Lezione
Progetto di Strutture
PROGETTO DEGLI ELEMENTI
RESISTENTI DI STRUTTURE
INTELAIATE IN C.A.
TRAVI
Strutture intelaiate
Limitazioni per travi
Geometria
Definizione:
Il rapporto tra larghezza e altezza della trave
deve essere ≥ 0.25
La larghezza della trave deve essere ≥ 20 cm
Inoltre, per le travi “a spessore”, la larghezza deve essere
-
non maggiore della larghezza del pilastro, aumentata da ogni lato di
metà dell’altezza della sezione trasversale della trave stessa,
-
non maggiore di due volte bc,
essendo bc la larghezza del pilastro ortogonale all’asse della trave.
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Limitazioni per travi
Eccentricità
Sono da evitare, per quanto possibile, eccentricità tra l’asse
della trave e l’asse del pilastro concorrenti in un nodo.
Non deve esserci eccentricità tra l’asse delle travi che
sostengono pilastri in falso e l’asse dei pilastri che le sostengono.
Esse devono avere almeno due supporti,
costituiti da pilastri o pareti.
Le pareti non possono appoggiarsi in falso su travi o solette.
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Limitazioni per travi
Estensione zone critiche
Le zone critiche sono quelle all’interno delle quali si prevede un
comportamento inelastico e si estendono
CD”B”
per una lunghezza pari rispettivamente a 1.0
CD”A”
per una lunghezza pari rispettivamente a 1.5 volte l’altezza
della sezione della trave, misurata a partire dalla faccia del
nodo trave-pilastro o da entrambi i lati a partire dalla
sezione di prima plasticizzazione.
Per travi che sostengono un pilastro in falso,
si assume una lunghezza pari a 2 volte l’altezza della sezione
misurata da entrambe le facce del pilastro.
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Verifiche per travi
Taglio
CD “B” il taglio resistente deve risultare superiore o uguale
alla sollecitazione di taglio
CD “A”
nelle zone critiche il taglio resistente si calcola
assumendo ctgθ =1;
Continua ..............
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Verifiche per travi
Taglio
CD “A”
Se nelle zone critiche il rapporto tra il taglio minimo e quello
massimo risulta inferiore a -0,5, e se il maggiore tra i valori
assoluti dei due tagli supera il valore:

