Modelli e simulazioni
Cos’è un modello.
Simulazioni
Logo - Excel
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1
Modello
 Cos’è
un modello fisico/matematico ?
 Che genere di strumento di lavoro è ?
 Che valore cognitivo ha ?
 Che ruolo ha nel processo di
apprendimento ?
 Che ruolo ha nel processo di
insegnamento?
 La risposta non è né semplice né univoca.
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2
Riferimenti…

Giorgio Israel, Modelli Matematici
 John von Neumann, citazioni…
 Conrad Waddington, Strumenti per pensare
 Richard P. Feynmann, sui modelli…
 Altri…
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3
Una citazione da John von
Neuman

Le scienze non cercano di spiegare, a
malapena tentano di interpretare, ma fanno
soprattutto dei modelli. Per modello
s’intende un costrutto matematico che, con
l’aggiunta di certe interpretazioni verbali,
descrive dei fenomeni osservati. La
giustificazione di un siffatto costrutto
matematico è soltanto e precisamente che
ci si aspetta che funzioni – cioè descriva
correttamente i fenomeni in un’area
ragionevolmente ampia. Inoltre esso deve
soddisfare certi criteri estetici – cioè, in
relazione con la quantità di descrizione che
fornisce, deve essere piuttosto semplice.
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4
Conrad Waddington ( Biologo )
Modello Matematico

Se già molto è noto sul funzionamento del sistema in
questione, oppure se è accettabile un modello molto
semplificato di un sistema poco noto, è possibile
escogitare un modello comprendente insiemi di
equazioni che lo rappresentano […]. Una semplice
equazione non può ovviamente descrivere con tutta
precisione la complessità del sistema considerato […].I
modelli matematici di sistemi sociali e tecnologici sono di
solito adatti esclusivamente alla detrminazione di effetti
massicci che comportano popolazioni molto vaste…
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5
Conrad Waddington – Modello
Fisico

…Per poter fare
previsioni circa l’attività di
un sistema reale è
talvolta possibile costruire
un modello fisico del
sistema sottoponibile poi
ad una varietà di
condizioni…I modelli fisici
si possono costruire solo
in un numero limitato di
condizioni…
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6
 Un
E. Malinvaud
Méthode Statistique de
l’econometrie
modello matematico è la
rappresentazione formale di idee o
conoscenze relative ad un fenomeno.
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Richard P. Feynman
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




…Sulla relazione tra matematica e Fisica…
Un modello matematico è uno schema che consente di interpretare le
leggi fisiche…
(Interpretazione da “La legge Fisica”)
Un “modello” puo anche essere un “modello di ragionamento”.
Es. Ipotesi che la natura sia causale  Legge di Newton.
Ipotesi che la natura obbedisca a un principio di minimo  Principio di
Minima Azione.
Ipotesi che la natura delle leggi fisiche sia locale  Concetto di Campo.
“…Una delle caratteristiche sorprendenti della natura è la varietà dei
possibili schemi interpretativi, dovuta al fatto che le leggi sono così
speciali e delicate.”
Nel caso dei modelli “fisici”...
“…In altre parole i matematici preparano un ragionamento astratto pronto per
essere usato appena si ha una serie di assiomi sul mondo reale. Il fisico
invece dà un significato a tutte le sue frasi…”
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8
Per i matematici…


Questa è una cosa assai importante che molte persone
che giungono alla fisica dalla matematica non
apprezzano.
La fisica non è matematica e la matematica non è fisica.
Una aiuta l’altra, ma in fisica si deve capire la
connessione tra le parole e il mondo reale.Alla fine è
necessario tradurre, quello che si è dedotto, in italiano,
cioè, nel mondo, nei blocchi di rale e di vetro con cui si
faranno gli esperiementi: solo in questo modo potremo
vedere se le conseguenze non sono giuste. Questo è un
problema che in matematica non esiste affatto.
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Sempre Feynman sui modelli…e
sulla loro costruzione…

