )di ∂Wc (i, θr )dθr
+
= ψdi + Cdθr
∂i
∂θr
considerando la i costante:
∂dWc (i, θr )
C=
∂θr
(3.43)
(3.44)
i=costante
Si possono utilizzare M avvolgimenti e procedere al calcolo tramite la sovrapposizione degli
effetti, ma tenendo in considerazione la mutua induttanza.
3.3.6
Calcolo della coppia per l’attuatore elementare a riluttanza
Applichiamo la formula generale per il calcolo della coppia elettromagnetica al caso dell’attuatore
a riluttanza di Fig. 3.3 3 . Assumiamo l’ipotesi semplificativa che il sistema sia lineare,
supponendo ad esempio che la corrente non raggiunga valori tali da mandare in saturazione il
flusso. La caratteristica flusso-corrente ψ − i sono pertanto lineari come illustrato in Fig.3.12
Figura 3.12: Caratteristiche magnetiche dell’attuatore a riluttanza (supposto lineare)
In tal caso il legame tra flussi e correnti può esprimersi come:
ψ = L(θr )i
(3.45)
dove l’induttanza L(θr ) rappresenta la pendenza delle varie caratteristiche funzione della posizione angolare.
Si può indicare qualitativamente l’andamento di tale induttanza, riflettendo sul fatto che nella
posizione allineate (asse d) Fig.3.4.2 l’induttanza è maggiore che nella posizione non allineata
(asse q) Fig.3.4.1. Indicando con Ld ed Lq tali valori di induttanza, ed assumendo una variazione
sinusoidale 4 con l’angolo si ottiene l’andamento in Fig. 3.13, periodico con periodo di π.
L’induttanza può essere scritta come:
L(θr ) = L0 − L̂cos(2θr )
3
(3.46)
Questo semplice attuatore può schematizzare il funzionamento di un motore sincrono a riluttanza
commutata(“switched reluctance”) oppure di un motore passo-passo a riluttanza
4
L’andamento reale dipende dalla geometria delle superfici esposte di statore e rotore
32
CAPITOLO 3. MOTORI ELETTRICI
Figura 3.13: Variazione con la posizione dell’induttanza nell’attuatore a riluttanza
con:
Ld − Lq
Ld + Lq
L̂ =
2
2
rispettivamente valor medio ed ampiezza del valore alternato.
Per il calcolo della coppia elettromagnetica possiamo utilizzare la relazione 3.44:
∂dWf (i, θr ) C=
∂θr
L0 =
(3.47)
i=costante
valida per i soli sistemi lineari (Wc = Wf ).
In essa, per ricavare una espressione in forma chiusa, dobbiamo esplicitare l’energia immagazzinata
nel campo magnetico Wf . Per sistemi lineari questo è possibile con relativa semplicià. Sostituendo
la 3.45 nella 3.27 si ricava:
1
Wf (i, θr ) = L(θr )i2
(3.48)
2
che è la nota espressione dell’energia magnetica immagazzinata in sistemi lineari. Mettendo a
sistema la 3.44 e la 3.48 e risolvendo rispetto a C:
∂Wf (i, θr )
1 dL(θr )
= i2
θr
2
dθr
1
= − i2 2L̂(− sin (2θr ))
(3.49)
2
2
= i L̂ sin (2θr )
Ld − Lq
= i2
sin (2θr )
2
Che è l’espressione della coppia nell’attuatore a riluttanza.
Si nota che la coppia varia per sin(2θr ); questo è dovuto alla presenza di due simmetrie del
rotore nello statore, rispettivamente a (0, π) e (π/2, 3/4π). Nel caso avessimo un rotore cilindrico
(Ld = Lq ) la coppia sarebbe costantemente nulla, l’oggetto non avrebbe le caratteristiche di un
attuatore elettromeccanico.
Viene messo anche in evidenza un aspetto molto importante dei sistemi a riluttanza variabile,
ovvero che la coppia non dipende dal segno della corrente, ma solo dal valore della sua ampiezza,
dalla quale la coppia dipende con legge quadratica.
C=
3.3. MODELLISTICA DI UN ATTENUATORE ELETTROMECCANICO
33
Dall’analisi della Fig.3.14 si può determinare che la coppia ha periodo π ed è massima positiva a
π/4, massima negativa a 3/4π mentre è nulla a 0 e a π/2. A 0 Fig.3.15.1 si ha un punto di equilibrio
instabile, mentre a π/2 Fig.3.15.2 si ha stabilità asintotica; questo comporta che il rotore, una volta
raggiunti i π/2, tenderà ad opporsi alla rotazione, a meno di una forza aggiuntiva.
La coppia risulta massima a π/4 Fig3.15.3, condizione ottimale di funzionamento. Per ottenere
quest’ultima si potrebbe far ruotare lo statore in sincrono col rotore, ma non avrebbe una gran
utilità. Un altro sistema che si può adottare è quello di far ruotare il flusso di statore ottenendo
cosı̀ un motore elettrico sincrono. Per mantenere la sincronia serve un sensore che mi rilevi la
posizione del rotore.
Figura 3.14: Caratteristica coppia-posizione dell’attuatore a riluttanza
3.15.1 Rotore a θr = 0
3.15.2 Rotore a θr = π/2
3.15.3 Rotore a θr = π/4
Figura 3.15: Possibili posizioni del rotore
34
3.3.7
CAPITOLO 3. MOTORI ELETTRICI
Modello dinamico dell’attuaore elementare a riluttanza
Il modello dinamico dell’attuatore elettromeccanico a riluttanza è composto dalle equazioni elettriche, le equazioni meccaniche e l’espressione della coppia elettromagnetica. Le equazioni elettriche
sono:
equilibrio tensioni avvolgimento
dψ
dt
(3.50)
ψ = L(θr )i
(3.51)
v = Ri +
relazione flusso concatenato-corrente
Da queste relazioni si ottiene il modello differenziale elettrico, che può essere espresso in funzione
dei flussi o delle correnti. Sostituendo il flusso (3.50) nella (3.51), ad esempio, si ottiene il modello
in funzione delle correnti
d
di
dL(θr ) dθr
[L(θr )i] = Ri + L(θr ) + i
dt
dt
dθr dt
Dove essendo ωr = dθr /dt la velocità di rotazione si ottiene:
v = Ri +
di
dL(θr )
v = Ri + L(θr ) + i
ωr
| {z dt} | dθ{zr }
I
(3.52)
(3.53)
II
Il termine (I) rappresenta la forza elettromotrice indotta di tipo trasformatorico, vale a dire
dovuta alla variazione della sola corrente; il termine (II) rappresenta la forza elettromotrice indotta
di tipo mozionale, dovuta al movimento.
Il modello dinamico dell’attuatore è completato dalle equazioni meccaniche:
C − Cr = J
ωr =
dωr
dt
dθr
dt
(3.54)
(3.55)
in cui va specificata l’espressione della coppia elettromagnetica:
1 dL(θr ) 2
i
(3.56)
2 dθr
Dalla (3.53), (3.55) e (3.56), introdicendo l’espressione analitica (3.46) di L(θr ), si ricava un modello
differenziale del I ordine avente per incognite (variabili di stato) la corrente i, la velocità ωr e la
posizione θr , e come termine noto (ingresso) la tensione v. Il flusso (uscita) può essere ricavato
dalla variabile di stato corrente tramite la (3.51).
Il modello differenziale è non lineare, in quanto sono presenti prodotti, potenze e funzioni non
lineari delle variabili di stato.
C=
3.4
Attuatori con avvolgimenti multipli
Nel tracciare il bilancio della conversione elettromeccanica si è analizzato il caso semplice in cui
il sistema magnetico sia costituito da un solo avvolgimento e dunque intervenga una sola corrente. La metodologia, le considerazioni generali e l’epressioni (3.44), rimangono comunque valide
3.4. ATTUATORI CON AVVOLGIMENTI MULTIPLI
35
anche nel caso più generale di un sistema magnetico formato da più avvolgimenti. In questo
capitolo si considera una particolare topologia, schematizzata in Fig.(3.16), alla quale si possono
ricondurre importanti classi di macchine elettriche dinamiche. Tale figura rappresenta un sistema
elettrodinamico a due avvolgimenti mutuamente accoppiati e percorsi da due correnti i1 e i2 tenuti
rispettivamente a tensione v1 e v2 . Ancora si supporà lineare, per semplicità, il circuito magnetico.
Figura 3.16: Attuatore elettromeccanico con avvolgimenti su statore e rotore
36
CAPITOLO 3. MOTORI ELETTRICI
3.4.1
Equazioni elettriche
Dal punto di vista elettrico, il sistema può essere schematizzato considerando le equazioni elettriche
dei due avvolgimenti e le relazioni magnetiche tra essi:
tensione di statore:
v1 = R1 i1 +
dψ1
dt
(3.57)
dψ2
(3.58)
dt
Dove ψ1 e ψ2 sono i totali flussi concatenati degli avvolgimenti di statore e di rotore rispettivamente, che espressi (in ipotesi di linearità) in funzione dei coefficienti di induzione magnetica si
scrivono:
tensione di rotore:
v2 = R2 i2 +
ψ1 = ψ11 + ψ12 = L1 (θr )i1 + M12 (θr )i2
ψ2 = ψ21 + ψ22 = M21 (θr ) + L2 (θr )i2
(3.59)
(3.60)
dove
ψ11 = L1 (θr )i2
e ψ22 = L2 (θr )i2
(3.61)
sono i flussi propri5 di statore e rotore rispettivamente tenuti in conto dai coefficienti di induttanza
propria (o auto-induttanza) L1 e L2 ;
ψ12 = M12 (θr )i2
e ψ21 = M21 (θr )i1
(3.62)
sono i flussi mutui 6 di statore e rotore rispettivamente tenuti in conto dai coefficienti di induttanza
mutua (o mutue-induttanza) M12 e M21
Le tensioni (3.57)-(3.58) ed i flussi concatenati (3.59)-(3.60) possono scriversi in forma compatta
introducendo la notazione matriciale:
d[ψ]
d ψ1
v1
R1 0
i1
(3.63)
→ [v] = [R][i] +
=
+
ψ
v2
0 R2 i2
dt 2
dt
ψ1
L1 (θr ) M12 (θr ) i1
=
→ [ψ] = [L(θr )][i]
(3.64)
ψ2
M21 (θr ) L2 (θr )
i2
dove:
v
[v] = 1
v2
i
[i] = 1
i2
ψ
[ψ] = 1
ψ2
sono i vettori delle tensioni, correnti e flussi concatenati
R1 0
L1 (θr ) M12 (θr )
[R] =
L(θr ) =
0 R2
M1 2(θr ) L2 (θr )
(3.65)
(3.66)
sono le matrici delle resistenze e delle induttante degli avvolgimenti 7 .
5
Il flusso proprio è la quota-parte del flusso concatenato con un avvolgimento dovuto alla corrente che scorre
nell’avvolgimento stesso
6
Il flusso mutuo è la quota-parte del flusso concatenato con un avvolgimento dovuto alla corrente che scorre in
un altro avvolgimento. Poiché il tubo di flusso mutuo tra due avvolgimenti è lo stesso, si ha M [12] = M21 = M
7
Costituiscono i parametri del sistema, la cui conoscenza è necessaria per descrivere il funzionamento
3.4. ATTUATORI CON AVVOLGIMENTI MULTIPLI
3.4.2
37
Energia magnetica
Per il calcolo della coppia elettromagnetica sviluppata da un attuatore con avvolgimenti multipli
si possono utilizzare le espressioni generali ricavate al paragrafo (3.3.6). In particolare occorre calcolare l’energia magnetica complessivamente immagazzinata nel sistema, dovuta cioè al contributo
di tutti gli avvolgimenti presenti.
Estendendo la trattazione al caso generale di M avvolgimenti l’energia magnetica complessiva può
scriversi come:
M
X
Wf =
Wf k
(3.67)
k=1
dove Wf k è l’energia magnetica immagazzinatanel k-esimo avvolgimento, per la quale vale la relazione generale:
Wf k + Wck = ik ψk
(3.68)
Sommando la (3.68) per tutti gli avvolgimenti ed utilizzando la notazione matriciale si ottiene:
M
X
(Wf k + Wck ) =
k=1
M
X
ik ψk = i1 ψ1 + i2 ψ2 + ... + in ψn = [i]T [ψ]
(3.69)
k=1
dove:

[i]T = [i1
i2
...

ψ1
 ψ2 
 
[ψ] =  .. 
 . 
in ]
(3.70)
ψN
sono i vettori delle correnti trasposto e del flusso concatenato rispettivamente.
Considerando infine che in sistemi lineari si ha
Wf k = Wck
[ψ] = [L(θr )][i]
(3.71)
(3.72)
dalla (3.69) si ricava:
M
X
k=1
(Wf k + Wck ) =
M
X
2Wf k = 2Wf = [i]T [L(θr )][i]
(3.73)
k=1
e quindi l’espressione dell’energia magnetica:
1
Wf = [i]T [L(θr )][i]
2
3.4.3
(3.74)
Espressione della coppia elettromagnetica
Possiamo calcolare la coppia elettromagnetica utilizzando l’espressione generale ricavata al (3.3.4)
∂dWf (i, θr ) C=
(3.75)
∂θr
i=costante
38
CAPITOLO 3. MOTORI ELETTRICI
valida in ipotesi di linearità.
Sostituendo la (3.74) nella (3.75) si ricava la coppia elettromagnetica:
∂dWf (i, θr ) 1
d[L(θr )]
C=
= [i]T
[i]
∂θr
2
dθr
(3.76)
i=costante
Le espressioni (3.74) ed (3.75) sono la generalizzazione delle (3.48) ed (3.49), già ricavate per un
attuatore con un solo avvolgimento, al caso generale di sistema elettromeccanico con M avvolgimenti.
Nel caso particolare dell’attuatore in Fig. 3.16 (un avvolgimento di statore ed uno di rotore) la
coppia si esplicita come8 :
d
1
L1 (θr ) M (θr )
i1
i1 12
(3.77)
C=
M (θr ) L2 (θr )
i2
2
dθr
dM (θr ) 1 2 dL2 (θr )
1 dL1 (θr )
+ i1 i2
+ i2
C = i21
2
dθ
dθ
2
dθ
{z r } | {z r }
| {z r } |
I
II
(3.78)
III
In base al tipo di struttura (geometria, particolarità costruttive) la matrice delle induttanze
L(θr ) sarà differente e si avranno diverse componenti di coppia. In generale avremo:
- coppie di riluttanza (termini I e III), proporzionali al quadrato della corrente in un solo
avvolgimento. 9
- coppie di iterazione (termine II), proporzionali al prodotto tra una corrente di statore ed
una di rotore.
Nel nostro caso consideriamo il rotore (sferico) e lo statore (vede sempre la stessa autoinduttanza) isotropi.
Per il rotore isotropo risulta:
1 2 dL1 (θr )
i
=0
2 1 dθr
(3.79)
1 2 dL2 (θr )
i
=0
2 2 dθr
(3.80)
dM (θr )
dθr
(3.81)
Per lo statore isotropo abbiamo:
e quindi la coppia ottenuta:
C = i1 i2
Da una prima analisi risulta evidente che il verso della coppia dipende dal segno delle correnti
i1 e i2 e varia rispetto all’angolo θr . Analizziamo tre possibili configurazioni Fig.(3.17)
Risulta che la mutua induttanza M ha valore massimo positivo per (θr = 0) Fig(3.17.1), massimo
negativo per (θr = π) Fig(3.17.2)e nullo per (θr = π) Fig(3.17.3).
8
Consideriamo M12 = M21 = M
Presenti quando i circuiti magnetici propri si modificano al variare della posizione reciproca tra statore e rotore,
cioè in strutture magneticamente anisotrope
9
3.4. ATTUATORI CON AVVOLGIMENTI MULTIPLI
39
Scrivendo M in funzione di un coseno:
M (θr ) = M0 cos(θr )
(3.82)
dM0 cos(θr )
dθr
= −M0 i1 i2 sin(θr )
(3.83)
e andandola a sostituire nella (3.81):
C = i1 i2
3.17.1 θr = 0
3.17.2 θr =
π
2
3.17.3 θr = π
Figura 3.17: Possibili posizionamenti dele rotore rispetto allo statore
Figura 3.18: Andamento della coppia rispetto a θr
40
CAPITOLO 3. MOTORI ELETTRICI
Figura 3.19: Rotore in cui sono visibili le lamelle di alimentazione
3
Con due correnti costanti e positive e una posizione dell’elemento mobile tra π e π si ha
4
quindi una coppia positiva, cioè tale da tendere il circuito 2 nel senso delle posizioni crescenti. Se
la coppia è sufficiente a vincere la resistenza del movimento, il circuito 2 raggiungerà la posizione
stabile θr = 2π ove la coppia è nulla e la mutua induttanza massima (l’induttanza varia con una
funzione coseno).
Il principio appena illustrato è impiegato per esempio, nelle macchine sincrone. Anche in questo
caso, come per le macchine a riluttanza, l’avvolgimento 1, percorso da corrente continua, è sostituito
con un avvolgimento trifase capace di produrre un campo magnetico rotante. Se il circuito 2,
alimentato attraverso contatti striscianti, assume una velocità angolare uguale a quella del campo
magnetico ruotante, l’angolo θr rimane costante, come la coppia.
In presenza di velocità si potrà anche parlare di potenza meccanica, che sarà fornita dal circuito 1
alla struttura mobile per mantenerla in rotazione. Se tuttavia un agente esterno forza la rotazione
della parte mobile cosı̀ da far assumere alla posizione θ un valore positivo, la coppia inverte il suo
segno (diventa cioè frenate) e con essa anche la potenza. In tal caso si ha quindi una conversione
elettromeccanica da lavoro meccanico a lavoro elettrico.
Anche le macchine a corrente continua sfruttano essenzialmente questo principio per eseguire la
conversione elettromeccanica. In virtù di un loro peculiare componente, che è il commutatore a
lamelle Fig.(3.19), la conversione elettromeccanica nelle macchine rotanti in corrente continua si
esplicita però senza che alcun campo magnetico sia in rotazione, bensı̀ predisponendo un certo
numero di avvolgimenti equivalenti di tipo 2 sfasati tra loro ed alimentati in successione, in modo
che nonostante il moto della parte mobile venga alimentato sempre l’avvolgimento che ha la giusta
posizione spaziale rispetto alla parte fissa.
3.4. ATTUATORI CON AVVOLGIMENTI MULTIPLI
3.4.4
41
Sistemi ad induzione
Un sistema a induzione per la conversione elettromeccanica è illustrato in Fig.3.20. Esso differisce
da quello di Fig. 3.18 per il fatto che l’avvolgimento 2 sulla parte mobile non è alimentato, bensı̀
è posto in corto circuito; si mantiene ancora, per semplicità, l’ipotesi di linearità. Anche questa
topologia è di grande importanza nello studio degli azionamenti elettrici, in quanto essa può ricondurre alla classe delle macchine elettriche ad induzione o (asincrone), di enorme rilevanza teorica
e pratica.
Figura 3.20: Semplice sistema ad induzione ad ovvolgimenti multipli
Si immagini che, mentre la corrente i1 è mantenuta costante, l’elemento mobile sia in rotazione
alla velocità fissa ωr sicché ωr = θr /t. Il circuito 2 è sottoposto ad un flusso ψ variabile nel tempo.
Quindi il circuito 2 avrà una tensione indotta che farà circolare i2 che si opporrà al flusso e al moto
(legge di Lenz)
dψ2
=0
circuito chiuso
dt
ψ2 = M i1 + L2 i2
i1 = costante
M (θr ) = M0 cos(θr )
v2 = R2 i2 +
(3.84)
(3.85)
(3.86)
(3.87)
Derivando la 3.85 rispetto al tempo risulta:
dψ2
d
di2
dθr
di2
= (M cos(θr )i1 ) + L2
= −M0 sin(θr )
+ L2
dt
dt
dt
dt
dt
(3.88)
42
CAPITOLO 3. MOTORI ELETTRICI
Andando a sostituire la 3.88 nella 3.84 risulta:
v2 = R2 i2 − M0 sin(θr )
di2
di2
dθr
i1 + L2
= R2 i2 − M0 sin(θr )ωr i1 + L2
=0
dt
dt
dt
(3.89)
La 3.89 è un equazione differenziale in i2 del primo ordine. Ora indichiamo con Z il modulo e
con ϕ la fase dell’impedenza del circuito del rotore. La risposta della corrente i2 che si instaura in
regime sinusoidale è:
M0 i1 ωr
i2 (t) =
sin(ωr t − ϕ)
(3.90)
Z
Se i1 è costante ed il rotore ruota a ωr costante, viene indotta una corrente i2 che ha andamento
sinusoidale, come la f.e.m ai capi del circuito. Fig. 3.21
Figura 3.21: Circuito equivalente del rotore
Sostituiamo la 3.90 nella 3.81:
C = −M0 i1 i2 (t) sin(θr )
M0 i1 ωr
= −M0 i1
sin(ωr − ϕ) sin(ωr t)
Z
M 2 i2 ωr
M 2 i2 ωr
= 0 1 cos(2ωr t − ϕ) − 0 1 cos(ϕ)
2Z
2Z
(3.91)
Dalla 3.91 si possono trarre alcune considerazioni:
 La coppia contiene un termine costante nel tempo (se tale è la corrente i1 ), al quale si sovrappone un secondo termine alternativo a pulsazione 2ω. Quest’ultimo può essere eliminato
disponendo sulla parte rotante più avvolgimenti indotti, spazialmente sfasati, uno rispetto
l’altro, in modo uniforme. Per esempio un secondo avvolgimento identico a quello di figura,
ma collocato ortogonalmente a quest’ultimo sarebbe sottoposto ad una coppia la cui componente alternativa è in opposizione di fase rispetto a quella data dalla 3.91. La coppia totale
sulla parte mobile risulterebbe pertanto costante.
 La coppia dipende dalla velocità. A velocità nulla la coppia è nulla non essendovi correnti
indotte nel circuito 2. Per velocità positive la coppia è negativa e viceversa, ossia tende
ad opporsi al moto di rotazione della parte mobile rispetto ai poli induttori di quella fissa.
Il valore assoluto della coppia inizialmente cresce con la velocità. Ma con questa aumenta
anche la frequenza della fem indotta e quindi il modulo e l’argomento dell’impedenza del
circuito 2. Oltre un certo valore di velocità si potrà manifestare un decremento della coppia.
3.4. ATTUATORI CON AVVOLGIMENTI MULTIPLI
43
Il principio illustrato è impiegato, per esempio, nelle macchine asincrone, per questo detta anche macchine a induzione. Per ottenere la macchina rotante, si sostituisce la struttura dissa di
Fig.(3.20) con un campo magnetico rotante.
Se all’interno delle bobine mettiamo un altro avvolgimento in corto circuito sul rotore, a causa
del flusso magnetico che si concatena con gli avvolgimenti di rotore nasce una forza elettromotrice
indotta per la legge di Farady, la quale si oppone alla causa che la ha generata.
Poiché gli avvolgimenti da fare sul rotore devono essere in corto circuito e devono, quindi, sopportare una elevata corrente, devono avere una elevata sezione, per cui si preferisce mettere delle
barre di alluminio attorno ad un nucleo di materiale ferromagnetico, costituito da lamierini al
silicio. In tal modo le barre di alluminio, chiuse in corto circuito si comportano come una insieme
di poche spire, aventi ciascuna una elevata sezione, in modo da sopportare le elevate correnti di
corto circuito. Fig(3.22)
Figura 3.22: Rotore a gabbia di scoiattolo
Queste correnti sono dovute alla tensione che si genera nelle barre a causa della legge di Farady,
in quanto il campo magnetico generato dallo statore è variabile. Queste correnti danno luogo ad
un altro campo magnetico rotante generato sul rotore; tale campo magnetico ha verso opposto
a quello generato dallo statore. Di conseguenza il rotore, poiché si oppone al campo magnetico
di statore è costretto a mettersi in movimento e quindi ruotare con la stessa velocità del campo
magnetico rotante di statore.
Il rotore non ruota a una velocità costante, cioè la velocità di sincronismo, ma rallenta al variare
del carico; per cui il motore non è detto sincrono ma asincrono, cioè non rispetta la velocità di
sincronismo imposta dallo statore.
Definiamo ωs come velocità di sincronismo del campo magnetico rotante di statore ed ωr come
velocità di rotore. Il rotore ruota una velocità minore di ωs .
44
CAPITOLO 3. MOTORI ELETTRICI
Consideriamo la differenza:
ωs − ωr
(3.92)
cioè la differenza tra la velocità del campo magnetico rotante di statore e la velocità del rotore;
confrontiamola ora con la velocità di sincronismo, cioè la velocità che avrebbe dovuto avere il rotore
se fosse stato in sincronismo con lo statore; poiché il confronto lo vogliamo fare in percentuale o
relativo, dobbiamo mettere al denominatore di una frazione la velocità di sincronismo, che sarebbe
dovuta essere quella vera del rotore; otteniamo allora, il seguente rapporto:
ωs − ωr
(3.93)
ωs
dove il rapporto s è detto scorrimento, a significare che il rotore scorre, cioè perde giri rispetto
allo statore; lo scorrimento s è un numero adimensionale e varia da 0 a 1.
Se s fosse uguale a 0 vorrebbe dire che il rotore sarebbe in perfetto sincronismo, cioè avrebbe la
stessa velocità del campo magnetico rotante ωs .
Infatti se fosse ωs = ωr allora:
ωs − ωr = 0
(3.94)
s=
Se, invece, lo scorrimento s è uguale a 1 vuol dire che il rotore è fermo. Infatti, rotore fermo vuol
dire:
ωr = 0
(3.95)
Lo scorrimento sarebbe:
ωs
ωs
Quindi lo scorrimento è uguale ad 1 quando il rotore è fermo, cioè alla partenza.
s=
(3.96)
Lo scorrimento non sarà mai uguale a 0; infatti, se fosse uguale a 0, il rotore raggiungerebbe
sı̀ la velocità di sincronismo, ma il suo campo magnetico sarebbe costante e non variabile, per
cui verrebbe meno la forza elettromotrice indotta nel rotore, in base alla legge di Farady e quindi
verrebbe meno la corrente di rotore e il motore si fermerebbe.
Capitolo 4
Dinamica del sistema motore-carico
4.1
Equazione di equilibrio meccanico
Nel caso di movimento rotatorio, che rappresenta il caso più comune nel campo degli azionamenti
elettrici, il motore ed il relativo carico azionato possono essere rappresentati come un sistema
di masse rotanti secondo la schematizzata indicata in Fig. 4.2
Figura 4.1: Sistema meccanico
Supponendo che la trasmissione del moto venga effettuata mediante un albero ed un giunto di
tipo rigido, in modo che la velocità dell’asse lato-motore e lato-carico sia la stessa, l’equazione di
equilibrio dinamico del sistema (Legge di newton) si scrive:;
CM = Cr =
d(Jω)
dω
dJ
=J
+ω
dt
dt
dt
(4.1)
ove:
- CM coppia motrice, è la coppia elettromagnetica sviluppata dal motore elettrico espressa in
[N m]
- CR coppia resistente, rappresenta l’opposizione offerta dal carico espressa in [N m]
- J è il movimento di inerzia delle masse rotanti rispetto all’asse di rotazione, espressa in
[Kgm2 ]
45
46
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL SISTEMA MOTORE-CARICO
- ω è la velocità di rotazione, espressa in [rad/s]1 (radianti meccanici, da non confondere
con i radiati elettrici che incontreremo in seguito).
Supposta trascurabile l’inerzia del giunto, ed indicata con JM l’inerzia del motore e JC l’inerzia
del carico, si avrà:
J = JM + JC
(4.3)
Nella relazione (4.1) il termine ωdJ/dt compare nelle tipologie di carico ad inerzia variabile,
come le centrifughe, le bobinatrici (industria tessile e della carta) oppure nei robot industriali dove
la geometria del carico varia col tempo.
Nella maggior parte delle applicazioni, peraltro, l’inerzia è (o si può assumere) costante, da cui
l’equazione meccanica si riduce alla:
dω
(4.4)
dt
Il termine Jdω/dt rappresenta, per omogeneità dimensionale, una coppia, detta coppia di inerzia
(o inerziale) la quale è presente solo nel funzionamento transitorio, ovvero quando la velocità
dell’azionamento varia, cioè si è in fase di accelerazione (se la velocità aumenta) o di decelerazione (se diminuisce).
Il segno della coppia inerzia è determinato in modo univoco dalla differenza tra coppia motrice e
resistente. In particolare, per carichi cosidetti “passivi ”(introdotti nel seguito) si ha:
CM − C R = J
CM > CR
⇒
CM < CR
⇒
dω
>0
dt
dω
<0
dt
accelerazione
(4.5)
decelerazione
(4.6)
dω
=0
ω = accelerazione, regime stazionario
(4.7)
dt
Nella formulazione dell’equazione meccanica qui presentata, nel termine “coppia resistente”sono
conglobati diversi effetti, alcuni dei quali non direttamente riconducibili al carico. In particolare,
anche in assenza di carico, saranno presenti effetti resistivi dovuti ad inevitabili fenomeni dissipativi quali l’attrito nei cuscinetti che sostengono l’asse di rotazione (attrito statico, Eq(4.8)) o la
ventilazione del fluido circostante (attrito viscoso, Eq(4.9)):
CM = CR
⇒
CR1 = Ks sgn(ω)
CR2 = KV ω
(4.8)
(4.9)
Questi effetti vengono conglobati nella coppia resistente dovuta al carico, espressa in termini
di funzione CR = CR (ω), detta caratteristica di carico. Pertanto, in conclusione, si può dire che il
carico interviene nel funzionamento di un azionamento attraverso due soli paramentri:
- l’inerzia delle masse rotanti JC ;
- la coppia di carico CR , in termini di caratteristica CR (ω).
1
La velocità di rotazione è espressa sovente in [giri/min] (rpm in inglese), pari a 2π/60 [rad/s], cioè:
rad
giri
2π
2π dn
ω
=
n
→ CM − CR = J
s
60
min
60 dt
(4.2)
4.2. FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DEL SISTEMA MECCANICO
47
Figura 4.2: Caratteristiche dell’attrito statico e viscoso
4.2
Funzione di trasferimento del sistema meccanico
Al fine di una analisi qualitativa delle caratteristiche del sistema meccanico, l’equazione di equilibrio meccanico (4.4) può essere espressa in termini di funzione di trasferimento applicando la
trasformata di Laplace:
L
CM (t) −
→ CM (s)
L
CR (t) −
→ CR (s)
J
dω(t) L
−
→ J[sω(s) − ω(t = 0)]
dt
(4.10)
(4.11)
(4.12)
(4.13)
da cui:
CM (s) − CR (s) = Jsω(s)
(4.14)
avendo assunto per semplicità ω(t = 0) = 0
La funzione di trasferimento è, per definizione, il rapporto tra la grandezza di uscita e quella
d’ingresso del sistema. Nel caso del sistema meccanico l’ingresso è rappresentato dalla coppia
d’inerzia, l’uscita dalla velocità di rotazione, la funzione di trasferimento del sistema meccanico è
data da:
ω(s)
1
Gm (s) =
=
(4.15)
CM (s) − CR (s)
JS
cui corrisponde lo schema a blocchi in Fig. 4.3.
48
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL SISTEMA MOTORE-CARICO
Figura 4.3: Schema a blocchi del sistema meccanico
Ne risulta che il sistema meccanico ha un comportamento integrale2 .
Possiamo allora disegnare, in modo qualitativo, le risposte canoniche del sistema meccanico, cioè
gli andamenti nel tempo dell’uscita ω(t) in funzione di andamenti costanti (gradino) o lineari
(rampa) dell’ingresso CM (t) − CR (t).
Tecnicamente, interessa la risposta al gradino, discussa al paragrafo 4.3
4.3
Risposta al gradino di coppia
La risposta al gradino di un sistema a comportamento puramente integrale è una rampa, Fig. 4.4.
Nel caso particolare la velocità (uscita) cresce linearmente finchè la coppia di inerzia CJ = CM −CR
(ingresso) si mantiene costante e positiva3 .
Figura 4.4: Risposta al gradino di coppia
2
Infatti, dalle proprietà della trasformata di Laplace, è noto che:
Z
t
L
F (u)du −→
0
F (s)
s
(4.16)
cioè moltiplicare per 1/s una variabile F (s) nel dominio di Laplace equivale a farne l’integrale nel dominio del
tempo.
3
Si può pensare al funzionamento a vuoto, in cui CR = 0 e quindi l’ingresso del nostro sistema è la sola coppia
motrice CJ = CM
4.3. RISPOSTA AL GRADINO DI COPPIA
49
Si individuano pertanto le zone di funzionamento:
- in transitorio (velocità variabile nel tempo);
- a regime (velocità costante)
La pendenza della rampa di velocità dipende dall’ampiezza della coppia di inerzia (proporzionalmente) e dall’inerzia (inversamente); infatti durante il transitorio si ha:
ω(t) =
CM − CR
t
J
0 < t < ∆t
(4.17)
Si definisce tempo di salita ∆t, il tempo necessario per raggiungere il valore di riferimento Ω∗ (il
valore della velocità a regime). Dall’espressione della velocità nel caso di transitorio a rampa si
ricava:
ω(∆t) = Ω∗ = a∆t
(4.18)
dove:
a=
CM − CR
J
(4.19)
rappresenta l’accelerazione, da cui:
∆t =
Ω∗
a
[s]
(4.20)
Maggiore l’accelerazione (cioè la pendenza della rampa) minore il tempo di salita. Poiché
l’accelerazione dipende da CJ (direttamente) e da J (inversamente), si possono riportare i seguenti
due casi qualitativi:
- ad inerzia costante, la velocità di riferimento viene raggiunta in tempo minore se la coppia
d’inerzia CJ è più grande (motori con rotore largo e stretto, dove la potenza erogata è
proporzionale al volume del motore Fig.2.3.1);
- a coppia d’inerzia costante, la velocità di riferimento viene raggiunta in tempo minore se
l’inerzia J è più piccola. (motori con rotore stretto e lungo per ridurre i momenti d’inerzia
Fig. 2.3.2)
50
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL SISTEMA MOTORE-CARICO
Figura 4.5: Risposta al gradino di coppia: influenza della coppia massima
Figura 4.6: Risposta al gradino di coppia: influenza dell’inerzia
4.4. RELAZIONE VELOCITÀ-POSIZIONE
4.4
51
Relazione velocità-posizione
La dinamica del sistema meccanico è descritta in modo completo considerando anche la relazione
esistente tra la velocità e la posizione, importante sia per gli azionamenti per controllo di posizione
(in cui la posizione è la variabile controllata) sia quando la conoscenza della posizione permette di
migliorare le prestazioni del controllo (tipico il caso del moderno controllo vettoriale degli azionamenti in corrente alternata).
Figura 4.7: Relazione velocità-posizione
dθ(t)
= ω(t)
dt
(4.21)
dove:
- ω(t) è la velocità di rotazione [rad/s]
- θ(t) è la posizione angolare in [rad] (meccanici)
Anche in tal caso, benchè banale, si possono valutare le proprietà in termini di sistema applicando
(per omogeneità di trattazione) la trasformazione di Laplace, e determinare la corrispondente
funzione di trasferimento ed il diagramma a blocchi
L
L
θ(t) −
→ θ(s) ω(t) −
→ ω(s)
dθ(t) L
−
→ sθ(s) − θ(t = 0)
dt
(4.22)
da cui:
sθ(s) = ω(s)
(4.23)
avendo assunto per semplicità θ(t = 0) = 0. La funzione di trasferimento tra velocità e posizione
è di tipo puramente integrale:
θ(s)
Gθ (s) =
(4.24)
ω(s)
Il diagramma a blocchi è un semplice integratore, Fig.4.8.
Anche in questo caso si possono valutare le risposte “canoniche ”del sistema, per un ingresso a
gradino e a rampa.
52
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL SISTEMA MOTORE-CARICO
Figura 4.8: Schema a blocchi della relazione velocità-posizione
4.4.1
Risposta al gradino di velocità
La risposta al gradino di velocità, illustrata in Fig.4.9, è una rampa di posizione. Se all’istante
t = t∗ la velocità è portata a zero la posizione resta costante (albero fermo) al valore θ∗ . In
pratica, il gradino di velocità (teoricamente ottenibile con un impulso di coppia d’inerzia) non
è fisicamente realizzabile a causa dell’inerzia del sistema meccanico.
4.4.2
Risposta alla rampa di velocità
La risposta alla rampa di velocità, illustrata in Fig.4.10, è una parabola di posizione.
In particolare, una classica soluzione utilizzata per il controllo di posizione in catena chiusa è
il movimento con profilo di velocità a triangolo, nel quale il “triangolo”di velocità viene
realizzato con due tratti di rampa prima in salita e quindi in discesa, cui corrispondono andamenti
di posizione a parabola con concavità opposta.
Ricordando che la velocità è la derivata della posizione (cioè corrisponde alla tangente della
funzione posizione), si comprende come in tal caso lo spostamento avviene con la dovuta gradualità
sia in fase di partenza che di arrivo (posizione rispettivamente min e max e la velocità nulla).
4.5
Diagramma a blocchi del sistema meccanico completo
Il sistema meccanico, nella sua epressione più generale, è ottenuto considerando insieme l’equazione
dell’equilibrio dinamico e la relazione tra la velocità e la posizione, dalle quali si ricava il seguente
sistema di equazioni differenziali del I ordine:

1
dω


(J costante)

 dt = J (CM − CR )
(4.25)


dθ


=ω
dt
In Fig.3.51 è indicato lo schema a blocchi associato al sistema (4.25), ottenuto collegando in
cascata gli schemi a blocchi relativi delle singole relazioni.
4.5. DIAGRAMMA A BLOCCHI DEL SISTEMA MECCANICO COMPLETO
Figura 4.9: Risposta al gradino di velocità
Figura 4.10: Risposta alla rampa di velocità
53
54
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL SISTEMA MOTORE-CARICO
Figura 4.11: Schema a blocchi del sistema meccanico completo
Si può osservare come, nel sistema azionamento, il moto sia semplicemente il risultato dell’iposizione di una coppia, cioè le traiettorie di moto siano imposte mediante opportuni profili di
coppia. Talora si parla di datore di coppia, intendendo il sistema (controllato) in grado di generare, con la precisione voluta, determinati profili di coppia e quindi un movimento di determinate
caratteristiche, specie nei servo-azionamenti.
4.6
Traiettorie tipiche del controllo di moto
Supponendo di avere a disposizione un datore di coppia ideale, vale a dire un azionamento in grado
di generare un profilo di coppia qualsiasi (come si desidera), introduciamo le traiettorie tipiche nel
controllo di moto.
4.6.1
Traiettorie tipiche del controllo di velocità
Supponiamo di avere, per semplicità, coppia resistente nulla (CR = 0), cioè un carico semplicemente
inerziale (caratterizzato dalla sola inerzia).
Una tipica traiettoria del controllo di velocità è quella con andamento di velocità a rampa, il
quale si ottiene imponendo un profilo di coppia a gradino. Nelle figure seguenti sono indicati
gli andamenti nel caso di due tipiche sequanze di lavoto:
- avviamento ed arresto (Fig.4.12)
- avviamento, inversione di velocità ed arresto (Fig.4.13)
È interessante puntualizzare che, per una determinata inerzia totale J del sistema meccanico la
pendenza della rampa (cioè l’accelerazione o la decelerazione) dipende unicamente dalla
coppia che il datore è in grado di fornire. Il limite, cioè la coppia massima erogabile, dipende,
negli attuatori elettrici, dalla massima corrente che il motore elettrico può erogare.
Al proposito, si distingue tra corrente nominale (che è la massima corrente erogabile in continuità)
e corrente di picco (che è la massima corrente erogabile per brevi periodi).
Nei transitori, si deve considerare la corrente di picco. In base al suo valore si dovrà fissare un
limite di corrente nel dispositivo di controllo (questo sempre nei servo-azionamenti) cioè realizzare
4.6. TRAIETTORIE TIPICHE DEL CONTROLLO DI MOTO
Figura 4.12: Sequenza avviamento ed arresto
Figura 4.13: Sequenza avviamento, inversione di velocità ed arresto
55
56
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL SISTEMA MOTORE-CARICO
un controllo in corrente. Questo aspetto sarà chiaro dopo aver studiato il motore in corrente
continua.
4.6.2
Traiettorie tipiche del controllo di posizione
In questo caso, con riferimento al profilo di velocità, si distinguono due tipiche traiettorie:
- spostamento con profilo di velocità triangolare
- spostamento con profilo di velocità a trapezio
Sempre supponendo carico inerziale (CR = 0), i due casi sono illustrati nei seguenti paragrafi.
Spostamento con profilo di velocità triangolare
Il calcolo della traiettoria nel caso dello spostamento con profilo di velocità triangolare, per la sua
importanza pratica e per la sua semplicità, viene descritto in dettaglio.
Per generalità, immaginiamo di avere le rampe in salita ed in discesa di pendenza diverse. Per
quanto riguarda l’andamento della velocità si ha:
ω 0 (t) =
Ωp
t
∆t0
ω 00 (τ ) = Ωp −
Ωp
τ
∆t00
0 < t 6 ∆t0
(4.26)
0 < τ 6 ∆t00
(4.27)
essendo:
- Ωp il valore di picco raggiunto dalla velocità (verticale del triangolo)
- τ un’ascissa temporale (introdotta per comodità) con origine in t = ∆t0
Per quanto riguarda l’andamento della posizione,
Z t
Ωp t2
0
0
ω (t)dt =
θ (t) =
+ θ0 (0)
0
∆t 2
Z0 τ
Ωp τ 2
ω 00 (τ )dτ + θ00 (0) = Ωp τ − 00 +
θ00 (τ ) =
∆t 2
0
si ha:
1
Ωp ∆t0
2
0 < t 6 ∆t0
(4.28)
0 < τ 6 ∆τ 00
(4.29)
dove la posizione iniziale θ0 (0) è stata assunta pari a zero e:
1
θ00 (0) = θ0 (∆t0 ) = Ωp ∆t0
2
(4.30)
rappresenta lo spostamento effettuato nel tratto di salita.
Lo spostamento complessivo θ∗ può essere ricavato come segue:
1
1
Ωp ∆t00 2 1
+ Ωp ∆t0 = Ωp ∆t00 + Ωp ∆t0
00
∆t 2
2
2
2
2
Introducendo le accelerazioni (in [rad/s ]) delle rampe in salita ed in discesa:
θ∗ = θ00 (∆t00 ) = Ωp ∆t00 −
aS =
Ωp
;
∆t0
aD =
Ωp
∆t00
→
Ωp = aS ∆t0 = aD ∆t00
(4.31)
(4.32)
4.6. TRAIETTORIE TIPICHE DEL CONTROLLO DI MOTO
57
Figura 4.14: Spostamento con profilo di velocità triangolare
si ottiene:
1
1
2
2
θ∗ = aS ∆t0 + aD ∆t00
2
2
(4.33)
Le relazioni (4.33) e (4.32), poste a sistema, sono in grado di risolvere questo tipo di problemi: noti
lo spostamento da effettuare θ∗ e le accelerazioni (pendenze) delle rampe in salita ed in discesa
aS ed aD calcola il tempo di salita e di discesa e quindi il tempo totale ∆t = ∆t0 + ∆t00 dello
spostamento.
Questo è il problema di verifica, cioè noto il sistema (le accelerazioni possibili, il che vuol dire coppia motrice disponibile, coppia resistente ed inerzia) si debbono calcolare le prestazioni
(in questo caso relative ad uno spostamento).
Il problema di progetto richiede l’utilizzo delle formule in modo inverso: in tal caso bisogna definire
le accelerazioni (cioè la coppia motrice se il carico l’inerzia del sistema sono dati) tali da garantire
un determinato movimento (ampiezza e tempi dello spostamento).
Spostamento con profilo di velocità trapezio
Questo tipo di traiettoria deve essere applicata quando la velocità di picco Ωp , che si otterrebbe
in uno spostamento con profilo di velocità triangolare, è superiore al limite massimo imposto
ΩM AX , che può dipendere dall’applicazione o dall’azionamento4 . Nel tratto a velocità costante
l’andamento di posizione è una retta.
La limitazione di velocità aumenta il tempo di posizionamento.
4
La velocità massima dell’azionamento può dipendere dal carico, dal motore elettrico o dagli organi di trasmissione. Nel caso del motore elettrico occorre distinguerla dalla velocità nominale, che dipende dalla tensione nominale,
e che può essere superata adottando dei controlli particolari del motore (deflussaggio). La velocità massima meccanica è di norma maggiore di questa, ed è fissata in base alle forze centrifughe del sistema ed alla caratteristica dei
cuscinetti.
58
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL SISTEMA MOTORE-CARICO
Figura 4.15: Spostamento con profilo di velocità trapezio
4.6.3
Azionamenti reversibili
Un azionamento si dice reversibile quando consente di funzionare in tutti e quattro i quadranti
del piano coppia-velocità5 . Ad esempio l’azionamento per il controllo di velocità con inversione
di moto appartiene a questa categoria. Analizziamone il funzionamento con riferimento alla Fig.
4.16, supponendo per semplicità CR = 0. Si distinguono le seguenti zone e punti di funzionamento:
Se si considerano la potenza meccanica all’albero di trasmissione, data dal prodotto della coppia
per la velocità:
Pm = Cω
[watt]
(4.34)
si possono definire le seguenti zone di funzionamento:
- nel I e III quadrante si ha Pm > 0, la potenza fluisce dalla macchina elettrica verso il
carico, il funzionamento della macchina elettrica è da motore
- II e IV quadrante si ha Pm < 0, la potenza fluisce dalla macchina azionata verso la
macchina elettrica, la quale funziona da generatore o freno.
Ovviamente, l’azionamento può fermarsi a funzionare in modo permanente (e non solo durante i transitori, come illustrato in questo esempio) in uno dei quattro quadranti, in funzione
di quelle che sono le caratteristiche della macchina azionata, cioè della caratteristica di carico
della macchina azionata (qui si è supposto carico nullo, CR = 0).
Infatti, a regime, si ha CM = CR , per cui il punto di funzionamento ad una certa velocità è imposto
dalla curva CR = CR (ω) del carico, detta appunto caratteristica di carica o della coppia resistente.
Altra osservazione importante è questa: nel funzionamento da generatore o da freno si ha
5
A tale riguardo occorre distinguere tra funzionamento a regime e funzionamento trnasitorio e tra carichi attivi
e passivi, dato che (vedremo) il funzionamento a regime come generatore o freno è possibile solo con carichi attivi.
4.6. TRAIETTORIE TIPICHE DEL CONTROLLO DI MOTO
zona 1:
punto 2:
zona 3:
zona 4:
punto 5:
zona 6:
punto 0:
coppia/velocità
CM > 0
CM = CR = 0
CM < 0
CM < 0
CM = CR = 0
CM > 0
CM = CR = 0
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
>0
>0
>0
<0
<0
<0
=0
quadrante
I
I
II
III
III
IV
origine del piano
59
funzionamento
transitorio da motore in avanti
a regime da motore in avanti
transitorio da generatore
transitorio da motore indietro
a regime da motore indietro
transitorio da generatore
motore fermo
Figura 4.16: Andamenti coppia-velocità durante una sequenza di moto con inversione
Pm < 0, cioè la potenza meccanica fluisce dalla macchina azionata verso la macchina elettrica
(l’energia meccanica restituita dal carico è energia cinetica delle masse rotanti).
1
Em = Kω 2
2
[Joule]
(4.35)
È in queste condizioni che il convertitore è chiamato a mettere in atto la dissipazione o il
recupero di tale energia.
60
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL SISTEMA MOTORE-CARICO
Figura 4.17: Funzionamento nel piano coppia-velocità durante una sequenza di moto con inversione
Esempio del montacarichi
Un esempio interessante di un azionamento reversibile chiamato a lavorare a regime in tutti
e quattro i quadranti del piano coppia/velocità è rappresentato dal montacarichi, illustrato
in Fig. 4.18.
Esso è composto da una gabbia di sollevamento di peso F (a vuoto) e di un contrappeso di
peso F + Q/2 sospesi alle estremità opposte di una fune di sollevamento (di peso supposto nullo). La fune è disposta su una puleggia movimentata dall’azionamento. Supponendo pari a Q il
peso dell’oggetto da sollevare, ed assumendo positive la coppia sviluppata dall’azionamento (nel
seguito semplicemente “coppia”) e la velocità nel funzionamento da motore in sollevamento (verso
antiorario) sono possibili due situazioni di funzionamento a seconda che la gabbia sia piena o
vuota.
Nel funzionamento a gabbia piena il peso dell’insieme gabbia più oggetto da sollevare prevale
rispetto al contrappeso6 , la coppia resistente è oraria qualunque sia il verso del movimento: se
in salita, si funziona da motore avanti (coppia e velocità positive); se in discesa si funziona da
freno (o generatore) indietro (coppia ancora positiva e velocità negativa).
Nel funzionamento a gabbia vuota prevale il peso del contrappeso, la coppia resistente è
antioraria qualunque sia il verso del movimento: se in salita, si funziona da freno (o generatore) avanti (coppia negativa e velocità positiva); se in discesa si funziona da motore indietro
(coppia e velocità negative).
In ciascuno dei due casi, il verso (cioè il segno) della coppia resistente CR è indipendente dalla
6
come da Fig. 4.18, il contrappeso viene calibrato sul peso della gabbia più metà del pesso massimo del carico
trasportabile
4.6. TRAIETTORIE TIPICHE DEL CONTROLLO DI MOTO
Figura 4.18: Montacarichi
Figura 4.19: Caratteristiche di coppia resistente nel funzionamento a gabbia piena e vuota
61
62
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL SISTEMA MOTORE-CARICO
Figura 4.20: Funzionamento reversibile di un azionamento per montacarichi
velocità ma dipende solo dalla differenza tra il peso della gabbia e del contrappeso. L’andamento
della caratteristica di carico CR (ω) corrispondente alle due situazioni è indicata in Fig 4.197 .
Il funzionamento nei quattro quadranti del piano coppia/velocità è riassunto in Fig. 4.20.
4.6.4
Tipi di carico: coppie attive e passive
I carichi di un azionamento elettrico sono classificabili in base all’andamento della caratteristica
coppia/velocità (cioè relativamente al funzionamento a regime) come carichi attivi e passivi.
4.6.4.1 Coppie attive
Le coppie di carico di tipo attivo sono dirette sempre in modo da opporsi al moto di salita
o compressione. Appartengono a questa categoria i carichi dovuti alla presenza di forze gravitazionali (forza peso) o forze di deformazione elastica, ricollegabili ad energie potenziali.
I carichi attivi hanno caratteristiche in cui il verso della coppia è indipendente dal verso
del moto. Un esempio è rappresentato dalle caratteristiche di carico del montacarichi in Fig. 4.19.
4.6.4.2 Coppie passive
Le coppie di carico di tipo passivo sono dirette sempre in modo da opporsi al moto. Appartengono a questa categoria i carichi dovuti alla presenza di forze di attrico e taglio o forze
7
Il segno caratteristico di carica tiene conto del fatto che la coppia resistente è considerata con segno meno
nell’equazione dell’equilibrio dinamico, cioè a regime si ha C = CR (il segno della coppia motrice e quello della
coppia resistente coincidono)
4.6. TRAIETTORIE TIPICHE DEL CONTROLLO DI MOTO
63
Figura 4.21: Principali tipi di caratteristiche di carico
di deformazione in corpi rigidi non elastici , cioè forze di tipo dissipativo. I carichi passivi
hanno caratteristiche in cui il verso della coppia cambia con il verso del moto. Un esempio
è rappresentato dalle caratteristiche di carico dell’attrito statico e viscoso in Fig. 4.2
4.6.5
Caratteristiche di carico
Le caratteristiche di coppia resistente, cioè gli andamenti coppia di carico in funzione della velocità CR (ω) dipendono dalla macchina azionata. Le principali tipologie sono indicate in Fig.
4.21. L’attrito statico causa una coppia resistente costante che cambia con il verso di rotazione,
come mostra la caratteristica (a). A macchina ferma (ω = 0), la coppia resistente può assumere
un qualsiasi valore compreso tra i limiti imposti dall’attrito che appare in movimento. Sovente,
la coppia di spunto è superiore a quella di movimento (attrito di primo distacco), come indicato
nella caratteristica (b). Queste caratteristiche sono tipiche delle macchine utensili, laminatoi,
rotative.
La caratteristica (c) presenta una coppia resistente costante indipendente dal senso di rotazione, ed
è tipica degli ascensori e dei montacarichi. L’attrito viscoso (radente) provoca la caratteristica (d)
con una coppia resistente proporzionale alla velocità di rotazione. Questa caratteristica si ottiene
anche sui banchi prova, quando il motore da provare è accoppiato ad una macchina in corrente
continua funzionante come generatore su una resistenza di carico.
I ventilatori, i compressori centrifughi e le pompe forniscono la caratteristica (e), con la coppia
resistente che cresce con il quadrato (o potenza superiore) della velocità di rotazione. Infine, gli
avvolgitori presentano la caratteristica (f) a potenza costante. La coppia resistente è inversamente
proporzionale alla velocità di rotazione, evidentemente in una zona limitata di velocità. In genere,
le macchine azionate presentano caratteristiche di carico che sono una combinazione di quelle appena descritte.
Di seguito sono elencate le principali tipologie di macchine azionate e la corrispondente caratteristica di carico (nel solo quadrante di funzionamento da motore avanti ). L’andamento della potenza
64
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL SISTEMA MOTORE-CARICO
assorbita dal carico (prodotto coppia-velocità) è indicata con PR .
Tipi di carico a coppia costante
- Macchine continue da carta
- Macchine rotative da stampa
- Macchine rotative tessili
- Pompe volumetriche a ingranaggi, a palette, a pistoni
- Compressori alternativi
- Compressori frigoriferi a pistoni
- Trasportatori a nastro, a catena, a scosse, coclee,
rotocelle
- Funivie, seggiovie, teleferiche
- Mescolatori (non centrifughe) a pale, a tamburo
rotativo
- Molazze per carta, per cacao, per granulati
- Frantoi a pale, a barre, a mole, a cono, a cilindro, a
rulli
- Sollevatori, paranchi, argani
- Carrelli traslanti, palettizzatori, posizionatori
- Laminatoi, estrusori, trafile
Tipi di carico quadrati con la velocità
- Pompe centrifughe
- Ventilatori centrifughi
- Pompe assiali e centrifugo-assiali
- Compressori a vite e centrifughi
- Mescolatori centrifughi di liquidi
- Agitatori
4.6. TRAIETTORIE TIPICHE DEL CONTROLLO DI MOTO
Tipi di carico a potenza costante
- Torni paralleli, frontali, verticali
- Alesatrici, fresatrici, foratrici
- Piallatrici per legno
- Avvolgitoi, bobinatrici
- Mandrini di macchine utensili e di unità operatrici
- Apparecchi di sollevamento carichi
- Laminatoi reversibili
Tipi di carico lineari con la velocità
- Presse meccaniche e idrauliche
- Calandre a frizione viscose
- Freni a correnti parassite
- Pompe ad anello liquido
65
66
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL SISTEMA MOTORE-CARICO
Capitolo 5
Modelizzazione dei sistemi meccanici
La meccatronica è la prova che a livello industriale la meccanica e l’elettronica sono strettamente
interdipendenti. Per modellizare a livello matematico un sistema meccanico complesso si può far
riferimento a 3 blocci elementari:
1. inerziale: rappresenta la capacità di un corpo di opporsi alle variazioni di velocità; si fonda
sul rapporto causa-effetto: per corpi che traslano la causa è una forza f e l’effetto è una
velocità lineare v; per corpi che ruotano la causa è una coppia C e l’effetto è una velocità
angolare ω:
dv
(5.1)
f =M
dt
C=J
dω
dt
(5.2)
2. elastico: rappresenta la capacità di un corpo di deformarsi accumulando energia potenziale:
f = Kt0 (x1 − x2 )
(5.3)
C = Kt (θ1 − θ2 )
(5.4)
La forza f rappresenta la reazione di tipo elastico della molla e C è la coppia elastica di una
molla torsionale. Kt è il coefficiente di rigidità torsionale.
3. attrito viscoso: tiene conto degli effetti dissipativi che si hanno ogni volta che un corpo si
muove in un fluido:
f = B 0 (v1 − v2 )
(5.5)
C = B(ω1 − ω2 )
(5.6)
con B coefficiente di attrito viscoso.
5.1
Equazioni per il calcolo dell’inerzia equivalente
Se il carico non ruota bisogna trovare una conversione da moto rotatorio ad assiale per calcolare
un’inerzia equivalente.
67
68
CAPITOLO 5. MODELIZZAZIONE DEI SISTEMI MECCANICI
Figura 5.1: Sistema pignone-cremagliera
5.1.1
Esempio pignone cremagliera
Dalla Fig. 5.1 si può vedere che al ruotare del pignone, la cremagliera trasla: si ipotizza un sistema
privo di perdite; tutta l’energia meccanica del pignone viene trasferita alla cremagliera. fC forza
resistente di cui risente l’utensile montato sul castello quando deve fresare (od altre lavorazioni)
il pezzo. La cremagliera si sposta di:
x(t) = rθm (t)
(5.7)
con velocità
v(t) = rωm (t)
(5.8)
a(t) = ram (t)
(5.9)
e accelerazione
con θm rotazione del pignone, ωm velocità angolare e am accelerazione angolare.
Il bilancio delle potenze relative al pignone risulta:
τm ωm (t) = f v = f rωm (t)
(5.10)
τm = f r
(5.11)
da cui
con τm è la coppia di trasferimento del pignone.
τmotore = τm + Jm
con Jm
dωm
dt
dωm
coppia dovuta all’inerzia di motore e pignone.
dt
(5.12)
5.1. EQUAZIONI PER IL CALCOLO DELL’INERZIA EQUIVALENTE
Il bilancio delle potenze relative alla cremagliera risulta:
dv
dωm
τm = M
+ fc r = M r 2
+ fc r
dt
dt
69
(5.13)
Eguagliando la 5.12 con la 5.13 si ottiene:
τmotore = Jm + M r2
dωm
dωm
+ fc r = Jeq
+ fc r
dt
dt
(5.14)
con Jeq = (Jm + M r2 ) Con i contributi di Je q e fc è possibile calcolare la coppia motrice e
dimensionare il motore.
5.1.2
Esempio vite-madrevite
Il moto rotatorio dell’albero del motore fa girare la vite che a sua volta fa avanzare o indietreggiare
la madrevite. L è il passo della vite (avanzamento della madrevite per un giro completo della vite),
Figura 5.2: Sistema vite-madrevite
per cui vale la proporzione:
L
x(T )
=
2π
θm (t)
da cui:
x(t) =
L
2π
θm (t)
In questo caso quindi velocità e accelerazione valgono rispettivamente:
L
v(t) =
ωm (t)
2π
a(t) =
L
2π
(5.15)
(5.16)
(5.17)
αm (t)
(5.18)
70
CAPITOLO 5. MODELIZZAZIONE DEI SISTEMI MECCANICI
Figura 5.3: Motore con trasmissione a cinghia con riduzione
L
rappresenta un raggio equivalente in analogia con l’esempio precedente; è quindi
2π
possibile utilizzare le stesse equazioni sostituendo:
L
r=
(5.19)
2π
Si otterrà un’inerzia equivalente pari a:
Jeq = Jm + M
5.1.3
L
2π
2
(5.20)
Esempio motore con cambio
Il motore è collegato al carico tramite una cinghia di trasmissione con un fattore di riduzione k
della velocità angolare:
ωm = kωc
(5.21)
La potenza risulta:
Pm = Cm ωm = Cc ωc
(5.22)
Sostituendo la 5.21 nella 5.22 otteniamo:
Cm =
Inoltre:
Jm
Cc
k
dωm
Cc
= Cm =
dt
k
(5.23)
(5.24)
Sostituendo la 5.21 nella 5.24 otteniamo:
dωc
Cc
=
dt
k
dω
c
Jm k 2
= Cc
dt
Jm k
(5.25)
(5.26)
5.2. ANALOGIA TRA UN SISTEMA MECCANICO E UN SISTEMA ELETTRICO
71
Dove (Jm k 2 ) è il momento d’inerzia riportato all’albero del carico. Risultano inoltre:
Jc = Jm k 2
1
Jm = 2 Jc
k
5.2
(5.27)
(5.28)
Analogia tra un sistema meccanico e un sistema elettrico
Si dice che due sistemi sono analoghi quando sono governati da equazioni formalmente identiche
anche se riguardanti fenomeni fisici diversi.
Per quanto riguarda i sistemi meccanici-elettrici si può far riferimento all’analogia proposta da
Maxwell:
coppia C → tensione v
velocità ω → corrente i
su queste analogie di base si fondano le altre:
posizione θ
infatti:
Z
carica q
t
Z
ω(t)dt
θ(t) = θ(0) +
→
→
t
i(t)dt
q(t) = q(0) +
(5.29)
0
0
Per un sistema meccanico inerziale vale la relazione:
C=j
dω
dt
→
v=L
di
dt
(5.30)
per cui sarà valida anche l’analogia tra:
inerzia J
→ induttanza L
Per un sistema elastico vale la relazione:
C = Kt (θ1 − θ2 )
→
v=
1
(q1 ) − (q2 )
C
(5.31)
per cui sarà valida anche l’analogia tra:
rigidità torsionale Kt → reciproco della capacità C
Per un sistema soggetto ad attrito viscoso vale la relazione:
C = B(ω1 − ω2 )
→
v = R(i1 − i2 )
per cui sarà valida anche l’analogia tra:
attrito viscoso B → resistenza R
Il passaggio siccessivo è modelizzare un sistema meccanico e applicare le analogie.
(5.32)
72
CAPITOLO 5. MODELIZZAZIONE DEI SISTEMI MECCANICI
Figura 5.4: Sistema meccanico, esempio generale
τm :coppia del motore
Jm :inerzia del motore e dell’albero
θm :posizione angolare iniziale dell’albero
Kt :rigidità torsionale della’albero
5.2.1
θL :posizione angolare finale dell’albero
JL :inerzia del carico
CL :coppia costante generata dal carico
Br :coefficiente di attrito viscoso della pale
Esempio generale
Si possono scrivere le seguenti equazioni di bilancio meccanico:

dωm


+ Kt (θm − θL )
Cm = Jm




| dt
{z
}
coppia resistente del motore

dωL


+ CL + Br ωL
Kt (θm − θL ) = JL


| {z }
{z
}
dt
 |
coppia motrice
(5.33)
CR
Dove Cr è la coppia causata dall’attrito viscoso considerando il fluido fermo.
Da queste equazioni si possono ricavare le rispettive equazioni del circuito elettrico analogo:
Z