VEd ,min
VR=
 2 −
1
VEd ,max


 f ctd bw d

allora nel piano verticale di inflessione della trave devono essere
disposti due ordini di armature diagonali, l’uno inclinato di +45° e
l’altro di -45° rispetto all’asse della trave.
La resistenza deve essere affidata per metà alle staffe e per metà
ai due ordini di armature inclinate, per le quali deve risultare
VEd ,max ≤
As f yd
2
dove As è l’area di ciascuno dei due ordini di armature inclinate.
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Duttilità rotazionale
Definizione
 Al fine di rendere elevata la duttilità rotazionale delle travi occorre
rendere elevata la duttilità delle sezioni soggette a comportamento
inelastico
 Con riferimento ad un elemento la cui risposta alle azioni esterne sia
governata dalla flessione, la duttilità della generica sezione può
essere valutata a partire dall’analisi del legame momento-curvatura
della sezione stessa mediante la relazione
µ=
χu
χy
dove sono indicate con χu e χy rispettivamente
le curvature ultime e di primo snervamento della sezione.
A. Ghersi. Il cemento armato. Flaccovio editore
Duttilità rotazionale
Confinamento del calcestruzzo
 Una corretta valutazione della duttilità di una sezione in cemento
armato richiede un’accurata descrizione della relazione tra tensioni e
deformazioni con riferimento ad entrambi i materiali, calcestruzzo e
acciaio.
 Come mostrato da indagini numeriche e di laboratorio, un ruolo
fondamentale a tal riguardo è svolto dall’azione di confinamento
esercitata dalle staffe sul calcestruzzo. Questa azione risulta
pressoché trascurabile in presenza di tensioni normali di moderata
intensità (approssimativamente fino a circa il 70% della resistenza
del calcestruzzo non confinato), cioè finché le deformazioni
trasversali rimangono modeste.
A. Ghersi. Il cemento armato. Flaccovio editore
Duttilità rotazionale
Confinamento del calcestruzzo
 La stessa azione cresce invece in modo molto più marcato quando la
tensione normale assume valori maggiori, poiché i lembi delle fessure
cominciano a distanziarsi significativamente e le deformazioni
trasversali tendono ad assumere valori elevati. La reazione offerta
dalle staffe in tale ultima fase determina un incremento della
capacità resistente e, in misura ancora più rilevante, un aumento della
capacità deformativa del calcestruzzo rispetto ai valori propri dello
stesso materiale non confinato.
Il confinamento interessa però solo il calcestruzzo posto nella parte interna della
sezione, mentre risulta nullo per il calcestruzzo di ricoprimento.
A. Ghersi. Il cemento armato. Flaccovio editore
Duttilità rotazionale
Confinamento del calcestruzzo
 In conseguenza del comportamento sopra descritto, nel valutare la
duttilità di una sezione non è opportuno considerare per il
calcestruzzo il legame parabola-rettangolo solitamente adottato per
la valutazione della resistenza ultima.
Tale legame risulta, infatti, poco accurato sia nella valutazione della massima
resistenza, sia nella modellazione del comportamento che segue l’attingimento di
tale resistenza, inclusa la scelta del valore ultimo della deformazione. L’azione
delle tensioni normali ortogonali all’asse longitudinale dell’elemento è
generalmente presa in conto con modelli semplificati, basati su considerazioni
teoriche e dati sperimentali. Essi devono distinguere gli effetti dell’azione di
confinamento sul calcestruzzo in funzione della sua posizione nella sezione. In
particolare, spesso, è definito un primo legame costitutivo per il calcestruzzo
racchiuso dalle staffe, ovvero interno al nucleo della sezione, ed un secondo per il
calcestruzzo di ricoprimento.
A. Ghersi. Il cemento armato. Flaccovio editore
Duttilità rotazionale
Confinamento del calcestruzzo
Sezione circolare
Con riferimento a pilastri di sezione
circolare sollecitati da sforzo normale,
la presenza di staffe snervate induce
nel calcestruzzo una tensione di
compressione trasversale pari a
σc ,trasv
ro
f y Ast
=
s ro
s
dove:
è la spaziatura delle staffe
è il raggio delle staffe
è l’area della sezione trasversale delle
staffe disposte nell’unità di lunghezza
del pilastro
A. Ghersi. Il cemento armato. Flaccovio editore
2 ro s σc ,trasv
\
s
ro
Ast
Ast
fy
s
r
O
σc ,trasv
Ast
fy
s
Duttilità rotazionale
Confinamento del calcestruzzo
s
Se si indica il rapporto volumetrico delle
staffe con la relazione
2π ro Ast 2 Ast
=
π ro2 s
s r0
\
=
ρst
Ast
fy
s
e il rapporto meccanico delle staffe con la
relazione
ωst =ρst
fy
fc
Ast
fy
s
2A fy
= st
s r0 f c
σc ,trasv = 0.5 ρ st f y = 0.5 ωst f c
A. Ghersi. Il cemento armato. Flaccovio editore
\
La tensione di compressione trasversale
può esprimersi come
2 ro s σc ,trasv
r
O
σc ,trasv
Duttilità rotazionale
Confinamento del calcestruzzo
Analogamente,
in pilastri di sezione rettangolare
la tensione di compressione
trasversale vale:
σc ,trasv , x
A )f
(
∑
=
σc ,trasv , y
A )f
(
∑
=
st , x
y
s ho
st , y
s bo
A )b
(
∑
=
o
fy
A )h
(
∑
=
fy
st , x
s hobo
y
st , y
o
h ho
bo
b
=
ρst , x f y
s bo ho
s
=
ρ st , y f y
Ast
fy
s
dove:
è la spaziatura delle staffe
è l’area della sezione trasversale delle
staffe disposte nell’unità di lunghezza
del pilastro nella direzione x o y
A. Ghersi. Il cemento armato. Flaccovio editore
2 ho s σc ,trasv
\
s
Ast
σc ,trasv
Ast
fy
s
Duttilità rotazionale
Confinamento del calcestruzzo
σc ,trasv
A l )f
(
∑
= 0.5
st st
s bo ho
y
Ast
fy
s
= 0.5 ρst f y = 0.5 ωst f c
s
dove:
lst
è il rapporto
A l f
meccanico
ωst = st st y
delle staffe
sbo ho f c
∑
A. Ghersi. Il cemento armato. Flaccovio editore
Ast
fy
s
2 ho s σc ,trasv
\
ωst
è la lunghezza (esclusi i ganci di ancoraggio)
di ciascuna staffa o tirantino
presenti nella sezione
Ast
fy
s
\
La compressione trasversale potrebbe
essere diversa nelle due direzioni.
Si potrebbe tener conto di ciò nelle
analisi ma è in genere sufficiente
far riferimento al valore medio
s
σc ,trasv
Ast
fy
s
Duttilità rotazionale
Confinamento del calcestruzzo
L’azione di confinamento
•
non è costante lungo lo sviluppo
dell’elemento
h
ho
ma
• è concentrata in corrispondenza
delle sezioni in cui sono
disposte le staffe
•
bo
b
perde efficacia man mano che
ci si allontana da queste sezioni
La porzione di elemento ben confinata,
compresa tra due staffe,
è usualmente individuata da una
parabola con pendenza a 45° in
corrispondenza delle staffe.
A. Ghersi. Il cemento armato. Flaccovio editore
45°
Duttilità rotazionale
Confinamento del calcestruzzo
La sezione con minimo
confinamento è quella equidistante
da due staffe consecutive.
ro
Per tale sezione, l’area
effettivamente confinata è
π d 02 
π 
s'
s' 
c
1
Ac =
d
−
=
−


 0

4 
2
4  2 d0 
2
2
La tensione trasversale media
può essere ottenuta introducendo il
coefficiente di efficacia
pari al rapporto tra volume confinato e
volume racchiuso tra le staffe
σc ,trasv
= 0.5 α ωst f c
A. Ghersi. Il cemento armato. Flaccovio editore
s’
s’/4
do
Duttilità rotazionale
Confinamento del calcestruzzo
Se la sezione ha una forma diversa dalla
circolare, un analogo problema di
efficacia si presenta nell’ambito della
sezione in cui è disposta la staffa.
In una sezione rettangolare l’effetto
del confinamento è concentrato in
corrispondenza degli spigoli delle
staffe o dei punti in cui le barre
longitudinali sono vincolate da tirantini.
Il coeff. di efficacia complessivo
considera l’efficacia delle staffe
 lungo lo sviluppo
dell’elemento
(αs)
 nel piano della
sezione trasversale
(αn)
essendo α = αn αs
(α)
h
ho
bo
b
αn =
Acc
b2
=1− ∑ i
b0 h0
n 6 b0 h0
Duttilità rotazionale
Confinamento del calcestruzzo
bi
Indicando con bi la distanza tra due
barre adiacenti bloccate da staffe o
tirantini, l’altezza di ciascun segmento
parabolico è pari a bi / 4.
Ricordando che l’altezza media di un
segmento parabolico è i 2/3 dell’altezza
massima, l’area della sezione
trasversale confinata è
A =
b0 h0 − ∑
c
c
n

bi2 
2 bi
bi =
b0 h0 1 − ∑

3 4
6
b
h
n
0 0 

Il coefficiente di efficacia nel piano
della sezione trasversale vale
A cc
bi2
αn =
= 1− ∑
b0 h0
n 6 b0 h0
h
ho
bo
b
αn =
Acc
b2
=1− ∑ i
b0 h0
n 6 b0 h0
Duttilità rotazionale
Confinamento del calcestruzzo
bi
L’efficacia del confinamento lungo lo
sviluppo longitudinale dell’elemento può
essere valutata in maniera analoga a
quanto visto per la sezione circolare.
h
ho
Nella sezione con minimo confinamento,
cioè quella equidistante da due staffe
consecutive, l’area confinata vale
bo
b
s' 
s'

