SSIS-Veneto Indirizzo FIM A.A. 2002-2003
Terzo Ciclo
Specializzandi: Laino Michele Maurizio
Falcone Antonio
1
Concetto di funzione
Funzione y = ax² + bx + c
Equazione ax² + bx + c = 0
Disequazioni
Chiudi
2
Dati due insiemi A e B, si dice funzione ( f : A B)
una relazione di natura qualsiasi tale che ad ogni
elemento di A associa uno ed uno solo elemento di B
Esempi:
1 2
3 5
4
A
Ore
Temp
.
7
37
4 5
B
Continua
8
9
10 11 12 13 14 15
-5 -5
-4
-3
-2
0
1
2
4
3
Indice
Quando i due insiemi A e B sono insiemi di numeri allora si parla
di funzioni numeriche. Spesso in questi casi la relazione è
esprimibile con espressioni algebriche.
Esempio :
la funzione f definita nell' insieme dei numeri reali
x  3x - 2
Indicata normalment e come y  3x - 2
cioè si associa ad ogni valore di x un valore di y.
f :R  R
( Es. : Se x  1  y  1 ; x  2  y  4)
In questi casi la variabile x viene detta variabile
indipendente ed y viene detta variabile dipendente.
Si può farne il grafico sul piano cartesiano :
Indice
4
Funzione y = ax² + bx + c
Disegniamo una parabola generica :
Asse simmetria
Possiamo notare un punto
significativo detto vertice
E una retta rispetto alla
quale la figura è simmetrica,
detta asse di simmetria.
Vertice
Se b = 0 e c = 0
la funzione diventa : y = ax²
Vediamo come si presenta il grafico assegnando ad a valori diversi. (Clicca qui)
Se b è diverso da 0 e c = 0
la funzione diventa : y = ax² + bx
Vediamo come agisce b sul grafico. (Clicca qui)
Poniamo b e c diversi da 0 la funzione diventa : y=ax² + bx + c
Vediamo come agisce c sul grafico. (Clicca qui)
Indice
5
y = ax²
a = 1/4
a = 1/2
a=1
a=2
a=4
a=8
a = -1/4
a = -1/2
a = -1
a= -2
a = -4
a = -8
Tanto più piccolo è a tanto più la concavità è ampia
Indice
Se a > 0 la concavità è rivolta verso l’ alto; se a < 0 la concavità è rivolta verso il basso.
6
y = x² + bx
Facciamo variare b osservando grafico e vertice
b =- 4 ;V(2,-4)
b = -3;V(3/2,-9/4)
b = - 2;V(1,-2)
b = -1;V(1/2,-1/4)
b = 0;V(0,0)
b = 1;V(-1/2,-1/4)
b = 2;V(1,-2)
Vertice
Vertice
Vertice
b = 3;V(-3/2,-9/4)
Vertice
Vertice
Vertice
Vertice
Dato che abbiamo posto a = 1
al variare di b possiamo dire che la coordinata x
del Vertice si può calcolare V(- b/2a, …)
Indice
y = x² - 2x + c
c=-3
c=-2
c=-1
c=0
c=1
c=2
C
Il parametro c mi dà l’ ordinata del punto di incontro della
parabola con l’asse delle y.
Se c non compare la parabola passa per l’origine.
Indice
Consideriamo
il
seguente
sistema,
costituito
da
una
parabola e dall’asse x :
A
B

 y  x 2  2x  3


y  0
Risolviamolo graficamente
Punti di incontro :
A( -1, 0)
B( 3, 0)
Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo l’equazione : x² - 2x –3 = 0
Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l’
incognita) e quindi ci si possono aspettare al massimo due soluzioni. Nel nostro
caso è soddisfatta con x = - 1, ed x = 3 che sono proprio le ascisse dei punti di
incontro della parabola con l’ asse x.
Indice
9
Consideriamo ora il sistema :
y  x  2x  2

