Gli ambienti di geometria dinamica e la didattica
della matematica
Domingo Paola
Liceo Issel di Finale Ligure
G.R.E.M.G. Dipartimento di Matematica Università di Genova
• Cabri e il concetto di funzione
• Cabri e i concetti di teoria e di dimostrazione
• Presentazione di un CD sull’uso di Cabri per l’avvio ai
concetti di dimostrazione e di teoria
Cabri e il concetto di funzione
Terza media – primo biennio di scuola superiore
Problemi di massimo e minimo per avviare al “pensiero
variazionale”
Le costruzioni possono essere effettuate dall’insegnante e le
esplorazioni sono guidate: tanto più quanto è limitata l’esperienza
degli studenti.
L’aspetto più interessante dell’attività è la compresenza dei registri
geometrico, grafico e numerico, che dovrebbe aiutare gli studenti ad
affinare la capacità di associare grafici alle variazioni (numeriche e
geometriche)
Proposta di lavori a coppie
1. Studiare come varia l’area di rettangoli isoperimetrici
2. Si consideri l’insieme dei triangoli isosceli aventi due lati dati (per
esempio di misura 5). Che cosa cambia, nei triangoli isosceli dati, al
variare della misura del lato non assegnato? Quali caratteristiche
ha il triangolo di area massima fra quelli della famiglia considerata?
3. Un segmento AC è lungo 20cm. Scegliete un punto B interno al
segmento AC e costruite su AB e BC i quadrati BCDE e BGFA. Che
cosa si può dire del perimetro della figura formata dai due quadrati
al variare di B su AC? E dell’area della figura? Giustificate le
risposte.
Cabri e i concetti di teoria e di dimostrazione
Una riflessione sulle definizioni
A partire da una definizione nota di quadrato, rombo, rettangolo,
parallelogramma e trapezio, costruire in Cabri tali quadrilateri.
Problema (aperto)
Sia dato un quadrilatero ABCD. Tracciate gli assi a del lato AB, b del
lato BC, c del lato CD, d del lato DA. Sia A' il punto di incontro degli
assi a e b, B' il punto di incontro di b e c, C' il punto di incontro di c e
d, D' il punto di incontro di a e d. Studiare come varia A'B'C'D' al
variare di ABCD. Dimostrate le congetture prodotte durante
l'esplorazione fatta in Cabri.
Descrizione dell’attività svolta da un gruppo di alunne di quarta
liceo scientifico PNI.
Proposta di lavori a coppie su problemi aperti
Sia dato un quadrilatero ABCD e siano L, M, N e P rispettivamente i punti medi
dei lati AB, BC, CD, DA. Che configurazioni assume il quadrilatero LMNP al
variare di ABCD? Giustificare le risposte.
Sia dato un quadrilatero ABCD. Considera le bisettrici dei quattro angoli
interni A, B, C, D. Siano H, K, L, M rispettivamente le intersezioni tra le
bisettrici di A e B, B e C, C e D. Che configurazioni assume HKLM al variare
di ABCD? Giustifica le risposte
È stata trovata una mappa del tesoro che riporta le seguenti indicazioni: vai
sull'isola segnata sulla carta. Appena sceso sull'isola troverai un melo M un pino
P e una quercia Q. Da M dirigiti in linea retta fino a giungere in P. Qui gira verso
la tua destra di 90 gradi e percorri un segmento di lunghezza uguale a quella di
MP. Pianta in questa posizione un paletto P1. Quindi ritorna in M e da qui
dirigiti verso Q in linea retta. Giunto in Q gira a sinistra di 90 gradi e percorri un
segmento di lunghezza uguale a quella di MQ. Pianta, in questa posizione un
paletto P2. Il tesoro T si trova nel punto medio del segmento P1P2.Ariele giunto
sull'isola del tesoro ha la brutta sorpresa di non trovare più il melo M. Ci sono P
e Q ma non c'è M. Potrà trovare ugualmente il tesoro?
La dimostrazione di Vittorio, Valentina, Gabriele
Considero P2P2’T e P1P1’T: se
sono congruenti T è punto
medio sia di P1P2, sia di P1’P2’
Considero MM’Q e QP2P2’
M’Q=QP2’
MQ=QP2
MQM’ = P2’QP2 perché
complementari di uno stesso
angolo. Quindi MM’=P2P2’
Analogamente P1P1’=MM’
Quindi P1P1’ = P2P2’. Inoltre P2TP2’=P1TP1’. Infine P2 e P2’
sono i corrispondenti di M e M’ in una rotazione di 90°. Quindi
P2P2’ è perpendicolare a MM’. Analogamente lo è P1P1’. Quindi
P2P2’ e P1P1’ sono paralleli …
I problemi per le “eccellenze”
Vedere anche il sito e la rivista Cabrirrsae dell’IRRE Emilia
Romagna e il sito e le attività dell’IRRE Lazio.