Acc =−
b
h
−
 0
  0

2
2

 
ovvero

s' 
Acc =
b0 h0 1 −

2
b
0 


s' 
1
−


2
h
0 

s’
αn =
Acc
b2
=1− ∑ i
b0 h0
n 6 b0 h0
Duttilità rotazionale
Confinamento del calcestruzzo
Tra tutte le proposte si richiama innanzitutto quella contenuta nell’Eurocodice 2.
La resistenza del calcestruzzo confinato è espressa in funzione di quella del
calcestruzzo non confinato mediante la relazione
per σ c ,trasv ≤ 0.05 f ck
c
f c=
f c + 5.0 σ c ,trasv
f ckc =
1.25 f ck + 2.5 (σ c ,trasv − 0.05 f ck )
per σ c ,trasv > 0.05 f ck
Modifica delle deformazioni del modello parabola rettangolo
per tenere conto del confinamento
ε cc2
 f ckc 
= ε c2 

f
 ck 
ε= ε cu + 0.2
c
cu
2
σ c ,trasv
f ck
αn =
Acc
b2
=1− ∑ i
b0 h0
n 6 b0 h0
Duttilità rotazionale
Confinamento del calcestruzzo
αn =
Acc
b2
=1− ∑ i
b0 h0
n 6 b0 h0
Duttilità rotazionale
Calcolo analitico
Al fine di ottenere la curva momento flettente-curvatura delle generica
sezione in conglomerato cementizio armato, la sezione in esame è
inizialmente suddivisa in strisce.
Successivamente, si ipotizzano curvature crescenti per la sezione
e si valutano le caratteristiche della sollecitazione corrispondenti a tali
curvature.
Nel fare ciò si considerano valide le ipotesi di conservazione delle sezioni
piane e di perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo fino al collasso della
sezione.
αn =
Acc
b2
=1− ∑ i
b0 h0
n 6 b0 h0
Duttilità rotazionale
Calcolo analitico
Sono generalmente considerati due differenti legami costitutivi del
calcestruzzo: uno per il calcestruzzo non confinato del ricoprimento e
uno per il calcestruzzo confinato del nucleo dell’elemento.
In particolare, il calcestruzzo non confinato perverrà a rottura prima di
quello confinato e sarà pertanto eliminato dal calcolo una volta attinta la
deformazione di rottura.
αn =
Acc
b2
=1− ∑ i
b0 h0
n 6 b0 h0
Duttilità rotazionale delle travi
Esempi di calcolo
Trave 30X50
5φ20 in trazione e 2φ14 in compressione
staffe φ6/20
(ovvero trave con poca armatura compressa
e poche staffe)
α=0.20 ωst=0.06
Cls C20/25 ; acciaio FeB38k
Trave 30X60
5φ20 in trazione e 3φ20 in compressione
staffe φ8/10
(ovvero trave con molta armatura compressa
e buona staffatura)
α=0.30 ωst=0.20
Cls C25/30 ; acciaio B450C
Duttilità rotazionale
Armature longitudinali
 Se il carico è
di natura ciclica alternata,
con deformazioni
εy < εmax < εh
1. La rottura della barra richiede un
numero di cicli da qualche decina
a qualche centinaio in funzione
della deformazione raggiunta
2. La rottura non manifesta strizione
3. Il numero di cicli è superiore
a quello prodotto da una scossa
sismica
4. La barra assorbe comunque
una elevata quantità di energia
meccanica.
La rottura può definirsi duttile
A. Castellani, E. Faccioli. Costruzioni in zona sismica. Hoepli

Duttilità rotazionale
Armature longitudinali
 Se il carico è
di natura ciclica alternata,
con deformazioni
εmax > εh
1. La rottura della barra richiede
pochi cicli di carico
2. La rottura non manifesta strizione
3. La barra assorbe
una ridotta quantità di energia
meccanica.
La rottura può definirsi fragile

E’ opportuno fissare, in fase di progetto, che la deformazione
massima dell’armatura longitudinale sia inferiore o uguale a εh
A. Castellani, E. Faccioli. Costruzioni in zona sismica. Hoepli
Curvatura ultima delle travi
Limitazione della deformazione delle armature longitudinali
εcu
 Dalla conservazione
delle sezioni piane
xu
d
εs
Al fine di evitare rotture
fragile dell’armatura
deve essere
risulta
xu
ε cu
ξu =
=
d ε cu + ε s
Al fine di avere rotture
duttili dell’armatura
deve essere
εcu
εcu
εcu
<
<
εcu + ε sh
εcu + ε s
εcu + ε sy
A. Castellani, E. Faccioli. Costruzioni in zona sismica. Hoepli
Curvatura di primo snervamento
Travi con semplice armatura
σcmax
xy
1
N c =ξ y b d σcmax
2
d
fy
Conservazione
sezioni piane
2
3
+
Perfetta aderenza
acciaio-cls
Legame
tensione-deform.
εy
ε
max
c
=
1− ξy
ξy
f=
Es ε y
y
σc = Ec εc
A. Castellani, E. Faccioli. Costruzioni in zona sismica. Hoepli
N s = As f y
1
Eq. traslazione
orizzontale
Nc = Ns
Sostituendo le eq.
(2) e (3) nella (1) risulta :
ξ=
y
( n ρ ) + 2n ρ − n ρ
2
Inoltre, si ha :
εy
χy =
d (1 − ξ y )
Curvatura ultima
Travi con semplice armatura
bo
fc
Nc =
βc k ξu f c bo d
xu
d
fy
Dall’equazione di equilibrio alla
traslazione longitudinale si ha :
As f y
ξu = c
β k f c bo d
dove fc è il valore della resistenza
a compressione del cls non confinato
A. Castellani, E. Faccioli. Costruzioni in zona sismica. Hoepli
N s = As f y
Curvatura ultima
Travi con semplice armatura
Stante la planarità della sezione deformata, risulta :
c
εccu
bo βc k f c εccu
ε
ε f b
χu ,1 = =
=
βc k cu cu c o
ξu d
As f y
εcu f y As
Quando l’armatura compressa è uguale o maggiore di quella tesa (u≥1) oppure
l’armatura tesa è molto bassa il valore di ξu diventa molto piccolo ed in questi casi
la curvatura ultima corrisponde al contemporaneo raggiungimento di εcuc al bordo
compresso del nucleo e di εsu nell’armatura tesa e sarà quindi pari a
χu ,2
εccu + ε su
=
d − c′
…….e quindi:
 c εccu εcu f c b0 εccu + ε su
;
=
χu MIN  β k