Quando sapete quello di cui state parlando, che alcuni simboli
rappresentano le masse, altri le forze, l’inerzia, e così via, allora
potete usare abbondantemente il buon senso, e i ragionamenti
terra-terra. Avete visto varie cose e sapete più o meno come il
fenomeno si comporterà. Ma il povero matematico lo traduce in
equazioni, e poiché i simboli non gli dicono niente, non ha nessuna
guida nella deduzione se non la precisione del rigore matematico. Il
fisico, invece, che sa più o meno quale risultato verrà fuori, può
all’incirca tirare a indovinare per una parte, e così procedere
abbastanza rapidamente. L’assoluta precisione del rigore
matematico non è molto utile in fisica. Tuttavia non bisogna criticare
i matematici per questo: non è necessario che solo perché una cosa
sarebbe utile in fisica la debbano fare in qualche modo, essi fanno il
loro mestiere, e se volete qualche altra cosa dovete farvela da soli.
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Come indovinare una nuova legge
fisica ?
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
Problema: nella costruzione di un modello matematico di un sistema fisico
si devono usare delle idee e delle convinzioni acquisite grazie alla cultura
personale e alla cultura in cui lo scienziato è immerso. Quindi : per
indovinare una nuova legge si devono usare preconcetti e principi filosofici,
come per esempio “ non mipiace il principio di minimo”, “mi piace il principio
di minimo”, o “ non mi piace l’azione a distanza”. Insomma :
 Fino a che punto servono i modelli ?
Molto spesso i modelli aiutano e molti docenti di fisica, a livello universitario,
cercano di insegnare ad usare i modelli, e ad avere un buon senso fisico
per predire come le cose andranno a finire.
“Ma succede sempre che le scoperte più grandi sono ottenute astraendo
dal modello e che questo non serve mai a niente (???).”
La scoperta di Maxwell dell’elettrodinamica fu fatta prima servendosi di
molte ruote e ingranaggi immaginari nello spazio. Ma quando vi liberate da
tutti gli ingranaggi e gli aggeggi nello spazio tutto va bene.
Dirac scoprì le leggi giuste della meccanica quantistica relativistica
semplicemente “indovinando” l’equazione.
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12

“…Il metodo di cercare di indovinare l’equazione sembra essere un
modo piuttosto efficace di scoprire nuove leggi. Questo fa di nuovo
vedere che la matematica è un modo profondo di esprimere la
natura, mentre qualsiasi tentativo di esprimerla in principi filosofici o
affermazioni vagamente meccanicistiche non è un mezzo efficace. “

RUOLO DELLA SIMULAZIONE

La simulazione di un modello fisico consente di sperimentare il
modello, metterlo alla prova cambiandone i parametri che lo
caratterizzano. La simulazione di un modello consente quindi di
“sperimentare le varie possibilità del modello oltre che i suoi limiti”,
in un certo qual modo il modello fa da impalcatura per la
sperimentazione e l’organizzazione delle nostre idee. Quando alla
fine il modello funziona è possibile togliere l’impalcatura, magari si
scopre che sta in piedi lo stesso, si scopre qualcosa di nuovo.
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 Trattare
di modelli è difficile.
 Definire il concetto di modello è difficile (
Giorgio Israel).
 Un modello ha uno schema logico ma non
è riducibile ad uno schema logico ( del tipo
flow chart)
 Burkhardt, Learning to use mathematics,
Bulletin of IMA, ottobre 1979.
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Schema a flow chart
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Modello e ragionamento scientifico

Ragionamento Scientifico ed Insegnamento della Scienza.
 La sola costruzione di un modello matematico non garantisce che si sia
costruito anche un ragionamento scientifico. Il modello matematico di per sé
potrebbe essere ricondotto all’applicazione meccanica di una serie di
procedure.
 Talora ci si illude di poter ridurre la complessità di un fenomeno fisico ( e
non solo ) ad una sequenza di operazioni elementari logicamente coerenti
ed organizzate in una struttura algoritmica. ( Visione algoritmica ).
 L’operazione di simulazione prevede la messa in prova del modello e di chi
lo controlla e/o l’ha costruito. Entrano in gioco altri criteri importanti :