1. Costruire un quadrato esternamente a ogni lato di un
quadrilatero. Considerare il quadrilatero che si ottiene
congiungendo i centri dei quattro quadrati così ottenuti.Le
diagonali del quadrilatero che si ottiene congiungendo i centri
dei quattro quadrati risultano fra loro perpendicolari. Ora Cabri
mi convince che questa osservazione corrisponde al vero, ma
perché è così?
2.
le diagonali continuano a essere perpendicolari anche se invece
di quattro quadrati ho quattro rettangoli fra loro simili. Perché?
3. Se in luogo di quattro quadrati costruisco quattro rombi simili le
diagonali sono uguali. Perché?
Cabri e i concetti di teoria e di dimostrazione
Introduzione di un argomento di geometria: i criteri di
congruenza dei triangoli
Terza media – primo anno di scuola superiore
Liberamente tratto da Dreyfus, T. & Hadas, N. 1996 Proof as answer to
the question why, ZDM.
Due triangoli sono congruenti se…
Un triangolo è determinato da ..
Sono formulazioni logicamente, ma non cognitivamente equivalenti
Noi useremo Cabri per esplorare le relazioni tra le informazioni
disponibili su lati e angoli di un triangolo e la possibilità o meno di
individuare il triangolo.
Nei file che ora esamineremo ho utilizzato tre differenti colori:
il blu per i dati, ossia angoli e lati noti del triangolo (parametri)
il rosso per i “dati trasportati” o, meglio, per evidenziare, nei
triangoli costruiti, lati e angoli dati (parametri fissati nel
particolare problema)
il verde per gli oggetti che è possibile muovere per compiere le
esplorazioni (variabili indipendenti)
il nero per gli oggetti dei triangoli costruiti che si muovono al
variare degli oggetti verdi (variabili dipendenti)
L’azzurro – verde pastello, tratteggiandoli, per gli oggetti non
essenziali (artifici retorici per spiegare meglio).
Ricapitolando
Due elementi non sono mai sufficienti per individuare un triangolo
Tre, quattro e anche cinque possono non essere sufficienti, dipende
da che cosa è noto (se si lavora sulla congruenza tra due triangoli, si
parlerà della corrispondenza fra gli elementi dei due triangoli). È
quindi evidente che questa corrispondenza gioca un ruolo
fondamentale e che non può essere trascurata quando si enunciano i
criteri
Sei sono sempre sufficienti.
non si tratta di dimostrazioni, ma di esplorazioni e
osservazioni di fatti geometrici, attività essenziale per i
principianti, quali sono studenti di terza media o di un
primo biennio di scuola secondaria, per un avvio motivato
al sapere teorico.
Come è stato utilizzato Cabri in questo esempio?
Presentazione dei criteri di congruenza dei triangoli.
Attività di esplorazione su costruzioni realizzate dall’insegnante.
Modalità di esplorazione: guidata dall’insegnante (è l’insegnante
che dice che cosa muovere e che cosa non muovere o che cosa
muovere prima o dopo).
L’obiettivo è quello di fondare i criteri di congruenza su un vasto
campo di esperienze e osservazioni e poi prendere questi criteri come
ipotesi di partenza per lo sviluppo di attività geometriche, anche di
piccole catene deduttive a partire dai criteri di congruenza. Il fatto
che sia possibile dimostrare il secondo e il terzo a partire dal primo,
sarà oggetto di studi successivi, se e quando verrà presentata
un’impostazione assiomatica della geometria.
Qualche riflessione conclusiva sull’uso di Cabri
nell’avvio al pensiero e al sapere teorico
Cabri sembra creare una sorta di spazio per la comunicazione,
aiutando gli studenti, impegnati nella risoluzione di problemi, a
comunicare idee e strategie risolutive
L’uso di Cabri e la proposta di problemi aperti favoriscono attività
di osservazione, scoperte e produzione di congetture, dando luogo
alla necessaria continuità cognitiva tra le fasi di produzione di una
congettura, costruzione e sistemazione della dimostrazione
È necessaria una genesi strumentale, sulla quale l’insegnante ha forti
responsabilità. A questo proposito diventano assai importanti le
osservazioni sulle metafore, sulle parole, sui gesti utilizzati dagli
studenti, soprattutto se si condivide che la conoscenza sia
profondamente embodied, situata
La matematica è un
paesaggio aperto, infinito,
come la Groenlandia …