εcu f y As
d − c′

A. Castellani, E. Faccioli. Costruzioni in zona sismica. Hoepli



Duttilità rotazionale
Travi con semplice armatura
Dal rapporto tra la curvatura ultima e quella corrispondente alla prima
plasticizzazione si ha :
 c εccu εcu f c b0 d (1 − ξ y ) εccu + ε su (1 − ξ y ) 
=
µ M IN  β k
;


′
εcu ε y f y
εy 1− c d 
As

RISULTATO :


La duttilità rotazionale é direttamente proporzionale
alle caratteristiche meccaniche del cls (εcu , fc)
La duttilità rotazionale é inversamente proporzionale
alle caratteristiche meccaniche dell’acciaio (ρ, εy , fy)
A. Castellani, E. Faccioli. Costruzioni in zona sismica. Hoepli
Curvatura di prima plasticizzazione
Travi con doppia armatura
'
σcmax N=
As σ's
s
xy
d
N s = As f y
fy
Conservazione
sezioni piane
2
3
+
Perfetta aderenza
acciaio-cls
Legame
tensione-deform.
1
1
N c =ξ y d b σcmax
2
εy
1− ξy
=
εcmax
ξy
ξy − γ
ε's
=
εcmax
ξy
Eq. traslazione
orizzontale
N c + N s' + N s =
0
Sostituendo le eq.
(2) e (3) nella (1) risulta :
=
ξy
f=
Es ε y
y
σc = Ec εc
σ's = Es ε's
A. Castellani, E. Faccioli. Costruzioni in zona sismica. Hoepli
n (ρ + ρ ) + 2n ( ρ + ρ' γ ) − n ( ρ + ρ' )
2
' 2
Inoltre, si ha :
εy
χy =
d (1 − ξ y )
Curvatura ultima
Travi con doppia armatura
fc
N s' = As f y
xu
Nc =
βc k ξu f c bo d
d
fy
Dall’equazione di equilibrio alla
traslazione longitudinale si ha :
ξu
A −A)f
(
=
s
'
s
y
βc k f c bo d
dove fc è il valore della resistenza a
compressione del cls non confinato
A. Castellani, E. Faccioli. Costruzioni in zona sismica. Hoepli
N s = As f y
Curvatura ultima
Travi con doppia armatura
Stante la planarità della sezione deformata, risulta :
c
εccu
bo βc k f c εcu
εccu εcu f c
bo
c
χu ,1 = =
=
β k
'
ξu d ( As − As ) f y
εcu f y As (1 − u )
Quando l’armatura compressa è uguale o maggiore di quella tesa (u≥1) oppure
l’armatura tesa è molto bassa il valore di ξu diventa molto piccolo ed in questi casi
la curvatura ultima corrisponde al contemporaneo raggiungimento di εcuc al bordo
compresso del nucleo e di εsu nell’armatura tesa e sarà quindi pari a
χu ,2
εccu + ε su
=
d − c′
…….e quindi:
 c εccu εcu f c
b0
εccu + ε su
;
=
χu MIN  β k

εcu f y As (1 − u )
d − c′

A. Castellani, E. Faccioli. Costruzioni in zona sismica. Hoepli



Duttilità rotazionale
Travi con doppia armatura
Dal rapporto tra la curvatura ultima e quella corrispondente alla prima
plasticizzazione si ha :
 c εccu εcu f c b0 d (1 − ξ y ) εccu + ε su (1 − ξ y ) 
=
µ M IN  β k
;


′
εcu ε y f y As (1 − u )
εy 1− c d 

DUTTILITA’ ROTAZIONALE




VINCOLO DI NORMATIVA
Min percentuale di staffe
cresce con εcu
cresce con fcu
Min resistenza del cls
cresce al diminuire di ρ
Max percentuale di armatura tesa
cresce al diminuire di ρ−ρ’
Min percentuale di arm. compressa
A. Castellani, E. Faccioli. Costruzioni in zona sismica. Hoepli
Duttilità rotazionale
Travi con doppia armatura
Se si trascurasse l’effetto di confinamento del calcestruzzo nelle travi
si perverrebbe alle seguenti relazioni:
εy
χy =
d (1 − ξ y )
εcu f c
1
b
c ε cu f c
=
χu β
=β
e
f y As (1 − u )
d f y (ρ − ρ' )
c
Da queste si otterrebbe la duttilità rotazione della sezione
εcu f c b d (1 − ξ y )
ε f b d ⋅ 0.65
ε f bd
µ =β
= 0.8 cu c
= 0.52 cu c
ε y f y (ρ − ρ ')
ε y f y (ρ − ρ ')
ε y f y (ρ − ρ ')
e quindi la quantità di armatura longitudinale necessaria a garantire valori
prestabiliti di duttilità
ρ − ρ ' = 0.52
0.0035 f c b d 0.0018 f c b d
=
εy
fy µ
εy
fy µ
A. Castellani, E. Faccioli. Costruzioni in zona sismica. Hoepli
Verifiche di duttilità per travi
Elementi principali in elevazione
Qualora non si proceda ad un’analisi non lineare, le verifiche di duttilità
si possono effettuare controllando che la duttilità di curvatura nelle
zone critiche risulti
2qo − 1

