INDAGINE SPERIMENTALE DEL DEFLUSSO ATTRAVERSO UNA
GRIGLIA DI FONDO A BARRE LONGITUDINALI
Maurizio Righetti, Riccardo Rigon e Stefano Lanzoni1
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Università di Trento
Via Mesiano, 77 – 38050 Trento
Dipartimento di Ingegneria Idraulica Marittima e Geotecnica, Università di Padova
Via Loredan, 20 – 35131 Padova
Sommario
Nella memoria vengono presentati i risultati di una serie di prove di laboratorio inerenti il
campo di moto che si realizza al di sopra di una griglia di fondo a barre longitudinali. Nel
corso di ciascuna prova si è misurato l’andamento della superficie libera della corrente e il
campo di velocità che si realizza al di sopra della griglia. In particolare, l’utilizzo per la
costruzione della griglia di barre di perspex opportunamente sagomate, ha consentito di
rilevare l’andamento delle componenti della velocità anche all’interno della luce delimitata da
due barre adiacenti. La visualizzazione del capo di moto tramite piani di luce laser ha inoltre
consentito la ricostruzione dell’andamento delle linee di corrente all’interno del campo di
moto. L’analisi delle misure effettuate evidenzia le caratteristiche di bidimensionalità del
campo di moto indagato, con componenti delle velocità in direzione longitudinale e normale
al piano della griglia che, in corrispondenza della sezione di efflusso, tendono ad avere lo
stesso ordine di grandezza. Una definizione fisicamente basata del carico motore con cui
calcolare la portata elementare defluente attraverso la griglia è pertanto quella proposta da
Motskow (1957), che assume come carico motore l’energia specifica rispetto al fondo della
corrente in arrivo sulla griglia. In tal caso il coefficiente di portata Cq viene a coincidere con
sen(α), essendo α l’angolo che il vettore della velocità uscente dalla griglia forma con la
direzione individuata dal piano in cui giace la griglia.
Introduzione
Le traverse a soglia con griglia di fondo sono frequentemente usate per la derivazione
di acque da torrenti montani. Queste strutture sono progettate in modo da assorbire la maggior
quantità d’acqua possibile, minimizzando la lunghezza della griglia che però viene
usualmente incrementata di un opportuno fattore (1.5÷2) per permettere la captazione della
portata di progetto anche in caso di parziale intasamento della luce di derivazione.
Il problema del corretto dimensionamento della minima superficie necessaria per
derivare la portata voluta è stato oggetto di studio da parte di vari ricercatori, principalmente
tra gli anni cinquanta e sessanta (Garot, 1939; Noseda, 1956a,b; Bouvard, 1953; Motskow,
1957; Viparelli, 1963). Allo scopo di ottenere soluzioni analitiche del problema, in questi
studi si assume che il campo di moto sopra la griglia sia unidimensionale e gradualmente
variabile, in modo che possa ritenersi valida l’ipotesi di distribuzione idrostatica delle
pressioni in direzione normale al moto. Per quanto riguarda la dissipazione di energia per
unità di peso del fluido e unità di lunghezza, in alcuni studi si assume che essa sia trascurabile
(Bouvard, 1953), in altri che essa sia pari alla variazione di energia potenziale, ovvero alla
pendenza del fondo (Garot, 1939; Noseda, 1956a). Nel primo caso, assumendo costante
2
, (essendo zb la quota del fondo
l’energia per unità di peso del fluido,
b
E
D U /2
rispetto ad un opportuno piano di riferimento orizzontale, g l’accelerazione di gravità, D ed U
il tirante medio e la velocità media nella generica sezione trasversale) si ottiene una equazione
differenziale ordinaria del sesto ordine, che permette di valutare in ogni sezione la portata
derivata per unità di lunghezza, q (Bouvard e Kuntzmann, 1954). Il secondo caso implica la
costanza dell’energia specifica rispetto al fondo, H = E − zb , lungo la griglia. A partire da
questa seconda ipotesi, seguendo l’approccio sviluppato da De Marchi (1947) per lo studio di
profili di superficie libera in moto permanente gradualmente vario a portata progressivamente
decrescente, Noseda (1956a) ha sviluppato una soluzione analitica che fornisce la lunghezza
della griglia filtrante in funzione dei tiranti idrici e delle portate defluenti. Nel caso di griglia
orizzontale i due approcci forniscono ovviamente lo stesso risultato.