dim
1

 vm = Lm
+
(im − iL )dt
dt
Ct
Z
1
diL


(im − iL )dt = LL
+ vL + RiL
Ct
dt
(5.34)
Si può disegnare lo schema elettrico relativo:
Si vuole ora vedere come un azionamento elettrico reagisca alla variazione di uno o più parametri.
L’azionamento ha il seguente schema completo Fig. 5.8(Con R si indicano i regolatori, con
l’asterisco le grandezze di riferimento e con M il motore):
5.2. ANALOGIA TRA UN SISTEMA MECCANICO E UN SISTEMA ELETTRICO
Figura 5.5: Circuito elettrico relativo alla prima
equazione della 5.34
73
Figura 5.6: Circuito elettrico relativo
alla seconda equazione della 5.34
Figura 5.7: Circuito elettrico completo analogo al sistema meccanico
Per valutare la variazione di alcuni paramentri relativi al sistema meccanico dell’esempio, sarà
sufficiente sostituire i componenti dell’analogo circuito elettrico (condensatori, resistenze, ecc) piuttosto che sostituire i componenti meccanici corrispondenti (albero, pale, ecc.). Ciò comporta un
notevole risparmio economico in sede di prove di laboratorio.
Esempio numerico
Dati del problema:
Cnom = 11N m
B = 3.3N ms/rad
Jm = 0.093Kg/m2
JL = 0.18Kg/m2
Cnom
11 ∗ 180
Kt =
=
= 630.25N m/rad
∆θ
π
74
CAPITOLO 5. MODELIZZAZIONE DEI SISTEMI MECCANICI
Figura 5.8: Schema a blocchi di un motore elettrico controllato
Figura 5.9: Schema a blocchi del circuito elettrico equivalente
Per le analogie appena viste si ricavano le caratteristiche dei componenti del circuito elettrico
equivalente:
vm = 11
vL = 5
Lm = 93
LL = 180
Ct = 1586
R = 3.3
V
V
mH
mH
µF
Ω
Il valore della capacità del condensatore è molto alta per cui serviranno molti condensatori
in parallelo. Il valore della resistenza è molto piccolo: le resistenze dei cavi del circuito possono
spostare di qualche decimo di ohm la resistenza globale, quindi è necessaria molta attenzione per
il calcolo preciso.
Un gradino di coppia applicato al sistema meccanico produce un andamento della velocità
analogo all’evoluzione della corrente iL che si può registrare nel circuito.
Capitolo 6
Il convertitore statico
La produzione industriale dell’energia elettrica viene fatta, come è noto, quasi esclusivamente sotto forma di corrente alternata trifase. L’impiego della corrente alternata (c.a) consente, tramite i
trasformatori, un agevole adattamento dei livelli di tensione ai valori che risultano di volta in volta
più opportuni; la scelta del sistema trifase deriva invece dalla sua maggiore economicità rispetto
ad altre soluzioni.
Esiste però una serie di importanti applicazioni, sia industriali che civili, che richiedono alimentazioni a corrente continua (c.c) o frequanza diversa da quella di rete. Si possono citare a titolo
de’sempio i casi delle applicazioni elettrochimiche, delle lineee di trasmissione a c.c., dei forni a
induzione , dei sistemi di carica degli accumulatori. Spesso inoltre è richiesta una rapida regolazione dell’ampiezza o della frequenza della corrente erogata al carico. È questo il caso di molti
alimentatori regolabili e degli azionamenti a velocità variabile di motori a corrente continua o a
corrente alternata.
Infine va citatoi il caso di alcune utilizzazioni privilegiate (sale operatorie, centri di calcolo, ecc.),
la cui alimentazione deve essere garantita anche in caso di guasto della rete di distribuzione (alimentazioni a continuità assoluta).
Tutti i campi applicativi sopracitati sono accumunati dall’esigenza di operare una conversione
dell’ampiezza i della frequenza della tensione di rete, e si chiamano convertitori (converters) i
dispositivi capaci di operare questa conversione. Alcuni dei tipi di conversione di frequenza sopra
indicati possono essere effettuati tramite opportuni collegamenti fra motori e generatori a c.c.,
o c.a., oppure con opportune macchine elettriche speciali. È questa la famiglia dei convertitori
rotanti, che hanno avuto ampia diffusione nel passato e che trovano ancora oggi impiego in alcune
particolari applicazioni. La soluzione più moderna ai problemi di conversione è data dai convertitori statici, basati sull’impiego di interruttori elettronici allo stato solido (diodi, transistori,
tiristori, IGBT), che derivano il loro nome di statici dal fatto di non includere alcun organo di
movimento.
I convertitori statici includono sempre uno o più interruttori le cui aperture e chiusure vengono
controllate in modo da operare la conversione desiderata.
Le forme d’onda di corrente e di tensione che ne risultano sono spesso ricche di componenti armoniche indesiderate, sicché spesso i convertitori impiegano anche induttori o condensatori in
funzione di filtri.
L’alimentazione del convertitore può essere continua o alternata e la sua uscita può essere ancora
continua o alternata, a frequenza ed ampiezza fisse o variabili. I legami tra tipo di energia in
ingresso ed uscita dei diversi tipi di convertitore sono indicati della seguete tabella riassuntiva:
75
76
CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO
Ingresso
Uscita
Continua
Alternata
Continua
Frazionatore o chopper
Invertitore
Alternata Raddrizzatore controllato Cicloconvertitore
Tabella 6.1: Le principali categorie di convertitori
6.1
IL duty-cicle
In elettronica, in presenza di un segnale sotto forma di onda rettangolare, si definisce duty cycle
D (in italiano, rapporto pieno-vuoto, letteralmente ciclo di lavoro) il rapporto tra la durata del
segnale alto ed il periodo totale del segnale, e serve ad esprimere per quanta porzione di periodo
il segnale è a livello alto (intendendo con alto il livello attivo). In riferimento alla Fig.6.1, il duty
cycle è:
τ
(6.1)
d=
T
dove τ è la porzione di periodo a livello alto e T è il periodo totale.
Il risultato del rapporto è sempre un numero compreso tra 0 e 1. Nel caso in cui si abbia un
duty cycle pari a 0 o 1 si è in presenza di segnali continui. Infatti se il duty cycle ha valore zero,
significa (vedi la formula 6.1) che τ è zero e quindi si ha un livello basso per tutto il periodo
(segnale continuo a livello basso). Se il duty cycle ha valore uno, significa che τ e T hanno stesso
valore, quindi per tutto il periodo il segnale è alto (segnale continuo a livello alto). Spesso il duty
cycle è indicato sotto forma di percentuale (D%): per ottenere la percentuale basta moltiplicare
per 100 il risultato del rapporto τ /T . La percentuale esprime più chiaramente il quantitativo di
segnale alto (se D = 0, 4, D% = 40%, quindi significa che per il 40% del periodo totale il segnale
è a livello alto). In particolare, se D = 0, 5 (D% = 50%) significa che per metà del periodo totale
il segnale è alto, per l’altra metà è basso: siamo quindi in presenza di un’onda quadra.
Figura 6.1: Segnale impulsivo costituente un’onda rettangolare, e in evidenza il suo duty cycle.
6.2. GLI INTERRUTORI
6.2
77
Gli interrutori
I convertitori che saranno analizzati utilizzano come componente fondamentale per il loro funzionamento l’interrutore SPST (Single pole, single throw; o acceso o spento) Fig.6.2
Figura 6.2: Interruttore SPST
Un altra tipologia di interrutori è qualla SPDT (Single pole, double throw; singolo polo e due vie)
Fig.6.3
Con un opportuna topologia del circuito un interrutore SPDT può essere sostiruito da due inter-
Figura 6.3: Interruttore SPDT
ruttori SPST Fig.6.4; però il circuito risultante non sarà topologicamente equivalente poichè i due
SPST potranno essere entrambi chiusi od entrambi aperti, cosa non possibile con un SPDT.
78
CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO
Figura 6.4: Circuiti equivalenti SPDT-SPST
6.2. GLI INTERRUTORI
6.2.1
79
Quadranti di lavoro dello switch
I diversi switch possono essere catalogati in base alla regione di lavoro in cui operano 1 . Ci possono
essere quattro condizioni di lavoro:
- Switch a singolo quadrante Fig.6.5
- Switch a doppio quadrante con corrente bidirezionale Fig.6.6
- Switch a doppio quadrante con tensione bidirezionale Fig.6.7
- Switch a quattro quadranti Fig.6.8
Switches a singolo quadrante
Gli switches che operano su un singolo quadrante possono essere suddivisi nelle seguenti categorie:
- Switch attivi: si può controllare l’attivazione dello switch, generalmente tramite un terzo
terminale
- Switch passivi: sono controllabili tramite l’applicazione di una tensione od una corrente ai
capi dei terminali
- SCR: switch di cui posso controllare l’attivazione, ma non lo spegnimento
Queste tipologie di switch sono unipolari.
1
I riferimenti sono in base alla regioni che posso controllare, non alla reale zona di lavoro del componente, Es:
diodo
80
CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO
Figura 6.5: Switch a singolo quadrante
Figura 6.6: Switch a doppio quadrante con
corrente bidirezionale
Figura 6.7: Swith a doppio quadrante con tensione bidirezionale
Figura 6.8: Switch a quattro quadranti
6.2. GLI INTERRUTORI
81
Interruttori a corrente bidirezionale
Un esempio è realizzato con un BJT (o un MOS Fig. ??) e un diodo posto in antiparallelo: può
condurre qualsiasi ION , ma bloccare solo VOF F positive.
82
CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO
Figura 6.11: Caratteristica i − v
Figura 6.10: BJT con un diodo in
antiparallello
Figura 6.13: Caratteristica i − v
Figura 6.12: MOSFET con diodo
Figura 6.13: Interruttori a corrente bidirezionale
6.2. GLI INTERRUTORI
83
Interruttori a tensione bidirezionale
Un esempio è realizzabile con un BJT e un diodo posto in serie(Fig.??): può condurre solo ION
positive, ma bloccare qualunque VOF
6.14.1 BJT con un diodo in serie
6.14.2 Caratteristica i − v
Interruttori a quattro quadranti
Si comportano come un interruttore ideale, bloccando qualsiasi VOF F e lasciando scorrere ogni
ION . Alcuni possibili esempi sono riportati in figura 6.14
Figura 6.14: Interruttori a quattro quadranti
84
CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO
6.2.2
SPST
Figura 6.15: Interruttore SPST
L’SPST può essere attivato tramite l’applicazione di una corrente positiva (ON-state: i > 0)
e spento tramite l’applicazione di una tensione positiva (OFF-state: v > 0). Il quandrante di
funzionamento risulta quindi il primo Fig.6.16:
Figura 6.16: Zona di lavoro dell’interrutore SPST
6.2.3
Diodo
Il diodo di potenza Fig.6.17(lo consideriamo ideale, quindi la potenza dissipata è nulla) è un
dispositivo a commutazione naturale perciò è passivo. Lavora su un sigolo quadrante ed ha le
seguenti caratteristiche:
- Può condurre correnti positivi (ON-STATE:i > 0)
- Può bloccare tensioni negative (OFF-state: v < 0)
Il quadrante di lavoro risulta il quarto Fig.6.18
6.2. GLI INTERRUTORI
85
Figura 6.17: Diodo
Figura 6.18: Caratteristica i − v del diodo
86
6.2.4
CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO
Silicon Controlled Rectifier
È un diodo con controllo di sola accensione. Si caratterizza per un funzionamento a latch: l’attivazione avviene grazie a un segnale di gate, succesivamente lo stato ON è conservato anche
rimuovendo il segnale di accensione.
6.19.2 Caratteristica i − V
6.19.1 Simbolo
Figura 6.19: SCR
6.2.5
Bipolar Junction Transistor (BJT) e Insulated Gate Bipolar Transistor (IGBT)
Figura 6.20: BJT
Figura 6.21: IGBT
Il BJT (Fig.6.20) l’IGBT (Fig.6.21) sono dispositivi a commutazione controllata perciò sono
attivi. Lavora su un sigolo quadrante ed ha le seguenti caratteristiche:
6.2. GLI INTERRUTORI
87
Figura 6.22: Caratteristica i − v del BJT e del IGBT
- Si può attivare lo switch tramite il terminale C
- Lavorano su un singolo quadrante
- Possono condurre correnti positivi (ON-STATE:i > 0)
- Possono bloccare tensioni positive (OFF-state: v > 0)
2
Il quadrante di lavoro risulta il primo Fig.6.22
2
Se la tensione al terminale C è 0 il transistor risulta spento, mentre se è positiva risulta accesso
88
CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO
Figura 6.23: MOSFET
6.2.6
Metal-Oxide Semiconductor Field Effect Transistor (MOSFET)
Il MOSFET (Fig.6.23)è un dispositivo a commutazione controllata perciò è attivo. Lavora su due
quadranti con corrente bidirezionale ed ha le seguenti caratteristiche:
- Si può attivare lo switch tramite il terminale C
- Normalmente lavora su un singolo quadrante
- Può condurre correnti sia positivi che negative
- Può bloccare tensioni positive (OFF-state: v > 0)
Il quadrante di lavoro risulta il primo ed il secondo Fig.6.24
6.3. CONVERTITORI DC-DC
89
Figura 6.24: Caratteristica i − v del MOSFET
6.3
Convertitori DC-DC
Sono i dispositivi (frazionatori o, più comunemente, chopper ) atti ad effettuare la conversione
sa una tensione continua d’ingresso a una tensione continua di uscita di valore diverso. Questi
convertitori sono utilizzati quali alimentatori a c.c. nei più diversi settori d’impiego: dall’elettronica diffusa, ai calcolatori; dalle applicazioni avioniche e spaziali, agli alimentatori da laboratorio.
Trovano inoltre applicazione nei sistemi di trazione elettrica alimentati a c.c. (ferrovie, metropolitane, veicoli elettrici di ogni genere) per la regolazione della velocità dei motori.
Esistono tre tipi fondamentali di convertitori c.c./c.c., che differiscono per prestazioni e criteri di
progetto. Essi sono:
- buck converters abbassatori di tensione
- boost converters elevatori di tensione
- buck-boost converters abbassatori-elevatori di tensione
90
CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO
6.3.1
Convertitore Boost
Un convertitore boost (o convertitore step-up) è un convertitore DC-DC con una tensione di
uscita maggiore dell’ingresso. È una classe di alimentatori a commutazione contenenti almeno due
commutatori a semiconduttore (un diodo e un transistor) e almeno un elemento accumulatore di
energia (Fig. 6.25). Filtri composti da combinazioni di induttori e capacità sono spesso aggiunti
ad un convertitore boost per migliorarne le caratteristiche. Il principio base di funzionamento di
Figura 6.25: Circuito elettrico del convertitore Boost
un convertitore boost consiste in due stati distinti (Fig. 6.26):
- nello stato on, il commutatore S è chiuso, provocando un aumento di corrente nell’induttore;
- nello stato off, il commutatore è aperto e l’unico percorso offerto alla corrente dell’induttore
è attraverso il diodo D, la capacità C e il carico R. Ciò provoca il trasferimento dell’energia
accumulata durante lo stato on nella capacità.
Il Boost può lavorare solo nel quarto quadrante.
6.3. CONVERTITORI DC-DC
91
Figura 6.26: Le due configurazioni di un convertitore boost, secondo lo stato del commutatore S.
6.3.2
Convertitore Buck
Un convertitore buck è un convertitore DC-DC riduttore (convertitore step-down). Fa parte della
categoria dei convertitori switching. Il circuito Fig.6.27 è costituito da due interruttori, un induttore e un condensatore. Il modo più semplice per ridurre una tensione continua è usare un partitore
di tensione, un metodo poco efficace, dato che l’energia eccedente viene dissipata in calore. Un
convertitore buck può essere notevolmente efficiente (fino a 95% per i circuiti integrati) ed è molto
versatile, potendosi adattare alle varie situazioni, come ad esempio convertire la tensione tipica
della batteria (12-24 V) in un laptop fino ai pochi volt necessari alla CPU. I due switches lavorano
rispettivamente nel primo e nel querto quadrante Fig. 6.28: Quindi i due interrutori possono essere
rispettivamente sostituiti da un BJT e da un diodo. Il circuito equivalente risulta in Fig.6.29: Il
funzionamento del convertitore buck è semplice: tramite l’interruttore si connette l’induttore alla
fonte di energia che cosı̀ si carica di energia magnetica; scollegandolo esso si scarica sul carico e
sul condensatore mantenendo ai capi di questo la tensione costante. I quadranti di lavoro dei due
92
CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO
Figura 6.27: Circuito elettrico del convertitore Buck
Figura 6.28: Quadranti di lavoro dello switch A e B
Figura 6.29: Convertitore Buck
6.3. CONVERTITORI DC-DC
93
Figura 6.30: Le due configurazioni del convertitore Buck: stato on, quando l’interruttore è chiuso,
e stato off, quando l’interruttore è aperto.
Figura 6.31: Quadranti di lavoro degli switches
switches sono riportati in Fig.6.31: Siccome solo il transistor risulta un componente attivo il Buck
può lavorare solo nel primo quadrante. Quindi se si alimentate un motore, questo potrà avere solo
coppia e velocità positive (Fig.6.32).
94
CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO
Figura 6.32: Quadrante di lavoro del convertitore Buck base
6.3.3
Convertitore Buck-Boost
Il convertitore buck-boost è una tipologia di convertitore DC-DC (Fig. 6.33), che presenta una
uscita continua di valore maggiore o minore del valore della tensione in ingresso. È un alimentatore che ha una topologia circuitale simile a quella del convertitore buck e del boost. Il livello
dell’uscita può essere aggiustato agendo sul duty cycle del transistore che commuta. Uno dei possibili lati negativi di questo convertitore è il fatto che l’interruttore non abbia uno dei terminali a
terra: questo complica la circuiteria di pilotaggio; inoltre, la polarità dell’uscita è opposta a quella
dell’ingresso. Lo switch può essere posto sia al lato della terra, o su quello dell’alimentazione. Il
principio di base del buck-boost è mostrato in Fig. 6.34:
- in stato ON (interruttore chiuso), la tensione di ingresso Ã¨ direttamente connessa all’induttore L; si accumula pertanto energia in L. In questo stadio, il condensatore fornisce energia
al carico di uscita.
- in stato OFF (interruttore aperto), l’induttore è collegato all’uscita ed alla capacità, in modo
da trasferire energia da L a C ed R.
Rispetto al convertitore buck e al boost, le caratteristiche del buck-boost sono principalmente:
- la polarità dell’uscita, opposta a quella dell’ingresso;
- l’uscita può variare in modo continuo da 0 a ∞ (per un convertitore ideale). Le variazioni
dell’uscita per un buck ed un boost sono rispettivamente da 0 a Vi e da Vi a ∞.
Il convertitore ha le caratteristiche del Boost e del Buck, quindi lavora nel primo e nel quarto
quadrante.
6.3. CONVERTITORI DC-DC
Figura 6.33: Schema di un convertitore buck-boost.
Figura 6.34: I due stati di operazione di un buck-boost
95
96
6.3.4
CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO
Convertitore Chopper
Il chopper può essere considerato equivalente a un interruttore inserito tra la sorgente di energia
e il carico: controllandone la durata dei tempi di apertura e chiusura, si permette il passaggio
di energia verso e dal carico con opportune caratteristiche, indipendentemente dalla tensione di
ingresso. Diventa quindi possibile, con minime perdite di energia, regolare il livello di tensione
continua sul carico, senza variare la tensione di ingresso e senza passare per la conversione in
alternata, la trasformazione e il raddrizzamento.
Figura 6.35: Chopper
Il chopper a 2 e 4 quadranti
Affinché il frazionatore possa gestire situazioni in cui la corrente i assume valori negativi, ad
esempio quando il carico è rappresentato da un motore in condizioni di frenatura, è necessario
rimuovere il vincolo di unidirezionalità della corrente corredando lo schema di Fig.6.35 di due
ulteriori switches (un diodo e untransistor). È chiaro che questa situazioni si può presentare
solamente se il carico può essere “attivo”cioè contenere un generatore di tensione (situazione che si
incontra con il motore elettrico) cosı̀ come rappresentato in Fig.6.36. Si può facilmente dedurre che
sono possibili quattro configurazioni Fig.6.37: Con un sistema di questo tipo è possibile pilotare
motori con frenatura a recupero di energia. Analizziamo il comportamento in presenza di un
cambiamento della direzione delle correnti e quindi di inversione del flusso di energia. In questo
caso occorre che il dispositivo permetta il fluire della corrente da una sorgente a tensione più bassa
(il motore)ad una con tensione più alta (la sorgente di alimentazione), quindi il chopper funziona
nella configurazione di “elevatore”.
Il chopper in classe C
Tramite l’imposizione di un opportuno Duty-cicle è possibile regolare la tensione d’uscita del
chopper e quindi la velocità del motore Fig.6.38:
6.3. CONVERTITORI DC-DC
Figura 6.36: Chopper a 2 quadranti
Figura 6.37: Possibili configurazioni
97
98
CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO
Figura 6.38: Chopper collegato ad un motore
Figura 6.39: Quadranti di funzionamento
δ=
Ton
T
Va =
06δ61
Ton
Vd = δVd
T
(6.2)
(6.3)
La regione di funzionamento quindi è il primo ed il secondo quadrante: Un possibile schema di
un modulatore è riportato in Fig.6.40
6.3. CONVERTITORI DC-DC
99
Figura 6.40: Schema del modulatore
Il chopper in classe E
Volendo ora ottenere un funzionamento reversibile sia in corrente che in tensione (cioè il funzionamento a 4 quadranti), si può utilizzare la configurazione di Fig. 6.41. Chiudendo infatti S2 e
Figura 6.41: Chopper in classe E
facendo funzionare S1 , si ottiene sul carico una tensione positiva con corrente bidirezionale.. Tale
convertitore è applicato al comando di motori in cui si desidera avere frenatura a recupero di
energia e funzionamento con velocità di rotazione in entrambi i versi Fig.6.42.
100
CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO
Figura 6.42: Zone di lavoro del chopper in classe E
Il chopper in classe E a modulazione unipolare/bipolare Vedere appunti del prof Complementary stuff chapter 1 (e).pdf
6.4
Convertitore CC-CA Inverte
Sono i dispositivi, detti anche invertitori (inverter ), atti ad effettuare la conversione da una tensione
continua d’ingresso a una tensione alternata di uscita che, bel caso più generale, deve essere regolata
sia in ampiezza che in frequenza. Lo schema di un inverter trifase a tensione impressa è illustrato
in Fig.6.43. Esso è composto da tre rami (insiemi di due interruttori bidirezionali collegati in serie)
alimentati in parallelo da una sorgente in continua. A ciascun ramo fa capo un morsetto del carico
trifase, alimentato dal centrale tra i due interruttori. Dal punto di vista funzionale, esso è un
convertitore DC/AC, in grado di trasformare, con opportuno comando degli interruttori di ramo,
la continua in ingresso in un sistema trifase di tensione alternate in uscita.
Per evitare il corto circuito della sorgente continua in ingresso, il comando dei due interruttori di
ramo deve essere di tipo complementare, come illustrato in Fig.6.44. Negli interruttori reali (tempi
di apertura e chiusura non nulli) è previsto un tempo morto (”dead time“ ) per garantire che ciascun
interruttore di ramo sia effettivamente aperto quando l’altro chiude. Nelle considerazioni seguenti
consideriamo interruttori ideali (tempi di apertura e chiusura nulli) trascurando il tempo morto.
In queste condizioni, dal punto di vista logico, il comportamento di ciascun ramo è definito da un
solo segnale di comando (d).
6.4. CONVERTITORE CC-CA INVERTE
Figura 6.43: Schema dell’inverter trifase
Figura 6.44: Comando di ramo
101
102
CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO
6.4.1
Calcolo della tensione di uscita
Per determinare le tensioni fornite dall’inverter trifase facciamo riferimento allo schema in Fig.6.45,
dove è stato ricavato il punto centrale (0) dell’alimentazione continua (che utilizzeremo come
potenziale di riferimento) e si è considerato il caso generale di un carico collegato a stella con
neutro isolato. Si possono distinguere:
Figura 6.45: Tensione d’uscita dell’inverter trifase
- le tensioni di ramo Va0 , Vb0 , Vc0 , che sono direttamente individuate dal comando di ramo:
d1 = 1
→
d2 = 1
→
d3 = 1
→
Vdc
2
Vdc
Vb0 =
2
Vdc
Vc0 =
2
Va0 =
d1 = 0
→
d2 = 0
→
d3 = 0
→
Vdc
2
Vdc
Vb0 =
2
Vdc
Vc0 =
2
Va0 =
(6.4)
(6.5)
(6.6)
- le tensioni di concatenate Vab , Vbc , Vca , ottenibili come combinazione delle tensioni di ramo:
Vab = Va0 − Vb0
Vbc = Vb0 − Vc0
Vca = Vc0 − Va0
- le tensioni di fase del carico Vam , Vbm , Vcm
- la tensione del centro stella del carico rispetto al potenziale di riferimento Vm0 .
(6.7)
(6.8)
(6.9)
6.4. CONVERTITORE CC-CA INVERTE
103
Per quanto concerne l’individuazione delle tensioni di fase, esse possono essere espresse come:
Vam = Va0 − Vm0
Vbm = Vb0 − Vm0
Vcm = Vc0 − Vm0
(6.10)
In queste relazioni occorre determinare il potenziale (incognito) del centro stella.
Sommando membro a membro si ricava:
Vam + Vbm + Vcm = (Va0 + Vb0 + Vc0 ) − 3Vm0
(6.11)
Nell’ipotesi di carico trifase simmetrico collegato a stella con neutro isolato, è facile dimostrare
che la somma delle tensioni di fase è nulla:
3
Vam + Vbm + Vcm = 0
(6.12)
1
Vm0 = (Va0 + Vb0 + Vc0 )
3
(6.13)
da cui si ricava:
Pertanto, note le tensioni di ramo (dal comando), si può calcolare il potenziale del centro stella
con la 6.13 e quindi le tensioni di fase dalle 6.10.
In funzione dello stato logico (0 o 1), del comando dei tre rami, l’inverter trifase è in grado di
applicare 8 diverse configurazioni di tensione d’uscita (Tabella 6.2), delle quali 2 corrispondenti a
tensione nulla (stati 0 e 7) e le altre 6 a tensione non nulla.
La più semplice modalità di comando dell’inverter trifase prevede l’applicazione in sequenza delle
6 configurazioni non nulle di tensione: si tratta del comando ad onda quadra (o six-step) illustrato
nel paragrafo seguente.
Tabella 6.2: Stati di un inverter a due livelli
Va0
−Vdc/2
−Vdc/2
−Vdc/2
−Vdc/2
+Vdc/2
+Vdc/2
+Vdc/2
+Vdc/2
3
Vm0
−Vdc/2
−Vdc/6
−Vdc/6
+Vdc/6
−Vdc/6
+Vdc/6
+Vdc/6
+Vdc/2
Nelle condizioni indicate si può scrivere. Vam = Zia ;
fornisce:Vam + Vbm + Vcm = Z(ia + ib + ic ) = 0
d1
0
0
0
0
1
1
1
1
d2
0
0
1
1
0
0
1
1
d3
0
1
0
1
0
1
0
1
Vbm = Zib ;
Vcm = Zic ; che sommando m. a m.
104
CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO
Figura 6.46: Stati dell’inverter trifase
6.4.2
Comando ad onda quadra (Six Step)
6.4. CONVERTITORE CC-CA INVERTE
6.47.1 Tensione d’uscita riferite al punto centrale del bus DC
6.47.2 Tensione d’uscita concatenata
105
106
CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO
Scomposizione in serie di Fourier
Tensioni di uscita riferite al punto centrale del bus DC
1
1
1
4 Vdc
sin(ω1 t) + sin(3ω1 t) + sin(5ω1 t) + sin(7ω1 t) + . . .
va0 (t) =
π 2
3
5
7
4 Vdc
2π
1
1
2π
1
vb0 (t) =
sin ω1 t −
+ sin(3ω1 t) + sin 5ω1 t +
+ sin 7ω1 t −
π 2
3
3
5
3
7
4π
1
1
4π
1
4 Vdc
sin ω1 t −
+ sin(3ω1 t) + sin 5ω1 t +
+ sin 7ω1 t −
vc0 (t) =
π 2
3
3
5
3
7
2π
+ ...
3
4π
+ ...
3
(6.14)
Sono presenti soltanto le armonicge dispari.
K = 6j + 1 sequenze dirette
K = 6j + 3 sequenze omopolari
K = 6j + 5 sequenze inverse
(6.15)
Con j = 0, 1, 2, 3, . . .
Tensioni di uscita concatenate
√
4 3 Vdc
π 1
π 1
π
vab (t) =
sin ω1 t +
− sin 5ω1 t +
− sin 7ω1 t +
+ ...
π 2
6
5
6
7
6
√
4 3 Vdc
π 2π
π 2π
1
1
vbc (t) =
+
sin ω1 t + −
− sin 5 ω1 t +
− sin 7 ω1 t +
π 2
6
3
5
6
3
7
√
4 3 Vdc
π 4π
1
π
4π
1
vca (t) =
sin ω1 t + −
− sin 5 ω1 t +
+
− sin 7 ω1 t +
π 2
6
3
5
6
3
7
π
−
6
π
−
6
2π
+ ...
3
4π
+ ...
3
(6.16)
Non sono presenti le sequenze omopolari nelle tensioni concatenate.
Tensioni del centro stella del carico riferita al punto centrale del bus DC
1
vm0 (t) = (va0 (t) + vb0 (t) + vc0 (t))
3
4 Vdc 1
1
1
vm0 (t) =
sin(3ω1 t) + sin(9ω1 (t)) +
sin(15ω1 t) + . . .
π 2 3
9
15
(6.17)
(6.18)
Sono presenti soltanto le armoniche multiple di tre
Tensioni di fase del carico
4 Vdc
1
1
vam (t) =
sin(ω1 t) + sin(5ω1 t) + sin(7ω1 t) + . . .
π 2
5
7
4 Vdc
2π
1
2π
1
vbm (t) =