µϕ ≥ 
1 + 2 ( qo − 1) TC T1
se T1≥TC
se T1<TC
dove T1 è il periodo proprio fondamentale della struttura.
La duttilità di curvatura può essere calcolata come rapporto tra la
curvatura cui corrisponde una riduzione del 15% della massima
resistenza a flessione ovvero il raggiungimento delle deformazioni ultime
del calcestruzzo εcu o dell’acciaio εuk e la curvatura al limite di
snervamento.
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Limitazioni per travi
Armature longitudinali
 Almeno due barre di diametro non inferiore a 14 mm devono essere
presenti superiorm. e inferiorm. per tutta la lunghezza della trave.
 In ogni sezione della trave,
il rapporto geometrico ρ relativo all’armatura tesa
deve essere compreso entro i seguenti limiti:
dove:
ρ
ρcomp
fyk
1.4
3.5
< ρ < ρcomp +
f yk
f yk
è il rapporto geometrico relativo all’armatura tesa As/(b·h);
è il rapporto geometrico relativo all’armatura compressa;
è la tensione caratteristica di snervamento dell’acciaio (in MPa).
 Nelle zone critiche della trave deve essere ρcomp ≥ 0.50 ρ
e ovunque nella trave deve essere ρcomp ≥ 0,25 ρ
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Limitazioni per travi
Armature longitudinali
 L’armatura superiore, disposta per il momento negativo alle estremità
delle travi, deve essere contenuta,
- per almeno il 75%
entro la larghezza dell’anima
- per le sezioni a T o ad L,
entro una fascia di soletta pari rispettivamente alla larghezza
del pilastro, od alla larghezza del pilastro aumentata di 2 volte
lo spessore della soletta da ciascun lato del pilastro, a seconda
che nel nodo manchi o sia presente una trave ortogonale.
Almeno ¼ dell’armatura disposta per momento negativo deve essere
mantenuta per tutta la lunghezza della trave.
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Limitazioni per travi
Armature longitudinali
 Le armature longitudinali delle travi, sia superiori che
inferiori, devono attraversare, di regola, i nodi senza
ancorarsi o giuntarsi per sovrapposizione in essi.
Quando ciò non risulti possibile, sono da rispettare le seguenti
prescrizioni:
-
le barre vanno ancorate oltre la faccia opposta a quella di
intersezione con il nodo, oppure rivoltate verticalmente in
corrispondenza di tale faccia, a contenimento del nodo;
-
la lunghezza di ancoraggio delle armature tese va calcolata in
modo da sviluppare una tensione nelle barre pari a 1.25 fyk, e
misurata a partire da una distanza pari a 6 diametri dalla faccia
del pilastro verso l’interno.
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Limitazioni per travi
Armature longitudinali
 La parte dell’armatura longitudinale della trave che si ancora
oltre il nodo non può terminare all’interno di una zona critica,
ma deve ancorarsi oltre di essa.
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Limitazioni per travi
Armature longitudinali
La parte dell’armatura longitudinale della trave che si ancora nel nodo,
deve essere collocata all’interno delle staffe del pilastro.
Per prevenire lo sfilamento di queste armature il diametro delle barre
longitudinali della trave deve essere ≤ αbL volte l’altezza della sezione del
pilastro, essendo :
1 + 0.8ν d
 7.5 f ctm
 γ f 1 + 0.75k ρ
D comp ρ
 Rd yd
α bL =