Il modello è stabile ?
Si è tenuto conto di tutte le variabili rilevanti ?
Quali sono le condizioni al contorno ?
Quali sono le condizioni iniziali del modello ?
Quali scelte determinanti e caratterizzanti ha fatto l’estensore del modello?
Etc.
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




L’orientamento logico razionale del modello e della sua strategia di
costruzione sono importanti ma…
Il ragionamento scientifico ha un livello di complessità maggiore. La
definizione di Malinvaud è molto più prossima a questo livello di
ragionamento.
Questa definizione definisce in modo molto più appropriato cosa sia
un modello matematico:
a) Un modello matematico è la rappresentazione di un fenomeno.
b) questa rappresentazione non è discorsiva o a parole ma formale
ed usa il linguaggio matematico.
c) Non esiste una via diretta cha va dalla realtà alla Matematica. Il
fenomeno specifico studiato non detrmina la “sua” rappresentazione
matematica. Vengono invece tradotti in formule idee e conoscenze
relative al fenomeno.
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…il terzo punto
L’ultimo punto è il più importante dei tre. Si fa riferimento alle idee e
conoscenze grazie alle quali si rappresenta formalmente la realtà del
fenomeno.
 Un modello fa riferimento alle conoscenze ed idee di chi formula il modello
stesso ( vedi Feynman ), perché non il principio di Minima Azione piuttosto
che le leggi di Newton? L’influenza delle proprie convinzioni, cultuta, stile,
punti di vista, può essere cruciale.
 Come non esiste un modo univoco di affrontare e risolvere i problemi, così
non esiste un modo univoco di costruire i modelli che descrivono il
comportamento di un dato fenomeno. La descrizione matematica della
realtà fatica nel tenere considerazioni degli infiniti, complessi, correlati
aspetti che rappresentano un fenomeno fisico. Se già la difficoltà è notevole
per un fenomeno fisico, sarà ancor più grande nel caso si tratti di un
fenomeno biologico.
 La necessità di selezionare tra le variabili rilevanti e non rilevanti conduce
alla discriminazione tra queste variabili. Questa scelta viene effettuata
grazie alle idee, alla conoscenza, alla scuola da cui proviene chi lavora sul
modello.