sin ω1 t −
+ sin 5ω1 t +
+ sin 7ω1 t −
π 2
3
5
3
7
4 Vdc
4π
1
4π
1
vcm (t) =
sin ω1 t −
+ sin 5ω1 t +
+ sin 7ω1 t −
π 2
3
5
3
7
2π
+ ...
3
4π
+ ...
3
Non sono presenti le armoniche multiple di tre nelle tensioni di fase
(6.19)
6.4. CONVERTITORE CC-CA INVERTE
107
Riepilodo delle nozioni fondamentali
- È possibile controllare la frequenza fondamentale f1 =
ω1
2π
- non è possibile controllare l’ampiezza della fondamentale:
4 Vdc ∼
- ampiezza 1a armonica della tensione di fase del carico Vˆf1 =
= 0.636Vdc
π 2
4 Vdc √ ∼
- ampiezza 1a armonica della tensione di linea del carico Vˆl1 =
3 = 1.1Vdc
π 2
- ampiezza 1a armonica della tensione di uscita dell’inverte (riferita al centro del bus DC)
4 Vdc
Vˆf10 =
π 2
6.4.3
Rappresentazione vettoriale della tensione di uscita
Figura 6.47: Stati dell’inverter e tensioni ai morsetti nel comando “six-step”
108
CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO
Figura 6.48: Stati dell’inverter e tensioni sul carico nel comando “six-step”
6.4. CONVERTITORE CC-CA INVERTE
109
Se si considerano le 6+2 possibili configurazioni delle tensioni di fase applicate al carico dall’inverter trifase (nelle figure precedenti sono riportate le 6 configurazioni non nulle), e si applica a
ciascuna di esse la trasformazione di fasi 4 (abc) → (α, β), si ottengono altrettanti vettori di spazio
(ciascuno caratterizzato da una coppia di componenti α, β) la cui rappresentazione nel piano complesso è indicata in figura(6.49): Tale rappresentazione, nota come “esagono delle tensioni di uscita
Figura 6.49: Esagono delle tensioni di uscita dell’inverter trifase
dell’inverter trifase”, consente di valutare, per ciascuna configurazione del comando, le tensioni
apllicate al carico sia in termini di componeti α, β che in termini di tensioni trifasi (queste ultime
sono ottenibili come le componenti di ciascun vettore sugli assi 1,2,3 sfasati di 2π/3). I sei vettori
Stato vettore di spazio
→
−
0
V0
→
−
1
V1
→
−
2
V2
→
−
3
V3
→
−
4
V4
→
−
V5
5
→
−
6
V6
→
−
7
V7
d1
0
1
1
0
0
0
1
1
d2
0
0
1
1
1
0
0
1
d3
0
0
0
0
1
1
1
1
Tabella 6.3: Stati, comandi di ramo e vettori di spazio
della tensione di uscita dell’inverter delimitano altrettanti settori angolari di π/3 (“sestanti”) la
4
Trasformazione a potenza di fase costante
110
CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO
cui individuazione è alla base di una tra le più importanti tecniche di modulazione dell’inverter
trifase, la modulazione dei vettori di spazio (SV-PWM) presentata nel seguito.
6.4.4
Tecniche di modulazione PWM
Modulazione seno-triangolo (S∆-PWM)
In questo tipo di modulazione i componenti statici vengono commutati negli stati di intersezione
di due funzioni periodiche di frequenza diversa (portante e modulante). In questo modo è possibile
sintetizzare delle tensioni di uscita (Va0 , Vb0 , Vc0 ) che, a bassa frequenza, hanno lo stesso contenuto
armonico (stessa forma d’onda) della funzione di riferimento a frequenza minore. Come portante
è di solito usata una funzione triangolare (Vt ) con frequenza angolare ωt ed un valore di picco V̂t .
Come modulanti si usano tre tensioni sinusoidali di frequenza pari a quella desiderata per la
fondamentale della tensione di uscita:
∗
Va0
(t) = Vˆs sin(ω1 t)
2π
)
Vb0∗ (t) = Vˆs sin(ω1 t −
3
4π
Vc0∗ (t) = Vˆs sin(ω1 t −
)
3
(6.20)
Parametri fondamentali
M=
P =
Vˆs
V̂t
ωt
ω1
indice di modulazione
(6.21)
rapporto tra le frequenze
(6.22)
Tecnica di commutazione Se
∗
Va0
> Vt
allora si pone
Sa+ “on”
Sa− “off”
(6.23)
6.4. CONVERTITORE CC-CA INVERTE
6.50.1 Modulazione S∆-PWM
6.50.2 Portante e modulante nella S∆-PWM con p=12,M=0.6
6.50.3 Tensione di uscita (fase a) riferita al punto centrale del bus
DC
6.50.4 Tensione concatenata
111
112
CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO
Figura 6.50: Tipico spettro della modulazione S∆-PWM (M=0.8)
Scomposizione in serie di Fourier
Va0 (t) = M
∞
π
Vdc
2Vdc X π
cos(α) +
J0 kM
sin k
cos(kωt t)+
2
π k=1
2
2
+
∞ ±∞
h
π
πi
2Vdc X X 1 Jn kM
sin (k + n) cos(kωt t + nα) (6.24)
π k=1 n=±1 k
2
2
dove:
α = ω1 t
(6.25)
J0 , . . . , Jn : funzioni di Bessel del primo ordine.
 Il primo termine rappresenta la tensione fondamentale che è direttamente proporzionale
all’indice di modulazione se M < 1
 Il secondo termine rappresenta le componenti armoniche alla frequenza della portante e suoi
multipli. Non esistono armoniche la cui frequenza è multiplo pari della frequenza portante:
sin(kπ/2) = 0 se k è pari.
 Il terzo termine rappresenta le bande di armoniche centrate sulle frequenze multiple della
frequenza della portante. In accordo con il termine sin[(k + n)π/2] si ha:
- per k dispari, la banda presenta solo armoniche pari;
- per k pari, la banda presenta solo armoniche dispari.
Poiché l’armonica dominante si ha per ω = ωt , si prende un rapporto di frequenza p multiplo
di tre, in modo tale che l’armonica dominante formi una sequenza omopolare (terne di correnti
omopolari non possono circolare).
(Da correggere) Per M=1, si ha il massimo valore della tensione fondamentale, che è soltanto
il 78.5% della massima tensione fondamentale che si può avere dall’inverter (che si ha con la
modulazione six-step):
1
V̂a0(M
=1) =
Vdc
;
2
1
V̂a0(SIX−ST
EP ) =
1
V̂a0(SiX−ST
4 Vdc
π
EP )
→
=
= 0.7855
1
π 2
4
V̂a0(M =1)
(6.26)
6.4. CONVERTITORE CC-CA INVERTE
113
Figura 6.51: Ampiezza relativa delle armoniche in funzione dell’indice di modulazione (tensione di
uscita dell’inverter riferita al centrale del bus DC)
Sovramodulazione
Se l’ampiezza della modulante è maggiore di quella della portante (M > 1), il numero di buchi
nella tensione modulata è minore rispetto al caso M < 1, perchè alcuni triangoli non intersecano
la sinusoide. Di conseguenza, specie nella zona centrale delle semionde della modulante, la durata
degli impulsi è più ampia (Fig.6.52) e l’ampiezza della prima armonica è più elevata.
Si parla in questo caso di sovramodulazione e si tratta di un sistema utilizzato proprio per aumentare l’ampiezza dell’armonica fondamentale della tensione, anche se si determina un maggiore
contenuto armonico nella sua forma d’onda. Lo spettro non è costituito da grappoli di armoniche
nell’intorno della frequenza di modulazione e dei suoi multipli, ma è ricco anche di armoniche di
ordine più basso di P . Al di sopra di un certo valore di MLIM , le intersezioni modulante/portante
sono pari a due per periodo e si ottiene una tensione di uscita di forma uguale a quella dell’inverter
ad onda rettangolare.
Si deduce che, con la tecnica PWM a sottoscillazione sinusoidale, l’ampiezza Va0 della prima armonica della tensione di fase è al massimo pari a Vdc 2 (con Vdc tensione continua di alimentazione
dell’inverter), cioè 4/π ∼
= 1.27 volte più piccola di quella con inverter ad onda rettangolare.
Con la sola modulazione lineare, non è cioè possibile regolare la tensione di uscita dell’inverter in
accordo con la frequenza, per elevati valori di quest’ultima.
Con la sovramodulazione, inoltre non è più lineare la relazione che lega l’ampiezza della fondamentale di tensione V a0 all’indice di modulazione M.
114
CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO
Figura 6.52: Sovramodulazione nella sottoscillazione sinusoidale con P = 9
Figura 6.53: Regioni diverse di tipo di modulazione
6.4. CONVERTITORE CC-CA INVERTE
115
Varianti alla sottoscillazione
Numerose sono le varianti proposte della tecnica di sottoscillazione sinusoidale precedentemente
descritta. Ciascuna di esse è caratterizzata da particolare proprietà (si rimanda alla letteruartura
specifica per un più ampio approfondimento).
A puro titolo di esempio si riporta il caso della sottoscillazione con modulate distorta. Invece di una
semplice sinusoide, come modulante può considerarsi un’onda composta da un seno con una terza
armonica sovrapposta (Fig.6.54). Lo scopo è quello di aumentare la armonica fondamentale di
tensione senza peggiorare il contenuto armonico. Il numero di buchi, infatti, rimane lo stesso della
modulazione base (con M < 1). Si dimostra che l’ampiezza della prima armonica può raggiungere
il valore:
Vdc
2 Vdc ∼
(6.27)
Vao,M ax = √
= 1.15
2
3 2
Il miglioramento che si consegue in termini di ampiezza Vao è inferiore a quello della sovramodulazione, mentre il contenuto armonico è più basso. In realtà, sono presenti anche delle componenti di terza armonica nella tensione di fase dell’inverter che, però, scompaiono nella tensione
concatenata ed in quella di fase del motore perchè omopolari.
Figura 6.54: Sottoscillazione con modulante deformata di terza armonica
116
CAPITOLO 6. IL CONVERTITORE STATICO
Capitolo 7
Macchina in corrente continua
7.1
Struttura e schema elementare
Per comprendere il principio di funzionamento della macchuna in corrente continua (m.c.c) facciamo riferimento alla struttura elementare indicata in Fig.7.1.1 Lo statore è del tipo a poli salienti.
7.1.1 Struttura elementare del motore in
corrente continua
7.1.2 Percorso del flusso di eccitazione
Figura 7.1
Sui poli sono avvolte le bobine che compongono l’avvolgimento di campo o di eccitazione. Tale
avvolgimento è percorso da corrente continua e genera il flusso di eccitazione (o di campo) del
motore, indicato con Φe . Questo flusso è di tipo stazionario, cioè la sua configurazione spaziale
(mappa) resta fissa nel tempo. Indichiamo con d l’asse magnetico (fisso) del flusso di eccitazione.
Sul rotore, cilindrico, immaginiamo disposta una sola spira (avvolgimento elementare) le cui estre,ità 1 e 2 fanno capo a due lamelle, tra loro isolate e solidali al rotore (cioè ruotano assieme
alla spira). Le lamelle sono in contatto elettrico con due spazzole (indicate con A e B), che sono
invece solidali con lo statore e tenute in pressione sulle lamelle mediante molle.
117
118
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Le spazzole permettono di accedere elettricamente, dal riferimento fisso di statore, all’avvolgimento
disposto sul rotore (qui composta dall’unica spira) detto avvolgimento di armatura.
Indichiamo con a l’asse magnetico dell’avvolgimento di armatura, coincidente con l’asse della spira
1-2 e fissiamo di misurare l’angolo di rotazione θr tra l’asse d e la direzione negativa dell’asse a.
Lo schema della macchina in corrente continua è indicata nella seguente Fig.7.2.
Visto in termini di sistema di conversione elettromeccanico la macchina in corrente continua
possiede due porte elettriche (gli avvolgimenti di eccitazione e di armatura) attraverso le quali
transita potenza elettrica (in termini di prodotto tensione-corrente ai morsetti) ed una porta meccanica (l’asse di rotazione) attraverso la quale transita potenza meccanica in termini di prodotto
velocità di rotazione-coppia.
In base ai versi di tali flussi di potenza si può avere il funzionamento da generatore oppure da
motore come illustrato nel seguito. Concordamente alla convenzione utilizzata nella scrittura
dell’equazione dell’equilibrio dinamico e nella definizione del piano coppia-velocità considereremo
positive le potenze nel funzionamento da motore, cioè potenza elettrica entrante e potenza
meccanica uscente (coppia e velocità concordi)
Figura 7.2: Schema elementare della macchina in corrente continua
7.2
7.2.1
Principio di funzionamento
Funzionamento da generatore
In questo tipo di funzionamento viene fornita potenza elettrica (Pe ) all’avvolgimento di eccitazione
e potenza meccanica (Pm ) all’asse di rotazione, e si raccoglie potenza elettrica (Pa ) sull’avvolgimento
di armatura. La macchina in corrente continua si comporta da generatore (o dinamo) e può essere
utilizzato per alimentare un carico (indicato in figura dalla resistenza Rc ).
Per fissare le idee, consideriamo la struttura elementare del m.c.c. nella quale un motore primo
metta (dall’esterno) in rotazione il rotore (ad es. nel verso crescente di θr ) mentre si alimenta
l’eccitazione con un generatore in continua.
7.2. PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO
119
Figura 7.3: Funzionamento da generatore a vuoto
Funzionamento da generatore a vuoto
Analizziamo dapprima il caso in cui l’avvolgimento di armatura sia aperto (ia = 0) cioè il funzionamento da generatore a vuoto1 , Fig.7.3.
La spira di rotore concatena una parte del flusso generato dall’eccitazione. A seguito della rotazione il flusso concatenato con la spira varia e si genera una tensione indotta che in base alla
Legge di Faraday scritta con la convenzione dell’utilizzatore (C.d.U) fornisce:
dΦ
(7.1)
dt
Il flusso concatenato sarà massimo negativo per θr = 0, nullo per θr = π/2. Ipotizzando un
andamento sinusoidale si può scrivere:
e12 =
Φ = −Φ cos(θ)
(7.2)
da cui:
dθr
sin(θr ) = Φω sin(θr )
(7.3)
dt
Se chiamiamo eAB la tensione raccolta sulle spazzole, in base alla rotazione del rotore si hanno le
seguenti situazioni di contatto2 :
e12 (θr ) = Φ
- in θr ∈ (0, π) si hanno i contatti: A ≡ 1, B ≡ 2, da cui eAB = e12
- in θr ∈ (π, 2π) i contatti si invertono: A ≡ 2, B ≡ 1, da cui eAB = e21 = −e12
La tensione raccolta tra le spazzole rappresenta la tensione indotta nell’avvolgimento di armatura
(ea ≡ eAB ), il cui andamento, riportato nella figura precedente, è quindi di tipo continuo, nel senso
di unipolare a valor medio (Ea ) non nullo, Fig.7.4.
Si osserva pertanto come, con il sistema collettore a lamelle + spazzola si realizza un commutatore
in grado di trasformare una alternata in una continua.
Intuitivamente, estendendo il numero di spire è possibile ottenere tensioni più continue, praticamente costanti, come accade nei motori reali.
1
Rispetto la figura, se si trascurano le perdite per attrito e ventilazione, nel funzionamento da generatore a vuoto
si avrà, a regime, C = Pm = 0
2
Si trascurano le posizioni limite 0, π,e,2π
120
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Figura 7.4: Tensione indotta nella spira elementare
Funzionamento da generatore a carico
Figura 7.5: Funzionamento da generatore a carico
Vediamo ora cosa succede nel funzionamento a carico (Fig.7.5), quando cioè viene chiuso l’interruttore e quindi fluisce una corrente ia nell’avvolgimento di armatura.
Con riferimento alla Fig.7.6, in base al segno della tensione indotta si ha che per θr ∈ (0, π) l’estremo
1 ha potenziale maggiore dell’estremo 2, pertanto nel circuito esterno di carico la corrente fluisce
da 1 (punta della freccia) verso 2 (coda della freccia)3 . Per effetto di questa corrente si genera
un flusso di armatura diretto in verso opposto all’asse di magnetizzazione (a). Per θr ∈ (π, 2π)
la situazione si inverte, cioè 2 ha potenziale maggiore di 1, ma il verso delle correnti è lo stesso
3
Concordamente alla convenzione del generatore (C.d.G) nell’avvolgimento di armatura la corrente fluisce dal
morsetto a potenziale minore verso quello a potenziale maggiore
7.2. PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO
121
Figura 7.6: Generazione del flusso di armatura nel funzionamento da generatore
e quindi anche la direzione del flusso di armatura. In sostanza, il flusso di armatura è diretto
sempre nel semipiano di destra della figura, è allineato e concorde con il flusso di eccitazione per
θr = 0 e θr = 2π, allineato e discorde per θr = π e non allineato nelle rimanenti posizioni. La
successica Fig. 7.7 illustra questo aspetto, mettendo in luce come, al ruotare della spira, il verso
della corrente sia sempre uscente per il condutttore situato nel semipiano superiore, entrante per
il conduttore situato nel sempiano inferiore.
Il risultato è una coppia elettromagnetica (C) che tende a far ruotare la spira in modo da allineare
(nel verso concorde) il flusso di armatura con il flusso di eccitazione. Tale coppia sarà diretta in
modo da opporsi al modo del rotore4 , ed avrà l’andamento qualitativo indicato in Fig.7.8 analogo
alla tensione indotta (valore massimo quando i due flussi sono perpendicolari tra loro). Pertanto,
per effetto del commutatore a spazzola e lamelle, è possibile sviluppare una coppia continua, nel
senso del valor medio (Cm ) non nullo. Estendendo il numero di spire si ottiene una coppia sempre
più costante. Ad esempio, nelle Fig.7.9, 7.10 e 7.11 è illustrato il caso (sempre elementare) di una
macchina con due spire5 .
4
Concordemente alle convenzioni adottate, coppia e velocità sono discordi nel funzionamento da generatore.
Questo caso può essere compreso osservando che la seconda spira è sfasata di π/2 rispetto la prima, e le lamelle
si estendono anche per (π/2)
5
122
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Figura 7.7: Flussi di eccitazione e di armatura con una sola spira di armatura
Figura 7.8: Coppia prodotta con una sola spira di armatura
7.2. PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO
Figura 7.9: Struttura elementare con due spire si armatura
Figura 7.10: Tensione indotta nel m.c.c con due spire di armatura
Figura 7.11: Coppia prodotta nel m.c.c con due spire di armatura
123
124
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Figura 7.12: Flussi di eccitazione e di armatura con due spire di armatura (generatore)
7.2.2
Funzionamento da motore
Figura 7.13: Funzionamento da motore
Nel funzionamento da motore (7.13) si alimentano gli avvolgimenti di eccitazione e di armatura
(ingressi) e si ricava in uscita potenza meccanica all’asse del motore sotto forma di coppia e velocità di rotazione. In particolare, rispetto al caso del funzionamento da generatore, il verso della
corrente di armatura (ia ) è opposto6 .
Ciò vuol dire che il flusso di armatura è diretto anche’esso in modo opposto, rispetto al caso del
6
Concordemente alla convenzione dell’utilizzatore (C.d.U) nell’avvolgimento di armatura la corrente fluisce dal
morsetto a potenziale maggiore verso quello a potenziale minore
7.2. PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO
125
funzionamento da generatore7 .
Di conseguenza, anche la coppia elettromagnetica che tende a dar ruotare la spira di rotore per
Figura 7.14: Flussi di eccitazione e di armatura con due spire di armatura (motore)
allineare i flussi di armatura ed eccitazione ha verso opposto rispetto al caso del funzionamento
da dinamo, e causa un movimento di rotazione nella sua stessa direzione (l’andamento in funzione
dell’angolo θr ) è lo stesso del caso di funzionamento da dinamo).
Estrapolando graficamente ad una macchina con un numero elevato di spire, il flusso di amratura
sarà disso a π/2 rispetto il flusso di eccitazione, le correnti nei conduttori di rotore avranno verso
concorde con tale flusso (considerando il funzionamento da motore o dinamo) e le spazzole saranno disposte in quadratura (direzione q chiamata asse neutro) rispetto al flusso di eccitazione, a
significare il collegamento a conduttori che transitano in questa posizione8 . La rappresentazione
schematica della macchina in corrente continua nel funzionamento da motore è illustrata in Fig.7.16
7
In particolare il flusso di armatura è diretto sempre nel semipiano di sinistra della figura
Con tale disposizione, nella macchina reale le spazzole raccolgono la massima tensione indotta nell’avvolgimento
di armatura. Inoltre, durante la commutazione tra due lamelle successive, le spazzole vengono a cortocircuitare
conduttori nei quali la tensione indotta dal flusso di eccitazione è circa nulla, limitando la corrente di corto
8
126
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Figura 7.15: Generazione del flusso di armatura nel funzionamento da motore
7.3
Determinazione del modello dal punto di vista dei circuiti accoppiati
Abbiamo visto che il funzionamento del collettore a spazzola e lamelle fa si che l’avvolgimento di
armatura, benché composto da conduttori rotanti e quindi soggetti a tensione indotta dal flusso
di eccitazione, generia a sua volta un flusso di armatura costantemente diretto secondo l’asse q.
Questo funzionamento deve essere tenuto in debita considerazione quando si voglia detrminare il
modello analitico della macchina in corrente continua a partire dal metodo generale dei circuiti
magnetici accoppiati.
A tale scopo, con riferimento alla rappresentazione in Fig.7.16, immagineremo che contrariamente a quanto accade nella macchina reale le spazzole ruotino solidalemente al rotore. Di
conseguenza, l’asse magnetico q dell’avvolgimento di armatura ruoterà con l’angolo θr . Scriveremo quindi le equazioni per gli avvolgimenti di eccitazione ed armatura e successivamente terremo
conto del fatto che, nella macchina reale, la posizione dell’asse q è fissata in θr = π/29
9
Con questo procedimento è possibile utilizzare il metodo generale per la scrittura delle equazioni in una struttura
elettromagnetica avente circuiti sul rotore e sullo statore, tenendo conto poi qualitivamente del funzionamento del
collettore
7.3. DETERMINAZIONE DEL MODELLO DAL PUNTO DI VISTA DEI CIRCUITI ACCOPPIATI127
Figura 7.16: Rappresentazione di una m.c.c. funzionante da motore
128
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Figura 7.17: Possibili posizioni della spira rispetto al rotore
7.3.1
Equazioni elettriche
Le equazioni elettriche degli avvolgimenti sono:
dΨa
dt
dΨe
ve = Re ie +
dt
va = Ra ia +
Ψa = La ia + Mae ia
avvolgimento di armatura
(7.4)
Ψe = Le ie + Mae ie
avvolgimenti di eccitazione
(7.5)
In esse, i coefficenti di auto e mutua induzione presenti nelle espressioni dei flussi avranno i seguenti
andamenti qualitativi in funzione di θr 10 (Fig.7.17):
- Induttanza propria dell’avvolgimento di eccitazione :
Le (θr ) = Le =
costante
(7.6)
- Induttanza propria dell’avvolgimento di armatura (Fig.7.18):
Lad + Laq
2
Lad − Laq
L̂ =
2
La (θr ) = L0 + L̂ cos(2θr )
L0 =
(7.7)
(7.8)
(7.9)
- Induttanza mutua tra gli avvolgimenti di armatura ed eccitazione (Fig.7.19):
Mae (θr ) = −Gae cos(θr )
Da tali andamenti si deduce quanto segue:
10
Supporemo per semplicità di tipo sinusoidale gli andamenti periodici delle induttanze
(7.10)
7.3. DETERMINAZIONE DEL MODELLO DAL PUNTO DI VISTA DEI CIRCUITI ACCOPPIATI129
Figura 7.18: Andamento qualitativo dell’induttanza propria dell’avvolgimento di armatura
Figura 7.19: Andamento qualitativo dell’induttanza mutua armatura-eccitazione
130
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Figura 7.20: Andamento qualitativo della derivata dell’induttanza mutua armatura-eccitazione
- la derivata dell’induttanza propria dell’avvolgimento di eccitazione rispetto la posizione θr è
sempre identicamente nulla;
- la derivata dell’induttanza propria dell’avvolgimento di armatura rispetto la posizoione θr è
nulla in corrispondenza di θr = π/2 dove l’induttanza ha un minimo;
- la derivata dell’induttanza mutua rispetto la posizione θr è del tipo (Fig.7.20)
dMae
= Gae sin θr
dθr
(7.11)
e il suo valore calcolato in θr = π/2 vale:
dMae = Gae
dθr π2
(7.12)
Sostituendo le espressioni dei flussi concatenati nelle equazioni delle tensioni degli avvolgimenti si
ottiene:
d
dia
dLa dθr
die
dMae dθr va = Ra ia + (La ia + Mae ie ) = La
+ ia
+ Mae
+ ie
(7.13)
π
dt
dt
dθr dt
dt
dθr dt
2
d
die
dLe dθr
dia
dMae dθr ve = Re ie + (Le ie + Mae ia ) = Le
+ ie
+ Mae
+ ia
(7.14)
π
dt
dt
dθr dt
dt
dθr dt
2
e sostituendo le espressioni dei coefficienti induttivi e delle loro derivate calcolate in θr = π/2 si
ha:
dia
dθ0
+ ie Gae r
dt
dt
dθr00
die
+ ia Gae
ve = Re ie + Le
dt
dt
va = Ra ia + La
(7.15)
(7.16)
I termini del tipo “variazione della posizione nel tempo”sono stati distinti nelle equazioni di
armatura ed eccitazione in quanto:
7.3. DETERMINAZIONE DEL MODELLO DAL PUNTO DI VISTA DEI CIRCUITI ACCOPPIATI131
- dθr0 /dt nell’equazione di armatura (7.15), rappresenta la velocità tra il flusso di eccitazione
e le bobine di armatura; effettivamente, essa coincide con la velocità di rotazione del
rotore ωr ; [-]dθr00 /dt nell’equazione di eccitazione (7.16), rappresenta, la velocità tra il flusso
di armatura e le bobine di campo; tale velocità è nulla, in quanto le bobine di campo sono
ferme rispetto al flusso di armatura.
Pertanto, dalle precedenti considerazioni, ponendo per comodità La = Laq , si ottengono le seguenti
equazioni elettriche della macchina in corrente continua:
dia
+ Gae ie ωr
dt
die
ve = Re ie + Le
dt
va = Ra ia + La
tensione di armatura
(7.17)
tensione di eccitazione
(7.18)
Considerando anche le equazioni dei flussi, si è soliti definire:
flusso di armatura11
flusso di eccitazione
Φa = La ia
Φe = Le ie
(7.19)
(7.20)
da cui si trova anche:
dΦa
+ Gae ie ωr
dt
dΦe
ve = Re ie +
dt
va = Ra ia +
tensione di armatura
(7.21)
tensione di eccitazione
(7.22)
Nell’equazione della tensione di armatura, il termine proporzionale alla velocità di rotazione rappresenta la tensione indotta, che considerando il legame (7.20) tra flusso e corrente di eccitazione
si può scrivere:
e = Gae ie ωr = Ke Φe ωr
tensione indotta
(7.23)
avendo definito in coefficiente12 :
ke = Gae
ie
Gae
=
Φe
Le
(7.24)
Per i capitoli successivi è utile riscrivere l’equazione 7.24 in questo modo:
ke Φe = Gae ie
7.3.2
(7.25)
Espressione della coppia
Per quanto riguarda la coppia elettromagnetica, nel caso di una struttura elettromagnetica con un
avvolgimento sullo statore (1) ed uno sul rotore (2) si aveva l’espressione generale (vedere Cap.
3.4.3):
1 dL1 (θr )
dM (θr ) 1 2 dL2 (θr )
C = i21
+ i1 i2
+ ı2
2
dθr
dθr
2
dθr
12
Il coefficiente Ke risulta costante in ipotesi di linearità del circuito magnetico.
132
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Figura 7.21: Rappresentazione circuitale della macchina in corrente continua
procedendo come al paragrafo precedente, si può specializzare tale espressione per la macchina
in corrente continua considerando il valore della derivata dei coefficienti induttivi in θr = π/2.
Sostituendo e → 1 ed a → 2 si ha:
1 2 dL1 (θr )
dM (θr ) 1 2 dL2 (θr ) ia
+ ia ie
+ ıe
(7.26)
C=
π
2
dθr
dθr
2
dθr
2
dalla quale si ricava immediatamente:
C = Gae ia ie
(7.27)
In base alle (7.20) (7.24), la coppia elettromagnetica si può anche scrivere in funzione del flusso di
eccitazione e della corrente di armatura:
C = ke Φe ia
(7.28)
Ke Φ
(7.29)
Mentre si definisce coefficiente di coppia:
e si può dimensionare sia in
7.3.3
V
Nm
sia in
A
rad/s
Rappresentazione circuitale
Le equazioni elettriche e l’espressione della coppia, insieme all’equazione di equilibrio meccanico,
definiscono il modello elettromagnetico della macchina in corrente continua. La rappresentazione
circuitale associata è illustrata in (7.21) Si può scrivere:
J
dωr
= C − Cr
dt
(7.30)
L’induttanza d’armatura non influisce sulla coppia e per evitare alte dispersioni per effetto Joule
bisogna progettare motori con un Ra piccola.
7.4. DINAMICA DEI MOTORI A C.C
133
Figura 7.22: Motore con eccitazione indipendente
7.4
7.4.1
Dinamica dei motori a C.C
Modello dinamico della macchina a c.c.
Nello studio della dinamica del motore a c.c. si trascureranno gli effetti della saturazione
magnetica, che rende non lineare il legame tra le correnti ed i flussi di macchina.
In particolare, trascurando la saturazione magnetica non si ha alcun effetto della corrente di armatura sul flusso di eccitazione13 ; il quale dipende esclusivamente dalla corrente di eccitazione ed
è ad essa proporzionale:
[h]Φe (t) = Le ie (t)
(7.31)
Si consideri il motore a c.c. con eccitazione indipendente di Fig.7.22 e si scrivano le equazioni
differenziali che descrivono l’equilibrio delle tensioni elettriche nei due circuiti14 :