 7.5 f ctm (1 + 0.8ν d )
 γ Rd f yd
per nodi interni
per nodi esterni
dove:
νd
kD
γRd
è la forza assiale di progetto normalizzata ;
vale 1
o 2/3, rispettivamente per CD”A” e per CD”B” ;
vale 1.2 o 1,
rispettivamente per CD”A” e per CD”B” .
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Limitazioni per travi
Armature longitudinali
Se per nodi esterni non è possibile soddisfare tale limitazione,
si possono :
•
prolungare le travi oltre il pilastro,
•
usare piastre saldate alla fine delle barre,
•
piegare le barre per una lunghezza minima pari a 10 volte il loro
diametro disponendo un’apposita armatura trasversale dietro la
piegatura.
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Limitazioni per travi
Staffe di contenimento
Definizione: staffa rettangolare, circolare o a spirale, di diametro minimo 6 mm,
con ganci a 135° prolungati per almeno 10 diametri alle due estremità.
I ganci devono essere assicurati alle barre longitudinali.
Le staffe di contenimento devono essere disposte ad un passo
non superiore alla minore tra le grandezze seguenti:
-
un quarto dell’altezza utile della sezione trasversale;
-
175 mm
225 mm
-
6 volte il diametro minimo delle barre long. di verifica per CD”A”
8 volte
“
“
per CD “B”
-
24 volte il diametro delle armature trasversali.
per CD”A”
per CD “B”
La prima staffa di contenimento deve distare non più di 5 cm dalla sezione a filo pilastro.
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
PILASTRI
Strutture intelaiate
Limitazioni per pilastri
Geometria
Definizione:
Il rapporto tra larghezza e altezza della sezione trasversale
deve essere ≥ 0.25
La larghezza del pilastro deve essere ≥ 25 cm
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Limitazioni per pilastri
Estensione zone critiche
Eurocodice 8: le regioni fino ad una distanza lcr da entrambe le
sezioni di estremità di una colonna (elemento primario) devono
essere considerate come zone critiche.
In assenza di analisi più accurate si può assumere che la
lunghezza della zona critica sia la maggiore tra:
•
l’altezza della sezione
•
1/6 dell’altezza libera del pilastro
•
45 cm
•
l’altezza libera del pilastro
se questa è inferiore a 3 volte l’altezza della sezione
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
αn =
Acc
b2
=1− ∑ i
b0 h0
n 6 b0 h0
Duttilità rotazionale dei pilastri
Esempi di calcolo
Pilastro 30X70
8φ14 e staffe φ6/20
(ovvero trave con poca armatura compressa
e poche staffe)
α=0.44 ; ωst=0.013
Cls C20/25 ; acciaio FeB38k
N=1000
kN
Pilastro 30X70
8φ20+4φ14 e staffe doppie φ8/10 staffe
(ovvero trave con molta armatura compressa
e buona staffatura)
α=0.58 ; ωst=0.075
Cls C25/30 ; acciaio B450C
N=1000
kN
αn =
Acc
b2
=1− ∑ i
b0 h0
n 6 b0 h0
Duttilità rotazionale dei pilastri
Esempi di calcolo
Pilastro 30X70
8φ14 e staffe φ6/20
(ovvero trave con poca armatura compressa
e poche staffe)
α=0.44 ; ωst=0.013
Cls C20/25 ; acciaio FeB38k
Pilastro 30X70
8φ20+4φ14 e staffe doppie φ8/10 staffe
(ovvero trave con molta armatura compressa
e buona staffatura)
α=0.58 ; ωst=0.075
Cls C25/30 ; acciaio B450C
Duttilità rotazionale dei pilastri
Elementi con doppia armatura in presenza di sforzo normale
Il parametro ξy viene determinato imponendo la deformazione di prima
plasticizzazione nell’acciaio e l’eq. alla traslazione longitudinale in presenza di Nsd
Avremo pertanto :
2  N sd + ( ρ − ρ' ) f y b d 
ξy =
b d σcmax
e
εy
χy =
d (1 − ξ y )
Il parametro ξu viene determinato imponendo la deformazione di rottura nel cls e
l’equilibrio alla traslazione longitudinale in presenza di Nsd.
Avremo pertanto :
N + ( ρ − ρ ') f y b d
ξu = sd
bo d βc k f c
DUTTILITA’ ROTAZIONALE
A. Castellani, E. Faccioli. Costruzioni in zona sismica. Hoepli
µ=
e
εccu
χu =
ξu d
εccu βc k f c (1 − ξ y )
 N sd

'
 b d + (ρ − ρ ) f y  ε y


bo
b
Verifiche per pilastri
Limitazione dello sforzo normale
La sollecitazione di compressione non deve eccedere il
CD “B”
65%
CD “A”
55%
della resistenza massima a compressione
della sezione di solo calcestruzzo.
Di ciò bisognerà tenere conto in fase di progetto !!
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Limitazioni per pilastri
Armatura longitudinale
 L’interasse tra le barre non deve essere superiore a 25 cm.
 La percentuale geometrica ρ
deve essere compresa entro i seguenti limiti:
1% ≤ ρ ≤ 4%
Nota:
ρ é il rapporto tra l’area dell’armatura longitudinale e
l’area della sezione del pilastro
 La lunghezza di ancoraggio delle barre longitudinali deve essere
incrementata del 50% se la forza assiale su un pilastro è di trazione.
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Limitazioni per pilastri
Staffe di contenimento e legature
Nelle zone critiche devono essere rispettate le condizioni
per l’armatura longitudinale :
 le barre disposte sugli angoli della sezione
devono essere contenute dalle staffe;
 almeno una barra ogni due, di quelle disposte sui lati,
deve essere trattenuta da staffe interne o da legature;
 le barre non fissate devono trovarsi ad una distanza
da una barra fissata minore di :
- 15 cm
per CD “A”
- 20 cm
per CD ”B”
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Limitazioni per pilastri
Staffe di contenimento e legature
Nelle zone critiche devono essere rispettate le condizioni
per l’armatura trasversale :
 Diametro non inferiore a 6 mm
 Passo non superiore alla più piccola delle quantità seguenti:
•
1/3 del lato minore della sezione trasversale
1/2
“
“
per CD”A”
per CD”B”
•
125 mm
175 mm
per CD”A”
per CD”B”
•
6 volte il diametro delle barre longitudinali
8
“
“
per CD”A”
per CD”B”
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Limitazioni per pilastri
Armatura trasversale
Con riferimento ad ognuna delle direzioni di azione del sisma
deve risultare soddisfatta la seguente relazione:
dove
f cd bst

0.08

f yd
Ast 
≥
f cd bst
s 
0.12

f yd
Ast
è l’area complessiva dei bracci delle staffe,
s
è il passo delle staffe.
bst
è la distanza tra i bracci più esterni delle staffe
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
per CD"A" al di fuori
della zona critica
e per CD "B"
per CD "A“
in zona critica
Limitazioni per pilastri
Armatura trasversale
essendo :
e quindi :
dove:
lst
A
∑
=
ωst
s bo ho
∑A
st
s
l fy
st st
= ωst
fc
bo ho f c
lst f y
è la lunghezza (esclusi i ganci di ancoraggio) di ciascuna staffa o tirantino
presenti nella sezione nella direzione esaminata
f cd bst