y  0
Ancora una parabola e l' asse x
2
Risolviamolo graficamente
La parabola e l’asse x non
hanno punti in comune.
Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo l’equazione : x² - 2x + 2 = 0
Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l’
incognita) e quindi ci si possono aspettare al massimo due soluzioni.
Nel nostro caso, non è soddisfatta da alcun valore di x. L’ equazione si dice
impossibile.
Indice
10
Consideriamo infine il sistema :
y  x  2x  1

y  0
Ancora una parabola e l' asse x
2
Risolviamolo graficamente
La parabola e l’ asse x hanno un
punto in comune.
A( 1, 0)
Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo l’equazione : x² - 2x + 1 =0
Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l’
incognita) e quindi, ci si possono aspettare al massimo due soluzioni.
Nel nostro caso è soddisfatta da un solo valore di x. L’ equazione ha dunque
una sola soluzione pari a x = 1.
Indice
11
Ma per risolvere un’equazione del tipo ax² + bx + c = 0 bisogna fare tutti
questi disegni ?
Non necessariamente!!!
C’è una formula un po’ complicata:
x
1, 2

b
b  4ac
2a
2
Dove a, b, c sono i coefficienti che compaiono nell’equazione.
Come facciamo a sapere se l’equazione ammette 2, 1, o nessuna soluzione ?
Nella formula, sotto la radice quadrata, c’è l’espressione b²- 4ac, questa espressione
viene detta discriminante ed indicata con D (delta).
Se D  b²- 4ac>0 posso estrarre la radice ed avrò due soluzioni: la parabola taglia l’asse x
Se D  b²- 4ac = 0 posso estrarre la radice ed avrò una soluzione: la parabola tocca l’asse x
Se D  b²- 4ac < 0 non posso estrarre la radice (indice 2, radicando negativo)
e non avrò alcuna soluzione: la parabola non tocca, né taglia l’asse delle x.
Indice
Esempi
12
2x2  3x  1  0
 ( 3) 
( 3) 2  4  2  1
3
x 

22
31
4
31
2
x1 

1
x2 


4
4
4
4
2x  3x  2  0
98
4
1
2
2
 ( 3) 
( 3) 2  4  2  ( 2)
3  9  16
x

22
4
35
8
35
2
1
x1 
 2
x2 


4
4
4
4
2
2x2  4x  2  0
x
x
 ( 4) 
( 4) 2  4  2  2
4

22
4
1
4
Grafico
D>0
2 Soluzioni
Grafico
D0
1 Soluzione
Grafico
D<0
2 x 2  3x  2  0
 (3)  (3) 2  4  2  2
16  16
40

4
4
D>0
2 Soluzioni
4  9  16 4   7

Nessuna Soluzione reale
22
4
4
Non si può estarre la radice. Equazione impossibil e.
x
Indice

Grafico
13
Introduzione
Disequazioni 1° grado
Disequazioni 2° grado
Indice
14
Definizione:
Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni algebriche con una
quantità incognita.
Risolvere una disequazione significa trovare i valori o gli intervalli di valori, che
sostituiti all’incognita, verificano la disuguaglianza.
A differenza delle equazioni, quindi, le soluzioni di una disequazione sono intervalli
di numeri o, se si sta lavorando a livello grafico, intervalli di punti.
Tali intervalli possono essere :
Limitati, Illimitati
a seconda che un estremo o tutti e due siano + o - infinito
Aperti,
a seconda che comprendano o meno gli estremi
Chiusi
Come per le equazioni si parla di grado;
Il grado di una disequazione è l’esponente maggiore con cui compare l’incognita.
Indice
Disequazioni
15
Disequazioni 1º grado
Si presentano sotto questa forma :
ax  b > 0
ax  b  0
ax  b < 0
ax  b  0
Risolviamo la prima :
Risoluzione con metodo grafico
ax  b
b
>
x>
a
a
a
analogamen te si risolvono le altre.
ax > -b
Esempi :
Grafico
2x 3
3
>
x>
2 2
2
Intervallo limitato e aperto a sinistra, illimitato a destra
a)
2x  3 > 0
2x > 3
Grafico
2x  3
3
<
x<
2
2
2
Intervallo illimitato a sinistra, aperto e limitato a destra
b)
2x  3 < 0
2x < 3
Grafico
2x  4