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LOGO

Il Logo è un linguaggio di programmazione ideato con finalità didattiche dal
matematico e informatico americano Seymour Papert. E' un linguaggio ormai diffuso
nelle scuole di tutto il mondo. Papert, derivando alcune idee dalla teoria
dell'apprendimento di Piaget ed altre dalla ricerca nel campo dell'Intelligenza
Artificiale (settore nel quale è considerato uno dei massimi esperti), propone un
ambiente di sperimentazione geometrica che coinvolge l'allievo, lo rende diretto
costruttore di strutture, gli consente di apprendere operando.
Una caratteristica importante del Logo è quella di favorire non solo l'apprendimento di
una corretta tecnica di programmazione ma anche l'acquisizione di nozioni e concetti
matematici profondi (in particolare geometrici, ma non solo: si pensi ad esempio al
concetto di variabile).
Operare in ambiente Logo significa programmare una piccola tartaruga che si muove
sullo schermo del computer in risposta a dei nostri comandi. La tartaruga, come
entità geometrica, è caratterizzata dalla posizione nel piano e dall'orientamento (ad
esempio la tartaruga può trovarsi in un dato punto P ed essere orientata verso Nord).
( Da Paolo Lazzarini, Introduzione al LOGO)
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MIT e LOGO
 Link
: http://el.media.mit.edu/Logofoundation/logo/index.html.
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MIT
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MSW LOGO
 Link:
http://www.softronix.com/logo.html
 http://users.libero.it/prof.lazzarini/voce03.h
tm
 Manuale
:www.mswlogo.org/introduzioneMSWLo
go.pdf
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Calcolo Ricorrente
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1.1) UNO STRUMENTO NUOVO DI CALCOLO
Affronteremo lo studio cinematico del moto accelerato, allo scopo di acquisire una tecnica di
calcolo molto efficace con l’uso del foglio elettronico. Si tratta di risolvere il problema del moto
senza usare le relative formule per le grandezze s, v ed a, ma utilizzando solo le loro definizioni
elementari.
Nei corsi di Fisica si studiano le leggi del moto rettilineo uniforme, di quello uniformemente
accelerato e forse di qualche altro tipo (moto circolare uniforme, moto armonico...).
Si è dunque in grado di utilizzare le formule di calcolo che si riferiscono a questi tipi di moto. Ma
tali formule sono valide solo per i casi particolari a cui si riferiscono; non sono valide nel caso
generale di moti vari.
Potenza del metodo
Il metodo che qui si propone ha una validità del tutto generale e perciò è uno strumento molto
potente. Il suo utilizzo è fortemente legato all’uso del calcolatore, perché richiede lo svolgimento
di parecchi calcoli ripetuti.
Esso presenta il vantaggio di un utilizzo molto elementare delle leggi della Fisica, anche in casi
complessi. Gli strumenti matematici richiesti sono concettualmente semplici (sostanzialmente le
quattro operazioni aritmetiche).
Limiti del metodo
È necessario però conoscere anche i limiti di questo strumento; si tratta infatti di un metodo di
calcolo approssimato, con gli inevitabili errori che ciò comporta.
Impareremo a conoscere gli errori di calcolo che il metodo introduce e soprattutto a valutarne
l’entità, in modo da capire e controllare la validità dei risultati che otterremo.
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Idee
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1.2) IL CALCOLO RICORRENTE
Nel moto accelerato, la velocità di un corpo varia nel tempo; la
conoscenza di tale grandezza è legata a quella dell’accelerazione.
Lo spazio percorso da un corpo (o per meglio dire il suo
spostamento) è legato sia alla velocità iniziale che alla
accelerazione.
Come è noto, non è possibile calcolare la velocità istantanea di un
oggetto conoscendo solo lo spazio percorso; non si può usare la
relazione , valida solo per il moto rettilineo uniforme.
In conclusione, spostamento e velocità nel moto accelerato sono
legati all’andamento dell’accelerazione del corpo. Rivediamo ora
alcune definizioni delle grandezze fisiche della cinematica.
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Definizione di accelerazione
Sappiamo che l’accelerazione media di un corpo nell’intervallo di tempo Δt è data da:
(1)
dove v(t) indica la velocità all’istante t (istante iniziale dell’intervallo) e v(t + Δt)
quella all’istante finale.
Sappiamo anche che quanto più piccolo è l’intervallo Δt, tanto più questo valore si
avvicina all’accelerazione istantanea.
Per cominciare con un caso semplice, supponiamo che il moto sia uniformemente
accelerato.
In questo caso la relazione (1) appena vista fornisce proprio l’accelerazione
istantanea del corpo, che coincide con quella media.
Dalla (1) possiamo ottenere:
(2)
La quantità a Δt rappresenta la variazione di velocità.
Se l’accelerazione è costante, come nel nostro caso, la relazione (2) è esatta (cioè
non dà luogo ad approssimazioni di calcolo) e si interpreta nel seguente modo:
la velocità in un istante successivo all’istante t è data dalla velocità all’istante t più la
sua variazione intervenuta nell’intervallo di tempo Δt.
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Calcolo ricorrente della velocità
Vediamo ora come calcolare la velocità in un istante di tempo generico t usando la
tecnica del calcolo ricorrente. Si utilizza la conoscenza di una grandezza fisica ad un
certo istante per calcolarne il valore in un istante successivo.
Supponiamo che l’accelerazione del moto sia a = 2 m/s2, la velocità iniziale v(0) = 0
e l’intervallo di tempo Δt = 1 s.
Usando la (2) si ottengono i seguenti valori per la velocità negli istanti successivi (1, 2
, 3 secondi dopo la partenza):
v(1) = v(0) + 2·1 = 2 m/s
v(2) = v(1) + 2·1 = 2 + 2 = 4 m/s
v(3) = v(2) + 2·1 = 4 + 2 = 6 m/s
In questo modo si può ottenere il valore della velocità in qualunque istante senza
usare formule di calcolo che non siano le semplici definizioni delle grandezze in
gioco.
In questo esempio il calcolo effettuato fornisce risultati esatti; è possibile però
applicarlo anche a moti con accelerazione non costante, nel qual caso dobbiamo
pagare il prezzo di una certa approssimazione.
Per quanto riguarda lo spazio percorso dal corpo, si può procedere in modo analogo.
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Definizione di velocità
La definizione di velocità media di un corpo nell’intervallo di tempo
Δt è la seguente:
(3)
dove al solito s(t) indica lo spostamento all’istante t (istante iniziale
dell’intervallo) ed s(t + Δt) quello all’istante finale. Dalla (3) si ottiene:



(4)
La formula (4), applicata al caso di un moto accelerato, non è più
esatta, come la (2), ma solo approssimata, poiché la velocità non è
costante nel tempo.
Applicheremo ora il metodo del calcolo ricorrente utilizzando il foglio
elettronico.
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2.1) REALIZZAZIONE DEL MODELLO IN EXCEL

In ambiente Excel inserite le etichette e i numeri indicati nella tabella che segue.
ABCDEFG1MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO23tvss esattoa =2m/s24Dt
=0,1s5000=0,5*a*A5^26=A5+Dt=B5+a*Dt=C5+B5*Dt=0,5*a*A6^2
Posizionatevi sulla cella F3; nel menù Inserisci selezionate Nome Definisci. Nella finestra di
dialogo che appare, inserite a nella finestra Nomi nella cartella di lavoro:, assicurandovi che la
finestra Riferito a: contenga l’indirizzo della cella F3; cliccate infine su OK.
Nella Casella Nome (in alto a sinistra, sotto la barra dei pulsanti) compare ora il nome a, anziché
l’indirizzo di cella F3. D’ora in poi potrete riferirvi a questa cella indicandola con tale nome.

In modo analogo assegnate alla cella F4 il nome Dt. Inserite poi le formule indicate in tabella
(nelle celle relative, naturalmente, comparirà il risultato della formula stessa).

Copiate le celle 6A:6D per 50 righe sotto.

Costruite ora il grafico della velocità, dello spostamento approssimato e di quello esatto (calcolato
con la formula del moto uniformemente accelerato ) in funzione del tempo.
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Calcolo Ricorrente della Velocità
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Calcolo ricorrente della velocità
Vediamo ora come calcolare la velocità in un istante di tempo generico t usando la
tecnica del calcolo ricorrente. Si utilizza la conoscenza di una grandezza fisica ad un
certo istante per calcolarne il valore in un istante successivo.
Supponiamo che l’accelerazione del moto sia a = 2 m/s2, la velocità iniziale v(0) = 0
e l’intervallo di tempo Δt = 1 s.
Usando la (2) si ottengono i seguenti valori per la velocità negli istanti successivi (1, 2
, 3 secondi dopo la partenza):
v(1) = v(0) + 2·1 = 2 m/s
v(2) = v(1) + 2·1 = 2 + 2 = 4 m/s
v(3) = v(2) + 2·1 = 4 + 2 = 6 m/s
In questo modo si può ottenere il valore della velocità in qualunque istante senza
usare formule di calcolo che non siano le semplici definizioni delle grandezze in
gioco.
In questo esempio il calcolo effettuato fornisce risultati esatti; è possibile però
applicarlo anche a moti con accelerazione non costante, nel qual caso dobbiamo
pagare il prezzo di una certa approssimazione.
Per quanto riguarda lo spazio percorso dal corpo, si può procedere in modo analogo.
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