Un aspetto cruciale in entrambe le trattazioni sopra citate è la determinazione della corretta
legge di foronomia, espressa nella forma:
dq = C q & 2 gY dx
(1)
dove ω rappresenta l’area complessiva delle aperture, dx è il tratto longitudinale elementare di
griglia, Cq è il coefficiente di portata e Y il carico motore che nei vari studi assume
espressioni diverse. Gli studi sperimentali condotti da Noseda (1956b) su griglie sia
longitudinali sia trasversali costituite da profilati con diverse tipologie di sezione, mostrano
che il coefficiente di deflusso Cq relativo ad un tratto elementare di griglia, assunto come
carico motore il tirante h nella generica sezione, risulta dipendere dal rapporto h/b (essendo b
l’interasse tra due barre) ed è variabile tra circa 0.7 e 1.0, aumentando da monte verso valle. Il
differente comportamento esibito dal deflusso su griglie longitudinali rispetto a piastre di
fondo forate è stato analizzato da Motskow (1957), il quale per griglie con barre longitudinali
propone, a differenza di Noseda, di assumere come carico motore l’energia specifica H0 della
corrente in arrivo sulla griglia.
Lo sviluppo dei moderni calcolatori elettronici ha reso possibile la risoluzione numerica delle
equazioni differenziali che regolano il fenomeno del moto unidimensionale in canali
prismatici a portata decrescente, consentendo così di rimuovere le ipotesi di costanza di E o di
H (Henderson, 1966). Tuttavia, anche in questo caso, si deve porre attenzione alla scelta di
un’opportuna legge di deflusso attraverso le griglie di fondo e quindi ad una scelta verosimile
per il carico motore, specialmente quando si considerino per il flusso sopra la griglia
condizioni di corrente supercritica.
Il presente lavoro intende investigare sperimentalmente la validità delle assunzioni poste alla
base degli studi sopra richiamati utilizzando le moderne tecniche di misura. In particolare si
analizza il caso di griglie con barre longitudinali, discutendo la corretta definizione del carico
motore e, conseguentemente, del coefficiente di deflusso Cq in relazione anche alla sua
variabilità lungo la griglia.
Descrizione dell’apparato sperimentale
Gli esperimenti sono stati realizzati presso il Laboratorio di Idraulica e Difesa del
Suolo dell’Universita’ di Trento in una canaletta a superficie libera a circuito chiuso, lunga 12
m, a sezione trasversale rettangolare di larghezza 0,25 m, con pareti laterali, fondo e
doppiofondo trasparenti, come riportato schematicamente in Figura 1. Ad una distanza di 6 m
a valle dell’imbocco e sopra il doppiofondo si è posta una griglia a barre longitudinali in
perspex, lunga 0,45 m. La forma delle barre è stata scelta in modo da prevenire il più possibile
fenomeni di separazione di vena. Questo accorgimento permette di effettuare misure di
velocità anche all’interno delle fessure tra due barre adiacenti, per mezzo di un anemometro
laser Doppler. La canaletta è alimentata tramite un serbatoio di testa a livello costante; sia
l’acqua derivata dalla griglia che quella fluente sopra di essa vengono convogliate in un
serbatoio di raccolta situato sotto la canaletta e ricircolate al serbatoio di testa.
Q
45 c
m
57 c
m
∆Q
25
3 00 c
m
cm
12 cm
∆Q
Q
∆Q
18 cm
Fig. 1. Schema dell’apparato sperimentale.
La portata totale fluente prima della griglia di derivazione è stata misurata per mezzo di
un misuratore di portata ad induzione magnetica, mentre la portata residua fluente nella
canaletta nel tratto a valle della griglia è stata misurata per mezzo di uno stramazzo Cipolletti
opportunamente tarato. Nel tratto di valle compreso tra la fine griglia e lo stramazzo si è
realizzato un salto di fondo, in modo da evitare che il campo di moto in prossimità della
griglia fosse affetto da fenomeni di rigurgito della vena. La superficie libera è stata misurata
per mezzo di idrometro a punta saltante ad uscita analogica, montato su carrello. Il campo di
moto è stato misurato in differenti posizioni per mezzo di un anemometro laser Doppler in
configurazione backscatter; si è proceduto inoltre alla visualizzazione del campo di moto
longitudinale sopra la griglia, per mezzo di piani di luce laser, utilizzando apposito tracciante.
Le caratteristiche idrauliche dei vari esperimenti sono riportate in Tabella 1.
Per valutare l’andamento dei profili di superficie libera e controllare il corretto
funzionamento dell’apparato sperimentale sono state realizzate alcune prove preliminari
considerando sia condizioni di corrente di monte rapida che lenta. Inoltre è stata realizzata,
nelle prove denominate B1, B2 e B3 un’analisi dettagliata delle caratteristiche del campo di
moto sopra la griglia ed è su queste misure che ci si soffermerà nel seguito.
