Unità 12
La gravitazione
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1. Le leggi di Keplero
Fino al 1600 si credeva che:
la Terra fosse al centro dell'Universo, con il Sole
e i pianeti orbitanti attorno (modello geocentrico);
•
i corpi celesti, sferici e perfetti, orbitassero su
traiettorie circolari.
•
Copernico introdusse il modello eliocentrico (Sole
al centro e pianeti su orbite circolari), che fu poi
appoggiato da Galileo.
Questo modello però non concordava con le
osservazioni astronomiche.
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Le leggi di Keplero
Giovanni Keplero (1571-1630) perfezionò il
modello eliocentrico con tre leggi:
Prima legge di Keplero
Le orbite dei pianeti sono ellissi di cui il Sole
occupa uno dei due fuochi.
Si definiscono:
- perielio: il punto dell'orbita
più vicino al Sole.
- afelio: il punto dell'orbita
più lontano dal Sole.
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Le leggi di Keplero
Seconda legge di Keplero
Il raggio vettore che va dal Sole a un pianeta
spazza aree uguali in tempi uguali.
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Le leggi di Keplero
Terza legge di Keplero
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore
dell'orbita a ed il quadrato del periodo di
rivoluzione T è lo stesso per tutti i pianeti.
T aumenta al crescere di a: i
pianeti lontani impiegano più
tempo a compiere un giro
attorno al Sole.
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2. La gravitazione universale
Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti
ma non ne spiegano le cause.
Isaac Newton intuì che la forza che fa orbitare i
pianeti attorno al Sole è la stessa che fa cadere i
corpi verso la Terra.
Questa forza è universale e vale per qualsiasi
coppia di oggetti.
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La gravitazione universale
La legge di gravitazione universale afferma che la
forza che si esercita tra due corpi puntiformi di
masse m1 e m2 è:

direttamente proporzionale alle masse dei corpi;
inversamente proporzionale al quadrato della
loro distanza r.

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La gravitazione universale
L'espressione matematica della legge di
gravitazione universale è:
G è la costante di gravitazione universale:
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La gravitazione universale
Vediamo le dipendenze di F da r e da m.
1) Tenendo fissa la distanza r tra i due corpi:
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La gravitazione universale
2) Tenendo fisse le masse dei due corpi m1 e m2:

se r raddoppia, la forza diventa 1/4;

se r triplica, la forza diventa 1/9;

se r si dimezza, la forza quadruplica.
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La gravitazione universale
Il valore della forza F è inversamente
proporzionale a r2.
Questo significa che:
• F diminuisce molto
rapidamente al crescere
di r;
• F aumenta molto
velocemente al tendere
di r a zero.
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3. Il valore della costante G
La forza-peso FP di un corpo di massa m è la
forza di gravità con cui la Terra attrae m quando è
posta vicino alla superficie terrestre.
MT , RT: massa e raggio della Terra.
Ricaviamo G:
Con i valori di MT , RT noti a Newton si ottiene
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L'esperimento di Cavendish
Henry Cavendish nel 1798 misurò per primo in
laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione.
Le masse m1 e m1 del
manubrio sono attratte
dalle masse più grandi M1
e M2.
Dall'angolo di torsione del
filo si misura il valore di F.
Si ottiene
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L'accelerazione di gravità sulla superficie della Terra
Dalla legge di gravitazione universale, noti MT e
RT, si può ricavare il valore di g che abbiamo già
incontrato.
La quantità in parentesi è una costante e vale:
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L'accelerazione di gravità sulla superficie della Terra
Il valore dell'espressione
corrisponde proprio al valore sperimentale di g.
Questo permette di ottenere la formula
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione,
in prossimità della superficie terrestre.
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4.Massa inerziale e massa gravitazionale
Abbiamo incontrato la grandezza fisica massa di
un corpo in due casi distinti:
massa inerziale, mi: indica la resistenza del
corpo ad essere accelerato;

massa gravitazionale, mg: indica la capacità di
attrarre oggetti ed essere attratto da essi.

I dati sperimentali mostrano che le due masse
sono direttamente proporzionali.
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Massa inerziale e massa gravitazionale
Se scegliamo il kg come unità di misura per
entrambe possiamo considerare: mi = mg, anche
se concettualmente sono diverse.
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5. Il moto dei satelliti
Supponiamo di sparare orizzontalmente un
proiettile dalla cima di una montagna (in assenza
di aria e a velocità arbitraria).
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Diversi tipi di orbite
L'orbita di un proiettile con v0=7,9x103 m/s è
una circonferenza.
All'aumentare ancora di v0 la traiettoria diventa
un'ellisse; superato un certo valore la traiettoria
è un'iperbole: il proiettile si allontana dalla
Terra.
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La velocità dei satelliti in orbita circolare
Satellite di massa m in orbita circolare di raggio R
con velocità v intorno alla Terra.
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza
centripeta:
R al denominatore: più il satellite è lontano dalla
Terra, più è lento.
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Satelliti geostazionari
Sono satelliti che si muovono alla velocità di
rotazione terrestre, quindi appaiono fermi rispetto
alla Terra.
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6. La deduzione delle leggi di Keplero
Le tre leggi di Keplero sono conseguenze dei
princìpi della dinamica e della legge di
gravitazione universale.
Prima legge di Keplero: si dimostra che è
conseguenza della proporzionalità della F
gravitazionale a 1/r2:
le traiettorie possono essere ellissi, parabole o
iperboli;

le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra
cui le circonferenze).

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La deduzione delle leggi di Keplero
Seconda legge di Keplero: si dimostra che è
conseguenza della conservazione del momento
angolare.
poiché L è costante,
r e v sono
inversamente
proporzionali.

Al perielio rP è minimo, quindi vP è massima;

all'afelio rA è massimo, quindi vA è minima.
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La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero: dimostriamola per orbite
circolari.
Moto circolare uniforme:
, si ha
Essendo
ovvero
Poiché la quantità a destra dell'uguale è
costante, la terza legge di Keplero è verificata.
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7. L'energia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B
sotto l'azione di una massa maggiore M.
Si dimostra che
Quindi l'energia potenziale U è:
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Scelta dell'energia potenziale che si annulla all'infinito
Nella formula di U è conveniente porre k=0.
Questo equivale a scegliere come livello zero di U
il caso in cui m e M sono a distanza infinita.
Si scrive dunque
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Scelta dell'energia potenziale che si annulla all'infinito
Rappresentiamo il grafico della funzione U(r).
La dipendenza da 1/r
determina:
 l'annullarsi di U(r) per
r che tende ad infinito;
 il tendere all’infinito di
U per r che tende a
zero.
U(r) è sempre negativa (potenziale attrattivo).
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8. La forza di gravità e la conservazione dell'energia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare
ha confermato la validità della legge di
gravitazione universale e dei princìpi della
dinamica, anche perché nel vuoto spaziale non
esiste attrito.
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La forza di gravità e la conservazione dell'energia meccanica
La legge di conservazione dell'energia in questo
caso è valida e dà un'altra spiegazione alla
seconda legge di Keplero.
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La forza di gravità e la conservazione dell'energia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e
poniamo U = 0 quando la distanza è infinita.
Se il proiettile percorre un'orbita ellittica, v<vfuga e
l'energia totale E=K+U è negativa.

Se il proiettile ha v=vfuga, riesce a liberarsi e
l'energia totale E=K+U è zero.

Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica,
v>vfuga e l'energia totale E=K+U è positiva.

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