 ve (t) = Re ie (t) + Le die (t)
dt
(7.32)
di

 va (t) = Ra ia (t) + La a (t) + e(t)
dt
La f.e.m indotta è legata al flusso di eccitazione dalla:
e(t) = ke ωr (t)Φe (t)
(7.33)
e(t) = Gae ωr (t)ie (t)
(7.34)
Gae = Ke Le
(7.35)
che dalla (7.31) si può esprimere:
essendo
13
Si trascura quindi anche la cosiddetta “reazione di armatura”, cioè la riduzione del flusso di eccitazione dovuto
alla saturazione del circuito magnetico causata dalla corrente di armatura
14
Il motore in c.c. ad eccitazione indipendente fornisce il modello di macchina nella sua formulazione più generale.
I modelli per le altre tipologie di macchina (serie, parallelo, etc) si ottengono da questo semplicemente introducendo
i vincoli di alimentazione fissati dal caso specifico
134
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
In base a questa posizone la (7.32) diventa:


 ve (t) = Re ie (t) + Le die (t)
dt

 va (t) = Ra ia (t) + La dia (t) + Gae ωr (t)ie (t)
dt
(7.36)
Il precedente sistema può essere scritto in forma matriciale:


d
0
ve (t)
Re + Le dt
 ie (t)
=
d  ia (t) =
va (t)
Gae ωr (t) Ra + La
dt
Re 0
Le 0 d
0 0
ie (t)
=
+
+
ω (t)
0 Ra
0 La dt
Gae 0 r
ia (t)
v = Ri + L
di
+ ω(t)Ki
dt
(7.37)
(7.38)
(7.39)
Per completare il modello dinamico è necessario associare alle equazioni elettriche (7.36) l’espressione della coppia elettromagnetica, che possiamo ricavare a partire da considerazioni energetiche
come segue.
La totale potenza istantanea assorbita dalla macchina è pari a:
p(t) = ve (t)ie (t) + va (t)ia (t) = iT v
(7.40)
Sostituendo la (7.39) nella (7.40), si ottiene:
p(t) = iT Ri + iT L
di
+ iT ωr (t)Ki
dt
(7.41)
Quindi la potenza assorbita è pari alla somma di tre addendi che si vanno ad esplicitare:
Re 0
ie (t)
i Ri = ie (t) ia (t)
= Re i2e (t) + Ra i2a (t)
0 Ra ia (t)
T
(7.42)
rappresenta le perdite per effetto Joule negli avvolgimenti:
Le 0 d ie (t)
di d 1 2
1
dWf (t)
2
i L = ie (t) ia (t)
=
Le ie (t) + La ia (t) =
0 La dt ia (t)
dt
dt 2
2
dt
T
(7.43)
rappresenta la variazione di energia magnetica Wf (t) associata ai due campi;
T
i Kωr (t)i = ie (t) ia (t)
0 0
ie (t)
ω (t)
= Gae ωr (t)ie (t)ia (t)
Kt 0 r
ia (t)
(7.44)
7.4. DINAMICA DEI MOTORI A C.C
135
Poichè l’energia del sistema si deve conservare, quest’ultimo termine deve rappresentare la quota
parte di energia elettrica trasformata in energia meccanica:
pm (t) = Gae ωr (t)ie (t)ia (t)
(7.45)
dalla quale è possibile calcolare la coppia sviluppata dal motore:
c(t) =
pm (t)
= Gae ie (t)ia (t)
ωr (t)
(7.46)
Si puõ ora scrivere l’ultima equazione differenziale che, assieme alle due precedenti, permette di
descrivere l’intero sistema elettromeccanico15 :
c(t) = Gae ie (t)ia (t) = cr (t) + J
Dωr (t)
+ Dωr (t)
dt
(7.47)
essendo:
- J il momento d’inerzia del motore più quello del carico16 ;
- D il coefficiente di attrito del motore più quello del carico;
- cr la coppia resistente del carico
L’intero sistema elettromeccanico è quindi descritto dal sistema di equazioni differenziali che
derivano dalle (7.36) e dalla (7.47)

die (t)


ve (t) = Re ie (t) + Le


dt

dia (t)
(7.48)
+ Gae ωr (t)ie (t)
va (t) = Ra ia (t) + La

dt



 c (t) = G i (t)i (t) − J dω(t) − Dω (t)
r
ae e
a
r
dt
Lo studio della dinamica del motore a c.c. comporta quindi la risoluzione del sistema di equazioni
differenziali (7.48) nelle variabili di stato correnti (di armatura ed eccitazione) e velocità. Il modello
è non lineare per la presenza di prodotti tra le variabili di stato 17 . L’integrazione di tale modello
in forma chiusa è possibile solo sotto alcune ipotesi semplificative, come nel caso del controllo ad
eccitazione costante che vedremo nel seguito. Altrimenti è possibile integrare il sistema non lineare
per via numerica.
7.4.2
Limiti e regioni di funzionamento del motore c.c. ad eccitazione
indipendente
Le tensioni e le correnti che possono essere applicate ad un motore in corrente continua devono
rimanere entro specifici limiti, che rappresentano i loro valori nominali o di targa, oltre i quali
15
Nello scrivere la (7.47) si è trascurata l’elasticità dell’albero, descrivendo tutto il sistema meccanico con una
cola velocità di rotazone ωr (t)
16
Se la velocità del carico non è uguale a quela del motore per la presenza di un variatore di velocità, sia il
momento d’inerzia che il coefficiente di attrito del carico devono essere riporrtati all’asse del motore.
17
Si osservi come il sistema si non-lineare benché si sia stato considerato lineare dal punto di vista magnetico,
cioè si sia trascurata la saturazione
136
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
gli avvolgimenti del motore risulterebbero eccissivamente sollecitati per un corretto e prolungato
funzionamento.
Per determinare i limiti e le regioni di funzionamento del motore a corrente continua ad eccitazione indipendente si fa riferimento al suo funzionamento a regime (stazionario). Si intende
funzionamento a regime stazionario quando le grandezze u, i ed ω sono costanti e pari a U , I ed
Ω rispettivamente.
Ad esempio la corrente di armatura Ia dovrà avere ampiezza in valore assoluto non superiori al valore nominale IaN oltre il quale le perdite Joule che si producono nel circuito indotto porterebbero
la temperatura di regime di questo componente ad assumere valori inaccettabili per i materiali
isolanti ivi presenti.
Solo per brevi intervalli di tempo si ammettono correnti maggiori della nominale, sfruttando l’inerzia termica del rotore: limite di corrente nel funzionamento intermittente. Tale limite non deve
comunque superare la capacit‘a di commutazione del sistema spazzola-collettore; il suo valore,
unitamente al tempo per cui è applicabile, fanno parte dei dati di targa del motore.
Anche la tensione alle spazzole deve rimanere entro il suo valore nominale UaN , che dipende dai
criteri di isolamento adottati e dall’esigenza di rispetatre i limiti di funzionamento del collettore.
Infine anche per il circuito di campo saranno definite la corrente nominale IeN e la corrispondente
tensione nominale UeN . Il progettista del motore avrà evidentemente coordinato tali valori nominali in modo che al loro contemporaneo raggiungimento si produca il flusso nominale ΦN per il
quale è stato dimensionato il circuito magnetico del motore.
In sintesi i limiti di funzionamento a regime si potranno esprimere con le:
|Ia | 6 IaN
|Ua | 6 UaN
|Φ| 6 ΦN
(7.49)
I limiti sopra esposti non sono fra loro indipendenti e producono corrispondenti limiti di coppia
e di velocità.
Tutto ciò può essere studiato ed evidenziato con l’ausilio di un piano Φ − Ia , rappresentato in
7.23, sul quale si possono facilmente tracciare i limiti di corrente di armatura e il limite di flusso
induttore (di quest’ultimo è stato tracciato il solo limite positivo assumendo che il flusso assuma,
come solitamente accade, solo valori positivi).
Per quanto riguarda il limite di tensione esso si può esprimere in funzione di Ia e φ sfruttando le
(7.22) e (7.23) scritte a regime, cioè ponendo a zero il termine derivativo, ottenendo
|Ra Ia + Ke ΦΩ| 6 UaN
(7.50)
Essendo la caduta resistiva sempre molto inferiore alla tensione nominale del motore, essa può
essere trascurata nella (7.50), giungendo quindi facilmente a
Φ6
Ua N
Ke |Ω|
(7.51)
Il limite espresso dalla (7.51), è una retta verticale sul piano Φ − Ia , la cui ascissa è espressa dal
secondo membro della (7.51) stessa. Si riconosce che il limite di tensione dipende dalla velocità
del motore come evidenziato a tratteggio in Fig.7.23.
Esiste un valore di velocità per il quale la (7.51) coincide con la terza delle (7.49). Esso prende il
nome di velocità base e risulta dato da:
7.4. DINAMICA DEI MOTORI A C.C
Figura 7.23: Limiti di tensione e di corrente d’armatura e di flusso induttore
137
138
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Figura 7.24: Regioni di funzionamento del motore c.c
ΩP =
UaN
Ke ΦN
(7.52)
Per velocità inferiori alla velocità base, come Ω1 di Fig.7.23, il limite di tensione eccede quello
di flusso. Ciò significa che dovendo rispettare il limite di flusso, la tensione non raggiunge il suo
valore nominale. Per velocità invece superiori alla velocità base, come Ω2 in figura, il limite di
tensione è più severo di quello di flusso e dovrà essere osservato riducendo opportunamente il valore
di flusso del motore. Per individuare quale flusso induttore convenga produrre nel motore, fra i
valori ammessi dai limiti appena discussi, è opportuno tracciare sul piano Φ − Ia anche le curve
a coppia costante che, per la (7.28) valida ovviamente anche a regime, sono delle iperbole, come
mostrato ancora in Fig.7.23.
Data una certa corrente di armatura, si riconosce che il motore produce la massima coppia possibile
quando si impone il massimo flusso induttore ammesso. La conseguenza di tale deduzione è che
per velocità inferiori alla velocità base la macchina lavorerà a flusso costante e pari al flusso
nominale rendendo disponibile sempre la coppia nominale, che si ottiene con corrente di armatura
nominale. La regione di funzionamento con velocità inferiore alla velocità base prende per questo
il nome di regione a coppia (disponibile) costante o a flusso costante. Essa è rappresentata sul
piano Ω − T da un rettangolo centrato attorno all’origine degli assi, entro il quale cade il punto
di funzionamento come mostra la Fig.7.24 Per velocità (in valore assoluto) superiori alla velocità
base il motore lavorerà invece con il più alto valore di flusso ammesso dalla (7.51) e quindi con un
flusso inversamente proporzionale alla velocità e tale da produrre a tutte le velocità una tensione
ai morsetti della macchina costante e pari al valore nominale. La coppia disponibile, ottenibile
sempre con corrente nominale, è in questo caso decrescente con la velocità come il flusso.
Data l’ipotesi di assenza di perdite sugli avvolgimenti, la potenza meccanica disponibile, data dal
prodotto della coppia disponibile per la velocità, è costante e pari alla potenza elettrica disponibile
IaN UaN , come è immediato verificare.
La regione di funzionamento con velocità superiore alla velocità base prende per questo il nome di
7.5. CONTROLLO IN VELOCITÀ DEL MOTORE IN C.C.
139
Figura 7.25: motore ad eccitazione indipendente a regime
regione a potenza (disponibile) costante, o deflussaggio. Essa si estende teoricamente fino a velocità
infinita, ma in pratica sarà impiegabile fino ad una certa velocità massima, compatibile con gli
sforzi centrigughi che il rotore riesce a sopportare e con la capacità del sistema spazzole-collettore
di commutare la corrente; normalmente si ha ΩM = (2 ÷ 6)ΩB . Con riferimento a quest’ultimo
aspetto può rendersi necessario ridurre al di sotto della corrente nominale il limite di corrente per
le velocità più elevate.
7.5
7.5.1
Controllo in velocità del motore in c.c.
Introduzione
La comprensione delle modalità di controllo della velocità del motore in corrente continua è basata
sull’analisi delle caratteristiche di funzione statiche, vale a dire le curve che, a regime, mettono
in relazione le grandezze elettriche (tensioni e correnti), la coppia sviluppata e la velocità di rotazione.
Nel segutio si farà riferimento al caso del motore in corrente continua ad eccittazione indipendente, il cui schema elettrico a regime è illustrato in Fig.7.25. Le equazioni da considerare nel
funzionamento a regime sono:
Ve
Φe
Va
E
C
C
7.5.2
= Re Ie
= Le Ie
= E + Ra Ia
= Ke Φe ωr
= Ke Φe Ia
= Cr
tensione di eccitazione
flusso di eccitazione
tensione di armatura
tendione indotta
coppia
equilibrio dinamico 18
(7.53)
(7.54)
(7.55)
(7.56)
(7.57)
(7.58)
Caratteristica meccanica coppia-velocità
La caratteristica meccanica esprime l’adamento C − ωr della coppia sviluppata dal motore in
funzione della velocità di rotazione.
140
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Figura 7.26: Caratteristica meccanica
Nel caso del motore in c.c. ad eccitazione indipendente, ricavando la corrente di armatura Ia dalla
(7.55) si ottiene:
Va − E
(7.59)
Ia =
Ra
dalla quale, tenendo conto della (7.56), si ha:
Ia =
Va − Ke Φe ωr
Ra
Sostituendo la (7.60) nella (7.57) si ottiene:
Ke Φe Va Ke2 Φ2e
Va − Ke Φe ωr
C = Ke Φe
=
−
ωr
Ra
Ra
Ra
(7.60)
(7.61)
La (7.61) fornisce la funzione C = C(ωr ), vale a dire proprio la caratteristica meccanica.
Nelle ipotesi di flusso di eccitazione a tensione di armatura costante, tale caratteristica è tipicamente una retta con pendenza negativa, della forma:
C(ωr ) = a − bωr
(7.62)
con
Ke Φe Va
K 2 Φ2
b= e e
(7.63)
Ra
Ra
come rappresentato in Fig.7.26 Il punto di funzionamento a regime del motore è individuato dalla
intersezione tra la sua caratteristica meccanica e la caratteristica di coppia resistente. In Fig. 7.27
è illustrato il caso di funzionamento a coppia nominale.
In particolare, dalla (7.61) è immediato ricavare la velocità a vuoto ωr0 , alla quale si porta il
motore quando la coppia resistente è nulla e C ∼
= 0:
a = CS =
ωr0 =
Va
Ke Φe
(7.64)
7.5. CONTROLLO IN VELOCITÀ DEL MOTORE IN C.C.
141
Figura 7.27: Punto di lavoro a coppia nominale
La velocità a vuoto risulta essere direttamente proporzionale alla tensione di armatura ed inversamente proporzionale al flusso.
Nell’espressione (7.62) le costanti a e b rappresentano rispettivamente la coppia di spunto (Cs ) e
la pendenza della caratteristica; entrambe queste quantità sono, in genere, molto grandi. Pertanto
la caratteristica meccanica dei motori in c.c. ad eccitazione indipendente da luogo ad un funzionamento a velocità pressoché costante al variare del carico (la variazione di velocità nel funzionamento
da vuoto al carico nominale è, tipicamente, dell’ordine del 5% come illustrato in Fig.7.27).
È importante osservare che, affinché la coppia vari linearmente con la velocità, gli altri termini
nella (7.61) devono rimanere costanti al variare del carico19 .
7.5.3
Controllo di velocità dei motori in c.c.
Ragionando sulla caratteristica meccanica (7.61) è possibile individuare le seguenti modalità di
controllo della velocità di un motore a c.c.:
- controllando la tensione di armatura Va ;
- controllando il flusso di eccitazione Φe ;
- controllando la resistenza d’armatura Ra ;
Controllo della tensione di armatura
In questo metodo di controllo della velocità, la tensione di armatura Va viene variata, tenendo
costanti la resistenza Ra del circuito d’armatura e la corrente di eccitazione Ie0 quest’ultima, in
19
In particolare si deve ipotizzare che l’aumento di corrente di armatura che si ha al crescere del carico non
deve generare effetti di saturazione (che riducono il flusso di eccitazione) né variazione per surriscaldamento della
resistenza di armatura.
142
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Figura 7.28: Controllo della tensione di armatura
Figura 7.29: Effetto della variazione della tensione di armatura sulla caratteristica meccanica
genere, al suo valore nominale in modo da garantire la massima capacità di coppia. In Fig. 7.28 è
mostrata una possibile soluzione realizzativa nella quale l’avvolgimento di eccitazione è alimentato
dalla sorgente in continua a tensione costante (V ), mentre l’armatura è alimentata in parallelo attraverso un’apparecchiatura, tipicamente un convertitore statico, in grado di trasformare potenza in
c.c. a tensione costante in potenza in c.c. a tensione variabile20 Dall (7.62), (7.63) e (7.64) si osserva che la tensione di armatura determina il valore della velocità a vuoto della corrente d’armatura,
Va ↑ −E
e della coppia elettromagnetica, C ↑= Ke Φe (Ia ↑), che determina un aumento
Ia ↑=
Ra
della velocità. Corrispondentemente si a un aumento della f.e.m indotta, E ↑= Ke Φe (ωr ↑), che
causa una diminuzione della corrente d’armatura; ciò comporta una riduzione della coppia motrice
C fino a che, nella nuova condizione di regime, si ha C = Cr per una velocità superiore a quella di
partenza.
L’effetto di un aumento della tensione d’armatura sulla caratteristica C − ωr è mostrato in Fig.7.29
La relazione che lega l’aumento di velocità con quello della tensione di armatura è rappresentato
dalla (7.60), qui riscritta come:
Va = Ra Ia + Ke Φe ωr
20
Si tratta di un convertitore cc/cc, il chopper descritto al par.6.3.4
(7.65)
7.5. CONTROLLO IN VELOCITÀ DEL MOTORE IN C.C.
143
Figura 7.30: Andamento tensione di armatura-velocità
Considerando la relazione di proporzionalità esistente, a flusso di eccitazione costante, tra la
corrente di armatura e la coppia (cioè il carico):
C = Ke Φe Ia = Cr
(7.66)
Va = kCr + Ke Φe ωr
(7.67)
la (7.65) può scriversi:
Tale relazione esprime un legame lineare tra la tensione di armatura e la velocità. In particolare,
a vuoto (Cr = 0 → Ia = 0) si tratta di una retta passante per l’origine, mentre a carico si
ha una tensione a velocità nulla pari alla caduta Ra Ia nella resistenza dell’avvolgimento. Tale
caduta è tipicamente trascurable rispetto la tensione di armatura nominale (Van ), come illustrato
in Fig.7.3021
Controllo dell’eccitazione
Il controllo dell’eccitazione è più semplice da realizzare ed è meno costoso, poiché avviene ad
un livello di potenza notevolmente inferiore. Tuttavia, a causa dell’elevato valore dell’induttanza
dell’avvolgimento di eccitazione, la variazione della corrente di eccitazione, e quindi della coppia,
avviene lentamente, causando una lenta risposta nella variazione della velocità.
In questo metodo di controllo della velocità, la resistenza d’armatura Ra e la tensione ai morsetti
di macchina rimangono costanti. La velocità è controllata variando la corrente d’eccitazione Ie .
Una soluzione classica è illustrata in Fig. 7.31: l’avvolgimento di armatura è alimentato dalla sorgente in continua a tensione costante (V ), l’avvolgimento di eccitazione è alimentato in parallelo
attraverso un reostato detto “di campo”Rc , agendo sul quale è possibile variare la corrente di eccitazione indipendentemente dalla corrente di armatura22 . Trascurando l’effetto della saturazione,
il flusso Φe può ritenersi proporzionale alla corrente di eccitazione Ie secondo l’equazione (7.54).
Considerando pertanto le intersezioni della caratteristica coppia-velocità con gli assi, rispettivamente la coppia allo spunto CS (7.63) e la velocità a vuoto ωr0 (7.64), è facile verificare come la
21
Nella figura è illustrato anche il punto di funzionamento “nominale”della macchina, caratterizzato da flusso
(corrente) di eccitazione, tensione di armatura e corrente di armatura nominali.
22
Una soluzione più moderna prevede l’uso di un chopper per l’alimentazione dell’avvolgimento di eccitazione
144
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Figura 7.31: Controllo della corrente di eccitazione
prima aumenta proporzionalmente al crescere di Φe mentre la seconda diminuisce in modo inversamente proporzionale, come indicato in Fig.7.3223 .
Di conseguenza, la pendenza della caratteristica C−ωr cresce con il quadrato del flusso (corrente) di
eccitazione, come confermato dalla (7.63). L’effetto risultante della variazione della resistenza dell’avvolgimento di campo, e quindi della corrente di eccitazione, sulla caratteristica coppia-velocità
è illustrato in Fig.7.33. Pertanto, per un fissato valore costante di coppia resistente, una riduzione
del flusso (corrente) di eccitazione provoca quindi un aumento di velocità e corrispondentemente
un aumento della corrente di armatura per soddisfare l’equazione della coppia.
Il meccanismo transitorio è il seguente: se da una condizione di regime viene ridotto il flusso di
eccitazione si ha una riduzione della f.e.m. indotta E ↓= Ke (Φe ↓)ωr , che causa un aumento
Va − E ↓
; tale aumento è più importante, nell’espressione della
della corrente di armatura Ia ↑=
Ra
coppia, della riduzione del flusso, per cui la coppia aumenta C ↑= Ke (Φe ↑) (Ia ↑) e determina un
aumento della velocità. Di conseguenza si ha un aumento della tensione indotta, una riduzione
della corrente di armatura e della coppia motrice C fino a che, nella nuova condizione di regime,
si ha C = Cr per una velocità superiore a quella di partenza.
Quindi per condizioni di tensione d’armatura costante e pari al valore nominale, l’espressione (7.63)
mostra che variando Φ, la coppia di spunto CS varia come Φ mentre la velocità ωr0 varia come il
suo reciproco. Al variare di Φ, si ha cioè una rotazione delle caratteristiche meccaniche, attorno
al punto P; la Fig.7.34 mostra (non in scala per ovvie esigenze grafiche) le caratteristiche relative
a due valori di flusso Φ e Φ − dΦ arbitrariamente vicini tra loro. È importante notare che per
velocità minori di ωP la coppia si riduce al diminuire di Φ mentre al di sopra di ωp essa cresce. Con
una caratteristica di carico come la (1) di Fig.7.34 in corrispondenza ad una diminuzione di flusso
si ha allora una riduzione di velocità, mentra con una caratteristica come la (2) si ha un aumento
di velocità.
Spesso si deisdera mantenere un comportamento analogo a quello del funzionamento a vuoto
23
Si noti che se si apre il circuito di eccitazione (ovvero Ie → 0), la velocità può diventare eccissiva e quindi
pericolosa
7.5. CONTROLLO IN VELOCITÀ DEL MOTORE IN C.C.
145
Figura 7.32: Andamento della velocità a vuoto in funzione della corrente di eccitazione
Figura 7.33: Effetto della variazione della corrente di eccitazione sulla caratteristica meccanica
146
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Figura 7.34: Caratteristica meccanica nella regolazione di campo
(retta C=0), per cui si richiede un aumento di velocità al calare del flusso ed è quindi necessario
richiedere al motore coppie inferiori a quella relativa al punto P di rotazione delle caratteristiche
meccaniche per ogni valore di Φ.
Le coordinate del punto P di rotazione possono essere ottenute calcolando la derivata della coppia
C rispetto a Φ, determinando poi il valore ω = ωP che annulla tale derivata. Si ha:
Ke Va 2Ke2 Φ
dC
=
−
ω
dΦ
Ra
Ra
(7.68)
che si annulla per
ωP =
Va
ωr0
=
labelequ190
2Ke Φ
2
(7.69)
In corrispondenza si ha
Va − Ke ΦωP
Va
CS
= Ke Φ
=
Ra
2Ra
2
e la potenza assorbita nel punto P vale:
CP = Ke Φ
CP ωP =
Va2
4Ra
(7.70)
(7.71)
Se si considera un azionamento a tensione d’armatura impressa e costante, il luogo tracciato sul
piano C − ω dal punto P di rotazione al variare del flusso Φ è dunque un iperbole, come mostrato
in Fig.7.35.
La corrente assorbita nel punto P , si ricava dalla (7.65) e vale:
Ia (ωP ) =
Va
IS
=
2Ra
2
(7.72)
Per una tensione d’armatura pari al valore nominale, Ia (ωP ) è solitamente maggiore della corrente
nominale del motore; in genere, quindi, si opera con coppie inferiori a CP , limitate da Ia 6 IaN . Il
limite di tensione e corrente nel piano (ω − C) è dato da un’iperbole espressa dall’equazione:
P = VaN IaN
(7.73)
7.5. CONTROLLO IN VELOCITÀ DEL MOTORE IN C.C.
147
Figura 7.35: Rotazione delle caratteristiche meccaniche e limite di funzionamento
costante, come riportato in Fig.7.35.
Minore è il flusso Φ, maggiore è la velocità e minore è la coppia disponibile. Vi è un limite inferiore
di Φ ed è legato al fenomeno della commutazione.
Minore è Φ, maggiore è la distorsione di campo al traferro (anche la ridotta saturazione del circuito
magnetico) dovuta alla reazione di indotto che rimane di intensità inalterata. Ciò complica la
commutazione, tenedo anche conto che la velocità è elevata. Siccome la reazione di indotto tende
a far diminuire il flusso induttore, si può manifestare una instabilità a cui si fa fronte sempre con
gli avvolgimenti compensatori ed eventualmente con una eccitazione di tipo serie.
Campi di funzionamento con controllo della tensione di armatura e con controllo
dell’eccitazione
I due metodi di regolazione di velocità illustrati hanno applicazione in differenti campi di velocità.
Nel controllo dell’eccitazione, quanto più bassa è la corrente d’eccitazione, tanto più alta è la
velocità di rotazione e viceversa. Poiché un aumento della corrente di eccitazione causa una
riduzione della velocità, esiste un valore minimo limite di velocità, corrispondente alla massima
corrente di eccitazione.
Nel controllo della tensione di armatura, poiché al crescere della tensione corrisponde un aumento
della velocità, esiste un valore massimo limite di velocità, corrispondnete al valore nominale della
tensione.
Se il motore lavora in corrispondenza dei valori nominali di tensione d’armatura, di corrente di
armatura e di corrente d’eccitazione, esso ruoterà alla velocità nominale, nota anche come
“velocità base”. Il controllo sulla corrente di eccitazione può essere impiegato per ottenere velocità
maggiori della velocità base, ma non per velocità al di sotto di essa, in quanto in quest’ultimo caso
la corrente di eccitazione dovrebbe superare il suo valore massimo consentito. Il controllo sulla
148
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Figura 7.36: Andamento della potenza meccanica massima e della coppia massima in funzione
della velocità
tensione, al contrario, può essere impiegato per velocità minori di quella base, ma non per quelle
maggiori, per le quali sarebbe necessaria una tensione maggiore della nominale.
Queste tecniche di controllo della velocità sono quindi complementari, in particola:
- il controllo della tensione d’armatura viene attuato per velocità al di sotto della velocità base;
- il controllo dell’eccitazione per velocità al di sopra della velocità base.
Combinando in uno stesso motore le due tecniche di controllo, è possibile ottenere un ampio campo
di regolazione della velocità.
È importante determinare gli andamenti in funzione della velocità dei valori massimi di coppia e
di potenza, imposti dal massimo valore della corrente di armatura.
Nel controllo della tensione d’armatura, il flusso nel motore è costante e la coppia massima vale:
Cmax = Ke Φe Ia,max
(7.74)
La coppia massima è quindi costante indipendentemente dalla velocità del motore. Dato che la
potenza all’asse del motore è data da P = Cωr , la potenza massima del motore, per valori di
velocità minori di quella base, è pari a:
Pmax = Cmax ωr
(7.75)
cioè direttamente proporzionale alla velocità.
In conclusione, con il controllo sull’armatura il motore lavora a coppia massima costante e a potenza
massima variabile linearmente con la velocità, Fig.7.36 Nel controllo dell’eccitazione, l’aumento di
velocità è ottenuto riducendo il flusso, mentre la tensione di armatura é costante pari al valore
nominale. Assumendo la corrente di armatura massima, dalla (7.65) si ricava:
Φe =
1
Van − Ra Ia,max
∝
Ke ωr
ωr
(7.76)
7.5. CONTROLLO IN VELOCITÀ DEL MOTORE IN C.C.
149
che indica la legge di riduzione del flusso di eccitazione al di sopra della velocità nominale.
Sostituendo il flusso dalla (7.76) nell’espressione della coppia, sempre assumendo corrente di
armatura massima, si trova:
1
(7.77)
Cmax ∝
ωr
In tal modo si ottiene, per velocità maggiori di quella base, un funzionamento a massima potenza
meccanica costante; si ha infatti:
Pmax = Cmax ωr = K
(7.78)
In definitiva nel controllo dell’eccitazione la potenza massima fornita dal motore è costante, mentre
la coppia massima è inversamente proporzionale alla velocità, Fig.7.36.
In qualche caso si opera anche una inversione del flusso per invertire la velocità o la coppia; tale
inversione va sempre effettuata ad armatura non alimentata, dato che in assenza di flusso la f.e.m.
E si annulla e tutta la tensione d’alimentazione cadrebbe sulla resistenza d’armatura, provocando
una corrente molto elevata.
Per individuare i segni delle tensioni e correnti per ottenere i desiderati versi di velocità e coppia si
può far riferimento alla tabella ??. Ove possibile non si fa l’inversione di campo, perchè associata
Va ≈ E
+
+
+
+
-
Ia
+
+
+
+
-
Φ
+
+
+
+
-
ω C
+ +
- +
+ - - + - +
+ +
Tabella 7.1: Relazione di segno tra grandezze elettriche e meccaniche
ad una induttanza generalmente di valore elevato e quindi presenta una dinamica piuttosto lenta
e si può fare solo a corrente di armatura nulla.
L’inversione di campo induce inoltre f.e.m. nell’avvolgimento di indotto, con possibili scariche
fra le lamelle di collettore e sotto le spazzole, come si può facilmente comprendere ricordando il
meccanisco di induzione di una f.e.m di tipo trasformatorico nella spira in commutazione.
Un tipico esempio di carico adatto per la regolazione di campo è rappresentato dagli avvolgitori/svolgitori. Solitmanete è richiesto che essi esercitino una forza F costante sul filo avvolto; l’espressione della coppia è pertanto legata al raggio r (in continua variazione) del rocchetto avvolto,
C = F ∗ r e ricordando che la velocità angolare ω e quella tangenziale v sono legate dalla relazione
ω = v/r si deduce che il funzionamento richiesto è a potenza costante: C ∗ ω = F ∗ v = costante,
legate direttamente alle due specifiche di progetto F e v.
Si noti come questo sia un esempio in cui l’applicazione richiede un funzionamento a potenza
costante anche nella zona di funzionamento a coppia (disponibile) costante24 ; è importante non
24
Questo è normalmente ottenuto con un opportuno controllo dela corrente di armatura nella regione a coppia
disponibile costante, facendo diminuire la corrente al crescere della velocità. L’esempio ha lo scopo di evidenziare
come il controllo in deflussaggio si adatti bene a carichi che hanno una coppia decrescente con la velocità
150
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Figura 7.37: Distinzione tra curva e regione di funzionamento
confondere i due concetti, il primo relativo ad una strategia di controllo, il secondo legato alle
limitazioni dell’azionamento. La fig.7.37 riassume quanto esposto; a tratto continuo è riportata
la curva effettivamente segutia, che ha come vincolo di sottostare alle limitazioni imposte dalle
regioni di funzionamento del motore, disegnate a tratteggio.
Tuttavia, le applicazioni che trovano maggiore diffusione sono quelle a coppia costante, richieste
dai sistemi di sollevamento (gru, ascensori), dagli estrusori per materie plastiche e dalle macchine
utensili con asportazione di truciolo.
Ventilatori e pompe centrifughe sono carichi che presentano una coppia proporzionale al quadrato
della velocità, mentre le calandre per la carta e le materie plastiche hanno caratteristiche di carico
con attrito viscoso e richiedono dunque una coppia che aumenta leggermente la velocità.
7.5. CONTROLLO IN VELOCITÀ DEL MOTORE IN C.C.
151
Figura 7.38: Variazione della resistenza d’armatura
Variazione della resistenza d’armatura
In questo metodo, la tensione ai morsetti del motore V e la corrente di eccitazione Ie (e quindi il
flusso) sono tenuti costanti ai loro valori nominali. La velocità è controllata variando la resistenza
posta in serie al circuito d’armatura, Fig.7.38. Dall’eq.(7.60), tenendo conto della resistenza Ri , si
ottine:
C=
Ke Φe V
Ke Φ2e
−
ωr
(Ra + Ri ) (Ra + Ri )
(7.79)
Se Φe e V sono costanti la (7.79) si scrive:
C=
K20
K10
−
ωr
(Ra + Ri ) (Ra + Ri )
(7.80)
L’effetto della resistenza aggiuntiva Ri è quello di variare bruscamente la pendenza della caratteristica C − ωr ed il valore della coppia di spunto, lascando inalterato il valore della velocità a vuoto,
(Fig.7.39).
Il controllo della resistenza d’armatura è semplice da realizzare, ma risulta essere poco efficiente a causa delle perdite per effetto Joule che esso comporta; per tale motivo è raramente
impiegato.
152
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Figura 7.39: Effetto della variazione della resistenza di armatura sulla caratteristica meccanica
7.5.4
Comportamento dinamico del motore c.c. a flusso costante
Se il flusso è costante, le equazioni del motore (7.5) e (7.23) sono lineari, in quanto i moltiplicatori diventano operatori lineari, e si può ricavare un modello matematico a blocchi nel dominio di
Laplace (variabile s):
Va (s) = (Ra + sLa )Ia (s) + Ke ΦΩ(s)
(7.81)
Assumendo che τL (ω, t) = τL (t) + Bω e se si indica con CL (s) la trasformata di Laplace della
coppia di carico τL si uò scrivere:
Ke ΦIa (s) = C(s) = CL (s) + BΩ(s) + sJΩ(s)
(7.82)
Lo schema a blocchi è riportato in Fig.7.40 Per caratterizzare il comportamento dinamico del
motore c.c. assunto come comando la tensione Va , come coppia di carico (di disturbo) CL e
come uscita la velocità Ω, si possono ricavare le fuznioni di trasferimento che legano la velocità
all’ingresso e al disturbo. La prima risulta:
1
KΦ 1
Ω(s)
Ra +sLa e B+sJ
=
=
1
2 1
Va (s)
1 + Ra +sL
(K
Φ)
e
B+sJ
a
Ponendo:
G=
1
Ke Φ
(Ra +sLa )(B+sJ)
(Ke Φ)2
1
1
Ke Φ
Ra + sLa
B + sJ
+1
(7.83)
(7.84)
e
H = Ke Φ
(7.85)
La (7.83) può essere riscritta in questo modo:
Ω(s)
G
=
Va (s)
1 + GH
(7.86)
7.5. CONTROLLO IN VELOCITÀ DEL MOTORE IN C.C.
153
Figura 7.40: Schema a blocchi del motore c.c. a flusso costante
Figura 7.41: Schema a blocchi ridotto del motore c.c. a flusso costante
Lo schema a blocchi relativo è rappresentato in Fig.7.41 e GH è la funzione di trasferimento ad
anello. Se si esplicitano i prodotti indicati al denominatore della (7.83) si può scrivere25 :
Ra B
JLa 2 (Ra J + La B)
s +
s+
+1
2
2
(Ke Φ)
(Ke Φ)
(Ke Φ)2
τm1
τa
2
+ 1+
= s τa τm1 + sτm1 1 +
τm
τm
D(s) =
25
(7.87)
Detti p1 e p2 le radici del polinomio D(s), ed a, b, c i coefficienti di D(s), vale p1 p2 = c/a e p1 + p2 = −b/a.
154
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
dove p1 e p2 sono le radici di D(s) = 0, poli della funzione di trasferimento del motore nella
regolazione di tensione di armatura, e si è posto
La
Ra
J
τm =
B
JRa
τm1 =
(Ke Φ)2
τa =
Costante di tempo elettrica del circuito d’armatura
(7.88)
Costante di tempo meccanica del motore
(7.89)
Costante di tempo elettromeccanica del motore
(7.90)
Molto sperro nelle pratica sono verificate due condizioni, di seguito illustrate, che permettono una
scrittura semplificata della (7.87)
1. τa τm ; la costante di tempo elettrica è solitamente molto minore di quella meccanica;
2. τm1 τm ; se si sostituiscono ai simboli le relative definizioni:
J
JRa
2
(Ke Φ)
B
(7.91)
questa disuguaglianza equivale a supporre Ra B (Ke Φ)2 . Se moltiplichiamo quest’ultima
a destra ed a sinistra per IaN ΩN risulta:
IaN ΩN Ra B (Ke Φ)2 IaN ΩN
(7.92)
Ra IaN BΩN Ke ΦIaN Ke ΦΩN
(7.93)
che riordinata risulta:
Ricordandoci che:
VRa
CBN
CN
EaN
= Ra IaN
= BΩN
= Ke ΦIaN
= Ke ΦΩN
La (7.93) può essere cosı̀ riscritta:
VRa CBN CN EaN
(7.94)
e dato che VRa EaN e che CBN CN , la (7.94) risulta legittima26
Se dunque si possono ritenere valide le approssimazioni 1 e 2, la 7.87 diventa:
1
s
2
2
D(s) = s τa τm1 + 1 = τa τm1 s + +
τa τa τm1
(7.95)
e la (7.83) si può scrivere come:
1
Ω(s)
Ke Φ
=
Va (s)
τa τm1(s−p1 )(s−p2 )
26
(7.96)
Occorre prestare attenzione che le approssimazioni sono generalmente valide per motori funzionanti a vuoto.
In presenza di carichi con rilevanti coefficienti di attrito viscoso (per esempio ventilatori) occorre effettuare una
verifica per non incorrere in grossolani errori numerici
7.5. CONTROLLO IN VELOCITÀ DEL MOTORE IN C.C.
155
Le radici del polinomio caratteristico D(s) in questo caso sono:
r
1
4τa
p1,2 =
−1 ± 1 −
2τa
τm1
(7.97)
Il discriminante si annulla per τm1 = 4τa ; in tal caso le radici calcolate nella (7.97) sono reali e
coincidenti:
−1
(7.98)
p1,2 =
2τa
Valori maggiori del momento di inerzia o minori del flusso comportano τm1 > 4τa , e portano dunque
a radici reali e distinte, perché il discriminante rimane in tali casi positivo. Se, come spesso accade,
τm1 4τa , allora:
 1
−