PROVA
A2
B1
B2
B3
D1
D2
D3
D4
F1
F2
F3
F4
Portata iniziale
Portata emunta
Tirante iniziale
Froude
Q [l/s]
∆Q [l/s]
y0 [mm]
Fr0
22.8
17.6
115
25.4
8.13
70
30.0
12.62
70
35.0
19.23
86
35.0
17.9
70
30.0
17.4
70
25.0
17.5
70
22.5
16.8
70
35.0
19.2
86
30.0
18.1
78
25.0
17.0
69
20.0
15.9
60
Tab. 1. Parametri delle prove sperimentali
0.50
1.75
2.07
1.75
2.41
2.07
1.72
1.55
1.75
1.75
1.75
1.75
Analisi dei risultati sperimentali
La Figura 2 riporta i profili della superficie libera in direzione trasversale misurati in
varie sezioni della griglia per la prova B1; appare chiaramente come il profilo trasversale
tenda a sviluppare una curvatura verso l’alto, con curvature più marcate al diminuire della
profondità della corrente. La variazione trasversale di livello rispetto al tirante medio, tuttavia,
si mantiene sempre relativamente limitata, essendo inferiore al 15%.
Fig. 2. Profili trasversali di superficie libera
(Prova B1).
Fig. 3. Profili trasversali di velocità verticale
all’interno di una fessura (Prova B1).
Nella Figura 3 sono riportate le misure di velocità realizzate con tecnica LDA in tre
differenti sezioni trasversali (ad x = 75, 225, 375 mm dall’inizio della griglia) all’interno della
luce posta tra due barre adiacenti, 25 mm al di sotto del fondo della canaletta. I profili di
velocità ottenuti risultano autosimili, infatti si sovrappongono se adimensionalizzati con la
velocità massima, misurata in corrispondenza dell’asse della luce. Appare quindi plausibile
utilizzare la misura della velocità massima in corrispondenza dell’asse per il calcolo della
velocità media, che risulta essere ridotta di un fattore costante e approssimativamente pari a
0,8. La Figura 4 riporta, per le prove B1 e B2, la distribuzione longitudinale delle componenti
verticale e longitudinale della velocità misurate in corrispondenza dell’asse della luce posta
tra due griglie contigue, 25 mm al di sotto del fondo della canaletta. Appare evidente come le
due componenti di velocità siano dello stesso ordine di grandezza e, quindi, venga meno
l’ipotesi, usualmente adottata, di unidimensionalità del moto.
Fig. 4. Andamento lungo la griglia delle componenti verticali ed orizzontali di velocità,
misurate all’interno della luce posta tra due barre della griglia (prove B1 e B2).
Il carattere bidimensionale del campo di moto in prossimità del fondo appare
chiaramente anche dalla Figura 5, dove sono riportati i vettori velocità misurati, per la prova
B1, in vari punti di due piani verticali e paralleli posti, rispettivamente, in corrispondenza
dell’asse di una barra e dell’asse della luce ad essa adiacente. Per una stessa ascissa, il
massimo scarto tra i moduli dei vettori velocità misurati sui due piani è dell’ordine del 16%.
Si può notare come l’inclinazione del vettore velocità aumenti progressivamente
avvicinandosi al fondo, tendendo tuttavia a diminuire procedendo da monte verso valle. Le
linee di corrente, ricostruite a partire dal campo di velocità media rilevato sperimentalmente,
sono riportate in Figura 6. Si nota come per gran parte della lunghezza della griglia le linee di
flusso presentano una curvatura verso l’alto, mentre nella parte terminale della griglia la
curvatura tende a cambiare di segno. Ne consegue che le pressioni in direzione normale al
moto tendono ad assumere, nella parte iniziale della griglia, una distribuzione caratterizzata
da valori più bassi rispetto a quelli corrispondenti alla distribuzione idrostatica; al contrario
nella parte finale della griglia, in accordo con i rilievi sperimentali di Motskow (1957), la
pressione tende ad aumentare rispetto a quella prevista dalla distribuzione idrostatica. La
stima della variazione percentuale della pressione al fondo rispetto al corrispondente valore
idrostatico, per varie posizioni x/l lungo la griglia, è riportata in Tabella 2.
Fig. 5. Campo di velocità misurato con tecnica L.D.A. in due piani verticali e paralleli posti
lungo l’asse di una barra e lungo l’asse della luce ad essa adiacente (prova B1).
Fig. 6. Ricostruzione delle linee di corrente un piano verticale lungo l’asse di una luce della
griglia (prova B1).
Sezione (x/l)
1/3
1 /2
2/3
εp=(Pidr-P)/Pidr
-23%
-36%
+14%
Tab. 2: Deviazione della pressione al fondo P rispetto alla pressione idrostatica Pidr.