0.08 f
Ast 
yd
≥
f b
s 
0.12 cd st

f yd
ωst , x =
ωst , y =
0.08
ωst , x =
ωst , y =
0.12
Limitazioni per pilastri
Armatura trasversale
Aver fissato un valore del rapporto meccanico delle staffe vuole dire,
a meno del coefficiente di confinamento, aver fissato un valore della
tensione media di confinamento nel calcestruzzo:
σc ,trasv
= 0.5 α ωst f c
e quindi una deformazione ultima del calcestruzzo confinato:
εccu = εcu + 0.1α ωst
Eurocodice 2 (2005)
Ad esempio, se α=0.5 :
=
ε ccu 0.0035 + 0.1⋅ 0.5 ⋅ 0.16
= 0.0115
=
ε ccu 0.0035 + 0.1⋅ 0.5 ⋅ 0.24
= 0.0155
CD"A" al di fuori della zona critica
e per CD "B"
CD "A“ in zona critica
Verifiche per pilastri
Presso-flessione deviata
La verifica a presso-flessione deviata
può essere condotta in maniera semplificata effettuando,
per ciascuna direzione di applicazione del sisma,
una verifica a presso-flessione retta
nella quale la resistenza viene ridotta del 30%.
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Limitazioni per pilastri
Presenza di tompanamenti
Nel caso in cui i tamponamenti non si estendano
per l’intera altezza dei pilastri adiacenti,
•
l’armatura (long. e trasv.) risultante deve essere estesa per una distanza
pari alla profondità del pilastro oltre la zona priva di tamponamento.
•
nel caso in cui l’altezza della zona priva di tamponamento fosse
inferiore a 1.5 volte la profondità del pilastro, debbono essere
utilizzate armature bi-diagonali.
Qualora il tamponamento (seppur esteso a tutta altezza) sia
presente su un solo lato di un pilastro, l’armatura trasversale da
disporre alle estremità del pilastro deve essere estesa all’intera
altezza del pilastro (ovvero l’intera lunghezza va considerata
come zona critica).
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
NODI
Strutture intelaiate
Rottura dei nodi
Rottura dei nodi
Irpinia 1980,
S.Angelo dei
Lombardi
Foto A. Ghersi
Rottura dei nodi
Nodi trave-pilastro
Strutture intelaiate
Si distinguono due tipi di nodi:
•
Nodi interamente confinati, così definiti quando in ognuna delle
quattro facce verticali si innesta una trave.


In ognuna delle 4 facce si innestano travi
Le travi sono sovrapposte ai pilastri per almeno i ¾ della larghezza del
pilastro (e tra loro per i ¾ dell’altezza)
Per i nodi interamente confinati
non occorrono verifiche
Nodo interno,
interamente
confinato
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Nodi trave-pilastro
Strutture intelaiate
Si distinguono due tipi di nodi:
•
Nodi non interamente confinati : tutti i nodi non appartenenti alla
categoria precedente.
Esempi di nodi
non interamente confinati
Nodo laterale
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Nodo d’angolo
Nodi trave-pilastro
Caratteristiche delle sollecitazioni
Vc
lc
hb
Cb
Tb
Tb
Cb
V = Vc
zb
V jh = Cb + Tb − Vc
V = Vc
Vc
Nodi trave-pilastro
Strutture intelaiate
Il taglio agente in direzione orizzontale in un nodo deve essere calcolato
tenendo conto delle sollecitazioni più gravose che si possono verificare
negli elementi che vi confluiscono (ovvero in accordo al criterio di
gerarchia delle resistenze).
In assenza di più accurate valutazioni, la forza di taglio agente nel
nucleo di calcestruzzo del nodo può essere calcolata, per ciascuna
direzione dell’azione sismica, come:
in cui
γRd
As1, As2
VC
V jbd =
γ Rd ( As1 + As 2 ) f yd − VC
per nodi interni
V jbd =
γ Rd As1 f yd − VC
per nodi esterni
e` uguale a 1.20 ;
sono rispettivamente l’area dell’armatura
superiore ed inferiore della trave ;
è la forza di taglio nel pilastro al di sopra del nodo,
derivante dall’analisi in condizioni sismiche.
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Verifiche dei nodi trave-pilastro
Strutture intelaiate
Per la verifica del nodo si considera lo stesso soggetto a tensioni
uniformemente ripartite sulle facce superiori ed inferiori e a tensioni
tangenziali ripartite sulle quattro facce
σξ  σ x + σ y   σ x − σ y 
2
τ
=
±
+
σ η  2   2 
2
τ=Vjh/(bjhj)
ovvero
σ
σ 
σ η (compr.) =
− −   +τ 2
2
2
σ=N/(bjhj)
σ
2
σ 
σ ξ (traz.) =
− +   +τ 2
2
2
2
Verifiche dei nodi trave-pilastro
Strutture intelaiate
Se si vuole limitare la rottura per schiacciamento del calcestruzzo
occorre limitare il valore della tensione principale di compressione
−σ η (compr.) =
+
σ
σ 
2
+   + τ 2 ≤ η f cd
2
2
Elevando al quadrato i due membri si ha:
2
σ 
σ 
2
τ
η
f
+
≤
+
(
)
cd
 
  − ση f cd
2
2
2
2
e quindi moltiplicando entrambi i membri
per l’area della sezione trasversale del nodo:
τ bjhj =
V jh ≤ b j h j η f cd 1 −
σ
η f cd
Verifiche dei nodi trave-pilastro
Strutture intelaiate
CD “A”
La compressione diagonale indotta dal meccanismo a traliccio
non deve eccedere la resistenza a compressione del
calcestruzzo. Ciò può ritenersi soddisfatto se:
V jbd ≤ η f cd b j h jc 1 −
dove
f 