x  2
2
2
Intervallo limitato e chiuso a sinistra, illimitato a destra
c)
2x  4  0
2x  4
Indice
Disequazioni
16
Disequazioni 2º grado
Si presentano sotto questa forma :
ax  bx  c > 0
2
ax  bx  c  0
ax  bx  c < 0
2
2
ax  bx  c  0
2
L’ espressione ax² + bx + c l’abbiamo già incontrata .
y = ax² + bx + c è una parabola
ax² + bx + c = 0 è un’equazione di 2° grado
Per risolvere una disequazione di 2° grado prenderemo in
considerazione sia l’ equazione che la parabola associata.
Ricordiamo solo che la parabola può avere la concavità rivolta verso
l’alto o verso il basso a seconda che il coefficiente a sia positivo o
negativo.
Ricordiamo inoltre che una equazione di 2° grado può avere nessuna,
1 o 2 soluzioni a seconda del valore del discriminante.
Indice
17
In qualsiasi forma si presenti una disequazione di 2° grado si
procede sempre nello stesso modo :
1) Si risolve l’equazione associata
2) Si fa un grafico approssimativo della parabola associata
3) Dal grafico si leggono le soluzioni della disequazione
Considerando l’ espressione ax² + bx + c distinguiamo due situazioni : la prima
con a > 0 , la seconda con a < 0 .
Supposto a > 0 vediamo cosa succede quando l’equazione ax² + bx + c = 0 ha:
Due soluzioni
Una soluzione
Nessuna soluzione
Supposto a < 0 vediamo cosa succede quando l’equazione ax² + bx + c = 0
ha:
Due soluzioni
Indice
Una soluzione
Disequazioni
Nessuna soluzione
18
Ipotesi : a > 0 ; due soluzioni (discriminante >0)
Ne consegue che :
Soluzioni per:
ax² + bx + c > 0
• la parabola è rivolta verso l’alto
• taglia l’asse delle x in due punti
ax² + bx + c > = 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c < = 0
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19
Ipotesi : a > 0 ; una soluzione (discriminante = 0)
Soluzioni per:
Ne consegue che :
• la parabola è rivolta verso l’alto
ax² + bx + c > 0
• tocca l’asse delle x in un punto
ax² + bx + c > = 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c <= 0
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20
Ipotesi : a > 0;nessuna soluzione (discriminante < 0)
Soluzioni per
ax² + bx + c > 0
Ne consegue che :
• la parabola è rivolta verso l’alto
• E’ tutta nel semipiano positivo delle y
ax² + bx + c > = 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c <= 0
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21
Ipotesi : a<0 ; due soluzioni (discriminante >0)
Soluzioni per
ax² + bx + c > 0
Ne consegue che :
• la parabola è rivolta verso il basso
• taglia l’asse delle x in due punti
ax² + bx + c >= 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c < =0
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22
Ipotesi : a < 0 ; una soluzione (discriminante = 0)
Soluzioni per:
ax² + bx + c > 0
Ne consegue che :
• la parabola è rivolta verso il basso
• tocca l’asse delle x in un punto
ax² + bx + c <= 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c < =0
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23
Ipotesi : a < 0 ; nessuna soluzione (discriminante < 0)
Soluzioni per
ax² + bx + c > 0
Ne consegue che :
• la parabola è rivolta verso il basso
• è tutta nel semipiano negativo delle y
ax² + bx + c < = 0
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c < = 0
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24