Discussione dei risultati
Le indagini sperimentali effettuate evidenziano come la corrente in prossimità del fondo
assuma un carattere tipicamente bidimensionale, con una componente longitudinale della
velocità dello stesso ordine di grandezza di quella verticale. La valutazione del modulo della
velocità defluente da ciascuna fessura longitudinale può essere fatta considerando il bilancio
di energia lungo una generica linea di corrente. In tal caso, trascurando le dissipazioni di
energia (che negli esperimenti condotti risultano inferiori al 1-2 % dell’energia E), si perviene
alla seguente espressione per il modulo della velocità di deflusso uu in corrispondenza della
generica ascissa x della griglia:
u u ( x ) = 2 g ( H 0 + ∆z )
(2)
essendo ∆z la differenza di quota tra la sezione iniziale della griglia e la sezione generica. La
portata elementare dq(x) defluente attraverso la griglia può quindi essere calcolata noto
l’angolo α(x) dell’inclinazione del vettore velocità , e assume l’espressione:
dq( x) = sin(α ( x )) ω
2 g ( H 0 + ∆z) dx
.
(3)
Confrontando le formule (1) e (3), il significato fisico da attribuire al coefficiente di deflusso
Cq appare chiaro: esso è il seno dell’angolo che il vettore velocità in uscita dalla griglia forma
con la direzione del fondo. Il problema della stima della variazione di Cq lungo x, è quindi
riconducibile alla determinazione dell’andamento dell’angolo α lungo x.
Fig. 7. Valori sperimentali dell’angolo α per le prove B1, B2, B3
E’ evidente che la determinazione di una legge che consenta di calcolare il valore locale
di α in funzione dei parametri caratteristici del moto, necessita di una sistematica serie di
prove sperimentali. Le prove che costituiscono l’oggetto della presente nota, tuttavia,
suggeriscono che α (ovvero il coefficiente di portata Cq) tende a diminuire precedendo da
monte verso valle.
Tale comportamento è implicitamente deducibile dal grafico di figura 7 in cui sono
riportati i valori dell’angolo α in funzione della profondità locale y della corrente,
adimensionalizzata con la profondità y0 della corrente in arrivo sulla griglia. Si noti come, a
parità di y0, i valori sperimentali di α relativi a valori diversi del numero di Froude Fr0 della
corrente in arrivo tendano a disporsi lungo una unica curva. Viceversa, a parità di Fr0 i valori
di α tendono ad aumentare all’aumentare della profondità della corrente in arrivo sulla griglia.
Conclusioni
La serie di prove sperimentali condotte su griglie filtranti longitudinali ha permesso di
evidenziare le caratteristiche del campo di moto nella zona immediatamente sovrastante la
griglia. Tale campo di moto presenta spiccate caratteristiche di bidimensionalità, con
componenti delle velocità in direzione longitudinale e normale al piano della griglia che, in
corrispondenza della sezione di efflusso, tendono ad avere lo stesso ordine di grandezza.
D’altra parte, la ricostruzione delle linee di corrente a partire dal campo di moto misurato,
suggerisce che una razionale definizione del carico motore con cui calcolare la portata
elementare defluente attraverso la griglia è quella che lo pone uguale all’energia specifica
rispetto al fondo H0 della corrente di monte. In tal caso il coefficiente di portata Cq viene a
coincidere con sen(α), essendo α l’angolo che il vettore della velocità uscente dalla griglia
forma con la direzione individuata dal piano in cui giace la griglia. I valori del coefficiente Cq
risultante sono compresi tra 0,5 e 0,7 e tendono a diminuire procedendo da monte verso valle,
ovvero al diminuire della profondità della corrente. Il naturale sviluppo della presente ricerca
riguarda l’esecuzione di una sistematica serie di prove sperimentali, attualmente in fase di
realizzazione, che consenta di determinare la forma della relazione funzionale che lega
l’angolo α ai parametri caratterizzanti il campo di moto.
Bibliografia
Bouvard, M., Debit d’une grille par en dessous. La Houille Blanche, maggio 1953.
Bouvard, M., Kuntzmann, J., Étude théorique des grilles de prises d’eau du type “En dessous”. La
Houille Blanche, settembre 1954.
Garot, F., De Watervang met liggend rooster. De Ingenieur in Nederlandsch Indie, 1939.
Noseda, G., Correnti permanenti con portata progressivamente decrescente, defluenti su griglie di
fondo. L’Energia Elettrica, pp. 41-51, gennaio 1956(a).
Noseda, G., Correnti permanenti con portata progressivamente decrescente, defluenti su griglie di
fondo. L’Energia Elettrica, pp. 565-584, giugno 1956(b).
Motskow, M., Sur le calcul des grilles de prise d’eau. La Houille Blanche, vol. 4, pp. 569-576, 1957.
Viparelli, C., Dissipatori a griglia di fondo, L’Energia Elettrica, vol. 7, pp.509-519, 1963.
De Marchi, G., Profili longitudinali della superficie libera delle correnti permanenti lineari con portata
progressivamente crescente o progressivamente decrescente entro canali di sezione costante.
Ricerca scientifica e ricostruzione, feb-mar 1947.
Henderson, F.M., Open Channel Flow, MacMillan, N.Y., 1966