 τm1
2τa
1
−1 ± 1 −
=
p1,2 =
(7.99)

2τa
τm1

1
1
1

− +
≈−
τa τm1
τa
in qunato la radice del discriminante della (7.97) può in tal caso essere approssimata in serie di
Mac Laurin troncata al primo ordine27 .
Se, al contrario, il momento di inerzia è piccolo, tale per cui τm1 < 4τa , le radici sono complesse
coniugate e si ha:
r
1
4τa
−1
(7.100)
−1 ± j
p1,2 =
2τa
τm1
Il luogo delle radici è riportato in Fig.7.42 È utile scindere la (7.96) ricavando la funzione di
trasferimento intermedie, che legano la corrente alla tensione di armatura e alla velocità. Dalla
7.40 risulta:
Ke Φ
Ω(s)
=
funzione di trasferimento meccanica
(7.101)
GM (s) =
Ia (s)
B + sJ
e dunque:
Ia (s)
Ω(s)Ia (s)
1/(Ke Φ)
B + sJ
GE(s) =
=
=
(7.102)
+
Va (s)
Va (s)Ω(s)
τa τm1 (s − p1 )(s − p2 )
Ke Φ
|
{z
} | {z }
Ω
Va
Ia
Ω
Nel caso particolare di radici reali e distinte, con attrito totale trascurabile, la (7.102) cosı̀ si semplifica:
GE(s) =
τa τm1
1/Ke Φ
s + τ1a
s+
1
τm1
sJ
Ra
1/Ke Φ
sJ
1
sτm1
=
=
Ke Φ
Ra (1 + sτa )(1 + sτm1 ) Ke Φ
Ra (1 + sτa )(1 + sτm1 )
(7.103)
Finora si è sempre trascurata l’analisi degli effetti della coppia di carico (di disturbo); la linearità
della trasformazione di Laplace consente infatti di analizzare separatamente gli effetti della tensione d’armatura e della coppia di carico sulla velocità, salvo poi sovrapporli qualora entrino in
f n (0) n
La serie di Mac Laurin per la generica funzione f (x) si esrpime come f (x) = sum∞
x . In particolare
n=0
n!
√
1
1
x
√
f 1 (0) =
= − e dunque 1 − x x→0 ≈ 1 −
2
2
−2 1 − x x=0
27
156
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Figura 7.42: Luogo delle radici, motore a flusso costante
azione contemporaneamente le due cause. La funzione di trasferimento che lega velocità e coppia
di carico è:
Ra + sLa 1
Ω(s)
Ra + sLa Ω(s)
K e Φ Ke Φ
=−
=−
=−
1
1
(R
+
sL
)(B
+
sJ)
CL (s)
Ke Φ Va (s)
a
a
1+
(Ke Φ)2
+1
2
Ra + sLa
B + sJ
(Ke Φ)
(7.104)
Il denominatore è ovviamente lo stesso, ma in questo caso compare anche uno zeri a numeratore.
Per momenti di inerzia sufficientemene grandi vala la (7.99) e si ha la cancellazione dello zero, per
cui la (7.104) diventa:
1
B + sJ
Ω(s)
Ra (1 + sτa )
1
1/Ke Φ
τm1
=−
=−
CL (s)
Ke Φ
(1 + sτa )(1 + sτm1 )
J (1 + sτm1 )
(7.105)
che è una funzione del primo ordine. Se, al contrario, la costante di tempo elettromeccanica non
è molto maggiore di quella elettrica, ad esempio quando il momento di inerzia è molto piccolo, la
funzione di trasferimento non è più del primo ordine, anche se la risposta che ne risulta è molto
simile a quella di un primo ordine. La (7.105) mette in evidenza come il guadagno cresca al
diminuire del flusso. In altre parole, a regime si ha un errore di velocità dovuto alla sola coppia
di carico che tende a crescere al diminuire del flusso (sistema “elastico”). Naturalmente a regime
l’errore può essere comunque nullo se si adotta un opportuno sistema di controllo a catena chiusa.
Quanto detto vale infatti per semplice sistema “motore”, senza legami con il controllo che si intende
adottare.
7.6. AZIONAMENTI CON MOTORE IN CORRENTE CONTINUA
157
Accorgendosi che:
1
Ω(s)
Ke Φ
=−
(Ra + sLa )(B + sJ)
Va (s)
+1
(Ke Φ)2
(7.106)
Ω(s)
Ra + sLa Ω(s)
=−
CL (s)
Ke Φ Va (s)
(7.107)
La (7.104) può essere riscritta:
L’equazione (7.106) risulta dopo opportune sostituzione:
1
Ω(s)
Ke Φ
=
Va (s)
τa τm1 (s − p1 )(s − p2 )
dove:
p1,2
1
=
2τa
r
4τa
−1 ± 1 −
τm1
(7.108)
(7.109)
e p1,2 valgono rispettivamente:
p1 = −
7.6
7.6.1
1
τm1
;
p2 = −
1
τa
(7.110)
Azionamenti con motore in corrente continua
Struttura dell’azionamento
La struttura di principo di un azionamento con motore a corrente continua ad eccitazione indipendente, per il quale si preveda sia il controllo di armatura che quello di campo, è illustrato in
Fig.7.43. Il circuito di armatura e quello di eccitazione sono alimentati da due convertitori statici
che forniscono le desiderate tensioni di armatura va e di eccitazione ve proporzionali ai corrispondenti riferimenti va,rif e ve,rif . Questi ultimo sono prodotti dal controllo dell’azionamento che
elabora i segnali di riferimento della velocità ωrif (o, quando è il caso, quello della coppia o della
posizione) e quelli di reazione, per esempio, con riferimento alla figura, i segnali di velocità delle
correnti di armatura e di eccitazione, ottenuti dai rispettivi trasduttori. Quando non è prevista la
regolazione di campo, l’eccitazione è alimentata a tensione costante.
Numerose sono le possibili configurazioni dei convertitori statici e dei sistemi di controllo. Esse
saranno esaminate in dettaglio nel seguito del capitolo.
Per quanto riguarda i convertitori statici, si fa qui l’assunzione che essi possano erogare tensioni
e correnti sia negative che positive e che la tensione di uscita segua linearmente quella di ingresso
con una dinamica definita da una funzione di trasferimento del primo ordine. Per i convertitori di
assumerà pertanto la relazione in s:
CS(s) =
Kc
V (s)
=
Vrif (s)
1 + sτc
(7.111)
dove Kc è il guadagno (costante) del convertitore e τc è la costante di tempo che definisce il ritardo
con cui la tensione di uscita risponde ad ogni variazione del suo riferimento.
Data una funzione f (t), la sua espressione quando la si ritarda di un tempo TC diventa f (t − TC ).
158
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Figura 7.43: Struttura generale di un azionamento con motore c.c.
Nel dominio di Laplace questo equivale a moltiplicare la trasformata di f (t), F (s), per esTC . Per
piccoli valori di TC si può poi approssimare in serie di McLaurin la funzione esponenziale, ottenendo
la relazione:
1
1
esτc = sτc ∼
(7.112)
=
e
1 + sτc
In genere il valore di τc va dalle frazioni di millisecondo a qualche millisecondo e perciò è solitamente
inferiore alla costante di tempo di armatura che, a sua volta, è inferiore a quella meccanica e a
quella del circuito di eccitazione.
7.6.2
Azionamento con il solo anello di velocià
Si considerano in questo e nei prossimi paragrafi i principali schemi di controllo per azionamenti
impiegati su motori a corrente continua comandati sull’armatura e/o sull’eccitazione da adeguati
convertitori statici di potenza. Per soddisfare alle impegnative esigenze che si incontrano nelle
moderne applicazioni degli azionamenti elettrici, sia per quanto riguarda la precisione a regime sia
per la prontezza dell’intero sistema, il tipo di controllo impiegato è quasi universalmente quello
a catena chiusa e tale sarà quello in esame in questi appunti con riferimento ad un controllo di
velocità.
La configurazione più semplice di azionamento con controllo di velocitá, è quella di Fig.7.44. In
esso un motore con eccitazione costante (in pratica con eccitazione connessa, per esempio, ad un
raddrizzatore a diodi non controllati) è alimentato tramite un convertitore statico con una tensione
di armatura il cui valore di riferimento è prodotto dal regolatore di velocità che elabora l’errore eω
fra il riferimento di velocità ωrif e il segnale di reazione della stessa ωt .
7.6. AZIONAMENTI CON MOTORE IN CORRENTE CONTINUA
159
Figura 7.44: Azionamento con motore c.c. con solo anello di velocità
Al sistema di Fig.7.44 corrisponde lo schema a blocchi di Fig.7.45, nel quale sono messi in evidenza
i blocchi che rappresentano il convertitore (Fig.7.44), il motore e il trasduttore di velocità, asunto
quest’ultimo descritto da una semplice guadagno Ktω
Per un più agile studio della dinamica dell’azionamento e una semplice esposizione dei criteri
di progetto dei regolatori, allo schema di Fig.7.45 si applicano le trasfotmazioni che lo portano a
quello di Fig.7.46: In Fig.7.46 si sono posti:
Rω = Kc Ktω Rω0
ω ∗ = ωrif /Ktω
va∗ = va,rif Kc
Figura 7.45: Schema a blocchi dell’azionamento con solo anello di velocità
(7.113)
160
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Figura 7.46: Schema a blocchi con costanti di trasduzione dei sensori unitarie
Figura 7.47: Schema a blocchi nel dominio di Laplace
Lo schema di Fig.7.46 corrisponde a suppore che il trasduttore di velocità e il convertitore d’armatura abbiano guadagni statici unitari. Un possibile vantaggio sta nel fatto che cosı̀ facendo
i riferimenti, ora indicati con l’asterisco, sono espressi nella stessa scala e unità di misura delle
grandezze cui si riferiscono e i segnali di reazione sono rappresentati dalle stesse grandezze controllate a catena chiusa.
Nel caso si voglia tenere in conto la dinamica del trasduttore di velocità, che come tutti i trasduttori, unitamente al loro sistema di condizionamento del segnale di uscita, avrà una caratteristica
passa basso, lo schema di Fig.7.46 dovrà essere completato inserendo nel canale di reazione la parte
dinamica (a guadagno statico unitario) del sistema di trasduzione.
Assumendo che l’alimentazione dell’eccitazione del motore a tensione costante corrisponda ad
un funzionamento a flusso costante e che il carico meccanico sia descritto dalla relazione lineare
dω
τ =J
+ τL (t, ω), lo schema di Fig.7.46 può essere trasformato nel dominio di Laplace in quello
dt
di Fig.7.47, ove, separatamente, sono messe in evidenza le funzioni di trasferimento tra tensione di
armatura e velocità e fra coppia di carico e velocità (cfr. par, 7.5.4) Le espressioni esplicite delle
due funzioni di trasferimento sono già state ricavate nel par.7.5.4; in particolare si farà riferimento
alle (7.96)28 e (7.103).
In molte applicazioni pratiche non critiche si richiede semplicità circuitale del controllore di velocità, per mantenere bassi costi e ridotti tempi di taratura dell’azionamento. verranno di seguito
28
C’è da sottolineare che la (7.96) è stata ricavata nelle ipotesi di avere τa τm e τm1 τm ; tali ipotesi sono
praticamente sempre verificate se i parametri di inerzia ed attrito viscoso si riferiscono al solo motore; può non
esssere cosı̀ per particolari carichi, ad esempio quelli caratterizzati da grande attrito viscoso come i ventilatori
7.6. AZIONAMENTI CON MOTORE IN CORRENTE CONTINUA
161
esaminati i progetti di due regolatori, di tipo proporzionale (“P”) e proporzionale-integrale (“PI
”), che uniscono semplicità realizzativa a buone prestazioni dinamiche, sufficienti a coprire gra
parte delle applicazioni.
Progetto con regolatore proporzionale (P)
Il regolatore P è il più seplice dei regolatori esistenti; esso viene impiegato in questo caso per produrre un riferimento di tensione d’armatura u∗a proporzionale all’errore tra la velocità desiderata
ω ∗ e la velocità effettiva del motore ω (Fig.7.47). La sua funzione di trasferimento è dunque:
Rω (s) = Kpω
(7.114)
La funzione di trasferimento ad anello per l’azionamento di Fig.7.47, ricordando che ci si è ricondotti ad avere H(jω) = 1 ed utilizzando l’espressione (7.96) per Ω(s)/Va (s), risulta la seguente:
Kpω
Ke Φ GH(jω) =
jω
jω
(1 + jωτc ) 1 −
1−
p1
p2
(7.115)
L’unica variabile di progetto è il guadagno Kpω del regolatore P; un criterio usualmente adottato
consiste nel fissare come specifica un certo margine di fase mϕ di cui per praticità si richiama la
definizione dalla Teoria dei Controlli Automatici:
mϕ = π + ∠GH(jωattr )
(7.116)
dove ωattr rappresenta la pulsazione di attraversamento, per il quale il modulo della gunzione GH
diventa unitario:
|GH(Jωattr )| = 1
(7.117)
Nel caso in esame è dunque sufficiente ricavare ωattr dalla (7.116) imponendo un margine di fase
opportuno (precuazionalemente non inferiore a 40◦ ) e ricavare infine il guadagno Kpω sostituendo
il valore di ωattr trovato nella (7.115) ed imponendo che l’espressione soddisfi la condizione (7.117).
È facile verificare che questo criterio porta a dover risolvere equazioni trascendenti, per le quali
è conveniente ricorrere a mezzi di calcolo automatico. In taluni casi, comunque, i valori numerici
che entrano in gioco consentono si semplificare l’espressione (7.115); un caso non raro è che tra i
poli della funzione ve ne sia uno a frequenza molto elevata rispetto agli altri due, cosı̀ da poter
essere trascurato, in prima approssimazionem neu calcoli di progetto del regolatore.
L’azionamento con regolatore P, non presentando una funzione di trasferimento con poli nell’origine, è un sistema di tipo zero e presenta pertanto errore non nullo a regime. Di questo è facile
rendersi conto se si osserva che è proprio un errore di velocità che permette la generazione dell’opportuno riferimento di tensione d’armatura. Se, per assurdo, si annullasse l’errore di velocità, si
annulerebbe anche la tensione applicata al motore e l’azionamento cesserebbe di funzionare.
Un criterio alternativo per il calcolo del guadagno Kpω può consistere nell’imporre l’errore di velocità a regime Eω , quando il riferimento di velocità ω ∗ è imposto pari alla velocità nominale ωN
ed in condizioni di carico nominali (Ia = IaN ).
C = Ke ΦIa
(7.118)
162
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Quindi mi pongo nella situazione peggiore:
Va = Va,rif = Kpω Eω = Ra Ia + Ke ΦΩ
(7.119)
Eω = Ω∗ − Ω1
(7.120)
dove:
Riscrivo la (7.119) nelle condizioni peggiori di coppia:
Va = Ra IaN + Ke ΦΩ
Ω = Ω ∗ − Eω
(7.121)
che risulta:
Va = Ra IaN + Ke Φ(Ω∗ − Eω ) = Kpω Eω
(7.122)
Esplicitando Kpω :
Ra IaN + Ke Φ(Ω∗ − Eω )
(7.123)
Eω
salvo poi assicurarsi che rimanga un margine di fase sufficiente a garnatire la stabilità
dell’azionamento. L’errore, infatti, cala al crescere del guadagno del regolatore P, ma questa azione
conduce verso una zona di instabilità, comè facile rilevare tracciando ad esempio il diagramma di
Bode per GH(jω). Dalla (7.123) si può infine ricavare l’espressione che dà l’errore relativo di
velocità in funzione del riferimento impostato:
Ke Φ
RIa
Eω
=
+
(7.124)
∗
Ω
Kpω + Ke Φ (Kpω + Ke Φ)Ω∗
kpω =
Si può notare che si tratta, al variare della corrente di armatura, di una famiglia di iperboli, e che
il minimo errore percentuale di velocità si ha a vuoto, alla massima velocità del motore.
Progetto con regolatore proporzionale-integrale (PI)
Comè evidente, in molti casi non esiste un valore del guadagno proporzionale che permetta di soddisfare contemporaneamente a requisiti di stabilità e di prontezza della risposta di velocità. Occorre
quindi ricorrere ad un regolatore più complesso, che realizzi ad esempio una azione proporzionaleintegratrice sull’errore di velocità, assicurando errore nullo a regime. La funzione di trasferimento
è in questo caso la seguente:
1 + sτω
(7.125)
sτω
La funzione di trasferimento ad anello per l’azionamento di Fig.7.47, tenendo conto della (7.125)
risulta adesso:
Kpω (1 + sτrω ) Kc
1/Ke Φ
GH(jω) =
(7.126)
jω
jω
sτrω
(1 + sτc )
1−
1−
p1
p2
Una tecnica solitamente seguite per il progetto del regolatore PI (ovvero per la determinazione
delle due costanti che lo caratterizzano, Kpω e τω ) consiste nel far cancellare dallo zero, introdotto
dal regolatore, il polo dominante; supponendo che questo sia p1 si pone dunque:
1
p1 = −
τm1
(7.127)
1
p2 = −
τa
Rω (s) = Kpω
7.6. AZIONAMENTI CON MOTORE IN CORRENTE CONTINUA
163
Figura 7.48: Diagramma di Bode per il controllo di velocità con regolatore PI
ponendo:
τrω = τm1
(7.128)
si può eliminare la dinamica lenta:
(1 + sτrω )
=1
jω
1−
p1
e la funzione ad anello si semplifica diventando:
GH(jω) =
Kpω
Kc
1/Ke Φ
jω
(sτrω ) (1 + sτc )
1−
p2
(7.129)
(7.130)
Il diagramma di Bode è riportato in Fig.7.48; è evidente che ora la scelta del guadagno statico
del regolatore serve a fissare un margine di fase sufficiente a garantire un funzionamento stabile,
che anche in questo caso non è solitamente inferiore a 40◦ . La procedura per il calcolo di Kpω è
poi analoga a quella del solo regolatore proporzionale (par. 7.6.2), ove alla (7.115) si sostituisca la
(7.130). La Fig.7.48 riporta anche, a tratteggio, le caratteristiche di Bode relative ai singoli blocchi
presenti nello schema di controllo. In particolare si può notare come l’introduzione del regolatore
PI conduca una curva GH traslata a destra rispetto alla caratteristica Ω(s)/Va (s) propria del motore, con conseguente incremento della pulsazione di attraversamento ωattr . Per un ragionamento
164
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Figura 7.49: Limitazione della corrente di armatura
qualitativo, qual’è da intendersi il presente, ωattr può considerarsi legata direttamente alla banda
passante dell’anello di velocità e dunque rimane verificato che il regolatore PI permetta di migliorare la dinamica del sistema mantenendo nel contempo errore nullo a regime, per la presenza del
polo nell’origine della funzione GH(s). La banda passante del regolatore risulta:
BP :
G
1 + GH
(7.131)
Limitazione della corrente di armatura
Durante i transitori, a fronte di errore di velocità cospicui, l’uscita dei regolatori P o PI può
richiedere tensioni d’armatura molto grandi anche a piccole velocità. Considerando ad esempio
il caso di regolatore P, supponendo per semplicità un carico di tipo puramente inerziale (B = 0)
si può far riferimento alla Fig.7.49. Tralasciando per il momento il circuito di limitazione della
corrente, tratteggio in Fig7.49, e supponendo che il regolatore Rω sia caratterizzato da un guadagno
Kpω , è facile rendersi conto che il legame tra riferimento di velocità Ω∗ e la corrente di armatura
Ia , espresso secondo le trasformate di Laplace vale:
Ia (s)
=
Ω∗ (s)
sKpω /La
sKpω /La
= 2
R
K
Φ
s + 2ξω0 s + ω02
a
e
+
(Kpω + Ke Φ)
s2 + s
La
La J
dove in particolare lo smorzamento ξ vale:
s
Ra
J
ξ=
2
La Ke Φ(Kpω + Ke Φ)
(7.132)
(7.133)
È evidente che per valori abbastanza alti di Kpω lo smorzamento è piccolo e dunque gradini di
riferimento di velocità producono sovraoscillazioni nella corrente che possono eccedere i limiti del
convertitore o del motore.
7.6. AZIONAMENTI CON MOTORE IN CORRENTE CONTINUA
165
Un rimendio semplice è rappresentato, a tratteggio in Fig.7.49; la corrente di armatura viene trasdotta, eventualmente moltiplicata per un coefficiente Kri (anche inferiore all’unità) ed infine entra
in un blocco non lineare di limitazione. Fino a che la corrente rimane, in valore assoluto, all’interno
del limite prefissato IL , l’uscita del limitatore è nulla, ed è quindi come se la retroazione di corrente non esistesse. All’opposto, quando la corrente eccede il limite, il blocco limitatore propone
il segnale retroazionato moltiplicato per un guadagno elevatissimo, di fatto facendo tendere a zero
il guadagno di anello e forzando cosı̀ una riduzione della corrente.
Come si intuisce, qualche problema di stabilità può insorgere dato che l’azionamento in limitazione
di corrente funziona a struttura variabile, commutando tra due configurazioni di cui una dotata
di altissimo guadagno GH. Inoltre questo sistema di limitazione introduce una non-linearitÃ nel
sistema e quindi è poco utilizzato in ambiente industriale.
Questi inconvenienti spingono a ricercare soluzioni più sofisticate ed efficaci, come quelle che contemplano la realizzazione di veri anelli di regolazione della corrente di armatura. Le strutture degli
azionamenti che ne derivano saranno estesamente trattati nel paragrafo successivo.
7.6.3
Azionamenti con anelli di velocità e di corrente
Nel par.7.6.2 si sono viste diverse soluzioni per il controllo a catena chiusa della velocità. Si è
osservato, in conclusione del paragrafo, come durante i transitori della velocità la corrente possa
eccedere i valori nominale del convertitore o del motore, inconveniente che va assolutamente
evitato per preservare l’integrità dell’azionamento e garantirne un buon funzionamento prolungato
nel tempo. Per azionamenti di maggior pregio, si implementa, oltre ad integrazione dell’anello di
velocità, una regolazione di corrente. I vantaggi di questa soluzione sono principalmente due:
- si migliora la dinamica della corrente, dato che con un opportuno progetto del regolatore di
corrente si può compensare tra il comando (tensione di armatura) e la grandezza regolata
(corrente di armatura, appunto) introdotto dalla costante di tempo elettrica del motore;
- si dispone di un efficace strumento di limitazione della corrente, che si ottiene semplicemente
limitandone il riferimento dell’anello di regolazione
Struttura con regolatori in cascata
Essa consiste nell’inserire all’interno dell’anello di regolazione della velocità un anello di regolazione
della corrente, cosı̀ come evidenziato in Fig.7.50
Si noti che in Fig.7.50 tutte le costanti di trasduzione sono state riportate all’interno dei regolatori
Rω ed Ri e quindi la trattazione seguente possa beneficiare della semplicità relativa agli schemi a
retroazione unitaria.
Nel segutio si ipotizza che il motore operi a flusso di eccitazione costante; questo rende lineari le
equazioni dinamiche del motore e si può ricavare un modello matemtico e a blocchi nel dominio di
Laplace. Si focalizzerà dapprima l’attenzione sul progetto dell’anello interno di regolazione della
corrente, nel quale si suppone che il regolatore Ri sia di tipo PI, caratterizzato da un guadagno
Kpi e da una costante di tempo τri
Ri (s) = Kpi
1 + sτri
sτri
(7.134)
Le espressioni in s del convertitore statico CS(s) e della funzione di trasfermento tra tensione e
corrente di armatura GE(s) sono già state ricavate nei paragrafi precedenti, e vengono qui riportate
166
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Figura 7.50: Regolazione di velocità e corrente con regolatori in cascata
per praticità, supponendo B = 0;
CS(s) =
Kc
V (s)
=
Vrif (s)
1 + sτc
GE(s) =
sJ/Ke Φ
s
s
Ke Φ 1 −
1−
p1
p2
(7.135)
1
, lo zero del regolatore cancella il polo dominante della GE(s) e la funzione
p2
ad anello aperto GH(s) risulta la seguente:
Se si pone τri = −
GHi (s) = Ri (s)GE(s)CS(s)
sJ Ra La
1 − sτri
1
Ke Φ Ra La
=
Kpi
Kc
sτri
1 + sτc Ke Φ(1 + sτa )(1 + sτm1 )
Kpi Kc
L a p1
= −
s
1−
(1 + sτc )
p1
(7.136)
INSERIRE DIAGRAMMA DI BODE La scelta del guadagno Kpi può essere fatta, come di consueto, in base allo studio del diagramma di Bode di GH(s), imponendo un margine di fase di
almento 60°.
Una approssimazione che spesso viene utilizzata nel progetto di regolatori in cascata, sfruttando
l’ipotesi di retroazione unitaria, consiste nell’esprimere, data la funzione ad anello aperto GH(s),
la funzione di trasferimento come:
(
1
se s < jω0i
G(s)
Wi (s) =
≈
(7.137)
1 + G(s)
G(s) se s > jω0i
dove ω0i = 1/τ0i è la pulsazione di attraversamento dell’asse delle ascisse del diagramma di Bode
di GH(s). Applicando questa approssimazione al caso in esame consente all’anello esterno (di
7.6. AZIONAMENTI CON MOTORE IN CORRENTE CONTINUA
167
regolazione della velocità) di vedere quello interno di corrente come un sistema avente funzione di
trasferimento:
Wi (s) =
1
(1 + sτ0i )(1 + sτc )
(7.138)
La (7.138) è una funzione del secondo ordine. Paragonandola alla funzione scritta in forma
canonica:
Wi (s) =
ω02
s2 + 2ξsω0 + ω02
(7.139)
si ricava facilmente le espressioni delle smorzamento ξ e la pulsazione naturale ω0 :
ξ=
τ0i+ + τc 1
√
2
τ0i τc
1
ω0 = √
τ0i τc
(7.140)
(7.141)
Queste espressioni permettono un calcolo agevole della banda passante (approssimata) dell’anello
di corrente:
q
p
ω0
1 − 2ξ 2 + 2 − 4ξ 2 + 4ξ 4
(7.142)
BP =
2π
Un diverso approccio al progetto può essere quello di fissare la desiderata banda passante BP
dell’anello di corrente, ricavando la pulsazione di attraversamento τ0i ; questa può essere usata per
determinare il guadagno Kpi del regolatore di corrente. È opportuno osservare che in ogni caso va
poi fatta una verifica sul margine di fase, per garantire la stabilità dell’anello di regolazione anche
a fronte di sempre possibili variazioni parametriche.
La limitazione della corrente si ottiene semplicemente introducendo un blocco limitatore a ±IL
all’uscita del regolatore di velocità; la corrente verrà in tal modo limitata con una veloce dinamica
(dettata dalla banda passante dell’anello di corrente) e con sovraoscillazioni contenute e comunque
predicibili dallo studio della (7.138).
Si può passare ora al progetto dell’anello per la regolazione della velocità. Lo schema a blocchi a cui
far riferimento è riportato in Fig.7.51. Anche in questo caso una scelta largamente condivisa per
il regolatore di velocità è un PI, caratterizzato da un guadagno Krω e da una costante di tempo τrω :
Rω (s) = Kpω =
1 + sτrω
sτrω
(7.143)
La funzione GH(s) ad anello chiuso vale in questo caso:
GH(s) =
Kpω Ke Φ
(1 + sτrω )
2
τrω J s (1 + sτ0i )(1 + sτc )
(7.144)
Per la presenza del polo doppio nell’origine non è in questo caso possibile scegliere τrω in modo da
168
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
Figura 7.51: Anello di regolazione della velocità
Figura 7.52: Fase della funzione di trasferimento GH
compensare con lo zero del regolatore uno dei poli non nulli del denominatore; si può allora seguire
una differente procedura, di seguito delineata:
- si impone una pulsazione di attraversamento ωattr = 1/τ0i pari a circa la metà della pulsazione
corrispondente al passaggio della pendenza della caratteristica GH(jω) da 20 a 40 dB/decade
nel diagramma di Bode;
Nell’ipotesi di considerare abbastanza lontani gli altri poli, si può dimostrare, con qualche
approssimazione, che questo porta ad avere un margine di fase mϕ di circa 64°. Si può far
riferimento alla Fig.7.52 se ci fossero solo il polo nell’origine e il polo in 1/τ0 , l’evoluzione
della fase attorni a 1/τ0 sarebbe influenzata solo da tale polo; per una pulsazione pari alla
metà di quella del polo varrebbe:
arg
1
1 + jωτ0
1
= −atg
2
ω=1/2τ0
(7.145)
7.6. AZIONAMENTI CON MOTORE IN CORRENTE CONTINUA
169
ed il margine di fase sarebbe dunque:
1
mΦ = π + − − atg
2
1
≈ 64◦
2
(7.146)
Nel caso del progetto in esame non ci sono i presupposti per questa approssimazione, almeno per l’annello di velocità; si può comunque mantenere la scelta fatta per la pulsazione
di attraversamento, imponendo poi un margine di fase che andrà soddisfatto scegliendo
opportunamente lo zero del regolatore di velocità.
- si impone una condizione sul margine di fase, per esempio che non sia inferiore a 40°; dato
che la pulsazione di attraversamento è stata fissata al passo precedente, questa condizione
conduce al calcolo diretto della costante di tempo τrω . Si ha infatti:
mΦ = π + arg(GH(jωattr ))
= π + atg(ωattr τrω ) − [π + atg(ωattr τ0i ) + atg(ωattr τc )]
τ0i
τc
τrω
− atg
− atg
= atg
τ0ω
τ0ω
τ0ω
(7.147)
e quindi:
atg
τrω
τ0ω
= mΦ + atg
τ0i
τ0ω
+ atg
τc
τ0ω
(7.148)
da cui è immediato ricavare il valore di τrω .
- conoscendo la costante di tempo τrω , si può ora determinare in modo univoco il guadagno
Krω del regolatore di velocità, imponendo che il modulo di GH calcolato alla pulsazione di
attraversamento (ωatt = 1/τ0ω ≈ 1/2τ0i )stabilita al primo passo della procedura sia unitario:
|GH(jωattr )| =
Kpω Ke Φ
2
Jτrω ωattr
s
2
1 + ωattr
τrω
=1
2
2
2
(1 + ωattr τ0i )(1 + ωattr
τv2 )
(7.149)
Il progetto può dunque considerarsi concluso; rimangono da svolgere alcune osservazioni di carattere pratico, che saranno riportate a margine degli esercizi.
Durante l’analisi degli schemi di controllo della velocità si è sempre assimilata la coppia di carico
CL ad un disturbo, considerato nullo durante il progetto dei regolatori. A progetto ultimato, è
naturalmente possibile pensare di introdurre una coppia di carico, analizzandone l’influenza sulla
velocità, in termini di trasformata di Laplace Ω(s)/CL (s) (Fig 7.47). Dallo schema di Fig.7.51
annullando il riferimento di velocità, è immediato ricavare la funzione di trasferimento cercata:
Ω(s)
=−
CL (s)
1
sJ
1
1+
Rω (s)Wi (s)Ke Φ
sJ
(7.150)
dalla quale, sostituendo le epressioni esplicite, ed in particolare quella semplificata per Wi , si
giunge ad una funzione razionale con due zeri e tre poli, di difficile interpretazione intuitiva. Se si
fa invece l’ipotesi semplificativa che la dinamica dell’anello di corrente sia molto più rapida di quella
dell’anello di velocità ( questo è normale negli azionamneti con convertitori molto veloci, come i
170
CAPITOLO 7. MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA
chopper) si può pensare che la funzione di trasferimento Wi si riduca ad un semplice guadagno
unitario; in tal caso ottiene:
s
Ω(s)
J
=−
K
K
Φ
Kpω Ke Φ
CL (s)
pω e
s2 +
s+
J
Jτrω
(7.151)
La (7.153) è una funzione del secondo ordine; essa può essere paragonata alla funzione scritta in
forma canonica, premoltiplicando per il fattore τrω /Kpω Ke Φ; dal confronto si ricavano facilmente
le espressioni per lo smorzamento ξ e la pulsazione naturale ω0 :
r
1 Kpω τrω Ke Φ
ξ=
2 r
J
Kpω Ke Φ
ω0 =
Jτrω
(7.152)
(7.153)
Rimane confermato come lo smorzamento sia tanto migliore quanto più alto è il guadagno del regolatore; le espressioni ricavate permettono inoltre di caratterizzare, sia pure in modo approssimativo,
l’intera dinamica dell’azionamento nei confronti dei transistori di coppia di carico. Quindi:
ξ ∝ Kpω
1
ξ∝
J
Capitolo 8
Motore a passo (stepper motor)
In questo capitolo si affrontano i principi di funzionamento e i dettagli costruttivi dei principali
attuatori a passo. verrà anche fornito un semplice esempio di dimensionamento. I motori a passo
di possono dividere in tre categorie:
- motori a passo a riluttanza variabile (VR)
- motori a passo a magneti permanenti (MP)
- motori a passo ibridi (HY)
8.1
Motori a passo a riluttanza variabile
La sezione dell struttura interna di una attuatore (motore) a passo a riluttanza variabile (VR), a
tre fasi e quattro denti di rotore (poles or teeth), è schematicamente riportato in Fig8.1
Sia lo statore che il rotore sono realizzati con materiale ferromagnetico (acciaio dolce) e presentano
marcata anisotropia radiale. Ciascuna fase di statore è composta da più avvolgimenti, disposti su
coppie diametralmente opposte di espansioni polari (coppie polari); la Fig. 8.1 riporta il caso
semplice di un avvolgimento trifase, con una sola coppia polare per fase. Il rotore presenta DR
salienze (denti) equidistanziati tra loro di un angolo (passo di rotore) dato da:
αR =
2π
DR
(8.1)
Il proncipio di funzionamento è il seguente: si supponga di essere nella condizione indicata in Fig.
8.1, con la fase a alimentata con una corrente continua e costante, a vuoto. In condizioni di equilibrio, il rotore si posiziona in modo che una sua coppia di denti si trovi allineata con l’asse della
fase alimentata, a cui corrisponde una configurazione di equilibrio stabile a minima riluttanza. Si
tolga ora l’alimentazione alla fase a, e si alimenti la fase b. Sul rotore nasce una coppia che lo porta
in rotazione in senso antiorario fino a far coincidere la coppia di denti di rotore più vicina alla fase
b con l’asse della fase stessa, posizione alla quale corrisponde nuovamente la minima riluttanza del
sistema. Nel caso in figura si possono contare 3 fasi di statore FS .
La rotazione compiuta dal rotore è detta angolo di passo αP ed il corrispondente numero di passi/giro è dato dalla (8.2)
αP =
2π
NP
171
(8.2)
172
CAPITOLO 8. MOTORE A PASSO (STEPPER MOTOR)
Figura 8.1: Struttura di un motore a passo a riluttanza
NP è un importante parametro dei motori a passo, in quanto indicativo della risoluzione angolare ottenibile durante il posizionamento di un carico meccanico direttamente collegato all’albero.
Ripetendo le operazioni per la fase c si ha un ulteriore passo in avanti (in senso antiorario), come
rappresentato in Fig. 8.2
Si può facilmente intuire che un ulteriore passo in avanti, ottenuto alimentando nuovamente la
fase a, porta il rotore in una posizione analoga a quella di Fig8.2(a), ruotando rispetto a questa di
un passo di rotore (π/2, in questo caso). Dunque alimentando ciclicamente le tre fasi di statore
si ottiene una rotazione pari ad un passo rotorico. È possibile dunque calcolare il numero di passi
necessari per completare un analogo giro e trovarsi in una posizione di rotore coincidente con quella
di partenza:
Np = Dr Fs
(8.3)
Dove Fs è il numero di fasi di statore e Dr rappresenta il numero di denti di rotore.
Nello statore dei motori VR ciascuna fase può essere disposta in modo che i denti diametralemente opposti abbiano polarità magnetiche coincidenti od opposte, a seconda del convertitore che
si desidera abbinare al motore.
Nei motori VR il traferro (air-gap) in aria tra i denti di statore e di rotore viene tenuto quanto più
piccolo possibile per avere, a parità di corrente di eccitazione e dunque di forza magnetomotrice,
induzione e quindi coppie più elevate. A parità di coppia resistente applicata, la disponibilità di elevata coppia massima produce abcge un ridotto scostamento (displacement) rispetto alla posizione
di allineamento a vuoto e dunque posizionamenti più accurati.
Un’altra caratteristica ricercata dai progettisti è quella di avere un piccolo angolo di passo, che
consente elevata risoluzione nel posizionamento. Il passo αp = π/6 rad che si ottiene dalla (8.3)
8.1. MOTORI A PASSO A RILUTTANZA VARIABILE
173
Figura 8.2: Posizioni di rotore in due passi successivi
sostituendo l’esempio di Fig.8.1 (Dr = 4, Fs = 3) non rappresenta naturalmente una soluzione
soddisfacente, a meno che non ri ricorra ad ingranaggi demoltiplicatori, che peraltro introducono
attriti e giochi fagli effetti indesiderati. Una prima intuitiva miglioria è costituita dall’aumento del
numero di denti di rotore, fino a quando la complessità meccanica non ne intacchi la rocustezza o
l’economicità della produzione. In alternativa, si può pensare di aumentare il numenro di fasi di
statore. Anche in questo caso, il limite alla fattabilità è costituito dallo spazio a disposizione per
collocare gli avvolgimenti nello statore, mentre il costo dell’azionamento è pesantemente influenzato dal convertitore. Il numero di componenti di potenza del convertitore, infatti, è direttamente
legato alle fasi da alimentare, il cui numero influenza anche i requisiti per il microprocessore di
controllo o l’equivalente circuiteria hardware.
Un esempio di struttura con 4 fasi di statore (Fs = 4) e 50 denti di rotore (Dr = 50) è riportato,
a titolo d’esempio, in Fig.8.3. A tale struttura corrisponde, in base alla (8.3), un numero di passi
pari a Np = 200 passi, ovvero una risoluzione di 1.8°.
Il numero di denti di statore è 40, ma risulta chiaro che questo dato non interviene nella determinazione del passo del motore; va comunque sottolineato che non tutte le combinazioni sono
possibili; elaborate considerazioni portano a definire delle tabelle che contengono le combinazioni
possibili.
Per aumentare la risoluzione è stata studiata una struttura per i motori VR della “in cascata” (o
“multi-stack”), di cui una rappresentazione schematica è riportata in Fig.8.4.
Rispetto al motore VR di Fig.8.1, che presenta uno statore a singolo stadio (“single stack”) sul
quale alloggiano tutte le tre fasi, il motore multi-stack è realizzato con uno statore a tre stadi, uno
per ciascuna fase. Pensando di vederle sovrapposte in un unico piano, la struttura è equivalente
a quella del VR convenzionale di Fig.8.4(b), in cui per semplicità si sono disegnati solo quattro
denti di rotore e di statore. nei motori “multi-stack”i denti di statore e di rotore sono molti di più
e presentano lo stesso angolo di passo; inoltre, ciascuno stadio è montato sfasato di 1/3 di passo
(in generale, di αp /Fs rad) rispetto al precedente, come illustrato in Fig.8.4 (a).
Il principio di funzionamento è abbastanza intuitivo. Si supponga che inizialmente sia alimentata
la terza fase e che dunque il rotore sia allineato con i denti del terzo stadio di statore (stack 3). A
questo punto, alimentando la fase a si produce un avanzamento di unterzo di passo in senso orario,
mentre si ottiene il mesesimo avanzamento in senso opposto alimentando la fase b.
I motori VR multi-stack sono impiegati nelle macchine utensili a controllo numerico per l’ottima
risoluzione angolare che ne costituisce caratteristica peculiare.
174
CAPITOLO 8. MOTORE A PASSO (STEPPER MOTOR)
Figura 8.3: Motore VR cpn 4 fasi di statore e 50 denti di rotore