η = α j 1 − ck 
 250 
νd
η
f ck in MPa
αj è un coefficiente che vale 0,6 per nodi interni e 0,48 per nodi esterni,
νd è la forza assiale nel pilastro al di sopra del nodo normalizzata rispetto
alla resistenza a compressione della sezione di solo calcestruzzo,
hjc è la distanza tra le giaciture più esterne di armature del pilastro,
bj
è la larghezza effettiva del nodo, pari alla minore tra:
- la maggiore tra le larghezze della sezione del pilastro e della trave;
- la minore tra le larghezze della sezione del pilastro e della trave,
ambedue aumentate di metà altezza della sezione del pilastro.
Verifiche dei nodi trave-pilastro
Strutture intelaiate
Se si vuole evitare la fessurazione per trazione del calcestruzzo occorre
limitare il valore della tensione principale di trazione
σ
σ 
2
σ ξ (traz.) =
− +   + τ 2 ≤ f ctd
2
2
Elevando al quadrato i due membri si ha:
2
σ 
σ 
2
τ
f
+
≤
+
(
)
ctd
 
  + σ f ctd
2
2
2
2
e quindi moltiplicando entrambi i membri
per l’area della sezione trasversale del nodo:
τ bjhj =
V jh ≤ b j h j f ctd 1 +
σ
f ctd
Verifiche dei nodi trave-pilastro
Strutture intelaiate
Se si prevede una staffatura
e quindi il confinamento del nodo
σ + σ c ,trasv
σ ξ (traz.) =
−
2
 σ − σ c ,trasv 
2
+ 
+
τ
≤ f ctd

2


2
Elevando al quadrato i due membri si ha:
 σ − σ c ,trasv 
 σ + σ c ,trasv 
2
2

 + τ ≤ ( f ctd ) + 
 + (σ + σ c ,trasv ) f ctd
2
2




2
2
e semplificando:
τ ≤ σ σ c ,trasv + σ c ,trasv f ctd + σ f ctd + f
2
2
ctd
ovvero
σ c ,trasv
τ 2 − f ctd ( f ctd + σ )
≥
f ctd + σ
Verifiche dei nodi trave-pilastro
Strutture intelaiate
CD “A”
Per evitare che la massima trazione diagonale del calcestruzzo
ecceda la fctd deve essere previsto un adeguato confinamento.
In assenza di modelli più accurati, si possono disporre nel nodo
staffe orizzontali di diametro non inferiore a 6 mm, in modo
che:
V jbd ( b j h jc ) 
 −f
≥
ctd
f ctd + ν d f cd
2
Ash f ywd
b j h jw
dove
Ash
hjw
è l’area totale della sezione delle staffe
è la distanza tra le giaciture di armature superiori e
inferiori della trave.
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Verifiche dei nodi trave-pilastro
Strutture intelaiate
CD “A”
In alternativa, l’integrità del nodo a seguito della fessurazione
diagonale può essere garantita integralmente dalle staffe
orizzontali se
Ash f ywd ≥ γ Rd ( As1 + As 2 ) f yd (1 − 0.8ν d )
per nodi interni
Ash f ywd ≥ γ Rd As 2 f yd (1 − 0.8ν d )
per nodi esterni
dove
As1, As2
sono rispettivamente l’area dell’armatura superiore
ed inferiore della trave,
γRd
vale 1.20
νd
è la forza assiale normalizzata agente
al di sopra del nodo, per i nodi interni,
al di sotto del nodo, per i nodi esterni.
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Limitazioni per nodi
Armatura trasversale
Nei nodi non confinati devono essere disposte staffe di contenimento
in quantità almeno pari alla maggiore prevista nelle zone del pilastro
inferiore e superiore adiacenti al nodo.
Questa regola può non essere osservata nel caso di nodi interamente
confinati.
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
Limitazioni per nodi
Armatura trasversale
Per i nodi non confinati, appartenenti a strutture sia in CD”A” che in
CD”B”, le staffe orizzontali presenti lungo l’altezza del nodo devono
verificare la seguente condizione:
nst Ast
f
≥ 0.05 ck
i bj
f yk
nella quale
nst ed Ast sono rispettivamente il numero di bracci e l’area della sezione
trasversale della barra della singola staffa orizzontale,
i
è l’interasse delle staffe,
b
è la larghezza utile del nodo determinata come segue:
-
se la trave ha una larghezza bw superiore a quella del pilastro bc, allora b è il
valore minimo fra bw e bc + hc/2, essendo hc la dimensione della sezione della
colonna parallela alla trave;
se la trave ha una larghezza bw inferiore a quella del pilastro bc , allora b è il
valore minimo fra bc e bw + hc/2.
D.M. 14/01/2008 Norme Tecniche per le Costruzioni
SCORRIMENTO
TRA TESTA PILASTRO
E NODO
Scorrimento pilastro-nodo
Sicilia 1990,
terremoto di
Santa Lucia,
Augusta
Scorrimento tra la sommità del pilastro
e la trave in corrispondenza
della ripresa di getto
Scorrimento pilastro-nodo
Irpinia 1980,
Lioni, Edificio del
Banco di Napoli Foto A. Ghersi
Scorrimento tra la sommità del pilastro
e la trave in corrispondenza
della ripresa di getto
Scorrimento pilastro-nodo
Irpinia 1980,
Lioni, Edificio del
Banco di Napoli Foto A. Ghersi
Scorrimento tra la sommità del pilastro
e la trave in corrispondenza
della ripresa di getto
Verifica di scorrimento pilastro-nodo


Non esistono molte indicazioni a riguardo
Solo l’Eurocodice 8, parte 1 (punto 5.5.3.4.4) parla di verifica
di scorrimento tra parete e impalcato; le formule proposte
possono estendersi, con opportune modifiche, anche al caso in
esame
VRd,S = Vdd + Vid + Vfd
Resistenza delle barre
verticali
Resistenza di eventuali
barre inclinate
Resistenza per
attrito
Verifica di scorrimento pilastro-nodo
VRd,S = Vdd + Vid + Vfd
Resistenza delle barre
verticali
Resistenza di eventuali
barre inclinate
Resistenza per
attrito
FINE