Figura 8.4: Struttura di un motore a riluttanza variabile “multi-stack”a tre fasi
8.2. MOTORI A PASSO A MAGNETI PERMANENTI
175
Figura 8.5: Struttura di un motore a passo a magneti permanenti
8.2
Motori a passo a magneti permanenti
La sezione della struttura di un attuatire (motore) a passo a magneti permanenti (PM), a queattro
fasi è schematicamenti riporatata in Fig.8.5.
Il rotore è costituito da un magnete permanente cilindrico e presenta dunque una sola coppia
polare, con polarità disposte in senso radiale; strutture più complesse, con più coppie polari, possono essere realizzate inserendo magneti permanenti opportunamente sagomati all’interno di una
struttura rotorica portante, realizzata con gli accorgimenti necessari (traferri o interposizione di
materiali amagnetici) atti ad evitare “cortocircuiti”magnetici.
Quando una fase è percorsa da corrente, i suoi conduttori risentono di una forza che tende a
disporre il piano delle spire perpendicolarmente al campo magnetico prodotto dal rotore; per il
principio di azione e reazione, si muoverà naturalmente il rotore, ruotando fino ad allineare il suo
asse con quello della fase alimentata. Con riferimento ad esempio alla Fig.8.5(a), alimentando in
successone le fasi a → b → a0 → b0 si ottiene una rotazione in senso antiorario con passi di π/2
rad.
Per aumentare le amperspire coinvolte nella produzione di coppia è possibile anche na configurazione con gli avvolgimenti collegati in serie a coppie, come illustrato in Fig.8.5(b). In tal caso
vi sono solo due fasi, ma il convertitore che le alimenta deve essere in grado di imporre correnti di
ambo i versi, soluzione che comporta generalmente un aggravio dei costi.
Come evidenzia l’esempio di Fig.8.5, la risoluzione del posizionamento è piuttosto grossolana.
Raddoppiando sia le fasi di statore che le coppie polari di rotore si ottiene un motore con angolo
di passo αp = 45◦ . Esistono però limiti fisici sia al numero di denti di statore che, sopratutto,
al numero di coppie polari, per cui si può concludere che a parità di complessità tecnologica e di
produzione la risoluzione dei motori a passo PM rispetto ai motori VR è sicuramente peggiore.
Inoltre, la coppia prodotta è limitata dalla massima induzione al traferro, a sua volta legata alla
induzione residua dei magneti impiegti nel rotore.
Generalmente, per contenere i costi, si utilizzano normali ferriti, che non presentano ne induzione
ne campi coercitivi particolarmente elevati.
Un vantaggio dei motori a passo PM è che vi sono per il rotore posizioni di equilibrio pari al
176
CAPITOLO 8. MOTORE A PASSO (STEPPER MOTOR)
numero di passi/giro anche in caso di eccitazione delle fasi di statore. La coppia in assenza di
eccitazione è detta coppia di tenuta (detent torque, DT) e solitamente varia tra il 5% ed il 20%
della coppia che di esplicita quando le fasi sono alimentate. In alcune applicazioni, ove questa
caratteristica viene sfruttata, si sagomano opportunamente i denti per accentuare l’anisotropia di
statore e massimizzare la coppia di tenuta; in altri casi essa introduce solo un indesiderato fenomento di “puntamento”(cogging) e si cerca di minimizzarla, sempre agendo sulla conformazione
dei denti di statore.
Al termine dell’esecuzione di ogni angolo passo, il rotore si attesta nella posizione di equilibrio dopo
in transitorio i cui paramentri caratteristici (sovraelongazione e smorzamento) dipendono dalle
caratteristiche del motore e del convertitore che lo alimenta. Nei motori a passo PM la presenza
del magnete ha per effetto secondario un aumento dell smorzamento, che consente posizionamenti
più rapidi rispetto a quelli dei motori VR.
8.3. MOTORI A PASSO IBRIDI: STRUTTURA E PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO
177
Figura 8.6: Sezione e rotore di un motore a passo ibrido
8.3
Motori a passo ibridi: struttura e principio di funzionamento
Per sfruttare al megli le peculiarità sia del motore VR che PM sono stati studiati e realizzati
motori ibridi (hybrid motor, HY) che combinano i deu principi di funzionamento, con statore e
rotore anisotropi ed allogiando nel rotore anche un magnete permanente a flusso assiale.
Il primo brevetto per questi motir è intestato a Feiertag e Donahoo e risale al 1952; il motore
era descritto come un sincrono per applicazioni a bassa velocità e fu chiamato motore sincrono ad
induzione.
La sezione della struttura interna del più tipico motore a passo ibrido, a quattro fasi e 50 denti di
rotore è riporato in Fig.8.6.
La struttura dello statore è praticamente identica a quella di un motore VR, con la differenza che
mentre nel motore VR attorno a ciscun dente di statore trova posto l’avovlgimento di una singola
fase, nei motori HY attorno ad ogni dente trovano posto conduttori di due fasi diverse. pertanto un
dente non è più associabile ad una singola fase, bensı̀ ad una coppia di fasi, avvolte generalmente
con versi opposti (avvolgimento bifilare) cosı̀ che alimentate con la medesima corrente producano
polarità magnetiche opposte.
Il rotore ha una struttura particolare, Il suo nucleo è costituito da un magnete permanente cilindrico, che produce un flusso assiale unipolare come mostrato in Fig.8.7(a).
Su ciascuono dei poli del magnete permanente è allocata una struttura dentata, tipica del motore
VR e i denti delle due sezioni sono disallineati tra loro di mezzo passo di dentatura. Tali sezioni
sono normalmente ricavate tramite tranciatura da lamierini al silicio, anche se non sono rare le
realizzazioni in ferro al silicio pieno o sinterizzato.
La Fig.8.7(b) riporta la distribuzione dei conduttori di una fase ed il percorso delle linee di campo
magnetico da essi prodotto quando vengono percorsi da una corrente nel verso indicato.
Nei motori ibridi la coppia nasce dall’interazione tra i due campi magnetici di statore e di rotore;
il principio di funzionamento può essere analizzato con l’ausilio dell Fig.8.8, che mostra le due
struttuture agli estremi del magnete permanente separate e “srotolate”per chiarezza espositiva.
Si assuma che il passo di rotore coincida con quello di statore, acnhe se a volte qusta ipotesi non
viene soddisfatta, per riduerre la coppia di tenuta e migliorare la precisione di posizionamento.
178
CAPITOLO 8. MOTORE A PASSO (STEPPER MOTOR)
Figura 8.7: Percorsi magnetici in un motore a passo ibrido
Figura 8.8: Sviluppo della struttura del motore HY, sulle due estremità del rotore
8.3. MOTORI A PASSO IBRIDI: STRUTTURA E PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO
179
Figura 8.9: Posizione di equilibrio dopo l’alimetazione della fase a
La parte superiore di Fig.8.8 mostra lo sviluppo lineare della sezione relativa alla polarità magnetica S, mentre la parte inferiore è relativa allo sviluppo della sezione dentata che sovrasta la polarità
N, all’altra estremità del rotore. Sono stati considerati, a titolo d’esempio, i poli indicati con A e C
in Fig.8.7(b). È facile rendersi conto che all’istante considerato l’avvolgimento del polo A produce
un campo le cui linee sono entranti nel rotore, mentre il campo prodotto dall’vvolgimento del polo
C ha verso opposto. È innanzitutto da osservare che la sola struttura VR non sarebbe in grado di
far produrre coppia utile, dato che alimentando la fase succesiva il rotore si troverebbe già in una
posizione di equilibrio in ciascuna delle due sezioni, come si vede dalla Fig.8.8.
Ben diversa è la situazione quando si considera la sovrapposizione con il campo prodotto dal magnete permanente di rotore.
All’istante considerato in Fig.8.8 nel traferro della sezione relativa alla polarità i campi magnetici
si sommano sotto il polo A e tendono a neutralizzarsi sotto il polo C; viceversa accade nell’altra
sezione di rotore. Grazie allo sfasamento di mezzo passo di rotore, la coppia che tende ad allineare
nella sezione superiore il rotore con il polo A è concorde con quella che nell’altra sezione induce il
rotore ad allinearsi con il polo C e globalmente esse imprimono una rotazione in senso antiorario
al rotore. Dopo che il rotore si è mosso di un quarto di passo rotorico in questa direzione avviene
l’allinemaneto, che rappresenta una condizione di equilibrio stabile. La nuova posizione è riporata
in Fig.8.9.
A questo punto si toglie l’alimentazione alla fase attuale e si alimentano gli avvolgimenti che
eccitano i poli B, H. . . di statore. Affinché il rotore venga trascinato ancora verso sinistra, appare
evidente che ora esso deve tendere ad allinearsi con il polo H nella sezione superiore e con il polo
B in quella inferiore, e pertanto il verso delle correnti che percorrono i conduttori avvolti attorno
a tali poli risultano quelli indicati ancora in Fig.8.9.
Si procede allo stesso modo per i due passi successivi, alimentando prima la fase c e poi la fase d,
che interessano le stesse espansioni polati delle fasi a e b rispettivamente. Osservando la 8.10, rel-
180
CAPITOLO 8. MOTORE A PASSO (STEPPER MOTOR)
Figura 8.10: Posizione di equilibrio dopo l’alimentazione della fase b
ativa all’almentazione della fase b (espansioni polari B, D, F, H) ci si rende conto che per ottenere
un ulteriore avanzamento verso sinistra del rotore, i poli che devono essere “attivi”sono C per la
parte superiore e A per la parte inferiore; la fase c deve essere dunque alimentata con correnti di
verso opposto a quello della fase a, da cui la necessità degli avvolgimenti bifilari citati all’inizio del
paragrafo.
In alternativa, naturalmente, si può pensare ad una struttura con sole due fasi alimentate con
convertitori bipolari.
Si può concludere che il magnete permanente gioca un ruolo essenziale nella produzione della coppia mentre la struttura dentata consente di ottenere piccoli passi e dunque elevata risoluzione nel
posizionamento.
8.4
Modi di alimentazione dei motori a passo.
Nei paragrafi precedenti è stato illustrato il principio di funzionamento dei diversi tipi di motore
a passo, assumendo sempre che venisse alimentata separatamente ogni singola fase (single-phase
excitation). Questo tipo di alimentazione è più semplice e quello che viene assunto come base
nell’analisi dei meccanismi fondamentali di funzionamento; vi sono comunque metodi diversi di
alimentazione dei motori ibridi, ciascuno con particolari vantaggi e svantaggi. Di seguito ne verrà
fornita una sintesi schematica.
8.4.1
Eccitazione a singola fase.
Come già accennato nell’introduzione, è il metodo più semplice, noto come “one-phase-on drive”.
Nella tabella 8.1, riferita ad un motore a passo a tre fasi, è riportato un esempio di frequenza di
8.4. MODI DI ALIMENTAZIONE DEI MOTORI A PASSO.
181
comando agli interruttori che pilotano l’alimentazione di ciascuna fase. Un “1”significa che la fase
è alimentata, mentre una casella vuota significa che essa è spenta.
All’inizio si suppone che il rotore sia in uno stato d’equilibrio (I) con la sola fase A alimentata.
Fase S1
Fase S2
Fase S3
I
1
1 2 3 4 5
1
1
1
1
1
6 7 8
1
1
1
Tabella 8.1: Sequenza di comando nel modo di eccitazione a singola fase
Il primo passo in avanti viene ottenuto diseccitando la fase S1 ed alimentando la fase S2 , quindi
la fase S3 e cosı̀ via. Invertendo la sequenza di alimentazione delle fasi si ottiene l’inversione del
senso di rotazione del motore.
In base alle considerazioni sulla conversione elettromeccanica dell’energia, è possibile ricavare un’espressione per la coppia che agisce sul rotore quando viene alimentata la singola fase. Ad esempio,
l’autoinduttanza della fase S1 può essere approssimata come:
La = L0 + L2 cos(4ϑ)
(8.4)
Nell’ipotesi di assenza di saturazione del circuito magnetico, la coppia prodotta dalla fase S1 si
calcola con la 8.5
∂Wm
= −2L2 i2 sin(4ϑ)
(8.5)
τa =
∂ϑ
e dunque ha valore massimo pari a 2L2 i2 e punto di equilibrio in ϑ = 0. Allo stesso modo si
trovano, per le fasi S2 ed S3 rispettivamente:
2
Lb = L0 + L2 cos(4ϑ − π)
3
2
Lc = L0 + L2 cos(4ϑ + π)
3
(8.6)
(8.7)
e dunque:
2
τb = −2L2 i2 sin(4ϑ − π)
3
2
2
τb = −2L2 i sin(4ϑ + π)
3
(8.8)
(8.9)
L’andamento delle coppie generate dalle singole fasi è riporati in Fig.8.11
La dinamica del motore a passo dipende fortemente dal tipo di alimentazione. Le equazioni che
descrivono la dinamica sia dei motori VR che PM sono differenzali non lineari; solitamente, si
studia la dinamica per piccoli spostamenti attorno ad una posizione di equilibrio del rotore, in
modo da poter linearizzare le equazioni del sistema ed applicare la trasformata di Laplace. Con
queste ipotesi, si può dimostrare che la funzione di trasferimento per un motore a passo (sia VR
che PM) alimentato con eccitazione a singola fase è quella di un sistema del secondo ordine:
Θ0
ωn2
= 2
Θi
s + 2ξωn s + ωn2
(8.10)
182
CAPITOLO 8. MOTORE A PASSO (STEPPER MOTOR)
Figura 8.11: Coppie prodotte da ciascuna fase in un motore VR
dove Θ0 e Θi sono le L-trasformate rispettivamente della posizione effettiva e del riferimento. La
pulsazione naturale (natural angular frequency) ωn e lo smorzamento ξ per il motore PM sono dati
da:
r
p2 Io Λmg
2J
B
ξ=
2Jωn
ωn =
(8.11)
(8.12)
dove p è il numero di coppie polari associato a ciascuna fase, I0 è la corrente di equilibrio alimentata
la singola fase, Λmg è il valore massimo del flusso prodotto dal magnete permanente di rotore e
concatenato con la singola fase, J e B soni rispettivamente momento d inerzia e coefficiente di
attrito viscoso del motore e del carico riportato al motore. È interessante notare come I0 e Λmg
siano anche direttamente responsabili delle produzione della coppia statica. Più crescono, più è
alta la frequenza naturale e meno smorzato risulta il posizionamento del rotore a segutio di una
variazione a gradino del riferimento.
Per il motore VR risulta invece:
r
2L
ωn = 2pIo
(8.13)
J
dove L rappresenta l’induttanza di fase del motore VR. Lo smorzamento ξ è ancora dato dall’espressione (8.12).
Solitamente i motori PM risultano più smorzati dei motori VR, per la presenza del magnete permanente sul rotore; le espressioni (8.11-8.13) indicano comunque che vi è un notevole grado di
libertà durante la progettazione del motore stesso.
8.4. MODI DI ALIMENTAZIONE DEI MOTORI A PASSO.
8.4.2
183
Eccitazione a doppia fase
Questo modo prevede l’alimentazione contemporanea di due fasi (two-phase-on ioeration). In
analogia a quanto visto nel paragrafo precedente, si riporta di seguito la tabella con un esempio
di sequenza di comando per un motore VR con avvolgimento monofilare, a tre fasi: La Fig.8.12
Fase S1
Fase S2
Fase S3
I
1
1
1 2 3 4 5
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
6 7 8
1 1
1 1
1
1
Tabella 8.2: Sequenza di comando nel modo di eccitazione a doppia fase
riporta la situazione dei passi 1,2,3 della tabella, per una migliore comprensione del funzionamento.
Ci si rende subito conto che ciascuna posizione di equilibrio non vede più il rotore allinearsi con una
salienza di statore, come accadeva nel funzionamento a singola fase. Ad ogni passo corrisponde un
avanzamento di 30°, come di consueto.
Ancora una volta, sfruttando i principi di conversione elettrodinamica dell’energia, è possibile
derivare le diverse posizioni di equilibrio stabile analizzando la coppia che agisce sul rotore, quando
siano alimentate contemporaneamente due fasi. In modo del tutto analogo a quanto visto in
precedenza, l’induttazna relativa alla fase S1 ha un andamento in funzione della coordinata angolare
ϑ che può essere approssimata analiticamente dalla relazione:
La = L0 + L2 cos(4ϑ)
(8.14)
Allo stesso modo, data la simmetria esistente, l’induttaza della fase S2 si esprime come:
Lb = L0 + L2 cos(4(ϑ + π/6)) = L0 + L2 (4ϑ + 2π/3)
(8.15)
È anche facile rendersi conto che la mutua induttanza fra gli avvolgimenti nei motori a passo a
riluttanza (e nei motori Switched Reluctance) può essere trascurata. Nelle ipotesi che:
 i poli di statore siano numeri pari
Figura 8.12: Posizioni di rotore nel funzionamento a doppia fase
184
CAPITOLO 8. MOTORE A PASSO (STEPPER MOTOR)
8.13.1 Linee di campo
8.13.2 Circuito elettrico equivalente
Figura 8.13
 non vi sia saturazione della parti in ferro, che si assume abbiano permeabilità infinita
 i poli statorici siano alimentati a coppie
le linee di campo di ciascuna fase hanno un percorso preferenziale attraverso i poli corrispondenti
alla fase eccitata (Fig.8.13.1)
Lo statore ed il rotore si trovano allo stesso potenziale magnetico, quindi non vi è flusso sui
percorsi magnetici dei poli di statore non alimentati, ovvero non vi è mutua induttanza. Con le
ipotesi fatte, il circuito è lineare, per cui vale la sovrapposizione degli effetti ed in generale dunque
ogni fase risente solo del flusso autoconcatenato.
Trascurando la mutua induttanza, ed alimentando le due fasi con uguale corrente i, l’energia
magnetica di esprime come:
1
1
(8.16)
Wm = La (ϑ)i2 + Lb (ϑ)i2
2
2
e la coppia vale1
∂Wm
= −2L2 i2 (sin(4ϑ) + sin(4ϑ − 2π/3)) = −2L2 i2 sin(4ϑ − π/3)
(8.17)
∂ϑ
L’andamento delle due induttanze, dell’energia magnetica e della coppia prodotta nel caso dell’alimentazione delle due fasi S1 ed S2 è riportato in Fig.8.14, assumendo una corrente unitaria i = 1A,
L0 = 1mH, L2 = 0.5mH.
Si può notare come il punto di equilibrio stabile si trovi per ϑ = 15◦ , a cui corrisponde il massimo
dell’energia magnetica immagazzinata dal sistema a spese dell’alimentazione delle fasi.
Il risultato è in accordo con la prima situazione riportata in Fig.8.12; con ragionamenti del tutto
analoghi si possono trovare gli altri punti di equilibrio.
Confrontando la (8.5) e la (8.17) si nota che l’alimentazione a singola e a doppia fase producono la
τ=
1
sin(α) + sin(β) = 2 cos[(α − β)/2] sin[(α + β)/2]
8.4. MODI DI ALIMENTAZIONE DEI MOTORI A PASSO.
185
Figura 8.14: Induttanze, energia e coppia in un motore VR con eccitazione a doppia fase
stessa coppia massima. Una notevole differenza tra i due metodi di alimentazioen è riscontrabile
nella risposta al transitorio, ovvero quando viene comandata ad esempio la fase (o la coppia di
fasi) successiva, seguneto le Tab.8.1 e Tab.8.2. Nell’eccitazione a doppia fase si trova che le oscillazioni di assestamento cono molto più smorzate che nell’altro caso. Questo fenomeno può essere
qualitivamente spiegato con l’ausilio di Fig.8.11 e della Fig.8.15.
Nel modo in esame, due fasi sono sempre eccitate e connesse alla stessa sorgente di alimentazione.
Si forma pertanto un anello chiuso, nel quale si induce una fem per effetto delle variazioni di induttanza che seguono l’oscillazione del rotore. Tale fem provoca una corrente di circolazione che
tende ad opporsi alla causa che la genera, smorzando dunque l’oscillazione meccanica. Nel caso
di alimentazione della singola fase, non si forma alcun circuito chiuso, e le oscillazioni del rotore
vengono smorzate solo dall’attrito meccanico del rotore.
186
CAPITOLO 8. MOTORE A PASSO (STEPPER MOTOR)
Figura 8.15: Oscillazioni nei VR con eccitazione a doppia fase
8.4.3
Funzionamento a mezzo passo
Questo particolare modo di funzionamento è la combinazione dei modi a singola e doppia eccitazione descritti nei paragrafi precedenti. Un esempio di sequanza di eccitazione per un motore
VR a tre fasi e relativa ad un moto in senso antiorario, è riportata nella Tab.8.3. È facile notare
Fase S1
Fase S2
Fase S3
I
1
1 2 3 4 5
1
1
1 1 1
1 1 1
6 7 8
1 1
1 1
Tabella 8.3: Sequenza di comando nel funzionamento a mezzo passo
che vengono alimentate le fasi con sequenza S1 , S1 S2 , S2 . . . ; la posizione di equilibrio quando è
alimentata solo S1 è ϑ = 0, come già osservato nel Par.8.4.1. Quando passa ad alimentare contemporaneamente S1 ed S2 , la posizone di equilibrio risulta ϑ = 15◦ , e poi si passa ad alimentare solo
S2 la posizione di equilibrio è ϑ = 30◦ . Quanto appena descritto è riportato in Fig.8.16
In definitiva, si ottiene un dimezzamento del passo, con un conseguente raddoppio della accuratezza dell posizionamento. Questo vantaggio è parzialmente sminuito dalla maggiore complessità della
logica di controllo del motore. La coppia massima prodotta rimane naturalmente sempre la stessa,
pari a 2L2 i2 .
8.5
Accuratezza nel posizinamento del motore a passo
L’accuratezza nel posizionamento è un importante fattore che determina la qualità del motore a
passo. Il motore a passo è disegnato affinché ruoti mediante predeterminati angoli di passo in
risposta ad un segnale e resti in una precisa posizione. Siccome l’accuratezza in assenza di carico
dipende dalla precisione di realizzazione del rotore e dello statore, il motore a passo è costruito molto bene. Inoltre, il motore a passo è disegnato affinchè la coppia antagonista è prodotta
8.5. ACCURATEZZA NEL POSIZINAMENTO DEL MOTORE A PASSO
187
quando si verifica uno spostamento dalla posizione di riposo alla coppia di carico. Sarà discusso
successivamente perché il traferro tra il rotore e lo statore deve essere il più sottile possibile. Cosı̀
l’accuratezza di posizione dipende solo dalle caratteristiche del motore e dal circuito di pilotaggio,
mentre altri parametri elettronci non hanno effetto sull’acciratezza.
Prendiamo qui in considerazione alcune terminologie che compaiono nella trattazione della massima
coppia statica, nella posizione nella quale il rotore si ferma e nell’accuratezza di questa posizione.
Definiamo ora alcune terminologie:
Massima caratteristica statica di coppia:
- Holding torque definita come la massima coppia statica che può essere applicata ad asse di
un motore eccitato senza causare una rotazione continua.
- Detent torque definita come la massima coppia statica che può essere applicata ad asse di un
motore non eccitato senza causare una rotazione continua
Posisizioni nelle quali il rotore si ferma
- nella posizione di riposo o di equilibrio: definito come “le posizioni in cui un motore eccitato
si ferma a vuoto.”
- Detent position: definita come la posizione in cui un motore che possiede un magnete
permanente all’interno del suo rotore o statore che si ferma a vuoto senza stimolo.
In alcuni motori le detent position sono utilizzate per collocare, senza stimoli, gli avvolgimenti cosı̀
da mantenere la potenza. Le posizioni a riposo e di tenuta non sono sempre le stesse.
Posizionamento di precisione:
- Step position error: definito come il più grande errore di posizione angolare statico positivo o
negativo (confrontandolo con l’angolo nominale del passo) che può avvenire quando il rotore
si muove da una posizione di riposo all’altra.
- Positional accuracy: definito come il più grande errore di posizione angolare in una posizione
di riposo relazionata al multiplo totale dell’angolo nominale del passo, il quale può avvenire
durante una completa rotazione del rotore quando si muove da un riferimento di posizione
di riposo.
- High torque to inertia ratio: è consigliabile che un motore a passo si muova il più veloce
possibile in risposta ad un impulso d’entrata o ad un treno d’impulsi.
Figura 8.16: Posizioni di rotore nel funzionamento a mezzo passo
188
CAPITOLO 8. MOTORE A PASSO (STEPPER MOTOR)
8.6
Specifiche delle caratteristiche di un motore a passo
In questa sezione, sono studiati i termini tecnici usati per specificare le caratteristiche di un motore
a passo.
8.6.1
Caratteristiche statiche
Le caratteristiche in relazione al motore fermo sono chiamate caratteristiche statiche.
- T /ϑ caratteristiche. In primis il motore a passo si mantiene in una posizione di riposo
(equilibrio) alimentandosi da una corrente in un modo specifico di eccitazione, chiamata,
fase singola o doppia fase di eccitazione. Se una coppia esterna viene applicata all’asse,
si necessita di un sfasamento angolare. La relazione tra la coppia esterna e il sfasamento
potrebbe essere tracciata come si vede nella Fig.8.17. Questa curva è chiamata in modo
convenzionale, curva caratteristica T /ϑ, la coppia statica massima è denominata la “Holding
torque”la quale avviene a ϑ = ϑM Fig.8.17. Nei sfasamenti superiori a ϑM , la coppia statica
non agisce in una direzione verso la posizione d’equilibrio originale, ma in una direzione
opposta verso la posizione d’equilibrio seguente. La holding torque è, rigorosamente, definita
come la “coppia statica massima che può essere applicata all’asse di un motore eccitato
senza causare moto continuo”. L’angolo, nel quale la coppia di sostegno viene prodotta, non
è sempre separato dal punto d’equilibrio dato da un passo d’angolo.
- T /I caratteristica: la holding torque aumenta con la corrente e ci si riferisce convenzionalmente a questa relazione come alle caratteristiche T /I. La figura 8.18 confronta la caratteristiche T /I di un tipico motore ibrido con quelle di un motore VR, avendo entrambi il passo
d’angolo a 1.8◦ . La coppia statica massima che appare nel motore ibrido senza corrente è la
coppia di tenuta.
8.6.2
Caratteristiche dinamiche
Le caratteristiche inerenti ai motori i quali sono in funzione o in fase di avvio sono dette caratteristiche dinamiche.
- Pull-in torque: queste sono alternativamente denominate le caratteristiche d’avvio e si riferiscono
alla portata della coppia di blocco a frizione nella quale il motore può avviarsi e fermarsi
senza perdere passi per svariate sequenze in un treno di impulsi. Il numero di impulsi in un
treno d’impulso utilizzato in questo test è di 100 o su questa cifra. La ragione per cui la parola “range” è usata in questo contesto invece di “massima”, è che il motore non ‘e in grado di
avviarsi o mantenere una rotazione normale a piccoli carichi d’attrito in certe frequenza come
indicato nella Fig.8.19. Quando la coppia d’accensione viene misurata e calcolata, è anche
necessario specificare chiaramente il circuito pilota, il metodo di misurazione, il metodo di
accoppiamento e l’inerzia che deve essere accoppiato all’asse. In generale, la portata d’avvio
autonomo diminuisce con l’aumento dell’inerzia.
- Caratteristica di pull-out torque: questa è alternativamente denominata la caratteristica di
spegnimento. Dopo che il test del motore è avviato da un pilotaggio specifico nel modo d’eccitazione nella portata d’avvio autonoma, la frequenza d’impulso è gradualmente aumentata;
eventualmente il motore non sarà sincronizzato. La relazione tra la coppia di carico d’attrito
8.6. SPECIFICHE DELLE CARATTERISTICHE DI UN MOTORE A PASSO
Figura 8.17: Caratteristica T /ϑ
Figura 8.18: Esempio di caratteristica T /I
189
190
CAPITOLO 8. MOTORE A PASSO (STEPPER MOTOR)
Figura 8.19: Caratteristica dinamica
e la frequenza d’impulso massima, con il quale il motore può sincronizzarsi, viene chiamata caratteristica di pull-out. La curva d’uscita è fortemente sensibile dal circuito pilota,
accoppiamento, strumenti di misurazione e altre condizioni.
- Frequenza massima d’avvio: questa viene definita come la frequenza massima di controllo
nella quale il motore non carico può avviarsi e fermarsi senza perdere passi.
- Massima frequenza di pull-out: questa viene definita come la frequenza massima (passo nominale) nella quale il motore non carico puó funzionare senza perdere passi ed è alternativamente
chiamata la “frequenza di spegnimento massima”.
- Coppia d’avvio massima: questa è alternativamente chiamata la “coppia d’entrata massima”ed è definita come la coppia d’attrito massimo con il quale il motore può avviarsi e
sincronizzarsi con il treno d’impulso con una frequenza bassacome ad esempio 10 Hz
Capitolo 9
Il motore sincrono a magneti
permanenti (versione light)
9.1
Stuttura e principio di funzionamento
I motori sincroni a magnete permanente, o brushless sinusoidali, sono impiegati sempre più diffusamente in ambito industriale, specialemtne nei servoazionamenti di piccola e media potenza. Essi
sono essenzialmente destinati ad azionamenti ad elevate prestazioni, in cui le particolari specifiche
giustifichino il loro costo che è solitamente elevato per la presenza di magneti permaneti di pregio
nell’elemento mobile (rotore). La conversione elettromeccanica che essi attuano segue il principio
di funzionamento dei sistemi elettrodinamici in cui però i conduttori su cui agiscono le forze
sono collocati nella parte fissa (statore) ed il rotore viene posto in movimento per il principio fisico
di reazione. Una rappresentazione schematica della struttura di un motore sincrono a magneti
permanenti a due poli è mostrata in Fig.9.1.
Lo statore ed il rotore sono entrambi a forma di corona cilindrica di materiale ferromagnetico
laminato e separati da un traferro in aria. Sul rotore trovano posto i magneti permanenti; dato
che essi presentano generalmente una permeabilità magnetica differenziale molto simile a quella
dell’aria, a seconda della loro disposizione e della forma del rotore si possono ottenere strutture
di rotore isotrope o anisotrope dal punto di vista magnetico, che caratterizzano rispettivamente i
motori brushless SPM (surface permanent magnet) e IPM (interior permanent magnet). L’avvolgimento di statore è di tipo trifase; le tre fasi sono reciprocamente sfasate nello spazio di 2π/3
meccanici, e ciascuna fa capo ad una coppia di morsetti indicati con aa0 , bb0 , cc0 in Fig.9.1.1, attraverso i quali è possibile fornire loro alimentazione da una sorgente trifase esterna. I conduttori
che compongono ciascuna fase (Fig.9.1.2) sono distribuiti lungo le cave statoriche ricavate secondo
la direzione delle generatrici del cilindro di statore, omesse per chiarezza nel disegno. La stessa
figura riporta, in (1), una rappresentazione schematica in cui ciascuna fase è simbolicamente rappresentata con una sola coppia di conduttori; si intende che l’asse di ogni fase sia la retta normale
al piano che passa per ciascuna coppia di conduttori (Fig.9.1.2). In regime sinusoidale, l’equazione
fasoriale di tensione (ad esempio per la fase a) è la seguente:
U ejαv = RIejαi + jΩme LIejαi + jΩme Λmg ej0
(9.1)
nella quale nella quale si è supposto per praticità di porre il fasore del flusso concatenato del
magnete permanente sull’asse reale. L’ultimo addendo a secondo membro si chiama forza controeletromotrice E. La (9.1) dà luogo alla rappresentazione fasoriale in Fig9.2. La coppia vale
191
192CAPITOLO 9. IL MOTORE SINCRONO A MAGNETI PERMANENTI (VERSIONE LIGHT)
9.1.1 Induzione al traferro prodotta dal magnete permanente di rotore (quasi quadra)
9.1.2 Induzione al traferro prodotta dall’avvolgimento statorico della fase a
(sinusoidale)
Figura 9.1: Rappresentazione schematica di un motore sincrono a magneti permanenti a due poli
Figura 9.2: Rappresentazione fasoriale della tensione
9.2. PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO IN ORIENTAMENTO DI CAMPO
C = Kτ Λmg I sin(αi )
193
(9.2)
dove Kτ è una costante che dipende dal numero di poli del motore, Λmg è il massimo flusso
concatenato dalla fase a e prodotto dal magnete permanente e I è l’ampiezza della corrente di
fase di statore. La coppia è massima a parità di modulo della corrente quando αi = π/2, ovvero
quando il fasore della corrente si sovrappone a quello della forza controelettromotrice E.
Risulta evidente che il corretto funzionamento del motore brushless è legato alla conoscenza esatta
della posizione del flusso del magnete permanente, ovvero del rotore. Questo perché viene generata
coppia solo se i fasori della corrente di statore mantengono una costante relazione di fase con il
flusso di rotore, secondo il principio di funzionamento dei sistemi elettrodinamici.
Il motore sincrono a magneti permanenti necessita dunque di un sensore di posizione assoluto
(resolver o encoder assoluto). In alternativa, sono allo studio molte tecniche di stima della posizione
(tecniche sensorless). Esse si basano su algoritmi matematici molto complessi, e solo di recente le
grosse capacità di calcolo dei processori le ha rese implementabili in modo efficace ed abbastanza
economico negli azionamenti elettrici.
9.2
Principio di funzionamento in orientamento di campo
Se indichiamo con ϑme la posizione assoluta del flusso del magnete permanente rispetto allo statore,
il riferimento di corrente per la fase a che realizza il massimo rapporto coppia/corrente è dato
dall’espressione seguente:
Ia∗ = I ∗ cos(ϑme + π/2) = −I ∗ sin(ϑme )
(9.3)
e naturalmente per le fasi b e c si possono scrivere espressioni analoghe, sfasate di 2π/3 e 4π/3
rispettivamente.
Ib∗ = −I ∗ sin(ϑme − 2π/3)
Ic∗ = −I ∗ sin(ϑme − 4π/3)
(9.4)
(9.5)
Questa particolare modalità di funzionamento prende il nome di tecnica di controllo in orientamento di campo. Lo schema a blocchi a cui si può far riferimento è riportato in Fig. 9.3 Il blocco
Figura 9.3: Schema a blocchi di un controllo di velocità per PMSM in orientamento di campo
generatore di riferimento (Gen. Rif.) utilizza le equazioni (9.3), (9.6) e (9.7). In esso compaiono
194CAPITOLO 9. IL MOTORE SINCRONO A MAGNETI PERMANENTI (VERSIONE LIGHT)
elementi non lineari, quali i moltiplicatori per le funzioni trascendenti sinusoidali. I blocchi che
rappresentano funzioni lineari sono stati invece espressi tramite la loro funzione di trasferimento
ingresso-uscita, secondo la trasformata di Laplace.
Gli azionamenti con PMSM hanno caratteristiche dinamiche di solito eccellenti, e vengono impiegati estesamente in robotica, nelle macchine utensili, nella movimentazione assi.
9.3. MOTORE TRIFASE A INDUZIONE O MOTORE ASINCRONO
9.4.1 Rappresentazione schematica di un motore ad induzione
195
9.4.2 Particolare dell’avvolgimento della fase a
Figura 9.4: Rappresentazione schematica di un motore asincrono
9.3
9.3.1
Motore trifase a induzione o motore asincrono
Struttura e principio di funzionamento
I motori a induzione, o asincroni, trifase costituiscono una delle categorie di motori in corrente
alternata fra le più diffuse nelle applicazioni industriali, a velocità fissa e variabile. La conversione
elettromeccanica che essi attuano segue il principio di funzionamento dei sistemi a induzione. Una
rappresentazione schematica della struttura di un motore asincrono a due poli è mostrata in Fig.9.4.
Esso comprende uno statore (parte fissa) e un rotore (parte mobile) entrambi a forma di corona
cilindrica di materiale ferromagnetico laminato e separati da un traferro in aria. Sulle superfici
cilindriche di statore e rotore che si affacciano al traferro sono ricavate, secondo la direzione delle
generatrici, le cave di statore e di rotore destinate a contenere l’avvolgimento statorico e rotorico
rispettivamente (omesse per chiarezza grafica nella Fig.9.4). L’avvolgimento di statore è per tutto
simile a quello di un motore brushless sinusoidale. Le sue tre fasi fanno capo alla morsettiera del
motore attraverso la quale esso può essere alimentato da una sorgente trifase esterna.
Il circuito di rotore può essere realizzato con un avvolgimento trifase distribuito, del tutto analogo
a quello di statore (rotore avvolto), i cui terminali fanno capo a tre anelli su cui strisciano tre
spazzole che consentono il collegamento dell’avvolgimento rotorico ad un circuito esterno. Molto
più spesso, comunque, il circuito di rotore è realizzato mediante un insieme di sbarre di alluminio
(una per ogni cava) fra loro tutte collegate alle due estremità da due anelli, cosı̀ a realizzare
una struttura comunemente denominata rotore a gabbia. Tale struttura, sottoposta all’azione del
campo magnetico prodotto dall’avvolgimento statorico, si comporta come un avvolgimento trifase
dello stesso tipo e con lo stesso numero di poli di quello di statore. D’ora in poi si farà dunque
riferimento per il rotore ad un avvolgimento trifase distribuito del tutto simile a quello di statore,
senza più preoccuparsi di quale sia l’effettiva struttura costruttiva del rotore stesso.
Per richiamare il funzionamento del motore a induzione si può partire dalle equazioni generali
di bilancio delle tensioni delle sue fasi a,b,c statoriche e rotoriche, che con la convenzione degli
196CAPITOLO 9. IL MOTORE SINCRONO A MAGNETI PERMANENTI (VERSIONE LIGHT)
utilizzatori sono per lo statore:

dλsa


usa = Rs isa +


dt





dλsb
usb = Rs isb +

dt







 usc = Rs isc + dλsc
dt
(9.6)
e per il rotore1 :

dλra


0 = Rr ira +


dt





dλrb
(9.7)
0 = Rr irb +

dt







 0 = Rr irc + dλrc
dt
dove si è omessa per semplicità la dipendenza dal tempo delle tensioni u, delle correnti i e dei flussi
concatenati λ. Ciascuno dei flussi concatenati che appare nelle (9.6) e (9.7) è dovuto all’effetto
combinato di tutte le correnti presenti nel motore.
Assumendo che il circuito magnetico sia privo di correnti parassite ed inoltre non manifesti saturazione e isteresi magnetiche, ciascun flusso concatenato, per esempio λsa , potrà essere espresso
come:
λsa = λssa + λsra
(9.8)
dove λssa è il flusso totale che si concatena con la fase a di statore dovuto allo statore stesso,
mentre λsra è il flusso totale che si concatena con la fase a di statore dovuto al rotore.
Inoltre i due contributi corrispondono a:
λsra
λssa = Lss isa + Mss isb + Mss isc
= Msr cos(ϑme )ira + Msr cos(ϑme + 2π/3)irb + Msr cos(ϑme + 4π/3)irc
(9.9)
(9.10)
Per la simmetria cilindrica e l’isotropia della struttura, si è posto costante, ovvero indipendente
dalla posizione ϑme del rotore, il coefficiente Lss di auto induzione della fase di statore, costanti e
uguali i coefficienti di mutua induzione −|Mss | fra le fasi di statore b e c e la fase a. Ripetendo la
() per le altre cinque fasi e unendo le espressioni dei flussi cosı̀ ottenute alle (9.6) e (9.7) si ottiene
il sistema differenziale che descrive la dinamica elettrica del motore in esame. Appare evidente la
sua complessità dovuta anche alla dipendenza di alcuni suoi coefficienti dalla posizione rotorica.
9.3.2
Analisi del funzionamento in regime sinusoidale
Le equazioni di tensione per una fase di statore e di rotore, scritte secondo la convenzione dei fasori
temporali2 , sono rispetivamente le seguenti:
1
Viene posto uguale a 0 perchè il rotore è chiuso in cortocircuito
Molto spesso, per convenzione, i fasori temporali vengono scritti con un modulo pari al valore efficace delle
grandezze sinusoidali a cui si riferiscono. Nella presente trattazione, che deriva da quella più generale dei vettori
spaziali, si considerano invece fasori temporali che hanno ampiezza pari al valore massimo delle grandezze sinusoidali.
2
9.3. MOTORE TRIFASE A INDUZIONE O MOTORE ASINCRONO
197
Figura 9.5: Diaframmi fasoriali del motore asincrono
Lm
U̇s = Rs I˙s + jΩs Lt I˙s + jΩs
Λ̇r
Lr
0 = Rr I˙r + j(Ωs − Ωme )Λ̇r
(9.11)
Il flusso di rotore è prodotto dalle correnti di statore e di rotore, secondo la seguente espressione:
Λ̇r = Lr I˙r + Lm I˙s
(9.12)
Λ̇r − Lm I˙s
I˙r =
Lr
(9.13)
da cui esplicito la I˙r :
e la sostituisco nella seconda della 9.11:
0=
Rr
Lm ˙
Λ̇r − Rr
Is + j(Ωs − Ωme )Λ̇r
Lr
Lr
(9.14)
dove Ls = Lss +|Mss | e Lr = Lrr +|Mrr | prendono rispettivamente il nome di induttanza (sincrona)
di statore e di rotore, Lt = Ls − L2m /Lr è detta induttanza transitoria (transient inductance) o
induttanza di dispersione totale. Si è indicata con Ωs la velocità angolare del flusso di rotore,
che naturalmente a regime coincide con la pulsazione di tutte le grandezze elettriche presenti nella
macchina. Un’altra equazione importante lega l’ampiezza del flusso di rotore a quella della corrente
di statore:
|Λ̇r | = Lm |I˙s | cos(αi )
(9.15)
Scegliendo un sistema di assi cartesiano con l’asse reale coincidente con il flusso di rotore Λr , si
ottiene i seguenti diagrammi fasoriali Fig.9.5
La grandezza Ωs − Ωme si definisce pulsazione di scorrimento e rappresenta la differenza tra la
velocità di rotazione del campo magnetico rotante al traferro e la velocità meccanico-elettrica.
Quest’ultima è in generale legata alla velocità meccanica Ωm del rotore dell’espressione Ωme =
p ∗ Ωm . Si noti che per un motore con una sola coppia polare (p=1) Ωm e Ωme coincidono.
198CAPITOLO 9. IL MOTORE SINCRONO A MAGNETI PERMANENTI (VERSIONE LIGHT)
Basandosi sui bilanci energetici, è possibile ricavare per la coppia un’espressione particolarmente
significativa:
3 Lm
|Λ̇r ||I˙s | sin(αi )
(9.16)
C= p
2 Lr
dove αi è la fase del fasore di corrente rispetto a quello del flusso di rotore, denominata anche
l’angolo di coppia. A differenza del motore sincrono a magneti permanenti, nel motore asincrono il
flusso di rotore non è generato da un magnete, ma dalle correnti di rotore che nascono per effetto
delle fem indotte dal campo magnetico di statore.
La (9.16) racchiude il delicato concetto che le correnti di statore generano la coppia sia intervenendo direttamente, che attraverso la formazione del flusso di rotore.
Nel motore in corrente continua ad eccitazione indipendente questi ruoli erano separati, ed affidati
rispettivamente alla corrente d’armatura e alla corrente magnetizzante. Il loro controllo distinto
porta ad elevate prestazioni dinamiche.
Allo stesso modo, i metodi di controllo più avanzati del motore asincrono (controllo ad orientamento di campo) operano agendo separatamente sulla parte che produce flusso (flux-producing
component) e su quella che produce coppia (torque-producing component). Si ottiene cosı̀ di poter
sfruttare per gli azionamenti per motori asincroni molti dei risultati ottenuti con gli azionamenti
in continua, emulandone le prestazioni dinamiche. Una prima osservazione è relativa alla necessità
di avere una pulsazione di scorrimento diversa da zero. In caso contrario, l’equazione di tensione
di rotore potrebbe essere soddisfatta solo se il flusso di rotore e la corrente di statore fossero in
fase (αi = 0), ma verrebbe prodotta una coppia nulla.
Nei motori sincroni a magneti permanenti la condizione di massima coppia a paritá di modulo
di corrente di statore si otteneva controllando la fase della corrente, ed in particolare imponendo
che essa fosse in quadratura con il campo magnetico di rotore (αi = π/2). Si noti che nel motore
asincrono non è più possibile agire in questo modo, perché imponendo αi = π/2 si annullerebbe il
flusso di rotore (9.12). Sostituendo la (9.15) nella (9.16) si ottiene:
3 Lm ˙ 2
|Is | sin(αi ) cos(αi )
C= p
2 Lr
(9.17)
La condizione di massima coppia a parità di corrente nel caso del motore asincrono si ha allora
scegliendo l’angolo αi = π/4, che massimizza il prodotto sin(αi ) cos(αi ).
Questa condizione non è quella che normalmente si prende il nome di orientamento di campo per
gli azionamenti con motore asincrono. Infatti, quest’ultima tende a mantenere un campo costante
e vicino al nominale, per ottimizzare lo sfruttamento magnetico del motore.
I due diversi metodi operativi, che hanno diretto impatto sugli algoritmi di controllo, sono schematizzati in Fig.9.6. Si può notare come a parità di richiesta di coppia (casi 1 e 2) il FOC richieda
più corrente di statore rispetto al “max T /|Is|”. Al variare della coppia richiesta dal carico, la
tecnica FOC non varia l’ampiezza del il flusso di rotore, che è legato a circuiti con costanti di
tempo elevate.
In questo modo si ottimizzano le prestazioni dinamiche dell’azionamento, ed è per questo che il
FOC viene universalmente impiegato al posto della più efficiente tecnica “max T /|Is|”. I metodi di
controllo che valutano e controllano le fasi dei fasori delle grandezze coinvolte, e che quindi usano
estesamente la formula (9.16) si dicono metodi di controllo vettoriale.
In alternativa, esistono e sono molto diffusi metodi di controllo più semplici, che si basano su
una formulazione classica delle equazioni del motore, che porta alla creazione di un circuito elettrico equivalente del motore asincrono. Il circuito equivalente può essere ricavato manipolando
9.3. MOTORE TRIFASE A INDUZIONE O MOTORE ASINCRONO
199
Figura 9.6: Diaframmi fasoriali del motore asincrono
opportunamente le eq. (9.11) e (9.14). Dalla seconda delle (9.11) si trova:
Λ̇r =
Rr I˙r
j(Ωme − Ωs )
→
−jΩme Λ̇r =
−jΩme Rr I˙r
1−s ˙
= Rr
Ir
j(Ωme − Ωs )
s
(9.18)
dove si è definito lo scorrimento
Ωs − Ωme
Ωs
Dunque la equazione di tensione di rotore può essere scritta come:
s=
(9.19)
1−s ˙
1−s ˙
Ir = jΩs Lr Ir + jΩs Lm Is + Rr I˙r + Rr
Ir
(9.20)
s
s
Sostituendo poi la (9.12) nella prima delle (9.11) si ottiene una espressione più semplice anche per
la tensione di statore:
L2m ˙
Lm
˙
dotUs = Rs Is + jΩs Ls −
Is + jΩs
(Lr I˙r + Lm I˙s ) = Rs I˙s + jΩs Ls I˙s + jΩs Lm I˙r (9.21)
Lr
Lr
0 = Rr Ir + jΩs Λ̇r + Rr
E dalla (9.20) e (9.21) si può infine derivare il circuito elettrico equivalente del motore asincrono,
riportato in Fig. 9.7 Con n = Ns /Nr si indica il rapporto di trasformazione tra il numero di spire
effettive di una fase di statore Ns e di una di rotore Nr . Si intende che tali valori siano comprensivi
dei coefficienti che servono a ricondurre un avvolgimento distribuito ad uno di tipo concentrato
agli effetti del calcolo del flusso concatenato con ciascun avvolgimento.
La parte di flusso prodotto dallo statore e non trasmesso al rotore è di fatto un flusso disperso,
che vale:
Ls I˙s −
Lm I˙s
Ns
Nr
(9.22)
200CAPITOLO 9. IL MOTORE SINCRONO A MAGNETI PERMANENTI (VERSIONE LIGHT)
Figura 9.7: Circuito elettico equivalente di una fase del motore asincrono
Figura 9.8: Circuito elettico equivalente di una fase del motore, in regime sinusoidale
È possibile definire l’induttanza di dispersione di statore Lσs che, interessata dalla corrente Is produce tale flusso disperso:
Lσs = Ls − Lm Ns /Nr
(9.23)
In modo del tutto analodo è possibile definire l’induttanza di dispersione del rotore Lσr come:
Lσr = Lr −
Lm
Ns /Nr
(9.24)
Alcuni passaggi algebrici, qui omessi per semplicità, portano alla definizione di un circuito elettrico
equivalente derivato da quello di Fig.9.8. Inoltre l’espressione della coppia risulta (dimostrazione
non necessaria):
2
3p Us0 , ef f
(Ωs − pΩm )Rr
C= 2
(9.25)
n
Ωs
(Rr )2 + (sΩs Lσr )2
Si può osservare come lo scorrimento di coppia massima NON dipenda dalla tensione di alimentazione, ma solo dai parametri del motore e dalla pulsazione sincrona. Allo stesso modo, è
9.3. MOTORE TRIFASE A INDUZIONE O MOTORE ASINCRONO
201
importante notare come la massima coppia ottenibile non dipenda dalla resistenza di rotore, ma
solo dalla sua induttanza di dispersione.
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Appunti di azionamenti elettrici I

Motore a induzione - ludus litterarius

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